Gruppen mit endlicher Komponentenzahl fastgleicher Untergruppen

Msth. Nachr. 1!M (1987) 3-82

Grnppen mit endlieher Komponentenzahl fastgleicher Untergruppen

Von W. S~lsaar t nnd H. ~EIKEEEN in Wiirzburg

(Eingegangen am 15.10.1985)

Zwei Untergruppen U und V einer Grupp G sollen fastgleich heiBen, wenn ihr Durch- schnitt U n V von endlichem Index in U und in V ist. Aus dem Satz von POIRCAR% folgt direkt, dal3 Fastgleichheit eine Kongruewrelation ist ; die Aquivalenzklassen beziiglich dieser Relation nemen wir im folgenden immer Komponenten.

Wir mollen Gruppen mit endlicher Komponentenzahl betrachten, also Gruppen G, die folgende Eigenschaft haben :

Y),,: Die Gnrpps Q besitzt hijchstens n Komponenten. Gruppen dieser Art werden wir such kmz &Gmppen (wenn es nur a d die Endlich- keit der Komponentenzahl m d uicht suf eine Schranke ankommt, auch einfwh 9- Gruppen) nennen.

Man uberlegt sich leicht, daB die Eigenschaft g,, untergruppen- nnd faktorgruppen- vererblich ist. Wir werden ein Icriterinm ddiir entwickeln, warn das direkte Produkt zweier !&Gruppen wieder eine cE)-Grnppe ist, und werden dabi Aussagen uber die neue Schranke der Komponentedzshl mwhen (Satz 4). Dabei wird u m die voUst&n&ge Kenntnis der abelschen '$Gmppen (Satz 3) gute Dienste tnn. WE konnen adhlieBlich die ~-Gmppen beschreiben, die klassenfinit, lokal endlich,

lokal nilpotent oder r&al sind.

1. Allgemeine Aussagen

Mit 3 wollen wlr die Klasse der endlichen Gmppen bezeichnen. Es ergibt siah folgende AbschluBeigenschaft :

sata 1. ' F k = %!&$. Beweis. Sei N ein endlichd;. Normalteiler und Y ein N enthaltender Normdteiler

von endlichem Index in Q. 1st 17 eine Untergruppe von G, so gilt einerseits

U und UN gind fasfgleich,

74 Math. Nachr. 134 (1987)

und andererseits

UN und UN n M = (U n M ) N sind fastgleich.

Nun ergibt sich, daB die Repribentanten der Komponenten von G 81s Untergruppen von M, die N enthdten, gewLhlt werden konnen, die Komponenhnzahlen von G und MIN sind also gleich.

Sata 2. (a) Die h p p e U ist genuu dann eine g.,-Gruppe, wenn C endlich iat. (b) A h g - h p p e n sin& abziihlbar. Beweis. In einer gl-Gruppe sind alIe Untergruppen zueinander, also auch zur tri-

vialen Unter,pppe, fnstgleich und daher endlich, die U m k e h g ist ebenso offen- sichtlich . Zu Teil (b) zeiigen wir, dal3 Gruppen uberabzlihlbarer Miichtigkeit unendliche Kom-

ponentenzahl haben miissen. Sei nun Q eine solche Gruppe, und V, eine abzZh1bare Teilmenge von G. Dann ist HI = (Ml) eine abzghlbare Unterpppe von G. Die Unter- gmppe a, dient uns nun als Verankerung einer vollsttindigen Induktion: Wir be- haupten, da13 wir eine unendliche Polge

1 * H , c H , c * . . c H i c B i 4 1 c * . -

finden konnen, wobei alle Hi a b a b a r e Unterpppen von G sind und zusktzlich gilt fiir alle i:

ail = 00.

Sei schon H, konstruiert. Die Menge der Nebenglassen von H, in a ist uberabzshlbar, da H, abziihlbar ist und U nicht. Bus einer ReprLsentantenmenge der Nebenklassen von Hr wghlen wir eke abziihlbare unendliche Merige H,,, am. Dann ist

Hr+1 = (& Jfril)

abziihlbax erzeugt und daher abzlihlbar. Wegen der Wahl der Menge M,+, ist auJ3erdem

la,,, : a,\ = bo.

