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Die Modellierung des schönen Scheins
www.math.unibas.ch/~walser
Hans Walser
Die Modellierung des schönen Scheins
Die durchhängende Absperrkette
Die Modellierung des schönen ScheinsQuadratische Funktion y = ax2 + bx + c
Die Modellierung des schönen ScheinsQuadratische Funktion
Funktionsgrafen sind schöne Kurven.Nicht jede schöne Kurve ist ein Funktionsgraf.
y = ax2 + bx + c
Die Modellierung des schönen ScheinsKreis
Die Modellierung des schönen Scheins
Die Modellierung des schönen Scheins
Realität zu kompliziert Didaktische Vereinfachung
Die Modellierung des schönen Scheins
Realität zu kompliziert
Didaktische Vereinfachung:
Wenn Lehrer versuchen, das „Leben“ ins Schulzimmer zu bringen, wird eszur Schulaufgabe.
Abituraufgabe 2009
Die Modellierung des schönen Scheins
Eine Computermaus ist gut geformt,
wenn der Umriss etwa folgende Form hat:
Die Modellierung des schönen Scheins
Eine Computermaus ist gut geformt,
wenn der Umriss etwa folgende Form hat:
Abituraufgabe 2009
Klartext: Kurve durch vier Punkte!Reflex: Kubische Parabel
Durch 4 Punkte eindeutig!
Klartext: Kurve durch vier Punkte!Reflex: Kubische Parabel
Klartext: Kurve durch vier Punkte!Reflex: Kubische Parabel
Klartext: Kurve durch vier Punkte!Reflex: Kubische Parabel
Klartext: Kurve durch vier Punkte!Reflex: Kubische Parabel
Klartext: Kurve durch vier Punkte!Reflex: Kubische Parabel
Klartext: Kurve durch vier Punkte!Reflex: Kubische Parabel
Klartext: Kurve durch vier Punkte!Reflex: Kubische Parabel
Klartext: Kurve durch vier Punkte!Reflex: Kubische Parabel
Klartext: Kurve durch vier Punkte!Neu: cubic Spline
Klartext: Kurve durch vier Punkte!Früher: Kubische Parabel
Klartext: Kurve durch vier Punkte!Neu: cubic Spline Not A Knot
f1 x( )f2 x( )
f3 x( )
Klartext: Kurve durch vier Punkte!Neu: cubic Spline Not A Knot
f1 x( ), f2 x( ), f3 x( ) : drei Polynomfunktionen 3. Grades
3 4 = 12 Koeffizienten
f1 x( )f2 x( )
f3 x( )
Klartext: Kurve durch vier Punkte!Neu: cubic Spline Not A Knot
10 Bedingungen
f1 x( )f2 x( )
f3 x( )
f1 x1( ) = y1 f1 x2( ) = y2f2 x2( ) = y2f1 x2( ) = f2 x2( )
f1 x2( ) = f2 x2( )
f2 x3( ) = y3f3 x3( ) = y3f2 x3( ) = f3 x3( )
f2 x3( ) = f3 x3( )
f3 x4( ) = y4
Klartext: Kurve durch vier Punkte!Neu: cubic Spline Not A Knot
Gleiche „Steigung“
Gleiche „Krümmung“
12 Bedingungenf1 x2( ) = f2 x2( ) f2 x3( ) = f3 x3( )
f1 x( )f2 x( )
f3 x( )
f1 x1( ) = y1 f1 x2( ) = y2f2 x2( ) = y2f1 x2( ) = f2 x2( )
f1 x2( ) = f2 x2( )
f2 x3( ) = y3f3 x3( ) = y3f2 x3( ) = f3 x3( )
f2 x3( ) = f3 x3( )
f3 x4( ) = y4
Klartext: Kurve durch vier Punkte!Neu: cubic Spline Not A Knot
12 Bedingungen
f1 x1( ) = 0
Klartext: Kurve durch vier Punkte!Neu: cubic Spline Natural
f1 x( ) f2 x( )f3 x( )
f1 x1( ) = y1 f1 x2( ) = y2f2 x2( ) = y2f1 x2( ) = f2 x2( )
f1 x2( ) = f2 x2( )
f2 x3( ) = y3f3 x3( ) = y3f2 x3( ) = f3 x3( )
f2 x3( ) = f3 x3( )
f3 x4( ) = y4f3 x4( ) = 0
Klartext: Kurve durch vier Punkte!Neu: cubic Spline Natural
Zwischenspiel: Die Sache mit der Krümmung
http://www.uni-protokolle.de/foren/viewt/152775,0.html
Die zweite Ableitung ist die Krümmung einer
Funktion f(x) an der Stelle x.
f x( ) = x2
f x( ) = 2x
f x( ) = 2
Parabel
Konstante Krümmung: Kreis?
