Formelsammlung Grundlagen der Elektrotechnik

FormelsammlungGrundlagen der Elektrotechnik

2

Inhaltsverzeichnis

Gleichstromtechnik1 Elektrische Grundgrößen....................................17

1.1 Elektizitätsmenge/Ladung...................................171.2 Stromdichte........................................................171.3 Leitwert..............................................................18

2 Ohmsches Gesetz....................................................192.1 Allgemein............................................................192.2 Kurzschlussstrom................................................20

3 Der Widerstand......................................................213.1 Schaltung von Widerständen..............................21

3.1.1 Serienschaltung...............................................213.1.2 Parallelschaltung.............................................22

3.1.2.1 Bei 2 Widerstände...................................223.1.2.2 Bei mehr als 2 Widerstände....................22

3.2 Der Leiterwiderstand..........................................233.2.1 Spezifische Widerstand...................................233.2.2 Spezifische Leitfähigkeit..................................23

3.2.2.1.1 Leitfähigkeitswerte..........................243.3 Temperaturabhägingkeit.....................................25

3.3.1 Warmwiderstand............................................253.3.2 Berechnung mit Tau........................................253.3.3 Temperaturdifferenz.......................................26

4 Kirchhoffschen Gesetze........................................27

3

4.1 Knotenregel........................................................274.2 Maschenregel.....................................................28

5 Spannungs- und Stromteilerregeln..................295.1 Spannungsteilerregel..........................................295.2 Stromteilerregel..................................................30

5.2.1 1.) Stromteilerregel.........................................305.2.2 2.) Stromteilerregel.........................................305.2.3 3.) Stromteilerregel.........................................30

6 Spannungsteiler......................................................336.1 Unbelasteter Spannungsteiler.............................336.2 Belasteter Spannungsteiler.................................34

7 MB – Erweiterung für Str. und Spg....................357.1 MB – Erweiterung beim Amperemeter................357.2 MB – Erweiterung beim Voltmeter......................36

8 Ersatzschaltbilder..................................................378.1 Reduzierte Ersatzschaltbilder..............................378.2 Stern und Dreieck-Schaltung...............................38

8.2.1 Dreieck – Stern – Transformation...................388.2.2 Stern – Dreieck – Transformation...................38

9 Arbeit, Leistung und Wirkungsgrad................419.1 Arbeit und Energie..............................................41

9.1.1 Elektrische Arbeit............................................419.1.2 Mechanische Arbeit........................................42

9.1.2.1 Gewicht...................................................429.1.2.1.1 Erdbeschleunigung..........................42

9.1.2.2 Kraft.........................................................43

4

9.1.3 Wärmeenergie................................................439.1.3.1 spezifische Wärmekapazität....................43

9.1.3.1.1 H2O..................................................439.1.4 Gleichwertigkeit..............................................44

9.2 Leistung..............................................................449.2.1 Allgemein........................................................449.2.2 Elektrische Leistung........................................44

9.3 Wirkungsgrad......................................................459.3.1 Gesamt Wikrungsgrad.....................................45

Wechselstrom10 Allgemeine Parameter.......................................49

10.1 Frequez.............................................................4910.2 Kreisfrequenz....................................................4910.3 Momentanwert bei Sinuswelle..........................5010.4 Linearer Mittelwert...........................................5010.5 Gleichrichtwert.................................................51

10.5.1 Vollweggleichrichtung...................................5110.5.2 Einweggleichrichtung....................................5110.5.3 Gleichrichtwert einer Sinuswelle..................5210.5.4 Gleichrichtwert eines Dreiecksignals............5210.5.5 Gleichrichtwert eines Rechtecksignals.........52

10.6 Effektivwert......................................................5310.6.1 Effektivwert für beliebige Kurvenform.........5310.6.2 Effektivwert bei Sinuswelle...........................5310.6.3 Effektivwert bei Sinushalbwelle....................5410.6.4 Effektivwert bei Virtelsinuswelle..................5410.6.5 Effektivwert bei Rechtecksignal....................54

10.6.5.1 Mit Nullstellen.......................................54

5

10.6.5.2 Ohne Nullstellen....................................5510.6.6 Effektivwert eines Dreiecksignals.................5510.6.7 Effektivwert einer Mischgröße......................56

10.7 Scheitelfaktor – Crestfaktor...............................5610.8 Formfaktor........................................................56

11 R, L und C im Wechselstromkreis...................5911.1 Rein ohm'scher Widerstand im Wechselstromkreis...................................................59

11.1.1 Spannung......................................................5911.1.2 Strom.............................................................60

11.2 Reine Induktivität im Wechselstromkreis..........6011.2.1 Voraussetzung...............................................6011.2.2 Spannung......................................................60

11.2.2.1 Momentanwert.....................................6011.2.2.2 Effektivwert...........................................61

11.2.3 Induktiver Blindwiderstand...........................6111.2.4 Induktiver Blindleitwert................................62

11.3 Reine Kapazität im Wechselstromkreis..............6211.3.1 Voraussetzung...............................................6211.3.2 Strom.............................................................62

11.3.2.1 Momentanwert.....................................6211.3.2.2 Spitzenwert...........................................6311.3.2.3 Effektivwert...........................................63

11.3.3 Blindwiderstand............................................6411.3.4 Blindleitwert..................................................64

11.4 Serienschaltung von R und L..............................6411.4.1 Impedanz......................................................6411.4.2 Admittanz......................................................6511.4.3 Bauteilleitwerte............................................66

11.5 Serienschaltung von R und C.............................66

6

11.5.1 Impedanz......................................................6611.5.2 Admittanz......................................................6711.5.3 Bauteilleitwerte............................................68

11.6 Serienschaltung von R, L und C..........................6811.6.1 Impedanz......................................................6811.6.2 Wirkspannung...............................................6911.6.3 Blindspannung..............................................69

11.7 Parallelschaltung von R und L............................7011.7.1 Admittanz......................................................7011.7.2 Gesamtstrom................................................70

11.8 Parallelschaltung von R und C...........................7111.8.1 Admittanz......................................................71

11.9 Parallelschaltung von R, L und C........................7211.9.1 Admittanz......................................................72

11.10 Serienschaltung beliebiger Verbraucher..........7211.10.1 Spannung....................................................7211.10.2 Impedanz....................................................7311.10.3 Serienschaltung gleicher Elemente............73

11.10.3.1 Widerstände........................................7311.10.3.2 Induktivitäten......................................7411.10.3.3 Kapazitäten..........................................74

11.11 Parallelschaltung beliebiger Verbraucher........7511.11.1 Strom...........................................................7511.11.2 Admittanz....................................................7511.11.3 Parallelschaltung gleicher Elemente...........76

11.11.3.1 Widerstände........................................7611.11.3.2 Induktivitäten......................................7711.11.3.3 Kapazitäten..........................................77

12 Leistungen im Wechselstromkreis................7912.1 Wirkleistung bei ohm'schen Widerstand...........79

7

12.2 Blindleistung.....................................................8012.3 Scheinleistung...................................................8112.4 Leistungsfaktor.................................................81

13 Schwingkreise.......................................................8313.1 Serienschwingkreis...........................................8313.2 Parallelschwingkreis..........................................8413.3 Nomierung von Schwingkreisgrößen.................85

13.3.1 Kennfrequenz des Resonanzkreises..............8513.3.1.1 nomierte Frequenz................................85

13.3.2 Kennwiderstand des Resonanzkreises..........8613.3.3 Verstimmung.................................................8613.3.4 Gütefaktor und Dämpfungsfaktor.................87

13.3.4.1 Serienschwingkreis................................8713.3.4.1.1 Gütefaktor.....................................8713.3.4.1.2 Bauteilgüte einer Spule.................89

13.3.4.2 Parallelschwingkreis..............................8913.3.4.2.1 Gütefaktor.....................................8913.3.4.2.2 Bauteilgüte eines Kondensators....90

13.3.5 Die Bandbreite..............................................9113.3.5.1 Serienschwingkreis................................9113.3.5.2 Parallelschwingkreis..............................92

13.3.6 Zusammenhang Güte, Dämpfung und Bandbreite................................................................9213.3.7 Das Bodediagramm.......................................93

13.3.7.1 Übertragungsfunktion...........................9313.3.7.2 Hochpass...............................................94

13.3.7.2.1 Übertragungsfunktion...................9413.3.7.2.2 Verstärkung....................................9413.3.7.2.3 Phasenwinkel.................................9513.3.7.2.4 Grenzfrequenz...............................95

8

13.3.7.3 Tiefpass.................................................9613.3.7.3.1 Übertragungsfunktion...................9613.3.7.3.2 Verstärkung....................................9613.3.7.3.3 Phasenwinkel.................................9713.3.7.3.4 Grenzfrequenz...............................97

Elektrisches Feld14 Grundgrößen......................................................101

