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T. Lohse, M. zur Nedden. SS 03. Menschliches Ohr. Wavelet-Trafo, Wandlung in Nervensignale. Musikinstrument, schwingendes System. Schalldruckwellen, Ausbreitung im Auditorium. Physik der Musikinstrumente. Vorbemerkung:. Physikalische Grundlagen: - PowerPoint PPT Presentation
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Physik der MusikinstrumenteT. Lohse, M. zur Nedden SS 03
Vorbemerkung:
Musikinstrument, schwingendes System
Musikinstrument, schwingendes System Schalldruckwellen,
Ausbreitung im Auditorium
Schalldruckwellen, Ausbreitung im
Auditorium
Menschliches Ohr
Wavelet-Trafo, Wandlung in
Nervensignale
Wavelet-Trafo, Wandlung in
Nervensignale
Physikalische Grundlagen:• Schwingungen / Wellen in festen / gasförmigen elastischen Medien
• Hydrodynamik
• Lineare und nichtlineare Schwingungen
Beispiele schwingender Systeme:• Saiten Geige, Gittarre, Klavier, ...• Blattfedern Rohr / Zunge in Blasinstrumenten, ...
• Membranen Pauke, Bongos, Trommelfell, ...
• Platten, Stäbe Xylophon, Gitarrendeckel, Triangel, ...
• Schalen Becken, Glocke, ...• Luft-Hohlraumresonatoren Geigenkörper, Orgelpfeife, ...• Luft-Wellenleiter Flöte, Trompete, Horn, ...
0xωx 20 0xωx 2
0
Bewegungsgleichung:
φtωitiω 00 eAeAx(t)
komplexe Lösung:
ω0: Eigenfrequenz
A = |A|·eiφ: komplexe Amplitude
φ: Phase
sinφAbcosφAa
tωsinbtωcosaφtωcosAx(t) 000
reelle (physikalische) Lösung:
Anfangsbedingungen |A|, φ bzw. a, b
1. Schwingende Systeme
1.1. Eindimensionale harmonische Schwingung
Beispiele:
D m
zm
Dω
zx20
2kin
2pot zm
2
1E Dz
2
1E
I Q
C
L
Ix
Qx
D1ˆC
mˆL
D1ˆC
mˆL
LC
1ω2
0
Helmholtz-Resonator:
L
S
PDruck SLV PDruck
SLV Luftdichteρ LuftdruckPa
Luftdichteρ LuftdruckPa
S
cVLω PPx 2
0a S
cVLω PPx 2
0a
Akustik)für (i.a.h adiabatisc1,4C
C relevant)nicht (i.a. isotherm1
γ
ρ
γPc
V
P
a Schallgeschwindigkeit
0xωx2αx 20 0xωx2αx 2
0 Bewegungsgleichung:
1.2. Dämpfung
α: Dämpfungskonstante
α < ω0: Schwingfall(musikalischer Normalfall)
α > ω0: Kriechfall
α = ω0: aperiodischerGrenzfall
αtetb1Ax(t)
20
2
tλtλ
ωααλ
ebeax(t)
00
220d
dαt
ωαfür ω αωω
φtωcoseAx(t)
Beispiele:
2mγα m
Dω zx 20 2m
γα mDω zx 2
0
γˆR D1ˆC mˆL γˆR D1ˆC mˆL
Ix
Qx
2L
Rα
LC
1ω2
0
D
γ
m
z
zγFReibung
I
L R
Q
C
Musikinstrumente: „Kleine Dämpfung“ α ω0
quasi-statische Schwingung / kein Energieverlust während T = 2π / ω
Energieverlust bei kleiner Dämpfung:
T
2
T
2
Txm
2
1xD
2
1tE
t2α2
T02t2α2
T
2 eA2
1φtωcoseAx
const. ½t2α2t2α2
0
2
T
2 em
DA
2
1eωA
2
1x
Dτt2
TeDA
2
1tE
2α
1τD Dämpfungszeit:
φtωcoseAx(t) 0tα
#Schwingungen in τD: Q2π
1
2α
ω
2π
1
2π
ωτ
T
τN 00DD
2α
ωQ 0Güte:
102α
ωQ 0 Güte:
Impulsanregung
Beispiel:
T37% = Q/π = 2τD
T14% = Q/2π = 4τD
1.3. Erzwungene Schwingungen
Bewegungsgleichung: f(t)xωx2αx 20 f(t)xωx2αx 2
0 f(t): externe Anregung
D
γ m
zF(t)
m
F(t)f(t)
2m
γα
m
Dω zx 2
0
m
F(t)f(t)
2m
γα
m
Dω zx 2
0
Musikinstrument: f(t) periodisch
Fourierzerlegung: f(t) harmonisch e
m
Feff(t) tiω0tiω
0 em
Feff(t) tiω0tiω
0
1.3.1. Übersicht
Lösung: x(t) = xh(t) + xs(t)
f(t)xωx2αx 20 f(t)xωx2αx 2
0
xh(t):
xs(t):
• Einschwingvorgang• gedämpft • Lösung der homogenen Gleichung ( f 0 )• festgelegt durch Anfangsbedingungen
0txlim ht
• Asymptotische, stabile Schwingung für • spezielle Lösung der inhomogenen Gleichung• unabhängig von Anfangsbedingungen• festgelegt durch ω0, α, f0, ω
Dτt
1.3.2. Gleichgewichtsschwingung ( t )
ωidtd ωidtd
tiω0 extx tiω
0 extx tiω0
20 efxωx2αx tiω
020 efxωx2αx
0020
2 fxωω2iω 0020
2 fxωω2iω
20
20
0
220
00
ωωiα2ω
fωv
α2iωωω
fx
20
20
0
220
00
ωωiα2ω
fωv
α2iωωω
fx
Komplexe...
Amplitude: x0 = | x0|·eiφ
Geschwindigkeit: v0 = iω·x0
Beschleunigung: a0 = iω·v0 = -ω2 x0
Definitionen:
(mechanische) Impedanz:
mω
ωωiγ
v
FZ
20
2
0
0 m
ω
ωωiγ
v
FZ
20
2
0
0
m2αγ mfF 00
20
20
0 ωωiα2ω
fωv
2
02
00 ωωiα2ω
fωv
Admittanz (bzw. Mobilität): Z1Y Z1Y
Widerstand (dissipativer Teil): γZReR γZReR
Reaktanz (reaktiver Teil): ωD-mωZImX ωD-mωZImX
Definitionen:
Resonanzamplitude:
αω2iωω
fx
220
00
αω2iωω
fx
220
00
2
πφ
α2ω
fx
α2iω
fωωx x
R0
0R
0
000R
2
πφ
α2ω
fx
α2iω
fωωx x
R0
0R
0
000R
Gleichgewichtsamplitude:
0φ ω
fx
ω
f 0ω x x
G20
0G
20
00G
0φ ω
fx
ω
f 0ω x x
G20
0G
20
00G
Q2α
ω
x
x 0
G
R Q2α
ω
x
x 0
G
R Resonanzverstärkung: = Güte
Definitionen: Dämpfung in Dezibel (dB)
dB |x|
|x|lg10 :|x||x|
2R
222
R
Dämpfung
2R
2RRR
2R
2RRR
2R
2RRR
|x|8
1|x| ; |x|
8
1|x| dB 9
|x|4
1|x| ; |x|
2
1|x| dB 6
|x|2
1|x| ; |x|
2
1|x| dB 3
2R
2RRR
2R
2RRR
2R
2RRR
|x|8
1|x| ; |x|
8
1|x| dB 9
|x|4
1|x| ; |x|
2
1|x| dB 6
|x|2
1|x| ; |x|
2
1|x| dB 3
Bemerkung: Analog für andere Größen (v, a, ...) und andere Bezugspunkte
-1
-0.75
-0.5
-0.25
0
0 0.5 1 1.5 2 2.5
0
5
10
15
20
0ωω
π
φ-φ f
|x|
|x|
G
0
Q1
0,25
0,700
3 dB1/Q
Q
4
1,43
Resonanzkurve und Phasenschub:Resonanz-dominiert
Feder-dominiert
Masse-dominiert
-1
-0.75
-0.5
-0.25
0
0 0.5 1 1.5 2 2.5
0
5
10
15
20
0ωω
π
φ-φ f
|x|
|x|
G
0
Q1
0,25
0,700
3 dB1/Q
Q
4
1,43
Resonanzkurve und Phasenschub:
ω 0 Steigung ω Steigung
|x0| const. 0 dB/Oktave 1/ω2 -12 dB/Oktave
|v0| ω 6 dB/Oktave 1/ω -6 dB/Oktave
|a0| ω2 12 dB/Oktave const. -0 dB/Oktave
1 Oktave Faktor 2 in ω [ ω , 2ω ]
ω 0 Steigung ω Steigung
|x0| const. 0 dB/Oktave 1/ω2 -12 dB/Oktave
|v0| ω 6 dB/Oktave 1/ω -6 dB/Oktave
|a0| ω2 12 dB/Oktave const. -0 dB/Oktave
1 Oktave Faktor 2 in ω [ ω , 2ω ]
-2.5
-1.5
-0.5
0.5
1.5
2.5
0 0.5 1 1.5 2 2.5
|Z|
R = Re ZX
= Im
Z
mD
Z
0ωω
mω
ωωiγ
Y
1Z
20
2 m
ω
ωωiγ
Y
1Z
20
2
Darstellungen von Impedanz und Admittanz
-2.5
-1.5
-0.5
0.5
1.5
2.5
3.5
0 0.5 1 1.5 2 2.5
G = Re Y
B = Im Y
|Y|YmD
0ωω
Q = 4Q = 4
-2.5
-1.5
-0.5
0.5
1.5
2.5
0 1 2 3 4
Nyquist-Diagramm
ω
Q
ω = ω0ω 0
ω
BmD
GmD
1.3.3. Der Einschwingvorgang
von ω+ω0
mit |ω-ω0|
Form: Anfangsbedingungen (Anregung)
Einschwingdauer: einige τD
Komponenten: Schwebung tiωtiω e,e 0
Q = 10Q = 100ω
ω0ω
ω
0,20,2
0,80,8
1,01,0
1,21,2
2,02,0
4,04,0
Plötzliche sin-Anregung ab t=0Plötzliche sin-Anregung ab t=0
1.3.4. Elektrisches Äquivalent
mechanische Parallelschaltung elektrische Serienschaltung
mechanische Serienschaltung elektrische Parallelschaltung
vBvA
v1 = vB-vA
v2 = v1
I1 I2 = I1
vCvA
vB
v1 = vB-vA v2 = vC-vB
I1
I2
I II = I1+I2
v = vC-vA = v1+v2
Kraft elektrische Spannung
Geschwindigkeitsverläufe
KräftegleichgewichteAnalysiere im Einzelfall:
