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Filtros Digitales
INCONVENIENTES:
VENTAJAS:
• Características imposibles con filtros analógicos (fase lineal)• No cambian cualquiera que sea el entorno• Procesamiento de varias señales con un único filtro• Posibilidad de almacenar datos• Repetitividad• Uso en aplicaciones de muy bajas frecuencias
Algoritmo implementado sobre hardware que opera sobre señales analógicas digitalizadas o sobre señales digitales almacenadas.
• Limitación de velocidad• Efectos de la longitud finita de las palabras• Tiempos de diseño y desarrollo
Filtros Digitales
- Clasificación de los Filtros Digitales.
- IIR : Respuesta al Impulso Infinita.
- FIR : Respuesta al Impulso Finita.
[ ] [ ] [ ]∑∞
=−=
0k
knxkhny [ ] [ ] [ ]∑ ∑= =
−+−=M
k
N
k
kk knyaknxbny
0 1
( )∑
∑
=
−
=
−
−=
N
k
kk
M
k
kk
za
zb
zH
1
0
1
[ ] [ ] [ ]∑=
−=M
k
knxkhny
0
[ ] [ ] [ ]∑=
−δ⋅=M
k
knkhnh
0( ) [ ]∑
=
−⋅=M
k
kzkhzH
0
2
Filtros Digitales
a. Especificación de las Características del filtro.
b. Cálculo de los Coeficientes.
c. Elección de la Estructura. Realización.
d. Análisis de los Efectos de Precisión Finita.
e. Implementación del filtro mediante software y/o hardware adecuado.
PASOS EN EL DISEÑO DE FILTROS:
Filtros Digitales- Especificación de las Características del filtro.
( ) ( )( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )inadalimebandalaenmínimaAtenuaciónlogdBs
pasodebandalaenmáximaAtenuaciónlogdBs
Hlog)(H
logdBs
a
p
2
1
20
120
201
20
δ⋅−=α
δ−⋅−=α
Ω⋅−=Ω
⋅=α
( ) ( )
( ) ( ) ( )inadalimebandalaenmínimaAtenuaciónlogdBs
pasodebandalaenrizadologdBsr
aa
p
pp
δ⋅−=α
δ+δ−
⋅−=
20
1
120
3
RELACIÓN SISTEMAS CONTINUOS - SISTEMAS DISCRETOS (I)
( )( )
ω>ωπ>ω
ω<ωπ<ωΩ=ω
ω=Ω
2;0
2;
s
s
s
sT
eff
óT
óT
H
Hs
( ) ( ) π<Ω
Ω=ω=Ω Ω=ω;
seff
T
effT
HHH
s
Bloque A/D:
F
RELACIÓN SISTEMAS CONTINUOS - SISTEMAS DISCRETOS (II)
( ) ( ) ( ) ( ) ( )∑∞
−∞=−δ⋅=⋅=
nsccs nTttxtstxtx
F
( ) ( )∑∞
−∞=ω−ω⋅=ω
ksc
ss kX
TX
1
( ) ( ) ( )∑∞
−∞=−δ⋅=
nsscs nTtnTxtx ( ) ( )∑
∞
−∞=
ω−⋅=ωn
nTjscs
senTxX
( ) [ ]∑∞
−∞=
Ω−⋅=Ωn
njenxX ( ) ( )∑∞
−∞=
ω−⋅=ωn
nTjscs
senTxX
( ) ( ) ( ) ∑∑∞
−∞=
∞
−∞=
π−Ω=ω−ω⋅=ω=ΩΩ
=ω
Ω=ω
k ssc
ksc
ss
T
k
TXkX
TXX
sTsT
21
4
Bloque D/A:
[ ]∑∞
−∞=
Ω−⋅=Ωn
njenyY )(
[ ]∑∑∞
−∞=
ω−∞
−∞=
ω− ⋅=⋅=ωn
nTj
n
nTjsss
ss enyenTyY )()(
sTs YY ω=ΩΩ=ω )()(
RELACIÓN SISTEMAS CONTINUOS - SISTEMAS DISCRETOS (III)
( ) ( )sT
rrsc YHHYY ω=ΩΩ⋅ω=ω⋅ω=ω )()()(
( ) ∑∞
−∞=
π−Ω⋅⋅Ω=Ω⋅Ω=Ωk ss
cs T
k
TX
THXHY
21)()()(
( )∑∞
−∞=ω−ω⋅⋅Ω=Ω=ω ω=Ωω=Ω
ksc
ss kX
THYY
sTsT
1)()()(
RELACIÓN SISTEMAS CONTINUOS - SISTEMAS DISCRETOS (IV)
( ) ( ) ( ) ( ) ( )∑∞
−∞=ω−ω⋅⋅Ω⋅ω=ω⋅ω=ω ω=Ω
ksc
srsrc kX
THHYHY
sT
1)(
( )( ) ( )
ω>ωπ>ω
ω<ωπ<ωΩ⋅ω=ω
ω=Ω
2;0
2;
s
s
s
sTc
c
óT
óT
HX
Ys ( ) ( ) ( )ω⋅ω=ω ceffc XHY
( )( )
ω>ωπ>ω
ω<ωπ<ωΩ=ω
ω=Ω
2;0
2;
s
s
s
sT
eff
óT
óT
H
Hs
5
RELACIÓN SISTEMAS CONTINUOS - SISTEMAS DISCRETOS (V)
Ejemplo: Obtener la plantilla de un filtro digital que se va a utilizar para realizar un filtrado paso bajo de una señal continua, utilizando la estructura de la figura anterior, conlas siguientes características:
El periodo de muestreo será Ts = 10-4 segundos.
