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10. Januar 200510. Januar 2005 Jan MittelstaedtJan Mittelstaedt 11
GeostatistikGeostatistik
KrigingKriging
2210. Januar 200510. Januar 2005 Jan MittelstaedtJan Mittelstaedt
GliederungGliederung
Einleitung Einleitung
InterpolationsverfahrenInterpolationsverfahren
Vorrausetzungen für KrigingVorrausetzungen für Kriging Intrinische HypotheseIntrinische Hypothese SemivariogrammSemivariogramm
Semivariogramm in ArcGISSemivariogramm in ArcGIS
Aufgabe 1Aufgabe 1
3310. Januar 200510. Januar 2005 Jan MittelstaedtJan Mittelstaedt
GliederungGliederung
KrigingKriging
GewichteGewichte
statistische Methodenstatistische Methoden
Kriging – ArtenKriging – Arten
Kriging in ArcGISKriging in ArcGIS
Aufgabe 2Aufgabe 2
4410. Januar 200510. Januar 2005 Jan MittelstaedtJan Mittelstaedt
EinleitungEinleitung
Kriging ist ein Oberbegriff für eine Reihe von Kriging ist ein Oberbegriff für eine Reihe von Schätzverfahren.Schätzverfahren.
Der Kriging – Schätzer ist ein Der Kriging – Schätzer ist ein BLUEBLUE - Schätzer . - Schätzer .
BBester ester llinearerinearer u unverzerrter Schätzer ( nverzerrter Schätzer ( EEstimator ) stimator )
Kriging bezeichnet ein Interpolationsmethode. Kriging bezeichnet ein Interpolationsmethode.
10. Januar 200510. Januar 2005 Jan MittelstaedtJan Mittelstaedt 55
EinleitungEinleitung
wurde nach dem südafrikanischen Bauingenieurwurde nach dem südafrikanischen BauingenieurD.G. KrigeD.G. Krige benannt benannt
Mitte des 20. Jahrhunderts von Mitte des 20. Jahrhunderts von G. MatheronG. Matheron in inFrankreich zur Anwendung im Bergbau weiter-Frankreich zur Anwendung im Bergbau weiter-entwickeltentwickelt
zur gleichen Zeit von zur gleichen Zeit von L.S. GandinL.S. Gandin in der Sowjetunion in der Sowjetunionentwickelt, in dem Bereich der Meterologie angewandtentwickelt, in dem Bereich der Meterologie angewandt
heute wird Kriging in allen Bereichen der Geowissen-heute wird Kriging in allen Bereichen der Geowissen- schaften angewandtschaften angewandt
6610. Januar 200510. Januar 2005 Jan MittelstaedtJan Mittelstaedt
InterpolationsverfahrenInterpolationsverfahren
Es gibt zwei verschiedene Es gibt zwei verschiedene
InterpolationsverfahrenInterpolationsverfahren
1.1. deterministische Interpolation ( alt )deterministische Interpolation ( alt )
2.2. geostatistische Interpolation ( neu )geostatistische Interpolation ( neu )
7710. Januar 200510. Januar 2005 Jan MittelstaedtJan Mittelstaedt
deterministische Interpolationdeterministische Interpolation
Ist das Ist das bisherigebisherige Interpolationsverfahren Interpolationsverfahren
Genaue Vorhersage von Ort und WertGenaue Vorhersage von Ort und Wert
eines Punktes, eines Punktes, fallsfalls die Messwerte die Messwerte regelmäßig und regelmäßig und in einer relativ hohen Dichtein einer relativ hohen Dichte
vorhanden sindvorhanden sind
8810. Januar 200510. Januar 2005 Jan MittelstaedtJan Mittelstaedt
geostatistische Interpolationgeostatistische Interpolation
Ist das Ist das neueneue Interpolationsverfahren Interpolationsverfahren
Vorhersage der Orte ungenauerVorhersage der Orte ungenauer
aberaber die Genauigkeit der Vorhersage kann die Genauigkeit der Vorhersage kann vorher bestimmt werden beivorher bestimmt werden bei
unregelmäßiger Verteilung undunregelmäßiger Verteilung und geringerer Dichte der Punktegeringerer Dichte der Punkte
9910. Januar 200510. Januar 2005 Jan MittelstaedtJan Mittelstaedt
Vorrausetzung für KrigingVorrausetzung für Kriging
Intrinische HypotheseIntrinische Hypothese
Semivariogramm Semivariogramm
101010. Januar 200510. Januar 2005 Jan MittelstaedtJan Mittelstaedt
Intrinische HypotheseIntrinische Hypothese
Ein Prozess ist intrinisch ( stationär ), falls Ein Prozess ist intrinisch ( stationär ), falls
1.1. der Erwartungswert aller Zufallvariablen der Erwartungswert aller Zufallvariablen ZZ im im
Untersuchungsgebiet Untersuchungsgebiet konstant konstant istist
hxZxZE
111110. Januar 200510. Januar 2005 Jan MittelstaedtJan Mittelstaedt
Intrinische HypotheseIntrinische Hypothese
2.2. der räumliche Zusammenhang zweier Variablen der räumliche Zusammenhang zweier Variablen nicht nicht von der absoluten Lage abhängt, sondern von der absoluten Lage abhängt, sondern von deren von deren Abstandsvektoren.Abstandsvektoren.