mvm
γ
xγ
D
xD
LIL
IR
R
CQC
+ -
UILˆ vmF
LL
mm
UILˆ vmF
LL
mm
UIRˆ xmF
RR
γγ
UIRˆ xmF
RR
γγ
UQC
1ˆ
xDF
CC
DD
UQC
1ˆ
xDF
CC
DD
Beispiel 1:
D
γ m
xF(t)
vFeder = vDämpfer = vMassevFeder = vDämpfer = vMasse
F = FMasse + FDämpfer + FFederF = FMasse + FDämpfer + FFeder
~ xˆI
γˆR mˆL
D1ˆC
tFˆtU
Beispiel 2: v = vFeder + vMasse , vFeder = vDämpfer v = vFeder + vMasse , vFeder = vDämpfer
F = FMasse = FDämpfer + FFederF = FMasse = FDämpfer + FFeder
x
m
D
γ
F(t)xm
v
~γ
m
D1
tF Federv Massev
Beispiel 3: v = vMasse + vDämpfer , vFeder = vMasse v = vMasse + vDämpfer , vFeder = vMasse
F = FDämpfer = FMasse + FFederF = FDämpfer = FMasse + FFeder
γ
v
~m
D1
tF Federv Dämpferv
m
xm
D
γ
F(t)
x
1.4. Gekoppelte Schwingungen
Zerlegung:
•stabile Schwingungskonfigurationen: (Eigen-)Moden
•Eine Eigenfrequenz pro Mode
•eine Mode pro Freiheitsgrad
1.4.1. Beispiel: Zwei gekoppelte Schwinger
Da
γa
ma
xa
DK
Db
γb
mb
xb
La
RbCKRa
CbCa Lb
Ia Ib
b
K2bK
a
K2aK
ba,
Kba,2ba,
ba,
ba,ba,
m
Dω
m
Dω
m
DDω
2m
γα
0xωxωx2αx
0xωxωx2αx
a2bKb
2bbbb
b2aKa
2aaaa
0xωxωx2αx
0xωxωx2αx
a2bKb
2bbbb
b2aKa
2aaaa
Bewegungsgleichung:
a
2bKb
2b
2
b2aKa
2a
2
xωxωω
xωxωω
a2bKb
2b
2
b2aKa
2a
2
xωxωω
xωxωω
0xωxωxω
0xωxωxω
a2bKb
2bb
2
b2aKa
2aa
2
0xωxωxω
0xωxωxω
a2bKb
2bb
2
b2aKa
2aa
2
ωidtd ωidtd
0xωxωx
0xωxωx
a2bKb
2bb
b2aKa
2aa
0xωxωx
0xωxωx
a2bKb
2bb
b2aKa
2aa
Musikinstrumente: kleine Dämpfung
Vereinfachte Diskussion für αa = αb = 0
Ansatz: xa , xb eiωt
ωωωωωω 2bK
2aK
2b
22a
2 ωωωωωω 2bK
2aK
2b
22a
2
Lösung: Zwei Eigenfrequenzen
2bK
2aK
22b
2a
2b
2a2
1,2 ωω4
ωω
2
ωωω
2bK
2aK
22b
2a
2b
2a2
1,2 ωω4
ωω
2
ωωω
Diskussion:
keine Kopplung ωa,b K = 0, ω1,2 = ωa,b
Minimale Frequenzaufspaltung:
bei ωa = ωba1,2 ωK1ω 0
0.5
1
1.5
2
0 0.5 1 1.5 2
a
b
ω
ω
aω
ω0.4
ωω
ωωK
ba
bKaK
bω2ω
1ω
aωK1
K1
Kopplung 0 ωb/ωa 0: ω1ωb , ω2ωa
ωb/ωa : ω1ωa , ω2ωb
1.4.2. Erzwungene gekoppelte Schwingungen
Einfaches Beispiel (Dämpfung vernachlässigt):
D1
m1
x1
D2
m2
x2F0·eiωt
m1
1/D2
1/D1
m2~ F0·eiωt
1x 2x
Anwendungen:
m2 als Tilger
Bass-Reflex-Lautsprecher
Gitarre mit fixierten Rippen
Anwendungen:
m2 als Tilger
Bass-Reflex-Lautsprecher
Gitarre mit fixierten Rippen
Nach Einschwingen: Nach Einschwingen:
ext x
ext xtωi
22
tωi11
0
0
Dämpfung vernachlässigt reell00 21 x, x
D1
m1
x1
D2
m2
x2F0·eiωt
ext x
ext xtωi
22
tωi11
0
0
ext x
ext xtωi
22
tωi11
0
0
:ω ,ω 21 Resonanzen
Antiresonanz(x10
= 0, x20 = max)
2
2
0A
m
D
ωω2
Konfigurationen (Moden): (Richtungen bezüglich F0 )
ω = ω1 – ε: ω = ω1 + ε:
ω = ω2 – ε: ω = ω2 + ε:
ω = ωA: ω = ωA:
01x02x
210 D
1
D
1F
1
0
D
F
2
0
D
F-
Theorem: In einem (beliebigen) gekoppelten System seien ω1, ω2 zwei aufeinanderfolgende Resonanzfrequenzen. Das System werde im Punkt P1 angeregt und im Punkt P2 gemessen.
Sind die Schwingungsamplituden in P2 relativ zu P1 in beiden Moden
ω = ω1 – ε: ω = ω1 + ε:
ω = ω2 – ε: ω = ω2 + ε:
ω = ωA: ω = ωA:
D1
m1
x1
D2
m2
x2F0·eiωt
• entgegengesetzt |x20| durchläuft zwischen ω1, ω2 ein Minimum
• gleichgerichtet |x20| durchläuft zwischen ω1, ω2 eine Antiresonanz
Theorem: In einem (beliebigen) gekoppelten System seien ω1, ω2 zwei aufeinanderfolgende Resonanzfrequenzen. Das System werde im Punkt P1 angeregt und im Punkt P2 gemessen.
Sind die Schwingungsamplituden in P2 relativ zu P1 in beiden Moden
• entgegengesetzt |x20| durchläuft zwischen ω1, ω2 ein Minimum
• gleichgerichtet |x20| durchläuft zwischen ω1, ω2 eine Antiresonanz
Folgerung: P2 = P1 Der Treiberpunkt selbst durchläuft mit wachsender Frequenz eine Folge abwechselnder Resonanzen und Antiresonanzen.
Beispiel:
2-D-System
TreiberpunktTreiberpunkt TransferpunktTransferpunkt
1.4.3. Charakterisierung des Frequenzgangs
P1: Erreger
P2: Sensor
Wichtiger Spezialfall: P1 = P2
tF
ta
tv
tx
Auslenkung
Geschwindigkeit
Beschleunigung
Impedanzkopf
Messverfahren:
Impedanzkopf:a,F
Nahfeld Schallwellen (Mikrophon)mechanische Schreiber
:v dtta
holographische Interferometrie:x
dttv
Charakteristische Frequenzgangs-Messgrößen:
Nachgiebigkeit (Compliance) KapazitätU
Qˆ
F
x
Mobilität, Admittanz LeitwertU
Iˆ
F
v
Acceleranz 1 / InduktivitätU
Iˆ
F
a
Steifigkeit 1 / KapazitätQ
Uˆ
x
F
Impedanz ImpedanzI
Uˆ
v
F
Dynamische Masse InduktivitätI
Uˆ
a
F
P1 = P2: Präfix „Treiber(punkt)-“
P1 P2: Präfix „Transfer-“
Beispiel:
D1
m1
x1
D2
m2
x2F0·eiωt
Treiber-Mobilität:
Transfer-Mobilität:
F
xY 1
11
F
xY 2
21
Asymptotisches Verhalten: ωmin: kleinste Resonanzfrequenz
ωmin: größte Resonanzfrequenz
ω < ωmin 0 6 12 0 -6 -12
ω > ωmax -12 -6 0 12 6 0
ω < ωmin 0 6 12 0 -6 -12
ω > ωmax -12 -6 0 12 6 0
F
xAsymp-totischerBereich F
vF
a
x
F
v
F
a
F
Nachgieb
igkeit
Mobilit
ät
Accele
ranz
Steifig
keit
Imped
anz
Dynamisc
he Mass
e
( Einheit: dB / Oktave )
Asymptotisches Verhalten: ωmin: kleinste Resonanzfrequenz
ωmin: größte Resonanzfrequenz
ω < ωmin 0 6 12 0 -6 -12
ω > ωmax -12 -6 0 12 6 0
ω < ωmin 0 6 12 0 -6 -12
ω > ωmax -12 -6 0 12 6 0
F
xAsymp-totischerBereich F
vF
a
x
F
v
F
a
F
Nachgieb
igkeit
Mobilit
ät
Accele
ranz
Steifig
keit
Imped
anz
Dynamisc
he Mass
e
( Einheit: dB / Oktave )
Beispiel: Transfer-Mobilität einer leicht gedämpften Struktur mit 4 Schwingungsmoden
ω1 ω2 ω3 ω4
Antiresonanz
6 dB / Oktave
-6 dB / Oktave
bleibt gleich klappt um
Schwingungsrichtung am Messpunkt
relativ zum Treiberpunkt ...
Darstellung der (i.a. komplexen) charakteristischen Parameter:
z. B. Impedanz: Z = |Z|eiφ = R + i X
|Z|(ω) und φ(ω)
Re Z(ω) und Im Z(ω)
Nyquist-Diagramme Im
Re
ω
ωR
Nachgiebigkeit x / F
Re
ω
ωR
Mobilität v / F
Im Im
Reω
ωR
Acceleranz a / F
, z.B. für einzelne Resonanz:
1.5. Nichtlineare Schwingungen
F(t)xDxγxm F(t)xDxγxm Lineare Systeme: ...
• Superpositionsprinzip
• Eigenfrequenzen unabhängig von Moden-Amplituden
• komplexe Schreibweisen geeignet
x Lösung zu F
x' Lösung zu F' x + x' Lösung zu F + F'
Realistische Systeme: Nichtlineare Beiträge
a) Grenzen des Hookeschen Gesetzes
b) Turbulenz
c) Bogenkraft auf Saite = f (Saitenposition,Relativgeschwindigkeit)
d) Strömung in Rohrventilen (Blasinstrumente) = f (Druckabfall)
D(x)D )xγ(x,γ
t),xF(x,F Konsequenzen:
a) ω0 = ω0( x0 )
b) Hysterese-Verhalten in ( x0 , ω0 ) –Diagramm
c) Bifurkationen und chaotisches Verhalten (seltsame Attraktoren) (d.h., System schwingt sich nicht immer auf periodische Bewegung ein!)
