Hellmuth Stachel - geometrie.tuwien.ac.at · Ekliptik SONNE Von einem Sonnenhöchst-stand zum...

Mathematisches zur Sonnenreflexionsuhr

Hellmuth Stachel

stachel@dmg.tuwien.ac.at — http://www.geometrie.tuwien.ac.at/stachel

Zur Präsentation des Buches F. Mayrhofer, G. Liechtenstein (Hrsg.):Die Sonnenreflexionsuhr im Stift Heiligenkreuz, Be&Be-Verlag, am 24. Februar 2017

Inhalt

1. Allgemeines über Sonnenuhren

2. Spiegelung und Schatten

3. Pläne für die Handwerker

4. Zur Genauigkeit der Sonnenuhren

Galileo Galilei:“ Wer die Geometrie begreift, vermag in dieser Welt alles zu verstehen”

24. Februar 2017: Buchpräsentation “Die Sonnenreflexionsuhr im Stift Heiligenkreuz” 1/21

Allgemeines über Sonnenuhren

Třeboň, Tschechien

Traditionelle Sonnenuhr mit Stunden-und Datumslinien

Endbahnhof der U2 in München

Nur bei Kenntnis des Datums kann dieUhrzeit abgelesen werden.

24. Februar 2017: Buchpräsentation “Die Sonnenreflexionsuhr im Stift Heiligenkreuz” 2/21

Allgemeines über Sonnenuhren

H

N

Äqua

tor

Erdkugel

23.4◦

23.4◦

48◦

21.06.

21.12.

18.6◦

65.4◦ Während der Bewegung der

Erde um die Sonne variiertder Erhebungswinkel der Sonnegegenüber der Äquatorebene um± = 23.44◦ (Schiefe der Ekliptik).

Das bedeutet für Heiligenkreuz(geogr. Breite 48.055◦) maximaleErhebungswinkel der Sonnezwischen 18.6◦ und 65.4◦.

Zu gleicher Tageszeit (‘Sonnen-zeit’) liegt die Sonne in derselbenMeridianebene der Erde.

24. Februar 2017: Buchpräsentation “Die Sonnenreflexionsuhr im Stift Heiligenkreuz” 3/21

Allgemeines über Sonnenuhren

H

N

Äqua

tor

Erdkugel

23.4◦

23.4◦

48◦

42◦

21.06.

21.12.

Der Schatten eines Stabes fälltgenau dann zur selben Tageszeitauf dieselbe Gerade, wenndie Schattenebene parallel zurzugehörigen Meridianebene ist.

=⇒ der Schattenstab mussparallel zur Erdachse sein.

Eine Parallele zur Erdachse ragt inHeiligenkreuz unter 42◦ aus einernach Süden weisenden Hauswand.

24. Februar 2017: Buchpräsentation “Die Sonnenreflexionsuhr im Stift Heiligenkreuz” 4/21

2. Spiegelung und Schatten

S S

Q

Q′ Ψ

µ

Jede Reflexion wirkt wie ein Schatten zuder an der Ost- bzw. Westwand gespiegeltenSonne.

Die zu gleicher Tageszeit (Sonnenzeit) gespiegeltenSonnenstrahlen liegen in derselben Ebene durch diegespiegelte Erdachse a.

Flanke des Gnomons

∼ 5.0◦

a

an

a

Die bestmögliche Näherung für die gespiegelteErdachse a innerhalb der Flanke des Gnomons ist derNormalriss an der Erdachse a in dieser Wand.

24. Februar 2017: Buchpräsentation “Die Sonnenreflexionsuhr im Stift Heiligenkreuz” 5/21

2. Spiegelung und Schatten

7

7

8

8

9

9

10

10

11

11

13

13

14

14

15

15

16

16

17

17

7

7

8

8

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10

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11

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13

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14

15

15

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16

17

17

21.2., 21.10. 21.5., 21.7.

Die Höhe der reflektierenden Streifen wurde derart gewählt, dass selbst zur Winter-und Sommersonnenwende die Reflexionen auf die Rundwand fallen.

24. Februar 2017: Buchpräsentation “Die Sonnenreflexionsuhr im Stift Heiligenkreuz” 6/21

07

08

09

10

11

Ein zur Erdachse annähernd paralleler Streifen auf Ost- und Westwand bewirkt helle Streifen auf derRundwand wie bei Sonnenuhr. Das Bild zeigt den Verlauf der Reflexionen über die Monate.

24. Februar 2017: Buchpräsentation “Die Sonnenreflexionsuhr im Stift Heiligenkreuz” 7/21

2. Spiegelung und Schatten

7

7

8

8

9

9

10

10

11

11

13

13

145

Fotomontage: Gnomon mitreflektierendem Streifen undden zugehörigen Reflexionenfür den 9. September.

