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Vorlesung AFS, 06.06.2007 1
Erstellung von SimulationsmodellenIn MATLAB/Simulink
Christian Müller
Letzte Woche: Auslegung der Klimaanlage durch stationäreGleichungen ⇔ Berechnung des Gleichgewichtszustand
Diese Woche: Auslegung der Klimaanlage durch dynamische Simulationen
• Interaktion zwischen den einzelnen Komponenten.
• Wie lange dauert es bis das Gleichgewicht erreicht wird?
Klimaanlage ⇔ Temperaturregelung (Dynamisch)
Der Reglerw: Sollwerte: Regeldifferenzu: Stellgrößed: Störgrößey: RegelgrößeRückkopplung
Klimaanlage ⇔ Luftverteilungssystem
Beschreibung von Luft/Gassystemen
Luft ⇔ GasgemischZustandsgrößen:
Druck: p(t)Temperatur: T(t)Dichte: ρ(t)
Charakterisierung Gasgemisch:
Spezifische Gaskonstante: R(t)Spezifische Wärmekapazitäten: cp(t), cv(t)
)t(T)t(R)t(p ρ=Ideale Gasgleichung:
Charakterisierung Gasgemisch:
Spezifische Gaskonstante: R(t)
Spezifische Wärmekapazitäten: cp(t), cv(t)
)t()t()t(R)t(R)t(R)t()t(R
321
332211
ρ
ρ
ρ
ρρρ++++
=
)t()t()t(c)t(c)t(c)t(
)t(c321
3p3
2p2
1p1
p ρ
ρ
ρρ
ρ
ρ
++
++=
Standard Gasgemisch
KkgJR /287=Trockene Luft:
Kkg/J1004cp =
Kkg/J717Rcc pv =−=
Realität: In der Luft befindet sich CO2 und Wasserdampf
Standard Einheiten
Es ist notwendig mit einem standardisierten Einheitensystem zu arbeiten (SI: Système international d'unités )
Länge L: [m]Fläche A: [m²]Volumen V: [m³]Masse m: [kg]Zeit t: [s]Kraft F: [N]=kg m/s²Druck p: [Pa]=kg/m s²Energie, Arbeit E,W: [J]=kg m²/s²Temperatur T: [K]=°C+273.15
z.B.: spezifische Wärmekapazität c: [J/kg K]
Dynamische Simulation mit Simulink
Die einzelnen Blöcke sind untereinander rückgekoppelt.
Der innere Aufbau eines Blocks:
Standard Simulink Blöcke
Konstantenblock:
Gain:
Integrator:
1. Modell
1. Modell
beschreibt ein System mit: p(t)=ρ(t)=Const
Differentialgleichung:
[ ]cabinpout,dotinpin,dotdotpcabin
TcmTcmQcm
1dt
)t(dT−+=
[ ]cabinpout,dotinpin,dotdotpcabin
TcmTcmQcm
1dt
)t(dT−+=
Die zugrunde liegende Differentialgleichung:
Eingehende Massenfluß: mdot,in
Temperatur des eingehenden Massenfluß: TinAusgehender Massenfluß: mdot,out=mdot,in=mdot
Gültig für ein System: p(t)=ρ(t)=Const
Differentialgleichung für ein einfaches Kabinenmodell
Definition der Parameter
Qdot,amb-cabin: Q_dot_amb_cabin=9500WQdot,cargo-cabin: Q_dot_amb_cabin=900W Qdot,elec: Q_dot_elec=10000WQdot,pax: Q_dot_pax=22000W Qdot,sun: Q_dot_sun=7200W
V: V=670m³mdot: m_dot=2kg/smcabin: m_cabin=759.88kg
cp: c_p=1004J/kg KR: R=287J/kg KStartwert Tcabin: T_cabin_initial=38°C=311.15K
Zustand: Das Flugzeug befindet sich am Boden. Die Außentemperatur beträgt 38°C. Flugzeug soll auf 24°C abgekühlt werden.
