Folgen und Reihen. Beispiele Beispiele für Folgen: Beispiele für Folgen: Fibonacci – Folge 0, 1,...

Folgen und ReihenFolgen und Reihen

BeispieleBeispiele

• Beispiele für Folgen:Beispiele für Folgen:• Fibonacci – Folge 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, … Fibonacci – Folge 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, … • Folge der Quadratzahlen 1, 4, 9, 16, 25, …Folge der Quadratzahlen 1, 4, 9, 16, 25, …

• Beispiele für Reihen:Beispiele für Reihen:

• Geometrische Reihe:Geometrische Reihe:

Definition einer FolgeDefinition einer Folge

• Definition:Definition:• Eine Folge ist eine Funktion, deren Eine Folge ist eine Funktion, deren

Definitionsbereich gleich der Menge der Definitionsbereich gleich der Menge der natürlichen Zahlen N ist. natürlichen Zahlen N ist.

• Die Zahlen des Wertebereichs nennt man Die Zahlen des Wertebereichs nennt man Glieder der Folge. Glieder der Folge.

• Der Wertebereich muss nicht gleich N sein.Der Wertebereich muss nicht gleich N sein.

Beispiel für eine FolgeBeispiel für eine Folge

• Beispiel Kindergeld:Beispiel Kindergeld:• Wenn man ein Kind hat, bekommt man z.B. Wenn man ein Kind hat, bekommt man z.B.

200€ Kindergeld, bei zwei Kindern 400€ usw.200€ Kindergeld, bei zwei Kindern 400€ usw.

• Der Definitionsbereich besteht nur aus Der Definitionsbereich besteht nur aus natürlichen Zahlen, da man ja nicht 2 ¼ natürlichen Zahlen, da man ja nicht 2 ¼ Kinder haben kann. Kinder haben kann.

ÜbungÜbung

• Welche Diagramme stellen eine Folge dar?Welche Diagramme stellen eine Folge dar? 1. 1.

2. 2.

3.3.

Dies ist zwar eine Relation, aber keine Funktion, => also auch keine Folge!

Definitionsbereich istnicht gleich N=> keine Folge!

Dies ist eine Folge

Explizite oder Rekursiv?Explizite oder Rekursiv?

• Explizite Definition:Explizite Definition:• Formel, aus der ein beliebiges Folgenglied (aFormel, aus der ein beliebiges Folgenglied (ann) sofort ) sofort

berechnet werden kann.berechnet werden kann.• Bsp.:Bsp.: , d.h., d.h.

• Rekursive Definition:Rekursive Definition:• Das erste Glied der Folge (aDas erste Glied der Folge (a11) wird angegeben) wird angegeben• und eine Formel, mit der man aus einem beliebigen und eine Formel, mit der man aus einem beliebigen

Folgenglied (aFolgenglied (ann) das nachfolgende (a) das nachfolgende (an+1n+1) berechnen ) berechnen kann.kann.

• Bsp.:Bsp.:

Übung 1Übung 1

• Eine Folge sei geg. durch: Eine Folge sei geg. durch: • Ist die Definition explizit oder rekursiv?Ist die Definition explizit oder rekursiv?• Wie heißt das 4.Glied dieser Folge?Wie heißt das 4.Glied dieser Folge?

• Lösung:Lösung:• Es handelt sich um eine explizite Definition.Es handelt sich um eine explizite Definition.• . .

Übung 2Übung 2

• Folgende Folge sei gegeben: Folgende Folge sei gegeben:

• Definiere diese Folge rekursiv!Definiere diese Folge rekursiv!

• Lösung:Lösung:• Das erste Glied hat den Wert 25 => Das erste Glied hat den Wert 25 => • Jedes Glied hat den doppelten Wert wie das Jedes Glied hat den doppelten Wert wie das

vorherige => vorherige =>

an = (25, 50, 100, 200, 400, 800, 1600, ...)