14.1 Feldstärke.......................................................10114.2 Flussdichte......................................................10214.3 Permittivität....................................................10214.4 Kraft ...............................................................10314.5 Ladung ...........................................................10314.6 Kapazität ........................................................104

15 Die Kapazität......................................................10715.1 Serienschaltung...............................................10715.2 Parallelschaltung.............................................108

16 Energie und Kraftwirkung im elektrischen Feld...............................................................................109

16.1 Energieinhalt ..................................................10916.2 Kraft ...............................................................11016.3 Arbeit..............................................................11016.4 Leistung..........................................................111

17 Coulombsches Gesetz.......................................11317.1 Kraft................................................................11317.2 Elektrische Feldstärke......................................114

9

18 E und C im 2-schichtigen Dielektrikum....115

19 Kondensator an zeitabhängiger Spg...........11719.1 Stromstärke zum Zeitpunkt t...........................11719.2 Ladung............................................................118

Elektromagnetismus20 Grundgrößen......................................................121

20.1 Magnetische Feldstärke...................................12120.2 Flussdichte......................................................121

20.2.1 Permeabilität...............................................12220.3 Induktivität.....................................................12220.4 Durchflutung einer Spule.................................12320.5 Spannung........................................................12320.6 Kraftwirkung im magnetischen Feld................123

21 Induktionsgesetz...............................................12521.1 Allgemein........................................................12521.2 Induktion der Bewegung.................................126

21.2.1 Spannung....................................................12621.3 Induzierte Spannung durch zeitlich veränderliche Magnetfelder..........................................................126

21.3.1 Flussänderung Dreiecksförmig....................12621.3.1.1 Spannung............................................126

21.3.2 Flussänderung Sinusförmig.........................12721.3.2.1 Spannung............................................127

21.3.3 Selbstinduktion...........................................12721.4 Gegeninduktion - Trafoprinzip.........................129

21.4.1 Trafogesetze................................................129

10

21.4.1.1 1. Trafogesetz......................................12921.4.1.2 2. Trafogesetz......................................129

21.4.1.2.1 Übersetzungsverhältnis...............13021.4.1.3 3. Trafogesetz......................................130

22 Induktivität von Spulen..................................13122.1 Für alle Spulen mit 1 mag. Wdst. Gilt...............131

22.1.1 Magnetische Feldstärke..............................13122.1.2 Durchflutungssatz.......................................13222.1.3 Induktion.....................................................13222.1.4 Magnetische Fluss.......................................132

22.2 2. Form des Induktionsgesetz..........................13322.3 Induktivität Allgemein.....................................134

22.3.1 Magnetische Widerstand............................13522.4 Luftspule.........................................................135

22.4.1 Ringspule (Torus).........................................13522.4.1.1 Fläche..................................................13522.4.1.2 Länge...................................................13622.4.1.3 Magnetischer Widerstand...................13622.4.1.4 Induktivität..........................................136

22.4.2 Zylinderspule...............................................13722.4.2.1 Für l ≥ d................................................137

22.4.2.1.1 Fläche..........................................13722.4.2.1.2 Magnetischer Widerstand...........13722.4.2.1.3 Induktivität..................................138

22.4.2.2 Für l < 10 d...........................................13822.4.2.2.1 Fläche..........................................13822.4.2.2.2 Magnetischer Widerstand...........13922.4.2.2.3 Induktivität..................................139

22.5 Eisendrossel ohne Luftspalt.............................14022.5.1 Magnetischer Widerstand..........................140

11

22.5.2 Induktivität..................................................14022.6 Eisendrossel mit Luftspalt...............................141

22.6.1 Induktion.....................................................14122.6.1.1 In Sättigung bei Trafo Perm N2...........14122.6.1.2 Nicht in Sättigung bei Trafo Perm N2. .142

22.6.2 Induktivität..................................................14222.7 Spule an Wechselspannung.............................143

22.7.1 Spannung....................................................14322.7.2 Strom...........................................................143

23 Gegenseitige indukt. Beeinflussung stromdurchflossener Spulen...............................145

23.1 Kopplungsgrad und Streufaktor.......................14523.1.1 Kopplungsgrad............................................14523.1.2 Streufaktor..................................................14623.1.3 Übersetzungsverhältnis..............................146

23.2 Gegeninduktivität...........................................14723.2.1 Gesamtstreufaktor......................................147

23.3 Kopplung von 2 in Serie geschaltete Spulen.....14723.3.1 Gleichsinnig wirkende Suplen.....................147

23.3.1.1 Für k = 100% , Ϭ = 0.............................14723.3.1.2 Für 0 < k < 1, 0 < Ϭ < 1.........................14823.3.1.3 Für k = 0, Ϭ = 1...................................148

23.3.1.3.1 Serie.............................................14823.3.1.3.2 Parallel.........................................149

23.3.2 Gegensinnig wirkende Spulen.....................149

24 Energie im magnetischen Feld......................15124.1 Energieinhalt...................................................15124.2 Energiedichte..................................................152

12

Anhang25 Konstanten..........................................................157

26 Griechisches Alphabet.....................................159

13

14

Gleichstromtechnik

15

16 1 Elektrische Grundgrößen

1 Elektrische Grundgrößen

1.1 Elektizitätsmenge/Ladung

Q= I⋅tQ............Elektrizitätsmenge/Ladung [As/C]

I..............Stromstärke [A]

t.............Zeit [s]

1.2 Stromdichte

J= IA

1 Elektrische Grundgrößen 17

d.............Leiterdurchmesser [mm]

A............Leiterquerschnitt [mm²]

I..............Stromstärke [A]

1.3 Leitwert

G= 1R

G............Leitwert [S]

R............Widerstand [Ω]

18 1 Elektrische Grundgrößen

2 Ohmsches Gesetz

2.1 Allgemein

U=R⋅IR=U

II=U

RU............Spannung [V]

R............Widerstand [Ω]

I..............Stromstärke [A]

2 Ohmsches Gesetz 19

2.2 Kurzschlussstrom

I K=U 0

RiIK ............Kurzschlusstrom [A]

U0 ..........Quellspannung [V]

Ri............Innenwiderstand [Ω]

20 2 Ohmsches Gesetz

3 Der Widerstand

3.1 Schaltung von Widerständen

3.1.1 Serienschaltung

Rges=R1RnRges.........Gesamtwiderstand [Ω]

R1...........Widerstand 1 [Ω]

Rn...........Widerstand [Ω]

3 Der Widerstand 21

3.1.2 Parallelschaltung

3.1.2.1 Bei 2 Widerstände

Rges=R1⋅R2

R1R2Rges.........Gesamtwiderstand [Ω]

R1...........Widerstand 1 [Ω]

R2...........Widerstand 2 [Ω]

3.1.2.2 Bei mehr als 2 Widerstände

1Rges

= 1R1 1

R2 1

RnRges.........Gesamtwiderstand [Ω]

R1...........Widerstand 1 [Ω]

R2...........Widerstand 2 [Ω]

Rn...........Widerstand [Ω]

22 3 Der Widerstand

3.2 Der Leiterwiderstand

3.2.1 Spezifische Widerstand

R= l⋅A

R............Widerstand des Leiters [Ω]

l..............Leiterlänge [m]

ρ.............spezifische Widerstand [Ωmm²/m]

A............Leiterquerschnitt [mm²]

3.2.2 Spezifische Leitfähigkeit

R= l⋅A

= 1

R............Widerstand des Leiters [Ω]

l..............Leiterlänge [m]

3 Der Widerstand 23

γ.............spezifische Leitfähigkeit [Sm/mm²]

A............Leiterquerschnitt [mm²]3.2.2.1.1 LeitfähigkeitswerteKupfer CU :=56 S m

mm2

Aluminium Al :=35S mmm2

24 3 Der Widerstand

3.3 Temperaturabhägingkeit

3.3.1 Warmwiderstand

RW=RK⋅1⋅T RW=RK⋅[1⋅T⋅T 2]

RW..........Warmwiderstand [Ω]

RK...........Kaltwiderstand 1 [Ω]

α............Temperaturkoeffizient [1/k]

α=α20....gilt bei 20º C

ΔΤ...........Temperaturdifferenz [1K]

3.3.2 Berechnung mit Tau

RW=RK⋅W

K

= 1−20oC

3 Der Widerstand 25

ϑW..........Warmtemperatur [K]

ϑK...........Kalttemperatur [K]

RW..........Warmwiderstand [Ω]

RK...........Kaltwiderstand 1 [Ω]

τ.............Temperaturbeiwert

3.3.3 Temperaturdifferenz

T=W−K

T=

RW

RK−1

ϑW..........Warmtemperatur [K]

ϑK...........Kalttemperatur [K]

RW..........Warmwiderstand [Ω]

RK...........Kaltwiderstand 1 [Ω]

α............Temperaturkoeffizient [1/K]

ΔΤ...........Temperaturdifferenz [1K]

26 3 Der Widerstand

4 Kirchhoffschen Gesetze

4.1 Knotenregel

Σ I=0Σ Izufl.=Σ Iabfl.