Damit haben wir gezeigt, daJ3 man eine unendliche Folge von paarweise nicht fast- gleichen Unterpppen von a konstruieren kann, und G' kann keine g-Gruppe sein.

Lemma 1. D i e (abzdhlbare) Gruppe G besitze eine direkte ZerZegung 00

G = X F , , , 1

in arbzdhlbar unendlich viele (von 1 vemchiedene) Faktoren F,. Dann besitzt G unendlkhe Kmponenten&l.

Beweis. Bekanntlich gibt es eine Zerlegung der abziihlbaren Menge N in unendlich viele pwrweise durchschnittsfremde unendliche Untermengen UL Die Unterguppen

HA 5 X F m me Ui

sind nun unendlich viele paarweise nicht fastgleiche Untergruppen von G.

Specht/Eeineken, Gruppem 75

2. Abelache 9-Gruppen

Wir behandeln d c h s t zwei 8onderfiUe.

Lemma 2. Die direkten Prdukte C X C zcnd C, X Cp. der Zcnediich #kchen k p p e C beziehungswshe der Priiferqruppe C, beidzen u d & K m ~ t e n z a h l .

Beweis. Seien a und b die Erzeugenden der zwei Faktoren des direkten Produkts C x C. Wegen (ub? n {abf) = 1 fiir i =+ j ergibt sich die Bussage im ersten Fall. Im zweiten Fall sei der erste Faktor erzengt durch die Elemente q mit 4 = 1, c:+~ = ci, der zweite Faktar entspreehend durch Elemente di. Nun gilt

(.. ., Cidi", . . .) r, (. . ., Cidi", . . .) = (C,(a,.l),

wobei pj grofite m - n teilende p-Poten?, ist. Je zwei verscbidene natiirliche Zahlen ,m, n fiihren also such hier zu Untergruppen &us venchiedenen Komponenten, und damit ist Lemma 4 volIst4ndig gezeigt.

Nun wenden wir nns der pollen Klasse der abebchen Gruppen zu und erhalten

Bemerknng. Die Bedingnngen an Q sind ~ u c h hinreichend, siehe dazu Folgerung 1 nach Satz 4.

Beweis. Wir betrachten znnhhst die Torsionsuntergruppe T(G) von c3. Der Sockel a(@) von T(B), das Fmeugnis dler Elamente von Primzablordnung, ist direktes Pro- dnkt von Untergruppen von Primzahlordnnng, wegen Lemma 1 ist 8(Q) dsher endlich und T((3) ist das direkte PrOduHt dea dividblen Kerns K mit der endlichen Unter- p p p e A. Da 8(G) en&& ist, ist $: direkte Snmme endlich vieler Mergruppen, wegen Lemma 2 sind diese p m e i s e nicht isomorph, und K = Bl x . x Bk mit Bi wie im Safi beschrieben.

Da die additive Gruppe der rationalen Zahlen nicht en&e Komponenbnzahl hat, ist K zugleich der divisible Kern yon B und daher ein direkfier Summand von a, also G = K x L, wobei die Torsionsgruppe yon LE G/K gerade !P(U)/K = AK/K r A ist, also endlich. Daher ist L die dire& Summe einer endlichen Torsionsgruppe (etma A) mit einer torsionsfreieu Gruppe D. Nach Lemma2 kann D kein direktes Produkt zweier nnendlich zyklischer Grnppen enthalten, daher ist D lokalzyklisch. Sei z =+ 1 ein Element am 0; dmn ist a&> eine Torsionsgruppe and daber direktes Prod& einer endlichen mit einer divisiblen lokahyklischen Gmppe. Damus folgen die Am- sagen iiber D.

76 Math. Nachr. 184 (1987)

Lemma3. Beien R u d S zueimnder isomorphe abelsche '&'%-uppen. Genau &nn hat R x 8 endtiche Komponentenzahl, wenn R x S endlich ist.