1.5.1. Analytische Methoden
t),xg(x,xωx 20 t),xg(x,xωx 20
Bewegungsgleichung:
m
xγ-Fg ,
m
Dω 2
0
t),xF(x,xDxxx,γxm t),xF(x,xDxxx,γxm
φ , x0 φ , x0
a) Spezialfall: F periodisch, z.B. F = F0·cos(ωt)
Störungsrechnung bei kleinen Nichtlinearitäten
t),xF(x,xDxxx,γxm t),xF(x,xDxxx,γxm
Ansatz:
φωtcosωxx
ωtBsinωtAcosxx,γγ φωtsinωxx
ωtcosFF φωtcosxx
20
0
00
Fourierentwicklung
EinsetzenEinsetzen
KoeffizientenvergleichKoeffizientenvergleich
b) Allgemeines Verfahren:
φtωcosωatx
φtωsin a t x:0g
00
0
t),xg(x,xωx 20 t),xg(x,xωx 20
φ a, 0x
0x
tφtωcosωtatx
tφtωsin ta t x:0g
00
0
0φ ,0a 0x
0x
wobei:
tφtωsinta
1
ω
gφ
tφtωcos ω
g a
00
00
Beweis: Einsetzen und Nachrechnen!
tφtωcosωtatx
tφtωsin ta t x
00
0
tφtωsinta
1
ω
gφ
tφtωcos ω
g a
00
00
&
noch nichts gewonnen (Gesetz der konstanten Mühsal)
Folge: τadτ0ata , φωφtωdt
dtω
t
0
00
Näherung: -Terme in g „klein“ (inklusive γ)
a, φ const. während Periode
x x,
0ω2πT
tφtφdt
d , tata
dt
d
dt tφT
1tφ ,dt ta
T
1ta
2Tt
2Tt
2Tt
2Tt
Beispiel: Schwach gedämpfter,freier, linearer Oszillator
x2αxm
γg 0F x2αx
m
γg 0F
D
γ=2mα
m
x
a a φtωcosω
g0
0
φtωcosxω
2α0
0
φtωcosωaω
2α0
20
0
2
1ωa
ω
2α0
0
aα aα φ φ φtωsinωa
g0
0
φtωsina
x2α 0
φtωsinφtωcos2α 00 00
Also: 0φtωsine0at x 0tα 0φtωsine0at x 0
tα Korrekt für ! (vgl. 1.2.)
0ωα
1.5.2. Der Duffing-Oszillator (Paradebeispiel für Chaos und seltsame Attraktoren)
Physikalischer Ansatz: D D + β m x2 (nicht-lineare Dämpfung)
d.h.
βxx2αf(t)g(t) 3 βxx2αf(t)g(t) 3
oft: ωtcosf(t) ωtcosf(t)
Analytisches Verfahren
• Frequenz hängt von Amplitude ab
• Hysterese bei großen Amplituden
( f (t) = f0·cos(ωt) , α 0 )
βxx2αf(t)g(t)xωx 320 βxx2αf(t)g(t)xωx 32
0 Störungsrechnung:
Ansatz:
t3ωcosωtcosaωtcosa x
ωtcosωax ωtcosa x
41
433333
2
t3ωcosωtcosaωtcosa x ωtcosωax ωtcosa x
41
433333
2
Koeffizientenvergleich der cos(ωt)-Terme:
aω aβfaωaω 343
020
2 aω aβfaωaω 343
020
2
Freier Oszillator ( f0 = 0 ):
aβωaω 2432
0Eigen aβωaω 2432
0Eigen
1.5.3. Selbsterregung: Van-der-Pol-Oszillator
Physikalischer Ansatz: 2α α·( 1 – x2 ) (nicht-lineare Dämpfung)
d.h.
x1xα)xg(x,xωx
220
:OszillatorPol derVan
x1xα)xg(x,xωx
220
:OszillatorPol derVan
Konstanter äußerer Energiefluss (Luftströmung, Bogenstrich, ...)
Musikinstrument Modulation des Energieflusses
Nichtlineare Rückkopplung selbstangeregte stabile Schwingung
Dämpfung
Wachstum
1|x|
1|x|
für
für
0
0x1α 2
• x 0 ist stets Lösung, aber nicht stabil
• geeignete α Grenzzyklen
• Grenzzyklen fast harmonisch, mit anharmonischen Beimischungen
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
0 5 10 15 20
Van-der-Pol-Oszillator
tω0
0ω1,5α
x
x
1.5.4. Moden-Stabilisierung
selbsterregende Multi-Moden-Systeme ...
mit annähernd linearem Moden-Verhalten ...
und mit einigermaßen harmonischen Frequenzverhältnissen(Anharmonizitäten störende niederfrequente Schwebungen)
Musikinstrumente sind ...
ω1 ω2
Selbstadjustierung der Eigenfrequenzen notwendig
Selbststabilisierung relativer Phasen notwendig
Musikinstrumente erfordern periodisches, schwebungsfreies Signal:
Moden-Einrastung(mode-locking)
Notwendige Voraussetzung hierfür:
Starke nichtlineare Modenkopplung
... treibt die ωm-Mode
... treibt die ωn-Mode
tωcosaa
φtωcosaφtωcosac
xxc
m1n
mmn
1nmmm
mnnn1nm,
1nm
mn1nm,
tωcosaatωcostωnωmcosaa
tωncostω1mcosaa
φtωcosaφtωcosac
xxc
nnm
1mnnmn
nm
1mn
mnnm
1mn
nmmm
1mnnnn1,m
nm
1mnn1,m
Beispiel:
Der Term ...
Der Term ...
Nichtlineare Kopplungsterme:
Moden: ωn , ωm
Amplituden: an , am
n·ωm m·ωn
n, m I fast harmonisch:
qm
qp,
pnqp, xxc
1
Wann ist ein Musikinstrument gut ?( möglichst schnelles Erreichen eines periodischen Signals )
Wann ist ein Musikinstrument gut ?( möglichst schnelles Erreichen eines periodischen Signals )
Inharmonizitäten der natürlichen Frequenzen möglichst klein
Fundamentalmode ( n = 1 ) möglichst stark an nichtlinearer Kopplung beteiligt
Amplituden der gekoppelten Moden ( an , am ) möglichst groß
Nichtlinearität der Kopplungsfunktion möglichst groß( Kopplungskoeffizienten cm-1,n , cm,n-1 möglichst groß )
Koeffizienten n, m der gekoppelten Moden möglichst klein( Kopplungsamplituden möglichst groß )1n
mmn
nm
1mn aa,aa
2. Saiten und Stäbe
2.1. Transversale Saitenschwingungen2.1.1. Wellengleichung xy(x,t)
unendliche homogene SaiteMassendichte:
Spannung: T = Kraft von Segment zu Segment
Kleine Auslenkung ( lineare Näherung ):
constdx
dmμ
1xy
θsinθtanθx
y θsinθtanθx
y
ds θ1dscosθdsdx 2 Ο ds θ1dscosθdsdx 2 Οx x + dx
dsdy
T
T
θ(x)θ(x+dx)dFy
dx x
θTdxxθT xθTdF y
dx x
θTdxxθT xθTdF y
dx t
yμds
t
yμ
t
ym
2
2
2
2
2
2
dx t
yμds
t
yμ
t
ym
2
2
2
2
2
2
μ
Tc ;
x
yc
t
y
2
22
2
2
μ
Tc ;
x
yc
t
y
2
22
2
2
„Wellengleichung“
Allgemeine Lösung (nach d´Alembert)c
f1
cf2
y(x,t) = f1( c t – x )
+ f2( c t – x )
= Superposition von rechts/links-laufenden Wellenpaketen
x
yc
t
y
2
22
2
2
x
yc
t
y
2
22
2
2
Fouriertransformation Zerlegung in harmonische (ebene) Wellen
komplex B,A ; BeAetx,y xktωixktωi komplex B,A ; BeAetx,y xktωixktωi
( Re(y) = physikalischer Teil )
wobei:
λ
2πckckωω
λ
2πckckωω Dispersionsrelation
( hier linear, ω k )
aBA
BeAetx,y xktωixktωi
aBA
BeAetx,y xktωixktωi
Spezialfall: Stehende Wellen
Phasen: φφψ φφφ
eaB eaA
BA21
BA21
iφiφ BA
φφψ φφφ
eaB eaA
BA21
BA21
iφiφ BA
φxkcoseC eeeeea
eeeeeatx,y
tωie2aC
φixkiφixki-ψtωi
φixkiφixkitωi
ψi
BA
φxkcoseC eeeeea
eeeeeatx,y
tωie2aC
φixkiφixki-ψtωi
φixkiφixkitωi
ψi
BA
Reelle Schreibweise: tx,yω tx,y
φxkcosψtωsinωCtx,y
φxkcosψtωcos C tx,y
2
tx,yω tx,y
φxkcosψtωsinωCtx,y
φxkcosψtωcos C tx,y
2
tx,yω tx,y
φxkcosψtωsinωCtx,y
φxkcosψtωcos C tx,y
2
tx,yω tx,y
φxkcosψtωsinωCtx,y
φxkcosψtωcos C tx,y
2
Energie der stehenden Welle:
dxφxkcosψtωcosCωμdx yωμ
y~dy~dxωμy~dydxμy~dy~dFdE
22222122
21
y
0
2y
0y~
y
0
ypot
dxφxkcosψtωsinCωμ ydmdE 2222212
21
kin
dxφxkcosCωμdEdEdE 22221
kinpot dxφxkcosCωμdEdEdE 22221
kinpot
Energie des Saitenstücks der Länge :2λnL
φxkcos 212
2λ CLμωLE
2241 CLμωLE
2241
2.1.2. Impedanz (Verwende komplexe Schreibweise!)
Definition: Charakteristische Impedanz bzw. Wellenwiderstand cμμT
c
T Z0 cμμT
c
T Z0
Bemerkung: • Z0 ist reell ( verlustfreie Saite )
• Charakteristische Admittanz Z1Y 00 Z1Y 00
x
y T
θ
horizontaleFixierung ( x = 0 )
u(t)
f(t)
Definition: Eingangsimpedanz u
f Zin
u
f Zin
• Geschwindigkeit des Eingangs-Aufhängepunktes:
• Externe Treiberkraft (kompensiert Vertikalkomponente vonT)
t0,xytu
t0,xyTsinθTtf
x
y T
θ
horizontaleFixierung ( x = 0 )
u(t)
f(t)
u
f Zin
u
f Zin
xktωieatx,y
Beispiel: Nach rechts unenedliche Saite nur rechtslaufende Welle
tωieaωit0,ytu
tωieakTit0,ytf T
0in Zc
T
ω
kT Z 0in Z
c
T
ω
kT Z
x
yT
θ
horizontaleFixierung ( x = 0 )
u(t)
f(t)
Definition: Abschlussimpedanz
u
f Zab
u
f Zab
Zab physikalische Eigenschaften der nachgiebigen Aufhängung
(z.B. Elastizität & innere Reibung des Stegs der Geige,
Energietransfer auf Klangkörper der Geige etc.)
