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ET/IT & TI & MEC
Mathe 3 / Analysis 3
Blankenbach / WS2011 / 09.09.2011 1
Fourier-Reihen, Fourier- und Laplace - Transformation
Prof. Dr. Karlheinz Blankenbach
Hochschule Pforzheim
Tiefenbronner Str. 65
75175 Pforzheim
Überblick / Anwendungen:
- Fourier: Analyse von Schwingungen bzw. Signalen
- Laplace: Lösen von DGL, Übertragungsfunktion, Regelungstechnik
Empfohlene Literatur:
- Latussek et al. : Lehr- und Übungsbuch Mathematik V, Fachbuchverlag Leipzig-Köln
- Papula : Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler, Band 2, Vieweg
- Westermann : Mathematik für Ingenieure mit MAPLE, Band 2, Springer
- Burg et al. : Höhere Mathematik für Ingenieure, Band III, Teubner
- Tilman Butz: Fouriertransformation für Fußgänger, Teubner
- Weber/Ulrich: Laplace-Transformation, Teubner
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Mathe 3 / Analysis 3
Blankenbach / WS2011 / 09.09.2011 2
1. Fourier – Reihenentwicklung
Fourier-Reihenentwicklung – warum, wozu ?:
- Methode zur Darstellung von Funktionen durch (unendliche) Reihen
„gut“ für Mikrocontroller falls mathematische Funktion nicht im Compiler
implementiert ist oder „eingebaute“ Compilerfunktion zu langsam.
- Anwendungen: Differentiation, Integration, „Spektrum“, …
1.1 Einschub zur Wiederholung: Allgemeines zu Reihen
Anwendungen: - Darstellung von Funktionen mit Reihen Numerik
- Integrierbarkeit von 'unlösbaren' Integralen
- Frequenzanalyse nach FOURIER
- In der Technik sind viele Zusammenhänge als Reihen angenähert
(oft auch, weil keine exakte Formel existiert bzw. experimentell ermittelt)
Bsp: Hooke’sches Gesetz, T-abhängiger Längenausdehnung bzw.
elektrischer Widerstand: X = Xo (1 + T)
Definition: a1 + a2 + a3 + ... + an + ... = ann
1
(R - 1)
an : n-tes Reihenglied
Reihe ist - konvergent, wenn ann
1
= S (Grenzwert S existiert, S < ) (R - 2)
- divergent: Grenzwert S existiert nicht ann
1
=
Ideal: Unendliche Reihe
Reale Numerik: endliche Reihe ann
N
1
= <sN> (R - 3)
Partialsumme
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Mathe 3 / Analysis 3
Blankenbach / WS2011 / 09.09.2011 3
Vorgehensweise bei Reihen: 1) existiert S ?
2) wenn ja (konvergent), bestimme S bzw. <sN>
Beispiele: nn
1
= 1 + 2 + 3 + 4 + ... + = → divergent
1 1
1
1
21 nn
... = konvergent ?
Reihendefinitionen:
- geometrisch : an = a qn-1
- alternierend : a1 - a2 + a3 - …
- Potenzreihe : a0 + a1x + a2x² + … (Polynom)
- arithmetisch : an = a + (n-1) d
- harmonisch : an = 1/n
Geometrische Reihen
Def.: 1n
1n
qa
= a + aq + aq² + aq³ + .... (R - 4)
Konvergenzbed.: |q| < 1
Summe: q1
aS
für |q| < 1 (R - 5)
Bsp: ...4
1
2
11
2
1
2
1
1n
1n
1n
→ q = 1/2 also konvergent, a = 1
→ 2
2
11
1S
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Alternierende Reihen
Def.:
1n
n
1na1 = a1 - a2 + a3 - a4 + .... (R - 6)
Leibnitz - Konvergenzkriterium:
1) an > an+1 (R - 7)
2) 0alim nn
alternierende Reihe konvergent, wenn beide Bed. erfüllt
Bsp: ...3
1
2
11
n
11
1n
1n
an = 1/n
Leibnitz: 1) 1 1
1n n
2) limn n
1
0 → Reihe ist konvergent
Potenzreihen
Def.:
0n
n
n xa = ao + a1x + a2x2 + a3x
3 + .... (R - 8)
mit an R
Potenzreihe = Polynom
Konvergenzradius 1n
n
n a
alimr
(R - 9)
- konvergent : |x| < r
- divergent : |x| > r
- keine Aussage : |x| = r
Bsp: ...2
x
1
x1
!n
x 2
0n
n
)1n(lim!n
)!1n(lim
a
alimr
nn1n
n
n
→ Reihe konvergent für alle x R (Fakultät > Potenz)
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Potenzdarstellung von Funktionen
konvergente Potenzreihe stellt eine reelle Zahl dar:
n
0n
n xa)x(fy
(R - 10)
somit gilt auch:
- Differential y f xd
dxa x n a xn
n
n
n
n
n' '( )
0 1
1
- Integral F x f x dx a x dx ax
nCn
n
n
n
n
n
( ) ( )
0 0
1
1
Bsp: ( )
x n
n 0
1 - x + x² - x³ + ...