( )( ) s/rad;,H
s/rad;,H,
eff
eff
300020010
200020011990
⋅π≥ω<ω
⋅π≤ω≤<ω<
RELACIÓN SISTEMAS CONTINUOS - SISTEMAS DISCRETOS (VI)
( )( )
30002
20002
60200010
0860120010
⋅π=ω
⋅π=ω−=δ⇒=δ
=δ+⇒=δ
a
p
aa
pp
dBlog,
dB,log,
.rad,T
.rad,T
saa
spp
π=⋅⋅π=⋅ω=Ω
π=⋅⋅π=⋅ω=Ω−
−
601030002
401020002
4
4
⇒⋅ω=Ω⇒ sT
6
DISEÑO DE FILTROS IIR A PARTIR DE FILTROS ANALÓGICOS
PROCESO:
ESPECIFICACIONES FILTRO DIGITAL↓
ESPECIFICACIONES FILTRO ANALÓGICO↓
FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA ANALÓGICA H(s)↓
FUNCIÓN DE SISTEMA H(z)
-Respuesta al impulso invariante.
- Transformación bilineal.
s z
↔ω ↔ Ω
վSIMILITUDES CON LOS ANALÓGICOS ⇒ RELACIÓN
RESPUESTA AL IMPULSO INVARIANTE (I)
CONCEPTO: Obtener la Respuesta Impulsiva del Filtro Discreto Muestreando la de un Filtro Continuo
[ ] ( )h n T h nTd c d= ck d d
2 kH( ) H
T T
∞
=−∞
Ω π⇒ Ω = −
∑
Ω = ω Td
( ) ( )c c
d d
H H SIEMPRE QUE H 0T T
Ω πΩ = ∀ Ω < π ω = ∀ ω ≥
( )H ω
ω
dT
πdT
π−( )H Ω
Ωπ−π 2π 3π 4π2− π3− π4− π
7
RESPUESTA AL IMPULSO INVARIANTE (I)
CONCEPTO: Obtener la Respuesta Impulsiva del Filtro Discreto Muestreando la de un Filtro Continuo
[ ] ( )h n T h nTd c d= ck d d
2 kH( ) H
T T
∞
=−∞
Ω π⇒ Ω = −
∑
Ω = ω Td
( ) ( )c c
d d
H H SIEMPRE QUE H 0T T
Ω πΩ = ∀ Ω < π ω = ∀ ω ≥ ( )H ω
ω
dT
πdT
π−
( )H Ω
Ωπ−π 2π 3π 4π2− π3− π4− π
( ) ∑= −
=N
1k k
kc ss
AsH
( )h t
A e t
c
ks t
k
Nk
=∀ ≥
∀
=∑
10
0
,
, t < 0
[ ] [ ]h n T A e u nd ks nT
k
Nk d=
=∑
1
( ) ∑= −−
=N
1k1Ts
kd
ze1
ATzH
dk
SUPONEMOS OBTENIDA:
OBTENCIÓN DE LA TRANSFORMADA INVERSA DE LAPLACE
MUESTREANDO hc (t) SE OBTIENE:
APLICANDO TRANSFORMADA Z:
RESPUESTA AL IMPULSO INVARIANTE (II)
8
RESPUESTA AL IMPULSO INVARIANTE (III)
( ) ( )k d
N Nd kk
c s T 1k 1 k 1k
T AAH s H z
s s 1 e z−= =
= → =− −∑ ∑
ESTABILIDAD
COEFICIENTES
POLOS
PLANO ZPLANO S
ks
kA kd AT
kd sTe
0Re <ks 1Re <kd sTe
RESPUESTA AL IMPULSO INVARIANTE (IV)
Ejemplo: Convertir el filtro analógico con función de transferencia:
( )( ) 91.0
12 ++
=s
sHc
en un filtro IIR digital aplicando la invarianza al impulso.
jsp 31.0 ±−= ( )js
j
js
jsHc 31.0
6
1
31.06
1
−+−
++=
( ) ( ) ( ) 131.0131.0 1
6
1
1
6
1
−+−−−− −−
−=
ze
jT
ze
jTzH
dd Tj
d
Tj
d
( )( )
( ) 220110
110
321
33
1
−−−−
−−
+⋅⋅−
⋅⋅=
zezTcose
zTseneT
zHdd
d
T.d
T.
dT.
d
9
RESPUESTA AL IMPULSO INVARIANTE (V)
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1010
-3
10-2
10-1
100
101
ω/π (rad/s)
|H( ω
)| (
dBs)
Módulo de la respuesta en frecuencia del filtro analógico
1/T11/T2
1/T3
1/T4
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 110
-3
10-2
10-1
100
101
Ω /π|H
( Ω)|
(dB
s)
Módulo de la respuesta en frecuencia del filtro digital
T4
T3
T2
T1
TRANSFORMACIÓN BILINEAL (I)
1
1d d
2 1 z 2 z 1s
T 1 z T z 1
−
−
− − = = + +
d
d
T1 s
2zT
1 s2
+=
−
SemiplanoIzquierdo Interior Circunferencia Unidad
SemiplanoDerecho
Exterior Circunferencia Unidad
Eje ImaginarioCircunferencia Unidad
( ) ( )TransformaciónH s H z
s z
→
Ω++Ω+
Ω++−⋅=
+−⋅=ω+σ= Ω
Ω
cosrr
rsenj
cosrr
r
Tre
re
Tjs
dj
j
d 21
2
21
12
1
1222
2
10
TRANSFORMACIÓN BILINEAL (II)
d
2 z 1s
T z 1
− = +
j
jd
2 e 1j
T e 1
Ω
Ω
−ω = +
d
2tg
T 2
Ωω =
dT2 arctg
2
ωΩ =
Relación Eje Imaginario Plano “s” ↔ Circunferencia Unidad Plano “z”
ωωωω ΩΩΩΩ
( )H e jΩ
( )Hc ω
TRANSFORMACIÓN BILINEAL (III)
Relación NO LINEAL ωωωω ↔ ΩΩΩΩ
11
2παTd
παTd
− αTd
Ω
−
22
αTd
tgΩ
( )[ ]Arg H e jΩ
−2παTd
−παTd
TRANSFORMACIÓN BILINEAL (IV)
Relación NO LINEAL ωωωω ↔ ΩΩΩΩ
( )s js je e ( FASE LINEAL)= ω−α −α ω→ ⇒ ϕ ω = −α ω
( )d
2j tg
T 2
d
2e tg ( Fase NO LINEAL)
T 2
Ω− α Ω⇒ Φ Ω = −α
TRANSFORMACIÓN BILINEAL (V)
Ejemplo 1: Convertir el filtro analógico con función de transferencia:
( )( ) 910
12 ++
=.s
sHa
en un filtro IIR digital mediante la transformación bilineal.