22 hxZxZEh
SemivarianzSemivarianzhttp://ifgivor.uni-muenster.de/vorlesungen/Num_Modellierung/Raum_Interpol/KrigingSemiar_2_Teil.html
121210. Januar 200510. Januar 2005 Jan MittelstaedtJan Mittelstaedt
SemivariogrammSemivariogramm
Um ein Semivariogramm zu erstellen, benötigen Um ein Semivariogramm zu erstellen, benötigen
wir eine Funktion.wir eine Funktion.
Diese Funktion ist die Diese Funktion ist die Semivarianz Semivarianz
2h)iZ(x)iZ(xn21γ(h)
131310. Januar 200510. Januar 2005 Jan MittelstaedtJan Mittelstaedt
2h)iZ(x)iZ(xn21γ(h)
SemivariogrammSemivariogramm
Berechnung der SemivarianzBerechnung der Semivarianz
Semivarianz
Anzahl der Punktpaare mit
Abstand h
1. Variable
2. Variable im Abstand h
Ein Graph, mit den Werten von y(h) ist das
empirische Variogramm
141410. Januar 200510. Januar 2005 Jan MittelstaedtJan Mittelstaedt
Das empirische SemivariogrammDas empirische Semivariogramm
Berechnung der Abstände Berechnung der Abstände zwischen jedem Punktpaarzwischen jedem Punktpaar
Jedem Abstand h wird ein Jedem Abstand h wird ein Diagrammwert y(h) Diagrammwert y(h) zugeordnetzugeordnet
Bildung von Bildung von Abstandsklassen, da nur Abstandsklassen, da nur sehr wenige Punktpaare sehr wenige Punktpaare exakt den gleichen Abstand exakt den gleichen Abstand haben.haben.
Bspl
http://ifgivor.uni-muenster.de/vorlesungen/Num_Modellierung/Raum_Interpol/Beispiel_Bodenproben.html#ExpVariogramm
151510. Januar 200510. Januar 2005 Jan MittelstaedtJan Mittelstaedt
Das theoretische VariogrammDas theoretische Variogramm
zeigt einen Zusammenhang der Stichproben mit bekannten Wertenzeigt einen Zusammenhang der Stichproben mit bekannten Werten
Variogrammwerte auch für Abstände, die nicht in der Stichprobe Variogrammwerte auch für Abstände, die nicht in der Stichprobe vorkommenvorkommen
1.1. empirisches Variogramm zeigt den empirisches Variogramm zeigt den groben Verlauf über den räumlichen groben Verlauf über den räumlichen ZusammenhangZusammenhang
2.2. der Verlauf des empirischen der Verlauf des empirischen Variogramms wird einer Funktion Variogramms wird einer Funktion angepasstangepasst
http://ifgivor.uni-muenster.de/vorlesungen/Num_Modellierung/Raum_Interpol/Beispiel_Bodenproben.html#ExpVariogramm
161610. Januar 200510. Januar 2005 Jan MittelstaedtJan Mittelstaedt
Funktion des VariogrammsFunktion des Variogramms
Die Punktwolke des empirischen Variogramms wird mitDie Punktwolke des empirischen Variogramms wird mit
einem Modell des theoretischem Variogramms einem Modell des theoretischem Variogramms verglichen.verglichen.
Aus der Ordnung wird das theoretische Variogramm Aus der Ordnung wird das theoretische Variogramm ausgewählt, welches das empirische Variogramm am ausgewählt, welches das empirische Variogramm am besten charakterisiert.besten charakterisiert.
Der Verlauf des empirischen Variogramms wird einer Der Verlauf des empirischen Variogramms wird einer Funktion angepasst.Funktion angepasst.
