Institut für Kartographie und Geoinformation Prof. Dr. Lutz Plümer Geoinformation III Vorlesung 3...

Institut für Kartographie und GeoinformationProf. Dr. Lutz PlümerInstitut für Kartographie und GeoinformationProf. Dr. Lutz Plümer

Geoinformation IIIVorlesung 3

WS 01/02

Punkt-in-Polygon-Verfahren III(R/R+-Baum)

Lutz Plümer - Geoinformation III - 5. Semester - WS 01/02 - Vorlesung 3 Lutz Plümer - Geoinformation III - 5. Semester - WS 01/02 - Vorlesung 3

Übersicht I

• Zur Erinnerung• Zerlegung der Maschen in Streifen• Suchstruktur• Einfügen einer Kante II• Zur Effizienz• Effizienz II:• Sonderfallbetrachtung• Punkt-in-Polygon-Suche II• MBR – minimum bounding rectangle• Idee• Neues laufendes Beispiel• Rechtecke

Übersicht II

• Rechtecke mit R-Baum• R-Baum• R-Baum als B-Baum• Der R-Baum als solcher• Einfügen in einen R-Baum• Strategien zum Spalten eines Knotens• Suchen eines Knotens• Nachteil des R-Baums• Alternative: Der R+-Baum• R+-Baum• Suche im R+-Baum

Zur Erinnerung:

Zerlegung der Maschen in Streifen

Suchstruktur

Einfügen einer Kante II

D(Si-1)

qisi sisiA

FB D si

T(Si)D(Si)

Zur Effizienz

Der oben beschriebene Algorithmus hat folgende

Erwartungswerte (gemittelt über alle Permutationen der Segmentmenge S):

Konstruktion von D(S): O(n log n)

Speicherplatz von D(S): O(n)

Punkt-in-Polygon-Suche mittels D(S): O(log n)

Effizienz II:

• Der Erwartungswert bezieht sich auf die Menge aller Permutationen

• Pech bei der Permutation kann zum Worst – Case O(n) für die Suche und entsprechender Tiefe der Suchstruktur führen

• Abhilfe durch Stop-Loss-Punkt setzen:– Brich ab, falls D(S) zu tief wird, und fange neu an mit einer neuen

Permutation

• Differenz zum Worst-Case O(n) für die Suche und O(n2) für die Konstruktion kann beliebig klein gemacht werden, ohne daß man von der O(n log n) – Laufzeit für die Konstruktion von D(S) sehr stark abweicht

Sonderfallbetrachtung

Was macht man, wenn 2 Knoten die gleichen x-Koordinaten haben?• Beobachtung: die vertikalen Extensionen müssen eigentlich nicht

vertikal, sondern nur parallel sein• Wichtig sind nur die topologischen Invarianten links / rechts an

den x-Knoten und oben / unten an den y-Knoten• Abhilfe durch

Transformation (x,y) (x + * y, y) für „geeignet kleines“ Epsilon• Diese Transformation wird aber in Wirklichkeit gar nicht

durchgeführt, sondern:– (x,y) liegt rechts von (x‘,y‘) falls x > x‘ oder x = x‘ und y > y‘

• Oben / Unten – Vergleich an y-Knoten für Segmente „in the same spirit“ (als Übung)

Punkt-in-Polygon-Suche II

• Bisher:– Zerlegung der Maschen in Streifen– Konstruktion einer Suchstruktur

• Alternatives Vorgehen:• Approximation der Maschen durch umschließende

achsenparallele Rechtecke – Minimal Bounding Rectangle (MBR)– Verwaltung der Rechtecke

• R-Baum• R+-Baum

B-Baum

Ein kleiner Exkurs:

Der B-Baum wurde nach seinem Entwickler R. Bayer benannt.

Die Suche eines Elementes in einem B-Baum unterscheidet

sich nur wenig von der Suche in anderen Such-Bäumen.

Das Einfügen und Entfernen von Elementen ist jedoch an

vielen Stellen anders als in Binär-Such-Bäumen.

