Kompetenzen hinsichtlich der Methode der Fallunterscheidungen Franz Embacher Fakultät für...

Kompetenzen hinsichtlichder Methode derFallunterscheidungen

Franz Embacher

Fakultät für Mathematikder Universität Wien

Vortrag im Rahmen der 48. Jahrestagung der Gesellschaft der Didaktik der MathematikUniversität Koblenz-Landau, 14. März 2014

Hintergrund

• Mathematik-Vorkurse im Sommer (2013) an der Fachhochschule Technikum Wien(http://www.technikum-wien.at/)

• Zu den Vorgaben der FH zählt das Thema Fallunterscheidungen, angewandt auf Bruch(un)gleichungen und Betragsgleichungen.

• Besondere Schwierigkeiten der Studierenden!

• Empirische Untersuchungen mit Studierenden der Universität Wien (Sommer 2013, WS 2013/24 + anschließende Untersuchung im WS 2013/14).

1. Untersuchung (Sommer 2013, WS 2013/14)

5 Minuten Zeit

1. Untersuchung: Musterlösung

1. Untersuchung: Musterlösung

1. Untersuchung: Musterlösung

1. Untersuchung: Musterlösung

1. Untersuchung: Musterlösung

1. Untersuchung: Musterlösung

1. Untersuchung: Musterlösung

1. Untersuchung: Musterlösung

1. Untersuchung: Musterlösung

1. Untersuchung: Punkteschema

Punkteschema:

Punkte Beschreibung

0 keine adäquate Fallunterscheidung angesetzt

1 adäquate Fallunterscheidung angesetzt, maximal 1 Fall ausgeführt, Fallbedingung nicht berücksichtigt

2 adäquate Fallunterscheidung angesetzt, alle Fälle ausgeführt, Fallbedingungen nicht berücksichtigt

3 adäquate Fallunterscheidung angesetzt, 1 Fall ausgeführt, Fallbedingung berücksichtigt

4 adäquate Fallunterscheidung angesetzt, alle Fälle ausgeführt, Fallbedingungen berücksichtigt, Fälle nicht (korrekt) zu einer Gesamtlösung kombiniert .

5 Fallunterscheidungen richtig durchgeführt und (korrekt) zur Gesamtlösung kombiniert

Allfällige Rechenfehler bleiben, soweit eine Diagnose nach diesem Schema möglich ist, unberücksichtigt.

1. Untersuchung: Studierendengruppen

• 73 TeilnehmerInnen am

Vorkurs Physik/Mathematik-Teil

der Fakultät für Physik im Sommer 2013,Physik-Studierende vor dem ersten Semester [9.9.2013].

• 25 TeilnehmerInnen am

Seminar zur Unterrichtsplanung

im Rahmen des Mathematik-Lehramtsstudiums, Studierende typischerweise im 5. – 9. Semester [2.10.2013].

1. Untersuchung: Ergebnisse

0 1 2 3 4 5 und größer

0

10

20

30

40

50

60

70 65

2 2 21 1

Vorkurs Physik/Mathematik-TeilSommer 2013

Punktezahl

Häu

figke

it

1. Untersuchung: Ergebnisse

0 1 2 3 4 5 und größer

0

2

4

6

8

10

12

5

4

11

0

23

Seminar zur UnterrichtsplanungWS 2013/14

Punktezahl

Häu

figke

it

1. Untersuchung: Resümee

• Physik-Studierende vor dem ersten Semester: 1.4% lösten die Aufgabe korrekt und vollständig (5 Punkte) 89% erzielten 0 Punkte fast keine Erinnerungen an Fallunterscheidungenim Mathematikunterricht

• Mathematik-Lehramts-Studierende: 12% lösten die Aufgabe korrekt und vollständig (5 Punkte) 44% erzielten 2 Punkte („ adäquate Fallunterscheidung angesetzt, alle Fälle ausgeführt, Fallbedingungen nicht berücksichtigt“) 20% erzielten 0 Punkte Schwierigkeit Fallbedingungen?

2. Untersuchung (WS 2013/14)

Nachfolgeuntersuchung im Jänner 2014:

Krimi mit Fallunterscheidungen („Alltagssituation“) Zum Vergleich: Bruchungleichung mit Fallunterscheidungen

jeweils für die Hälfte der Studierenden.

Die Struktur der Argumentation war vorgegeben, es waren nur einige Kästchen auszufüllen.