Beweis. Wenn R x S endliche Komponentenzahl hat, so auch R. Wegen Lemma 2 darf R anderemeits keine divisiblen und keine torsionsfreien Untergruppen besitzen. Nach Satz 3 ist R dann endlich. Die Gegenrichtung ist Mar.

3. Direkte Produkte

Wir wollen hier untersuchen, wann das direkte Produkt meier g-Gruppen wieder eine g-Gruppe ist. Wieder behandeln wir zungchst einen SonderfaU.

Lemma 4. Seien R und S zueinander isomorphe Gruppen. Benau dann iaat R x S endlick Kinnponentenzuhl, wenn R x S endlich ist.

Beweis. Wir nehmen die Existenz einer unendlichen Gruppe R an, so daI3 R x 8 endliche Komponentenzahl hat, und wollen dies zum Widerspruch fiihren. Wir be- trachten die Untergruppen {(r, (g-%-g)') 1 r E R} = U,, wobei g alle Elemente aus R durchliiuft und (I ein vorgegebener Isomorphismus von R .ad S ist. Die Untergruppen U, und Uh sind genau clsnn fnstgleich, wenn es eine Untergruppe T von endlichem Index in R gibt, so daB q-lrg = ia-lrh fiir alle r in T, wenn also C&h-l) von end- lichem Index in R ist. Die Menge der Quotienten gh-1 mit Zentralisator von endlichem Index in R ist eine Unter,guppe W von R, die Nebenklassen von W in R entsprechen genau den Komponenten unter den Ug; aus der endlichen Komponentenzahl von R x S folgt also der endliche Index von W. Also gilt auch, da13 W x W* endliche Komponen- tenzahl hat; hierbei ikt W eine unendliche Gruppe und alIe Elemente von W liegen in endlichen Konjugiertenklassen. Ds endliche abelsche Untergruppen von W einen Zentralisator von endlichem Index in W haben und daher nicht maximale abelsche Untergruppen von W sein konnen, gibt es eine unendliche ebelsche Untergruppe 7 von W. Nun hat V x Vc endliche Komponentenzahl, was nach Lemma 3 nicht moglich ist. Dieser Widerspruch beweist unser Lemma 4.

Satz 4. Daa direkte Produkt R x B zweier Gruppen R und S hat genau dann ediche

(a) R und S haben endlick Kompnentendl. (b) Ist XI Nomnaltsiler von der Unterpppe X2 uon R und Yl Normalteile~ urn der

Un&gmppe Y2 von S u d gilt ferner X2/Xl = Ya/Yl, so ist X2/XI endlich. Die genaue KomponentenzahI von R x S ist dam das Produkt der genauen Kompo- nentenzahlen von R und von 8.

Beweis. Die Notwendigkeit von (a) folgt &us der Vererblichkeit der Eigenschaft auf Untergruppen, die von (b) durch Anwendung von Lemma 4 auf

Kmponentmdd, wenn folgende mei Bedingungen erfiillt s i d :

(X2 x Y2)/(X* x Y J = (XZlXl) x (Y2/Y,) ' Wir woUen nun zeigen, da8. die Bedingungen auch binreichend sind: U sei cine,

beliebige Untergruppe von R x S. Nach dem modularen Cesetz gilt

UR n US = UR n US n RS = UR n (US n R) S = (US (1 R) (UR n S),

Specht/Heineken, Grnppen 77

genauer

und daher URn U8= ( U k ? n R ) x ( U R n S ) ,

(US n R)/(U n R) s (U8 n R) (UR n S ) / ( U R n 8) {U n R )

= (U8n R ) (Un S ) U/ (UR n @ ( U n R )

G U / ( U n 8 ) ( U n R ) , und durch Symmetrie

( U S n R ) / ( U n R ) r ( U R n r 9 ) / ( U n S ) .

