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Einfuhrung in die Struktur der Materie
fur
Studierende des Lehramtes und des Nebenfachs
Michael Martins und Erika Garutti
Inhalt der Vorlesung
Einleitung
Teil A (M. Martins):
I. MolekulphysikII. Festkorperphysik
Teil B (E. Garutti):
III. KernphysikIV. Teilchenphysik
Webseite zur Vorlesung (Folien, Ubungen):
http://uniexp.desy.de/e47434/e229885
Kontakt: michael.martins@desy.de, erika.garutti@desy.de
Hinweis:
Das Folien-Skript gibt nur einen Uberblick und ersetzt kein Lehrbuch.
Einfuhrung in die Struktur der Materie 2
Anforderungen
Zum Bestehen des Kurses mussen die folgenden Bedingungen erfullt
werden
1 Bestehen der Klausur.
2 Aus den 10 Ubungsblattern mit jeweils 15 Punkten pro Blatt
konnen insgesamt 150 Punkte erreicht werden.
3 Es mussen jeweils 40% der Punktzahl aus Teil A und B erreicht
werden. Bei weniger Punkten in einem der Teile ergibt sich ein
Malus von einer Stufe pro Teil fur die Klausur.
4 Beim Erreichen von 60% der Gesamtpunktzahl aus den Ubungen
kann die Endnote um eine Stufe und bei 80% um zwei Stufe
verbessert werden.
Einfuhrung in die Struktur der Materie 3
Klausur
In der Klausur konnen insgesamt 40 Punkte erreicht werden,
wobei 40% (16 Punkte) zum Bestehen erforderlich sind.
Die Klausur ist fur Freitag, den 11.Juli 2014 in der Vorlesung von
14:30-16:00 Uhr vorgesehen.
Als Hilfsmittel sind ein Taschenrechner sowie zwei, auf Vorder-
und Ruckseite handbeschriebene A4 Seiten zugelassen.
Einfuhrung in die Struktur der Materie 4
Ubungen
Ausgabe der Ubungen in der Regel am Freitag auf der Web Seite
Vorbesprechung in der Ubung am darauf folgenden Dienstag
Abgabe dann jeweils eine Woche spater am Dienstag vor der
Ubung, in der auch die Besprechung erfolgt
Einfuhrung in die Struktur der Materie 5
Literatur
Literatur
Ubersicht Teil I
W. Demtroder
Experimentalphysik 3 – Atome, Molekule und Festkorper
Springer
R. Eisberg und R. Resnick
Quantum Physics of Atoms, Molecules, Solids, Nuclei and
Particles
John Wiley & Sons
Bergmann-Schafer
Lehrbuch der Experimentalphysik, Band 4, Teilchen
Walter de Gruyter
Einfuhrung in die Struktur der Materie 6
Literatur
Literatur
Molekulphysik
W. Demtroder
Experimentalphysik 3 – Atome, Molekule und Festkorper
Springer
Zur Vertiefung
H. Haken und C. Wolf
Molekulphysik und Quantenchemie
Springer
P.W. Atkins and R.S. Friedman
Molecular Quantum Mechanics
Oxford University Press
W. Demtroder
Molekulphysik
Springer
Einfuhrung in die Struktur der Materie 7
Literatur
Literatur
Festkorperphysik
H. Ibach und H. Luth
Festkorperphysik – Einfuhrung in die Grundlagen
Springer
Zur Vertiefung
N.W. Ashcroft and N.D. Mermin
Solid State Physics
Saunders College Publishing
Ch. Kittel
Einfuhrung in die Festkorperphysik
Oldenbourg Verlag
Einfuhrung in die Struktur der Materie 8
Struktur der Materie – Heute
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���������
�����������
�����������
Historisch
Einige aktuelle Fragen aus Teil A
Q1 Wie sieht die Struktur von großen Molekulen (Proteinen) aus ?
Q2 Wie lauft eine chemische Reaktion ab ?
Q3 Warum sind CO2, CH4 Treibhausgase, N2 und O2 aber nicht ?
Q4 Wie kann man die Konzentration von Molekulen in der
Atmosphare messen ?
Q5 Wie funktioniert ein (Hochtemperatur-) Supraleiter ?
Q6 Was andert sich in der Nano-Welt ?
Q7 Wie klein kann ein Magnet werden und wie schnell kann man ihn
schalten ?
...
Einfuhrung in die Struktur der Materie 11
Molekulphysik
Uberblick Molekulphysik
1 Einfuhrung und Eigenschaften von Molekulen
2 Die molekulare Bindung
3 Rotation von Molekulen
4 Molekulschwingungen
5 Mehratomige Molekule
6 Beispiele moderner Molekulphysik und Anwendungen
Einfuhrung in die Struktur der Materie 13
Molekulphysik Einfuhrung
Einfuhrung in die Molekulphysik
Die Fahigkeit der Atome stabile Bindungen einzugehen ist die
Grundlage der Vielfalt der anorganischen und organischen Molekule,
Flussigkeiten und Festkorpern. Die Spannweite reicht dabei von
einfache, zweiatomige Molekule (H2, O2, NaCl, HCl . . . )
mehratomige Molekule (H2O, O3, . . . , C6H6, . . .
Fullerene (C60, C72, . . . )
biologische Makromolekule (DNA, Proteine, . . . )
Flussigkeiten (Wasser, Ole, . . . )
Festkorper (Eis, Si-Kristalle, Cu-Metall, Kunststoffe, . . . )
Einfuhrung in die Struktur der Materie 14
Molekulphysik Einfuhrung
Große Molekule
C60 – Buckyball
Protein
Einfuhrung in die Struktur der Materie 15
Molekulphysik Einfuhrung
Hamoglobin
Ham b Molekul und Hamoglobin Struktur mit vier Ham Untereinheiten
Wie bindet O2 an dieses große Molekul ?
Einfuhrung in die Struktur der Materie 16
Molekulphysik Einfuhrung
Einfuhrung
Diese verschiedenen Molekule haben offensichtlich eine große
Bedeutung fur unser Leben.
Ohne Molekule gebe es uns nicht und wir konnten nicht uber deren
Eigenschaften diskutieren.
Die verschiedenen Molekule und daraus resultierende dynamische
Prozesse (chemische Reaktionen) sind von großer Bedeutung
Strahlungs- und Warmehaushalt (Ozonloch, Treibhauseffekt)
Chemische Industrie, chemische Prozesse
Atmung – Bindung von Sauerstoff an Hamoglobin
Mobilitat – Verbrennung von Kraftstoff in Motoren
Informationsspeicherung: DNA (naturlich), molekulare
Datenspeicher, Selbstorganisation (Zukunft)
Einfuhrung in die Struktur der Materie 17
Molekule
Molekulare Bindung
Wie binden Atome zu Molekulen ?
H + H → H2
N + N → N2
Na + Cl → NaCl2 H2 + O2 → 2 H2O6 C + 3 H2 → C6H6
Was wissen wir ?
Atome bestehen aus einem positiven Kern und einer negativ
geladenen Elektronenhulle. Die Bindung der Elektronen an den
Atomkern wird beschrieben durch die Coulombwechselwirkung
und die Gesetze der Quantenmechanik.
Molekule unterliegen den gleichen Gesetzen, d.h. die Bindung
von Atomen zu Molekulen wird auch durch die
Coulombwechselwirkung und die Gesetze der Quantenphysik
bestimmt.
Einfuhrung in die Struktur der Materie 18
Molekule
Molekulare Bindung – Pauli-Prinzip
Wichtiges Gesetz der Quantenphysik:
Fur Fermionen (Elektronen) gilt das Pauli-Prinzip.
Allgemeine Formulierung:
Die Gesamtwellenfunktion ist antisymmetrisch gegenuber der
Vertauschung zweier Elektronen (Fermionen)
Einfache Formulierung:
Keine zwei Fermionen halten sich im gleichen Zustand auf.
Einfuhrung in die Struktur der Materie 19
Molekule Eigenschaften von Molekulen
Eigenschaften von Molekulen
Die Wellenfunktionen der fur die Bindung entscheidenden
Elektronen erstrecken sich uber das ganze Molekul. Diese
Elektronen, die Valenzelektronen, werden im Vordergrund der
Diskussion stehen.
Hinweise auf die Molekulbindung liefern die Eigenschaften der
Molekule.
Einfuhrung in die Struktur der Materie 20
Molekule Eigenschaften von Molekulen
Dimension einige 10−10m bis zu 10−7m
Struktur Anordnung der Atomkerne, Verteilung der Elektronen
lineares Molekul
H2
gewinkeltes Molekul
H2OBenzol
Sehr komplexe geometrische Strukturen (DNA, Proteine)Bestimmung der Molekulstruktur:Rontgen-, Elektronenbeugung, NMR, Spektroskopie,Proteinstrukturbestimmung
Einfuhrung in die Struktur der Materie 21
Molekule Eigenschaften von Molekulen
Masse – Massenspektrometer
1 AME = 1/12 m(12C) = 1.66055 · 10−27kg = 1 Dalton
m(H2) = 3.4 · 10−27 kg . . . 10−20 kg
dielektrische Eigenschaften
elektrisches Dipolmoment, elektrische Polarisierbarkeit
z.B. H2O
Hydratisation, Anlagerung von H2O,
Molekule an Ionen in wassrigen Losun-
gen, Bedeutung fur den Transport von
Ionen
+ +
−O
HH
pel = 6.2 · 10−30C ·m= 1.85Debye
magnetische Eigenschaften
magnetische Dipolmomente
magnetische Suzeptibilitat
Nutzung von magnetischen Molekulen als Datenspeicher
Einfuhrung in die Struktur der Materie 22
Molekule Eigenschaften von Molekulen
Ein magnetisches Molekul – Mn12-Azetat
Einfuhrung in die Struktur der Materie 23
Molekule Eigenschaften von Molekulen
optische Eigenschaften
Absorption, Emission, Streuung von Licht
Photosynthese . . .
chemische Eigenschaften
Reaktionsvermogen → physikalische Chemie, Chemie
Problem : Große Molekule konnen auch heute nicht ab initio
berechnet werden !