ΣI............Summe der Ströme in einem Knoten

ΣIzufl.........Summe der zufließenden Ströme

ΣIabfl.........Summe der abfließenden Ströme

4 Kirchhoffschen Gesetze 27

4.2 Maschenregel

ΣU=0ΣUVerbraucher=ΣUQuellen

ΣU..................Summe der Spannungen in einer Masche

ΣUVerbraucher......Summe der Verbraucherspannungen

ΣUQuellen..........Summe der Quellspannungen

28 4 Kirchhoffschen Gesetze

5 Spannungs- und Stromteilerregeln

5.1 Spannungsteilerregel

U i

U ges=

Ri

Rges

5 Spannungs- und Stromteilerregeln 29

5.2 Stromteilerregel

5.2.1 1.) Stromteilerregel

I i

I K=

RK

Ri=

G i

GKDie Teilströme verhalten sich so wie die Leitwerte bzw. umgekehrt zu den betreffenden Widerständen.

5.2.2 2.) Stromteilerregel

I i= I ges⋅Rges

Ri= I ges⋅

G i

GgesEin Teilstrom = dem Gesamtstrom mal den Gesamt Widerstand dividiert durch jenen Teilwiderstand durch den der betreffende Strom fließt.

5.2.3 3.) StromteilerregelFür 2 Widerstände parallel:

30 5 Spannungs- und Stromteilerregeln

I i= I ges⋅RK

RiRKEin Teilstrom = dem Gesamtstrom mal dem gegenüberliegenden Widerstand dividiert durch die Summe der Widerstände.

5 Spannungs- und Stromteilerregeln 31

32 5 Spannungs- und Stromteilerregeln

6 Spannungsteiler

6.1 Unbelasteter Spannungsteiler

p= xl

p.............Potentimeterstellung

x.............Gesamte Potentimeter

l..............Potentimeter - Abegriffener Widerstand

6 Spannungsteiler 33

6.2 Belasteter Spannungsteiler

p= xl

a=Rs

Rap.............Potentimeterstellung

x.............Gesamte Potentimeter

l..............Potentimeter - Abegriffener Widerstand

a.............Maß für Belastung

Rs............Potentimeter Widerstand [Ω]

Ra...........Abgegriffene Widerstand [Ω]

34 6 Spannungsteiler

7 MB – Erweiterung für Str. und Spg.

7.1 MB – Erweiterung beim Amperemeter

n= II a

n.............Messbereichserweiterungszahl

I..............Gesamtstrom - der zu messende Strom [A]

Ia.............Strom durch Amperemeter - zulässiger Strom [A]

7 MB – Erweiterung für Str. und Spg. 35

Rn=RiA

n−1Rn...........Nebenwiderstand [Ω]

n.............Messbereichserweiterungszahl

RiA...........Innenwiderstand [Ω]

7.2 MB – Erweiterung beim Voltmeter

n= UU V

n.............Messbereichserweiterungszahl

U............Gesamtspannung - die zu messende Spg. [V]

Uv...........Spannung durch Voltmeter- zulässige Spg. [V]

RV=Riv⋅n−1Rv...........Vorwiderstand [Ω]

n.............Messbereichserweiterungszahl

RiV...........Innenwiderstand [Ω]

36 7 MB – Erweiterung für Str. und Spg.

8 Ersatzschaltbilder

8.1 Reduzierte Ersatzschaltbilder

I K=U 0

RiIK............Kurzschlussstrom [A]

U0...........Leerlauf Spannung [V]

Ri............Innenwiderstand [Ω]

8 Ersatzschaltbilder 37

8.2 Stern und Dreieck-Schaltung

8.2.1 Dreieck – Stern – TransformationDer Stern Widerstand = dem Produkt der beiden anliegenden Dreieckswiderständen dividiert durch die Summe der Dreieckswiderstände.

R1=R12⋅R13

R12R13R23R1...........Stern Widerstand [Ω]

R12..........Anliegender Dreiecks Widerstand [Ω]

R13..........Anliegender Dreiecks Widerstand [Ω]

R23..........Dreiecks Widerstand [Ω]

8.2.2 Stern – Dreieck – TransformationDer Dreieck Widerstand = Die Summe aller möglichen Produkte der Sternwiderstände dividiert durch den gegenüberliegenden Sternwiderstand.

R12=R1⋅R2R1⋅R3R2⋅R3

R3R1...........Stern Widerstand [Ω]

38 8 Ersatzschaltbilder

R2...........Stern Widerstand [Ω]

R3...........Gegenüberliegende Stern Widerstand [Ω]

R12..........Dreiecks Widerstand [Ω]

8 Ersatzschaltbilder 39

40 8 Ersatzschaltbilder

9 Arbeit, Leistung und Wirkungsgrad

9.1 Arbeit und Energie

9.1.1 Elektrische Arbeit

W=U⋅I⋅t=P⋅tArbeit=Leistung⋅Zeit

W...........Arbeit [Ws]

U............Spannung [V]

I..............Strom [A]

9 Arbeit, Leistung und Wirkungsgrad 41

t.............Zeit [s]

P.............Leistung [W]

9.1.2 Mechanische Arbeit

W=G⋅hW...........Arbeit [Nm]

G............Gewicht [N]

h.............Höhe [m]

9.1.2.1 Gewicht

G=m⋅gm...........Masse [kg]

G............Gewicht [N]

g.............Erdbeschleunigung [m/s²]9.1.2.1.1 Erdbeschleunigungg=9,81 m

s2

g.............Erdbeschleunigung [m/s²]

42 9 Arbeit, Leistung und Wirkungsgrad

9.1.2.2 Kraft

F=m⋅am...........Masse [kg]

F.............Kraft [N]

a.............Beschleunigung [m/s²]

9.1.3 Wärmeenergie

Q=m⋅c⋅=m⋅c⋅1−2Q............Wärmeenergie [kJ]

Δϑ..........Temperaturdifferenz [K]

c.............spezifische Wärmekapazität [kJ/kg.K]

m...........Masse [kg]

ϑ1...........Anfangstemperatur [K]

ϑ2...........Endtemperatur [K]

9.1.3.1 spezifische Wärmekapazität9.1.3.1.1 H2Oc=4,19 kJ

kg⋅K9 Arbeit, Leistung und Wirkungsgrad 43

c.............spezifische Wärmekapazität [kJ/kg.K]

9.1.4 Gleichwertigkeit

1Ws=1Nm=1J9.2 Leistung

9.2.1 Allgemein

P=Wt

Leistung= ArbeitZeit

W...........Arbeit [Ws]

t.............Zeit [s]

P.............Leistung [W]

9.2.2 Elektrische Leistung

P=U⋅I44 9 Arbeit, Leistung und Wirkungsgrad

P=U 2

R P= I 2⋅RU............Spannung [V]

I..............Strom [A]

P.............Leistung [W]

R............Widerstand [Ω]

9.3 Wirkungsgrad

=P ab

P zu1

Pab..........Abgegebene Leistung [W]

Pzu..........Zugeführte Leistung [W]

η............Wirkungsgrad

9.3.1 Gesamt Wikrungsgrad

GES=1⋅2⋅3ηGES.........Gesamtwirkungsgrad

9 Arbeit, Leistung und Wirkungsgrad 45

η1...........Wirkungsgrad 1

η2...........Wirkungsgrad 2

η3...........Wirkungsgrad 3

46 9 Arbeit, Leistung und Wirkungsgrad

Wechselstromtechnik

9 Arbeit, Leistung und Wirkungsgrad 47

48 9 Arbeit, Leistung und Wirkungsgrad

10 Allgemeine Parameter

10.1 Frequez

f = 1T

f.............Frequenz [Hz]

T.............Periodendauer [s]

10.2 Kreisfrequenz

=2⋅⋅ fω............Kreisfrequenz [1/s]

10 Allgemeine Parameter 49

f.............Frequenz [Hz]

10.3 Momentanwert bei Sinuswelle

i t =I⋅sin ⋅t i(t)..........Momentanwert des Strom [A]

t.............Zeit [s]

I..............Spitzenwert [A]

ω............Kreisfrequenz [1/s]

10.4 Linearer Mittelwert

i=QT= 1

T ∑t 0

t0T

i t ⋅ t

i..............Liniarer Mittelwert [A]

Q............Ladung

T.............Periodendauer [s]

i(t)..........Momentanwert des Strom [A]

t.............Zeit [s]

50 10 Allgemeine Parameter

10.5 Gleichrichtwert

10.5.1 Vollweggleichrichtung

∣i∣=QT= 1

T ∑t0

t0T

∣i t ∣⋅ t

|i|..........Gleichrichtwert [A]