B-Baum

• Eigenschaften eines B-Baumes der Ordnung n:– Ein B-Baum ist nicht binär– Ein B-Baum ist ausgeglichen– Alle Blätter haben das gleiche Niveau– Jeder Knoten enthält höchstens 2n Elemente– Jeder innere Knoten außer der Wurzel enthält mindestens n

Elemente– Jeder innere Knoten hat m+1 Nachfolgeknoten, wobei m die Anzahl

der Schlüssel des inneren Knotens ist– Die m Schlüssel eines inneren Knotens werden in aufsteigender

Reihenfolge gespeichert: x1 < x2 < ... < xn

– Für jeden i-ten Teilbaum Si eines Knotens gilt:Die Schlüssel seiner Knoten sind grösser als xi und kleiner als xi+1 (ganz links und ganz rechts analog)

– Bei einigen Varianten des B-Baums stehen alle Informationen in den Blättern

B-Baum der Ordnung 2 (n=2)

2 9 12

13 15 171 233

10 37 567

Einfügen

• Einfügen eines Elements mit dem Wert 18 (Idealfall)

2 9 12

13 15 171 3

107 23

18 < 19 linker Ast

Einfügen

• Einfügen eines Elements mit dem Wert 18

2 9 12

13 15 171 3

107 23

18 > 12 rechter Ast

Einfügen

2 9 12

13 15 171 3

107 23

18 > 12 rechter Ast

Einfügen

2 9 12

13 15 171 3

107 23

18 > 17 Einfügen

Einfügen

2 9 12

13 15 171 3

107 23

18 > 17 Einfügen

Einfügen

2 9 12

13 15 17 181 3

107 23

18 > 17 Einfügen

Einfügen

• Einfügen eines Elements mit dem Wert 14 (Problemfall)

2 9 12

13 15 17 181 3

107 23

14 < 19 linker Ast

Einfügen

2 9 12

13 15 17 181 3

107 23

14 > 12 rechter Ast

Einfügen

2 9 12

13 15 17 181 3

107 23

14 > 12 rechter Ast

Problem: Speicher voll

Lösung: Knoten sprengen

Einfügen

2 9 12

13 15 17 181 3

107 23

Lösung: Knoten sprengen

Einfügen

2 9 12

13 14 15 171 3 107

37 5618

Setze das mittlere Element um

eine Position nach oben

Einfügen

2 9 12 15

13 14 171 3 107

37 5618

Bilde zwei neue Zweige

Einfügen

13 14 17

2 9 12 15

1 3 107

37 5618

Einfügen

13 14 17

2 9 12 15

1 3 107

37 5618

Einfügen

13 14 17

2 9 12 15

1 3 107

37 5618

Einfügen

2 9 12 15

1 3 107

37 5617 18

Einfügen

2 9 12 15

1 3 107

37 5617 18

Entfernen

Das Löschen in einem B-Baum gestaltet sich sehr einfach.

Wir unterscheiden hier folgende Fälle:

1. Löschen in einem Blatt: Einfaches Löschen

2. Löschen in einem inneren Knoten: Beachte: die Anzahl der Schlüssel der inneren Knoten muss mindestens n sein Wie bei AVL-Bäumen den Eintrag ersetzen durch den Rechtesten Eintrag im linken Unterbaum oder den Linkesten im Rechten.

Entfernen

• Entfernen des Elements mit dem Wert 48

2 9 12

13 15 171 3

107 23

27 31 37 49 60

Entfernen

2 9 12

13 15 171 3

107 23

27 31 37 49 60

Keine n Elemente im Knoten

Entfernen

2 9 12

13 15 171 3

107 23

27 31 37 49 60

Keine n Elemente ersetzen durch den

Rechtesten Eintrag im linken Unterbaum

Entfernen

2 9 12

13 15 171 3

107 23

27 31 49 60

Keine n Elemente ersetzen durch den

Rechtesten Eintrag im linken Unterbaum

Punkt-in-Polygon-Suche II

• Approximation der Maschen durch umschließende achsenparallele Rechtecke – Minimal Bounding Rectangle (MBR)– Verwaltung der Rechtecke

