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FUNKTIONSPRINZIP DES
HARMONISCHEN
ANALYSATORS
Vortragsskript zur Modulprüfung „Seminar Angewandte Mathematik 2“
Verfasser: Dipl.-Ing.(FH) Martin Gollnick [57204]
Prüfer/Mentor: Prof. Dr. rer. nat. Udo Hebisch
Termin: 22.04.2016
I
Inhaltsverzeichnis
1. Aufbau und Verwendungszweck 1
1.1 Allgemeiner Verwendungszweck 1
1.2 Aufbau des harmonischen Analysators nach Mader – Ott 3
2. Sukzessives Herleiten des Funktionsprinzips 6
Literatur – und Quellverzeichnis
10
Abbildungsverzeichnis
Abb. 1 Aufbewahrungskasten mit den Komponenten des harmonischen Analysators nach
Mader – Ott
2
Abb. 2 Polarplanimeter des Analysators 3
Abb. 3 Zahnrad Nummer 1 3
Abb. 4 Zahnradaufnahmen 5
Abb. 5 Ein fertiger Aufbau 5
Abb. 6 Koordinaten von � relativ zu �� 6
Abb. 7 Koordinatensysteme 6
Funktionsprinzip des harmonischen Analysators Aufbau und Verwendungszweck
1
1. Aufbau und Verwendungszweck
1.1 Allgemeiner Verwendungszweck
Im Allgemeinen ist ein harmonischer Analysator ein mechanisches Messinstrument zur Durchführung
einer harmonischen bzw. Fourierschen Analyse. Dies bedeutet, dass ein periodisches Signal bzw. eine
periodische Funktion in die 1. Harmonische Schwingung (Grundschwingung) und weitere Oberschwin-
gungen zerlegt wird, wobei es sich um Sinus- und Cosinusschwingungen handelt, die sich in Amplitude
und Phase unterscheiden, jedoch eine klar festgelegte Frequenz haben. Mit dem harmonischen Analy-
sator werden die Fourierkoeffizienten dieser Schwingungsanteile ermittelt, d.h. zu einer periodischen
Funktion � � mit Periodenlänge , welche nach Fourier in der phasenfreien Form
� � = + ∑ [ � ∙ cos (� � �) + � ∙ sin (� � �)]∞�=
mit
� = ∫ � � ∙ cos (� � �)� �� −→ = ∫ � �� ��� = ∫ � � ∙ sin (� � �)� ��
geschrieben werden kann, können die Koeffizienten �, � für � = , , , … berechnet werden. In der
Praxis kann man sich naturgemäß nur auf endlich viele Koeffizienten beschränken, die Ergebnisse sind
jedoch für praktische Zwecke hinreichend genau. Die Berechnung der Flächenintergrale wird mit Hilfe
eines Planimeters realisiert. Sozusagen ist die harmonische Analyse im Kern ein iteratives Planimetrie-
ren.
Harmonische Analysatoren gibt es in verschiedenen Bauweisen und ihr Einsatz reicht zurück bis zum
Ende des 19. Jahrhundert, bspw. wurde 1890 am physikalischen Institut der Uni Königsberg ein harmo-
nischer Analysator von den Konstrukteuren A. Sommerfeld und E. Wiechert ausgestellt (vgl. [1])1. Eine
kompakte, handliche und hinreichend genaue Variante stellt der harmonische Analysator von Mader-
Ott2 dar, dessen Aufbau und Funktionsprinzip in dieser Ausarbeitung explizit thematisiert wird. Für die
Erläuterung des Aufbaus im Folgekapitel sei die Abbildung 1, welche die Komponenten des harmoni-
schen Analysators zeigt, vorangeschickt. Jene möge der Leser parallel zum Fließtext nutzen.