Zwischenspiel: Die Sache mit der Krümmung
Steigung und Winkel
18% 18°
Steigung: Stützdreiecke
Gleichmäßig wachsende Steigung
Steigung: Stützdreiecke
Gleichmäßig wachsende Steigung
Steigung: Stützdreiecke
Gleichmäßig wachsende Steigung
Parabel
Steigung: Stützdreiecke
Beschleunigt wachsende Steigung
Steigung: Stützdreiecke
Beschleunigt wachsende Steigung
kubische Parabel
Richtung: Winkelsektoren
Gleichmäßig wachsende Richtung
Richtung: Winkelsektoren
Gleichmäßig wachsende Richtung
Richtung: Winkelsektoren
Gleichmäßig wachsende Richtung
Kreis
Richtung: Winkelsektoren
Beschleunigt wachsende Richtung
Richtung: Winkelsektoren
Beschleunigt wachsende Richtung
Richtung: Winkelsektoren
Beschleunigt wachsende Richtung
Klothoide
Richtung: Winkelsektoren
Beschleunigt wachsende Richtung
Klothoide
Richtung: Winkelsektoren
Beschleunigt wachsende Richtung
Klothoide
Volumen?
Abituraufgabe 2009
2 4 6 8 100123
6x
z
y
Bestimmtes Integral
„Fläche unter der Kurve“: Intelligenter Blödsinn
s = v t( )dta
b
„Fläche unter der Kurve“: Intelligenter Blödsinn
Eine Weglänge kann keine Fläche sein.
„Fläche unter der Kurve“: Intelligenter Blödsinn
Eine Weglänge kann keine Fläche sein.
Echte Modellierung
s = v t( )dta
bv t( ) – Diagramm
„Fläche unter der Kurve“: Intelligenter Blödsinn
Für Flächenberechnungungeeignet
Geometrie, Grafik, Design, Zeichnung, Bild
Koordinatenachsen gleichberechtigt, gleich skaliert- Parameterdarstellungen- Bézier-Kurven- Klothoiden- Spline-Kurven
Funktionen, funktionaler Zusammenhang
Funktionsgraf / Diagramm als VisualisierungInput: x-Achse, Output: y-Achse, Skalierung freiechte ModellierungSpline-Funktionen (Interpolation)
Bézier-Kurven zweiten Grades (Parabeln)
Bézier-Kurven dritten Grades (keine kubische Parabeln)Vier Stützpunkte
Bézier-Kurven dritten Grades (keine kubische Parabeln)Quadratische Parabel links
Bézier-Kurven dritten Grades (keine kubische Parabeln)Quadratische Parabel links und rechts
Bézier-Kurven dritten Grades (keine kubische Parabeln)Sehnen mit Endpunkten auf den Parabeln
Bézier-Kurven dritten Grades (keine kubische Parabeln)Bézier-Kurve
Bézier-Kurven Casteljau-Algorithmus Schieber
Bézier-Kurven Casteljau-Algorithmus Schieber1
10
Bézier-Kurven Casteljau-Algorithmus Schieber2
10
Bézier-Kurven Casteljau-Algorithmus Schieber
Bézier-Kurven Casteljau-Algorithmus Schieber
0 1
p0 1 t( ) + p1t
p1 1 t( ) + p2t
p2 1 t( ) + p3t
p0
p1
p2
p3
Bézier-Kurven Casteljau-Algorithmus Schieber
0 1
p0 1 t( )2 + 2p1 1 t( )t + p2t
2 p1 1 t( )2 + 2p2 1 t( )t + p3t
2
p0 1 t( ) + p1t
p1 1 t( ) + p2t
p2 1 t( ) + p3t
p0
p1
p2
p3
Bézier-Kurven Casteljau-Algorithmus Schieber
x t( ) = p0 1 t( )3 + 3p1 1 t( )2 t + 3p2 1 t( )t2 + p3t3
= k3( ) pk 1 t( )3 k t k
k=0
3
0 1
p0 1 t( ) + p1t
p1 1 t( ) + p2t
p2 1 t( ) + p3t
p0
p1
p2
p3
p0 1 t( )2 + 2p1 1 t( )t + p2t
2 p1 1 t( )2 + 2p2 1 t( )t + p3t
2
Bézier-Kurven Casteljau-Algorithmus Halbzeit
Bézier-Kurven Casteljau-Algorithmus Schieber
Bézier-Kurven Casteljau-Algorithmus Schieber
Bézier-Kurven Casteljau-Algorithmus Schieber
Bézier-Kurven Casteljau-Algorithmus Schieber
Bézier-Kurven Casteljau-Algorithmus Schieber
Bézier-Kurven dritten Grades im Raum
Bézier-KurvenNostalgie
Pierre Etienne Bézier
Renault
Paul de Faget de Casteljau
Citroën
Wong, Baoswan Dzung: Bézierkurven gezeichnet und gerechnet.
Ein elementarer Zugang und Anwendungen.
Zürich: Orell Füssli 2003. ISBN 3-280-04021-3
Großvaters Eisenbahn-AnlageNostalgie
Gefahrenpunkt
Großvaters Eisenbahn-AnlageNostalgie
KlothoideLinear zunehmende Krümmung
Gefahrenpunkt?
Klothoidenbögen
Klothoidenbögen
Ende
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