( )910
1
12
12
1
1+
+
+−⋅
=
−
−.
z
z
T
zH
d
+−⋅= −
−
1
1
1
12
z
z
Ts
d
12
TRANSFORMACIÓN BILINEAL (VI)
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 110
-4
10-3
10-2
10-1
100
101
Ω /π (rad)|H
( Ω)|
(d
Bs)
Módulo de la respuesta en frecuencia del filtro digital
T4 T3T2 T1
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1010
-3
10-2
10-1
100
101
ω/π (rad/s)
|H( ω
)| (
dBs)
Módulo de la respuesta en frecuencia del filtro analógico
1/T1
1/T2
1/T3
1/T4
TRANSFORMACIÓN BILINEAL (VII)
Ejemplo 1: Convertir el filtro analógico con función de transferencia:
( )( ) 161.0
1.02 ++
+=s
ssHa
en un filtro IIR digital mediante la transformación bilineal. El filtro digital debe tener Un polo a la frecuencia 2π=Ωr
441.0 =⇒±−= rp js ω
2
1
2
224
2
2 =⇒=⇒Ω= d
d
i
di Ttg
Ttg
T
πω
+−= −
−
1
1
1
14
z
zs
( )214
213
2
1
1
1
1
952.010096.61
119.010096.6125.0
161.01
14
1.01
14
−−−
−−−
−
−
−
−
++−+=
+
+
+−
+
+−
=zz
zz
z
z
z
z
zH
13
TRANSFORMACIÓN BILINEAL (VIII)
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1010
-3
10-2
10-1
100
101
ω
|H( ω
)| (
dBs)
Módulo de la respuesta en frecuencia del filtro analógico
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.510
-3
10-2
10-1
100
101
Ω
|H( Ω
)| (
dBs)
Módulo de la respuesta en frecuencia del filtro digital
EJEMPLO (I)
( )( )
≤Ω≤≤Ω
≤Ω≤≤Ω≤
πππ
3,0; 17783,0
2,00;189125,0
H
H
Diseñar un filtro digital paso bajo aplicando la respuesta al impulso invariante y la transformación bilineal a un filtro de Butterworth. Las especificaciones del filtro digital son:
( ) ( )( )
( )
≤Ω≤≥Ω
≤Ω≤≤Ω≤
Ω⋅−=Ω
ππαπα
α
3,0; 15
2,00;10
log20
dB
dB
H
14
EJEMPLO (II)
dT
Ω=ω
Obtención de la plantilla del filtro paso bajo prototipo analógico:
a) Respuesta al Impulso Invariante b) Transformación Bilineal
Ω⋅=ω2
2tg
Td
EJEMPLO (III)
a) Respuesta al Impulso Invariante:
( )N
c
aH 22
1
1
ωω+
=ω
Diseño del Filtro de Butterworth
=
ωπ+
=
ωπ+
22
22
177830
1301
891250
1201
,
T,
,
T,
N
c
d
N
c
d
=
==
88,5
22433,070474,0
N
TT ddc
πω6=N
ddc
TT
πω 2256,07087,0 ==
Distribución de raíces:
d
d
d
T
js
T
js
T
js
1834,06845.0
5011,05011.0
6845,01834.0
3
2
1
±−=
±−=
±−=
15
EJEMPLO (IV)
a) Respuesta al Impulso Invariante: Diseño del Filtro de Butterworth
( ) ( ) ( ) ( )5022,03690,15022,00022,15022,03668,0 222 ++⋅++⋅++=
ssssss
ksHa
( ) 1266010 ,kHa =⇒=
( )
1834,06845,0
6196,19351,0
1834,06845,0
6196,19351,0+
5011,05011,0
0797,1
5011,05011,0
0797,1+
6845,01834,0
2505,01447,0
6845,01834,0
2505,01447,0
js
j
js
j
jsjs
js
j
js
jsHa
−+−+
+++
+−+
−+++
−
+−+
++++
−=
( )1266,06905,08824,12533,37484,37380,2
1266,023456 ++++++
=ssssss
sHa
EJEMPLO (V)
a) Respuesta al Impulso Invariante: Obtención del Filtro Digital
( )H zT A
e zd ks T
k
N
k d=
− −=∑
1 11
( )
11
11
1834,06845,01834,06845,0
5011,05011,05011,05011,0
16845,01834,016845,01834,0
1
6196,19351,0
1
6196,19351,0+
1
0797,1
1
0797,1+
1
2505,01447,0
1
2505,01447,0
−−
−−
−−−
−−−
−−−−−
−−+
−+
+−
−+−
−
+−
++−
−=
zee
j
zee
j
eezee
zee
j
zee
jzH
jj
zjj
jj
( )654321
54321
0647056000072522190401835344331
001000420016700105000070−−−−−−
−−−−−
+−+−+−++++=
z,z,z,z,z,z,
z,z,z,z,z,zH
16
EJEMPLO (VI)
b) Transformación bilineal: Diseño del Filtro de Butterworth
=
ω
π
+
=
ω
π
+
2
2
2
2
177830
12
302
1
891250
12
202
1
,
,tg
T
,
,tg
T
N
c
d
N
c
d
=
π==ω
6
2439076620
N
T
,
T
,
ddc
Distribución de raíces:
d
d
d
T
js
T
js
T
js
7401,01983.0
5418,05418.0
1983,07401.0
3
2
1
±−=
±−=
±−=
( )N
c
aH 22
1
1
ωω+
=ω
( )2024,00205,15728,21124,43822,49605,2
2024,023456 ++++++
=ssssss
sHa
EJEMPLO (VII)
b) Transformación bilineal: Obtención del Filtro Digital
( ) ( )1
1
1
12−
−
+−⋅=
=
z
z
Ts
a
d
sHzH
( )654321
654321
0544,04800,08136,17795,36222,41836,31
007,00004,00111,00148,00111,00044,00007,0−−−−−−
−−−−−−
+−+−+−++++++=
zzzzzz
zzzzzzzH
MATLAB
[N,wc]=buttord(0.2*pi,0.3*pi,1,15,’s’);[B,A]=butter(N,wc,’s’);[R,P,K]=residue(B,A);[Bz,Az]=impinvar(B,A,Fs);
a) Respuesta al Impulso Invariante
[N,wc]=buttord(2*tan(0.1*pi),2*tan(0.15*pi),1,15,’s’);[B,A]=butter(N,wc,’s’);[Bz,Az]=bilinear(B,A,Fs);
b) Transformación bilineal:
17
EJEMPLO (VIII)
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.50
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Ω
|H( Ω
)|
Módulo de la respuesta en frecuencia del filtro digital
Bilineal
R.I.Inv.