Das bedeutet, daß die Eigenschaften experimentel bestimmt
werden mussen.
Die Ursache fur dieses Problem ist die
Vielteilchenwechselwirkung, die fur Molekule von entscheidener
Bedeutung ist
Einfuhrung in die Struktur der Materie 24
Die molekulare Bindung
Bindungstypen
Wir wollen jetzt im folgenden die verschiedenen Bindungstypen, die
bei Molekulen auftreten konnen diskutieren und verstehen.
Polare Bindung (Beispiel NaCl)
Kovalente Bindung (Beispiel O2)
Van der Waals Bindung (Beispiel flussiger N2)
Wasserstoffbruckenbindung (Beispiel (H2O)n )
Einfuhrung in die Struktur der Materie 26
Die molekulare Bindung Polare Bindung
Die Polare Bindung
Eine sehr einfache Bindung stellt die heteropolare Bindung dar
A + B −→ (A+B−)
Bei der Bindung wird vom Atom A Elektronenladung auf das Atom B
ubertragen. Die Coulombwechselanziehung zwischen den beiden
Ionen bewirkt dann die Bindung.
Ionische Bindungen treten bevorzugt auf zwischen Elementen der
1. Hauptgruppe (Alkalimetalle) und den Elementen der 7. Hauptgruppe
(Halogene).
Alkaliatome geben leicht das außere Valenzelektron ab, sind
elektropositiv .
Halogenatome binden gern ein zusatzliches Elektron, sie sind
elektronegativ .
Einfuhrung in die Struktur der Materie 27
1.00791 4.00262
20.1801014.0077
39.9481835.45317
18.998915.9998
83.79836
131.2954
(222)86
12.0116
C
10.811
B
5
26.982
Al
13 28.086
Si
14 30.97415 32.065
S
16
6.941
Li
3 9.0122
Be
4
22.99011 24.305
Mg
12
39.09819 40.078
Ca
20 44.956
Sc
21 47.867
Ti
22 50.942
V
23 51.996
Cr
24 54.938
Mn
25 55.845
Fe
26 58.933
Co
27 58.693
Ni
28 63.546
Cu
29 65.38
Zn
30 69.72331 72.64
Ge
32 74.922
As
33 78.96
Se
34 79.90435
85.46837 87.62
Sr
38 88.906
Y
39 91.224
Zr
40 92.906
Nb
41 95.96
Mo
42
132.9155 137.33
Ba
56
138.91
La
La-Lu
57-71
57
178.49
Hf
72 180.95
Ta
73 183.84
W
74
(223)87 (226)
Ra
88
(227)
Ac
Ac-Lr
89-103
89
(98)
Tc
43 126.90
I
53101.07
Ru
44 102.91
Rh
45 106.42
Pd
46 107.87
Ag
47 112.41
Cd
48
186.21
Re
75 190.23
Os
76 192.22
Ir
77 195.08
Pt
78 196.97
Au
79 200.59
PNa
K Ga
Rb
Cs
Fr
Hg
80 204.38
Tl
81 207.2
Pb
82 208.98
Bi
83 (209)
Po
84 (210)
At
85
114.82
In
49 118.71
Sn
50 121.76
Sb
51 127.60
Te
52
H He
NeN
ArCl
FO
Kr
Xe
Rn
Br
IA
IIA
IIIB IVB VB VIB VIIB IB IIB
IVA VA VIA VIIA
VIIIB
VIIIA1
54
2
3
13 14 15 16 17
18
6 7 8 9 10 11 12
IIIA
174.97
Lu
71140.12
Ce
58
232.04
Th
90 231.04
Pa
91 238.03
U
92
140.91
Pr
59 144.24
Nd
60
(262)
Lr
103
(145)
Pm
61
(237)
Np
93 (244)
Pu
94 (243)
Am
95 (247)
Cm
96 (247)
Bk
97 (251)
Cf
98 (252)
Es
99 (257)
Fm
100 (258)
Md
101 (259)
No
102
150.36
Sm
62 151.96
Eu
63 157.25
Gd
64 158.93
Tb
65 162.50
Dy
66 164.93
Ho
67 167.26
Er
68 168.93
Tm
69 173.05
Yb
70
(2 )72
Bh
107(26 )7
Rf
104 (26 )8
Db
105 (2 )71
Sg
106 (277)
Hs
108 (2 )76
Mt
109
10.8115
13
(2 1)8
Ds
110 (2 )80
Rg
111
Ne
Hg
Fe
Tc
1
2
3
4
5
6
7
B
(2 )85
Cn
112 118113 114 115 116 117 ( ). . .( ). . . (2 )87 ( ). . . (2 )91 ( ). . .
Uut Fl Uup Lv Uus Uuo
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WASSERSTOFF HELIUM
NEONSTICKSTOFF
ARGONCHLOR
FLUORSAUERSTOFF
KRYPTON
XENON
RADON
KOHLENSTOFFBOR
ALUMINIUM SILIZIUM PHOSPHOR SCHWEFEL
LITHIUM BERYLLIUM
NATRIUM MAGNESIUM
KALIUM CALCIUM SCANDIUM TITAN VANADIUM CHROM MANGAN KOBALT NICKEL KUPFER ZINK GALLIUM GERMANIUM ARSEN SELEN BROM
RUBIDIUM STRONTIUM YTTRIUM ZIRKON NIOB MOLYBDÄN
CÄSIUM BARIUM
LANTHAN
HAFNIUM TANTAL WOLFRAM
FRANCIUM RADIUM
ACTINIUM
TECHNETIUM IODRUTHENIUM RHODIUM PALLADIUM SILBER KADMIUM
RHENIUM OSMIUM IRIDIUM PLATIN GOLD THALLIUM BLEI BISMUT POLONIUM ASTAT
INDIUM ZINN ANTIMON TELLUR
PE
RIO
DE
N
GRUPPE
EISEN
QUECKSILBER
LANTHANIDEN
ACTINIDEN
LUTETIUMCER
THORIUM PROTACTINIUM URAN
NEODYM
LAWRENCIUM
PROMETHIUM
NEPTUNIUM PLUTONIUM AMERICIUM CURIUM BERKELIUM CALIFORNIUM EINSTEINIUM FERMIUM MENDELEVIUM NOBELIUM
SAMARIUM EUROPIUM GADOLINIUM TERBIUM DYSPROSIUM HOLMIUM ERBIUM THULIUM YTTERBIUM
BOHRIUMRUTHERFORDIUM DUBNIUM SEABORGIUM HASSIUM MEITNERIUM
Lanthaniden
Actiniden
PRASEODYM
BOR
ORDNUNGSZAHL
NAME DES ELEMENTES
ELEMENTSYMBOL
Metalle
Alkalimetalle
Erdalkalimetalle
Uebergangselemente
Lanthaniden
Actiniden
Chalkogene
Halogene
Edelgase
Halbmetalle Nichtmetalle
- gasförmig
- flüssig
- fest
- künstliche
ZUSTAND ( °C; 101 kPa)25
RELATIVE ATOMMASSE (1)
GRUPPE CASGRUPPE IUPAC
http://www.periodni /de/.com
PERIODENSYSTEM DER ELEMENTE
ROENTGENIUMDARMSTADTIUM
D a s
e i
a i
k
e
r h
a
.
ie relative tommasse wird auf fünf tellen
angezeigt. Für lemente ohne stabile sotope
ist die tommasse des stabilsten sotops in
lammern gezeigt isotope. Drei dieser
lemente (Th, Pa und U) spielen eine
bedeutende olle aufgrund ihrer äufigkeit in
der Erdkruste und ihre tomgewichte und
werden deshalb aufgelistet
(1) Pure Appl. Chem., , No. , (200 )81 11 2131-2156 9
COPERNICIUM UNUNTRIUM FLEROVIUM UNUNPENTIUM LIVERMORIUM UNUNSEPTIUM UNUNOCTIUM
Die molekulare Bindung Polare Bindung
Beispiel NaCl
Die Polare Bindung soll am Beispiel des NaCl Molekuls diskutiert
werden
Na + EIonisation → Na+ + e− Ionisation
Cl + e− → Cl− + EA Elektronenaffinitat
Na+ + Cl− → NaCl
Die Coulombenergie des Molekuls betragt
ECoul =−e2
4πǫ0R, (1)
wobei R der Gleichgewichtsabstand ist. R laßt sich z.B. uber das
elektrische Dipolmoment und IR-Spektroskopie bestimmen.
Die Energiebilanz ist somit
EBindung = |ECoul |+∣∣∣ECl
Aff
∣∣∣−
∣∣∣ENa
Ion
∣∣∣
︸ ︷︷ ︸
Werte aus der Literatur
(2)
Einfuhrung in die Struktur der Materie 29
Die molekulare Bindung Polare Bindung
Ionisationsenergien
Die Ionisationsenergien der Atome erhalt man aus der Literatur. Sie
werden unter Ausnutzung des Photoeffektes (Einstein) bestimmt
A + ~ω → A+ + e−
Datenbank im Internet uber die Elemente: z.B.
www.webelelements.com
Einfuhrung in die Struktur der Materie 30
Die molekulare Bindung Polare Bindung
Elektronenaffinitat
Negative Ionen wurden zuerst in Massenspektren nachgewiesen
Existenz negativer Ionen ist zunachst etwas uberraschend. Wie
wird das zusatzliche Elektron gebunden ?