Wegen Bedmgung (b) folgt nun, daB (US n R)/( U n R) ei U/( U n R) (27 D 8) endlich ist und daS U und [U n R ) [U n 8) fastgleich aind. Die Repribentanten von Kom- ponenten von R x S lassen sich also als bctnkte von Reprtisentanten von Kom- ponenten von R und S wtihlen, und die 80 induzierte Abbildnng der Komponenten ist umkehrbar. Mit Bedingnng (a) zusammen ergibt sich also die Endlichkeit der Kom- ponentenzahI ; die genauen Komponentenzahlen werden multipIiziert.

Folgerung 1. Gemu die in Saia 3 angegebenen abeischen Gruppen haben endliche Komponentenzahl ; die genaue Komponentenzahl einer abelschen Torsionsgmppe ist eine Potenz von 2, sonst ist die genaue Komponentenzahl die Summe P + k + 2 k zweier Potenzen von 2.

Beweis. Die Komponentenzahl von A (im S h e von Satz 3) ist 1, die der B; ist 2, die von D ist eins mehr als die von D/(x). Anwendung von Satz 4 ergibt nun [wegen der Bedingung iiber D und die Bi, die Bed.tngung (b) von Satz4 zur Folge haben), die Endlichkeit der Komponentenzahl und die genaue Komponentenzahl 2 k im Tor- sionsfall, (2" + 1) 2k sonst, wobei n die h a h l der PrimzahIen ist, beziigfich derer D teilbar ist.

4. GmSe abekmhe Untergruppen

Unendliohe abelsche Untergruppen einer Gruppe von endlicher Komponentenzahl ent- halten als Unteqmppen eine unendlich zyklische Gruppe oder eine Priifergruppe. tfber diese spezielleren Iuassen von Untergruppen wollen wir schiirfere Aussagen ent- Widteh. Dazu machen wir xnniicbt noch eine allgemeinere J?est%teIlung.

Lemma 6. Wens die Qrulvpc B eim e7sdticlrc Kornpmentmzuhl be.&&, 80 gild es einen NonnaEtailes. N wm mdhhem I d e x wy)) t3, so dap d2e Kmjugi&enk.Eaesen mm Untet- qrupjpen von N in jeweils n w c i w Kmpnmte vim N l iqen.

Beweis. Sind hie Untergruppen 17 und V von 0 fastgleich, 90 sind auch die Kon- jngierten g-lUg und g-1Pg fiir jedes g a m G fastgleich. Darch Konjaption wird also eine Permutation der (endlich vielen) Komponenten indnziert und die Meqe der- jenigen Elemente aus G, die durch Konjugation die Identit5.t anf der Menge der Kom- ponenten induziert, ist ein Normslteiler N von endlichem Index, wie er in Lemma 5 behauptet *d, da die Abbiidung U + U n N eine umkehrbare Zuordnung der Kom- ponenten von C a d die Komponenten von N ergibt.

78 Math. Nachr. 184 (1987)

Wir konnen nun die angekiindigte Aussage machen.

Lemma 6. Die Gruppe B besitze eine ed iche Kompmentendl. (8) 1st eine Unterpppe u u r n B ~ S O ~ O T ~ A eine?. ~ 1 . i i f e ~ p p p e , sa ist u ein ~ o r m c a ~

@) Je mei unendlich zyklische Unterpppen von G s i d fastgleich. Beweis. Wegen Lemma5 besitzt G einen Normdteiler N von endlichem Index,

so daB d e Komponenten von N Vereinigungen voller Konjugiertenldassen von Unter- gruppen von fl sind. Da N endlichen Index hat, ist im Falle (a) die Untergruppe U, die ja keine Unter-

gruppen von endlichem Index besitzt, schon in N enthalten und sogar ein Normal- teiler von N. 1st nun g-Wg $. U fiir ein g &us U, so ist (U, g-Wg) abelsch, und zwax direktes Prodnkt zweier isomorpher Priiferpppn. Dies ist jedoch nach Lemma2 nicht mijglich, aIso gilt U = g-1Ug wie behauptet. Im Falle (b) k6nnen wir ohne Beschriinkung der Allgemehheit zwei unendlich

zyklische Untergruppen (z) und (9) aus N wghlen. Wir nehmen {z) n (y) = 1 an. Sei 2

und y als erstes so gewithlt, da13 alle Produkte qk unendliche Ordnung haben. Da es in N nur endlich viele Komponenten gibt, mu13 es zwei Zahlen m, n geben, so daD

teiler von C.