171710. Januar 200510. Januar 2005 Jan MittelstaedtJan Mittelstaedt
Modelle des VariogrammsModelle des Variogramms
Funktionalisieren durch dasFunktionalisieren durch das
„ „ kleinste Quadrate Verfahren“kleinste Quadrate Verfahren“
3 funktionale Modelle3 funktionale Modelle
• SphärischSphärisch
• ExponentiellExponentiell
• Gauss - ähnlichGauss - ähnlichhttp://ifgivor.uni-muenster.de/vorlesungen/Num_Modellierung/Raum_Interpol/KrigingSemiar_2_Teil.html
181810. Januar 200510. Januar 2005 Jan MittelstaedtJan Mittelstaedt
Kenngrößen des VariogrammsKenngrößen des Variogramms
Range:Range:
Abstand auf der x – AchseAbstand auf der x – Achse
bei dem der Graph den bei dem der Graph den
Schwellwert erreicht.Schwellwert erreicht.
Sill:Sill:
SchwellwertSchwellwert
( Maximum der Funktion )( Maximum der Funktion )
Range
Sill
Nugget
Nugget:Nugget:
Rauschen, entsteht wenn das Rauschen, entsteht wenn das Variogramm nicht durch den Variogramm nicht durch den Nullpunkt geht Nullpunkt geht
y(h)
h
191910. Januar 200510. Januar 2005 Jan MittelstaedtJan Mittelstaedt
Semivariogramm in ArcGISSemivariogramm in ArcGIS
Öffnen des MenüsÖffnen des Menüs
ViewView
Öffnen des MenüsÖffnen des Menüs
ToolbarsToolbars
Haken bei Haken bei
Geostatistical Geostatistical AnalystAnalyst
202010. Januar 200510. Januar 2005 Jan MittelstaedtJan Mittelstaedt
Semivariogramm in ArcGISSemivariogramm in ArcGIS
Klick aufKlick auf
Geostatistical Geostatistical AnalystAnalyst
Wähle MenüWähle Menü
Explore DataExplore Data Dann Untermenü Dann Untermenü
Semivariogramm/Covariance CloudSemivariogramm/Covariance Cloud
auswählenauswählen
212110. Januar 200510. Januar 2005 Jan MittelstaedtJan Mittelstaedt
Semivariogramm in ArcGISSemivariogramm in ArcGIS
Layer undLayer und
Attribute Attribute
auswählenauswählen
222210. Januar 200510. Januar 2005 Jan MittelstaedtJan Mittelstaedt
Semivariogramm in ArcGISSemivariogramm in ArcGIS
Einen Punkt imEinen Punkt im
SemivariogrammSemivariogramm
auswählen.auswählen.
232310. Januar 200510. Januar 2005 Jan MittelstaedtJan Mittelstaedt
Semivariogramm in ArcGISSemivariogramm in ArcGIS
Das entsprechende
Punktepaar wird im
Semivariogramm dargestellt.
242410. Januar 200510. Januar 2005 Jan MittelstaedtJan Mittelstaedt
Aufgabe 1Aufgabe 1
Kopiert aus dem Verzeichnis V:\Jan\Aufgabe1 die beiden Kopiert aus dem Verzeichnis V:\Jan\Aufgabe1 die beiden
shapefile shapefile ca_NO2_pts.shp ca_NO2_pts.shp und und ca_outline.shpca_outline.shp
Erstellt dann ein Semivariogramm und findet mit dessenErstellt dann ein Semivariogramm und findet mit dessen
Hilfe die Punktpaare mit dem kürzesten Abstand und die Hilfe die Punktpaare mit dem kürzesten Abstand und die
Punktpaare mit dem größten Abstand.Punktpaare mit dem größten Abstand.
252510. Januar 200510. Januar 2005 Jan MittelstaedtJan Mittelstaedt
KrigingKriging
Durch das gewichtete Mittel der bekannten NachbarwerteDurch das gewichtete Mittel der bekannten Nachbarwerte
wird ein unbekannter Wert geschätzt.wird ein unbekannter Wert geschätzt.
