Listen & Beweisstrategie Prolog Grundkurs WS 99/00 Christof Rumpf rumpf@uni-duesseldorf.de

Listen&

Beweisstrategie

Prolog Grundkurs WS 99/00

Christof Rumpf

rumpf@uni-duesseldorf.de

15.11.99 GK Prolog - Listen, Beweisstrategie 2

Listen Listen sind zusammengesetzte Terme, die in

eckigen Klammern eine beliebige Anzahl von Termen als Elemente haben können, die durch Kommata getrennt werden.

Die Reihenfolge der Elemente ist im Gegensatz zu Mengen relevant:

Listen sind Sequenzen, bzw. Folgen. [atom,1,X,2.0,p(Y),[],[x]]

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Rekursive Definition von Listen

Listen sind Terme. Es gibt zwei Arten von Listen: leere und nichtleere.

leere Liste: [] nichtleere Liste: [Head|Tail] wobei Head ein Term ist und Tail

eine Liste.

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Listenzerlegung

Nichtleere Listen können mit dem Listenkonstruktor in Kopf und Rest zerlegt werden.

?- [1,2,3] = [H|T]. H = 1 Kopf T = [2,3] Rest yes

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Leere Liste

Die leere Liste ist nicht zerlegbar.

Nichtleere Listen haben als Rest hinter dem letzten Listenelement die leere Liste. Das bedeutet nicht, daß die leere Liste Element in jeder nichtleeren Liste ist.

?-[a]=[H|T]. H=a, T=[], yes

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Zerlegungen von [1,2,3,4]

?- [1,2,3,4]=[A|T]. A=1, T=[2,3,4], yes

?- [1,2,3,4]=[A,B|T]. A=1, B=2, T=[3,4], yes

?- [1,2,3,4]=[A,B,C|T]. A=1, B=2, C=3, T=[4], yes

?- [1,2,3,4]=[A,B,C,D|T]. A=1, B=2, C=3, D=4, T=[], yes

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Zerlegen von Zerlegungen

?- [1,2,3,4]=[H1|T1], T1=[H2|T2], T2=[H3|T3], T3=[H4|T4].

H1=1, T1=[2,3,4] H2=2, T2=[3,4] H3=3, T3=[4] H4=4, T4=[] yes

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Listen als Strukturen

Listen sind eigentlich Strukturen, für die eine besondere Schreibweise vereinbart wurde.

Listennotation Prädikatsnotation [] [] [H|T] `.`(H,T) [1,2,3,4] `.`(1, `.`(2, `.`(3, `.`(4,

[]))))

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Listenunifikation

• Leere Liste: mit Variablen und der leeren Liste unifizierbar.

• Nichtleere Listen: mit Variablen und nichtleeren Listen unifizierbar, wobei die Anzahl der Elemente gleich sein und das i-te Element der einen mit dem i-ten Element der anderen Liste unifizierbar sein muß.

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Listenkonstruktor

Der Listenkonstruktor „|“ zerlegt nichtleere Listen in Kopf und Rest.

Eine Liste [H1|T1] unifiziert mit einer Liste L, wenn L in [H2|T2] zerlegbar ist, die Terme H1 und H2 unifizierbar sind und die Listen T1 und T2 unifizierbar sind.

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Beispiele zur Listenunifikation

?- [X,Y,Z]=[paul,klaut,bananen].

?- [katze]=[X|Y].

?- [X,Y|Z]=[anna,liebt,wein].

?- [[die,Y]|Z]=[[X,katze],[ist,weg]].

?- [a|B]=[A|b]. !!!

?- [X,anna]=[Y|[maria]].

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Rekursive Listenverarbeitung

Listen sind eine rekursiv definierte Datenstruktur. Deshalb sind Prädikate zur Listenverarbeitung meist rekursive Prädikate mit folgender Strategie:– Zerlege die Liste in Kopf und Rest.– Mach was mit dem Kopf und verarbeite den

(verkürzten) Rest rekursiv weiter.– Terminiere, wenn die Liste leer ist, oder der

aktuelle Kopf bestimmte Merkmale aufweist.

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member/2

% member(Term,Liste)

member(X,[X|_]). member(X,[_|T]):- member(X,T).

Das Prädikat member/2 ist beweisbar, wenn Term ein Element von Liste ist.

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Anfragen an member/2

?- member(2,[1,2,3]). yes ?- member(4,[1,2,3]). no ?- member([],[1,2,3]). no ?- member(2,[1,X,3]). X=2 yes

?- member(X,[1,2,3]). X=1 ->; X=2 ->; X=3 ->; no ?- member(X,Y). X=_1 Y=[_1|_2] ->; X=_1 Y=[_3,_1|_2] ->; ...

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Beweisstrategie des Interpreters

• Anfrage gilt als zu beweisende Behauptung.

• Anfrage unifiziert mit Kopf einer Klausel.

• Unifikation liefert Variableninstanzen.

• Klauselrumpf wird bewiesen.

• Alternative Lösungen über Backtracking.

• Reihenfolge der Suchraumtraversierung: top-down depth-first left-to-right.

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Anfragen

Anfragen werden als zu beweisende Behauptungen interpretiert. Der Beweis kann nur über entsprechende Klauseln in der Prolog-Datenbasis erbracht werden.