(w") n (zy") = ((z3")3 =I= 1 gilt.

Dann sind aber (q")-l (zp) = 9S-m und ( q m ) ' vertauschbar. Nach Lemma 4 ist ((y*-m, (mp)r)) nicht das direkte Produkt zweier unendlich zyklischer I Gruppen, also gilt

w-3 (v) = ((y"-")') * J

und daher sind rtuch y(n-m)* und z miteinander vertauschbar. Es folgt in der gleichen Weiae wie oben

(2) n (Y) 9 1 im Widerspruch zur Voraussetzung iiber z und y. Wir hatten zusiitzlich vorausgesetzt, daB alle Produkte x y k unendliche Ordnung haben; sei nun, fG eine Zahl k, das Pro- dukt + von endlicher Ordnung m. Da x in N lie@, erhalten wir fib z = qk

(z) n (z-1~~) = (2") = ( ( z - k ~ ) ~ )

and daher (2"") = ((z-1ZZ)ba'"-') = . . . = ((z-"zz")b"} = (9") ,

es folgt Q = &b und z liegt in Normalisator von (2"). Daher liegt auch yk = z-lz in N({zO)), und fl ist vertauschbar mit y*.

Wegen Lemma4 sind also (2") und (y*), und damit auch (2) und (y) fastgleich dies ist der endgdtige Widerspruch, der Aussage (b) beweist.

Eine Folgerung aus Lemma 6 wollen wir noch hemusstellen:

Satz 5. Es aei x ein Element unedicher Ordnung aw der g-Uruppe G. Dann gilt OD

a = u N((&)) . n-1

Specht/Heiueken, G m p p 79

Beweie. Es gentigt m zeigen, dss fiir jedea y an9 Q ein a = nfY) > 0 existiert mit

1st y von nnendlioher Ordnung, 80 ist YEN ((4).

b) n (@ = (9) * 1 und die Aucraage richtig, ist y von endlicher ordnnag, 90 ist

(z) n (y-'zy) = (2") = (y-lzy) = 1

und die Anssage folgt.

5. SpezieUe Klassen von ?I)-Gruppen

BekaMtlich heiljt eine Gruppe lokal nilpotent, wenn alle endlich eSzeugten Unter- gruppen nilpotent sind. Radikal ist eine Gmppe (im S h e von PLOTKXN [7]), wem jedes von 1 verschiedene epimorphe Bild einen von 1 verschiedenen lokal nilpotenten Normalteiler besitzt. Eine Grnppe ist schlieljlich kldassenfinit, wenn sie nur endliche Konjugiertenklasse besitzt (im Sinne von B. H. NEUMAXN [S] PC-Gruppen). Wir wollen die 9-Gruppen dieser GruppenkIassen beatimmen. Wi beginnen mit der zuletzt genannten Klme von Gmppen.

Satz6. Die Qruppe G isb gmuu dann einc 8)&pe, dmn &ntlkhe Eltmente in endlichen Konjzrgi&enklas.sm liegm, w a n Z(G) die Bedingwngen wy1& Sdz 3 erfiilu und endlichen Idex in G W.