)()(* 0 ii xzxz
gesuchter Wertgesuchter Wert GewichteGewichte gemessener gemessener WertWert
gemessene Werte müssen durch intrinischen Prozess gemessene Werte müssen durch intrinischen Prozess modelliert worden seienmodelliert worden seien
262610. Januar 200510. Januar 2005 Jan MittelstaedtJan Mittelstaedt
KrigingKriging
Grundlagen sind das geostatistische Modell und das Grundlagen sind das geostatistische Modell und das VariogrammVariogramm
der gesuchte Wert zwischen zwei Zufallsvariablen wird der gesuchte Wert zwischen zwei Zufallsvariablen wird gewichtet geschätztgewichtet geschätzt
Kriging – Schätzer für jeden zu schätzenden Ort neu Kriging – Schätzer für jeden zu schätzenden Ort neu bestimmenbestimmen
272710. Januar 200510. Januar 2005 Jan MittelstaedtJan Mittelstaedt
GewichteGewichte
Schätzfehler im Mittel =Schätzfehler im Mittel = NullNull
00 xFE
Kriging – Varianz des Schätzfehlers sollKriging – Varianz des Schätzfehlers soll minimalminimal sein sein
min0 xFVar
Summe der Gewichte = Summe der Gewichte = 11
1 i
282810. Januar 200510. Januar 2005 Jan MittelstaedtJan Mittelstaedt
Berechnung der GewichteBerechnung der Gewichte
Berechnung der Gewichte nach den Berechnung der Gewichte nach den BLUEBLUE – Anforderungen – Anforderungen( ( bbest est llinear inear uunibased nibased eestimator )stimator )
beste Schätzungbeste Schätzung( minimale Varianz des Schätzfehlers )( minimale Varianz des Schätzfehlers )
LinearitätLinearität( gewogenes Mittel )( gewogenes Mittel )
ErwartungstreuErwartungstreu(Schätzfehler = 0 )(Schätzfehler = 0 )
min* 00 xzxzVar
ii xzxz 0*
0* 00 xzxz
292910. Januar 200510. Januar 2005 Jan MittelstaedtJan Mittelstaedt
Berechnung mit MatrizenBerechnung mit Matrizen
mmnnnnn
n
0
101
1
111
*
011
1
1
Semivariogrammwerte Semivariogrammwerte zwischen allen zwischen allen gemessenen Punkten gemessenen Punkten ( Matrix A )( Matrix A )
Vektor mit den Vektor mit den gesuchten Gewichten gesuchten Gewichten ( Vektor ( Vektor λλ ) )
Semivariogrammwerte zwischen Semivariogrammwerte zwischen den gemessenen Orten und dem den gemessenen Orten und dem zu schätzenden Ort ( Vektor g )zu schätzenden Ort ( Vektor g )
303010. Januar 200510. Januar 2005 Jan MittelstaedtJan Mittelstaedt
LösungLösung
Die Gewichte und die Werte des nicht gemessenen OrtesDie Gewichte und die Werte des nicht gemessenen Ortes
lassen sich durch umstellen der Formel nachlassen sich durch umstellen der Formel nach
gA *1
vorhersagen !vorhersagen !
313110. Januar 200510. Januar 2005 Jan MittelstaedtJan Mittelstaedt
statistische Methodenstatistische Methoden
KrigingKriging
- bezieht sich in einem Datensatz immer nur auf ein Attribut- bezieht sich in einem Datensatz immer nur auf ein Attribut
- verwendet die Autokorrelation- verwendet die Autokorrelation
Co-KrigingCo-Kriging
-- bezieht sich in einem Datensatz auf 2 bis 4 Attributwertebezieht sich in einem Datensatz auf 2 bis 4 Attributwerte
- verwendet neben der Autokorrelation auch die - verwendet neben der Autokorrelation auch die Kreuzkorrelation Kreuzkorrelation
323210. Januar 200510. Januar 2005 Jan MittelstaedtJan Mittelstaedt
Arten des Kriging und Co-KrigingArten des Kriging und Co-Kriging
OrdinaryOrdinary
- das normalerweise Benutzte Verfahren- das normalerweise Benutzte Verfahren
- der zufällige Fehler wird geschätzt- der zufällige Fehler wird geschätzt
SimpleSimple
- dieses Verfahren benutzt kein Variogramm- dieses Verfahren benutzt kein Variogramm
- der zufällige Fehler wird als bekannt angenommen- der zufällige Fehler wird als bekannt angenommen
nicht möglichnicht möglich
UniversalUniversal
- brücksichtigt systematische Folgen der gesuchten - brücksichtigt systematische Folgen der gesuchten WerteWerte
333310. Januar 200510. Januar 2005 Jan MittelstaedtJan Mittelstaedt
Arten des Kriging und Co-KrigingArten des Kriging und Co-Kriging
IndicatorIndicator
- nicht lineares Verfahren- nicht lineares Verfahren
ProbabilityProbability
- Annahme bestimmter Werte- Annahme bestimmter Werte
DisjunctiveDisjunctive
- nichtlineare, verteilungsabhängige Abschätzung von - nichtlineare, verteilungsabhängige Abschätzung von
regionalisierten Variablenregionalisierten Variablen
343410. Januar 200510. Januar 2005 Jan MittelstaedtJan Mittelstaedt
Kriging in ArcGISKriging in ArcGIS
Wähle im Menü Wähle im Menü Geostatistical Geostatistical Analyst und dann Analyst und dann Geostatistical Geostatistical WizardWizard
353510. Januar 200510. Januar 2005 Jan MittelstaedtJan Mittelstaedt
Kriging in ArcGISKriging in ArcGIS
Einstellungen unter Einstellungen unter
Input DataInput Data
und und AttributeAttribute
vornehmenvornehmen
KrigingKriging einstellen und einstellen und
bestätigen durch bestätigen durch NextNext
363610. Januar 200510. Januar 2005 Jan MittelstaedtJan Mittelstaedt
Kriging in ArcGISKriging in ArcGIS
Im Menü dann die Im Menü dann die gewünschte Krigingart gewünschte Krigingart einstellen.einstellen.