Graph einer FolgeGraph einer Folge

• Graph der Folge Kindergeld:Graph der Folge Kindergeld:• Für ein Kind:Für ein Kind: 200 € 200 €• Für zwei Kinder:Für zwei Kinder: 400 € 400 €• Für drei Kinder:Für drei Kinder: 550 € 550 €• Für vier Kinder:Für vier Kinder: 650 € 650 €• Für fünf Kinder:Für fünf Kinder: 700 € 700 €• … …

Graph einer FolgeGraph einer Folge

• Graph der Folge Kindergeld:Graph der Folge Kindergeld:

• Weil der Definitionsbereich einer Folge nur Weil der Definitionsbereich einer Folge nur die Menge der natürlichen Zahlen ist, die Menge der natürlichen Zahlen ist,

=>=>besteht der Graph einer Folge nur aus besteht der Graph einer Folge nur aus einzelnen Punkten. einzelnen Punkten.

Spezielle FolgenSpezielle Folgen

• Arithmetische FolgenArithmetische Folgen

• Geometrische Folgen Geometrische Folgen

• Alternierende FolgenAlternierende Folgen

Arithmetische Folgen (1)Arithmetische Folgen (1)

• Definition:Definition:• Bei Bei arithmetischenarithmetischen Folgen ist die Differenz d Folgen ist die Differenz d

zwischen zwei benachbarten Folgengliedern zwischen zwei benachbarten Folgengliedern konstant, d.h. es gilt:konstant, d.h. es gilt:

• Beispiel:Beispiel:

an+1 – an = d

Arithmetische Folgen (2)Arithmetische Folgen (2)

• Bildungsgesetz für arithmetische Folgen:Bildungsgesetz für arithmetische Folgen:• Das n-te Folgenglied wird errechnet,

indem zum ersten (n-1)-mal die Differenz d addiert wird.

• => Bildungsgesetz für arithmetische Folgen:

an = a1 + (n -1) · d

Arithmetische Folgen (3)Arithmetische Folgen (3)

• Übung:Übung:• Bestimmen Sie die fehlenden Größen:Bestimmen Sie die fehlenden Größen:

a) aa) an n = 5 + 6*9 == 5 + 6*9 = 59 59

b) ab) a11 = 27 – 3*8 = = 27 – 3*8 = 33

c) 71 – 16 = (n-1)*5c) 71 – 16 = (n-1)*5

=> n = => n = 1212

d) 69 – 9 = 20*dd) 69 – 9 = 20*d

=> d = => d = 33

Spezielle FolgenSpezielle Folgen

• Arithmetische FolgeArithmetische Folge

• Geometrische Folge Geometrische Folge

• Alternierende FolgeAlternierende Folge

Geometrische Folgen (1)Geometrische Folgen (1)

• Definition:Definition:• Bei Bei geometrischengeometrischen Folgen ist der Quotient q Folgen ist der Quotient q

zweier benachbarter Folgenglieder konstant, zweier benachbarter Folgenglieder konstant, d.h. es gilt:d.h. es gilt:

• Beispiel:Beispiel:

Geometrische Folgen (2)Geometrische Folgen (2)

• Bildungsgesetz für geometrische Folgen:Bildungsgesetz für geometrische Folgen:• Das n-te Folgenglied wird errechnet,

indem zum ersten (n-1)-mal der Quotient q hinzumultipliziert wird.

• => Bildungsgesetz für geometrische Folgen:

an = a1 · qn-1

Geometrische Folgen (3)Geometrische Folgen (3)

• Übung 1:Übung 1:• Bestimmen Sie die fehlenden Größen:Bestimmen Sie die fehlenden Größen:

a) aa) an n = 3*2= 3*233 = = 2424

b) ab) a11 = 567 / 3 = 567 / 344 = = 77

c) 245 = 5 * 7c) 245 = 5 * 7n-1n-1

=> n = => n = 33

d) 3,125 = 100 * qd) 3,125 = 100 * q55

=> q = => q =

Geometrische Folgen (4)Geometrische Folgen (4)• Übung 2:Übung 2:

• Untersuchen Sie, ob die angegebenen Zahlen den Untersuchen Sie, ob die angegebenen Zahlen den Anfang einer geometrischen Folge bilden.Anfang einer geometrischen Folge bilden. a) a) 1; 2; 4; 81; 2; 4; 8 b) b) 2; -6; 18; -542; -6; 18; -54c) c) 1; 1/2; 1/6; 1/241; 1/2; 1/6; 1/24 d) d) 1; 4; 9; 16 1; 4; 9; 16

• Lösungen:Lösungen:• a)a) a ann=2=2n-1n-1 b)b) a ann= 2= 2∙(-∙(-3)3)n-1n-1

• c)c) Nein, da a Nein, da a1 1 ∙ 1/2∙ 1/2 = a= a22, aber a, aber a2 2 ∙ 1/3∙ 1/3 = a= a33

• d)d) Nein, da a Nein, da a1 1 ∙ 4∙ 4 = a= a22, aber a, aber a2 2 ∙ 9/4∙ 9/4 = a= a33

• Übungsaufgaben:Übungsaufgaben: arithmetisch oder geometrisch? arithmetisch oder geometrisch?

