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Ökonometrie II
Analyse der Modellstruktur
22.4.2005 Ökonometrie II 2
Fragestellungen Annahme A1: Modell ist Linearkombination der
Regressoren mit fixen Gewichten; stabile, zeitlich invariante Modellstruktur
In der Realität: Strukturbrüche, zB Ölpreisschock Gleitende Strukturänderungen, zB Nachfrage nach
Telekommunikationsdiensten Verfahren zum Identifizieren von Strukturänderungen
Testen auf eine bestimmte, vermutete Änderung Unspezifisches Testen
22.4.2005 Ökonometrie II 3
Verfahren Graphische Darstellung der lokal oder für Teilbereiche
geschätzten Regressionskoeffizienten Modellierung der vermuteten Nichtkonstanz und Test
durch Modellvergleich; Dummy-Variable Prognosetest, Chow-Test zum Testen auf Strukturbruch Unspezifisches Testen, zB mittels CUSUM-Test auf Basis
von rekursiven Residuen
22.4.2005 Ökonometrie II 4
Rekursive OLS-SchätzungSpezifiziertes Modell: y = X + u y, u: n-Vektoren; X: Ordnung nxk, : k-Vektor
Frage: Sind die Regressionskoeffizienten im gesamten Beobachtungsbereich konstant?
Rekursiv geschätzte Parameter bt: aus den Beobachtungen {(xi, Yi), i=1,...,t} mittels OLS geschätzt, wobei für t die Werte k+1, ..., n genommen werden
22.4.2005 Ökonometrie II 5
Rekursive OLS-Schätzung, Forts.
bt: OLS-Schätzer für aus Beobachtungen
{(xi, Yi), i=1,...,t}
bt = (Xt’Xt)-1 Xt’yt, t=k+1,...,n
mit Xt: Ordnung txk, yt: t-Vektor
Rekursive Beziehung zum Berechnen der bt
Var{bt} = 2 (Xt’Xt)-1
22.4.2005 Ökonometrie II 6
KonsumfunktionOLS-Anpassung an Österreichische Jahres-Daten 1954
bis 1999:
rekursiv geschätztemarginale Konsum-neigung und Kon-fidenzband (=0.95)
ˆ 1.948 0.897C Y
0.78
0.80
0.82
0.84
0.86
0.88
0.90
0.92
65 70 75 80 85 90 95
Recursive C(2) Estimates ± 2 S.E.
22.4.2005 Ökonometrie II 7
Dummy-VariableRegressor, der das Zutreffen eines bestimmen
Umstandes anzeigt; er hat den Wert 1 in Perioden, in denen der Umstand zutrifft, sonst den Wert 0
Beispiele: Konjunktur/Stagnation Zeit vor/nach Ölpreis-Schock Regionen (Stadt/Land) Saisonen des Jahres
22.4.2005 Ökonometrie II 8
Dummy-Variable für SaisonenFür die Saisonen sind definiert:
Frühlings-Dummy Q1t hat den Wert 1 in jedem ersten Quartal; analog das Sommer-Dummy (i=2), etc.
Beachte: Für jede Periode (t=1,…,n) gilt Q1t + Q2t + Q3t + Q4t = 1
1,
0,it
it
Q i tes Quartal
Q sonst
22.4.2005 Ökonometrie II 9
Modelle für QuartalsdatenDas Modell Y = + X + u berücksichtigt keine saisonalen
Effekte
Modell mit saisonspezifischem Interzept und Anstieg: Yt = + Xt + ut
Yt = + Xt + ut
Yt = + Xt + ut
Yt = + Xt + ut
Schreibweise mit Saison-Dummyvariablen Qit:Yt = iQit+ i Qit Xt + ut
oderYt = Q2tQ3tQ4t+ Xt+Q2t Xt+Q3t Xt+Q4t Xt + ut
mit , , i=2,3,4.
22.4.2005 Ökonometrie II 10
Modelle für Quartalsdaten, Forts.