Q............Ladung

T.............Periodendauer [s]

|i(t)|......Absolutbetrag Momentanwert des Strom [A]

t.............Zeit [s]

10.5.2 Einweggleichrichtung

∣ iHP∣=∣i∣2

|i|..........Gleichrichtwert Vollweggleichrichtung [A]

|iHP|.......Gleichrichtwert Einweggleichrichtung [A]

10 Allgemeine Parameter 51

10.5.3 Gleichrichtwert einer Sinuswelle

∣i∣=2 I

Fläche unterhalb einer Sinuswelle=2 I|i|..........Gleichrichtwert [A]

I..............Spitzenwert [A]

10.5.4 Gleichrichtwert eines Dreiecksignals

∣i∣=I2

|i|..........Gleichrichtwert [A]

I..............Spitzenwert [A]

10.5.5 Gleichrichtwert eines Rechtecksignals

∣i∣=I|i|..........Gleichrichtwert [A]

I..............Spitzenwert [A]

52 10 Allgemeine Parameter

10.6 Effektivwert

10.6.1 Effektivwert für beliebige Kurvenform

I eft= 1T ∑t 0

t0T

[i t ]2⋅ t

Ieft...........Effektivwert [A]

T.............Periodendauer [s]

i(t)..........Momentanwert des Strom [A]

t.............Zeit [s]

10.6.2 Effektivwert bei Sinuswelle

I eft Sinus=I2

Ieft Sinus......Effektivwert [A]

I..............Spitzenwert [A]

10 Allgemeine Parameter 53

10.6.3 Effektivwert bei Sinushalbwelle

I eft Sh=I2

Ieft Sh........Effektivwert [A]

I..............Spitzenwert [A]

10.6.4 Effektivwert bei Virtelsinuswelle

Ieft 1

4=

I2⋅2

Ieft 1/4.......Effektivwert [A]

I..............Spitzenwert [A]

10.6.5 Effektivwert bei Rechtecksignal

10.6.5.1 Mit Nullstellen

U eft= UUeft.........Effektivwert [V]

54 10 Allgemeine Parameter

U............Spitzenwert [V]

10.6.5.2 Ohne Nullstellen

U eft= U⋅ teT = U⋅Ueft.........Effektivwert [V]

U............Spitzenwert [V]

te............Einschaltzeit [s]

T.............Periodendauer [s]

λ.............Einschaltverhältnis, Tastverhältnis

10.6.6 Effektivwert eines Dreiecksignals

I eft Dreieck=I3

Ieft Dreieck. . .Effektivwert [A]

I..............Spitzenwert [A]

10 Allgemeine Parameter 55

10.6.7 Effektivwert einer Mischgröße

I eft ges= I DC2 I AC

2

Ieft ges.......Gesamteffektivwert [A]

IDC...........Gleichstromanteil [A]

IAC...........Wechselstromanteil [A]

10.7 Scheitelfaktor – Crestfaktor

F s=II eft

FS............Scheitelfaktor

Ieft...........Effektivwert [A]

I..............Spitzenwert [A]

10.8 Formfaktor

F F=I eft

∣i∣56 10 Allgemeine Parameter

FF............Formfaktor

Ieft...........Effektivwert [A]

|i|..........Gleichrichtwert [A]

10 Allgemeine Parameter 57

58 10 Allgemeine Parameter

11 R, L und C im Wechselstromkreis

11.1 Rein ohm'scher Widerstand im Wechselstromkreis

11.1.1 Spannung

ut = U⋅sin t u(t).........Momentanwert [V]

U............Spitzenwert [V]

ω............Kreisfrequenz [1/s]

t.............Zeit [s]

11 R, L und C im Wechselstromkreis 59

11.1.2 Strom

i t =I⋅sin t i(t)..........Momentanwert [A]

I..............Spitzenwert [A]

ω............Kreisfrequenz [1/s]

t.............Zeit [s]

11.2 Reine Induktivität im Wechselstromkreis

11.2.1 Voraussetzung

i t =I⋅sin t Strom sei Sinusförmig

11.2.2 Spannung

11.2.2.1 Momentanwert

ut = U⋅cos t

60 11 R, L und C im Wechselstromkreis

u(t).........Momentanwert [V]

U............Spitzenwert [V]

ω............Kreisfrequenz [1/s]

t.............Zeit [s]

11.2.2.2 Effektivwert

U eff= L⋅I effUeff..........Effektivwert [V]

ω............Kreisfrequenz [1/s]

L.............Induktivität [H]

Ieff...........Effektivwert [A]

11.2.3 Induktiver Blindwiderstand

X L= LXL............Blindwiderstand

ω............Kreisfrequenz [1/s]

L.............Induktivität [H]

11 R, L und C im Wechselstromkreis 61

11.2.4 Induktiver Blindleitwert

BL=−1 L

BL...........Blindleitwert

ω............Kreisfrequenz [1/s]

L.............Induktivität [H]

11.3 Reine Kapazität im Wechselstromkreis

11.3.1 Voraussetzung

ut = U⋅cos t Spannung seiCosinsförmig

11.3.2 Strom

11.3.2.1 Momentanwert

i t =I⋅−sin t i(t)..........Momentanwert [A]

62 11 R, L und C im Wechselstromkreis

I..............Spitzenwert [A]

ω............Kreisfrequenz [1/s]

t.............Zeit [s]

11.3.2.2 Spitzenwert

I=C⋅ UI..............Spitzenwert [A]

ω............Kreisfrequenz [1/s]

C............Kapazität [F]

U............Spitzenwert [V]

11.3.2.3 Effektivwert

I eft=U eft⋅BC=U eft

∣X C∣Ieft...........Effektivwert Strom [A]

Ueft.........Effektivwert Spannung [V]

BC...........Blindleitwert [S]

XC...........Blindwiderstand [Ω]

11 R, L und C im Wechselstromkreis 63

11.3.3 Blindwiderstand

X C=−1C

XC...........Blindwiderstand [Ω]

ω............Kreisfrequenz [1/s]

C............Kapazität [F]

11.3.4 Blindleitwert

BC=CBC...........Blindleitwert [S]

ω............Kreisfrequenz [1/s]

C............Kapazität [F]

11.4 Serienschaltung von R und L

11.4.1 Impedanz

Z=R j L

64 11 R, L und C im Wechselstromkreis

Z=∣Z∣⋅e j L

Z.............Impedanz [Ω]

R............ohmsche Widerstand [Ω]

ω............Kreisfrequenz [1/s]

L.............Induktivität [H]

11.4.2 Admittanz

Y= 1Z

Y=G j BY.............Admittanz [S]

Z.............Impedanz [Ω]

G............Leitwert [S]

B............Blindleitwert [S]

11 R, L und C im Wechselstromkreis 65

11.4.3 Bauteilleitwerte

GR=1R

GR...........Leitwert [S]

BL=−1 L

BL...........Blindleitwert [S]

ω............Kreisfrequenz [1/s]

L.............Induktivität [H]

11.5 Serienschaltung von R und C

11.5.1 Impedanz

Z=R 1jC

66 11 R, L und C im Wechselstromkreis

Z=R− j 1C

Z.............Impedanz [Ω]

R............ohmsche Widerstand [Ω]

ω............Kreisfrequenz [1/s]

C............Kapazität [F]

11.5.2 Admittanz

Y= 1Z

Y=G j BY.............Admittanz [S]

Z.............Impedanz [Ω]

G............Leitwert [S]

B............Blindleitwert [S]

11 R, L und C im Wechselstromkreis 67

11.5.3 Bauteilleitwerte

GR=1R

GR...........Leitwert [S]

R............ohmsche Widerstand [Ω]

BC=CBC...........Blindleitwert [S]

ω............Kreisfrequenz [1/s]

C............Kapazität [F]

11.6 Serienschaltung von R, L und C

11.6.1 Impedanz

Z=R j L− 1C

Z=∣Z∣⋅e± j

68 11 R, L und C im Wechselstromkreis

Z.............Impedanz [Ω]

R............ohmsche Widerstand [Ω]

ω............Kreisfrequenz [1/s]

L.............Induktivität [H]

C............Kapazität [F]

11.6.2 Wirkspannung

UW=U RUW..........Wirkspannung [V]

UR...........Spannung am ohmschen Widerstand [V]

11.6.3 Blindspannung

U B=U L−U CUB...........Blindspannung [V]

UL...........Spannung an der Induktivität [V]

UC...........Spannung an der Kapazität [V]

11 R, L und C im Wechselstromkreis 69

11.7 Parallelschaltung von R und L

11.7.1 Admittanz

Y= 1R− j 1 L

Y=∣Y∣⋅e− j

Y.............Admittanz [S]

ω............Kreisfrequenz [1/s]

L.............Induktivität [H]

11.7.2 Gesamtstrom

I ges=UR− j U L

I ges=U⋅ 1R− j 1 L

70 11 R, L und C im Wechselstromkreis

Iges..........Gesamtstrom [A]