Spezielle FolgenSpezielle Folgen

• Arithmetische FolgeArithmetische Folge

• Geometrische FolgeGeometrische Folge

• Alternierende FolgeAlternierende Folge

Alternierende FolgenAlternierende Folgen

• Definition:Definition:• Bei Bei alternierendenalternierenden Folgen steigen oder Folgen steigen oder

sinken die Folgenglieder nicht kontinuierlich, sinken die Folgenglieder nicht kontinuierlich, sondern wechseln ständig ihr Vorzeichen.sondern wechseln ständig ihr Vorzeichen.

• Beispiel:Beispiel: an = (-1)n

=> -1, 1, -1, 1, -1, 1, …

Eigenschaften von FolgenEigenschaften von Folgen

• MonotonieMonotonie

• BeschränktheitBeschränktheit

• Anwendung ChaosforschungAnwendung Chaosforschung

MonotonieMonotonie

• Eine Folge aEine Folge ann ist monoton steigend, ist monoton steigend,• wenn jedes Glied der Folge größer oder wenn jedes Glied der Folge größer oder

gleich dem vorhergehenden Glied istgleich dem vorhergehenden Glied ist

• Eine Folge aEine Folge ann ist monoton fallend ist monoton fallend, , • wenn jedes Glied der Folge kleiner oder wenn jedes Glied der Folge kleiner oder

gleich dem vorhergehenden Glied istgleich dem vorhergehenden Glied ist

an+1 ≥ an bzw. an+1 - an ≥ 0 (für alle nN)

an+1 ≤ an bzw. an+1 - an ≤ 0 (für alle nN)

Strenge MonotonieStrenge Monotonie

• Eine Folge aEine Folge ann ist ist strengstreng monoton steigend, monoton steigend,• wenn jedes Glied der Folge echt größer dem wenn jedes Glied der Folge echt größer dem

vorhergehenden Glied istvorhergehenden Glied ist

• Eine Folge aEine Folge ann ist ist strengstreng monoton fallend monoton fallend, , • wenn jedes Glied der Folge echt kleiner dem wenn jedes Glied der Folge echt kleiner dem

vorhergehenden Glied istvorhergehenden Glied ist

an+1 > an bzw. an+1 – an > 0 (für alle nN)

an+1 < an bzw. an+1 – an < 0 (für alle nN)

Nachweis von MonotonieNachweis von Monotonie

• Um Monotonie nachzuweisen, Um Monotonie nachzuweisen, untersucht man die Differenz untersucht man die Differenz

• Beispiel: Beispiel: • Welche Monotonie kann bei der FolgeWelche Monotonie kann bei der Folge

nachgewiesen werden?nachgewiesen werden?

an+1 - an

Beispiel MonotonienachweisBeispiel Monotonienachweis

• 1. Berechne 1. Berechne aan+1n+1::

• 2. Berechne 2. Berechne aan+1 n+1 - a- ann::

• 3. 3. VereinfachenVereinfachen: :

• 4. ggf. Fallunterscheidung:4. ggf. Fallunterscheidung: • Da n aus der Menge der natürlichen Zahlen, ist hier der Da n aus der Menge der natürlichen Zahlen, ist hier der

Nenner immer positiv und der Zähler immer negativNenner immer positiv und der Zähler immer negativ• => die Differenz a=> die Differenz an+1n+1 – a – ann < 0 < 0• => die Folge ist => die Folge ist streng monoton fallendstreng monoton fallend

Eigenschaften von FolgenEigenschaften von Folgen

• MonotonieMonotonie

• BeschränktheitBeschränktheit

• Anwendung ChaosforschungAnwendung Chaosforschung

Beschränktheit (1)Beschränktheit (1)