EJEMPLO (IX)
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.50
0.2
0.4
0.6
0.8
1
ω
|H( ω
)|
Módulo de la respuesta en frecuencia del filtro analógico prototipo
Td=1
Td=4
Td=0,2*π
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.50
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Ω
|H( Ω
)|
Módulo de la respuesta en frecuencia del filtro digital
Td=1
Td=4
Td=0,2*π
Respuesta al Impulso Invariante
18
TRANSFORMACIONES DE FILTROS DISCRETOS (I)
Procedimientos:1.- Transformación en frecuencias en tiempo continuo.2.- Transformación en frecuencias en tiempo discreto.
TRANSFORMACIONES DE FILTROS DISCRETOS (III)
G(z-1) debe ser función racional en z-1.
El interior de la circunferencia unidad en el plano z se debe transformar en el interior del circunferencia unidad en el plano z’.
La circunferencia unidad en el plano z se debe transformar en lacircunferencia unidad en el plano z’.
Constantinides (1970):
* 1N N1k k
* 1k 1 k 1k k
z a z az ' z '
1 a z 1 a z
−−
−= =
− −= ± ↔ = ±− −∏ ∏
Transformación en frecuencias en tiempo discreto.
( ) ( ) ( ) ( )1111
−− =−− =⇒=
zG'zPB 'zHzHzG'z
19
TRANSFORMACIONES DE FILTROS DISCRETOS (IV)
Ejemplo: Paso Bajo - Paso Bajo
( )
*j m
j m *
j m * j m
j m * j m
1 a1 e
1 a
1 a e 1 a
1 a e a e
1 e a a e
π
π
π π
π π
−=−
− = −
− = −− = −
A’ ↔ A
( )
*j m
j m *
j m * j m
j m * j m
1 a1 e
1 a
1 a e 1 a
1 a e a e
1 e a a e
π
π
π π
π π
− −− =+
+ = +
+ = +− = − +
C’ ↔ C
m=0 ; a = α (Real)z
z '1 z
− α=− α
B’ ↔ B
p
p
p
jj
j
ee
1 e
Ωθ
Ω
− α=− α
α
θ
θ=
−
+
sen
sen
Ω
Ω
p p
p p
2
2
Para determinar α :
zz a
az'*
= ± −−1
TIPO FILTRO
TRANSFORMACIÓN FÓRMULAS ASOCIADAS
PASO BAJO
zz
z'−
−
−=−
−1
1
11
αα
α
θ
θ=
−
+
sen
sen
Ω
Ω
p p
p p
2
2
Ωp = frecuencia de corte desada
PASO ALTO
zz
z'−
−
−= −+
+1
1
11
αα
α
θ
θ= −
+
−
cos
cos
p p
p p
Ω
Ω2
2
Ωp = frecuencia de corte desada
PASO BANDA
zz
k
kz
k
kk
kz
k
kz
'−− −
− −=
−+
+−+
−+
−+
+
1
2 1
2 1
2
1
1
11
1
2
11
α
α
α =
+
−
cos
cos
Ω Ω
Ω Ω
p p
p p
2 1
2 1
2
2
k gp p p
=−
cot tg
Ω Ω2 1
2 2
θ
Ω
Ωp
p
1
2
=
=
frecuencia de corte inferior desada
frecuencia de corte superor desada
BANDA ELIMINADA
zz
k
kz
k
kk
kz
k
kz
'−− −
− −=
−+
+−+
−+
−+
+
1
2 1
2 1
2
1
1
11
1
2
11
α
α
α =
+
−
cos
cos
Ω Ω
Ω Ω
p p
p p
2 1
2 1
2
2
kp p p=
−
tg tg
Ω Ω2 1
2 2
θ
Ω
Ωp
p
1
2
=
=
frecuencia de corte inferior desada
frecuencia de corte superor desada
TRANSFORMACIONES DE FILTROS DISCRETOS (V)
20
DISEÑO DE FILTROS FIR
FILTROS IDEALES:
1.- Su hd[n] tiene longitud infinita.
2.- Su hd[n] es no causal ( hd[n] ≠ 0, ∀ n < 0 ).
SOLUCIÓN (MÉTODO DE LAS VENTANAS):
1.- Limitar la longitud de hd[n] a M+1 muestras(Multiplicarla por una función ventana h[n] = hd[n]·w[n] ).