Naiver Ansatz
e− e
−
Cl − +
Exakte Beschreibung:
Cl−
1s22s22p63s23p6
Geschlossene Schale ⇒Kugelsymmetrisch
Einfuhrung in die Struktur der Materie 31
Die molekulare Bindung Polare Bindung
Mehrelektronenproblem; Berucksichtigung der Wechselwirkung
der Elektronen untereinander ist entscheidend !
Quantenmechanische Beschreibung ist nicht trivial
Wechselwirkung von mehr als zwei Teilchen – Korrelationseffekte
Experimentelle Bestimmung der Bindungsenergie des zusatzlichen
Elektrons sehr genau uber Photoionisation mit Hilfe von Lasern,
Photodetachment
A− + ~ω → A + e−
Negative Ionen konnen in Entladungen erzeugt werden
Einfuhrung in die Struktur der Materie 32
Die molekulare Bindung Polare Bindung
Experimentelle Werte der Elektronenaffinitat in eV
Cl + e− → Cl− + EAff
Atom Affinitat
H 0.75 eV Wie ist das zu verstehen ?
Polarisation ?
Beimischung von 2p Zustanden
Li 0.62 eV
O 1.46 eV
F 3.45 eV
Na 0.546 eV
Cl 3.61 eV
Br 3.36 eV
I 3.06 eV
Einfuhrung in die Struktur der Materie 33
Die molekulare Bindung Polare Bindung
Elektronenaffinitat der Elemente (www.webelements.com)
Einfuhrung in die Struktur der Materie 34
Die molekulare Bindung Polare Bindung
Energiebilanz
Energiebilanz fur die Bildung von NaCl ist somit
EIon − EAff = 5.14eV − 3.61eV = 1.53 eV
Es mussen also mindestens 1.53 eV durch die Coulombenergie der
Ionen aufgebracht werden.
R ist der Gleichgewichtsabstand der
Kerne
ECoul(R) = − e2
4πǫ0R(3)
Repulsion der Elektronenschalen aufgrund des Pauli-Prinzips
verhindert R → 0. Im Gleichgewichtsabstand heben sich
Coulombanziehung und Repulsion auf, was zu einem
Energieminimum fuhrt.
Dieses Verhalten kann durch eine Potentialkurve beschrieben werdenEinfuhrung in die Struktur der Materie 35
Die molekulare Bindung Polare Bindung
Molekulpotential
Das Molekulpotential berucksichtigt die Coulombrepulsion der Kerne
und die Energie der Elektronen des Molekuls. Die Kerne sollen in Ruhe
sein, d.h. es ist keine Rotations- oder Vibrationsenergie enthalten.
E(R) = − e2
4πǫ0R︸ ︷︷ ︸
Coulombenergie
der Ionen
+b
R9︸︷︷︸
empirischer An-
satz fur die Re-
pulsionsenergie
+(EIon − EAff )
Der Term b/R9 ist hier rein empirisch , um irgendein abstoßendes
Potential zu haben. Somit muß b experimentel bestimmt werden.
Wir werden aber spater sehen, daß ein entsprechender, ahnlicher
Term aus einer Losung der Schrodingergleichung folgt.
Einfuhrung in die Struktur der Materie 36
Die molekulare Bindung Polare Bindung
Molekulpotentialkurve
Na + Cl+ −
R0
9R
1
R
1
IonE − EAff
E(R
)
R
NaCl
Einfuhrung in die Struktur der Materie 37
Die molekulare Bindung Polare Bindung
Gleichgewichtsabstand
Bestimmung des Gleichgewichtsabstandes aus Formel (4)
0 =dE(R)
dR
∣∣∣∣R0
=e2
4πǫ0R20
− 9b
R100
(4)
und damit
b =R8
0e2
36πǫ0
Experimentell: R0 = 2.36 · 10−10m
R0 in Gleichung fur b eingesetzt ergibt
b = 1.5 · 10−87eV ·m9
(mit: e = 1.6 · 1019C, ǫ0 = 8.854 · 10−12C2N−1m−2,
1eV = 1.6 · 10−19J)
E(R0) = −5.44 eV + 1.53 eV = −3.91 eV
Einfuhrung in die Struktur der Materie 38
Die molekulare Bindung Polare Bindung
Molekulpotentialkurve
Na + Cl+ −
R0
E(R
)
RNa + Cl
Einfuhrung in die Struktur der Materie 39
Die molekulare Bindung Polare Bindung
Neben der Potentialkurve mit einem Minimum (Na+ + Cl−), die zu
einem gebundenen Zustand des Molekuls fuhren, kann es auch
eine rein repulsive Potentialkurve geben (Na + Cl), die einem
ungebundenen Zustand des Molekuls entsprechen
Hierbei kann es zu einer Uberkreuzung der Potentialkurven
kommen
Dies entspricht einer Entartung der Zustande, die bei gleicher
Symmetrie eine Mischung derselben bewirkt.
Am Kreuzungpunkt, bzw. in seiner Umgebung ist damit der Prozeß
Na+ + Cl− ←→ Na + Cl
moglich
Die Berucksichtigung dieser Wechselwirkung resultiert in der
Aufhebung der Kreuzung/Entartung (Vermiedene Kreuzung,
avoided crossing)
Einfuhrung in die Struktur der Materie 40
Die molekulare Bindung Polare Bindung
Damit laßt sich der Prozeß der Molekulbindung detailierter
beschreiben
Na + Cl −→ Na+ + Cl− −→ NaCl
R0
Na + Cl+ −
E(R
)
RNa + Cl
Einfuhrung in die Struktur der Materie 41
Die molekulare Bindung Polare Bindung
NaCl Eigenschaften
Dissoziationsenergien
NaCl → Na+ + Cl− = 5.44 eV , experimentell 5.76 eV
NaCl → Na + Cl = 3.91 eV , experimentell 4.23 eV
Problem: Dipolmoment von NaClrein ionische Bindung:
pel = q · R= 1.6 · 10−19C × 2.36 · 10−10m
= 3.78 · 10−29Cm
Experimenteller Wert = 2.8 · 10−29Cm
nur ca. 75% des theoretischen Wertes
p
− +
Was ist die Ursache ?
Keine rein ionische Bindung
Einfuhrung in die Struktur der Materie 42
Die molekulare Bindung Polare Bindung
Zusammenfassung
Na + Cl+ −
R = 2.36 10 m0
−10
E(R
)
R
Na + Cl
1.53 eV
3.91 eV
Polare Bindung am Beispiel NaCl diskutiert
Exp. Unser Model
NaCl → Na+ + Cl− 5.76 5.44 eV
NaCl → Na + Cl 4.23 3.91 eV
exp. Wert des Dipolmoments hat nur 75% aus unserem Model
Keine reine ionische BindungEinfuhrung in die Struktur der Materie 43
Die molekulare Bindung Kovalente Bindung
Die kovalente Bindung
Die einfachsten Beispiele sind
H+2 Molekulion
H2 Molekul
Bindung von zwei H-Atomen zum H2 Molekul
Homoopolare Bindung
Einfaches, sehr grobes Modell (Metzler Kap. 11.3.2)
Anwendung des Potentialtopfmodells
Einfuhrung in die Struktur der Materie 44
Die molekulare Bindung Kovalente Bindung
Potentialtopfmodell
a
2a
Einfuhrung in die Struktur der Materie 45
Die molekulare Bindung Kovalente Bindung
zeitunabhangige Schrodingergleichung fur die Wellenfunktion
ψ(x) des Teilchens
− ~
2m
d2ψ(x)
dx2+ Epot(x)ψ(x) = E · ψ(x) (5)
im Potential :
V = 0 im Topf
V →∞ Außerhalb des Topfes
Losung fur den Grundzustand ψ0 fur sehr tiefe Potentialtopfe
(Physik III)
E0 =h2
8ma2(6)
E0 ist nur kinetische Energie, da wir V = 0 gewahlt haben und
somit Epot = 0 ist
Einfuhrung in die Struktur der Materie 46
Die molekulare Bindung Kovalente Bindung
Fur das Modell wahlen wir fur die Potentialtopfbreite
a = 2 · 10−10m.
Damit betragt die Energie dann E = 9.4 eV . Die gesamte
kinetische Energie der beiden Atome betragt dann somit
2× 9.4 eV = 18.8 eV
Vereinigung der beiden H-Atome zu H2 wird dargestellt durch
einen gemeinsamen Potentialtopf mit der doppelten Breite 2a
Energie im “Molekul”
E =h2
8m · 4 · a2= 2.35 eV
Die gesamte kinetische Energie ist dann somit
2× 2.35 eV = 4.7 eV
Damit wird eine Energie von 18.8− 4.7 = 14.1 eV bei der
Molekulbildung frei
Einfuhrung in die Struktur der Materie 47
Die molekulare Bindung Kovalente Bindung
Die Delokalisation der Elektronen uber einen raumlich großeren
Bereich liefert somit einen wichtigen Beitrag zur Molekulbindung
Dieser Gewinn an kinetischer Energie muß um die
Coulomb-Energie der Protonen und Elektronen reduziert werden !