mit a = 1, q = -x : geometrische Reihe
( )
xx
n
n 0
1
1 für |x|< 1
f(x) = 1 / (1+x) (Summe)
Diff. und Int. Mit obiger Reihendefinition und Summe
Diff: f’(x) = -1/(1+x)² = -1 + 2x - 3x² + ... = ( )
1 1
1
n n
n
n x
(so erhält man auch Summen von ‚neuen’ Reihen)
Int : f x dxdx
xx( ) ln( )
1
1 ‚zu Fuß unmöglich’ – aus Formelsammlung
C...3
³x
2
²xxdx)x(
0n
n
= ln(1+x) !
C aus ln 1 = 0 für x=0 C = 0
ln(1+x) x – x²/2 + x³/3 …
Anwendung: Numerik
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Beispiele von Potenzreihen (aus Papula Formelsammlung)
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Näherungspolynome (aus Papula Formelsammlung)
… liefern (nur) in der Nähe des Nullpunkte brauchbare Ergebnisse !
(Bsp: sinx = x und e-x = 1 - x geht für größere x, z.B. 2 ‚schief’)
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1.2 Fourier – Reihen
Vorteil Fourier im Vergleich zu Taylor- und MacLaurin-Reihe:
- basiert auf periodischen Vorgängen, welche technische
Schwingungen besser als Potenzreihen beschreiben !
- Analyse des Frequenzspektrums (→ Fouriertrafo)
Fourier-Analyse von Musikinstrumenten
Allerdings: Idealisierte Betrachtung (scharfe Peaks) für Reihen.
Bei Messung und Fourier-Transformation verbreitern sich diese Peaks.
rel. Lautstärke
Frequenz
fo
2fo 3fo 4fo 5fo
Trompete rel. Lautstärke
Frequenz
fo
2fo 3fo 4fo 5fo
Horn
rel. Lautstärke
Frequenz
fo
2fo 3fo 4fo 5fo
Oboe rel. Lautstärke
Frequenz
fo
2fo 3fo 4fo 5fo
Clarinette
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1.2.1 Definition der Fourier – Reihe
Ziel: Zerlegung einer periodischen Funktion nach Sinus und Cosinus
Def.:
1k
kko tksinbtkcosaa)t(f
mit den Fourier – Koeffizienten (k reelle ganze Zahlen):
relative
Amplitude
Zeit t
(Periode T mit T = 2/)
Ort ‚x’
a0
(DC-Anteil)
T
0
dt)t(fT
1
2
0
dx)x(f2
1
ak
T
0
dt)tkcos()t(fT
2
2
0
dxkxcos)x(f1
bk
T
0
dt)tksin()t(fT
2
2
0
dxkxsin)x(f1
Bemerkungen
Die Integrationsgrenzen können verschoben werden. Salopp formuliert: Man muß ‚nur’
darauf achten, dass über eine ganze Periode integriert wird:
T
0
TTo
To
dt)t(fT
1dt)t(f
T
1
Man findet auch oft eine Fourier-Reihenentwicklung nach ‚x’.
In der Technik meist zeitabhängige Messwerte etc. deshalb Zeit (Periode T) verwenden !
Vereinfachung für folgende Fälle (Symmetrie):
Funktion Definition alle Bsp.
gerade f(-t) = f(t) bk = 0 cos
ungerade f(-t) = - f(t) ak = 0
(inkl. ao)
sin
d.h. Approximation nur durch Sinus bzw. Cosinus !