2.- Introducir el retardo necesario para que h[n] sea causal.
DISEÑO DE FILTROS FIR
FILTRO DISCRETO PASO BAJO IDEAL
−ΩCΩC
Ωπ−π
|H ( )|d Ω
[ ] ( ) ( )n
nCsendedeHnh
C
C
njnjdd π
ΩΩ
π=Ω⋅Ω
π= =∫
Ω
Ω−
Ω
π
Ω∫ 2
1
2
1
2
( ) [ ]∑∞
−∞=
Ω−⋅=Ωn
njdd enhH
Filtro ideal: Respuesta al impulso no causal e infinita.
-30 -20 -10 0 10 20 30
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
n
h d[n]
Respuesta al impulso de un filtro discreto Paso Bajo Ideal
......
21
Respuesta Impulsivadel Filtro Ideal: hd[n]
Ventana (Rectangular)w[n]
Respuesta impulsivaobtenida:
h[n] = hd[n]· w[n]
Respuesta Impulsivadesplazada para quesea causal: h[n-n0]
DISEÑO DE FILTROS FIR: VENTANAS
-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50-0.5
0
0.5
1
-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50-0.5
0
0.5
1
-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50-0.5
0
0.5
1
-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50-0.5
0
0.5
1
SI PRIMERO DESPLAZAMOS Y DESPUÉS MULTIPLICAMOS,EL RESULTADO ES EL MISMO ( VENTANAS CAUSALES).
Respuesta Impulsivadel Filtro Ideal: hd[n]
Respuesta Impulsiva delFiltro Ideal desplazada
hd[n-n0]
Ventana (Rectangular)causal: w[n]
Respuesta impulsivaobtenida:h[n] = hd[n-n0]· w[n]
DISEÑO DE FILTROS FIR: VENTANAS
-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50-0.5
0
0.5
1
-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50-0.5
0
0.5
1
-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50-0.5
0
0.5
1
-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50-0.5
0
0.5
1
22
Transformada de Fourier de la ventana rectangular:
DISEÑO DE FILTROS FIR: VENTANAS
( ) ( ) ( ) Ω−Ωφ− ⋅
Ω
+⋅Ω=⋅Ω=Ω 2
2
2
1Mj
jp e
sen
Msen
eWW[ ] ≤≤
=restoel
Mnnw
0
01
-3 -2 -1 0 1 2 3-20
-15
-10
-5
0
5
10
15
20
Ω
φΩ)
-3 -2 -1 0 1 2 3-4
-2
0
2
4
6
8
10
12
Ω
A(Ω
)
0 M...0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
n
w[n
]
...
DISEÑO DE FILTROS FIR: VENTANAS
RESPUESTA DE FASE LINEAL
Todas las ventanas van a tener simetría positiva:
Las Respuestas al Impulso de los Filtros Ideales Tendrán Simetría Positiva o Negativa:
[ ] [ ] ( ) ( ) 20
0M
j
pTF
eWWnderesto,
Mn,nMwnw
Ω−⋅Ω=Ω →←
≤≤−
=
[ ] [ ] ( ) ( )
[ ] [ ] ( ) ( ) 2
2
Mj
ndTF
dd
Mj
pdTF
dd
ejAHnMhnh
eAHnMhnh
Ω−
Ω−
⋅Ω=Ω →←−−=
⋅Ω=Ω →←−=
[ ] [ ] [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( )TFd(desplaz) d d
2
1h n h n w n H H W H W d
2 π
= ⋅ ←→ Ω = Ω ⊗ Ω = θ ⋅ Ω − θ ⋅ θπ ∫
( ) ( ) ( )( )
∫π
π−
θ−Ω−θ−θ⋅⋅θ−Ω⋅⋅θ
π=Ω deWeAH
Mj
p
Mj
p22
2
1
( ) ( ) ( )∫π
π−
Ω−θ⋅θ−Ω⋅θ
π⋅=Ω dWAeH pp
Mj
2
12
Simetría positiva
23
EFECTO DEL ENVENTANADO SOBRE LA RESPUESTADE AMPLITUD DEL FILTRO.
DISEÑO DE FILTROS FIR: VENTANAS
-3 -2 -1 0 1 2 3
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Ω
Wp(Ω
)
( ) ( ) ( ) ( )Ω⋅=θ⋅θ−Ω⋅θπ
⋅=ΩΩ−π
π−
Ω−∫ AedWAeH
Mj
pp
Mj
222
1
2π-2π Ω = -Ω1Ω = -Ω2 Ω = Ω2Ω = Ω1
-Ω1 -Ω2 Ω2 Ω1
πΩ = π
π-π
Ω = -π-π Ω
∆Ω = Ω2 - Ω1 = ZONA DE TRANSICIÓN
Debida Fundamentalmente a la Anchura del Lóbulo Principal
EFECTO DEL ENVENTANADO SOBRE LA RESPUESTADE AMPLITUD DEL FILTRO. LÓBULO PRINCIPAL
DISEÑO DE FILTROS FIR: VENTANAS
24
2π-2π
Ω = -Ω1Ω = -Ω2 Ω = Ω2Ω = Ω1Ω = -π
-π Ω
-π π
Ω = π
RIZADO EN BANDA DE PASO Y ELIMINADADebida a los Lóbulos Secundarios (Principalmente al primero)
-Ω1
-Ω2 Ω2Ω1
π
EFECTO DEL ENVENTANADO SOBRE LA
RESPUESTADE AMPLITUD DEL FILTRO.
LÓBULOS SECUNDARIOS
DISEÑO DE FILTROS FIR: VENTANAS
VENTANA RECTANGULAR.