Alleine die Coulomb-Energie der beiden Protonen reduziert die
Bindungsenergie deutlich
Dieses Modell ist aber viel zu einfach, um reale Molekule korrekt
zu beschreiben und wir werden es nicht weiter verfolgen
⇒ Genaueres, quantenmechanisches Modell
Einfuhrung in die Struktur der Materie 48
Die molekulare Bindung Kovalente Bindung
Das H2-Molekul
Molekul aus zwei H-Atomen
H-Atom:
Einfachstes Atom aus einem Proton und einem Elektron
Potentielle Energie
V (r) = − 1
4πǫ0
e2
r
Wellenfunktion des 1s Grundzustand
Ψ1s ∝ e−r/a0
Exakte Losung ist moglich (z.B. Physik III)
Wie beschreiben wir das H2 Molekul ?
Einfuhrung in die Struktur der Materie 49
Die molekulare Bindung Kovalente Bindung
H2-Molekul
H−Atom 1 H−Atom 2
Ψ1s(r) ∝ e−r/a0
Einfacher Ansatz :
R0
Uberlagerung der beiden H 1s Wel-
lenfunktionen
Einfuhrung in die Struktur der Materie 50
Die molekulare Bindung Kovalente Bindung
H2-Molekul
Problem :
Das H2 Molekul besteht aus vier Teilchen, d.h., es ist unmoglich
eine exakte analytische Losung zu finden
Es ist deshalb zu anspruchsvoll fur den ersten Schritt zum
Verstandnis der kovalenten Bindung
Wir wollen zunachst ein einfacheres System wahlen, das H+2
Molekulion
Dieses besteht aus “nur” drei Teilchen und ist damit im Prinzip
immer noch nicht losbar !
Um das H+2 Molekulion zu losen kann jedoch ein Trick angewandt
werden, mit dem es auf ein Zwei-Teilchensystem reduziert wird
Zunachst eine einfach, qualitative Betrachtung
Einfuhrung in die Struktur der Materie 51
Die molekulare Bindung Kovalente Bindung
Das H+2 Molekulion
Qualitative Betrachtung: H+2 = H + p
Betrachte R ≫Ausdehnung des H-Atoms
Fall A
A BR
Elektron ist am Kern A lokalisiert
ΨA = Ψ1s =1
√πa
3/20
· e−r/a0
r ist der Abstand des e− vom Kern A
Fall B
RBA
Aquivalenter Fall, jedoch ist jetzt das
Elektron am Kern B lokalisiert
Einfuhrung in die Struktur der Materie 52
Die molekulare Bindung Kovalente Bindung
Die Bindungsenergie des e− im Atom ist 13.6 eV ; Fur R ≫ r gibt
es keine Wechselwirkung des H-Atoms mit dem Proton
⇒ Gesamtbindungsenergie des Systems ist 13.6 eV gleich der
Bindungsenergie des H-Atoms
Die Kerne mogen sich nun aufeinander zu bewegen R → r → a0,
R ≈ 10−10m
Betrachte nun den Extremfall R → 0 (Kernverschmelzung,
Gedankenexperiment)
R → 0 ergibt He+
Bindungsenergie He+ = −Z 2
n213.6 eV = −54.4 eV mit Z = 2 und
n = 1
Die Bindung ist energetisch gunstiger
Problem : Proton–Proton Coulombenergie vernachlassigt →divergiert
Vorgehen zu grob
Einfuhrung in die Struktur der Materie 53
Die molekulare Bindung Kovalente Bindung
Wir wollen die Gesamtenergiebilanz fur H+2 aufstellen
Die Kerne sollen dabei in Ruhe bleiben, d.h., er gibt keine
Schwingungen oder Rotationen
rA rB
RA RBA BS
Potentielle Energie des Elektrons
Epot = −e2
4πǫ0
(1
rA+
1
rB
)
(7)
Einfuhrung in die Struktur der Materie 54
Die molekulare Bindung Kovalente Bindung
H+2 Potential
Ep
ot
BA R
Elektron im Coulombpotential durch das Feld beider Protonen
Im Teilchenbild ist das Elektron entweder bei A oder bei B
Wellenfunktion ist auf ein Potentialminimum lokalisiert
Symmetrie: Elektron ist gleich haufig bei A wie bei B
Elektron kann die Barriere durchtunneln
Tunnelfrequenz ≈ 1015Hz
Einfuhrung in die Struktur der Materie 55
Die molekulare Bindung Kovalente Bindung
LCAO
Die Aufenthaltswahrscheinlichkeit an beiden Kernen ist gleich groß
H+2 besitzt kein elektrisches Dipolmoment
Wir wahlen jetzt einen Ansatz fur die Wellenfunktion
Ψs = N+(ψA + ψB) (8)
Symmetrische Wellenfunktion, N+ ist ein Normierungsfaktor
Zusammensetzen der Molekulorbitale aus atomaren Orbitalen
LCAO Linear Combination of Atomic Orbitals
Dies ist ein allgemeiner Ansatz und ist die Grundlage der
Berechnungen der Eigenschaften von Molekulen
Einfuhrung in die Struktur der Materie 56
Die molekulare Bindung Kovalente Bindung
LCAO – Ψs = N+(ψA + ψB)
B R=0ABA
A
B R 0
Einfuhrung in die Struktur der Materie 57
Die molekulare Bindung Kovalente Bindung
LCAO – Ψs = N+(ψA − ψB)
Einfuhrung in die Struktur der Materie 58
Die molekulare Bindung Kovalente Bindung
Alternative Moglichkeit die Wellenfunktionen der Atome zu
kombinieren
Ψa = N−(ψA − ψB) (9)
Antisymmetrisch gegenuber einer Spiegelung am Ursprung
ungerade Paritat
Antisymmetrie der Wellenfunktion bleibt auch fur R → 0
gegenuber der Spiegelung erhalten; entspricht He+
Der niedrigste Zustand muss somit ein 2p Zustand sein
Bindungsenergie eines 2p Zustandes im He+ ?
EB = −13.6 eV · Z 2
n2= −13.6 eV · 22
22= −13.6 eV
Kein Gewinn an Bindungsenergie fur das Elektron
Kernrepulsion uberwiegt → kein gebundener Zustand, repulsive
Potentialkurve
Einfuhrung in die Struktur der Materie 59
Die molekulare Bindung Kovalente Bindung
Gesamtenergiebilanz
Eges = EElektron + EProtonen (10)
Aufgrund der bisherigen Uberlegungen erwarten wir einen
gebundenen Zustand fur die symmetrische Wellenfunktion und
einen ungebundenen Zustand fur die antisymmetrische
Wellenfunktion
Einfuhrung in die Struktur der Materie 60
Die molekulare Bindung Kovalente Bindung
Deutung der Bindung
Im symmetrischen Zustand halt sich das Elektron zwischen den
Protonen auf (Klebstoff )
Potential beider Kerne tragt bei → Elektronenwellenfunktion im
Vergleich zur 1s Funktion im H-Atom uber einen großeren
Raumbereich ausgeschmiert → Reduktion der kinetischen
Energie
Im wesentlichen tragen zwei Faktoren bei
Coulomb-Wechselwirkung mit beiden KernenDelokalisierung
Um die Bindung genauer zu verstehen mussen wir sie jetzt
quantenmechanisch berechnen
Einfuhrung in die Struktur der Materie 61
Die molekulare Bindung Kovalente Bindung
H+2 : Quantenmechanische Losung
Aufstellen der Schrodingergleichung fur das H+2 Molekulion und
Losung
Wichtige Einschrankung: Die Kerne sind festgehalten
H ·Ψ(r) = E ·Ψ(r) (11)
Begrundung: Elektronen bewegen sich “schneller”
Potentialkurven sind Losungen der Gleichung fur verschiedene
Kernabstande
H ·Ψ(r ;R) = E(R) ·Ψ(r ;R) (12)
Das Molekulpotential enthalt
kinetische EnergieCoulombenergie der Kerne und des Elektrons
Einfuhrung in die Struktur der Materie 62
Die molekulare Bindung Kovalente Bindung
rA rB
RA RB
r
A BS
Der Ursprung des Koordinatensystems liege im
Massenschwerpunkt des Protonensystems
rA = r − RA rB = r − RB
R = |RA − RB| RA = −RB
Die potentielle Energie ist damit
Epot = −e2
4πǫ0
(1
rA+
1
rB− 1
R
)
(13)
Einfuhrung in die Struktur der Materie 63
Die molekulare Bindung Kovalente Bindung
Hamilton-Operator
H = − ~2
2m∆e(r)−
e2
4πǫ0
(1
rA+
1
rB− 1
R
)
(14)
Schrodingergleichung
[
− ~2
2m∆e(r)−
e2
4πǫ0
(1
rA+
1
rB− 1
R
)]
Ψe(r ;R) = E(R)Ψe(r ;R)
(15)
Die Kernwellenfunktion ist als konstant angenommen worden und
wurde abgetrennt
Dies ist die Born-Oppenheimer Naherung
R ist hier nur ein Parameter und wird nicht berechnet.