Herleitung der Differentialgleichung
Ideale Gasgleichung: )t(T)t(R)t(p ρ=
Differentielle Form:dt
)t(dT)t(R)t(Tdt
)t(dRdt
)t(dp ρρ+=
Massenbilanz: out,dotin,dotdot mmmdt
)t(dVdt
)t(dm−==
ρ
Energiegleichung: V)t(p)t(U)t(H +=
Enthalpie = Innere Energie + Volumenarbeit
Differentielle Form: Vdt
)t(dpdt
)t(dUdt
)t(dH+=
Die Enthalpie (Gesamtenergie) lässt sich schreiben als:)t(Tc)t(m)t(H p=
Vdt
)t(dpdt
)t(dUdt
)t(dTc)t(m)t(Tcdt
)t(dmpp +=+⇒
2. Modell: Idealisierte Kabine
Beschreibt ein System mit: p(t)=Const (isobar)
Berechnung ausgehender Massenstrom:
dt)t(dT
)t(T)t(mmm
dt)t(dm
out,dotin,dot −=−=⇒Tc
TcmQm
p
inpin,dotdotout,dot
+=
3. Modell
Gültig für ein System: p(t)=Const (isobar)
Vdt
)t(dpdt
)t(dUdt
)t(dTc)t(m)t(Tcdt
)t(dm .1
0
pp321
+=+
dt)t(dT)t(R)t(T
dt)t(dR
dt)t(dp .2
0
ρρ+=
321
0dt
)t(dUdt
)t(dT)t(T)t(m
dt)t(dm
=⇒−=⇒
TcTcmQ
mp
inpin,dotdotout,dot
+=⇒
4. Modell: Allgemeines Volumen (kompressibel)
Ideale Gasgleichung: )t(T)t(R)t(p ρ=
Massenbilanz: out,dotin,dot mmdt
)t(dVdt
)t(dm−==
ρ
Zustandsgrößen: p(t), ρ(t) , T(t)
Parameter: V=Const
[ ])TcTc(m)TcTc(mQc)t(m
1dt
)t(dTvpout,dotvinpin,dotdot
v
−−−+=
Differentialgleichung Temperatur:
Kompressibilität
Herleitung der Differentialgleichung
Energiegleichung: V)t(p)t(U)t(H +=
[Enthalpie = Innere Energie + Volumenarbeit]
Differentielle Form: Vdt
)t(dpdt
)t(dUdt
)t(dH+=
Die Enthalpie (Gesamtenergie) lässt sich schreiben als:)t(Tc)t(m)t(H p=
Vdt
)t(dpdt
)t(dUdt
)t(dTc)t(m)t(Tcdt
)t(dmpp +=+⇒
TcmTcmQdt
)t(dUpout,dotinpin,dotdot −+=Änderung Innere Energie:
Allgemeines Volumen (kompressibel)
Vdt
)t(dpdt
)t(dUdt
)t(dTc)t(m)t(Tcdt
)t(dm .3 pp +=+
out,dotin,dotdot mmmdt
)t(dVdt
)t(dm .2 −==ρ
dt)t(dT)t(mR)t(T
dt)t(dmR
dt)t(dpV .1 +=
[ ])TcTc(m)TcTc(mQc)t(m
1dt
)t(dTvpout,dotvinpin,dotdot
v
−−−+=⇒
5. Modell: Druckausgleich, Stömungswiderstand
Druckenergie ⇔ Kinetische Energie
221 v
2ppp(t) ρ∆ =−=
v: Strömungsgeschwindigkeit
vA(t)mdot ρ=
Strömungswiderstand
Druckenergie ⇔ Kinetische Energie2
21 v2ρ
=−= pppdyn
v: Strömungsgeschwindigkeit
v(t)dot ρAm =Berechnung Massenstrom
100 101 102 103 104 105 10610-3
10-2
10-1
100
101
102
Singularität
Turbulente StrömungLaminare Strömung
log(λ
)
log(Re)
ηρ
ζ
ρρ∆
ηρ
η∆
⋅⋅=
⋅⋅+=
⋅⋅==
⋅⋅⋅
==
−−
D
p
DL
pD
ii
iGii
Init
Inito
'vRe
)(Re12)'v
2('v
'vReRe
8
)2/(v'v
1
21
00
2
11 'v001,0'v'v −− ⋅<− iii
Algorithmus
Abbruchbedingung:
Abschätzung des Startwertes (Hagen-Poiseuille)
Laminare Strömung
Turbulente Strömung
Widerstandsbeiwerte durch Rohreinbauten bzw. Richtungsänderungen:
Allgemeiner Strömungswiderstand
221 v
2p(t) ρζ
∆
=−= pp
Zeta-Wert
Widerstandsbeiwerte durch Reibung:
νλ
ζ
ρζ
ζ
∆
DvRe , (Re)
v2
)(p(t) 2
==
+=
DL
S
S
Allgemeiner Strömungswiderstand
)()(p(t)~
dotdot mfVf ==∆Es gilt:
4.1 , )()( 1
2
1
2
1
2
1 ==== −
v
p
cc
TT
pp κ
ρρ κ
κκ
Isentrope Zustandsgleichung:
Zustandsgrößen: mdot(t), ρ(t) , T(t)Parameter: Durchmesser: D
Länge: LZeta-Wert: ζ
Vorlesung AFS, 13.06.2007 19
LTTAQ Cond
dot21 −= λWärmeleitung:
Allgemeine Wärmewiderstände
Konvektion:( )Conv
dotConv
dotS
SConv
dotSConv
dot
QQcmdt
tdTTTAQTTAQ
2,1,
22,
2,11,
1)()''( , )'(
−=
−=−= α
α
Wärmestrahlung: )( 44 TTAQ SRad
dot −⋅⋅⋅= σ
ε
Wärmetauscher: Dynamisch
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