• Eine Folge aEine Folge ann ist nach unten beschränkt, ist nach unten beschränkt,• wenn eine sogenannte untere Schranke s wenn eine sogenannte untere Schranke s

existiert, so dassexistiert, so dass

• Eine Folge aEine Folge ann ist nach oben beschränkt, ist nach oben beschränkt,• wenn eine sogenannte obere Schranke s wenn eine sogenannte obere Schranke s

existiert, so dassexistiert, so dass

an ≥ s (für alle nN)

an ≥ s (für alle nN)

Beispiele Beschränktheit (1)Beispiele Beschränktheit (1)

• Bsp.: Folge aBsp.: Folge ann nach nach untenunten beschränkt: beschränkt:• Die FolgeDie Folge a ann= 2n = 2n mitmit 2, 4, 6, 8, 10,… 2, 4, 6, 8, 10,…• ist streng monoton steigend und beginnt mit 2ist streng monoton steigend und beginnt mit 2• => es gibt kein Folgenglied < 2=> es gibt kein Folgenglied < 2• => => s =s = 22 nennt man die nennt man die untere Schranke von auntere Schranke von ann

• Bsp.: Folge aBsp.: Folge ann nach nach obenoben beschränkt: beschränkt:• Die Folge Die Folge aann= - 2n = - 2n mitmit - 2, - 4, - 6, - 8, - 10,… - 2, - 4, - 6, - 8, - 10,…• ist streng monoton fallend und beginnt mit - 2ist streng monoton fallend und beginnt mit - 2• => es gibt kein Folgenglied > - 2=> es gibt kein Folgenglied > - 2• => => S = -S = - 22 nennt man die nennt man die obere Schranke von aobere Schranke von ann

Graph

Graph

Beschränktheit (2)Beschränktheit (2)

• Eine Folge aEine Folge ann ist beschränkt, ist beschränkt,• wenn eine untere Schranke suntere Schranke s und

eine obere Schranke S existieren, so dass

• Beispiel für eine beschränkte Folge aBeispiel für eine beschränkte Folge ann::

bzw.bzw.

da gilt:da gilt:

s ≤ an ≤ S (für alle nN)

0 < an ≤ 1 (für alle nN)

Eigenschaften von FolgenEigenschaften von Folgen

• MonotonieMonotonie

• BeschränktheitBeschränktheit

• Anwendung ChaosforschungAnwendung Chaosforschung

Schneeflocken - FigurenSchneeflocken - Figuren

Zu Beginn der Chaosforschung hat man unter Zu Beginn der Chaosforschung hat man unter anderem die sogenannten „Schneeflockenfiguren“ anderem die sogenannten „Schneeflockenfiguren“

untersucht.untersucht.

Beschreiben Sie, wie diese Figuren entstehen und Beschreiben Sie, wie diese Figuren entstehen und welche Eigenschaften sie haben. welche Eigenschaften sie haben.

S1 S2 S3 S4

Entstehung SchneeflockenEntstehung Schneeflocken• Seitenlänge des gleichseitigen Dreiecks am Seitenlänge des gleichseitigen Dreiecks am

Start sei = 1.Start sei = 1.

• Startseite wird in 3 gleich große Teile unterteiltStartseite wird in 3 gleich große Teile unterteilt

• Über dem mittleren Teil wird ein neues Über dem mittleren Teil wird ein neues gleichseitiges Dreieck gebildet.gleichseitiges Dreieck gebildet.

Schneeflocken - FolgenSchneeflocken - Folgen• Auftrag: Auftrag:

• Bestimmen Sie:Bestimmen Sie:a) Die Folge za) Die Folge znn der Anzahl der Seiten der Anzahl der Seiten

b) Die Folge sb) Die Folge snn der Seitenlängen der Seitenlängen

c) Die Folge uc) Die Folge unn der Umfänge der Figuren der Umfänge der Figuren

S1 S2 S3 S4

Schneeflocken - FolgenSchneeflocken - FolgenFigurFigur

SeitenzahlSeitenzahlzznn

LängeLängessnn

UmfangUmfanguunn

FF11 33 11 zz11∙s∙s11 = 3 = 3

FF22 33∙4 = 12∙4 = 12 1/31/3 zz22∙s∙s22 = 4 = 4

FF33 33∙4∙4 = 48∙4∙4 = 48 1/3²1/3² zz33∙s∙s33 ≈ 5,33 ≈ 5,33

FF44 33∙4∙4∙4 = 194∙4∙4∙4 = 194 1/3³1/3³ zz44∙s∙s44 ≈ 7,11 ≈ 7,11

FFnn 33∙4∙4n-1n-1 1/31/3(n-1)(n-1) 33∙ (4/3)∙ (4/3)n-1n-1

Diskutiere das Monotonieverhalten der einzelnen Folgen!