1k
kko xksinbxkcosaa)x(f
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Vereinfachung für Rechnung mit Periode T:
Def.:
1k
kko
1k
kko tksinAatksinbtkcosaa)t(f
mit k
kk
2
k
2
kka
btan;baA , Rest siehe oben
Anmerkung: Dirichletsche Bedingungen
Die Entwicklung einer periodischen Funktion in eine Fourier-Reihe ist unter folgenden
Voraussetzungen (sog. Dirichletsche Bedingungen) möglich:
1. Das Periodenintervall lässt sich in endlich viele Teilintervalle zerlegen, in denen die
Funktion stetig und monoton ist
2. In den Unstetigkeitsstellen existiert sowohl der links- als auch rechtsseitige Grenzwert
(es kommen nur Sprungunstetigkeiten mit endlichen Sprüngen in Betracht)
Diese Bedingung ist z.B. nicht für Tangens als periodische Funktion erfüllt!
Beispiele:
zu 1. : Rechteck- bzw. Sägezahnsignal sind stetig und monoton in Teilintervallen
zu 2. : Dreiecksfunktion an der ‚Spitze’ Unstetigkeit mit endlichem Sprung
Hilfreiche Integrale und Definitionen :
-
0kfürT
0kfür0dttkcos
T
0
- kallefür0dttksinT
0
- )(cos)(cos2
1sinsin
- )(cos)(cos2
1coscos
- )(sin)(sin2
1cossin
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Die bk’s ‚fallen’ relativ langsam, da die ‚Spitzen’ des Sägezahnes nachgebildet
werden müssen. b0 = 0 da kein DC-Anteil.
Fourier-Darstellung Sägezahn
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8
t
y
Sägezahn (nicht maßstäblich)
bis k=1
bis k=2
bis k=3
Nullstellen-Versatz durch EXCEL-Schrittweite
Fourier - Koeffizienten Sägezahn (Spektrum)
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
1,4
1,6
1,8
2
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
k
|bk|
Liniendiagramm, da einzelne diskrete 'x-Werte', hier k
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Beispiele für Fourier-Reihen (aus Papula Mathematische Formelsammlung)
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Rechteck-Signal durch Fourier-Reihe approximiert
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Vergleich Fourier- Reihe und Fourier –Transformation
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Fourier – Transformation
Bezeichnung: f(t) F()
komplexe Darstellung (ejt = cost jsint)
Definition der Integrale
Summe Integral Einzelglieder Fourier-Transformierte
diskret kontinuierlich
Fourier-
Reihe
tkj
k
kec)t(f
- für c.c.
dte)t(fT
1C
T
0
tkj
k
Fourier-
Integral
F() ist Fouriertransformierte von f(t) : Spektraldarstellung
im Allgemeinen komplex, d.h. Amplitude + Phase
ACHTUNG: - Nie = 2 / T verwenden wie bei Fourier-Reihe!
- Vereinfachung für reelle gerade bzw. ungerade Funktionen f(t) – siehe 9 !
Aufsplittung von F() in Real- und Imaginärteil e-jt = cost - jsint :
PhaseR
I
BetragIRF
IjRF
dtttfjdtttfdtetfF tj
:)(
)()(
:)²()²()(
)()()(
)sin()()cos()()()(
A() = |F()| : Amplitudenspektrum : Praxis !
ft F e dj t
( ) ( )
1
2
F ft e dtj t
( ) ( )
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Beispiele Rechteck-Signale vs. Optik (Beugung)
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Tabelle Fourier-Transformierte (aus Föllinger, HÜTHIG)
Vergleiche Rechteckimpuls und sinx/x (Si)
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Fourier-Transformierte und Fensterfunktionen
Vorgehensweise: Erfassung (z.B. Oszi) und Multiplikation im Zeitbereich mit Fensterfunktion
Fensterfunktionen dämpfen die Nebenzipfel (Frequenz im Original nicht vorhanden!) zu Lasten der Amplitude des Hauptmaximums
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Fourier-Fenster-Funktion: Rechteck ‘Spaltfunktion’ (Zoom, s.u.)
Verbreiterung des 10 Hz-Peaks
Fouriertransformierte einer zeitlich begrenzten Cosinusschwingung
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
f /Hz
|F|
(Amplitudenspektrum) fo = 10 Hz, Meßdauer 1s : 10 gemessene Schwingungen
Fouriertransformierte einer zeitlich begrenzten Cosinusschwingung
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
f /Hz
|F|
(Amplitudenspektrum) fo = 10 Hz, Meßdauer 10s : 100 gemessene Schwingungen
Nebenzipfeldämpfung durch mehr Perioden, aber Gefahr der Unterabtastung
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Beispiel: Fourier-Transformation eines RLC-Schwingkreis mit schwacher Dämpfung
Gedämpfte Schwingungen
-1
-0,5
0
0,5
1
0 1 2 3 4 5 6
Zeit
Amplitude
schw ach gedämpft
Kriechfall
Aperiodischer Grenzfall
Einhüllende
FT gedämpfte Schwingung
0
2
4
6
8
10
0 0,5 1 1,5 2 2,5
rel. Frequenz (w/ws)
rel. Amplitude
A (d= 0,1)
A (d = 0,25)
A (d = 1)
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Übungsaufgaben Fourier-Reihen und -Transformation
1. Entwickle die Funktion
2,,0t
2t
t0
für
0
a
a
)t(f
mit f(t+2) = f(t) in eine Fourier-Reihe und skizziere das Ergebnis.