Einfuhrung in die Struktur der Materie 64
Die molekulare Bindung Kovalente Bindung
Losung der Gleichung naherungsweise durch einen Ansatz fur
Ψe(r)
Wahl von atomaren Orbitalen, H 1s-Funktionen
ΨA,B(r) =1
√
πa30
e−rA,B/a0 (16)
Linearkombination der Wellenfunktionen
Ψ+ = Ψg = N+(ΨA +ΨB) (17)
Ψ− = Ψu = N−(ΨA −ΨB) (18)
Ergebnis der quantenmechanischen Rechnung
E± =H11 ± H12
1± S(19)
Einfuhrung in die Struktur der Materie 65
Die molekulare Bindung Kovalente Bindung
Uberlappintegral
S =
∫
V
ΨAΨBdτ (20)
Uberlapp der Wellenfunktionen
Coulombintegral
H11 =
∫
V
ΨAe2
4πǫ0rBΨAdτ (21)
Wechselwirkung des e− am Kern A mit Kern B. Analog fur e− am
Kern B
Austauschintegral
H12 =
∫
V
ΨAe2
4πǫ0rAΨBdτ (22)
Elektron wird zwischen Kern A und B ausgetauscht
Einfuhrung in die Struktur der Materie 66
Die molekulare Bindung Kovalente Bindung
Ergebnis der quantenmechanischen Rechnung
E± =H11 ± H12
1± S(23)
Die Angabe der Energie erfolgt hier in atomaren Einheiten (a.u.).
Energie: 1 a.u. ≡ 27.6 eV
Abstand R in Einheiten von a0 (Bohr’scher Radius)
Andere Bezeichnung der Losungen:
Eu = E− und Eg = E+
wobei g und u fur gerade und ungerade stehen.
(Un)gerade steht dabei fur die Symmetrie der Wellenfunktionen.
Eg Bindener Zustand
Eu Antibindener Zustand
Einfuhrung in die Struktur der Materie 67
Die molekulare Bindung Kovalente Bindung
E u
E g
R
S
H11
H12
Coul
En
erg
ie (
eV
)
0 1 2 3 4 5 6 7 8
-20
-10
0
10
20
30
13.6eV
Einfuhrung in die Struktur der Materie 68
Die molekulare Bindung Kovalente Bindung
Grenzwertbetrachtung
Fur R →∞ geht E± = E1s
Fur R → 0 geht E± →∞Vergleich mit dem Experiment
Bindungsenergie
Experiment: 2.8 eV , Theorie: 1.76 eV
Bindungsabstand
Experiment: 1.06 A, Theorie: 1.3 A
Unsere Naherung gibt das Wesentliche richtig wieder
Ursache fur die Abweichungen sind die Einschrankung der
Wellenfunktion auf eine H 1s Funktion
Mit besseren Wellenfunktionen konnen die experimentellen Werte
fast exakt berechnet werden
Einfuhrung in die Struktur der Materie 69
Die molekulare Bindung Kovalente Bindung
Das H+2 Molekulion - Zusammenfassung
Mit der Naherung Linearkombinationen der H 1s-Funktionen zur
Beschreibung der Mehrteilchenwellenfunktionen zuverwenden
haben wir die wichtigen Aspekte richtig beschrieben
Ein bindener Zustand Ψg ergibt sich fur eine symmetrische
Wellenfunktion bzgl. der Spiegelung am Ursprung
Einen antibindenen, repulsiven Zustand Ψu erhalt man fur eine
antisymmetrische Wellenfunktion
Die Bindung von H und H+ zu H+2 wird verursacht durch
Konzentration des e− im Bereich zwischen den Kernen fur Ψg
Reduktion der kinetischen Energie durch Verteilung des e− aufeinen großeren Raumbereich
Ursache der Abweichung vom Experiment durch die
Einschrankung der Wellenfunktion
Verbesserung durch Variation z.B. mit e−α·r/a0 mit α = α(R)
Einfuhrung in die Struktur der Materie 70
Die molekulare Bindung Kovalente Bindung
Quantenzahlen
Wir haben uns bis jetzt nur mit dem Grundzustand des H+2
Molekuls beschaftigt
Wie sieht es aus mit angeregten Zustanden wie z.B. 2p
Zustanden im H Atom ?
Bezeichnung der Molekulorbitale → Quantenzahlen
Kernanziehung bewirkt, daß das Drehmoment ~ℓ nicht konstant ist
λh
l
A B z
Einfuhrung in die Struktur der Materie 71
Die molekulare Bindung Kovalente Bindung
Quantenzahlen
mℓ = 0, ±1, ±2, ±3
λ = 0 1 2 3
Bezeichnung σ π δ ϕfur homonukleare
Molekule
σg,u πg,u δg,u ϕg,u
Molekule haben keine spharische Symmetrie mehr ⇒Komponente des Bahndrehimpulses in Richtung der
Molekulachse ist eine Konstante der Bewegung λ = |mℓ|Orbitale des H+
2 Molekuls
Ψg (1s σg)Ψu (1s σu)
Einfuhrung in die Struktur der Materie 72
Die molekulare Bindung Kovalente Bindung
Das H2 Molekul
Wasserstoff ist von enormer Bedeutung
Energietrager z.B. fur BrennstoffzellenHaufigstes Molekul im All
Zwei Protonen und zwei Elektronen
Zusatzliche Berucksichtigung der Elektron-Elektron
Wechselwirkung erforderlich
Pauli-Prinzip : Antisymmetrie der Wellenfunktion gegenuber der
Vertauschung der Teilchen
Kerne werden wieder als punktformige Ladungen betrachtet undfestgehalten
Keine Rotation, Vibration oder TranslationBorn-Oppenheimer Naherung
Spin der Kerne wird vernachlassigt
Einfuhrung in die Struktur der Materie 73
Die molekulare Bindung Kovalente Bindung
Das H2 Molekul
Erwartung fur den Grundzustand
2. Elektron in Ψg oder (1sσg)
Wellenfunktion des Grundzustandes von H2
(1sσg)2 ↑↓
Spins der Elektronen antiparallel → Pauli-Prinzip erfullt
Abschatzung der Bindungsenergie, ausgehend von den
Ergebnissen fur H+2
Zwei Elektronen im σg Molekulorbital
EH2
Bind ≈ 2EH+
2
Bind = 2× 2.8eV = 5.6eV
Einfuhrung in die Struktur der Materie 74
Die molekulare Bindung Kovalente Bindung
Das H2 Molekul
Gleichgewichtsabstand
Bessere Abschirmung der Kernladungen durch die zwei
Elektronen
RH2
0 ≈ 1
2R
H+2
0 =1
2× 1.06A = 0.53A
Vergleich mit dem Experiment
EH2
Bind = 4.55 eV < 5.6eV
RH2
0 = 0.74A> 0.53A
Abschatzung zeigt in die richtige Richtung, aber Zahlenwerte
weichen signifikant ab.
Ein Grund: Abschatzung vernachlassigt die Wechselwirkung der
Elektronen
Einfuhrung in die Struktur der Materie 75
Die molekulare Bindung Kovalente Bindung
Das H2 Molekul
Berechnung des H2 Molekuls
Naherungsweise Bestimmung von E(R)
Vorgehen analog zum Vorgehen beim H+2 Molekulion
Linearkombination von atomaren Orbitalen
Einfuhrung in die Struktur der Materie 76
Die molekulare Bindung Kovalente Bindung
Das H2 Molekul
r2Br2
r12
r1Ar1
r1Br2A
e2
e1
A B
R ⇒∞ H1s + H1s
R ⇒ 0 He
Einfuhrung in die Struktur der Materie 77
Die molekulare Bindung Kovalente Bindung
Das H2 Molekul
Hamiltonoperator fur die Elektronen
H = − h2
2m(∆1 +∆2)−
e2
4πǫ0
(1
r1A+
1
r1B+
1
r2A+
1
r2B− 1
r12− 1
R
)
(24)
Achtung: 2 Elektronen = 2 Fermionen
Wellenfunktion muß Pauli-Prinzip genugen → siehe He
Ansatz fur die Wellenfunktionen
φA(r1) =1
√
πa30
· e−r1A/a0 φB(r2) =1
√
πa30
· e−r1B/a0
Antisymmetrische Wellenfunktion
Ψ+(r1, r2) = N+ [φA(r1) · φB(r2) + φA(r2) · φB(r1)] · (↑↓ − ↓↑) (25)
Ortsfunktion symmetrisch, Spinfunktion antisymmetrisch
Singulett Zustand mit S = 0
Einfuhrung in die Struktur der Materie 78
Die molekulare Bindung Kovalente Bindung
Das H2 Molekul
Ortsfunktion antisymmetrisch, Spinfunktion symmetrisch
Ψ−(r1, r2) = N−(φA(r1) ·φB(r2)−φA(r2) ·φB(r1)) ·
↑↑↑↓ + ↓↑↓↓
(26)
Drei mogliche Zustande
Triplett Zustand mit S = 1
Vergleichen Sie das mit dem Heliumatom (Physik III)
Einfuhrung in die Struktur der Materie 79
Die molekulare Bindung Kovalente Bindung
Das H2 Molekul
Damit konnen wir jetzt den Erwartungswert der Energie
berechnen, also die Schrodingergleichung losen
∫
V
Ψ±HΨ±dτ = E±(R) (27)
Ergebnis
E± = 2E1s +C ± A
1± S(28)
Losung hat die gleiche Form wie fur den Fall des H+2 Molekulions
Einfuhrung in die Struktur der Materie 80
Die molekulare Bindung Kovalente Bindung
Das H2 Molekul
Coulombintegral
C = − e2
4πǫ0
∫
V1
dτ1
∫
V2
dτ2(φA(r1)·φB(r2))2
(1
r2A+
1
r1B− 1
r12− 1
R
)
(29)
Die Terme mit1
r1A
und1
r2B
sind schon in E1s enthalten
Uberlappintegral
S =
∫
V1
dτ1φA(r1) · φB(r1) ·∫
V2
dτ2φA(r2) · φB(r2) (30)
Verschwindet fur R →∞
Einfuhrung in die Struktur der Materie 81
Die molekulare Bindung Kovalente Bindung
Austauschintegral
A = − e2
4πǫ0
∫ ∫
dτ1dτ2 × (31)
φA(r1) · φB(r2)
(1
r2A+
1
r1B− 1
r12− 1
R
)
φA(r2) · φB(r1)
Austausch der Elektronen zwischen den Kernen
Einfuhrung in die Struktur der Materie 82
Die molekulare Bindung Kovalente Bindung
Angeregte Zustande
Bis jetzt haben wir den Fall betrachtet, daß zwei H 1s Orbitale das
H2 Molekul bilden
LCAO: H(1s) + H(1s)
Was passiert, wenn wir zwei andere Orbitale also z.B. 1s und 2p
kombinieren ?