Modell mit saisonspezifischem Interzept, aber gemeinsamem Anstieg
Yt = iQit+ Xt + ut = + iQit + Xt + ut
Modell mit gemeinsamem Interzept, aber saisonspezifischem Anstieg
Yt = + i Qit Xt + ut
22.4.2005 Ökonometrie II 11
Konsumfunktion (AWM)Dependent Variable: PCR_DLMethod: Least SquaresDate: 03/23/05 Time: 18:06Sample(adjusted): 1971:1 2003:4Included observations: 132 after adjusting endpoints
Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. C 0.010387 0.001032 10.06448 0.0000PYR_DL 0.757562 0.041388 18.30379 0.0000
R-squared 0.720447 Mean dependent var 0.024496Adjusted R-squared 0.718297 S.D. dependent var 0.014857S.E. of regression 0.007885 Akaike info criterion -6.832601Sum squared resid 0.008083 Schwarz criterion -6.788922Log likelihood 452.9517 F-statistic 335.0289Durbin-Watson stat 0.558338 Prob(F-statistic) 0.000000
22.4.2005 Ökonometrie II 12
Konsumfunktion (AWM), Forts.
Dependent Variable: PCR_DLMethod: Least SquaresDate: 03/23/05 Time: 18:06Sample(adjusted): 1971:1 2003:4Included observations: 132 after adjusting endpoints
Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. C 0.010666 0.001601 6.662470 0.0000PYR_DL 0.757309 0.041862 18.09057 0.0000D2 0.000151 0.001963 -0.076833 0.9389D3 0.000304 0.001963 -0.155092 0.8770D4 0.000338 0.001963 -0.325062 0.7457
R-squared 0.720703 Mean dependent var 0.024496Adjusted R-squared 0.711906 S.D. dependent var 0.014857S.E. of regression 0.007974 Akaike info criterion -6.788060Sum squared resid 0.008076 Schwarz criterion -6.678863Log likelihood 453.0120 F-statistic 81.92822Durbin-Watson stat 0.558960 Prob(F-statistic) 0.000000
22.4.2005 Ökonometrie II 13
Konsumfunktion (AWM), Forts.
Konsumfunktion mit Saison-Dummyvariablen
Ct = Q2t Q3t Q4t+ Yt + ut
Modellvergleich: Test von H0: 2 = 3 = 4 = 0 mittels F-Test:
mit p-Wert 0.99
(2 3)
30.008083 0.008076 132 5
0.03870.008076 3
RS S nF
S
22.4.2005 Ökonometrie II 14
StrukturbruchStrukturbruch: Der datengenerierende Prozess kann in
Teilbereichen des Beobachtungszeitraums durch das gleiche Modell beschrieben werden; den Teilbereichen entsprechen aber unterschiedliche Werte einiger oder aller Regressionskoeffizienten
Den Teilbereichen (Regimen) entsprechen unterschiedliche Strukturen
Strukturbruch-Analyse: Gibt es Teilbereiche mit unterschiedlichen Strukturen? Wann hat der Strukturbruch stattgefunden; Schätzung des
Zeitpunktes des Strukturbruchs (change point)
22.4.2005 Ökonometrie II 15
Chow-TestChow-Test: Zum Entscheiden, ob unterschiedliche Strukturen
vermutet werden müssen oder nicht
Voraussetzungen: 1. Teilbereiche mit konstanter Struktur können identifiziert
werden2. bekannter Zeitpunkt, zu dem der Übergang zwischen
den Regimen stattgefunden hat3. ausreichende Anzahl von Beobachtungen aus jedem
Regime, so dass das Modell an die Daten jedes einzelnen Regimes angepasst werden und die Residuen bestimmen werden können
Dummyvariable erlauben das Modellieren von Regimen
22.4.2005 Ökonometrie II 16
Chow-Test, Forts.
Vermutung: der datengenerierende Prozess läuft in mehreren Regimen ab; das Modell muss hinsichtlich seiner Koeffizienten regimespezifisch angepasst werden
Nullhypothese: die Regressionskoeffizienten sind in allen Teilbereichen des Beobachtungszeitraums die gleichen
Alternative: zu bestimmten Zeitpunkten ändern das Interzept und einige oder alle anderen Regressionskoeffizienten ihren Wert
22.4.2005 Ökonometrie II 17
Chow-Test, Forts.