(Foto aus 2011)

24. Februar 2017: Buchpräsentation “Die Sonnenreflexionsuhr im Stift Heiligenkreuz” 8/21

3. Pläne für die Handwerker

486

18

45.8

440.2

42.0

700

109

41.7◦

Aufriss des Gnomons mit dem spiegelndenStreifen (Maße in cm)

24. Februar 2017: Buchpräsentation “Die Sonnenreflexionsuhr im Stift Heiligenkreuz” 9/21

3. Pläne für die Handwerker

78910111314151617

112200275340399385326259182 92

26.121.816.310.75.15.911.517.222.526.6

91011131415

7

816

17

56204336311178 27

251

114

143

275

20.711.85.26.112.922.4

40.6

42.8

42.8

40.4

[-23.5]

[-28.8]

[-27.7]

[-22.8]

Plan für Stundenlinien (unter Berücksichtigung der geographischen Länge 16.049◦)

24. Februar 2017: Buchpräsentation “Die Sonnenreflexionsuhr im Stift Heiligenkreuz” 10/21

Die untere Hälften der Gnomonflanken sind herstellungs- und temperaturbedingtleicht gewölbt und stören die Zeitablesungen durch unregelmäßige Reflexionskaustiken

24. Februar 2017: Buchpräsentation “Die Sonnenreflexionsuhr im Stift Heiligenkreuz” 11/21

3. Pläne für die Handwerker

7

7

8

8

9

9

10

10

11

11

13

13

14

14

15

15

16

16

17

17

replacements

10111314

7

7

8

8

9

9

10

10

11

11

13

13

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14

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15

16

16

17

17

0708091516

21.1., 21.11. 21.4., 21.8.

Eine Senkung der Abmattungsgrenze um 50 cm verbesserte die Situation etwas, aberbehinderte die Absicht des Künstlers, der Besucher möge sich durch die Spiegelung amGnomon inmitten der auf dem Mosaik dargestellten Menschenschar wiedererkennen.

24. Februar 2017: Buchpräsentation “Die Sonnenreflexionsuhr im Stift Heiligenkreuz” 12/21

4. Zur Genauigkeit der Sonnenuhren

Stadtturm in Innsbruck

Es gibt eine mittlere Zeit = Uhrzeit

und eine wahre Zeit = Sonnenzeit,

und diese unterscheiden sich im Laufe einesJahres um bis zu 15 Minuten !

24. Februar 2017: Buchpräsentation “Die Sonnenreflexionsuhr im Stift Heiligenkreuz” 13/21

4. Zur Genauigkeit der Sonnenuhren

SONNE

ε

ε

Schiefe der Ekliptik ε = 23.44◦

Präzession und Nutation vernachlässigt

(im Jahr 0: ε = 23.695◦)

21. 3.

23. 9.

Wir projizieren die Bahn der Erde orthogonal in eine Äquatorebene, um dieDrehung der Erde um ihre Achse in wahrer Größe zu sehen.

24. Februar 2017: Buchpräsentation “Die Sonnenreflexionsuhr im Stift Heiligenkreuz” 14/21

ψψ

ε

12:00 Uhr

360◦ später

EkliptikSONNE Von einem Sonnenhöchst-

stand zum nächsten musssich die Erde durch 360◦+ψum ihre Achse drehen =⇒

Tage (gemäß Sonnenzeit)sind verschieden lang (bzgl.mittlerer Zeit)!

(Bild nicht maßstabstreu)

24. Februar 2017: Buchpräsentation “Die Sonnenreflexionsuhr im Stift Heiligenkreuz” 15/21

ψψ

ε

12:00 Uhr

360◦ später

EkliptikSONNE

Von einem Sonnenhöchst-stand zum nächsten musssich die Erde durch 360◦+ψum ihre Achse drehen =⇒

Tage (gemäß Sonnenzeit)sind verschieden lang (bzgl.mittlerer Zeit)!

Selbst bei einer Kreisbahn ändertsich der in 24 Stunden über-strichene Zentriwinkel ψ ständigwegen der verzerrten Ansicht.

24. Februar 2017: Buchpräsentation “Die Sonnenreflexionsuhr im Stift Heiligenkreuz” 15/21

1.Jan

21.M

ar

21.Jun

23.S

ep

21.Dez

147 098 000 km152 098 000 km

Frühling

Sommer

Herbst

Winter

Die Bahn der Erde um dieSonne ist eine Ellipse, die mitkonstanter Flächengeschwin-digkeit durchlaufen wird.

(2 Tage Zeitintervall zwischen den

Teilungsstrichen).

Bahndaten:

a = 149.598 106 kmb = 149.577 106 kme = 2.500 106 kmε = e/a = 0.01671

24. Februar 2017: Buchpräsentation “Die Sonnenreflexionsuhr im Stift Heiligenkreuz” 16/21

Das ist die Projection der ellip-tischen Erdbahn. Auch diesewird mit konstanter Flächenge-schwindigkeit durchlaufen.