Reflexion am Abschlusspunkt:
• Einlaufend: a ei (
ωt
–
kx
)
• reflektiert: R·a ei (
ωt
+
kx
)
y(x,t) = a ei ω
t ( e
– i
kx
+ R·ei
kx
) R1eaTkit0,yTtf
R1eaωit0,ytutωi
tωi
R1
R1Z
R1
R1
ω
kT
u
f Z 0ab
R1
R1Z
R1
R1
ω
kT
u
f Z 0ab
ZZ
ZZR
ab0
ab0
ZZ
ZZR
ab0
ab0
Reflexionskoeffizient:
• fixiertes Ende: y(0,t) = 0 u = 0 Zab = R = –1
• offenes Ende: f = 0 Zab = 0 R = +1
Beispiel: Eingangsimpedanz der abgeschlossenen Saite
Zab
RSaite: Z0
Lx = 0
xkiLk2ixkitωi
Lk2iLki
Lki
xktωixktωi
eeReAey
eA
B
eA
eBR
BeAetx,y
Lk2itωi
Lk2itωi
Re1eATkit0,yTtf
Re1eAωit0,ytu
Re1
Re1Z
u
f Z
Lk2i
Lk2i
0in
Re1
Re1Z
u
f Z
Lk2i
Lk2i
0in
• fixiertes Ende: R = –1 Zin = – i Z0 cot ( k L ) (rein reaktiv)
Resonanzen: Zin = 0 k L = ( n – ½ ) π λn = 2L / ( n – ½ )
Antiresonanzen: Zin = k L = n π λn = 2L / n
• offenes Ende: R = +1 Zin = i Z0 tan ( k L ) (rein
reaktiv)Resonanzen, Antiresonanzen vertauscht
• angepasster Abschluss: R = 0 Zin = Z0 = Zab
• fixiertes Ende: R = –1 Zin = – i Z0 cot ( k L ) (rein reaktiv)
Resonanzen: Zin = 0 k L = ( n – ½ ) π λn = 2L / ( n – ½ )
Antiresonanzen: Zin = k L = n π λn = 2L / n
• offenes Ende: R = +1 Zin = i Z0 tan ( k L ) (rein
reaktiv)Resonanzen, Antiresonanzen vertauscht
• angepasster Abschluss: R = 0 Zin = Z0 = Zab
2.1.3. Eigenschwingungen der endlichen Saite
a) fixierte / offene Enden
fix - fix
offen - offen offen - fix
fix - offen
L
cπω
nL
cπω
n
2Lλ
1
n
n
harmonischharmonisch
2L
cπω
nL
cπω
n
2Lλ
1
21
n
21n
nicht ganz harmonisch
nicht ganz harmonisch
klingt eine Oktave tieferklingt eine Oktave tiefer
x
yT
θ
Zab: horizontale
Halterung ( x = L )
u(t)
f(t)
Z0
Fixierung bei x = 0
b) Nachgiebiges (verlustfreies) Ende
xksineA2ieBeAey tωi
AB0t)y(0,
xkixkitωi
xksineA2ieBeAey tωi
AB0t)y(0,
xkixkitωi
LkcoseATk2itL,yTtf
LksineAω2tL,ytutωi
tωi
Lkcot
Zω
Tki
u
f Z
0
ab
Lkcot
Zω
Tki
u
f Z
0
ab
i) Massenartiger Abschluss
m
uZ
m
fuωiu ab Lωiˆmωi Z indab Lωiˆmωi Z indab
Also: LkLμ
m
cμi
mcki Lkcot
x
y
u(t)
Z0 = μ c
m
umf Saitenmasse: M = μ L
0
L
LkcotZi Z 0ab LkcotZi Z 0ab
LkM
m Lkcot Lk
M
m Lkcot
ii) Federartiger Abschluss
D
fωitL,yωitL,yu
Cωi
1ˆ
ωi
D
u
f Zab
Cωi
1ˆ
ωi
D
u
f Zab
Also: Lk
1
Zc
LD Lkcot
0
Lk
1
Zc
LD Lkcot
0
LkLμ
m
cμi
mcki Lkcot
x
y
u(t)Z0
0 L
tL,yDf D/2
D/2
LkcotZi Z 0ab LkcotZi Z 0ab
Zkc
D
Zωi
D Lkcot
002
-10
-5
0
5
10
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3π
Lk
LkM
m LkM
m
Lk
1
Zc
LD
0
Lk
1
Zc
LD
0
Lkcot Lkcot
k0
k1
k2
k1k2 k3
massenartig: harmonisch
angehobene FrequenzLπnk :0n
Lπnk :n
n
n
federartig: harmonisch
abgesenkte Frequenz
LπnkLπn :0n
LπnLπnk :n
n21
21
n
2.1.3. Dämpfung
a) Luftdämpfung:
b) Interne Dämpfung
c) Energietransfer zur Halterung (Brücke, Resonator)
ν
0ν
νrρ
rρ τ
2
1
ν
0ν
νrρ
rρ τ
2
1
ν = Frequenz
ρ = Saitendichte
r = Saitenradius
ν = Frequenz
ρ = Saitendichte
r = Saitenradius
EIm
ERe
νπ
1 τ2
EIm
ERe
νπ
1 τ2 E( ν, T, ...) = komplexer Elestizitätsmodul
G
1
νL8μ
1 τ
23 G
1
νL8μ
1 τ
23 G = Re( Y )
Y = Admittanz der Stützstruktur der Saite
τ
1
τ
1
τ
1
τ
1
321
τ
1
τ
1
τ
1
τ
1
321
x,0y x,0y
Anfangsauslenkung
tx,y tx,y
freie Saitenschwingung
2.1.4. Anregung
a) Einmalige Auslenkung bei t = 0 (allgemeines Verfahren):
Fourier-Analyse
Fourier-Analyse
Fourier-Synthese
Fourier-Synthese
0tB 0tA nn
Modenamplituden Frequenzspektrum
tωi
nn
tωinn
n
n
e0BtB
e0AtA
Zeitentwicklung der Modenamplituden
πnβsinπβ1βn
2
h
A ,
L
cπnckω
xksintωcosAtx,y
2n
nn
nn1n
n
πnβsinπβ1βn
2
h
A ,
L
cπnckω
xksintωcosAtx,y
2n
nn
nn1n
n
Beispiel: Gezupfte Saite 0x,0y
0.001
0.01
0.1
1
10
1 6 11 16 21 26 31
h
An
β = 1/3
n
0.001
0.01
0.1
1
10
1 6 11 16 21 26 31
β = 1/10
n
L
h
β·L
x,0y
-40
-30
-20
-10
0
0 0.5 1 1.5-40
-30
-20
-10
0
0 0.5 1 1.5
Beispiel: Gezupfte Saite 0x,0y
πnβsinπβ1βn
2
h
A ,
L
cπnckω
xksintωcosAtx,y
2n
nn
nn1n
n
πnβsinπβ1βn
2
h
A ,
L
cπnckω
xksintωcosAtx,y
2n
nn
nn1n
n
L
h
β·L
x,0y
β = 1/3
lg(n)
β = 1/10
lg(n)
–6 dB / Oktave
–6 dB / Oktave
πnβsinn
E E 2
21
n πnβsinn
E E 2
21
n
En
( d
B )
Bewegung der gezupften Saite:
b) Hammer-Anregung:
πnβsincπn
V2 B ,
L
cπnckω
xksintωsinBtx,y
nnn
nn1n
n
πnβsincπn
V2 B ,
L
cπnckω
xksintωsinBtx,y
nnn
nn1n
n
0.001
0.01
0.1
1
1 6 11 16 21 26 31
V
cBn
β = 1/3
n
0.001
0.01
0.1
1
1 6 11 16 21 26 31
β = 1/10
n
Idealfall: 0x,0y , LβxδVx,0y
L
V
β·L
x,0yΔ
πnβsinL
ΔVμ E 2
22
n πnβsinL
ΔVμ E 2
22
n
πnβsincπn
V2 B ,
L
cπnckω
xksintωsinBtx,y
nnn
nn1n
n
πnβsincπn
V2 B ,
L
cπnckω
xksintωsinBtx,y
nnn
nn1n
n
b) Hammer-Anregung:
Idealfall:
-20
-10
0
10
20
0 0.5 1 1.5-30
-20
-10
0
10
0 0.5 1 1.5
β = 1/3
lg(n)
β = 1/10
lg(n)
0 dB / Oktave 0 dB / Oktave
En
( d
B )
L
V
β·L
x,0yΔ
0x,0y , LβxδVx,0y
πnβsinL
ΔVμ E 2
22
n πnβsinL
ΔVμ E 2
22
n
Anschlagsdynamik eines harten, spitzen Hammers:
v(t)c
T
M
v(t)
TTx
xH
y
c
vT2vM
tcxx , τc
tcxxexp1τVtx,y H
H
tcxx ,
τc
tcxxexp1τVtx,y H
H
τ
texpVt v
τ
texpVt v
cM
T2 τ Bremszeit:
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
-3 -2 -1 0 1 2 3
τV
y
τc
xx H
t / τ = 2,5 2,0 1,5 1,0 0,5
Weitere Komplikationen:
• Hammer-Nachgiebigkeit
• Hammermaße
• Reflexionen an Einspannung, Rückwirkung auf Hammer
Modenspektrum stets flacher ( reicher, voller ) als beim Zupfen
MHammer « MSaite MHammer = 0,4/β · MSaite
– 6 dB/Oktave – 6 dB/Oktave
Bemerkung: Fehlende Moden bei Vielfachen von , nicht nur von 2β
1
β
1
n = 0,73 MSaite / MHammern = 0,73 MSaite / MHammer
BeimAnschlag
BeimAnschlag
Anregungbeendet
Anregungbeendet
c) Bogen-Anregung: Helmholtz-Bewegung
Periode Teil 1: Saite haftet am Bogen und wird mitgeführt
Periode Teil 2: Saite löst sich und schnellt zurück
Ruheposition der Saite
Ruheposition der Saite
Mittlere Auslenkung
Mittlere Auslenkung
Zeit
Auslenkung beim Bogen
• Streichgeschwindigkeit Schwingungsamplitude
• Spektrum ähnlich zum Zupfen ( – 6 dB/Oktave )
Mehrfachsprünge möglich
2.2. Saiten und dünner Stäbe: Longitudinalschwingungen
Rückstellkraft bei Dehnung: Molekulare Bindungskräfte Elastizitätsmodul(reine Materialeigenschaft, Saitenspannung nicht relevant)
dxS
dw F(t)
Hookesches Gesetz:
x
wE
S
F
E = Youngsches ModulE = Youngsches Modul
Wellengleichung:ρ
Ec ,
x
wc
t
wL2
22L2
2
Dichte ρ = μ / S
Lösungen, Randbedingungen, ... analog zu transversalen Saitenschwingungen
Querschnitt S
u
v
Dichte ρ
2.3. Biegewellen von Balken und Stäben
x
z
Neutrale Faser
Neutrale Faser
gedehntgedehnt
gestauchtgestaucht
dvduvS
1 v
S
NF dvduvS
1 v
S
NF
dvduvvS
1I
S
2NF - dvduvv
S
1I
S
2NF -Neutrale Faser: z ( x , t ) Ruhelage: z0 ( x , t )
Auslenkung: y ( x , t ) = z ( x , t ) – z0 ( x , t )
vNF
Rücktreibende Kraft pro Länge: E = Young-Modul x
yISE
x
F
4
4
x
yISE
x
F
4
4
t
ydmdx
x
F
2
2
dxSρdm
x
y
ρ
IE
t
y
4
4
2
2
x
y
ρ
IE
t
y
4
4
2
2
Wellengleichung:
x
y
ρ
IE
t
y
4
4
2
2
x
y
ρ
IE
t
y
4
4
2
2
Lösung der Wellengleichung:
xksinDxkcosC
xksinhBxkcoshAφtωcostx,y
Einsetzen: y k x
y ,y ω
t
y 4
4
42
2
2
φg
Lφ
2
v2k
ω v
ωkcIkρ
IE
k
ω v
kρ
IEkω