?- sterblich(X). Es gibt ein X mit der Eigenschaft sterblich.

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Head-Matching

Ein Prädikat aus einer Anfrage muß mit dem Kopf einer Klausel unifizierbar sein.

?- sterblich(sokrates).

sterblich(X):- mensch(X).

= {X=sokrates}

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Top-Down-Verfahren

Das Head-Matching wird im top-down-Verfahren durchgeführt.

Der Interpreter durchsucht die Datenbasis von oben nach unten, um passende Klauseln für einen Beweis zu finden.

vorfahr(X,Y):- et(X,Y). vorfahr(X,Y):- et(X,Z), vorfahr(Z,Y).

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Lokale Variablen

Variablen sind in Prolog immer lokale Variablen, d.h. Variablenidentität gleichnamiger Variablen existiert nur innerhalb einer Klausel.

Unifikation ermöglicht Variablenidentität über Klauselgrenzen hinweg.

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Beweis von Regeln: left-to-right

Regelrümpfe werden von links nach rechts bewiesen (left-to-right). Erst wenn ein Beweis für das i-te Prädikat im Rumpf gefunden ist, kann das i+1-te Prädikat bewiesen werden.

P0:- P1, ..., Pi, Pi+1, ..., Pn

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Backtracking: depth-first

Backtracking kann durch zwei Ursachen ausgelöst werden:– Eine alternative Lösung soll berechnet werden.– Der aktuelle Beweis ist in einer Sackgasse.

In jedem Fall geht der Interpreter zur letzten Verzweigung im Beweisbaum zurück, an der noch Alternativen offen waren (depth-first).

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Backtracking Beispiel

oma(X,Y):- et(X,Z), %1. et(Z,Y). %2. et(anna,maria). et(maria,ilse). et(maria,petra). et(petra,ulla).

?- oma(X,Y). X = anna Y = ilse ->; X = anna Y = petra ->; X = maria Y = ulla ->; no

Die Alternativen des zweiten et/2 im Rumpf von oma/2 werden vor den Alternativen des ersten et/2 berechnet.

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Suchraum-Traversierung

oma(X,Y) 1 3 et(X,Z) et(Z,Y) 2 4 et(anna,maria) et(anna,maria) et(maria,ilse) et(maria,ilse) et(maria,petra) et(maria,petra) et(petra,ulla) et(petra,ulla)

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Alternative Verfahren

top-down– bottom-up, left-corner

depth-first– breadth-first, best-first

left-to-right– right-to-left, Zufallsauswahl

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Ablaufprotokoll (Trace)

Der Prolog-Interpreter verwendet ein Ablaufprotokoll, das 4 Typen von Beweisschritten unterscheidet:– CALL Anfrage, neuer Schritt– REDO Backtracking, alternativer Schritt– EXIT Beweisschritt gelungen– FAIL Beweischritt gescheitert

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Trace von member/2 (0) CALL: member(1,[1,2,1,3]) (0) EXIT(N): member(1,[1,2,1,3]) Backtracking (0) REDO: member(1,[1,2,1,3]) (1) CALL: member(1,[2,1,3]) (2) CALL: member(1,[1,3]) (2) EXIT(N): member(1,[1,3]) (1) EXIT(N): member(1,[2,1,3]) (0) EXIT(N): member(1,[1,2,1,3]) Backtracking

(0) REDO: member(1,[1,2,1,3]) (1) REDO: member(1,[2,1,3]) (2) REDO: member(1,[1,3]) (3) CALL: member(1,[3]) (4) CALL: member(1,[]) (4) FAIL: member(1,[]) (3) FAIL: member(1,[3]) (2) FAIL: member(1,[1,3]) (1) FAIL: member(1,[2,1,3]) (0) FAIL: member(1,[1,2,1,3]) No more solutions.

EXIT(N) steht für „nondeterministic exit“, d.h. es gibt noch nicht besuchte Verzweigungen im Suchraum.

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Debugger

Das Ablaufprotokoll des Interpreters kann mit dem Debugger angesehen werden.

?- trace. Debugger einschalten. ?- notrace.Debugger ausschalten.

Bei eingeschaltetem Debugger wird nach jeder Anfrage das Debugger-Fenster eingeblendet.

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Deklarativ?

Die Beweisstrategie des Prolog-Interpreters liefert eine prozedurale Interpretation von Prolog-Programmen, da Beweise Schritt für Schritt betrachtet werden.

Trotzdem lohnt sich in der Regel eine deklarative Perspektive auf Prolog-Programme, bei der vom Beweisverfahren abstrahiert wird.

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member/2 deklarativ

Logisch/deklarative Perspektive auf member/2.– Wenn der Term X in der Liste ist,– dann ist er entweder im Kopf der Liste,– oder er ist im Rest der Liste.

member(X,[X|_]). member(X,[_|T]):- member(X,T).

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Deklarativ ist besser.

Die deklarative Logik von member/2 erfaßt ver-schiedene Fälle, für die in prozedurealen Sprachen separate Prozeduren geschrieben werden müßten.

?- member(1,[1,2,3]). Ist 1 in Liste [1,2,3]? ?- member(1,L). In welchen Listen ist 1? ?- member(X,[1,2,3]). Welche X sind in [1,2,3]? ?- member(X,L). In welchen Listen ist X?