Eine Bemerkung über kubische Einheiten

Yol. XXVII, 1976 593

Eine Bemerkung fiber kubische Einheiten

Von

1%A~cz H~TV.R-KocH*)

1. Sei K ein einfach h - - r reeller kubischer ZahlkSrper mit Diskriminante D ~ 0, /2----Q(VD) und N : K / 2 der zu K gehSrige NormalkSrper. Sei ~ der erzeugende Automorphismus yon N//2 und 7 der erzeugende Automorphismus yon iV~K; dann ist ~a ~_ 72 =_ 1, ~ T = 7 ~-1 und (~, 7} die Galoisgruppe yon N / ~ . Es seien K ' ~- K ~ und K'" ~ K ~ die Konjugierten yon K in iV; fiir x e N sei x' : x ~ und x" -~ x ~

Fiir einen algebraischen ZahlkSrper k sei E~ die Einheitengruppe und W~ die Ein- heitswurzelgruppe yon k; dann ist WE ~ ( - - 1} und WN = Wg. Sei s > 1 die Grundeinheit yon K ; dann ist e' die yon K ' , s" die yon K " , s s ' s " : . A f K / ~ ( e ) = 1

u n d EK EK" EK" EO : (~, ~'} : W~(~ , s'~ WN. Sei r ----- [E~r : EK EK, EK, , Eo] : [ E ~ / W ~ : ( s , s ' } Wzq/W~]; dann ist entweder r = 1

oder r ~-3 (vgl. [1], [3], [5], [6], [7]). Bei Berwick [3] finder sich dariiber hinaus das folgende Kri ter ium : I s t K ~ -~ (~-), so ist genau dann r----3, wenn gilt:

(PF) Die Gleichung m s : fla ist 15sbar m i t m e 1~ und f le K x.

Barrucand und Cohn haben in [1] und [2] die Bedingung (PF) (yon ihnen ,,Principal

1%ctorization" genannt) ffir reine kubische KSrper K : 0 (~a) genauer untersucht und bewiesen, dab sie ffir r ~- 3 zwar hinreichend, aber nicht notwendig ist (z. B. ist

Q (~fT-) ein Gegenbeispiel). Allgemein gilt:

Satz 1. a) E s ist entweder r ~ 1 oder r--- 3 ; i m Fal le r-= 1 ist {s, s ' } ein Grund-

e inhei tensys tem yon • . 8 t

b) Genau dann ist r -~ 3, wenn die Gleichung - - = ~l . ~3 mi t ~, e N und i e {0, 1, 2} B

- - 1 3 E i n h e i t s w u r z e l ; i s t / 2 ~ O ( V _ 3 ) , + V 16sbar is t ~ - - ist eine p r i m i t i v e dritte

so ist nati ir l ich stets i -~ O); dann ist { s, y } ein Grundeinhei tensys tem yon N . $

I m 1%11e eines reinen kubischen KSrpers K ~- ~ (~/a-) wurde Satz 1 in [1] bewiesen. In [2] wurde die Gleichung

*) Diese Arbeit entstand im Rahmen eines durch das Land l~ordrhein-Westfalen gefSrderten Forschungsvorhabens ,,Explizite Theorie spezieller Typen algebraischer Zahlk6rper".

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594 F. HALTER-KOCH ARCH. MATH.

(*) - - @ ~ - 7 3 ( : y e N , i = 0, 1,2) g

fiir re ine kubisehe K 6 r p e r s tud ie r t ; dabe i wurden die folgenden 4 :F~lle un te r seh ieden :

I . (*) i s t unl6sbar . D a n n is t r = 1 und (PF) gi l t n ieht .

IX. (*) i s t 16sbar m i t i = 0 u n d (PF) gi l t nicht . Dann is t r = 3.

I I I . (*) is t 16sbar m i t i ----- 0 und es gi l t (PF) . Dann is t r ---- 3.