4ANCHURA DEL LÓBULO PRINCIPAL =
M 1
π∆Ω =+
-2 0 20
2
4
6
8
M+1 = 9
Ω-2 0 2
0
2
4
6
8
10
12
M+1 = 13
Ω
-2 0 20
5
10
15
M+1 = 18
Ω-2 0 2
0
5
10
15
20
25
M+1 = 26
Ω
MÓDULO DE LA TRANSFORMADA DE FOURIER DE LA VENTANA RECTANGULAR
DISEÑO DE FILTROS FIR: VENTANAS
( )
Ω
+⋅Ω=Ω
2
2
1
sen
Msen
W
25
DISEÑO DE FILTROS FIR: VENTANAS
VENTANA RECTANGULAR.
AMPLITUD RELATIVA DEL LÓBULO SECUNDARIO = -13 dB
0 1 2 3-60
-50
-40
-30
-20
-10
0M+1 = 9
Ω0 1 2 3
-60
-50
-40
-30
-20
-10
0
Ω
M+1 = 13
0 1 2 3-60
-50
-40
-30
-20
-10
0M+1 = 18
Ω0 1 2 3
-60
-50
-40
-30
-20
-10
0M+1 = 26
Ω
PARA MODIFICAR LA AMPLITUD DE LOS LÓBULOS SECUNDARIOS
HAY QUE MODIFICAR LA FORMA DE LA VENTANA.SE UTILIZAN VENTANAS QUE NO CONTENGAN
DISCONTINUIDADES ABRUPTAS ( FENÓMENO DE GIBBS )
DISEÑO DE FILTROS FIR: VENTANAS
CONLLEVA EL AUMENTO DE LA ANCHURA DEL LÓBULO PRINCIPAL
REGIÓN DE TRANSICIÓN EN LA RESPUESTA DEL FILTRO FIR MÁS ANCHA
PARA COMPENSARLO SE INCREMENTARÁ “M”
26
DISEÑO DE FILTROS FIR: VENTANAS
ALGUNAS VENTANAS UTILIZADAS: EXPRESIÓN ANALÍTICA
[ ]
2n M, 0 n
M 22n M
2 , n Mw nM 2
0, Resto n
∀ ≤ ≤ − ∀ ≤ ≤=
BARTLETT
[ ]
2 n0,5 0,5 cos , 0 n M
M
w n
0, Resto n
π − ∀ ≤ ≤ =
HANNING
HAMMING BLACKMAN
[ ]
2 n0,54 0,46 cos , 0 n M
M
w n
0, Resto n
π − ∀ ≤ ≤ =
[ ]
2 n 4 n0, 42 0,5 cos 0,08 cos 0 n M
M M
w n
0, Resto n
π π − + ≤ ≤ =
DISEÑO DE FILTROS FIR: VENTANAS
ALGUNAS VENTANAS UTILIZADAS: REPRESENTACIÓN ( M = 50 )
0 10 20 30 40 500
0.2
0.4
0.6
0.8
1BLACKMAN
0 10 20 30 40 500
0.2
0.4
0.6
0.8
1BARTLETT
0 10 20 30 40 500
0.2
0.4
0.6
0.8
1HANNING
0 10 20 30 40 500
0.2
0.4
0.6
0.8
1HAMMING
27
DISEÑO DE FILTROS FIR: VENTANAS
0 1 2 3-100
-80
-60
-40
-20
0BLACKMAN
0 1 2 3-100
-80
-60
-40
-20
0HAMMING
0 1 2 3-100
-80
-60
-40
-20
0HANNING
0 1 2 3-100
-80
-60
-40
-20
0BARLETT M = 50
ALGUNAS VENTANAS UTILIZADAS: .( ) ( )( )20log W / max W− Ω Ω
DISEÑO DE FILTROS FIR: VENTANAS
VENTANA HANNIG: .( ) ( )( )20log W / max W− Ω Ω
0 1 2 3-100
-80
-60
-40
-20
0M = 20
0 1 2 3-100
-80
-60
-40
-20
0M = 30
0 1 2 3-100
-80
-60
-40
-20
0M = 40
0 1 2 3-100
-80
-60
-40
-20
0M = 50
28
DISEÑO DE FILTROS FIR: VENTANAS
VENTANAS: RESUMEN DE CARACTERÍSTICAS
PARÁMETRO ÚNICO DE DISEÑO: ORDEN DEL FILTRO ( M )
π−M
n2cos1
2
1
π⋅−M
n2cos46.054.0
π⋅+
π⋅−M
ncos.
M
ncos..
4080
250420
0,00298
0,033
0,11
1,57
rbp
11,12π/M75,358,112π/(M+1)Blackman
6,64π/M54,542,78π/(M+1)Hamming
6,22π/M43,931,58π/(M+1)Hanning
1,84π/M20,913,34π/(M+1)1Rectangular
∆∆∆∆ΩααααbeAiAnchura del
Lóbulo Principalw[n] (0 ≤≤≤≤ n ≤≤≤≤ M)VENTANA
Ai : Amplitud máxima relativa (en dB's) de los lóbulos laterales. ααααbe=-20 log(δδδδ) : Atenuación mínima (en dB's) en la banda eliminada.rbp =-20 log((1- δ)/(1+ δ)): Rizado en la banda de paso.∆Ω: anchura de la banda de transición.