• R-Baum• R+-Baum

MBR – minimum bounding rectangle

Außen

• In welcher Masche M liegt der Punkt P?• Nutze die Bounding Boxes als Filter• Verwende effizientes Verfahren, um alle Rechtecke

R1, ... Rn zu finden, die P enthalten

– Jedem Rechteck Ri entspricht eine Masche Mi

• Prüfe, ob P in einer der Maschen M1, ... Mn vorkommt

• Verwende dazu das Standardverfahren• Problem: Zugriffsstruktur für Rechtecke• Rechtecke sind einfacher zu handhaben als Maschen

im allgemeinen

Neues laufendes Beispiel

• Nur die Rechtecke interessieren uns hier, nicht die zugrundeliegenden Maschen

Rechtecke

Rechtecke mit R-Baum

A I E H

R-Baum

A I E H

R-Baum

A I E H

R-Baum

A I E H

R-Baum

A I E H

R-Baum als B-Baum

• Ein R-Baum ist ein B-Baum mit zusätzlichen Eigenschaften

• B-Baum (zur Erinnerung)

– Ein B-Baum ist (wie der AVL-Baum) ausgeglichen– Besonders gut für Hintergrundspeicher (Festplatte), innere

Knoten entsprechen „Kacheln“ des Sekundärspeichers– Alle Informationen stehen in den Blättern– Alle Blätter haben das gleiche Niveau– Alle inneren Knoten außer der Wurzel sind mindestens zur

Hälfte gefüllt– Teilung beim Überlauf eines inneren Knoten – Verteilung auf Nachbarn beim Unterlauf

Der R-Baum als solcher

• Ein Blattknoten ist ein Paar (R,O), R ist das kleinste Rechteck, welches das Objekt O umschließt

• Jeder innere Knoten hat n Paare (R,P)– P zeigt auf einen Teilbaum– R ist das kleinste umschließende Rechteck dieses Teilbaums

Beachte• Rechtecke können sich überlappen• Struktur des R-Baums hängt von Reihenfolge des Einfügens

ab• Jedes Paar (R,O) kommt genau einmal vor• R kann mehrere umschließenden Rechtecke schneiden

Einfügen in einen R-Baum

• Ausgangspunkt: Einfügen eines neuen Knotens in einen B-Baum

• Problem hier: an welche Stelle wird (R,O) eingefügt?– Durchlaufe den R-Baum mit der Wurzel als Ausgangspunkt– Wähle an jedem inneren Knoten den Teilbaum, der

durch Einfügen von R minimal vergrößert würde– Füge (R,O) schließlich als Blatt ein– Beim Überlauf verfahre wie beim B-Baum

• Besonderheit gegenüber B-Baum:– Es gibt keine lineare Ordnung zwischen den Einträgen der

Knoten– Verschiedene Stragegien zum Spalten eines Knotens

Strategien zum Spalten eines Knotens

Minimierung derGesamtfläche

Minimierung desDurchschnitts

Suchen eines Knotens

A I E H

In welchem R liegt Q?

A I E H

Nachteil des R-Baums

• Um das richtige Blatt zu finden, sind meist mehrere Durchläufe erforderlich

• Dies gilt insbesondere dann, wenn die Suche erfolglos ist

• Abhilfe: R+-Baum

Alternative: Der R+-Baum

• Alle inneren Rechtecke sind disjunkt• Ein Objekt / umschließendes Rechteck kann in

mehreren Blättern vorkommen• Jedes Blatt repräsentiert den Teil von (R,O), der von

dem Vaterknoten umschlossen wird

R+-Baum

A E D E H

B D I B C D

E G F J

R+-Baum

A E D E H

R+-Baum

A E D E H

R+-Baum

A E D E H

R+-Baum

A E D E H

B D I B C D

R+-Baum

A E D E H

B D I B C D

R+-Baum

A E D E H

B D I B C D

E G F J

Suche im R+-Baum

A E D E H

B D I B C D

E G F J

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