1 Der interessierte Leser sei an dieser Stelle obendrein auf die Modellsammlung der Uni Göttingen verwiesen,
die einen hamonischen Analysator nach Henrici beherbergt. 2 Dr. Ing. O. Mader, Konstrukteur der Firma A. Ott Messtechnik aus Kempten, Bayern
Funktionsprinzip des harmonischen Analysators Aufbau und Verwendungszweck
2
NR KOMPONENTE
1 Polarplanimeter(-etui) mit Tabelle
A Polarm
B Fahrarm (fest) mit Zählwerk
C Kontolllineal
D Metallplatte
2 Winkelhebel mit Fahrstift (bemaßt)
3 Holzpodium (markiert)
4 Gebrauchsanweisung
5 Einstellschiene (bemaßt)
6 Holzblock mit Zahnrädern
7 Wagen (mit Zahnstange und Zahnrad-
aufnahme)
8 Laufschiene (bemaßt)
1
8
7
6
5
4
3
1
2
Abb. 1: Aufbewahrungskasten mit den Komponenten des harmonischen Analysators nach Mader – Ott
A
B C D
Funktionsprinzip des harmonischen Analysators Aufbau und Verwendungszweck
3
1.2 Aufbau des harmonischen Analysators nach Mader – Ott
Erläuterungen zu den Komponenten:
(1) Planimeter: Im Allgemeinen ist ein Planimeter ein mechanisches Messinstrument zur Bestimmung
von Flächeninhalten auf Landkarten, Plänen oder Zeichnungen, sowie zur Ermittlung des Flächenin-
halts unterhalb von Graphen. Bei dem Plani-
meter im Aufbewahrungsetui handelt es sich
um ein Polarplanimeter mit Kugelpol und fes-
tem Fahrarm (vgl. Abb. 2). Die Bestimmung ei-
nes Flächeninhalts geschieht, indem der Rand
der konkreten Fläche, vornehmlich im Uhrzei-
gersinn, mit dem Fahrstift umfahren wird und
anschließend der Wert am Zählwerk abgele-
sen und mit den Tabellenwerten, welche die
baulichen Maße des Planimeters berücksich-
tigen, verrechnet wird3.
(2) Winkelhebel mit Fahrstift: Auf dem bemaßten Schenkel des Winkelhebels (Fahrarm) befindet sich
der Fahrstift mit dem die zu analysierende Kurve umfahren wird. Seine Position kann beliebig längs der
bemaßten Teilung verschoben und fixiert werden, was das Einstellen der Basislänge zwischen 20 und
360 mm ermöglicht. Der am Ende des Fahrarms befindliche runde Führungsgriff dient zur Führung des
Fahrstifts entlang der Kurve und hält jenen knapp oberhalb der Kurve. Der Winkelhebel wird beim Auf-
bau formschlüssig mit dem Wagen (7) in zwei Aufnahmepunkten verbunden.
(3) Holzpodium: Auf dem Holzpodium wird das Polarplanimeter (1) platziert, dessen Metallplatte (1D)
an der kreisförmig markierten Stelle positioniert wird. Während der harmonischen Analyse bewegt
sich das Polarplanimeter allzeitig auf dem Holzpodium, d.h. es dient als Lauffläche. Die hervorstehende
Metallzunge am Boden des Holzpodiums dient zur formschlüssigen Verbindung mit der Nut der Lauf-
schiene (8). Zwei an den Seiten befestigte Abstandshalter werden bei der Ermittlung des Koeffizienten
bzw. genutzt, da das zu verwendende Zahnrad Nr. 1 über die Laufschiene (8) hinausragt und da-
durch das Holzpodium nicht unmittelbar über die Metallzunge mit ihr verbunden werden kann.
3 Für genauere Information über die Funktionsweise eines Polarplanimeter sei der interessierte Leser auf [ ] ver-
wiesen.
Abb. 2: Polarplanimeter des Analysators
Funktionsprinzip des harmonischen Analysators Aufbau und Verwendungszweck
4
(4) Gebrauchsanweisung: Bei diesem Exemplar handelt es sich um eine Gebrauchsanweisung einer
leicht anderen Bauform (bzgl. Abb. 1) des harmonischen Analysators Mader – Ott. Sie erklärt sowohl
dessen Aufbau, Gebrauch, Behandlung und Pflege, als auch den theoretischen Hintergrund des Funk-
tionsprinzips und gibt abschließend ein Messbeispiel.
(5) Einstellschiene: Die Einstellschiene dient zur Bestimmung der richtigen Lage der Laufschiene (8)
und damit verbunden zur Ausrichtung des Winkelhebels (2) auf die Periodenmitte �
, d.h. der Fahrarm
bildet dort die Mittelsenkrechte. Dazu besitzt die Einstellschiene zwei untereinander parallel verlau-
fende Teilungen: Eine mit dem Nullpunkt in der Mitte, die mit der Periodenmitte in Einklang gebracht
werden muss, und eine übliche cm-Teilung, welche mit der Bemaßung auf dem Fahrarm überein-
stimmt. Die Einstellschiene wird dazu vorher mittels ihrer Metallrippen in die Nut (Führung) der Lauf-
schiene (8) eingesetzt und nach dem Einstellvorgang wieder entfernt.