Beweis. Iat Z(G) von endlidem Index in 0 und erfiillt Z(G) die IkAqmge n von Satz 3, so iat Z(a) nach Folge~ung 1 eine 9-Gruppe nnd daher auch G eine '$)-Gruppe. Da Z(a) e d h h e n Index in Q hat, ist &&Idern die Kommutatorgmppa G nach einem bekannten Sstz von ~CEUE endlich und daher such ane Konjugiertenklasen endIich. Ist nun andarerseits G eine unendhhe B-GraPpe, deren siimtliche Elemente in endlichen K o n j u $ M - liegen, so ist insbesondere dm' Zentrum Z(0) Durch- achnitt gewbser Untffffgmppsn von endliehem Index in 0, aii;mlich der Zentralisatoren. Daher hat Q/Zfa] keine PriifsrgMPpe als Untergruppe. Naeh B m [1 ; 3 2, Theorem 21 ist GjZ(c) anserdem eine Toraiomgmppe. Wegen Satz 4 sind nun alle abelschen Unter- gruppen von H = G/Z(a) adlich. 8ei A h e maxim& abelsche Unttrrgruppe von a. Da alle gonjngiertenldassen von H %ndlich sind und daher alle zentralisahren von Elementen endlichen Index haben, ergibt sich, dad

a = qa) = n q.1 SEA

endlichen Index in H hat. Daher ist H endlich und Satz 6 bewiesen.

Satz 7. I& Gr GijGe lokd d i & &&~pe, 80 iet G die Emdterung einer lokd z y k l h h m diaieibEan pnqpe dud 6m andliclcc thp.*)

*) Diem Anseage geht oof eke Anreg- dcs Referenten zuriick, dem h i d r henlich gedankt w i l d

SO Math. Nachr. 184 (1987)

Beweis. Nach Lemma 6 (a) sind Untergruppen von G, die isomorph zu Aiifer- gmppen sind, Normalteiler von Q. Sei E das Erzeugnis aller solcher Normalteiler von 8. Die Faktorgruppe G / K ist lokal endlich und alle ihre abelschen Untergruppen sind endlich. Es ist bekannt (8. H ~ ~ ~ / K m a n a a 9 a [2], KAR~~POLOV [a]), daS solohe Gruppen endlich sind. Der Normdteiler K ist abelsch divisibel, und nach Satz 4 lokal zyklisch.

Eine Gruppe he& hyperzentral, wenn d e von 1 verschiedenen epimorphen Bilder von G ein von 1 verschiedenes Zentrum haben. Die aufsteigende Zentralreihe von G w i d durch

W

z ( G ) = G ( G ) 3 z i+ i (G) / z i (G) = z ( G / z i ( G ) ) 9 ZJG) = U %(G) n = l

definiert. Nun konnen wir unseren niichsten Satz formulieren:

Sstz 8. G ist eine lokal nilpotente 9 - G h p p e genuu dann, wenn es Normalteilsr L, M uncE N won G gibt mit

L S M S N S G

und fobenden weiteren Eigemehaften :

(i) L ist endlich (ii) M I L ist lokal zyklische divisible Torsionsgmppe. (iii) IN: MI 5 2 (iv) GIN ist lokal zyklisch und torsiwfrei. (v) Das direkfe Produkt ( M I L ) x (GIN) isf eine g - h p p e (6) B ist hyperzentral, genauer: Z,+,(G) = G.

Beweis. Hyprzentrale Gruppen sind immer lokd nilpotent, fiir die eine Richtnng geniigt &o der Nachweis, daI3 aus (i)-(v) die Endlichkeit der Komponentenzahl. von Q folgt. Die Aussage ergibt sich durch direkte Betrachtung der Komponenten.

Sei nun G eine lokal nilpotente g-Gruppe und sei T ( G ) die Menge aller Ebmente endlicher Ordnung von G, eine charakteristische Untergruppe. Dann ist G/T((;r) tor- sionsfrei und alle zyklischen Untergmppen von G/T(G) sind fastgleich nach Lemma 6. Daher ist G / T ( G ) lokal zykhch. Mit T ( G ) = N haben wir (iv) gezeigt.

