2. Stabilitätsprobleme und Theorie II. Ordnung · kkk II I g =+ k I: Elastische...

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2. Stabilitätsprobleme und Theorie II. Ordnung

2.3 Elementsteifigkeitsmatrix und Lastvektor nach Th. II. Ordnung

2.3.1 Steifigkeitsmatrix und Grundformeln

2.3.2 Lastvektor

2.3.3 Koordinatentransformation

Baustatik (Master) – WS 2015/2016

LEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK

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Baustatik (Master) – WS 2015/2016

LEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK

2.3.1 Steifigkeitsmatrix und Grundformeln

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iT

kT

iu kuiw

kwi

k

Unverformtes und verformtes Element

iS

kS

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,

i i

i i

i i

k k

k k

k k

S uT wM

s dS uT wM

s k d

Elementsteifigkeitsbeziehung:

k : Elementsteifigkeitsmatrix

: Stabendkraftvektors

: Stabendverschiebungsvektord

Elementsteifigkeitsbeziehung

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Elementsteifigkeitsbeziehung

• Der Zusammenhang zwischen den Stabendkräften und denStabendverformungen wird durch die Elementsteifigkeitsmatrixbeschrieben.

• Die Elementsteifigkeitsmatrix muss für ein verformtes Elementhergeleitet werden.

• Die Elementsteifigkeitsmatrix kann durch zwei unterschiedlicheMethoden hergeleitet werden:1) Herleitung mit der homogenen Lösung der Differential-

gleichung.2) Herleitung mit den Grundformeln (Tabelle für Stabendkräfte).

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Grundelement

Grundelement

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Herleitung mit der homogenen Lösung der Dgl

1

2

3

4

1 0 1 00 / 0 /10 / ( / ) ( / )

i

i

k

k

w CCl l

w Cc sCl l s l c

d

C

A

d A C 1C A d

Beispiel: Grundelement mit EA

Aus der homogenen Lösung der Dgl (vgl. Abschnitt 2.2):

0x

x l

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1

2

3

4

0 / 0 00 0 1 00 / 0 00 0

i

i

k

k

T ClM C

ST ClM Cc s

Ähnlich für den Stabendkraftvektor:

s C

B

s B C 1C A d

1s B A d k d

Steifigkeitsmatrix: 1k B A

Herleitung mit der homogenen Lösung der Dgl

0x

x l

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Herleitung mit den Grundformeln

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Steifigkeitsmatrix für Grundelement

iT

kT

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S

lEI

Wert

S als Druckkraft S als Zugkraft

A

sin cos

2 1 cos sin

sinh cosh

2 cosh 1 sinh

B

sin

2 1 cos sin

sinh

2 cosh 1 sinh

D A B

2 1 cos2 1 cos sin

2 1 cosh2 cosh 1 sinh

C 2 sin

sin cos

2 sinh

cosh sinh

A B 1 cos

sin

1 coshsinh

V 3

2 1 cos sin12

sin

3

2 1 cosh sinh12

sinh

Abkürzungen nach Chwalla

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• Der Einfluss der Stabkrümmung wird in den Termen A´ , B´ und D´berücksichtigt.

• Der Einfluss der Stabverdrehung (P--Effekt) wird im Anteil S/lberücksichtigt.

• S bringt einen Beitrag zu Ti und Tk durch den P--Effekt.• Die Druckkraft S wirkt steifigkeitsmindernd, während die Zugkraft

versteifend wirkt.• Es gilt die Beziehung:

2 2

2 ´ ´D S El EI l

• Theorie I. Ordnung:

0 0 0 0lim ´ 4, lim ´ 2, lim ´ 3, lim ´ 6 A B C D

0

Bemerkungen

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Aufspaltung der Steifigkeitsmatrix

Um den Einfluss der Stablängskraft S auf einfache Weise zu analysieren, wird dieSteifigkeitsmatrix aufgespalten:

II I g= +k k kI : Elastische Steifigkeitsmatrix, Steifigkeitsmatrix nach Th. I. Ordnungk

g : Geometrische Steifigkeitsmatrix k

Die obige Aufspaltung wird ermöglicht durch die folgenden Reihenentwicklungenfür klein :

2 2 2

2 2

2 1 1´ 4 , ´ 2 , ´ 3 ,15 30 51 6´ 6 , ´ 12

10 5

A B C

D E

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Einsetzen der obigen Reihenentwicklungen in die exakte Steifigkeitsmatrix liefertdie elastische Steifigkeitsmatrix kI und die geometrische Steifigkeitsmatrix kg.

Die obigen Reihenentwicklungen liefern eine gute Näherung für 2,5!

Aufspaltung der Steifigkeitsmatrix

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2 22 2

II

22

0 0 0 0 0 00 0 0 06 6012 6 12 60 5 10 5 10

26 04 0 2 15 10 300 0 0

0 0 6symm.5 1012 6symm. 2

154

EA EAEI EI l l

l ll ll l l

EI Sl

l lEAll

lll

k

IElastische Steifigkeitsmatrix k gGeometrische Steifigkeitsmatrix k

Bedingung: 2,5

Genäherte Steifigkeitsmatrix für Grundelement

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Randmomente

´ ´ ´

´ ´ ´

k ii i k

k ik i k

w wEIM A B Dl l

w wEIM B A Dl l

Grundelement

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Transversalkräfte

i k k ii

i k k ik

M M w wT Sl l

M M w wT Sl l

iT

kT

S

SiM

kM

i k k ii k

M M w wT T Sl l

Zug

Druck

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2.3.2 Lastvektor

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Der Lastvektor enthält die Stabendschnittgrößen (Randschnittgrößen) infolgeeiner vorgegebenen Elementbelastung. Die Stabendschnittgrößen sind für einengeometrisch bestimmten Zustand bei einer vorgegebenen Elementbelastung zubestimmen.

Beispiel: Grundelement unter einer konstanten Streckenlast

Lastvektor

0iM 0

kMS S

0iT 0

kT

p

0

00

0

0

i

i

k

k

TM

sTM

Lastvektor

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Lastvektor

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0

200

0

0

2

1

cot 22

12

cot 22

i

i

k

k

T lM plsTM l

Lastvektor

Exakt:

02

00

0

02

111

6 6012

116 60

i

i

k

k

T lM plsTM l

Angenähert:

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2.3.3 Koordinatentransformation

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Transformationsmatrix

Koordinatentransformation

X

Z

x

z

,Y y

T

1 T

; ;

(Es gilt: !)G L GL

X Xx xz zy y

Z ZY Y

t t

t t

( , , ) : globales Koordinatensyste( , , ) : lokales Koordinatensys

mtemx y z

X Y Z

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Koordinatentransformation

L L

L

G

GLG

TG

T

;

;

s s

d

T T

T T

s s

d dd

G

LT

TL G

L

L L

L

G

G

G G G

k

Tk

s

T

T k T

s

d

s d dk

s d

d

TG G LG G k k T kd Ts

G

L

: globale Größe: lokale Größe

( )( )

Globale Elementsteifigkeitsmatrix

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Transformationsmatrix T:

Transponierte Transformationsmatrix TT:

Koordinatentransformation

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Globale Elementsteifigkeitsmatrix

G k