(6) Holzblock mit Zahnrädern: Für die Ermittlung der Koeffizienten � bzw. � wird jeweils das Zahnrad
mit der Nummer � benötigt (einzige Ausnahme: , dieser Koeffizient wird direkt mittels Planimeter-
einsatz am Signal ermittelt, da dessen Integral keinen Schwingungsanteil enthält). Der Holzblock fasst
somit eine Vielzahl von Zahnrädern mit denen
die Koeffizienten − 5 bzw. − 5 ermit-
telt werden können, wobei jedes Zahnrad eine
Strichmarkierung hat, die beim Einsetzen in den
Wagen (7) mit der Strichmarkierung auf dessen
Zahnstange in Deckung gebracht werden muss
um die richtige Ausgangslage zu haben. Die obe-
re Reihe der Zahnräder sind als Doppelzahn-
räder ausgelegt und dienen als Zwischenrad für
diejenigen Zahnräder, deren Nummern auf ih-
nen eingestanzt sind, z.B. dient das Doppelzahn-
rad in der Mitte der oberen Reihe als Zwischen-
rad für die Zahnräder Nr. 11 und Nr. 17. Die rest-
lichen Zahnräder haben, neben ihrer eingestanzten Nummer, zwei 90° zueinander versetzte, punktför-
mige Vertiefungen zur Aufnahme des Fahrstiftes des Planimeters (1). Diese sind mit � für Cosinus
(sprich: die �) bzw. mit für Sinus (sprich: die �) gekennzeichnet (vgl. Abb.3).
Abb. 3: Zahnrad Nummer 1
Funktionsprinzip des harmonischen Analysators Aufbau und Verwendungszweck
5
(7) Wagen: Der Wagen ist das dynamische Verbindungsglied zwischen dem Winkelhebel (2) (und damit
dem Fahrstift) und dem Planimeter (1). Auf ihm befindet sich eine nummerierte Aufnahme für die
Zahnräder (6) und die angeschraubte Zahnstan-
ge, an der sich die Zahnräder abrollen (vgl. Abb.
4). Die beiden unterseitig angebrachten Laufrä-
der des Wagens werden in die Laufschiene (8)
so eingesetzt, dass sie aus dieser nicht heraus-
gleiten. Der Wagen kann nun eine vertikale Auf-
und Abwärtsbewegung durchführen. Der Win-
kelhebel (2) wird mittels seiner Kugelzapfen in
die vorgesehenen Aufnahmen des Wagens ge-
steckt und damit formschlüssig verbunden. Dies
sind der äußerste Aufnahmepunkt (ganz rechts in Abb. 1), bei dem sich dann der Drehpunkt des Win-
kelhebels befindet, und das Langloch neben der Zahnstange.
(8) Laufschiene: Die Laufschiene dient als Führungsschiene für die vertikale Auf- und Abwärtsbewe-
gung des Wagens (7). Sie kann in zwei dafür vorgesehenen Punkten mit der Unterlage (dem Tisch)
fixiert werden und ist mit einer Teilung von 0 – 36cm versehen.
Ein fertiger Aufbau:
Die nebenstehende Abb. 5 zeigt einen
fertigen Aufbau des harmonischen Ana-
lysators. Das Holzpodium (3) und die
Laufschiene (8) wurden verbunden und
der Wagen (7) mit eingesetztem Win-
kelhebel (2) in die Laufschiene einge-
setzt. Das Zahnrad (hier Nr.2) wurde in
die Zahnradaufnahme des Wagens ein-
gesetzt, sodass dessen Markierung mit
der Markierung der Zahnstange fluch-
tet. Das Polarplanimeter (1) wurde auf-
gebaut und in die Vertiefung � des
Zahnrades gesteckt.
Abb. 4: Zahnradaufnahmen
Abb. 5: Ein fertiger Aufbau
Funktionsprinzip des harmonischen Analysators Sukzessives Herleiten des Funktionsprinzips
6
2. Sukzessives Herleiten des Funktionsprinzips
Der Fahrstift des Planimeters steckt entweder in der Vertiefung � oder des aktuell eingelegten Zahn-
rades und wird durch dessen Abrollbewegung geleitet. Dabei wird von dem Planimeter eine bestimmte
Kurve umfahren und somit deren Flächeninhalt ermittelt. Die konkrete Herleitung dieser Kurve erfolgt
u sukzessiv. I achfolge de sei it „Fahrstift“ stets der Fahrstift des A alysators gemeint.
Ausgangslage:
Der harmonische Analysator sei gemäß Gebrauchsanweisung bereits funktionsbereit aufgebaut und
eingestellt und damit zur Ermittlung der Fourierkoeffizienten bzw. bereit. Der Fahrstift stecke in
der Vertiefung �. � sei das Koordinatensystem mit Ursprung in der Startposition der Signalmessung
(vgl. Abb.7). Das Signal sei − periodisch mit der Periodenlänge .