U............Spannung [V]

R............ohmsche Widerstand [Ω]

ω............Kreisfrequenz [1/s]

L.............Induktivität [H]

11.8 Parallelschaltung von R und C

11.8.1 Admittanz

Y= 1R jC

Y=∣Y∣⋅e j

Y.............Admittanz [S]

R............ohmsche Widerstand [Ω]

ω............Kreisfrequenz [1/s]

C............Kapazität [F]

11 R, L und C im Wechselstromkreis 71

11.9 Parallelschaltung von R, L und C

11.9.1 Admittanz

Y= 1R j C− 1

L

Y=∣Y∣⋅e± j

Y.............Admittanz [S]

R............ohmsche Widerstand [Ω]

ω............Kreisfrequenz [1/s]

C............Kapazität [F]

L.............Induktivität [H]

11.10 Serienschaltung beliebiger Verbraucher

11.10.1 Spannung

U ges=U 1U 2U nUges.........Gesamtspannung [V]

72 11 R, L und C im Wechselstromkreis

U1...........Spannung an der Impedanz Z1 [V]

U2...........Spannung an der Impedanz Z2 [V]

Un...........Spannung an der Impedanz Zn [V]

11.10.2 Impedanz

Z ges=Z 1Z 2Z nZges..........Gesamtimpedanz [Ω]

Z1............Impedanz 1 [Ω]

Z2............Impedanz 2 [Ω]

Zn............Impedanz n [Ω]

11.10.3 Serienschaltung gleicher Elemente

11.10.3.1 Widerstände

Rges=R1R2RnRges.........ohmsche Gesamtwiderstand [Ω]

R1...........ohmsche Widerstand 1 [Ω]

R2...........ohmsche Widerstand 2 [Ω]

Rn...........ohmsche Widerstand n [Ω]

11 R, L und C im Wechselstromkreis 73

11.10.3.2 Induktivitäten

Lges=L1L2LnLges..........Gesamtinduktivität [H]

L1............Induktivität 1 [H]

L2............Induktivität 2 [H]

Ln............Induktivität n [H]

11.10.3.3 Kapazitäten

1C ges

= 1C1 1

C 2 1

C nCges.........Gesamtkapazität [F]

C1...........Kapazität 1 [F]

C2...........Kapazität 2 [F]

Cn...........Kapazität n [F]

74 11 R, L und C im Wechselstromkreis

11.11 Parallelschaltung beliebiger Verbraucher

11.11.1 Strom

I ges=I 1I 2 I nIges..........Gesamtstrom [A]

I1............Strom durch Admittanz Y1 [A]

I2............Strom durch Admittanz Y2 [A]

In............Strom durch Admittanz Yn [A]

11.11.2 Admittanz

Y ges=Y 1Y 2Y nYges..........Gesamtadmittanz [S]

Y1...........Admittanz 1 [S]

Y2...........Admittanz 2 [S]

Yn............Admittanz n [S]

11 R, L und C im Wechselstromkreis 75

11.11.3 Parallelschaltung gleicher Elemente

11.11.3.1 Widerstände

1Rges

= 1R1 1

R2 1

RnRges.........ohmsche Gesamtwiderstand [Ω]

R1...........ohmsche Widerstand 1 [Ω]

R2...........ohmsche Widerstand 2 [Ω]

Rn...........ohmsche Widerstand n [Ω]

G ges=G1G2GnGges.........Gesamtleitwert [S]

G1...........Leitwert 1 [S]

G2...........Leitwert 1 [S]

Gn...........Leitwert n [S]

76 11 R, L und C im Wechselstromkreis

11.11.3.2 Induktivitäten

1Lges= 1

L1 1

L2 1

LnLges..........Gesamtinduktivität [H]

L1............Induktivität 1 [H]

L2............Induktivität 2 [H]

Ln............Induktivität n [H]

11.11.3.3 Kapazitäten

C ges=C1C 2CnCges.........Gesamtkapazität [F]

C1...........Kapazität 1 [F]

C2...........Kapazität 2 [F]

Cn...........Kapazität n [F]

11 R, L und C im Wechselstromkreis 77

78 11 R, L und C im Wechselstromkreis

12 Leistungen im Wechselstromkreis

12.1 Wirkleistung bei ohm'schen Widerstand

p=P= 1T⋅∑

t 0

t0T

p t ⋅ t

p=P=U eft⋅I eft

12 Leistungen im Wechselstromkreis 79

P=S⋅cos=U eft⋅I eft⋅cosp.............Leistungsmittelwert [W]

P.............Wirkleistung [W]

T.............Periodendauer [s]

p(t).........Leistung [W]

t.............Zeit [s]

Ueft.........Effektivspannung [V]

Ieft...........Effektivstrom [A]

S.............Scheinleistung [VA]

12.2 Blindleistung

Q=S⋅sin=U eft⋅I eft⋅sinQ............Blindleistung [Var]

S.............Scheinleistung [VA]

Ueft.........Effektivspannung [V]

Ieft...........Effektivstrom [A]

ϕ............Phasenwinkel [°]

80 12 Leistungen im Wechselstromkreis

12.3 Scheinleistung

S=P2Q2

S=U eft⋅I eftS.............Scheinleistung [VA]

Q............Blindleistung [Var]

P.............Wirkleistung [W]

Ueft.........Effektivspannung [V]

Ieft...........Effektivstrom [A]

12.4 Leistungsfaktor

cos=PS

ϕ............Phasenwinkel [°]

S.............Scheinleistung [VA]

P.............Wirkleistung [W]

12 Leistungen im Wechselstromkreis 81

82 12 Leistungen im Wechselstromkreis

13 Schwingkreise

13.1 Serienschwingkreis

Resonanz dann ,wenn I mZ =0

res=1LC

13 Schwingkreise 83

I res=U ges

Re Z ωres.........Resonanzfrequenz [1/s]

L.............Induktivität [H]

C............Kapazität [F]

Ires...........Resonanzstrom [A]

Uges.........Gesamtspannung [V]

Im(Z)......Imaginärteil aus Z

Re(Z)......Realteil aus Z

13.2 Parallelschwingkreis

Resonanz dann ,wenn I mY =0

res=1LC

ωres.........Resonanzfrequenz [1/s]

84 13 Schwingkreise

L.............Induktivität [H]

C............Kapazität [F]

Im(Y)......Imaginärteil aus Y

13.3 Nomierung von Schwingkreisgrößen

13.3.1 Kennfrequenz des Resonanzkreises

0=1LC

ω0...........Kennfrequenz [1/s]

L.............Induktivität [H]

C............Kapazität [F]

13.3.1.1 nomierte Frequenz

= 0ν.............nomierte Frequenz [1/s]

ω............Aktuelle Frequenz [1/s]

ω0...........Kennfrequenz [1/s]

13 Schwingkreise 85

13.3.2 Kennwiderstand des Resonanzkreises

Z 0= LC

Z0............Kennwiderstand [Ω]

L.............Induktivität [H]

C............Kapazität [F]

13.3.3 Verstimmung

v=− 1=

0−0

v.............Verstimmung

ν.............nomierte Frequenz [1/s]

ω............Aktuelle Frequenz [1/s]

ω0...........Kennfrequenz [1/s]

86 13 Schwingkreise

13.3.4 Gütefaktor und Dämpfungsfaktor

Q= 1d

Q............Gütefaktor

d.............Dämpfungsfaktor

13.3.4.1 Serienschwingkreis13.3.4.1.1 GütefaktorQ=

U L

U ges=

U c

U ges=0 LR=

10CR= 10C⋅R

= G0C

Q............Gütefaktor

Uges.........Gesamtspannung [V]

13 Schwingkreise 87

UL...........Spannung an der Induktivität[V]

UC...........Spannung an der Kapazität [V]

ω0...........normierte Frequenz [1/s]

L.............Induktivität [H]

R............Widerstand [Ω]

C............Kapazität [F]

G............Wirkleitwert [S]

Q=0 LR= L LC⋅R

=

LC⋅1R=

Z 0

RQ............Gütefaktor

ω0...........normierte Frequenz [1/s]

L.............Induktivität [H]

R............Widerstand [Ω]

C............Kapazität [F]

Z0............Impedanz [Ω]

88 13 Schwingkreise

13.3.4.1.2 Bauteilgüte einer SpuleQ= L

RQ............Gütefaktor

ω............Kreisfrequenz [1/s]

L.............Induktivität [H]

R............Widerstand [Ω]

13.3.4.2 Parallelschwingkreis13.3.4.2.1 GütefaktorQ=

I L

I ges=

IC

I ges= R0 L

=

R⋅0⋅C=0CG

Q............Gütefaktor

Iges..........Gesamtstrom [A]

13 Schwingkreise 89

IL.............Strom durch Induktivität[A]

IC............Strom durch Kapazität [A]

R............Widerstand [Ω]