10 Minuten Zeit

2. Untersuchung: Krimi

2. Untersuchung: Krimi

2. Untersuchung: Krimi

2. Untersuchung: Krimi

2. Untersuchung: Krimi – Lösung

2. Untersuchung: Krimi – Lösung

2. Untersuchung: Bruchungleichung

2. Untersuchung: Bruchungleichung

2. Untersuchung: Bruchungleichung

2. Untersuchung: Bruchungleichung – Lösung

2. Untersuchung: Bruchungleichung – Lösung

2. Untersuchung: Punkteschema

Punkteschema:

Punkte Beschreibung

0 keine Fallbedingung erkennbar berücksichtigt

1 1 Fallbedingung erkennbar berücksichtigt

2 2 Fallbedingungen erkennbar berücksichtigt

2. Untersuchung: Studierendengruppen

• 23 TeilnehmerInnen an der Vorlesung

Mathematische Grundlagen für das Physikstudium 2

im Rahmen des Physik-Lehrsmtsstudiums, Physik-Lehramts-Studierende, die nicht Mathematik-Lehramt studieren, im ersten Semester [13.2.2014].

• 20 TeilnehmerInnen am

Seminar zur Unterrichtsplanung

im Rahmen des Mathematik-Lehramtsstudiums, Studierende typischerweise im 5. – 9. Semester [22.1.2014].

2. Untersuchung: ErgebnisseMathematische Grundlagen für das Physikstudium 2

0 1 2 und größer0123456789

10

VO G2 Häufigkeit Krimi

0 1 2 und größer0

0.51

1.52

2.53

3.54

4.55

VO G2 Häufigkeit Bruchungleichung

2. Untersuchung: ErgebnisseMathematische Grundlagen für das Physikstudium 2

0 1 2 und größer0123456789

10

VO G2 Häufigkeit Krimi

0 1 2 und größer0

0.51

1.52

2.53

3.54

4.55

VO G2 Häufigkeit Bruchungleichung

Krimi: schlechtere Ergebnisse!

2. Untersuchung: ErgebnisseSeminar zur Unterrichtsplanung

0 1 20

1

2

3

4

5

6

SE UP Häufigkeit Krimi

0 1 201234567

SE UP Häufigkeit Bruchungle-ichung

2. Untersuchung: ErgebnisseSeminar zur Unterrichtsplanung

0 1 20

1

2

3

4

5

6

SE UP Häufigkeit Krimi

0 1 201234567

SE UP Häufigkeit Bruchungle-ichung

Krimi: schlechtere Ergebnisse!

Mögliche Gründe

• Hauptproblem ist die nichttriviale Logik der Anwendung von Fallunterscheidungen für Bruchungleichungen (wohl auch für Betrags(un)gleichungen): Im Alltagsleben gibt es kaum Situationen, in denen die Gefahr besteht, die Fallbedingung zu vergessen! Die Krimi-Aufgabenstellung wurde als unnatürlich empfunden!

• Fallunterscheidungen spielen im Mathematikunterricht eine untergeordnete Rolle. Aus dem österreichischenAHS-Oberstufen-Lehrplan: „Arbeiten mit einfachen Ungleichungen (Abschätzungen, Umformungen, Fallunterscheidungen) “.

• Fallunterscheidungen werden als Spezialmethoden für Bruchungleichungen und Betrags(un)gleichungen betrachtet, nicht als Beispiele mathematischer Argumentation.

Abhilfe?• Fallunterscheidungen verstärkt in den Mathematikunterricht

integrieren,• aber nicht beschränkt auf Bruch(un)gleichungen und

Betragsgleichungen! Beispiele:• Zahl der Lösungen einer quadratische Gleichung über den

reellen Zahlen (Fallunterscheidung nach dem Vorzeichender Diskriminante)

• Aussagen über Teilbarkeit, z.B.• Bei der Division einer Quadratzahl durch 3 ergibt sich als

Rest 0 oder 1, jedoch niemals 2.(n = k2, Fallunterscheidung nach dem Rest bei Division k:3)

• Für jede natürliche Zahl n ist 3n2 + n gerade.(Fallunterscheidung nach geradem/ungeradem n)

• …

Danke für Ihre Aufmerksamkeit!

Diese Präsentationfinden sie am Web unter

http://homepage.univie.ac.at/franz.embacher/MatheDidaktik/GDM2014/