Ziel:
Die Bestimmung der Koordinaten von � in geeigneter Weise in Abhängigkeit von der Position des
Fahrstiftes am Signal.
1. Einführung eines zweiten Koordinatensystems:
Die Koordinaten von � werden bzgl. des festen Koordinatensystems � betrachtet, dessen Ursprung
im Zahnradmittelpunkt � in der Ausgangslage liegt (vgl. Abb.7). Dieser liegt bezüglich � fest bei ( �� , ��) = (−∆ 0 , ∆ 0). Die Koordinaten von � in � relativ zu � sind direkt bestimmbar (siehe
Abb.6) und ergeben sich zu
� , � �� = � ∙ cos � , � ∙ sin � ,
wobei � der Abstand von � zu � ist.
�
� −∆ �
∆ �
�
�
Abb. 7: Koordinatensysteme
�
� . . �
� ∙ cos
� ∙ sin �
Abb. 6: Koordinaten von � relativ zu �
Drehrichtung
Funktionsprinzip des harmonischen Analysators Sukzessives Herleiten des Funktionsprinzips
7
2. Informationen über den Winkel �:
Aus Abbildung 6 und 7 können noch weitere Informationen entnommen werden:
1. In der Ausgangslage beträgt der Winkel � = � (eingetragen in mathematisch positivem Sin-
ne) oder gleichbedeutend: der Punkt � hat in Ausgangslage die Koordinaten 0, � �� .
2. Die Drehrichtung des Zahnrades ist baulich festgelegt und verläuft im Uhrzeigersinn.
3. In der Ausgangslage befindet sich der Fahrarm am linken Anschlag.
Der Gebrauchsanweisung des Herstellers kann entnommen werden, dass sich, bei der Bewegung des
Fahrarmes vom linken zum rechten Anschlag, das Zahnrad Nr. (zur Ermittlung von bzw. ) längs
der Zahnstange genau − mal abrollt. Da der Analysator gemäß Gebrauchsanweisung eingestellt wur-
de, entspricht der rechte Anschlag des Fahrarmes gerade der Periodenlänge . Dadurch ist es nun
möglich den Winkel � und die − Koordinate ∈ [0, ] des Fahrstifts zu koppeln und es ergibt
sich der folgende Zusammenhang1:
� = −2 ∙ ∙ + 2 ∀ ∈ [0, ]. Ergebnis: Die Koordinaten von � in � können nun in Abhängigkeit von ausgedrückt werden:
� , � �� = � ∙ cos � , � ∙ sin �
= ( � ∙ cos (−2 ∙ ∙ + 2) , � ∙ sin (−2 ∙ ∙ + 2) ).
3. Informationen über die Zahnradmitte � :
Über die Zahnradmitte � ist bisher bekannt, dass sie in der Ausgangslage bzgl. � bei ( �� , ��) =(−∆ 0 , ∆ 0) liegt, jedoch unbekannt ist noch ihre Abhängigkeit zur Position des Fahrstiftes.
Vertikalbewegung des Fahrstiftes:
Festzustellen ist, dass sich � beim Abrollen des Zahnrades an der Zahnstange nur vertikal (sprich:
längs der – Achse von � ) auf und ab bewegt. Dies bedeutet: Bewegt man den Fahrstift vertikal, so
folgt � dieser Vertikalbewegung in gleichem Maße, woraus resultiert, dass die − Koordinate von � der − Koordinate des Fahrstiftes am Signal � entspricht. Aus dieser Betrachtung folgt mit der
Information über die Ausgangslage �� = ∆ 0 + � . 1 Die Abhängigkeit einer Größe von wird beim erstmaligen Eintreten erwähnt, danach zwecks besserer Lesbar-
keit gelegentlich unterdrückt.
Funktionsprinzip des harmonischen Analysators Sukzessives Herleiten des Funktionsprinzips
8
Horizontalbewegung des Fahrstiftes:
Aufgrund dessen, dass der Fahrstift an einem Winkelhebel befestigt ist und dieser wiederum gelenk-
artig funktioniert, ist eine reine Horizontalbewegung des Fahrstiftes nicht möglich2. Deshalb gibt es bei
einer horizontalen Bewegung neben der Drehung des Zahnrades stets eine vertikale Richtungskom-
ponente die sich auf �� auswirkt und abhängig vom Winkel des Fahrarmes ist. Diesbezüglich ist
es möglich zwei bijektive Funktionen , mit
: [0, ] → [ � , ��] , : [ � , ��] → [ �+ , + ] zu finden, die mittels �+ = ∘ , �+ : [0, ] → [ �+ , + ] diesen Sachverhalt koppeln. Es folgt:
�� = ∆ 0 + � + �+ . − Koordinate von � :
Da sich die Bewegung des Zahnrads nur aus einer Überlagerung von Rotation und vertikaler Translation
zusammensetzt bleibt �� = −∆ 0 konstant.