DISEÑO DE FILTROS FIR: VENTANAS
VENTANA DE KAISER
[ ]( )
w n
In
In M
=− −
∀ ≤ ≤
∀
0
2
0
1
0
0
12
β αα
β, resto de n
M
2α =
I0 ( ): Función de Bessel de Orden CeroModificada de Primera Clase
β : Factor de Forma
( )( )
2k
L
0k 1
x2I (x) 1 L 25
k!=
≈ + ≤
∑
DOS PARÁMETROS DE DISEÑO:
ORDEN DEL FILTRO ( M ) → AJUSTE DE ANCHURA DEL LÓBULO PRINCIPAL
FACTOR DE FORMA ( ββββ ) → AJUSTE DE AMPLITUD DE LÓBULOS SECUNDARIOS
29
DISEÑO DE FILTROS FIR: VENTANAS
VENTANA DE KAISER: REPRESENTACIÓN PARA DISTINTOS VALORES DE β
0 10 20 30 40 500
0.2
0.4
0.6
0.8
1
β = 0
0 10 20 30 40 500
0.2
0.4
0.6
0.8
1 β = 3
0 10 20 30 40 500
0.2
0.4
0.6
0.8
1 β = 6
0 10 20 30 40 500
0.2
0.4
0.6
0.8
1 β = 9
n n
n n
DISEÑO DE FILTROS FIR: VENTANAS
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3-120
-100
-80
-60
-40
-20
0
M = 10
Ω 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
-120
-100
-80
-60
-40
-20
0
M = 10
Ω
M = 20
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3-120
-100
-80
-60
-40
-20
0
M = 10
Ω
M = 20
M = 41
VENTANA DE KAISER: PARA DISTINTOS VALORES DE M( ) ( )( )20log W / max W− Ω Ω
30
DISEÑO DE FILTROS FIR: VENTANAS
0 0.5 1 1.5-80
-70
-60
-50
-40
-30
-20
-10
0
β = 0
Ω 0 0.5 1 1.5
-80
-70
-60
-50
-40
-30
-20
-10
0
β = 0
Ω
β = 3
0 0.5 1 1.5-80
-70
-60
-50
-40
-30
-20
-10
0
β = 0
Ω
β = 3
β = 6
0 0.5 1 1.5-80
-70
-60
-50
-40
-30
-20
-10
0
β = 0
Ω
β = 3
β = 6 β = 9
VENTANA DE KAISER: PARA DISTINTOS VALORES DE β( ) ( )( )20log W / max W− Ω Ω
( )p aDefiniendo A 20 log con min ,= − δ δ = δ δ
( )( ) ( )β =
−
+ − ≤ ≤
0 1102 8 7
0 07886 21 21 50
0 0
0 4
, ,
,
,
,
A
A A
A > 50
0,5842 A - 21
A < 21
DISEÑO DE FILTROS FIR: VENTANAS
VENTANA DE KAISER: OBTENCIÓN DE β y M
A 7,95 A 7,95M
2, 285 14,36 f
− −≥ =∆Ω ∆
31
DISEÑO DE FILTROS FIR: VENTANAS
EJEMPLO
Se desea diseñar un sistema para procesar una señal analógica xc(t) (limitada en banda a 3 kHz) con un filtro digital como se indica en la figura.
Las especificaciones del módulo de la respuesta en frecuencia del sistema analógico |H(ω)| son:
- Atenuación máxima en la banda de paso αp= 1 dBs.- Atenuación mínima en la banda atenuada αa = 15 dBs.- Frecuencia de corte en la banda de paso: fp = 800 Hz- Frecuencia de corte en la banda eliminada: fa = 1400 Hz
DISEÑO DE FILTROS FIR: VENTANAS
EJEMPLO
=⋅⋅=⋅=Ω
=⋅⋅=⋅=Ω⇒=⇒⋅=Ω
−
−
ππω
ππωω
35,0108
114002
2,0108
18002
8
1
3
3
saa
spp
ss
T
T
msTT
a) Plantilla de atenuación del Filtro Analógico:
d) Plantilla de amplitud del Filtro discreto en unidades naturales:
SOLUCIÓN:1. PLANTILLAS:
b) Plantilla de atenuación del Filtro Discreto:
( ) 188,0110
0575,0
110
110
110
110
20
20
1
20
1
20
20
=+⋅=
=
+
−=
+
−=
−p
p
a
p
p
a δδ
δ
α
α
α
32
DISEÑO DE FILTROS FIR: VENTANAS
EJEMPLOSOLUCIÓN:2. Diseño:
( ) ( ) dB,log',,min apap 8242005750 =δ⋅−=α⇒=δ=δδ=δParámetros de diseño:
75,3Blackman
54,5Hamming
43,9Hanning
20,9Rectangular
ααααbeVENTANA
π=π−π=Ω−Ω=∆Ω 15020350 ,,,pa
424641150
226 =⇒=ππ> M,
,
,M
452744150
646 =⇒=ππ> M,
,
,M
751374150
1211 =⇒=ππ> M,
,
,M
1665151502852
957824
2852
957 =⇒=π⋅
−=∆Ω⋅
−> M,,,
,,
,
,AM
Ventana de Kaiser:
( ) ( ) 2961210788602158420 40 ,A,A, , =−⋅+−⋅=β
π=π+π=Ω+Ω
=Ω 27502
35020
2,
,,apc
DISEÑO DE FILTROS FIR: VENTANAS
EJEMPLOSOLUCIÓN:
2210 20 ∆Ω+Ω=Ω∆Ω−Ω=Ω=δ
α−cacp ';';
ba
0,35π0,2 π0,15π0,057516Kaiser
0,349π
0,348π
0,349π
Ω’a
0,201 π0,148π0,0001775Blackman
0,201 π0,147π0,001945Hamming
0,201 π0,148π0,006442Hanning
Ω’p∆ΩδOrdenVentana
[ ] [ ] [ ]nwM
n
Mnsen
nwM
nhnhC
ID ⋅
−⋅π
−Ω=⋅
−=
2
2
2
33
DISEÑO DE FILTROS FIR: VENTANAS
EJEMPLOSOLUCIÓN:
[ ]( )( )
( )
≤≤
π−⋅⋅−⋅π
−π=
nderesto;
n;n
cosn
n,sen
nhD
0
42042
21
2
1
21
212750
[ ]( )( )
( )
≤≤
π⋅−⋅−⋅π
−π=
nderesto;
n;n
cos,,,n
,n,sen
nhD
0
45045
2460540
522
5222750
[ ]( )( )
( )
≤≤
π⋅−
π⋅−⋅−⋅π
−π=
nderesto;
n;n
cos,n
cos,,,n
,n,sen
nhD
0
75075
4080
75
250420
537
5372750
- Hanning: FIR fase lineal tipo I
- Hamming: FIR fase lineal tipo II
- Blackman: FIR fase lineal tipo II
- Kaiser: FIR fase lineal tipo I
[ ] ( )( )( ) ( )
≤≤
−−⋅⋅
−⋅π−π=
nderesto;
n;,I
n,I
n
n,sennhD
0
1602961
8
812961
8
82750
0
0
DISEÑO DE FILTROS FIR: VENTANAS
hD,Ham= fir1(M,ΩC,Hamming(M+1))hD,Han= fir1(M,ΩC,Hann(M+1))
hD,Blac= fir1(M,ΩC,Blackman(M+1)) hD,kaiser= fir1(M,ΩC,kaiser(M+1,β))0 2 4 6 8 10 12 14 16
-0.1
-0.05
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3Respuesta al impulso del filtro utilizando la ventana de Kaiser