Modell mit zwei Regimen:
die partitionierten Größen y, X, , und u entsprechen den Beobachtungen vor und nach dem Strukturbruch
Nullhypothese (kein Strukturbruch) H0: 1 = 2 kann
mittels F-Test überprüft werden:
S: Summe der Fehlerquadrate im Modell mit StrukturbruchSR: Summe der Fehlerquadrate im Modell unter H0
1 1 1 1
2 2 2 2
0
0
y X u
y X u
2RS S n kF
S k
22.4.2005 Ökonometrie II 18
Chow-Test, Forts.
Die F-Statistik folgt bei Zutreffen von H0 der F-Verteilung F(k,n-2k) bei normalverteilten
Störgrößen näherungsweise der Chiquadrat-Verteilung (k) bei
großem n
22.4.2005 Ökonometrie II 19
Konsumfunktion, Forts.
OLS-Anpassung des Modells mit 2 Regimen 1. 1954 bis 1971: b = 0.817, S1 = 200.68
2. 1972 bis 1999: b = 0.824, S2 = 5107.17
F-Statistik:
p-Wert: 0.004
6899.7 (200.68 5107.17) 46 46.30
200.68 5107.17 2F
22.4.2005 Ökonometrie II 20
Chow-Test für m RegimeVerallgemeinerung: m Regime
H0: 1 = … = m
F-Statistik
Si: Summe der Fehlerquadrate im Modell für i-tes Regime (i=1,…,m)
Verteilungen F(k,n-mk) oder ([m-1]k)
( 1)R ii
ii
S S n mkF
S m k
22.4.2005 Ökonometrie II 21
Chow‘s PrognosetestÄnderung der Struktur gegen Ende des Beobachtungszeitraums,
nach der Änderung p<k Beobachtungen: Der Chow-Test ist nicht anwendbar
Anpassen des Modells y = X + u an Beobachtungen t=1,…,n-p gibt OLS-Schätzer b
Prognose ŷf=Xfb für Beobachtungen t = n-p+1,…,n
Der Prognosetest prüft die Nullhypothese, dass das Modell auch im Prognosebereich gültig ist:
H0: yf = Xf + u
F-Statistik (mit Prognosefehlern ef‘)
p
kpneXXXXIe
eeF fffpf
ff
1)'('
'
1
22.4.2005 Ökonometrie II 22
Prognosetest: Berechnung von F
1. Anpassen des Modells an die n-p Beobachtungen; Summe der Fehlerquadrate SD
2. Anpassen des Modells an alle n Beobachtungen; Summe der Fehlerquadrate SD+F
3. Einsetzen in F-Statistik gibt
p
kpn
S
SSF
D
DFD
22.4.2005 Ökonometrie II 23
Konsumfunktion, Forts.
Chow‘s Prognosetest OLS-Anpassung des Modells an Daten
1. 1954 bis 1999: , SD+F = 6899.69
2. 1954 bis 1995: , SD = 4205.01
F-Statistik:
p-Wert: 0.0004
6899.69 4205.01 46 4 26.41
4205.01 4F
ˆ 1.948 0.897C Y ˆ 9.306 0.882C Y
22.4.2005 Ökonometrie II 24
Rekursive ResiduenModell: y = X + u Rekursive Residuen sind definiert als 1-Schritt Prognosefehler:
bt ist OLS-Schätzer von auf Basis der Beobachtungen {(xi, Yi), i=1,...,t}
Der (n-k)-Vektor w folgt (bei normalverteilten Störgrößen)
w ~ N(0, 2I)
Gut geeignet für Konstruktion von Tests zur Strukturstabilität
1
1, 1,...,
1 ( )t t t
t
t t t t
Y x bw t k n
x X X x
w
22.4.2005 Ökonometrie II 25
Konsumfunktion, Forts.
-30
-20
-10
0
10
20
30
40
60 65 70 75 80 85 90 95
Recursive Residuals ± 2 S.E.
Rekursive Residuen
22.4.2005 Ökonometrie II 26
Tests zur StrukturstabilitätTests, die auf Basis der rekursiven Residuen konstruiert sind:
CUSUM Test MOSUM Test CUSUM-SQ Test
CUSUM Test:
Kritische Schranken nach Brown et al. (1975)
1
1 t
t ss kW w
s
22.4.2005 Ökonometrie II 27
Konsumfunktion, Forts.
-20
-10
0
10
20
30
60 65 70 75 80 85 90 95
CUSUM 5% Significance
CUSUM Test
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