LCAO: H(1s) + H(2p)
oder allgemein
LCAO: H(n1ℓ1) + H(n2ℓ2)
bzw. bei N Elektronen∑N
k=1(nkℓk )
Einfuhrung in die Struktur der Materie 83
Die molekulare Bindung Kovalente Bindung
0 2 64 8 10−20.0
−17.5
−15.0
−7.5
−5.0
−2.5
0.0
4 5 6
) + H( H(
) + H( H(
) + H( H(Energie in eV
Internuklearer Abstand in a0
) 1s 1s
) 1s 2l
) 3l 1s
Einfuhrung in die Struktur der Materie 84
Die molekulare Bindung Kovalente Bindung
Molekulpotentiale bei bei vielen Atomen
Potentialkurven konnen auch fur Molekule mit mehr als 2
Elektronen angegeben werden
3 Atome ⇐⇒ 3 Parameter fur die Geometrie
3 Abstande rk oder 2 Abstande rk und 1 Winkel θ
Potentialkurve:
E(r1, r2, r3) oder E(r1, r2, θ)E(...) beschreibt somit eine 3-dimensionale Flache
4 Atome:
6 Parameter (Abstande oder Winkel)
E(r1, r2, ..., r6) beschreibt eine 6-dimensionale Flache
Allgemein bezeichnet man E(...) als Hyperpotentialflache
Keine einfache grafische Darstellung mehr
Einfuhrung in die Struktur der Materie 85
Dynamik von Molekulen
Schwingungen und Rotationen
Bis jetzt haben wir immer den Fall betrachtet, daß die Kerne fest
sind
Was geschieht nun, wenn sich die Kerne bewegen konnen ?
Zwei Moglichkeiten
RotationVibration – Schwingung
Einfuhrung in die Struktur der Materie 87
Dynamik von Molekulen Rotationen
Rotationen
Rotation eines zweiatomigen Molekuls um seinen Schwerpunkt
MbMa
RaRb
S
Die Kerne werden als Punktformig angenommen
Schwerpunkt
RB ·MB = RA ·MA (32)
Einfuhrung in die Struktur der Materie 88
Dynamik von Molekulen Rotationen
Tragheitsmoment
I = MAR2A + MBR2
B (33)
=MA ·MB
MA + MB· (RA + RB)
2 (34)
= Mred · R2 (35)
Klassische Rotationsenergie
Erot =1
2I · ω2 =
L2
2I(36)
Quantenphysik: Der Drehimpuls L = I · ω ist gequantelt
L2 = J(J + 1)~2 (37)
Einfuhrung in die Struktur der Materie 89
Dynamik von Molekulen Rotationen
Damit wird die Rotationsenergie
Erot =L2
2I=
J(J + 1)~2
2I(38)
=J(J + 1)~2
2MredR2(39)
J ist die Rotationsquantenzahl
Einfuhrung in die Struktur der Materie 90
Dynamik von Molekulen Rotationen
Das Energiediagramm (Termdiagramm) eines starren Rotators (R
ist festgehalten) hat damit die Form
2
3
4
5
1J=0
Einfuhrung in die Struktur der Materie 91
Dynamik von Molekulen Rotationen
Wie sieht der Abstand zweier benachbarter Rotationsniveaus
aus ?
∆Erot =~
2
2MredR2[(J + 1)(J + 2)− J(J + 1)] (40)
=~
2
MredR2· (J + 1) =
~2
I(J + 1) (41)
Die Masse eines Molekuls und damit auch Mred ist bekannt, so
daß aus den Rotationsspektren somit der Abstand R bestimmt
werden kann
Das quantenmechanische Problem des Drehimpulses wurde
bereits fur das Wasserstoffatom behandelt und die Losung
konnen wir hier jetzt fur den starren Rotator ubernehmen.
Einfuhrung in die Struktur der Materie 92
Dynamik von Molekulen Rotationen
Die Wellenfunktion des starren Rotators sind somit die
Kugelflachenfunktionen
Ψrot(R) = YJM(ϑ, ϕ) (42)
Die Paritat der Kugelflachenfunktionen ist durch (−1)J gegeben
Die typischen Energien von Rotationsspektren liegen im Bereich
von 10−3 − 10−4 eV
Zur Untersuchung von Rotationsspektren ist somit die
Infrarotspektroskopie geeignet
Auswahlregeln sind somit identisch dener der optischen
Spektroskopie fur Dipolubergange durch das Dipolmatrixelement
gegeben
〈ψend |er |ψanf 〉 = e
∫
ψ∗
end rψanf dV (43)
Einfuhrung in die Struktur der Materie 93
Dynamik von Molekulen Rotationen
Paritat
Dipolubergange sind die einfachsten Ubergange durch
elektromagnetische Strahlung zwischen quantenmechanischen
Zustanden. Entsprechen dem Herzschen Dipol → schwingende
elektrische Ladung. Dipolmoment q ·~r .
? Wann ist 〈ψend |e~r |ψanf 〉 6= 0 ?
Paritat P: Punktspiegelung am Ursprung
P : ~r −→ −~rDer Operator e~r hat somit negative Paritat P = −1
Operator r2 hat positive Paritat, da r2 −→ (−r)2 = r2
〈ψend |e~r |ψanf 〉 =∫ψende~rψanf dτ
Damit 〈ψend |e~r |ψanf 〉 6= 0, muß der Integrand gerade sein
Die Paritat von Anfangs- ψanf und Endzustand ψend mussen
unterschiedlich sein
Einfuhrung in die Struktur der Materie 94
Dynamik von Molekulen Rotationen
Damit folgt die Auswahlregel
∆J = ±1 (44)
Die Ankopplung an eine elektromagnetische Welle erfordert einelektrisches Dipolmoment
O2, N2, . . . konnen nicht angeregt werden, aberNaCl, CO, OH− konnen untersucht werden
IR Spektren sind sehr einfach und zeigen aquidistante Linien
∆Erot =~
2
MredR2(J + 1) (45)
Einfuhrung in die Struktur der Materie 95
Dynamik von Molekulen Rotationen
Rotationspektrum eines HCl Molekuls
Einfuhrung in die Struktur der Materie 96
Dynamik von Molekulen Rotationen
(Historische) Konvention in der Spektroskopie
Angabe der Energie der Niveaus als Termwerte
ν = F =E
hc=
hν
hc=ν
c=
1
λ(46)
1/λ = ν ist die Wellenzahl gemessen in cm−1 und entspricht der
Zahl der Wellenlangen pro cm
Wellenzahl eines Uberganges
Frot =J(J + 1)~2
2hcMredR2= BeJ(J + 1) (47)
mit
Be =~
2
2hcMredR2(48)
Diese Werte sind in der Literatur tabelliert
Einfuhrung in die Struktur der Materie 97
Dynamik von Molekulen Rotationen
Rotationskonstanten einiger Molekule
Schwingung
Be(cm−1) R0(10−12m) ωe(cm−1)
H2 60.8 74.16 4159
N2 2.010 109.4 2330
O2 1.446 120.7 1556
Li2 0.673 267.3 246
NO 1.705 115.1 1876
HCl 10.59 127.4 2885
1cm−1 = 2.99 · 1010s−1 = 1.23992 · 10−4 eV
Schwingung: v = 0 → v = 1 Ubergang
Einfuhrung in die Struktur der Materie 98
Dynamik von Molekulen Schwingungen
Schwingungen (Vibrationen) zweiatomiger Molekule
Das Molekulpotential ist die Potentialkurve fur die Schwingung
Annaherung der Potentialkurve durch eine Parabel in der Nahe
des Gleichgewichtsabstandes R0
Einfuhrung in die Struktur der Materie 99
Dynamik von Molekulen Schwingungen
Klassisch
Ep(R) =1
2k(R − R0)
2 (49)
Ma Mb
R0
k
Ubergang zum Schwerpunktsystem und Einfuhrung von
Relativkoordinaten
Mred ·d2(R − R0)
dt2= −k(R − R0) (50)
Ansatz R − R0 = A · cosωt
−Mred · ω2 · A · cosωt = −k · A · cosωt mit ω =
√
k
Mred(51)
Einfuhrung in die Struktur der Materie 100
Dynamik von Molekulen Schwingungen
Quantenphysik:
Schrodingergleichung des harmonischen Oszillators
[
− ~2
2Mred· d2(R − R0)
dx2+
k
2(R − R0)
2
]
Ψvib(R−R0) = EvibΨvib(R−R0)
(52)
Die Eigenfunktionen des harmonischen Oszillators sind die
hermitschen Polynome
v Evib Ψvib
0 12~ω A0 · e−
α
2∆R2
1 32~ω A1 · 2∆R · e−
α
2∆R2
2 52~ω A2 · (1− 2α∆R2) · e−
α
2∆R2
3 72~ω A3 · (2∆R3 − 3α∆R) · e−
α
2∆R2
mit α = 1~
√
Mred · kEinfuhrung in die Struktur der Materie 101
Dynamik von Molekulen Schwingungen
3
2
1
v=0
+
−
+
−
Optische Dipolubergange: ∆v = ±1, da die Paritat wechseln muß
Ankopplung an eine elektromagnetisch Welle, wenndpel
dR6= 0, d.h.