IV. (*) is t 16sbar m i t i # 0 . D a n n is t r = 3, aber (PF) gi l t n ieht .

F i i r bel iebige einfach-reel le kubisehe K S r p e r K h~ngen (PF) u n d (*) wie folgt zu sammen :

sa t z 2. (PF) gilt genau dann , wenn (*) mi t i = 0 16sbar ist, d.h. , w e n n - - e N3. 8

Aus Satz 2 folgt nun u n m i t t e l b a r :

Korol la r . a) Der Barrucand-Cohnsche Fal l I I kann nicht au/treten.

b) I s t Ifi lcein reiner kubischer K6rper (d. h., #2 =~ q~ ( ~ - - ~ ) ) , so ist genau dann r = 3, w e n n (PF) gilt (also s t immt /iir diesen _Fall das Berwicksche _Resultat).

2. Zum Beweis yon Sa tz 1 sei e in Grunde inhe i t ensys t em {~1, 72} yon N so gew~hlt , dab e - ~ , s ' - ~l b ~ rood WN m i t a, b, c e N und r ---- a c. D a n n is t

J ~ N / K ' (8 ) = ~ e " - - 1 , -- X~ /K" (~1) a m o d WK,,

B

also a = 1 u n d s ' = e b- ~ rood WN. W e g e n

1 W~v/g (e') .= s' e" -= = e 2b .A/N/K (~e)c rood WK,

8

WN/g , (s') = e '~ ~ e '-b W'N/K(~2) c rood WK,

is t c l ( 2 b q- 1) u n d c [ ( 2 - t - b), also c [ 3 u n d d a m i t c = r = 1 oder c = r---- 3.

I s t c = r ---- 1, so is t - - - 75-1 �9 V~ rood W2v, also is t e__ keine d r i t t e Potenz rood W

u n d dahe r (*) unlSsbar ; {e, e'} is t Grunde inhe i t ensys t em yon iV.

I s t c = r ---- 3, so i s t - - --- ~ - l . ~ rood W2v und b - - I -~ 2 H- b -- 0 rood 3 ; also

is t - - d r i t t e Potenz modW2v und (*) 16sbar; {s, :y} i s t da Im ein Grundeinhei ten- B

sys t em yon fV.

Vol. XXVII, 1976 Kubische Einheiten 595

1 F i i r den Beweis yon Satz 2 gel te zungehs t (PF)" d a n n i s t abe r e = - / ~ m i t

m ~ N und ~ s K x , a l s o - - = ~ N 3. Sei nun u m g e k e h r t - - - - - - 7 S mi t 7 ~ N - Dann is t e e

73 8' ~' 8 r3

7 '3 e ~," J~K/r 8'3' also

~' : ~1 ~7 , m i t ] e {0, 1, 2 ) .

N u n i s t aber ~ = 8 '~ ---- ~J- 7"/Y u n d daher

~, y y ~3 _ _ - - 7 S ,

e F ' Y" ArZr

6' woraus X ~ v / ~ { 7 ) = 1 folg~. Also ~ b t es ein 5 e N m i t 7 = - ~ - ; se tz t m a n nun

m=.A/'2~/K und/~ - - 4riv/K(d) , so ist m e = ~3,~ e K u n d m ~ - ~ m, a l s~

daraus k a l m m a n nun leicht eine L6sung ini t m e N gewinnen.

L i t e r a t u r v e r z e i c h n i s

[1] P. BARRUCAND and H. Come, A Rational Genus, Class Number Divisibility and Unit Theory for Pure Cubic Fields. J. Number Theory 2, 7--21 (1970).

[2] P. BXRRUCA_WD and H. Cori~, Remarks on Principal Factors in a Relative Cubic Field. J. Number Theory 3, 226--239 (1971).

[3] W. E. BERWlCr:, Algebraic number fields with two independent units. Proe. London Math. Soe. 34, 360--378 (1932).

[4] B. N. DELOI~E and D. K. FADDEEV, The Theory of Irrationalities of The Third Degree. Provi- dence 1964.

[5] T. HonDA, Pure cubic fields whose class numbers are multiples of three. J. Number Theory 3, 7--12 (1971).

[6] M. ISHIDA, Fundamental Units of Certain Algebraic Number Fields. Abh. Math. Sere. Univ. Hamburg 39, 245--250 (1973).

[7] N. MOSER, Unit6s et hombre de classes d'une extension galoisienne di6drale de Q. Grenoble 1974.

Eingegangen am 12.8. 1975

Anschrift des Autors:

Franz Halter-Koch Fachbereich 6 Universit~t Essen -- Gesamthochschule - - Uuionstral3e 2 43 Essen

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