Dispersionsrelation: (nichtlinear)
Phasengeschwindigkeit:
Gruppengeschwindigkeit:
zwei Randbedingungen pro Endpunkt, z.B.:
xksinDxkcosC
xksinhBxkcoshAφtωcostx,y
0x
y
x
y3
3
2
2
frei:
0x
yy
2
2
unterstützt / eingehängt:
0x
yy
eingeklemmt:
Eigenmoden und Eigenfrequenzen:ωn in Einheiten von
ρ
IE
L
2π2
2
beidseitig frei
9,066
ω1n2ω
2Lktanh2Lktan
12n
nn
beidseitig unterstützt bzw. eingehängt
L
12
n
n
ωnω
Lπnk
1,426
ω1n2ω
2Lktanh2Lkcot
12n
nn
• Frequenzverhältnisse nicht exakt harmonisch
• Knotenpositionen nicht äquidistant
• Klanghöhe sehr stark abhängig von Randbedingungen
einseitig eigeklemmt
2.4. Transversalschwingung steifer Saiten
Rückstellkraft = Spannungskraft + elastische Rückstellkraft
y
yISE
x
yT
t
yμ
4
4
2
2
2
2
y
yISE
x
yT
t
yμ
4
4
2
2
2
2
1
1.4
1.8
2.2
2.6
3
0 0.04 0.08 0.12 0.16 0.2
22
LT
ISEπ
0
1
n
ωn
ω
eingeklemmte Enden
n = 1n = 2n = 3
n = 4n = 5
1
1.4
1.8
2.2
2.6
3
0 0.04 0.08 0.12 0.16 0.2
22
LT
ISEπ
eingehängte Enden
0
1
n
ωn
ω
n = 1n = 2
n = 3n = 4
n = 5
2.4. Transversalschwingung steifer Saiten
Rückstellkraft = Spannungskraft + elastische Rückstellkraft
y
yISE
x
yT
t
yμ
4
4
2
2
2
2
y
yISE
x
yT
t
yμ
4
4
2
2
2
2
1.8
2.2
2.6
3
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10n
n
2n
ω
ω
eingeklemmte / eingehängte Enden
B = 0
B = 0,005B = 0,01
LT
ISEπB
22
LT
ISEπB
22
Beeinflussung der Dispersionsrelation:
k
ωideal
e Sait
e
steife
Sait
e k μ
Tω k
μ
Tω
kα1kμ
Tω 2 kα1k
μ
Tω 2
massen-belastete Saite
(z.B. Ummantelung)
Grenz-FrequenzGrenz-
Frequenz
2.5. Torsionsschwingungen von Saiten und Stäben
Young-Modul E Torsionsmodul G
homogenes, isotropes Material: ( ν = Poisson-Zahl ) ν12
EG
ν12
EG
Dispersionsrelation linear: k ckω T k ckω T
Saiten: • cT typisch 3 ... 8 mal so groß wie c • starke innere Dämpfung
Abhängigkeit von cT von Querschnittsform:
3. Membranen, Platten und Schalen
Analogien:
1-D-System 2-D-System
ideale Saite ideale Membran
steife Saite steife Membran
Stab Platte
gekrümmter Stab Schale, Glocke
Knotenpunkt Knotenlinie
3.1. Membranen
Massendichte:
Spannung: T ds= Spannkraft senkrecht zu Rand jedes Flächenelements = (konstante) Oberflächenspannung der Membran
Kleine Auslenkung ( lineare Näherung ):
constdydx
dmσ
1zyx,
2-D-Wellengleichung: Koordinatenwahl Form der Einspannung (Transversalschwingung)
x
yz
Einspannung
y
z
x
z
t
z
c
1
2
2
2
2
2
2
2
φ
z
r
zr
rr
1
t
z
c
12
2
2
2
2
Rechteckmembran Kreismembran
σ
Tc
σ
Tc
θ
T ds
FStatische Auslenkung:
dssinθTF
L
Membran widersteht keiner Kraft mit AngriffspunktMembran widersteht keiner Kraft mit Angriffspunkt
SaiteMembran
= 0 für Angriffspunkt
Schwingungsmoden von Rechteckmembranen:
x
yz
Lx
Ly
2y
2
2x
2
mn
yx
tωimn
L
n
L
m
σ
Tπω
L
yπmsin
L
xπmsineAz mn
2y
2
2x
2
mn
yx
tωimn
L
n
L
m
σ
Tπω
L
yπmsin
L
xπmsineAz mn
m = 1 n = 1 m = 2 n = 1
m = 1 n = 2 m = 2 n = 2
m = 3 n = 1 m = 3 n = 2Quadratische Membran Lx = Ly
Entartung ωmn = ωnm
Modenüberlagerung möglich
Schwingungsmoden von Kreismembranen:
σ
T
R
ξω
RrξJeeAz
mnmn
mnmimφtωi
mnmn
σ
T
R
ξω
RrξJeeAz
mnmn
mnmimφtωi
mnmn
m = 0 n = 1 m = 1 n = 1
m = 2 n = 1 m = 3 n = 1
m = 0 n = 2 m = 3 n = 2
2R
x
yz
ξmn = n-te Nullstelle der Besselfunktion Jm
2,405ξ01 2,405ξ01
Frequenzfolge bei idealen Kreismembranen:
3.2. Dünne isotrope Platten
x
yz
frei / einfach unterstützt / eingespannt
h
Massendichte:
constdV
dmρ
a) Longitudinale Wellen: nicht-dispersiv; keine signifikante Schallabstrahlung
„Unendliches“ Medium (rel. zu λ)
2L ν1ρ
Ec
„Dünne“ (rel. zu λ) Balken / Platten
2ν1ν1ρ
ν1Ec
2
L
Massendichte:
constdV
dmρ
b) Transversale Wellen: nicht-dispersiv; keine signifikante Schallabstrahlung (zweidimensionales Analogon zu Torsionsschwingungen von Stäben)
„Unendliches“ Medium oder „unedlich große“, „flache“ Platten (rel. zu λ)
L
typisch
T c60%ρ
Gc
x
yz
frei / einfach unterstützt / eingespannt
h
x
yz
frei / einfach unterstützt / eingespannt
hMassendichte:
constdV
dmρ
c) Biege/Verformungs-Wellen: dispersiv; signifikante Schallabstrahlung (zweidimensionale Verallgemeinerung der Balken-Biegeschwingung)
Wellengleichung:
Dispersionsrelation: (nichtlinear)
Phasengeschwindigkeit:
Gruppengeschwindigkeit:
φg
LLφ
2L
222
L2
2
v2k
ω v
ωω12
hck
12
hc
k
ω v
k12
hckω
0z12
hc
t
z
zkzΔ
ωit
42
Beispiel: Die dünne Kreisplatte z
hR rkIBrkJA
eet)φ,z(r,
mm
φmitωi
Hyperbolische Besselfunktionen: Im(k r) = i – m Jm(k r)
-4
0
4
8
12
16
20eingespannteingespannt
einfach unterstützteinfach
unterstützt
freifrei
hc1,516
Rω
L
2
z
hR
Asymptotisches Spektrum:
R38
hcπ2nmω
2R
π2nmk
2L
22
nmn
nmn
R38
hcπ2nmω
2R
π2nmk
2L
22
nmn
nmn
Lord Rayleigh (1894): Frequenzzunahme durch Zufügen eines Kotenrings ist ungefähr identisch mit der durch Zufügen zweier Knotendiagonalen (Chladnis Gesetz)
Lord Rayleigh (1894): Frequenzzunahme durch Zufügen eines Kotenrings ist ungefähr identisch mit der durch Zufügen zweier Knotendiagonalen (Chladnis Gesetz)
Empirischer Ansatz für Kreisplatten, -schalen, -glocken:
GlockenSchalen /
Platten flache
,
,
2
2 p 2nmCω p
mn
GlockenSchalen /
Platten flache
,
,
2
2 p 2nmCω p
mn
Beispiel: Die dünne Rechteckplatte
y)z(x,ky)z(x,yx
2yx
422
4
4
4
4
4
z
h
Lx
Ly
• Einfache Unterstützung: Knotenlinien (m,n) wie Membran
• Andere Randbedingungen: Gekrümmte Knotenlinien durch Mischung der (m,n) und (n,m) Membranmoden für |m – n| = 2,4,6,...
Freie Platte:
( i.a. schwieriges Problem )
(x,y) – Kopplung(x,y) – Kopplung
Messung an freier Aluminiumplatte
Messung an freier Aluminiumplatte
Lx / Ly
Lx = const.
Lx = const.
(x,y) – Kopplung bei Lx Ly:
Ringmode
Diagonal-Mode (X-Mode)
ModenaustauschModenaustausch
Fundamentalmoden quadratischer Platten:
frei ( ν = 0,3 ) einfach unterstützt eingespannt
( 1 , 1 ) ( 0 , 0 ) ( 0 , 0 )
L
hc3,717ω
2L
11 L
hc3,717ω
2L
11 L
hc5,698ω
2L
00 L
hc5,698ω
2L
00 L
hc10,39ω
2L
00 L
hc10,39ω
2L
00
L
hc22,79ω
2L
11 L
hc22,79ω
2L
11 L
hc31,28ω
2L
11 L
hc31,28ω
2L
11
Moden quadratischer Platten:
frei ( ν = 0,3 )
eingespannt
Modenspektren quadratischer Platten:
0
4
8
12eingespannteingespannt
einfach unterstützteinfach
unterstützt
frei ( ν = 0,3 )frei ( ν = 0,3 )
hc3,717
Lω
L
2
3.3. Dünne Holzplatten
Fichtenholz(orthotrop, 9 elastische Parameter)
Deckelplatten von Geigen:
• Fasern entlang Plattenlänge
• Jahresringe senkrecht zur Platte
Länge / Breite 3 / 1
Deckelplatten von Geigen:
• Fasern entlang Plattenlänge
• Jahresringe senkrecht zur Platte
Länge / Breite 3 / 1
Qualitative Eigenschaften ähnlich, ... aber
• E Ex , Ey
• ν2 νxy νyx νν1ρ
Ec
νν1ρ
Ec
yxxy
yy
yxxy
xx
νν1ρ
Ec
νν1ρ
Ec
yxxy
yy
yxxy
xx
Beispiel: Freie Viola-Deckel
(2,0) – (0,2) X-Mode (2,0) + (0,2) Ring-Mode
Rücken Front Rücken Front
Rücken Front
Dritte wichtige Mode: (1,1) -
Verwindungsmode
3.4. SchalenSehr komplexes Problem, aber hochrelevant:
• Geigen-Frontplatte / gesamter Resonanzkörper
• Kugelschalensegmente (Becken,...)