Lsg: 1mit...5
t5sin
3
t3sin
1
tsina4)t(f
...,3,1k4
...,4,2k0
k
abk
2. Entwickle die Funktion f tt
tfür
t
t( )
sin
sin
0
0
mit f(t+2) = f(t) in eine Fourier-Reihe (Tipp: k = 2k und skizziere das Ergebnis.
Lsg: 1mit...35
t6sin
15
t4cos
3
t2cos42)t(f
aungerade = 0 ; agerade = 4/(1-k²)
3. Berechne Fouriertransformierte eines Dreieckimpulses und skizziere das Ergebnis
f(t)
t0
A
Tmess/2-
Lösung: FA
TT
mess
mess( )
²cos /
41 2
4. Berechne die FT des doppelten Rechteckpuls und skizziere das Ergebnis
t-3T 3T-T T
1
0
f(t)
Lösung: F T T( ) sin cos
4
2
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2.2.1 Laplace-Transformation und Rechenregeln
f(t)
F(p)
Transformation
f(t) F(p)
j
j
pto
o
dpe)p(Fj2
1)t(f
(*)
0
pt dte)t(f)p(F
Linearität
a1f1(t) + a2f2(t)
a1F1(p) + a2F2(p)
Ähnlichkeitsatz
f(at) mit a > 0
1/a F(p/a)
Verschiebungssatz
f(t-) mit > 0
e-p F(p)
Dämpfungssatz
e-dt f(t)
F(p+d)
Sprungfunktion
_
1/p
Deltafunktion
(t)
1
1. Differentiation
f’(t)
pF(p) - f(+0) (**)
2. Differentiation
f’’(t)
p²F(p) - pf(+0) - f’(+0) (**)
Integrationssatz
t
0
d)(f
1/p F(p)
Faltungssatz
t
0
21 d)t(f)(f
F1(p) F2(p)
(*) : Rücktransformation besser mit Partialbruchzerlegung bzw.
Reihenentwicklung von F(p) und Korrespondenztafel
(**) : t +0
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2.2.4.1 Partialbruchzerlegung (Einschub)
wird zur Laplace-Rücktransformation benötigt, um gebrochen rationale Funktionen zu zurlegen,
um die Korrespondenztafeln anwenden zu können.
Auch hilfreich bei Integration
Beispiel : gebrochen rationale Funktion: 10x3²x
11x5
allgemein: o1
m
o1
n
n
bxb...x
axa...xa
)x(N
)x(Z)x(f
mit n < m ; m, n N ; ai, bi R ; an 0
bm = 1 durch Kürzen
Prinzip (zunächst rückwärts)
10x3²x
11x5
)5x()2x(
)2x(2)5x(3
5x
2
2x
3
<-------------- Partialbruchzerlegung
Ziel: Faktorzerlegung Nenner N(x) = (x - x1)(x - x2)
(bei quadratischem Nenner)
Bem.: Partialbruchzerlegung immer möglich
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Vorgehen: )x(Z
)x(N)x(f
1. Bestimme Nullstellen des Nennerpolynoms N(x)
2. Jeder Nullstelle wird ein Partialbruch zugeordnet
a) x1 einfache reelle Nullstelle )x(bpxx
A
1
b) x1 zweifache reelle Nullstelle )x(bp)²xx(
A
xx
A
1
2
1
1
c) x1 r-fache reelle Nullstelle )x(bp)xx(
A...
)²xx(
A
xx
Ar
1
r
1
2
1
1
d) komplexe Nullstellen relativ kompliziert
Ai unbekannt, sind zu bestimmende Konstanten
3.