Die lokal endliche Gruppe T ( G ) besitzt nach Satz -7 einen lokal zyklischen divkiblen Normdteiler W mit endlicher Faktorgruppe T ( G ) / W . Da W in T ( G ) charakteristisch ist, sind W und C( W) n T(G) Normalteiler von G. Nur die 2-Sylowgruppe von W er- bubt eine lokal nilpotente Erweiterung durch eine endliche Gruppe, und z m r nur durch eine Gruppe der Ordnnng 2. Dies ergibt (iii) mit M = C(W) n T(G). Es gibt eine endlich erzeugte (und damit endliche) Untergruppe R von M mit der Eigen- schaft

RW = M , wegen

ist R ein Normalteiler von M und M / R = RW/R g W/( W n R) ist kommutativ. Daher ist H' ein endlicher Normalteiler von G. Da M / Y ' eine abelsche g-Umppe und Torsionsgmppe ist, gibt es eine charakteristische Untergmppe L/N' von M / W , so daD M / L E (M/M')/(L/M') divisibel ist. Dies ergibt (i) und (ii). Zum Beweis von

w SZ(W

Specht/Heineken, Gruppen 81

(v) stellen wir zu16chst fest, daB -Mi& nnd B/N 9-Gmppen sein miissen. Ist auSerdem GIN eine p-divisible Grappe und df/L keine p'-Gmppe, so ist die grijSte p'-Unter- p p p e RIL von M I L eke echte chamkteristische Untergruppe nnd df /R G ( M / L ) / ( R / L ) eke lokal zyklisohe divisibbp-Gmppe. Da Aut (M/R) keine p-dwisiblen Untergruppen besitzt, gdt

(NIB) Q G , R ( w m = GlR2 und C,,,(H/R) ist wegen Satz 3 (c) keine g-Gruppe. Da dann auch G keine g-Gruppe ware, tritt dieser Fall nicht ein und (v) ist richtig. Nun ergibt sich (14) BUS der Tat- sache, daS G' in iK enthalten ist und M mengentheoretische Vereinigung endlicher Normalteiler von G ist .

Sat2 9. G ist eine radikule g-aT26lvpe gemu dann, wenn G die Emiterung einer lokaE endlichen g-)-a-ru(ppe d u d eine d l i c h e aufhbare h p p e i8t.

Beweis. Eine Erweiterung einer lokal nilpotenten g-Grnppe durch eine endliche auflbbare Gruppe ist eke radikah Gmppe wegen Satz 1. Sci nun G eine radikale g-Gruppe und a(@) der groSte lokal nilpotente Normal-

teiler von G (vgl. Hrasm [3] und PLOTXIN [6]). Die Struktur von H(G) ist uns mit Sat2 8 bekannt; man iiberlegt sich leicht, dd3 alle im Satz 8 erwzhnten Normalteiler als charakteristische Untergruppen gew&hlt werden k6nnen. AuSer der Verwendung von H(G) anstelle von G lassen wir die Bezeichnungen von Satz 8 unveriindert und be- trachten zus&tzlich die charakteristische Unter,mppe L*, die die Eigenschaft hat, daS L*/L der Sockel von MIL ist.

Wir betrachten

R = (Z I z E G, [H(G), 23 E Y, [L*, Z] = 1).

Offenbar ist R ein Normalteiler von G. Ist K nicht in a(@) enthalten, so existiert eine charakteristische Untergruppe W von R derart, daB 1 =I= W/(R n H(G)) lokal nilpotent ist. Nach Konstruktion von X ist nun

T H ( G ) / H ( G ) zz W/( W n H(G)) = T / ( R n B(G))

lokal nilpotent, und zusiitzlich ist H(G) im Hypeientkm von W E ( G ) enthalten. Daraus folgt, daS W lokal nilpotent ist im Gegensatz zur Maximalitlit von H(G) als lokal nolpotenter Normdteiler. Daher ist R in a(#) enthalten. Nun gilt

K = C&*) n R* , wobei K* = {z I z S B, [H(G), z] E M) . Der zentralisrrtor C&*) ist von endlichem Index in G, da L* endlich ist, und G/X* ist endlich, wed entweder H(B)/M endlich iet oder sonst, weil alle unendlich zylrlischen Untergruppe in G fastgleich sind nach Lemma 6(b). Damit sind auch K und H(G) von endlichem Index, nnd G / B ( G ) ist eine endliche radikale mithin aufiosbare Grnppe.

Litemtur

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6 ath. Xachr., Bd. 134

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