• Zylinderschalen (Zylinderglocken,...)
• Kirchenglocken
• Schalendimension: a• Schalendicke: h• Schalenwölbung:
H
• Schalendimension: a• Schalendicke: h• Schalenwölbung:
H
a H a h
Modenklassifizierung (Love, Rayleigh):
• Dehnungsmoden: Längenänderungen in erster OrdnungLinienmasse hFederkonstante h
• Biegungsmoden: Keine Längenänderungen in erster OrdnungSchalenmasse hFederkonstante h3
ω(h) = const.
ω(h) h2
Empirische Modenparametrisierung: hBAω 2nmnmnm hBAω 2
nmnmnm
Beispiel: Flache sphärische Schale
a H a h
Niedrigste Mode: k a = μ (abhängig von Einspannung)
Spezialfall der flachen Platte ( H = 0 ): k a = μ0
rkIBrkJA
eet)φ,z(r,
mm
φmitωi
2 4
H
a , 20
h
H
2
40
4
02
0 a
H
ρ
E2
h
H
μ
48
μ
μ
ν1
1
ω
ω
Sehr starke Frequenzzunahme (d.h. Steifigkeitszunahme) mit H
• gewölbter Geigendeckel benötigt keine innere Verstrebung
• flacher Gitarrendeckel erfordert starke innere Verstrebung
4. Schall in Luft
4.1. Schallwellen
Elastischer Scherungswiderstand
Reibungswiderstand
Eleastischer Kompressionswiderstand
Schallwellen = longitudinale Druckwellen
Schallwellen = longitudinale Druckwellen
pct
p 22
2
2
Wellengleichung:
Schallgeschwindigkeit c:
Kompressionsmodul K:
Dichte ρ: Vd
md ρ
V
VdK p
ρ
K c
Gesamtluftdruck: pL
Akustischer Druck: LL p pδ p
4.1.1. Schallgeschwindigkeit
Isothermer Fall ( T = const. ):
ρ
pc L
ρ
pc L
1,45
7
C
C γ
V
p 1,45
7
C
C γ
V
p
Luft ist ideales Gas pLV = N k T
Luft zweiatomig
1. Hauptsatz
TkN U 25
VδpQδUδ LV
V
p
p
Tδ
QδC
Tδ
QδC
L
K
p
V
Vδ
p
pδ
p
p
L
L
L
Für Musikinstrumente nur in Extremfällen interessant
Adiabatischer Fall ( δQ = 0 ):
ρ
pγc L
ρ
pγc L
KVδ
Vppγ
δVpδpV
TδkNδUδVp
L
L25
L25
25
L
pct
p 22
2
2
Wellengleichung: ρ
pγc L
L
L
L
L
m
Tk
ρ
p
TkNVpV
mNρ
m
Tkγc
L
m
Tkγc
L
• c2 proportional zur (absoluten) Temperatur
• c unabhängig vom Luftdruck
• mL und somit c abhängig von Luftfeuchtigkeit
Taylorentwicklung um 0°C bei 50% relativer Luftfeuchtigkeit:
s
mCΔT/0,001661332c
s
mCΔT/0,001661332c
4.1.2. Strömungsfeld
pct
p 22
2
2
Wellengleichung:
Strömungsgeschwindigkeitsdichte-Feld t,ruu
pt
uρ
Bewegungsgleichung:
Lösung (Superposition ebener Wellen):
Folge:
|k|cω
eut,ru
ept,rp
rktωi
rktωi
ecρ
pu k
e
cρ
pu k
smkgCΔT0,00171428
cρ u
pz
12
kNormaldruc
(spezifische akustische)
Impedanz
(spezifische akustische) Impedanz
p Potential Spannung
u Geschwindigkeit Strom
Ohmsches Gesetz
4.1.3. Kugelwellen
r
pr
r
r
1cpc
t
p 2
2222
2
2 Wellengleichung:
Sphärisch symmetrische Quelle
Bewegungsgleichung: er
pp
t
uρ r
Lösung (Kugelwelle):
eeerki
1rkiBe
rki
1rkiA
rρc
1t,ru
e er
B e
r
A tr,p
rtωirkirki
tωirkirki
k cω k cω
auslaufend einlaufend
Akustische Impedanz:
einlaufend ,
1rki
rkicρ
auslaufend , 1rki
rkicρ
u
pz
4.1.4. Druckpegel, Lautstärke, Intensität
Druckpegel: 250
010p mN102Pa20μp dB
p
plog20L
Dru
ckpe
gel
(dB
)
Frequenz (Hz)
Empfindlichkeit des Ohrs: Kurven konstanter
Lautstärke (in Phon)
Empfindlichkeit des Ohrs: Kurven konstanter
Lautstärke (in Phon)
Hörschwelle: 0 PhonHörschwelle: 0 Phon
Schmerzgrenze: 120 PhonSchmerzgrenze: 120 Phon
Intensität an einer Fläche:
t,ru
u
tduld
dA uptdAd
ldFd
tdAd
EdI
2
uptdAd
ldFd
tdAd
EdI
2
Komplexe Schreibweise:
pZ1ReuZRepuReI 2
212
21
21
Intensitätspegel:212
00
10I mW101I dB I
Ilog10L
Ebene Wellen: LI LP
pZ1ReuZRepuReI 2
212
21
21
Ebene Welle:
002
1202
021rktωi
0
rktωi0
upcρ2
pucρI
cρZ
euu
epp
Kugelwelle:
cρ2
pI
rki1
rkicρZ
Z
rpru eruu
r
Arp erpp
200
0rktωi
0
0rktωi
0
4.1.5. Reflexion, Brechung, Beugung
λ a) Randstrukturen Gesetze der geometrischen Optik
z1 = c1 ρ1 z2 = c2 ρ2
1k
2k
3k
Ebene Wellen gegen ebene Grenzfläche
α
α' β
Reflexionsgesetz: α = α'Reflexionsgesetz: α = α'
Brechungsgesetz:2
1
z
z
sinβ
sinα
Reflexionskoeffizient Transmissionskoeffizient
Amplitude:
Intensität:
βαsin
βαsinr
r1t
2rR R1T
λ10 b) Randstrukturen Beugung an Rändern
Frequenz Wellenlänge
20 Hz 17 m
1 kHz 34 cm
15 kHz 2,3 cm
4.1.6. Dämpfung
Kugelwelle
Welleebene
,
,
etr,p
et,rpαi
c
ωk
rα
erα k
Ursachen:• Viskosität• thermische Verluste• Molekularer Energieaustausch
z.B. Wände von Musikinstrumenten
Beispiel: Dämpfung in Luft (relative Luftfeuchtigkeit > 50%)
100kHzfkHz2
kHz1fHz100
,
,
Hzfm101α
Hzfm104α
22110
17
100kHzfkHz2
kHz1fHz100
,
,
Hzfm101α
Hzfm104α
22110
17
α( 10 kHz ) 0,1 dB / m relevant für große Konzertsäle
4.1.7. Hohlraummoden
Starre Wand Impedanz: zW
u
nAn der Wand:
uzp
uuu
W
LuftWand
n
ppnuρωip
t
uρ
n
p
ωρ
zip W
Randbedingung:
0n
pzW
Spezialfall der festen Wand:
Beispiel: Quaderförmiges Auditorium mit festen Wänden
a
c
b
2
2
2
2
2
2
nml c
n
b
m
a
lcπω
c
zπncos
b
yπmcos
a
xπlcosAt,rp
a : b : c = 1 : 1 : 1
a : b : c = 1 : 2 : 3
Design von Konzertsälen:
Gleichmäßige Modendichte bei niedrigen Frequenzen
Schlechtes DesignSchlechtes Design
Besseres DesignBesseres Design
4.2. Schallausstrahlung
• Kugelstrahler: Wichtiges Modellsystem
• Multipol-Quellen: Konfiguration von Punktquellen,Abstände klein gegen Wellenlänge
• Überlagerte Punktquellen: Beliebig ausgedehnte Konfigurationen von Punktquellen
• Ebene Quellen:Quellfläche in unendlicher SchallwandUnabgeschirmte QuellflächeUnendlich große Platten
4.2.1. Kugelstrahler Gutes Modellsystem für pulsierende Hohlkörper jeder Form!
Gutes Modellsystem für pulsierende Hohlkörper jeder Form!