Schneeflocken - FlächenSchneeflocken - Flächen• Welche Eigenschaften lassen sich für die Welche Eigenschaften lassen sich für die

Folge der Flächeninhalte vermuten? Folge der Flächeninhalte vermuten?

• streng monoton wachsendstreng monoton wachsend

• nach oben beschränktnach oben beschränkt

• => diese Vermutung wird gestützt durch die => diese Vermutung wird gestützt durch die Tatsache, dass alle Schneeflockenfiguren in Tatsache, dass alle Schneeflockenfiguren in ein Quadrat mit der Seitenlänge 2 passen.ein Quadrat mit der Seitenlänge 2 passen.

Grenzwerte von FolgenGrenzwerte von Folgen

• NullfolgenNullfolgen

• Konvergente FolgenKonvergente Folgen

• Nullfolgen – konvergente FolgenNullfolgen – konvergente Folgen

• Anwendung GrenzwerteAnwendung Grenzwerte

NullfolgeNullfolge

• Anschauliche Definition:Anschauliche Definition:• Eine Nullfolge ist eine Folge, deren Glieder aEine Nullfolge ist eine Folge, deren Glieder ann

sich für wachsendes n immer mehr dem Wert sich für wachsendes n immer mehr dem Wert Null annähern.Null annähern.

• Beispiel: Beispiel: Graph

NullfolgeNullfolge

• Mathematische Definition:Mathematische Definition:• Die Folge {aDie Folge {ann} heißt Nullfolge, wenn ab einem } heißt Nullfolge, wenn ab einem

bestimmten Glied N(bestimmten Glied N(εε), alle Glieder der Folge ), alle Glieder der Folge betragsmäßig kleiner als betragsmäßig kleiner als εε sind und sind und εε beliebig beliebig klein gewählt werden kann. Als Formel:klein gewählt werden kann. Als Formel:

• Veranschaulichung an Veranschaulichung an Graph

|an| < εε (für alle n ≥ N(εε), εε beliebig klein) beliebig klein)

Erläuterungen NullfolgeErläuterungen Nullfolge• Wofür genau steht N(Wofür genau steht N(εε)?)?

• Wir betrachten wieder eine Nullfolge Wir betrachten wieder eine Nullfolge und ein beliebiges und ein beliebiges εε. .

• Die erste Zahl n, bei der ein Glied kleiner ist als Die erste Zahl n, bei der ein Glied kleiner ist als εε, , nennt man N(nennt man N(εε). ).

Nullfolgen mit negativen GliedernNullfolgen mit negativen Gliedern• Hat die Nullfolge negative Glieder, ist nicht mehr das N(Hat die Nullfolge negative Glieder, ist nicht mehr das N(εε) )

gesucht für agesucht für ann< < εε, sondern es muss das N(, sondern es muss das N(εε) bestimmt ) bestimmt werden für werden für

• Man fragt also allg., Man fragt also allg., wann die Folge awann die Folge ann

den Bereich + / - den Bereich + / - εε erreicht hat. erreicht hat.

|an| < εε

Grenzwerte von FolgenGrenzwerte von Folgen

• NullfolgenNullfolgen

• Konvergente FolgenKonvergente Folgen

• Nullfolgen – konvergente FolgenNullfolgen – konvergente Folgen

• Anwendung GrenzwerteAnwendung Grenzwerte

Konvergente Folgen (1)Konvergente Folgen (1)

• Anschauliche Definition:Anschauliche Definition:• Streben die Glieder einer Folge beständig einem Streben die Glieder einer Folge beständig einem

bestimmten Wert entgegen, so wie die Nullfolge bestimmten Wert entgegen, so wie die Nullfolge dem Wert Null, so sagt man:dem Wert Null, so sagt man:

=> die Folge => die Folge konvergiertkonvergiert. .

• Beispiel: Konvergenz gegen den Wert 2.Beispiel: Konvergenz gegen den Wert 2.

