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Seite Alexander Rachow, Gregor Efstradiadis
Fixpunkte und Stabilitätsanalyse
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Themenüberblick
Motivation 1D-Probleme Bifurkationen 2D-Probleme Fixpunkttypen Lotka-Volterra-Modelle
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Motivation
Bisher: Lineare Dynamik Jetzt: Nichtlineare Systeme Ohne explizite Lösung Fixpunkte !!!
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1D-Probleme
Betrachte Systeme der Form Einfaches Beispiel:
Explizite Lösung der DGL mit Separation
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1D-Probleme Stattdessen: Graphische Analyse als Vektorfeld auf x-Achse
Graphische Darstellung:
i. Pfeil nach rechts
ii. Pfeil nach links Fixpunkt bei
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1D-Probleme
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1D-Probleme
Graphisches Stabilitätskriterium: i. Stabil Pfeile zeigen nach innen
ii. Instabil Pfeile zeigen nach außen
Quantitative Analyse auch möglich?
Lineare Stabilitätsanalyse
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1D-Probleme
Ansatz: Taylor d
Lösung:
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1D-Probleme Lineares Stabilitätskriterium:
i. Stabil
ii. Instabil
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1D-Probleme
Zurück zum Beispiel Fixpunkt, wenn
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1D-Probleme
Zurück zum Beispiel Fixpunkt, wenn
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instabil
stabil
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1D-Probleme
Erinnerung:
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1D-Probleme
Bemerkung: Was passiert bei ?
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stabil instabil
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1D-Probleme
Hier ist halbstabiler Fixpunkt
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Bifurkationen Übersicht: Sattel-Knoten-Bifurkationen Transkritische Bifurkationen Pitchfork-Bifurkationen
• Superkritische Bifurkationen • Subkritische Bifurkationen
Nicht perfekte Bifurkationen Beispiele
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Was sind Bifurkationen
Bis jetzt: „simple“ 1D-Probleme • Dynamik der Vektorfelder sehr eingeschränkt
Nun: Abhängigkeit von Parametern • Struktur des Verlaufs ändert sich • Fixpunkte werden „zerstört“ oder „erschaffen“
Änderungen in der Dynamik heißen „Bifurkationen“ Parameterwerte an denen sie auftreten
„Bifurkationspunkt“ Bifurkationen liefern Modelle für Verstärkung und
Instabilität
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Sattel-Knoten-Bifurkation
Fixpunkte für bei Bei Variation des Parameters bewegen sich
Fixpunkte aufeinander zu und annihilieren sich Normalform
unterschiedliche Fälle
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Fall 1:
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Fall 2:
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Fall 3:
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Bifurkationsdiagramm
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Transkritische Bifurkationen
Es gibt Modelle in denen ein Fixpunkt für alle Parameterwerte existieren „muss“ Dieser Fixpunkt kann jedoch seine Stabilität
ändern Für solche Modelle werden transkritische
Bifurkationen verwendet Normalform
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Fall 1:
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Fall 2:
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Fall 3:
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Bifurkationsdiagramm
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Pitchfork Bifurkation
Modell für Systeme mit Symmetrie Es gibt 2 Arten dieser Bifurkation
• Superkritische Pitchfork Bifurkation • Subkritische Pitchfork Bifurkation
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Superkritische Pitchfork Bifurkation
Normalform invariant unter Kubischer Term wirkt „stabilisierend“
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Fall 1:
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Fall 2:
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Fall 3:
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Bifurkationsdiagramm
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Subkritische Pitchfork Bifurkation
Normalform Kubischer Term ist hier nicht mehr
stabilisierend „treibt“ Funktion andere Normalform für „stabile Funktionen“
System invariant für erster stabilisierender Term ist neue Normalform
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Bifurkationsdiagramm für „instabile Bifurkation“
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Bifurkationsdiagramm für „stabile Bifurkation
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Wichtiges zur „stabilen Bifurkation“
Für koexistieren zwei stabile Zustände • Welcher Fixpunkt für angenommen wird,
ergibt sich aus der Anfangsbed. • Daher ist der Fixpunkt im Ursprung gegen kleine
Störungen stabil, nicht jedoch gegen große der Ursprungsfixpunkt ist nur lokal stabil
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Wichtiges zur „stabilen Bifurkation“
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Die Existenz von versch. stabilen Zuständen ermöglicht Sprünge und Hysteresen
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Nichtperfekte Bifurkationen
Normalerweise Systeme nicht perfekt symmetrisch, sondern nur näherungsweise Diese Syteme haben Unvollkommenheiten Betrachte hierzu :
• Für liegt normale Symmetrie vor • Für liegt Symmetriebrechung vor
Analyse hier deutlich schwieriger aufgrund zweier unabhängiger Parameter
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Analyse der Fixpunkte
graphischer Ansatz: Plotte in ein Koordinatensyst.