a
ea v tωi ea v tωiDefinition: Quellstärke
avaπ4Q 2
Abgestrahlte Kugelwelle:
rkirki erk
i1
rcρ
Arve
r
Arp
aki1
e
π4
QρωiA
aki
aki1
e
π4
QρωiA
aki
2aπ4
Qav
22
2
22
22
r
1
ak1
ak
aπ32
Qcρ
cρ2
rprI
Intensität:
2av2
cρ
0 1 2 3 4 5 6 7k a0
P / Fläche
v(a) = constv(a) = const
a
ea v tωi ea v tωi
Gesamtstrahlungsleistung
ak1
ak
aπ8
QcρdφcosθdrrIP 2
2
2
22
22
2
22
22
r
1
ak1
ak
aπ32
Qcρ
cρ2
rprI
Punktquelle1ak
Sättigung1ak
Musikinstrumente( möglichst große
Abstrahlfläche günstig )
Musikinstrumente( möglichst große
Abstrahlfläche günstig )
a
ea v tωi ea v tωiMechanische Last an schwingender Oberfläche:
aki1
akiScρ
av
apS
av
F Z
2aπ4S
m
aki1
akiScρ
av
apS
av
F Z
2aπ4S
m
X = Im ( Zm ):Reaktivität der
mitschwingenden Luft
X = Im ( Zm ):Reaktivität der
mitschwingenden Luft
R = Re ( Zm ):Dissipation durch Abstrahlung
R = Re ( Zm ):Dissipation durch Abstrahlung
4.2.2. Multipol-Quellen
a
Monopol λa
ea v tωi ea v tωi
Abgestrahlte Kugelwelle:
rkirki erk
i1
rcρ
Arve
r
Arp
π4
Qρωiλaaki1
e
π4
QρωiA
aki
π4
Qρωiλaaki1
e
π4
QρωiA
aki
Amplitude unabhängig von Quellgröße a ,,Punktquelle“
Quellstärke
avaπ4Q 2
Multipolkonfigurationen:
6
622
2
22
2
2
c
ωzr,cosxr,cos
r
zδxδ
π32
QcρrI +Q
Q +Q
Qδz
δx
Monopol: 2
2
22
22
c
ω
r
1
π32
Qcρ
r
A
cρ2
1rI
+Q
Dipol: 4
42
2
2
2
2
c
ωzr,cos
r
zδ
π32
QcρrI +Q
Qδz
Quadrupol: 6
64
2
4
2
2
c
ωzr,cos
r
zδ
π32
QcρrI δz+Q
Q+QQ δz
δz
π4
QρωiA
Punktquelle:
• zunehmend komplexere Winkelverteilung
• zunehmend ineffizient bei niedrigen Frequenzen
4.2.3. Überlagerte Punktquellen
Strahlung zweier Punktquellen bei :dr
cosθdksin
cos
r
1
cπ4
Qρωφθ,r,I 2
1
2
2
2
22
cosθdk
sin
cos
r
1
cπ4
Qρωφθ,r,I 2
1
2
2
2
22
+ Q+ Q
Q Q
Gesamtstrahlungsleistung durch Kugelfäche mit :dr
dk
dksin1
cπ4
Qρωdφcosθdrφθ,r,IP
222
dk
dksin1
cπ4
Qρωdφcosθdrφθ,r,IP
222
• Komplexes Interferenzmuster
• P unabhängig von r
dk
dksin1
cπ4
QρωP
22
dk
dksin1
cπ4
QρωP
22
cπ8
QρωP :Q Monopol
22
0 cπ8
QρωP :Q Monopol
22
0
Monopol Monopol Q2
Monopol 2QMonopol 2Q
Dipol Q·dDipol Q·d
Inkohärente ÜberlagerungInkohärente
Überlagerung
Kohärente Überlagerung
Kohärente Überlagerung
Strahlung zweier Punktquellen dr
θcosdksin
θcosdkNsine
rπ4
Qρωip
21
rki
θcosdksin
θcosdkNsine
rπ4
Qρωip
21
rki
θcosdkcos
θcosdkNsin1e
rπ4
Qρωip
21
Nrki
θcosdkcos
θcosdkNsin1e
rπ4
Qρωip
21
Nrki
:dk
πn2cosθ 1
n
QpN2 QpN2
:dk
π1n2cosθ 1
n
0:2
πθ :
2
πθ dN
λQ θδpN2 :
2
πθ
θ++++++
p+p+
d
+–+–+–
p–p–θ
Strahlung von 2N Punktquellen bei :dN2r
-100
-50
0
50
100
-150 -100 -50 0 50 100 150
5N
d6,28λ
5N
d6,28λ
θ++++++
p+p+
d
-100
-50
0
50
100
-150 -100 -50 0 50 100 150
5N
d0,31λ
5N
d0,31λ
I
I
Q
I
I
Q
-5
-3
-1
1
3
5
-10 -5 0 5 10
-100
-50
0
50
100
-150 -100 -50 0 50 100 150
I
I
Q
I
I
Q 5N
d6,28λ
5N
d6,28λ
5N
d0,31λ
5N
d0,31λ
d < λ / 2völlig ineffizient!
Lokale Strömungen zwischen +Q und Q
d < λ / 2völlig ineffizient!
Lokale Strömungen zwischen +Q und Q
+–+–+–
p–p–θ
d
4.2.4. Linienquellen ( schwingende Saite)
a) Fundamentalmode: Näherung starrer dünner Zylinder mit L
r
uaω
c4
ρπdφrφr,I
L
P
φcosr
uaω
c4
ρπφr,I
243
2
2π2
0
2243
2
r
uaω
c4
ρπdφrφr,I
L
P
φcosr
uaω
c4
ρπφr,I
243
2
2π2
0
2243
2
φ
2a
tωieu
L
I, P a4 ω3 sehr ineffizient !
b) Höhere Moden: 2
λdcc T
2
λdcc T
+Q +Q +QQ Q Q
d
Transversalwelle auf Saite
Transversalwelle auf Saite SchallwelleSchallwelle
zusätzlich Auslöschungseffekt (Kette alternierender Punktquellen)
Noch viel ineffizienter !
4.2.5. Ebene Quelle mit Schallwand
,,Unendliche“ Schallwand (Abschirmung vom Rückraum)
,,Unendliche“ Schallwand (Abschirmung vom Rückraum)
Starrer ,,Kolben“ oder elastische Membran
Starrer ,,Kolben“ oder elastische Membran
Abstrahlung zum Auditorium
Abstrahlung zum Auditorium
Effekt der Schallwand:
Effiziente Abstrahlung auch bei niedrigen
Frequenzen
Praktische Realisierung: (Teil-)Separation des rückwärtigen Luftraums
Kesselpauke (Timpani)
Cello Konzertgitarre Piano
Systeme ohne Schallwand:
• Niedrige Effizienz bei niedrigen Frequenzen
• Starke Anregung bei niedrigen Frequenzen ermöglicht ausgeglichenes Klangspektrum
• Wenig Abstrahlung sehr langes Nachklingen
Glocke
Becken
Mathematische Behandlung: Fresnel-Kirchhoffsches Beugungsintegral
Sdrur
e
π2
ρωirp
rrki
Sdrur
e
π2
ρωirp
rrki
Raumwinkel der Abstrahlung
Raumwinkel der Abstrahlung
Elementare Kugelwellen
Elementare Kugelwellen
Volumenfluss (Quellstärke)
Volumenfluss (Quellstärke)
Relevanter Spezialfall:
Fraunhofer-Beugung: r >> QuellgrößeFraunhofer-Beugung: r >> Quellgröße
r
r
dS
tωieru
θ
Beispiel: Starre Kreisplatte mit Radius a (Fraunhofer-Beugung)
Optisches Analogon: Fraunhofer-Beugung an Lochblende
θsinakx,
x
xJ2
r
eaρuωiθp 1
rki2
21
θsinakx,x
xJ2
r
eaρuωiθp 1
rki2
21
θsinakx
ak
3,83sinθ 1
Hauptabstrahlungskegel
1. Nebenkeule bei –18 dB Insignifikant !
1. Nebenkeule bei –18 dB Insignifikant !
Starre Kreisquelle in Schallwand
Starre Kreisquelle in SchallwandPulsierende KugelPulsierende Kugel
X = Im ( Zm ):Reaktivität der
mitschwingenden Luft
X = Im ( Zm ):Reaktivität der
mitschwingenden Luft
R = Re ( Zm ):Dissipation durch Abstrahlung
R = Re ( Zm ):Dissipation durch Abstrahlung
Akustischer Widerstand der Luft
Strahlung einer Kreismembran in einer Schallwand
m = 0 n = 1
Fundamentalmode
• Qualitativ wie starre Kreisplatte
• Effizienter Strahler
• Quantitativ unterschiedlich: u( r' ) J0( k r' )
m = 0 n = 2 m = 0 Moden:
• Verbleibende Netto-Monopolkomponente
• Schwache Strahler
m = 1 n = 1
m = 2 n = 1 m = 3 n = 1
m = 3 n = 2
m > 0 Moden:
• Keine Monopolkomponente
• Völlig ineffiziente Strahler
4.2.6. Unabgeschirmte ebene Quellen
Umschlossener Rückraum
Umschlossener RückraumUnendliche
SchallwandUnendliche Schallwand
Hohe Frequenz ( ka > 4 ): fast ungeändertes Verhalten
Niedrige Frequenz ( ka < 4 ): Abstrahlraumwinkel 2π 4π ½ Strahlungswiderstand ½ Gesamtstrahlungsleistung ( 3 dB ) ¼ Intensität ( 6 dB ) Kompensation: Bassreflexwand,
Fussboden, ...
offene PlatteDipolquelle bei kleinen
Frequenzen
offene PlatteDipolquelle bei kleinen
Frequenzen
Starre Platte:
3ak ,
2ak ,
Scρ
akScρ103 R
42
m
3ak ,
2ak ,
Scρ
akScρ103 R
42
m
4.2.7. Strahlung von (unendlich) großen Platten
Einfachstes Beispiel: Ebene Biegewelle der Platte
Platte ( Dicke h, Dichte ρP )Platte ( Dicke h, Dichte ρP )
Luft ( Dichte ρ )Luft ( Dichte ρ )
Schallgeschwindigkeit:Schallgeschwindigkeit:
ρ
K
k
ωc
Phasengeschwindigkeit:
ων1ρ
Ehω
12
ch
k
ωv 4
2P
2L
PP
Abstrahlungsbedingung:λ λP(ω)
bzw. k kP(ω)
bzw. c vP(ω)
Strahlungsmuster der Überschallbiegewelle ( vP c ) (Analogon: Machscher Kegel)
c
v
k
k
λ
λθcos PP
P
c
v
k
k
λ
λθcos PP
P
ων1ρ
Ehv 4
2P
2
P ωcν1ρ
Ehθcos 4
22P
2
ωcν1ρ
Ehθcos 4
22P
2
Abschneide- bzw. Koinzidenzfrequenz:
Eh
cν1ρωω
2
22P
c
Eh
cν1ρωω
2
22P
c
Orgel
4.3. Schallwellenleiter ( Pfeifen, Flöten, Hörner)
Französ. Horn
Flügelhorn
Querflöte
Oboe
Klarinette
Blockflöte
Saxophon
4.3.1. Unendliche Zylinderrohre
0r
p
ar
Perfekt steife Wand: 0aru r
Mmn
zktωimnmmn
J von Nullstelle te1nqπ
ea
rqπJαφmcosAtz,φ,r,p mn
Mmn
zktωimnmmn
J von Nullstelle te1nqπ
ea
rqπJαφmcosAtz,φ,r,p mn
analog zur Kreismembran
analog zur Kreismembran
kr = kmn quantisiert
kz unbeschränkt (keine z-Randbedingung)
2z
2r
2 kkk
kcω
a
qπ
c
ωk
2
mn
22mn
a
qπ
c
ωk
2
mn
22mn
2az
rφ
2aπS
Ruhende oder gleichmäßig
strömende Luft
ea
rqπJαφmcosAtz,φ,r,p zktωimn
mmnmn
e
a
rqπJαφmcosAtz,φ,r,p zktωimn
mmnmn
Wichtiger Spezialfall m = n = 0: q00 = 0, J0(0) = 1
a
qπ
c
ωk
2
mn
22mn
a
qπ
c
ωk
2
mn
22mn
cztωicztωi00
cztωi00
ecρ
peutr,u
eptr,p
Ebene Welle:
cztωi
S
00 ecρ
pSdSutr, U Volumenfluss:
Bemerkung: In allen anderen Moden ist U = 0
Definition:
S
cρ
U
pZcρ
u
pz 00
0
(Wellen-)Impedanz Charakteristische Impedanz
ea
rqπJαφmcosAtz,φ,r,p zktωimn
mmnmn
e
a
rqπJαφmcosAtz,φ,r,p zktωimn
mmnmn
a
qπ
c
ωk
2
mn
22mn
a
qπ
c
ωk
2
mn
22mn
Kritische Frequenz: a
cqπω mn
c a
cqπω mn
c
ω > ωc: kmn , z reell ungedämpfte Ausbreitung
ω < ωc: kmn , z imaginär gedämpfte Ausbreitung( keine Wellenleitung )
k mn = 0
q00 = 0 ebene (0,0)-Mode wird bei allen Frequenzen geleitet !