das elektrische Dipolmoment muß sich andern
Keine Ankopplung an N2, O2, H2
Einfuhrung in die Struktur der Materie 102
Dynamik von Molekulen Schwingungen
Schwingungsspektren
∆Ev = [(v + 1) · ~ω − v · ~ω] = ~ω
IR-Spektrum des harmonischen Oszillators zeigt nur eine Linie
Aus dem Vibrationsspektrum konnen die reduzierte Masse Mred
und die Kopplungskonstante k ermittelt werden
Das Modell eines harmonischen Oszillators ist aber sicher etwas
zu einfach, da das Potential nur im Grundzustand einem
harmonischen Oszillator ahnelt
Absorp
tion
Photonenenergie
langwellig
Einfuhrung in die Struktur der Materie 103
Dynamik von Molekulen Schwingungen
Der anharmonische Oszillator
Wir wissen schon, wie das Potential eines zwei-atomigen
Molekuls aussieht
Um Schwingungen zu berechnen, wird haufig als empirischer
Ansatz das Morse Potential verwendet
Eel(R) = De
(
1− e−β(R−R0))2
mit β =
√
k
2De(53)
Einfuhrung in die Struktur der Materie 104
Dynamik von Molekulen Schwingungen
Schwingungen
Harmonische Naherung fur kleine Auslenkungen
Entwicklung von (1− x)2
Epot(R) = De(1− 1 + β(R − R0))2 (54)
In 1. Naherung ist somit
Epot(R) ≈ Deβ2(R − R0)
2, (55)
was genau einer Parabel entspricht
Einfuhrung in die Struktur der Materie 105
Dynamik von Molekulen Schwingungen
���
���
���
�
�
��
����
����
�
� ���� ��
���� ��
�������� ���
Energieskalen in Molekulen:
Elektronisch:
∆E = V1 − V0 & eV
Vibration:
∆EVib∼= 0.1 eV
Rotation:
∆ERot∼= meV
Einfuhrung in die Struktur der Materie 106
Dynamik von Molekulen Schwingungen
Zusammenfassung Zweiatomige Molekule
Die Born-Oppenheimer Naherung erlaubt die Separation von
Elektronen-, Vibrations- und Rotationsbewegung
H = HEl +HVib +HRot (56)
Ψ(R, r) = ΨEl(R, r)ΨVib(R)ΨRot(ϑ, ϕ) (57)
Produktdarstellung der Wellenfunktion
Die Energie ist damit
E = Eges = EEl + EVib + ERot (58)
Einfuhrung in die Struktur der Materie 107
Dynamik von Molekulen Rovibronische Spektren
Rotation dreiatomiger Molekule
Lineare Molekule : z.B. O–C–O CO2
O OC
Drei Orthogonale Rotationsachsen
Die Tragheitsmomente um die beiden Achsen ⊥ zur Molekulachse
sind gleich, die Rotation um die Molekulachse entfallt
Einfuhrung in die Struktur der Materie 108
Dynamik von Molekulen Rovibronische Spektren
Rotation dreiatomiger Molekule
Nichtlineare (gewinkelte) Molekule : z.B. H2O
H
H
O
Drei Orthogonale Rotationsachsen durch den Schwerpunkt
Alle drei Tragheitsmomente sind verschieden
Einfuhrung in die Struktur der Materie 109
Dynamik von Molekulen Rovibronische Spektren
Schwingungen dreiatomiger Molekule
H H
O
H H
O
H H
O
symmerischeStreckmode
3657 cm−1
Biegeschwingung
1595 cm−1
asymmetrischeStreckschwingung
Schwingung nichtlinearer
(gewinkelter) Molekule
Beispiel H2O
Die beiden
Streckschwingungen haben
sehr ahnliche Energien
Einfuhrung in die Struktur der Materie 110
Dynamik von Molekulen Rovibronische Spektren
Rotations-Vibrationsspektren
Wie sehen typische Rotations und Vibrationsspektren von
Molekulen aus ?
Beispiel CO
Eine Hauptschwingungsbande und schwachere Obertone
Spektrum mit niedriger Auflosung
Einfuhrung in die Struktur der Materie 111
Dynamik von Molekulen Rovibronische Spektren
Rotations-Vibrationsspektren
CO Spektrum der Hauptbande mit hoher Auflosung
Beobachtung der Rotationsstruktur
Rotation und Vibration konnen nicht getrennt beobachtet werden,
da ein schwingendes Molekul eigentlich auch immer rotiert
Einfuhrung in die Struktur der Materie 112
Dynamik von Molekulen Rovibronische Spektren
Rotations-Vibrationsspektren
Rotations-Vibrationsspektren komplizierter Molekule: CH3I
Einfuhrung in die Struktur der Materie 113
Dynamik von Molekulen Rovibronische Spektren
Bedeutung von Schwingungen und Rotationen
Spektrum Sonne und Erde
Einfuhrung in die Struktur der Materie 114
Dynamik von Molekulen Rovibronische Spektren
Bedeutung von Schwingungen und Rotationen
Absorption Luft mit Wasser und CO2
Einfuhrung in die Struktur der Materie 115
Mehratomige Molekule
Mehratomige Molekule
Wir wollen jetzt eine sehr einfache Theorie entwickeln, um die
Bindung in Molekulen mit mehr als zwei Atomen zu verstehen
Dazu mussen wir den Aufbau von komplexeren Orbitalen wie πoder δ-Orbitalen verstehen
Wir wissen schon, daß σ-Orbitale durch Linearkombination von
atomaren s-Orbitalen entstehen
Einfuhrung in die Struktur der Materie 117
Mehratomige Molekule Orbitale
σ −Orbitale
σg
bindend
σu
antibindend
pz
pz
Einfuhrung in die Struktur der Materie 118
Mehratomige Molekule Orbitale
Kombination von atomaren Orbitalen
Form der atomaren p-Orbitale
px =1√2
(−Y1,1 + Y1,−1
)=
√
3
4π· x
r|m| = 1 (59)
py =1√2
(Y1,1 + Y1,−1
)=
√
3
4π· y
r|m| = 1 (60)
pz = Y1,0 + Y1,−1 =
√
3
4π· z
r|m| = 0 (61)
Einfuhrung in die Struktur der Materie 119
Mehratomige Molekule Orbitale
Form der molekularen Orbitale
πu
bindendEinfuhrung in die Struktur der Materie 120
Mehratomige Molekule Orbitale
Form der molekularen Orbitale
π
antibindend
Einfuhrung in die Struktur der Materie 121
Mehratomige Molekule Orbitale
Bindungsenergien
Auffullen der molekularen Einelektronenorbitale → Konfiguration
H2 (1sσg)2 4.48 eV
Li2 (1sσg)2(1sσu)
2(2sσg)2 1.03 eV
N2 (1sσg)2(1sσu)
2(2sσg)2(2sσu)
2(2pπu)4(2pσg)
2 9.76 eV
O2 (1sσg)2(1sσu)
2(2sσg)2(2sσu)
2(2pπu)4(2pσg)
2(2p∗πg)2 5.1 eV
Einfuhrung in die Struktur der Materie 122
Mehratomige Molekule Orbitale
Korrelationsdiagram
Abschatzung der Bindungsenergie uber Korrelationsdiagramme
2H Li2 N2
2s
2p
3s
3p
3d
1s
1s
2s
2p
3s
3p
3d
4s4p4d
AtomeVereinigete
AtomeSeparierte
Abstand der Atome0
Einfuhrung in die Struktur der Materie 123
Mehratomige Molekule Orbitale
Heteronukleare Molekule
Keine Inversionssymmetrie mehr → keine genau Angabe von
gerade (g) und ungerade (u) moglich.Ladungstransfer
elektrisches DipolmomentExtremfall: rein ionische BindungLadung ist (nahezu) vollstandig transferiert (NaCl, LiF)
Einfachstes Beispiel LiHBindung besitzt kovalenten und ionischen AnteilEinfache ModelvorstellungLadungstransfer Li → H80% des e− sitzt am H-AtomH-Atom ist elektronegativer als LiMolekul besitzt ein elektrisches Dipolmoment
Einfuhrung in die Struktur der Materie 124
Mehratomige Molekule Orbitale
Orbitale polyatomarer Molekule
Der LCAO Ansatz soll nun auf mehratomige Molekule erweitert
werden
Beispiel H2O – gewinkeltes Molekul
2 × H 1s + 1× O 1s22s22p4
px + s → σpy + s → σpz ist voll
90◦ Winkel im Modell
Experiment: 104.5◦
Ursache: H-H Repulsion
Ist in unserem Modell nicht
berucksichtigtH
H
Ox
y
z
Einfuhrung in die Struktur der Materie 125
Mehratomige Molekule Orbitale
Orbitale polyatomarer Molekule
Beispiel NH3 – Tetraeder
3 × H 1s + 1× N 1s22s22p3
px , py , pz jeweils halbbesetzt
90◦ Winkel im Modell
Experiment: 107.5◦
Modelle zeigen in die richtige
Richtung sind aber nicht
befriedigendH
H
H
x
y
N
z
Einfuhrung in die Struktur der Materie 126
Mehratomige Molekule Orbitale
Orbitale polyatomarer Molekule
Bildung von Molekul-Hybridorbitalen