ω0...........normierte Frequenz [1/s]

L.............Induktivität [H]

C............Kapazität [F]

G............Wirkleitwert [S]13.3.4.2.2 Bauteilgüte eines KondensatorsQ=C

GQ............Gütefaktor

ω............Kreisfrequenz [1/s]

C............Kapazität [F]

G............Wirkleitwert [S]

90 13 Schwingkreise

13.3.5 Die Bandbreite

13.3.5.1 Serienschwingkreis

B= B*

2= 1

2⋅RL

B............Bandbreite

B*...........Bandbreite*

R............Widerstand [Ω]

L.............Induktivität [H]

13 Schwingkreise 91

B*= RL

B*...........Bandbreite*

R............Widerstand [Ω]

L.............Induktivität [H]

13.3.5.2 Parallelschwingkreis

B= 12⋅GC

B............Bandbreite

G............Leitwert [S]

C............Kapazität [F]

13.3.6 Zusammenhang Güte, Dämpfung und Bandbreite

B=f 0

Q = f 0⋅d= f go− f gu

B............Bandbreite

92 13 Schwingkreise

f0............nomierte Frequenz[Hz]

fgu...........Untere Grenzfrequenz [Hz]

fgo...........Obere Grenzfrequenz [Hz]

Q............Gütefaktor

d.............Dämpfungsfaktor

02=go⋅gn

ω0...........nomierte Frequenz [1/s]

ωgu..........Untere Grenzfrequenz [1/s]

ωgo..........Obere Grenzfrequenz [1/s]

13.3.7 Das Bodediagramm

13.3.7.1 Übertragungsfunktion

H j=U 2

U 1=Wirkung

UrsacheH(jω)......Übertragungsfunktion

U1...........Eingangsspannung [V]

U2...........Ausgangsspannung [V]

13 Schwingkreise 93

13.3.7.2 Hochpass13.3.7.2.1 ÜbertragungsfunktionH j= R

R− j 1C

= R

R 1jC

H(jω)......Übertragungsfunktion

R............Widerstand [Ω]

ω............Kreisfrequenz [1/s]

C............Kapazität [F]13.3.7.2.2 Verstärkung∣H j∣= R

R2 1C 2

|H(jω)|. .Absolutwert Übertragungsfunktion

R............Widerstand [Ω]

ω............Kreisfrequenz [1/s]

C............Kapazität [F]

94 13 Schwingkreise

13.3.7.2.3 Phasenwinkel=arctan 1

RC

ϕ............Phasenwinkel [°]

ω............Kreisfrequenz [1/s]

R............Widerstand [Ω]

C............Kapazität [F]13.3.7.2.4 Grenzfrequenzg=

1RC

ωg...........Grenzfrequenz [1/s]

R............Widerstand [Ω]

C............Kapazität [F]

13 Schwingkreise 95

13.3.7.3 Tiefpass13.3.7.3.1 ÜbertragungsfunktionH j= 1

1 jRCH(jω)......Übertragungsfunktion

R............Widerstand [Ω]

ω............Kreisfrequenz [1/s]

C............Kapazität [F]13.3.7.3.2 Verstärkung∣H j∣= 1

1RC 2|H(jω)|. .Absolutwert Übertragungsfunktion

R............Widerstand [Ω]

ω............Kreisfrequenz [1/s]

C............Kapazität [F]

96 13 Schwingkreise

13.3.7.3.3 Phasenwinkel=arctan −RC

ϕ............Phasenwinkel [°]

ω............Kreisfrequenz [1/s]

R............Widerstand [Ω]

C............Kapazität [F]13.3.7.3.4 Grenzfrequenzg=

1RC

ωg...........Grenzfrequenz [1/s]

R............Widerstand [Ω]

C............Kapazität [F]

13 Schwingkreise 97

98 13 Schwingkreise

Elektrisches Feld

13 Schwingkreise 99

100 13 Schwingkreise

14 Grundgrößen

14.1 Feldstärke

E=FQ

E=Ud

U............Spannung [V]

d.............Abstand [m]

14 Grundgrößen 101

E.............elektrische Feldstärke [V/m]

F.............Kraft auf eine Probeladung [1N]

Q............Ladung [C/As]

14.2 Flussdichte

D=⋅E

D=QA

D............Flussdichte [As/m²]

E.............elektrische Feldstärke [V/m]

ε.............Permittivität [F/m]

A............Fläche [m²]

Q............Ladung [C/As]

14.3 Permittivität

=r⋅0ε.............Permittivität [F/m]

εr............relative Permittivität

102 14 Grundgrößen

ε0............Naturkonstante Permittivität [F/m]

Permittivität des leeren Raumes=0=8,854⋅10−12 Fm

14.4 Kraft

F=m⋅am...........Masse [kg]

F.............Kraft auf eine Probeladung [1N]

a.............Erdbeschleunigung = 9,81 [m/s²]

14.5 Ladung

Q=A⋅∣D∣Q=A⋅⋅∣E∣Q= I⋅tQ=C⋅U

Q............Ladung [C/As]

I..............Strom [A]

14 Grundgrößen 103

t.............Zeit [s]

A............Fläche [m²]

D............Flussdichte [As/m]

ε.............Permittivität [F/m]

E.............elektrische Feldstärke [V/m]

C............Kapazität [F]

U............Spannung [V]

14.6 Kapazität

C=QU

C= A⋅d

C............Kapazität [F]

Q............Ladung [C/As]

A............Fläche [m²]

d.............Abstand [m]

ε.............Permittivität [F/m]

104 14 Grundgrößen

U............Spannung [V]

14 Grundgrößen 105

106 14 Grundgrößen

15 Die Kapazität

15.1 Serienschaltung

C ges=C1⋅C 2

C1C 2Cges.........Gesamt Kapazität [F]

C1...........Kapazität 1 [F]

C2...........Kapazität 2 [F]

15 Die Kapazität 107

15.2 Parallelschaltung

C ges=C1C 2Cges.........Gesamt Kapazität [F]

C1...........Kapazität 1 [F]

C2...........Kapazität 2 [F]

108 15 Die Kapazität

16 Energie und Kraftwirkung im elektrischen Feld

16.1 Energieinhalt

W=C⋅U²2

C............Kapazität [F]

W...........Energieinhalt [Ws]

U............Spannung [V]

16 Energie und Kraftwirkung im elektrischen Feld 109

16.2 Kraft

F= Q²2⋅A⋅

F.............Kraft [N]

Q............Ladung [C/As]

A............Fläche [m²]

ε.............Permittivität [F/m]

16.3 Arbeit

W=U⋅QW...........Arbeit [J]

Q............Ladung [C/As]

U............Spannung [V]

110 16 Energie und Kraftwirkung im elektrischen Feld

16.4 Leistung

P=Wt

W...........Arbeit [J]

P.............Leistung [W]

t.............Zeit [s]

16 Energie und Kraftwirkung im elektrischen Feld 111

112 16 Energie und Kraftwirkung im elektrischen Feld

17 Coulombsches Gesetz

17.1 Kraft

F=Q1⋅Q2

4⋅r2⋅⋅F=Q⋅E

Q1...........Ladung 1 [As][C]

Q2...........Ladung 2 [As][C]

r.............Radius [m]

ε.............Permittivität [F/m]

17 Coulombsches Gesetz 113

r.............Radius [m]

Q............Ladung [C/As]

E.............Elektrische Feldstärke [V/m]

17.2 Elektrische Feldstärke

E=D

D............Flussdichte [As/m²]

E.............elektrische Feldstärke [V/m]

ε.............Permittivität [F/m]

114 17 Coulombsches Gesetz

18 E und C im 2-schichtigen Dielektrikum

E1

E2=r2r1

E1...........Feldstärke 1 [V/m]

E2...........Feldstärke 2 [V/m]

ε1............Permittivität 1 [F/m]

ε2............Permittivität 2 [F/m]

18 E und C im 2-schichtigen Dielektrikum 115

116 18 E und C im 2-schichtigen Dielektrikum

19 Kondensator an zeitabhängiger Spg.

19.1 Stromstärke zum Zeitpunkt t

i t =C⋅U c

ti(t)..........Stromstärke [A]

C............Kapazität [F]

ΔUC.........Spannung [V]

Δt...........Zeit [s]

19 Kondensator an zeitabhängiger Spg. 117

19.2 Ladung

q t =C⋅U ct q(t).........Ladung [As][C]

C............Kapazität [F]

UC (t).......Spannung [V]

118 19 Kondensator an zeitabhängiger Spg.

Elektromagnetismus

19 Kondensator an zeitabhängiger Spg. 119

120 19 Kondensator an zeitabhängiger Spg.

