2. Mengen Unter einer Menge verstehen wir jede Zusammenfassung von bestimmten wohlunterschiedenen...

2. Mengen

Unter einer Menge verstehen wir jede Zusammenfassung von bestimmten wohlunterschiedenen Objekten unserer Anschauung oder unseres Denkens zu einem Ganzen. (G. Cantor, 1895)

x M

M = { a, e, i, o, u }

= { u, e, i, a, o } = { a, e, i, o, u, u, u }

b M

= { 1, 2, 3, ... }

M = { x | x x < 3 }.

M = { x | xx = xx }

M = { x | x2 - 3x + 2 = 0 }

M = { 1, 2 }

M = { x | P(x) }

wo P(x) = "x2 - 3x + 2 = 0"

= { 1, 2, 3, ... }

0 = { 0, 1, 2, 3, ... } , Kardinalzahlen

= { ..., -1, 0, 1, 2, ... }

= { m/n | m n }

= { x | x besitzt Dezimaldarstellung }.

= { x + iy | x, y , i2 = -1 }

A B strikte Inklusion

( x: x A x B) ( x: x B x A)

A A schwache Inklusion

(A B B A) (A = B)

G = { ..., -2, 0, 2, 4, ... } = { x | x/2 }

K = { (x, y) | x, y x2 + y2 = 1 }

S = { (x, y) | (x = 0 y = 0) (x2 + y2 = 1) }

G = { ..., -2, 0, 2, 4, ... } = { x | x/2 }

K = { (x, y) | x, y x2 + y2 = 1 }

S = { (x, y) | (x = 0 y = 0) (x2 + y2 = 1) }

= { (1, 0), (0, 1), (-1, 0), (0, -1) }

G = { ..., -2, 0, 2, 4, ... } = { x | x/2 }

K = { (x, y) | x, y x2 + y2 = 1 }

S = { (x, y) | (x = 0 y = 0) (x2 + y2 = 1) }

= { (1, 0), (0, 1), (-1, 0), (0, -1) }

= { }

M

= { x | x x }

, A, B, ..., M, ...,

A B = { x | x A x B }

G = { ..., -2, 0, 2, 4, ... } = { x | x/2 }

K = { (x, y) | x, y x2 + y2 = 1 }

S = { (x, y) | (x = 0 y = 0) (x2 + y2 = 1) }

= { (1, 0), (0, 1), (-1, 0), (0, -1) }

= { }

M

= { x | x x }

, A, B, ..., M, ...,

A B = { x | x A x B }

A B = { x | x A x B }

G = { ..., -2, 0, 2, 4, ... } = { x | x/2 }

K = { (x, y) | x, y x2 + y2 = 1 }

S = { (x, y) | (x = 0 y = 0) (x2 + y2 = 1) }

= { (1, 0), (0, 1), (-1, 0), (0, -1) }

= { }

M

= { x | x x }

, A, B, ..., M, ...,

A B = { x | x A x B }

A B = { x | x A x B }1 - 2 = - 1

{ 1 } \ { 1, 2 } = A \ B = { x | x A x B }

A B = { (x, y) | x A y B }

{ a, b, c } { 1, 2 } = { (a, 1), (b, 1), (c, 1), (a, 2), (b, 2), (c, 2) }

A B C besteht aus geordneten Tripeln(a, b, c) wobei a A, b B, c C.

Anstelle von schreibt man auch einfach 3 .

n n-dimensionaler euklidischen Raum, dessen Elemente die n-Tupel (x1, x2, x3, ..., xn) sind:

n = { (x1, x2, x3, ..., xn) | xk , 1 k n }

Kommutativität

A, B: A B = B A

A, B: A B = B A

A, B: A \ B B \ A

A, B: A B B A

Assoziativität

A, B, C: (A B) C = A (B C) = A B C

A, B, C: (A B) C = A (B C) = A B C

A, B, C:(A B) C A (B C)

A, B, C: A (B C) = (A B) (A C) (2.1)

A, B, C: A (B C) = (A B) (A C) (2.2)

Das Komplement A* einer Menge A (bezüglich )

A* = { x | x x A }

A A* =

A A* =

A = A**

Sätze von de Morgan:

(A B)* = A* B* (2.3)

(A B)* = A* B* (2.4)

Augustus De Morgan

2.1 Seien A = { 1, a, b, c } und B = { 1, 2, 3, c }. Bilden Sie den Durchschnitt A B, die Vereinigung A B und die Differenz A \ B sowie B \ A.

2.2 Finden Sie ein Beispiel für (A B) C A (B C).

2.3 Für die nicht leere Menge M prüfe man durch logische Herleitung und mit Mengendiagrammen die Sätze:

M M = M (Idempotenzgesetz)M M = M (Idempotenzgesetz)M \ M = M = M = M ( ist neutrales Element der Schnittbildung)M = M ( ist neutrales Element der Vereinigung)M = A (A B) = A (Absorptionsgesetz)A (A B) = A (Absorptionsgesetz)

2.4 Vereinfachen Sie:(A (B A))(A B) (A B*) (A* B) (A B)(A B*)* (A* B)*(((A (B C)) B) \ C) ((A B A*) \ B). [Hinweis: A \ B = A B*.]

2.5 Führt man in einer logischen Aussage die folgenden Ersetzungen bzw. ihre Umkehrungen durch: , und M M* (einschließlich ), so erhält man die duale Aussage. Beispiel: M = ist dual zu M* = . Bilden Sie die dualen Aussagen zuA (B A) = AM = MM M* = und prüfen Sie deren Gültigkeit.

2.6 A = { 1, a } und B = { 1, 2 }. Bilden Sie das Produkt A B sowie das Produkt B A.