sp - Hybridorbital
Beispiel C2H2 Azetylen
2 × H 1s + 2 × C 1s22s22p2
Vernachlassigen des Bindungsunterschieds zwischen 2s und 2p
Orbitalen
2s
2p z
2 C Elektronen in σ2 C Elektronen in px , py → π
Einfuhrung in die Struktur der Materie 127
Mehratomige Molekule Orbitale
Orbitale polyatomarer Molekule
Bindung im Azetylen
1 ×σ Bindung und 2×π Bindung
spspsp sp
H 1sH 1s
σσ σbindend
spspsp sp
H 1sH 1s
σσ σbindend
px px
px pxpy
spspsp sp
H 1sH 1s
σσ σbindend
analog
Dreifachbindung zwischen C-Atomen
Kohlenwasserstoff mit π Bindungen sind ungesattigt
Kohlenwasserstoffe die nur σ Bindungen besitzen sind gesattigt
π Bindungen im Randbereich des Molekuls → reaktiverEinfuhrung in die Struktur der Materie 128
Mehratomige Molekule Orbitale
Orbitale polyatomarer Molekule
Weiteres Beispiel: Aethylen C2H4
sp2-Hybridorbitale
Drei Elektronen pro C-Atom in sp2, ein Elektron in pz
Ψ1 =1√3
(
s +√
2px
)
(62)
Ψ2 =1√3
(
s − 1√2
px +
√
3
2py
)
(63)
Ψ3 =1√3
(
s − 1√2
px −√
3
2py
)
(64)
x
y
z
Einfuhrung in die Struktur der Materie 129
Mehratomige Molekule Orbitale
Aethylen C2H4
sp2
sp2
sp2sp2
sp2
Einfuhrung in die Struktur der Materie 130
Mehratomige Molekule Orbitale
Aromatische Molekule
Wichtiges Beispiel: Benzol C6H6, ebenes Molekul
in der Ebene sp2-Orbitale, davon je drei e− pro C-Atom gebunden
Pro C-Atom eine e− in pz Orbital
π Bindung
Benzol Molekul ist hochsymmetrisch – Beide Konfiguration sind
gleichwertig und die π Elektronen sind uber das gesamte Molekul
verteilt
Molekulorbital ist gegeben durch
ΨBenzol =6∑
i=1
ciψi (65)
Einfuhrung in die Struktur der Materie 131
Mehratomige Molekule Orbitale
Große organische Molekule
Polyazetylen – Kettenmolekul
Wir betrachten nur die π Orbitale
λ
= 2 aλ
= 12 aa
Einfuhrung in die Struktur der Materie 132
Mehratomige Molekule Orbitale
Große organische Molekule
Aufspaltung der atomaren Energieniveaus durch die Bildung von
großen π Orbitalen
Energieaufspaltung
E
aMolekularerFestkörper
Atom
E =~
2k2
2m=
~2(2π)2
2mλ2∝ 1
λ2(66)
Einfuhrung in die Struktur der Materie 133
Mehratomige Molekule Orbitale
Sehr große Molekule
Biologische Molekule
Chlorophyll
β-Carotin
Einfuhrung in die Struktur der Materie 134
Mehratomige Molekule Orbitale
Graphit – Schichtkristalle
Bei immer großer werdenden Molekulen tritt dann der Ubergang
zum Festkorper auf.
Beispiel ist Graphit
σ-Bindung in der Ebene diedurch sp2-Orbitale gebildetwerden
π-Bindung außerhalb derEbene
π-Bander/Orbitale sind nicht voll gefullt → Graphit ist parallel zu
den Ebenen ein guter Leiter
Beispiel fur eine kovalente Bindung im Festkorper
Weitere kovalente gebundene Festkorper sind z.B. Diamand, Si,
Ge
Bindung bei diesen Systemen jeweils durch sp3-OrbitaleEinfuhrung in die Struktur der Materie 135
Mehratomige Molekule Orbitale
Graphene
Eine einzelne Lage aus Graphit wird als Graphene bezeichnet
Nobelpreis fur Physik im Jahr 2010
From Nobelprize.org
Potentiell sehr interessant fur Anwendungen aufgrund seiner
Eigenschaften, z.B. fur neuartige Elektronik
Einfuhrung in die Struktur der Materie 136
Mehratomige Molekule Orbitale
sp3-Orbitale
Tetraederstruktur
Beispiel CH4 (Methan)
1 C 1s22s22p2 + 4 H 1s
Ψ1 =1
2
(
s +√
3pz
)
Ψ2 =1
2
(
s +
√
8
3px −
1√3
pz
)
Ψ3 =1
2
(
s −√
2
3px +
√2py −
1√3
pz
)
Ψ4 =1
2
(
s −√
2
3px −
√2py −
1√3
pz
)
Einfuhrung in die Struktur der Materie 137
Mehratomige Molekule Orbitale
sp3 Festkorper
sp3 Hybridorbitale sind in einigen weiteren Elementen wie z.B. Si
fur die kovalente Bindung verantwortlich
4 e− pro Si Atom in sp3
Orbital
Nachbaratom gibt auch 1 e−
pro sp3 Orbital
⇒ alle Orbitale besetzt ⇒ C
Isolator; Si, Ge Halbleiter
Energie pro Bindung
C-C 3.6 eV
Si-Si 1.8 eV
Ge-Ge 1.6 eV
Si
SiSi
Si
Einfuhrung in die Struktur der Materie 138
Moderne Molekulphysik Femto-Chemie
Dynamik chemischer Prozesse
In den letzten Jahren ist es moglich geworden die Dynamik
chemischer Prozesse, d.h. wie z.B. ein Molekul entsteht
(gebunden wird) oder dissoziert auf einer zeitlichen Skala im
Bereich von fs (10−15s) zu beobachten
Femtosekunden Spektroskopie
Nobel-Preis fur Chemie 1999: A. Zewail
Idee: Verwende zwei ultrakurze Laserpulse und beobachte wie
sich die elektronische Struktur des Molekuls andert
Pump-Probe Spektroskopie
Einfuhrung in die Struktur der Materie 139
Moderne Molekulphysik Femto-Chemie
Dynamik chemischer Prozesse
Erst seit kurzem ist es auch moglich die Anderung der
geometrischen Struktur direkt zubeobachten
Beugungsbild eines Molekuls enthalt die geometrische
Information
Streue Elektronen zeitaufgelost an einem angeregten Molekul
Anregung des Molekuls mit einem fs-Laserpuls
Erzeugung eines ultrakurzen fs-Elektronenpulses mittels des
fs-Laserpulses (Photokathode)
Einfuhrung in die Struktur der Materie 142
Moderne Molekulphysik Fullerene und Cluster
Fullerene und Cluster
Cluster, zu denen haufig auch die Fullerene gezahlt werden, stellen
eine spezielle Gruppe von Systemen dar. Ein Cluster besteht aus einer
definierten Anzahl von Atomen oder Molekulen der gleichen Art.
Beispiele
Kohlenstoffcluster C60 (Fullerene)
Metallcluster Pt13
Die Eigenschaften andern sich stark mit der Anzahl der Atome
Jedes Atoms zahlt
Einfuhrung in die Struktur der Materie 143
Moderne Molekulphysik Fullerene und Cluster
Fullerene und Cluster
Anwendung in der Nanotechnologie: Gezielte Synthese von
massenselektierten Clustern, die bestimmte, herausragende
Egenschaften haben
Effektive Speicherung von Wasserstoff H2 als Energietrager der
Zukunft (Aluminium ?)
Nanoskalige, magnetische Speicher
Katalyse, z.B. die katalytische Oxidation von CO zu CO2
Cluster stellen das Bindeglied dar, zwischen kleinen, molekularen
Systemen (wenige bis zu einigen 1000 Atomen) und Festkorpern mit
> 1010 Atomen, die wir im folgenden behandeln wollen.
Einfuhrung in die Struktur der Materie 144
Moderne Molekulphysik Fullerene und Cluster
C60 – Buckyball
Einfuhrung in die Struktur der Materie 146
Moderne Molekulphysik Fullerene und Cluster
Ein magnetisches Molekul – Mn12-Azetat
Einfuhrung in die Struktur der Materie 148
Moderne Molekulphysik Fullerene und Cluster
Cluster – Katalyse
Beispiel: Oxidation von CO zu CO2
Drosophila der Katalyseforschung
Einfuhrung in die Struktur der Materie 149
Moderne Molekulphysik Fullerene und Cluster
Nanotubes
Eine sehr spezielle Form von
Fullerenen stellen Kohlenstoff-
Nanotubes dar. Dies sind kleine
Rohren, die wie die Fullerene aus
Funf- und Sechsecken aufgebaut
sind. Sie sind jedoch nicht rund,
sondern konnen große Langen
erreichen.
Eine neuere Bezeichnung ist auch
Rolled Graphene .
Einfuhrung in die Struktur der Materie 150
Moderne Molekulphysik Fullerene und Cluster
Nanotubes
Interessant sind diese Systeme vor allem fur potentielle Anwendungen.
Grund sind z.B. die sehr hohe Festigkeit von Nanotubes.
Space Elevator
Einfuhrung in die Struktur der Materie 151
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