Ergebnis: Die Koordinaten von � können nun in Abhängigkeit von ausgedrückt werden:
( �� , ��)�� = (0, � + �+ ) ; ( �� , ��)�0 = −∆ 0 , ∆ 0 + � + �+ .
4. Zusammenfügen der Ergebnisse:
Die Verknüpfung der Ergebnisse aus 2. und 3. erlaubt nun die Darstellung der Koordinaten von � in
Abhängigkeit von :
� , � �0 = ( � , � ) = (−∆ 0 + � ∙ cos � , ∆ 0 + � + �+ + � ∙ sin � ). Das zu analysierende Signal wird (von = 0 beginnend) mit dem Fahrstift bis zum Punkt = abge-
fahren. Anschließend wird der Fahrstift horizontal entlang der − Achse zum Ausgangspunkt = 0
zurückgeführt. Somit haben sowohl der Analysator, als auch das Planimeter eine geschlossene Kurve
umfahren.
2 Rein fiktiv: Wäre dies möglich, so würde das Zahnrad Nr. lediglich − mal abrollen und �� wäre nicht
beeinflusst.
Funktionsprinzip des harmonischen Analysators Sukzessives Herleiten des Funktionsprinzips
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Diese Kurve setzt sich nun folgendermaßen zusammen:
∫ � ( � ) = ∫∆ 0 + � + �+ + ∙ sin � (−∆ 0 + � ∙ cos � )⏟ ℎ �
+∫∆ 0 + �⏟≡ + �+ + ∙ sin � (−∆ 0 + � ∙ cos � )⏟ ü ℎ � � =.
Mittels ∫ � = −∫ � folgt
∫ � ( � ) = ∫� (−∆ 0 + � ∙ cos � ) = ∫ � (−∆ 0 + � ∙ cos � )′ .
Mit (−∆ 0 + � ∙ cos � )′ = � ∙ � ′ ∙ −sin � und � ′ = − � ∙ ∙ + � ′ = − � ∙ folgt
schlussendlich
∫ � ( � ) = 2 ∙ ∙ � ∙ ∫ � ∙ sin (−2 ∙ ∙ + 2)
= ∙ ∙ �⏟ =: � ∙ 2 ∙ ∫ � ∙ cos (2 ∙ ∙ )⏟ = � ∙ , wobei ausgenutzt wurde, dass sin − + � = cos − = cos ist.
Der Koeffizient � = ∙ ∙ � wird vom jeweiligen Hersteller des Analysators fest gewählt. Dies ist auch
möglich, da � baulich an das wachsende angepasst werden kann, sodass � = ∙ ∙ � = gilt.
Die Anpassung richtet sich nach der Auslegung des Planimeters (bzw. dessen absoluter Noniuszahl)
oder ungekehrt. Unabhängig von den Werten der einzelnen Hersteller wird folgende Taktik verfolgt:
An der Messrolle des Planimeters wird der Wert = � ∙ abgelesen, wobei sich bei einer Nonius-
zahl = � der Flächeninhalt � = ∙ = ergibt.
Abschließender Hinweis: Die sukzessive Herleitung des Funktionsprinzips erfolgt für den Punkt und
der damit verbundenen Ermittlung der analog.
Funktionsprinzip des harmonischen Analysators Literatur- und Quellverzeichnis
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Literatur- und Quellverzeichnis
Literatur: [ ] Dyck, W.: Katalog mathematischer und mathematisch-physikalischer Modelle, Apparate und
Instrumente; Nebst Nachtrag, Georg Olms Verlag, Hildesheim: 1994. [ ] Gollnick, M.: Funktionsprinzip von Planimetern: Schilderung anhand eines Polarplanimeters,
Vortragsskript zur Modulprüfu g „Se i ar A gewa dte Mathe atik 1“, 2015. [ ] Ott, A.: Der harmonische Analysator Mader – Ott, Druckschrift Ad. 341 des Math. – mech.
Instituts A.Ott Kempten Allgäu.
Internetquellen: [ ] https://www.youtube.com/watch?v=nM-UqRQbce4
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