Suche nach Schnittpunkten Schnittpunkte sind Fixpunkte
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Analyse der Fixpunkte
Kritischer Fall: Gerade ist Tangente an Extrempunkt • Dann: Sattel-Knoten-Bifurkation
Suche Werte für h an denen Bifurkation auftritt: Für den Wert am lokalen Maximum gilt:
Sattel-Knoten-Bifurkation tritt auf , wenn
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Analyse der Fixpunkte
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Analyse der Fixpunkte
Bifurkationsdiagramme von für festes
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Analyse der Fixpunkte
Bifurkationsdiagramme von für festes
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Kurze Anmerkung zu Katastrophen
Spitzenkatastrophe
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Beispiel : Populationsentwicklung
Hier: Falterart aus Kanada Modell bedient sich der „Trennung von
Zeiträumen“ • Population wächst schnell (char. Zeitraum:
Monate) • Bäume wachsen langsam (char. Zeitraum Jahre)
Bei Betrachtung der Populationsentwicklung können also die „Waldvariablen“ konstant angenommen werden
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Populationsentwicklung
Für die Population gilt: wächst logistisch mit Wachstumsrate und
Tragfähigkeit (hierbei fest) (Todesrate aufgr. von Raubtieren) wächst
logistisch
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Populationsentwicklung
Hier Untersuche Modell nun auf einen sog.Ausbruch
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Dimensionlose Formulierung
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Analyse der Fixpunkte
Erster Fixpunkt bei (immer instabil) Weitere Fixpunkte durch Lösung von
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Analyse der Fixpunkte
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Bifurkationskurven errechnen
Wir untersuchen Kurven im für die eine Sattel-Knoten-B. vorliegt Wir können jedoch die Parameter nicht als
Funktion voneinander ausdrücken Wähle Parametrisierung
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Bifurkationskurven errechnen
Für S-K-B müssen erfüllt sein: Einsetzen von (3) in (1) liefert:
Einsetzen von (4) in (3) liefert:
Bifurkationskurven sind (5) und (4)
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Bifurkationskurven
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2D-Probleme
Betrachte nun nichtlineare Probleme vom Typ Fixpunkte dann gegeben durch
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2D-Probleme
baut Phasenebene auf ist dann Vektorfeld auf der Phasenebene
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2D-Probleme
Erst lineare Systeme untersuchen! Allgemeine Lösung:
Schreibe
Mit und
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Sattelpunkt
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Knoten
: Stabil : Instabil
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Periodische Lösung
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Spirale
: stabil : instabil
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Sonderfall: Stern-Knoten
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Sonderfall: Entarteter-Knoten
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Zusammenfassung
Was haben wir bisher gelernt? Fixpunkte zur Betrachtung der Dynamik Stabilität graphisch oder analytisch
bestimmen Graphisch: Vektorflusses visualisieren Analytisch: Lineare Stabilitätsanalyse In 2D viel mehr Möglichkeiten als in 1D
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Lotka-Volterra-Modelle
Beschreiben Wechselwirkung von mehreren Populationen Beispiel: Räuber-Beute-Problem Populationszahlen: (Beute), (Räuber) Ungestörte Wachstumsrate:
Begegnung Räuber-Beute:
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Lotka-Volterra-Modelle
Insgesamt also: Betrachte die Dynamik mit „Mathematica“!
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Quellenverzeichnis
Strogatz, Steven H. (1994): Nonlinear Dynamics and Chaos. Massachusetts
Suter, Dieter (2010): Skript zur Vorlesung „Analytische Mechanik“. [cited 02.06.2015]. https://e3.physik.uni-dortmund.de/~suter/Vorlesung/Physik_III_WS10/2.8_Chaos.pdf
[cited 29.05.2015] http://de.wikipedia.org/wiki/Kritischer_Punkt_(Dynamik)
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