Hier als Bsp. Hier als Bsp.
Ordinary KrigingOrdinary Kriging
dann im Untermenü die dann im Untermenü die KartenartKartenart
Prediction MapPrediction Map
Weiter mit Weiter mit NextNext
373710. Januar 200510. Januar 2005 Jan MittelstaedtJan Mittelstaedt
Kriging in ArcGISKriging in ArcGIS
In diesem Fenster wird In diesem Fenster wird die Variogrammart die Variogrammart eingestellteingestellt
Weiter mit Weiter mit NextNext
383810. Januar 200510. Januar 2005 Jan MittelstaedtJan Mittelstaedt
Kriging in ArcGISKriging in ArcGIS
Hier die größe der Hier die größe der Nachbarschaft un Nachbarschaft un deren Gewichtung deren Gewichtung einstelleneinstellen
gesuchter Punktgesuchter Punkt
Weiter mit Weiter mit NextNext
393910. Januar 200510. Januar 2005 Jan MittelstaedtJan Mittelstaedt
Kriging in ArcGISKriging in ArcGIS
In diesem Fenster In diesem Fenster erhält man einen erhält man einen Überblick über die Überblick über die Qualität der SchätzungQualität der Schätzung
Weiter mit Weiter mit NextNext
404010. Januar 200510. Januar 2005 Jan MittelstaedtJan Mittelstaedt
Kriging in ArcGISKriging in ArcGIS
In diesem Fenster In diesem Fenster erscheinen noch mal erscheinen noch mal alle eingestellten Datenalle eingestellten Daten
Vorgang abschließen Vorgang abschließen durch durch OKOK
414110. Januar 200510. Januar 2005 Jan MittelstaedtJan Mittelstaedt
Kriging in ArcGISKriging in ArcGIS
VorhersageVorhersage
Es wird der Layer Es wird der Layer Ordinary Kriging Ordinary Kriging erstellterstellt
424210. Januar 200510. Januar 2005 Jan MittelstaedtJan Mittelstaedt
Kriging in ArcGISKriging in ArcGIS
Erstellen einer Genauigkeitskarte Erstellen einer Genauigkeitskarte zur Vorhersagekartezur Vorhersagekarte
Den Layer Den Layer Ordinary Kriging Ordinary Kriging anklicken und anklicken und dann mit der rechten Maustaste Menü dann mit der rechten Maustaste Menü öffnen. Anschließend das Menü öffnen. Anschließend das Menü Create Create Prediction Standard Error Map Prediction Standard Error Map auswählenauswählen
434310. Januar 200510. Januar 2005 Jan MittelstaedtJan Mittelstaedt
Kriging in ArcGISKriging in ArcGIS
Es wird der Layer Es wird der Layer Ordenary Kriging 2 Ordenary Kriging 2 erstellt mit der erstellt mit der GenauigkeitskarteGenauigkeitskarte
444410. Januar 200510. Januar 2005 Jan MittelstaedtJan Mittelstaedt
Aufgabe 2Aufgabe 2
Kopiert aus dem Verzeichnis V:\Jan\Aufgabe2 die shapefileKopiert aus dem Verzeichnis V:\Jan\Aufgabe2 die shapefile
ca_ozone_pts.shpca_ozone_pts.shp und und ca_outline.shp ca_outline.shp ..
Erstellt eine Kriging – Karte mit dem Attribut FID.Erstellt eine Kriging – Karte mit dem Attribut FID.
Benutzt das Ordinary – Kriging und stellt bei demBenutzt das Ordinary – Kriging und stellt bei dem
Semivariogramm einmal Spherical, Exponential und Semivariogramm einmal Spherical, Exponential und
Gaussian ein.Gaussian ein.
Zudem erstellt zu einer der Karten eine Genauigkeitskarte.Zudem erstellt zu einer der Karten eine Genauigkeitskarte.
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