20 Grundgrößen

20.1 Magnetische Feldstärke

H= l2⋅r⋅

H............Magnetische Feldstärke [A/m]

r.............Radius [m]

l..............Länge [m]

20.2 Flussdichte

B=µ⋅H20 Grundgrößen 121

H............Magnetische Feldstärke [A/m]

B............Magnetischer Fluss, Induktion [T]

µ............Permeabilität [H/m]

20.2.1 Permeabilität

µ=µ0⋅µrµ............Permeabilität [H/m]

µr............relative Permeabilität

µ0...........Permeabilität des leeren Raumes [H/m]

20.3 Induktivität

L '=I

Lges=L '⋅NL'............Induktivität einer Windung [H]

Lges..........Gesamte Induktivität [H]

Φ............magnetischer Fluss [Wb]

I..............Stromstärke [A]

122 20 Grundgrößen

N............Windungszahl

20.4 Durchflutung einer Spule

=H⋅l=N⋅IΘ............Durchflutung [A]

H............Magnetische Feldstärke [A/m]

l..............Länge [m]

N............Anzahl der Windungen

I..............Stromstärke [A]

20.5 Spannung

U= t

U............Spannung [V]

Φ............magnetischer Fluss [Vs]

t.............Zeit [s]

20.6 Kraftwirkung im magnetischen Feld

F=B⋅I⋅l20 Grundgrößen 123

F.............Kraft [N]

l..............Länge [m]

B............Magnetischer Fluss, Induktion [T]

124 20 Grundgrößen

21 Induktionsgesetz

21.1 Allgemein

U=N⋅ t

U............Spannung [V]

ΔΦ.........magnetischer Fluss [Vs]

Δt...........Zeit [s]

N............Windungszahl

21 Induktionsgesetz 125

21.2 Induktion der Bewegung

21.2.1 Spannung

U 0=B⋅l⋅vU0...........Spannung [V]

B............Magnetischer Fluss, Induktion [T]

l..............Länge [m]

v.............Geschwindigkeit [m/s]

21.3 Induzierte Spannung durch zeitlich veränderliche Magnetfelder

21.3.1 Flussänderung Dreiecksförmig

21.3.1.1 Spannung

U 0max=4⋅ f⋅N⋅maxU0max.......Spannung [V]

f.............Frequenz [Hz]

N............Windungszahl

Φmax........Fluss [Vs]

126 21 Induktionsgesetz

21.3.2 Flussänderung Sinusförmig

21.3.2.1 Spannung

U 0max=4,44⋅ f⋅N⋅maxU0eft........Spannung [V]

f.............Frequenz [Hz]

N............Windungszahl

Φmax........Fluss [Vs]

21.3.3 Selbstinduktion

u=N⋅ t

U............Spannung [V]

ΔΦ.........magnetischer Fluss [Vs]

Δt...........Zeit [s]

N............Windungszahl

e=−N⋅ t

21 Induktionsgesetz 127

e.............Selbstinduzierte Spannung [V]

ΔΦ.........magnetischer Fluss [Vs]

Δt...........Zeit [s]

N............Windungszahl

e=−ue t =−u t

e.............Selbstinduzierte Spannung [V]

u.............Spannung [V]

t =P= 1N⋅∑ u⋅ t ...t=0

Φ............magnetischer Fluss [Vs]

P.............Leistung [W]

N............Windungszahl

u.............Spannung

t.............Zeit [s]

128 21 Induktionsgesetz

21.4 Gegeninduktion - Trafoprinzip

21.4.1 Trafogesetze

21.4.1.1 1. Trafogesetz

U 1

U 2=

N 1

N 2U1...........Primärseitige Spannung [V]

U2...........Sekundärseitige Spannung [V]

N1...........Primärseitige Wicklung

N2...........Sekundärseitige Wicklung

21.4.1.2 2. Trafogesetz

U 1

U 2=

I 2

I 1=

N 1

N 2U1...........Primärseitige Spannung [V]

U2...........Sekundärseitige Spannung [V]

I1............Primärseitiger Strom [A]

21 Induktionsgesetz 129

I2............Sekundärseitiger Strom [A]

N1...........Primärseitige Wicklung

N2...........Sekundärseitige Wicklung21.4.1.2.1 Übersetzungsverhältnisü= Oberspannung

Unterspannungü.............Übersetzungsverhältnis

21.4.1.3 3. Trafogesetz

Z 1

Z 2=

U 1

U 22

=N 1

N 22

=ü2

U1...........Primärseitige Spannung [V]

U2...........Sekundärseitige Spannung [V]

130 21 Induktionsgesetz

22 Induktivität von Spulen

22.1 Für alle Spulen mit 1 mag. Wdst. Gilt

22.1.1 Magnetische Feldstärke

H= I⋅Nl

H............Magnetische Feldstärke [A/m]

I..............Strom [A]

N............Windungszahl

l..............Länge [m]

22 Induktivität von Spulen 131

22.1.2 Durchflutungssatz

= I⋅N=H⋅lΘ............Durchflutung [A]

H............Magnetische Feldstärke [A/m]

l..............Länge [m]

N............Anzahl der Windungen

I..............Stromstärke [A]

22.1.3 Induktion

B=µ⋅HB............Magnetischer Fluss, Induktion [T]

µ............Permeabilität [H/m]

H............Magnetische Feldstärke [A/m]

22.1.4 Magnetische Fluss

=B⋅AΦ............magnetischer Fluss [Vs]

B............Induktion [T]

A............Fläche [m²]

132 22 Induktivität von Spulen

=µ⋅I⋅Nl⋅A

Φ............magnetischer Fluss [Vs]

B............Induktion [T]

I..............Strom [A]

N............Windungszahl

l..............Länge [m]

A............Fläche [m²]

22.2 2. Form des Induktionsgesetz

U=L⋅ i t

U............Spannung [V]

L.............Induktivität [H]

i..............Strom [A]

t.............Zeit [s]

22 Induktivität von Spulen 133

22.3 Induktivität Allgemein

L=N 2

Rm=N 2⋅=N 2⋅AL

N............Windungszahl

Rm...........Magnetischer Widerstand [1/H]

Λ............Magnetischer Leitwert

AL...........AL - Wert

L=N⋅ i

L.............Induktivität [H]

N............Windungszahl

Φ............magnetischer Fluss [Vs]

i..............Strom [A]

134 22 Induktivität von Spulen

22.3.1 Magnetische Widerstand

Rm=1=

1AL

Rm.........Magnetischer Widerstand [1/H]

Λ............Magnetischer Leitwert

AL...........AL - Wert

22.4 Luftspule

22.4.1 Ringspule (Torus)

22.4.1.1 Fläche

A= d 2⋅4

A............Fläche [m²]

d.............Durchmesser [m]

22 Induktivität von Spulen 135

22.4.1.2 Länge

l=D⋅l..............Länge [m]

D............Außendurchmesser [m]

22.4.1.3 Magnetischer Widerstand

Rm=l

µ0⋅ARm...........Magnetischer Widerstand [1/H]

l..............Länge [m]

µ0...........Permeabilität des leeren Raumes [H/m]

A............Fläche [m²]

22.4.1.4 Induktivität

L=N 2⋅µ0⋅Al

L.............Induktivität [H]

N............Windungszahl

136 22 Induktivität von Spulen

l..............Länge [m]

µ0...........Permeabilität des leeren Raumes [H/m]

A............Fläche [m²]

22.4.2 Zylinderspule

22.4.2.1 Für l ≥ d22.4.2.1.1 FlächeA= d 2⋅

4A............Fläche [m²]

d.............Durchmesser [m]22.4.2.1.2 Magnetischer WiderstandRm=

lµ0⋅A

Rm...........Magnetischer Widerstand [1/H]

l..............Länge [m]

22 Induktivität von Spulen 137

µ0...........Permeabilität des leeren Raumes [H/m]

A............Fläche [m²]22.4.2.1.3 InduktivitätL=N 2⋅µ0⋅

Al

L.............Induktivität [H]

N............Windungszahl

µ0...........Permeabilität des leeren Raumes [H/m]

A............Fläche [m²]

l..............Länge [m]

22.4.2.2 Für l < 10 d22.4.2.2.1 FlächeA= d 2⋅

4A............Fläche [m²]

d.............Durchmesser [m]

138 22 Induktivität von Spulen

22.4.2.2.2 Magnetischer WiderstandRm=

lµ0⋅A

Rm...........Magnetischer Widerstand [1/H]

l..............Länge [m]

µ0...........Permeabilität des leeren Raumes [H/m]

A............Fläche [m²]22.4.2.2.3 InduktivitätLnach NagaokaL[nH ]=K⋅N 2⋅d [cm ]

L[nH].........Induktivität [nH]

K.............Nagaoka Koeffizient

N............Windungszahl

d[cm]........Durchmesser [cm]

22 Induktivität von Spulen 139

22.5 Eisendrossel ohne Luftspalt

22.5.1 Magnetischer Widerstand

RmFe=lFe

µ0⋅µr⋅AFeRmFe........Magnetischer Widerstand [1/H]

lFe............Länge (Eisen) [m]