3 Tage Zeitintervall zwischen den

Teilungsstrichen (mittlerer Zeit).

Die Abweichungen der Zentri-winkel vom Durchschnittswert360/365.2425◦ sind dieUrsache für die Zeitgleichung. 1.J

an

21.Mar

21.Jun

23.Sep21.D

ez

24. Februar 2017: Buchpräsentation “Die Sonnenreflexionsuhr im Stift Heiligenkreuz” 17/21

4. Zur Genauigkeit der Sonnenuhren

−15

−5

5

15

z(t) [min]

t

1.Ja

n

1.Fe

b

1.M

ar

1.A

pr

1.M

ai

1.Ju

n

1.Ju

l

1.A

ug

1.Sep

1.O

kt

1.N

ov

1.D

ez

31.D

ez

Zeitgleichung: wahre Zeit = Sonnenzeit = mittlere Zeit + z(t)

24. Februar 2017: Buchpräsentation “Die Sonnenreflexionsuhr im Stift Heiligenkreuz” 18/21

4. Zur Genauigkeit der Sonnenuhren

−15

−5

5

15

z(t) [min]

t

1.Ja

n

1.Fe

b

1.M

ar

1.A

pr

1.M

ai

1.Ju

n

1.Ju

l

1.A

ug

1.Sep

1.O

kt

1.N

ov

1.D

ez

31.D

ez

Zeitgleichung: wahre Zeit = Sonnenzeit = mittlere Zeit + z(t)

· · · · · · · · · Zeitgleichung im Falle einer Kreisbahn (e = 0)

- - - - - - - Zeitgleichung ohne Schiefe der Ekliptik (ε = 0)

24. Februar 2017: Buchpräsentation “Die Sonnenreflexionsuhr im Stift Heiligenkreuz” 18/21

Stadtturm ’Alter Michel’ in München:Diese Sonnenuhr berücksichtigt die Zeit-gleichung. Nicht der Schatten des Stabes,sondern nur jener des Stabendes zeigt diegenaue (mittlere) Zeit.

24. Februar 2017: Buchpräsentation “Die Sonnenreflexionsuhr im Stift Heiligenkreuz” 19/21

4. Zur Genauigkeit der Sonnenuhren

Zeitgleichung:

1.A

ug

16.A

ug

1.Sep

0 min

15 min

-15 min

Ablesebeispiel, 15. August: Die Reflexion zeigt ∼ 8:05 ; es ist Sommerzeit, die Zeitgleichungergibt z = −5min = (Sonnenzeit – mittl. Zeit) =⇒ Resultat: ∼ 9:10 Uhr

24. Februar 2017: Buchpräsentation “Die Sonnenreflexionsuhr im Stift Heiligenkreuz” 20/21

Es war mir eine besondere Ehre, bei derRealisierung dieses beeindruckenden Denkmalsmitwirken zu dürfen.

Danke für IhreAufmerksamkeit!

24. Februar 2017: Buchpräsentation “Die Sonnenreflexionsuhr im Stift Heiligenkreuz” 21/21

Literatur

• G. Glaeser: Geometry and its Applications in Arts, Nature and Technology. SpringerWien, New York, 2012.

• G. Glaeser G., W. Hofmann: About minute-precise sundials for mean time. IBDG(Informationsblätter der Geometrie) 23/2, 40–46 (2004).

• F. Hohenberg: Konstruktive Geometrie in der Technik. 3. Aufl., Springer-Verlag,Wien 1966.

• F. Mayrhofer, G. Liechtenstein (Hrsg.): Die Sonnenreflexionsuhr im StiftHeiligenkreuz, als Denkmal für Gewissens und Religionsfreiheit. Be&Be-Verlag,Heiligenkreuz 2016.

24. Februar 2017: Buchpräsentation “Die Sonnenreflexionsuhr im Stift Heiligenkreuz” 22/21

• K. Schwarzinger: Katalog der ortsfesten Sonnenuhren in Österreich. CD,Österreichischer Astronomischer Verein, 2011.

• H. Stachel: Spiegelung und Brechnung im DG-Unterricht. Informationsblätter derGeometrie 2/1, 23–29 (1983).

• H. Stachel: The Design of the New Sun-Reflection-Dial in Heiligenkreuz/Austria.Proceedings moNGeometrija 2014 (ISBN 978-86-88601-13-9), Vlasina/Serbia,pp. 285–296.

• S. Wetzel: Die Heiligenkreuz-Reflex-Sonnenuhr. <http://www.swetzel.ch/

sonnenuhren/heilkreu/heilkreu.html>, 2016.

24. Februar 2017: Buchpräsentation “Die Sonnenreflexionsuhr im Stift Heiligenkreuz” 23/21

• FELIX MAYRHOFER

HEILIGEN KREUZ

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