Ein Vortrag von Christine Reiber am 04.12.2006 Proseminar für Lehramtskandidaten WS 2006/2007

Ein Vortrag von Christine Reiber am 04.12.2006

Proseminar für Lehramtskandidaten WS 2006/2007

Altes Rathaus in Leipzig

Da Vinci „Mona Lisa“

Raffael „Sixtinische Madonna“

Der Goldene Schnitt

Proseminar für Lehramtskandidaten WS 2006/2007 Christine Reiber

04.12.2006

Gliederung des Vortrags

1. Einführung

2. Definition

3. Historisches

4. Konstruktion

5. Fraktale

5.1. Der Goldene Baum

5.2. Goldenes Dreiecksfraktal und Goldenes Quadratfraktal

5.3. Dimension des Fraktals

6. Regelmäßiges Fünfeck

6.1. Konstruktion

6.2. Goldenes Dreieck

6.3. Goldener Schnitt im regelmäßigen Fünfeck

6.4. Falten

7. Fibonacci-Zahlen

7.1. Linearisierung von Potenzen des Goldenen Schnittes

7.2. Zusammenhang mit dem Goldenen Schnitt

8. Goldener Schnitt in anderen Bereichen

8.1. Architektur

8.2. Kunst

8.3. Körper des Menschen

8.4. Natur

9. Der Goldene Schnitt in der Schule

Der Goldene Schnitt

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2. Definition

„Eine Strecke sei im Verhältnis des Goldenen Schnittes geteilt, wenn sich die beiden Teilstücke zueinander verhalten wie das längere Teilstück zur ganzen Strecke.“

• A Cx yB

1

yx

x

x

y

Der Goldene Schnitt

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2. Definition

1

1 x

x

x

011 22 xxxx

618,02

511

x

618,1

2

512x

382,02

53

y

• spiegelt das Verhältnis kleinere/größere Seite (y/x) wider

• Der Kehrwert bestimmt das Verhältnis größere/kleinere Strecke (x/y)

618,02

51

618,12

511

Der Goldene Schnitt

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2. Definition

• A Cx y

B

1

1

1

x

x

x 012 xx

2

511x

2

512x ;y=1:

Zur Wiederholung:

x+y=1:1

1 x

x

x

012 xx

2

511x ;

2

512x

Der Goldene Schnitt

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2. Definition

618,02

51

618,1

2

511

• und sind die wichtigen Größen

beim Goldenen Schnitt.

• Es handelt sich dabei um irrationale Zahlen.

• Der Goldene Schnitt ist eine Stetige Teilung, d.h. er ist beliebig oft wiederholbar

Der Goldene Schnitt

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3. Historisches

• Um 450 v. Chr.: Hippasos von Metapont (Mitglied des Pythagoreer-Bundes) Untersuchungen am regelmäßigen Fünfeck: Verhältnis Kantenlänge zu Diagonale nicht als Quotient von ganzen Zahlen darstellbar• Erste genaue Beschreibung des Goldenen Schnittes durch

Euklid (ca. 340 v. Chr.):

„proportio habens medium et duo extrema“

Teilung im inneren und äußeren VerhältnisEuklid (365-300 v.Chr.)

• Ca. 1509: Luca Pacioli di Borgo San Sepolcro:

„De Divina Proportione“ – Göttliche Teilung/Göttliche Proportion

Luca Pacioli (1445-1514)• Martin Ohm führt 1835 den Begriff „Goldener Schnitt“ ein

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4. Konstruktion

P • Qs

• gesucht: Teilpunkt T, der im Verhältnis des Goldenen Schnittes teilt

• Gleichung:

PQ

yx

x

x

y

s

x

x

xs

T ?

x y

22 ssxx

22

22

22

ss

ssxx

22

2

22

ss

sx

• quadratische Ergänzung:

• Konstruktion mit Hilfe des Satz des Pythagoras

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4. Konstruktion

Um und ablesen zu können:

• Für s=1 und s/2=1/2 ergibt die Hypotenuse

2

5

2

11

2

22

22

s

s

2

15

2

1

2

5und

2

15

2

1

2

5

• Addieren bzw. Subtrahieren des Kreisradius:

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5. Fraktale

Zur Wiederholung:

Fraktale sind Figuren, die Selbstähnlichkeiten aufweisen, das heißt bei denen Teilfiguren eine verkleinerte Kopie der Gesamtfigur sind.

5.1. Der Goldene Baum

• Haupteigenschaft vom Baumfraktal: Verzweigung

Baumfraktal mit Stammlänge 1 und Verkleinerungsfaktor f=1/2

a) Ausgangslage; b) Fraktal

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5. Fraktale

5.1. Der Goldene Baum

• Verkleinerungsfaktor so wählen, dass keine Zwischenräume offen bleiben, aber Äste sich nicht überlappen

...)30cos()30cos()30cos()30cos( 543 ffff

f

ffffffff

1

...)1(...3

23543

011 22 ffff

-> positive Lösung: 1f

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5. Fraktale

5.1. Der Goldene Baum

Der Goldene Baum mit dem Verkleinerungsfaktor f=ρ

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5. Fraktale

5.2. Goldenes Dreiecksfraktal und Goldenes Quadratfraktal

Goldenes Dreiecksfraktal mit f=ρ

Goldenes Quadratfraktal mit f=ρ

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5. Fraktale

5.3. Dimension des Fraktals

Halbieren der Seitenlänge führt zu Teilquadraten

224328

D

fn

1

)log(

)log(

1log

)log(

f

n

f

nD

Bei einem Würfel dann Teilwürfel

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5. Fraktale

5.3. Dimension des Fraktals

Dimension des Goldenen Baumes:

Verkleinerungsfaktor:

1f

D2

440,1)log(

)2log(

D

Dimension ist irrational

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6. Regelmäßiges Fünfeck

6.1. Konstruktion

Spitzes Goldenes Dreieckmit den Basiswinkeln 72° und dem

Spitzenwinkel 36°

• Winkelhalbierende eines Basiswinkels trennt vom ganzen Dreieck ABC ein dazu ähnliches Dreieck DAB ab

• Restdreieck BCD: Stumpfes Goldenes Dreieck

Setzt man a=1, ergibt sich durch Ähnlichkeit von ABC und DAB:

c

cc 1

1

012 cc

1c

6.2. Goldenes Dreieck

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6. Regelmäßiges Fünfeck

6.3. Goldener Schnitt im regelmäßigen Fünfeck

Regelmäßiges Fünfeck – zusammengesetzt aus einem spitzen und zwei stumpfen

Goldenen Dreiecken

Seiten und Diagonalen stehen im Verhältnis des

Goldenen Schnittes

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6. Regelmäßiges Fünfeck

6.3. Goldener Schnitt im regelmäßigen Fünfeck

Außerdem gilt:

Zwei Diagonalen, die sich nicht in einer Ecke des Fünfecks schneiden, teilen einander im Goldenen Schnitt.

Für den Beweis benötigen wir folgende Merkmale eines regelmäßigen Fünfecks:

a) Die Größe jedes Innenwinkels ist 108°

b) Alle Diagonalen haben dieselbe Länge

c) Jede Seite ist parallel zu der ihr „gegenüberliegenden“ Diagonalen

Q ist Schnittpunkt der Diagonalen und

Strahlensatz:

31PP 52PP

53

21

3

1

PP

PP

QP

QP

Mit und :5421 PPPP 3153 PPPP

31

54

3

1

PP

PP

QP

QP

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6. Regelmäßiges Fünfeck

6.3. Goldener Schnitt im regelmäßigen Fünfeck

31

54

3

1

PP

PP

QP

QP

zeigen, dass ein Parallelogramm ist

Merkmal c): Seite und „gegenüberliegende“ Diagonale sind paralell

354 QPPP

543 PPQP

354 QPPP

Somit folgt:

31

3

3

1

PP

QP

QP

QP

Parallelogramm und es gilt:

Bleibt zu zeigen, dass gilt:

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7. Fibonacci-Zahlen

7.1. Linearisierung von Potenzen des Goldenen Schnittes

12 xx

12

12123

Heranmultiplizieren von :

Allgemein folgt durch Multiplizieren mit :

nnnn 12

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7. Fibonacci-Zahlen

7.1. Linearisierung von Potenzen des Goldenen Schnittes

1 nnn aa

sind die Fibonacci-Zahlen, für sie gilt:

na

,...4,3,2n

nnn aaa 12

mit und11 a 12 a

Analog:1)()( 2

1)()( nnn aa ,...4,3,2n

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7. Fibonacci-Zahlen

7.2. Zusammenhang mit dem Goldenen Schnitt

Mit Hilfe der Linearisierungsformeln können wir eine explizite Darstellung der Fibonacci-Folge bestimmen:

)()()( 11 nnnnnnn aaaaa

Mit :5

nnna )(

5

1

nn

na 2

51

2

51

5

1

Formel von Binet

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7. Fibonacci-Zahlen

7.2. Zusammenhang mit dem Goldenen Schnitt

n

n

nn

nn

n

n

a

a

1)(

)(

1

111

Mit und somit und für :1

01

n

0

n

n

11

1

1 nn

n

n

n

a

a

Goldener Schnitt kann durch den Quotienten zweier aufeinanderfolgenden Fibonacci- Zahlen angenähert werden

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8. Goldener Schnitt in anderen Bereichen

8.1. Architektur

Altes Rathaus in Leipzig

Turm teilt die Vorderfront des Rathauses im Goldenen Schnitt

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8. Goldener Schnitt in anderen Bereichen

8.2. Kunst

Raffaels „Sixtinische Madonna“

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8. Goldener Schnitt in anderen Bereichen

8.2. Kunst

Leonardo da Vincis „Mona Lisa“

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8. Goldener Schnitt in anderen Bereichen

8.3. Körper des Menschen

Leonardo da Vinci: Leonardo da Vinci: Ästhetische Proportionen des MenschenÄsthetische Proportionen des Menschen, z.B. teilt der , z.B. teilt der Nabel den Menschen im goldenen SchnittNabel den Menschen im goldenen Schnitt

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8. Goldener Schnitt in anderen Bereichen

8.4. Natur

SonnenblumeSonnenblume

Blütenstand nach dem Goldenen Blütenstand nach dem Goldenen

Schnitt angeordnetSchnitt angeordnet

→ → optimale Nutzung der optimale Nutzung der

SonnenstrahlenSonnenstrahlen

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9. Der Goldene Schnitt in der Schule

• In der 9. Klasse als „Mathematische Exkursion“ (Lambacher Schweizer)

• Im Lehrplan der 9.Klasse:

Reelle Zahlen (irrationale Zahlen)

Satz des Pythagoras

Strahlensätze

Quadratische Gleichungen

Ähnliche Figuren

Verschiedene Themen des Lehrplans werden im „Goldenen Schnitt“ verarbeitetAnschauliche Verwendung der gelernten Theorie