µ0...........Permeabilität des leeren Raumes [H/m]

µr............relative Permeabilität

AFe..........Fläche (Eisen) [m²]

22.5.2 Induktivität

L=N 2⋅µ0⋅µr⋅AFe

lFeL.............Induktivität [H]

N............Windungszahl

µ0...........Permeabilität des leeren Raumes [H/m]

µr............relative Permeabilität

140 22 Induktivität von Spulen

AFe..........Fläche (Eisen) [m²]

lFe............Länge (Eisen) [m]

22.6 Eisendrossel mit Luftspalt

22.6.1 Induktion

22.6.1.1 In Sättigung bei Trafo Perm N2

B1,5T

= I⋅N= Bµ0⋅[lFeµrl ]

...............Durchflutung [A]

I..............Strom [A]

N............Windungszahl

B............Magnetische Flussdichte, Induktion [T]

µ0...........Permeabilität des leeren Raumes [H/m]

lFe............Länge (Eisen) [m]

µr............relative Permeabilität

lδ............Länge (Luft) [m]

22 Induktivität von Spulen 141

22.6.1.2 Nicht in Sättigung bei Trafo Perm N2

B1,5T

B≃ I⋅Nl

B............Magnetische Flussdichte, Induktion [T]

I..............Strom [A]

N............Windungszahl

lδ............Länge (Luft) [m]

22.6.2 Induktivität

L≃N 2⋅µ0⋅AFe

lL.............Induktivität [H]

N............Windungszahl

µ0...........Permeabilität des leeren Raumes [H/m]

AFe..........Fläche (Eisen) [m²]

142 22 Induktivität von Spulen

lδ............Länge (Luft) [m]

22.7 Spule an Wechselspannung

22.7.1 Spannung

u=L⋅ i t

u.............Spannung [V]

L.............Induktivität [H]

i..............Strom [A]

t.............Zeit [s]

22.7.2 Strom

i t = 1L⋅∑ u⋅ t I konst t=0

i..............Strom [A]

L.............Induktivität [H]

u.............Spannung [V]

t.............Zeit [s]

22 Induktivität von Spulen 143

144 22 Induktivität von Spulen

23 Gegenseitige indukt. Beeinflussung stromdurchflossener Spulen

23.1 Kopplungsgrad und Streufaktor

23.1.1 Kopplungsgrad

k=n

ges= Nutzfluss

Gesamtflussk.............Kopplungsgrad

Φn..........Nutzfluss [Vs]

23 Gegenseitige indukt. Beeinflussung stromdurchflossener Spulen145

Φges........Gesamtfluss [Vs]

23.1.2 Streufaktor

=ges

σ............Streufaktor

Φn..........Streufluss [Vs]

Φges........Gesamtfluss [Vs]

23.1.3 Übersetzungsverhältnis

ü=k⋅U 1

U 2ü.............Übersetzungsverhältnis

k.............Kopplungsgrad

U1...........Spannung 1 [V]

U2...........Spannung 2 [V]

14623 Gegenseitige indukt. Beeinflussung stromdurchflossener Spulen

23.2 Gegeninduktivität

M=k⋅L1⋅L2M...........Gegeninduktivität [H]

k.............Kopplungsgrad

L1............Induktivität 1 [H]

L2............Induktivität 2 [H]

23.2.1 Gesamtstreufaktor

=1−k 2

σ............Gesamtstreufaktor

k.............Kopplungsgrad

23.3 Kopplung von 2 in Serie geschaltete Spulen

23.3.1 Gleichsinnig wirkende Suplen

23.3.1.1 Für k = 100% , Ϭ = 0

Lges=L1L22M

23 Gegenseitige indukt. Beeinflussung stromdurchflossener Spulen147

Lges..........Gesamtinduktivität [H]

L1............Induktivität 1 [H]

L2............Induktivität 2 [H]

M...........Gegeninduktivität [H]

23.3.1.2 Für 0 < k < 1, 0 < Ϭ < 1

Lges=L1L22MLges..........Gesamtinduktivität [H]

L1............Induktivität 1 [H]

L2............Induktivität 2 [H]

M...........Gegeninduktivität [H]

23.3.1.3 Für k = 0, Ϭ = 123.3.1.3.1 SerieLges=L1L2

Lges..........Gesamtinduktivität [H]

L1............Induktivität 1 [H]

L2............Induktivität 2 [H]

14823 Gegenseitige indukt. Beeinflussung stromdurchflossener Spulen

23.3.1.3.2 ParallelLges=

L1⋅L2

L1L2Lges..........Gesamtinduktivität [H]

L1............Induktivität 1 [H]

L2............Induktivität 2 [H]

23.3.2 Gegensinnig wirkende Spulen

Lges=L1L22MLges..........Gesamtinduktivität [H]

L1............Induktivität 1 [H]L2..............Induktivität 2 [H]M...........Gegeninduktivität [H]

23 Gegenseitige indukt. Beeinflussung stromdurchflossener Spulen149

15023 Gegenseitige indukt. Beeinflussung stromdurchflossener Spulen

24 Energie im magnetischen Feld

24.1 Energieinhalt

W= L⋅I 2

2

W= N⋅⋅I2

24 Energie im magnetischen Feld 151

W= N 2⋅2

2LW...........Energieinhalt [W] [J] [Nm]

L.............Induktivität [H]

I..............Strom [A]

N............Windungszahl

Φ............Magnetischer Fluss [Vs]

24.2 Energiedichte

w=Wv= B⋅H

2

w=Wv= µ⋅H 2

2

152 24 Energie im magnetischen Feld

w= B2

2µw............Energiedichte [Ws/m³]

W...........Energieinhalt [W] [J] [Nm]

B............Magnetischer Fluss, Induktion [T]

H............Magnetische Feldstärke [A/m]

µ............Permeabilität [H/m]

24 Energie im magnetischen Feld 153

154 24 Energie im magnetischen Feld

Anhang

24 Energie im magnetischen Feld 155

156 24 Energie im magnetischen Feld

25 Konstanten

Formelzeichen Größe Wert

γCu Leifähigkeitswert von Kupfer

56 S⋅m/mm²

γAl Leifähigkeitswert von Aluminium

35 S⋅m/mm²

g Erdbeschleunigung 9,81 m/s²

c Spezifische Wärmekapazität H20

4,19 kJ/kg⋅K

0 Permittivitat des leeren Raumes

8,854 ⋅ 10−12 F/m

μ0 Permeabilitat des leeren Raumes

4 π ⋅ 10-7 H/m

25 Konstanten 157

158 25 Konstanten

26 Griechisches Alphabet

Buchstabe Bezeichnung

groß klein

Α α Alpha

Β β Beta

Γ γ Gamma

Δ δ Delta

Ε ε Epsilon

Ζ ζ Zeta

Η η Eta

Θ θ Theta

Ι ι Jota

Κ κ Kappa

26 Griechisches Alphabet 159

Λ λ Lambda

Μ μ My

Ν ν Ny

Ξ ξ Xi

Ο ο Omikron

Π π Pi

Ρ ρ Roh

Σ σ Sigma

Τ τ Tau

Υ υ Ypsilon

Φ φ Phi

Χ χ Chi

Ψ ψ Psi

Ω ω Omega

160 26 Griechisches Alphabet

Stichwortverzeichnis & Impressum

Stichwortverzeichnis & Impressum

Stichwortverzeichnis & Impressum 161

162 Stichwortverzeichnis & Impressum

StichwortverzeichnisAAdmittanz 65, 67, 70ff., 75Amperemeter 35

BBandbreite 91ff.Blindleistung 80f.Blindleitwert 62ff.Blindwiderstand 61, 63f.

CCrestfaktor 56

DDielektrikum 115Dreieck 38f., 52, 55, 126

EEisendrossel 11f., 140f.Energiedichte 12, 152f.Energieinhalt 9, 12, 109, 151ff.

FFlussdichte 102, 104, 114, 121, 141f.Formfaktor 56f.

G

Stichwortverzeichnis & Impressum 163

Gegeninduktion 129Grenzfrequenz 93, 95, 97

HHochpass 94

IImpedanz 64ff., 73, 88

KKopplungsgrad 145ff.

MMittelwert 50

RResonanz 84ff.

SScheinleistung 80f.Scheitelfaktor 56Spule 89, 123, 131, 143, 145, 147, 149Stern 38f.streufaktor 147Streufaktor 145f.

TTiefpass 96Trafo 129f., 141f.

164 Stichwortverzeichnis & Impressum

VVerstärkung 94, 96Verstimmung 86Voltmeter 36

WWirkleistung 79ff.

Stichwortverzeichnis & Impressum 165

166 Stichwortverzeichnis & Impressum

Impressum

2. Auflage 2010

Version Nr.: 327

© 2010 Jakob Vesely2008-2010

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Stichwortverzeichnis & Impressum 167