n
|hD
Kai
[n]
0 10 20 30 40 50 60 70-0.1
-0.05
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3Respuesta al impulso del filtro utilizando la ventana de Blackman
n
|hD
BLa
n[n]
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45-0.1
-0.05
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3Respuesta al impulso del filtro utilizando la ventana de Hamming
n
|hD
Ham
[n]
0 5 10 15 20 25 30 35 40-0.1
-0.05
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3Respuesta al impulso del filtro utilizando la ventana de Hanning
n
|hD
Han
[n]
34
DISEÑO DE FILTROS FIR: VENTANAS
0 0.5 1 1.5 2 2.5 30
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Ω
|HD( Ω
)|
Módulo de la respuesta en frecuencia del filtro
HanningHammingBlackmanKaiser
0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9
0.85
0.9
0.95
1
1.05
1.1
1.15
Ω
|HD( Ω
)|
Módulo de la respuesta en frecuencia del filtro
Hanning
HammingBlackman
Kaiser
1 1.5 2 2.5 30
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
Ω
|HD( Ω
)|
Módulo de la respuesta en frecuencia del filtro
Hanning
HammingBlackman
Kaiser
DISEÑO DE FILTROS: COMPARACIÓN IIR - FIR
La perturbación debido a la recursividad del filtro puede afectar a la señal de salida de forma indefinida.
Si la realización es no recursiva la salida del sistema puede verse afectada por su estado inicial o por cualquier interferencia de corta duración durante la longitud de la respuesta al impulso.
7.- Sensibilidad a las interferencias
No se requiere un computador grande y suele utilizarse la transformación bilineal con lo que no son demasiados cálculos. Son poco complejos.
Se requiere un computador de tamaño medio y la complejidad depende de la longitud de su h[n].
6.-Carga computacional y complejidad
Sólo puede usarse la estructura recursiva. La más utilizada es la de cascada de secciones de primer y segundo orden.
Admiten estructuras recursivas y no recursivas. La estructura más utilizada es la no recursiva denominada filtro transversal
5.- Estructura
Pueden ser inestables si los polos caen fuera de la circunferencia unidad.
Son siempre estables4.- Estabilidad
Sólo puede conseguirse fase lineal utilizando ecualizadores con lo que el filtro es más complejo.
Es posible conseguir fase lineal.3.- Característica de fase
Se consiguen selectividades altas con órdenes reducidos al disponer de pares polo-cero. Es posible diseñar todo tipo de filtros.
Para selectividades altas se requieren órdenes altos (todos los polos están en z = 0). No es posible diseñar filtros paso todo.
2.- Respuesta en frecuencia
Contiene polos y ceros en puntos finitos de z, ello proporciona mayor flexibilidad en el diseño de filtros sencillos (método de ubicación de ceros y polos)
Sólo contiene ceros, todos sus polos en el origen, excepto si se emplea muestreo en frecuencia
1.- Función del sistema H(z)
IIRFIR
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Necesitan menos memoria ya que el número de coeficientes es menor que el equivalente FIR.
Necesitan mucha memoria para almacenar la muestra actual y las anteriores de la señal de entrada, así como los coeficientes del filtro.
9.- Memoria
Es un problema importante puesto que puede hacerse inestable. Pueden producirse oscilaciones indeseadas a causa del desbordamiento (Oscilación de overflow) o oscilaciones de ciclo límite.
Con estructura no recursiva no es un problema importante. Cuando estos filtros se realizan de forma recursiva debe conseguirse una cancelación exacta de polos y ceros después de la cuantificación obligándonos a utilizar longitudes de palabra mayores.
8.- Efecto de la cuantificación de los coeficientes
DISEÑO DE FILTROS: COMPARACIÓN IIR - FIR
DISEÑO DE FILTROS FIR: CAMBIO DE ESPECIFICACIONES
αmax
αmin
α(dB)
ΩΩp Ωa π
1 - δ1
|H(Ω)|
ΩΩp Ωa
1
δ2
π
max
min
201
202
1 10
10
α−
α−
− δ =
δ =
1 - δp
|H(Ω)|
ΩΩp Ωa
1
δa
π
1+ δp
( ) ( ) ( ) ( )max
20p 1 p p p1 1 1 1 1 10
α−
− δ = − δ + δ ⇒ − δ = + δ
( )max
min
max
2020
p a p
20
10 1; 10 1
10 1
αα
−
α
−δ = δ = + δ+
( ) ( )min
20a p 2 p1 10 1
α−δ = + δ δ = + δ
max max
max max
max max
20 2020 20
p p
20 20
1 10 10 110 1 1 10
1 10 10 1
α α−α α
− −
α α−
− −δ + = − ⇒ δ = = + +
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