N
1i
i )x(bp)x(f mit N : Anzahl der Nullstellen des Nennerpolynoms
4. Bestimmung der Konstanten Ai :
- alle Brüche auf Hauptnenner bringen
- ‘geeignete’ x-Werte ansetzen, z.B. Nennernullstellen,
ergibt Lineares Gleichungssystem
- Lösung des LG mit Gauß oder Koeffizientenvergleich
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a) zweifache Nullstellen f xx
x x
N x
Zx( )
²
( )
( )
5
6 9
1. Bestimme Nullstellen
N(x) = x² - 6x + 9 = 0
x1 2
6 36 36
23
/
x1 = x2 = 3
N(x) = (x - 2) (x + 5)
2. Zuordnung Partialbruch
x1 = x2 = 3 : pb xA
x
A
x( )
( )²
1 2
3 3
3. f x pb xA
x
A
xi
i
( ) ( )( )²
1
2
1 2
3 3
4. Bestimmung der Konstanten
f xA x A
xA x A A x( )
( )
( )²(*)
!
1 2
1 1 2
3
33 5
Methode Koeffizientenvgl. mit (*)
A1 = 1
3 1 - A2 = 5 A2 = -2
f xx
x x x x( )
² ( )²
5
6 9
1
3
2
3
Methode ‘geeignete’ x-Werte
mit (*)
x1 = 3 : 3A1 - 3A1 + A2 = 3 - 5
A2 = -2 s.o.
A1 ? A1x - 3A1 - 2 = x - 5
A1(x - 3) = x - 3
A1 = 1 s.o.
Übung : )²2(
1
)2(
11
1
4
4²3³
526²15
xxxxx
xx
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2.2.5 Anwendung der Laplace-Transformation
Zweck: Leichteres Lösen komplizierter Gleichungen
Anwendungen in- E-Technik, Informationstechnik, Maschinenbau, Regelungstechnik, …:
- Übertragungsfunktion eines Systems (Signalverarbeitung, siehe zugehörige Vorlesung)
- Regelungstechnik (siehe zugehörige Vorlesung)
- Lösen von Differentialgleichungen (hier):
Vorgehensweise:
1. Die DGL yn’ (linear mit konstantem Koeffizienten) wird mit Laplace-Transformation in eine
algebraische Gleichung übergeführt
2. Als Lösung dieser Gleichung erhält man die Bildfunktion Y(p) der gesuchten
Originalfunktion y(t)
3. Die gesuchte Lösung y(t) der DGL erhält man durch Rücktransformation der Bildfunktion
Y(p). (Korrespondenztabellen, Partialbruchzerlegung, Reihenentwicklung, ...)
Vorteil: Rechenoperationen im Bildbereich meist leichter ausführbar!
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Beispiel aus der E-Technik
RLC-Netzwerke : Ohmsches Gesetz im Bildbereich: Z(p) = U(p) / I(p)
Bildspannungen und Symbolische Widerstände
Schaltglied Spannung im
Zeitbereich
Bildspannung Symbolischer Wider-
stand im Bildbereich
Ohmscher
Widerstand R UR(t) = R I(t) UR(p) = R I(p) ZR(p) = R
Kondensator C ( )
∫ ( ) ( )
( ) ( )
Spule L ( ) ( )
) ( ) ( ) ZL(p) = L p
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2.2.6 Übungsaufgaben Laplace - Transformation
1. Berechnen Sie die Laplace-Transformierte von f(t) = t für t0, 0 sonst.
Lsg.: F(p) =1/p²
2. Berechnen Sie die Laplace-Transformierte von f(t) = sint für t0, 0 sonst.
Lsg.: F(p) =/(p²+²)
3. Lösen Sie mit DGL-Methoden und mit Laplace-Trafo: y’ = e-t mit y(0) = 0
Lsg.: y = 1 - e-t
4. Lösen Sie mit DGL-Methoden und mittels Laplace-Transformation y’’ + y = x
mit y(/2) = 0 und y’(/2) = 1.
Lsg.: y = x - (/2)sinx
5. Lösen Sie mit DGL-Methoden und mittels Laplace-Transformation y’’ + 2y’ + y = 0 mit
y(0) = 0 ; y’(0) = 1.
Lsg.: y = x e-x
6. Lösen Sie mit DGL-Methoden und mittels Laplace-Transformation y’’ + y = cos2x erst
allgemein und dann mit y(0) = 1 und y’(0) = 0
Hinweis: Verwenden Sie erweiterte Korrespondenztabellen !
Lsg.: y = yh + yp = (1/3 + y(0))cosx + y’(0)sinx - 1/3 cos2x
= 4/3 cosx - 1/3 cos2x
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