Grenzwert einer FolgeGrenzwert einer Folge• Möglichkeiten der Konvergenz:Möglichkeiten der Konvergenz:

• Die Annäherung an den endgültigen Wert kannDie Annäherung an den endgültigen Wert kann• von obenvon oben• von untenvon unten• alternierendalternierend• oder auf andere Weise erfolgen.oder auf andere Weise erfolgen.

• Der Wert, gegen den eine Folge konvergiert, heißt:Der Wert, gegen den eine Folge konvergiert, heißt: GrenzwertGrenzwert der Folge. der Folge.

• Beispiel: Andere Konvergenz gegen den Wert 2.Beispiel: Andere Konvergenz gegen den Wert 2.

Konvergente Folgen (2)Konvergente Folgen (2)

• Mathematische Definition:Mathematische Definition:• Eine Folge Eine Folge konvergiert gegen akonvergiert gegen a, wenn ab einem , wenn ab einem

bestimmten Glied alle Glieder einen Wert zwischen bestimmten Glied alle Glieder einen Wert zwischen und und

haben, d.h. in der Umgebung a haben, d.h. in der Umgebung a εε liegen, wobei liegen, wobei εε beliebig klein gewählt werden darf. beliebig klein gewählt werden darf.

• Beispiel: Konvergenz gegen den Grenzwert a = 2.Beispiel: Konvergenz gegen den Grenzwert a = 2.

a - ε a + ε

Grenzwerte von FolgenGrenzwerte von Folgen

• NullfolgenNullfolgen

• Konvergente FolgenKonvergente Folgen

• Nullfolgen – konvergente FolgenNullfolgen – konvergente Folgen

• Anwendung GrenzwerteAnwendung Grenzwerte

Nullfolge – konvergente FolgeNullfolge – konvergente Folge

Welchen Zusammenhang erkennst Du zwischen den beiden Welchen Zusammenhang erkennst Du zwischen den beiden gezeigten Folgen?gezeigten Folgen?

Die Folge <aDie Folge <ann> konvergiert genau dann > konvergiert genau dann

gegen den Grenzwert a,gegen den Grenzwert a,wenn die Folge <awenn die Folge <ann-a> eine Nullfolge ist. -a> eine Nullfolge ist.

Grenzwerte von FolgenGrenzwerte von Folgen

• NullfolgenNullfolgen

• Konvergente FolgenKonvergente Folgen

• Nullfolgen – konvergente FolgenNullfolgen – konvergente Folgen

• Anwendung GrenzwerteAnwendung Grenzwerte

GrenzwertsätzeGrenzwertsätze

• SummensatzSummensatz

• DifferenzsatzDifferenzsatz

SummensatzSummensatz• Summensatz:Summensatz:

• Gegeben seien zwei konvergente Folgen:Gegeben seien zwei konvergente Folgen:

Die Folge <aDie Folge <ann> konvergiert gegen a, > konvergiert gegen a,

die Folge <bdie Folge <bnn> konvergiert gegen b.> konvergiert gegen b.

=> Summenfolge <a=> Summenfolge <ann+b+bnn> konvergiert gegen a+b.> konvergiert gegen a+b.

• Beispiel:Beispiel: LösungLösung

Beweis SummensatzBeweis Summensatz• Summensatz:Summensatz:

• Gegeben seien zwei konvergente Folgen:Gegeben seien zwei konvergente Folgen:

Die Folge <aDie Folge <ann> konvergiert gegen a, > konvergiert gegen a,

die Folge <bdie Folge <bnn> konvergiert gegen b.> konvergiert gegen b.

=> Summenfolge <a=> Summenfolge <ann+b+bnn> konvergiert gegen a+b.> konvergiert gegen a+b.

• Beispiel:Beispiel: LösungLösung

Grenzwerte von FolgenGrenzwerte von Folgen

• Anwendungen Grenzwert einer FolgeAnwendungen Grenzwert einer Folge• Achill und Schildkröte bzw. Ölverbrauch Achill und Schildkröte bzw. Ölverbrauch

(blaues Buch)(blaues Buch)• Grenzwertsätze für Folgen (gelbes Buch)Grenzwertsätze für Folgen (gelbes Buch)• Die eulersche Zahl (Lambacher)Die eulersche Zahl (Lambacher)• Vollständige Induktion (Lambacher + Vollständige Induktion (Lambacher +

Buckel)Buckel)