J0
J1
J2
J3
J4
0 1,84 3,053,83
4,20
( 0 , 0 ) ( 0 , 0 )( 1 , 0 )
( 0 , 0 )( 1 , 0 )( 2 , 0 )
•••
( 0 , 1 )
••••
( 3 , 0 )
+( 1 , 1 )( 2 , 0 ) etc.Single-Mode-
Leitung
Ebene Welle
Single-Mode-Leitung:
Luftfreier in λ0,29a
a
c1,84ω
a
cqπω nm
c a
cqπω nm
c
5,32 5,33
ea
rqπJαφmcosAtz,φ,r,p zktωimn
mmnmn
e
a
rqπJαφmcosAtz,φ,r,p zktωimn
mmnmn
a
qπ
c
ωk
2
mn
22mn
a
qπ
c
ωk
2
mn
22mn
p
u
Querschnitt
1,0 2,0 0,1
Flussmuster im Längsschnitt
Ebene Fundamental-
Mode
Ebene Fundamental-
Mode
ω > ωcω > ωc
ω < ωcω < ωc
4.3.2. Wandverluste in unendlichen Zylinderrohren
a) Reibungsverluste b)Thermische Verluste
Verluste in dünnen Randschichten an der Wand:
300KT0,00291
sω
ma252,5
aη
ρω
δ
ar
1
VV
300KT0,00291
sω
ma252,5
aη
ρω
δ
ar
1
VV
a
δV
Viskosität ηViskosität η
aδT
Thermische Leitfähigkeit κ
Thermische Leitfähigkeit κ
300KT0,00311
sω
ma212,6
aκ
Cρω
δ
ar
1
P
TT
300KT0,00311
sω
ma212,6
aκ
Cρω
δ
ar
1
P
TT
Zusammenhang: Zahl-Prandtlκ
ηC
r
rP
2
V
T
Konsequenz: Z0 reell Z0 komplex ...
... und: k reell k komplex:
v / c
α / f
[
m-1
Hz
-1 ]
αiv
ωk αi
v
ωk
Einfluss auf Z0 wichtig für rV 10
Einfluss auf Z0 wichtig für rV 10 rZImZRe
:1r
1V00
V
rZImZRe
:1r
1V00
V
Phasengeschwindigkeit sinkt für rV 10
Phasengeschwindigkeit sinkt für rV 10
α λ-1 für rV 10α λ-1 für rV 10
300KT0,00291
sω
ma252,5
aη
ρω
δ
ar
1
VV
300KT0,00291
sω
ma252,5
aη
ρω
δ
ar
1
VV
300KT0,00311
sω
ma212,6
aκ
Cρω
δ
ar
1
P
TT
300KT0,00311
sω
ma212,6
aκ
Cρω
δ
ar
1
P
TT
0.1
1
10
100
1000
1 10 100 1000
Frequenz [ Hz ]
a = 0,1 mma = 1 mm
a = 1 cma = 10 cm
0.1
1
10
100
1000
1 10 100 1000
Frequenz [ Hz ]
a = 0,1 mma = 1 mm
a = 1 cma = 10 cm
Größenordnungen bei Zimmertemperatur ( 20 °C ):
Kritischer Bereich
Kritischer Bereich
4.3.3. Endliche Zylinderrohre
L
S
cρZ0
tL,U
tL,pZ 00
L
ZZ
ZZR
L0
L0
Reflexionskoeffizient:
ZL
RSaite: Z0
L( Abschnitt 2.1.2. )
Eingangsimpedanz:
LkcosZLksinZi
LksinZiLkcosZZ
Re1
Re1Z
t0,U
t0,p Z
0L
0L0
Lk2i
Lk2i
000
in
0Z
LZ
L
Ideal abgeschlossener Rohr: ZL =
LkcotZi Z 0in
Ideal offenes Rohr: ZL = 0
LktanZi Z 0in
LkcosZLksinZi
LksinZiLkcosZZ Z
0L
0L0in
Ideal offener Eingang: 0Zresin
L
cπnω0Z nL
p00
U
L
cπ1n2ωZ nL
p00
U
Realistische offene Rohre: endlicher Außendruck, ZL 0
0Z
L
Schallwand LZ
a) Abschluss durch Schallwand (vgl. 4.2.5.)
RL ,
XL
[ Z
0 = ρ
c/S
]
π3
a8ktanZi
π3
a8kZi Z
Z|Z|1k
00L
0L
π3
a8ktanZi
π3
a8kZi Z
Z|Z|1k
00L
0L
ZZ2k 0L ZZ2k 0L
Musikinstrumente (Fundamentalmoden)
Schallwand wirkt wie ein kurzer ideal offener Zylinder
1k
a0,85π3
a8Δ
ΔLL
SW
SWeff
Realistische offene Rohre: endlicher Außendruck, ZL 0
0Z
L
LZ
b) Offener Abschluss
Musikinstrumente (Fundamentalmoden)
Außenluft wirkt wie ein kurzer ideal offener Zylinder
1k
a0,61ΔΔLL
O
Oeff
ZZ2k 0L ZZ2k 0L
a0,61ktanZikZi0,61a ZZ|Z|1k
00L
0L
a0,61ktanZikZi0,61a ZZ|Z|1k
00L
0L
4.3.4. Impedanzkurven realistischer Zylinderrohre
Typische Situation: rV > 10
• Charakteristische Impedanz Z0 (ungeändert)
• Kleine Dämpfung α: αiv
ωk
ma
Hzf103α
Hzfma
101,651c v
5-
3
ma
Hzf103α
Hzfma
101,651c v
5-
3
LkcosZLksinZi
LksinZiLkcosZZ Z
0L
0L0in
Ideal abgeschlossener Rohr: ZL =
vLωtaniLαtanh
vLωtanLαtanhi1ZLkcotZi Z 00in
Ideal offenes Rohr: ZL = 0
vLωtanLαtanhi1
vLωtaniLαtanhZLktanZi Z 00in
Ideal offenes Rohr: ZL = 0
vLωtanLαtanhi1
vLωtaniLαtanhZLktanZi Z 00in
L = 1 m a = 5 cmL = 1 m a = 5 cm
L = 1 m a = 1 cmL = 1 m a = 1 cm
1n2fL4
vf
neffn 1n2
fL4
vf
neffn
n fL2
vf
neffn n
fL2
vf
neffn
(Anti-)Resonanzstruktur durch Wanddämpfung!
effLα2sinh2
Auswaschung durch Strahlungsdämpfung!
ma
Hzf103α 5-
ma
Hzf103α 5-
0ωd
Ld eff(Anti-)Resonanzen
nicht ganz harmonisch (gestreckt)
4.3.5. Abstrahlcharakteristik offener Zylinderrohre
I
0IDI
Richtungs-Index
4.3.6. Schallwellen in Hörnern
Französ. Horn
Vereinfachung: gerade, unendlich lang
Wellengleichung für Frequenz ω:
c
ωkmit 0pkp 22
c
ωkmit 0pkp 22
Randbedingung für ideal steifes Horn: Oberfläche auf 0pn Oberfläche auf 0pn
Separierbarkeit/Single-Mode-Leitung: Spezielle Koordinaten
Hornfläche = KoordinatenflächeHornfläche = Koordinatenfläche
konfokale quadratische Oberflächen (11 Varianten)
Beispiele:
Kreis/Ellipsen/Rechteck-Zylinderrohre
Single-Mode ebene WellenSingle-Mode ebene Wellen
Konische Hörner
Single-Mode KugelwellenSingle-Mode Kugelwellen
Hyperbolische Hörner
Single-Mode Welleoblat spheroidal
zylindrisch konisch eben sphärisch
Single-Mode Welleoblat spheroidal
zylindrisch konisch eben sphärisch
Glatter Zylinder-Übergang
Analytische Näherung: Wellenfront
xS
•
a(x)x0(x)
xθ• Wellenfront: p const.
• Lokaler Konus: x0 , θ
• Sphärische Näherung: x0 , θ nur schwach x-abhängig S annähernd sphärisch
xS
xS
1
rr
rr
1
rθsinπ2S
xxr2
22
2
0
2
2
2 t
p
c
1
x
pS
xS
1
Webster-Gleichung:
Für kleine θ:
xHornradiusR,RπS
xxθamitaπS
T2T
02
xHornradiusR,RπS
xxθamitaπS
T2T
02
Sphärische Näherung
Ebene Näherung
Wellenfront
xS
•
a(x)x0(x)
xθ pc
ω
t
p
c
1
x
pS
xS
1
2
2
2
2
2
pc
ω
t
p
c
1
x
pS
xS
1
2
2
2
2
2
Konstante Intensität I p2 S
Ansatz: pSψ pSψ
xd
ad
a
1xF
c
ωk
0ψxFkx
ψ
Gleichung-rSchrödinge
2
2
22
2
xd
ad
a
1xF
c
ωk
0ψxFkx
ψ
Gleichung-rSchrödinge
2
2
22
2
F(x) = Potentialbarriere
= Hornfunktion F(x) = Potentialbarriere
= Hornfunktion
RT
RL
RR
1xF1xθ
TL
RR
1xF1xθ
TL
Leitung oberhalb Abschneide-Frequenz:
cxFcxkxω CC cxFcxkxω CC
aπS 2 aπS 2
4.3.7. Salmon-Hörner
Wellenfront
xS
•
a(x)x0(x)
xθ const.
xd
ad
a
1F
2
2
const.xd
ad
a
1F
2
2
( konstanter Abschneidefrequenz )
Lösung:
xmkitωi0
0
22
eea
pp
xmsinhTxmcoshaa
m = Hornkonstante
Wellenleitung k2 > m2
Wichtige Spezialfälle:
T = 1: Exponentialhorn xmexpaa 0
T = 1: Katenoidalhorn ( glatter Zylinderanschluss ) xmcoshaa 0
0mxm
1T
0
x
x1aa
00
Konisches Horn mit Apex in x0
( F = 0 kein Frequenzabschnitt )
Hörner = kontinuierliche Impedanzwandler
effiziente Abstrahlung oberhalb ωC
4.3.8. Endliche konische Hörner
L = 1 m a = 5 cmL = 1 m a = 5 cm
Zin /
Z0
L = 1 m a1 = 0,5 cm a2 = 5 cmL = 1 m a1 = 0,5 cm a2 = 5 cm
Zin /
Z1
L
LZS
ScρZ0
S2S1
L
LZ11 ScρZ
Abhängigkeit der Resonanzfrequenzen vom Öffnungsverhältnis( Vereinfachte Darstellung für ZL = 0 )
a1 / a2
ω1
ω2
ω3
ω4
ω1
ω2
ω3
ω4
Beidseitig offene Hörner( Flöten, Orgel-Rohrpfeifen )
Einseitig geschlossene Hörner( Rohrblatt- / Lippen-
getriebene Blasinstrumente )
4.3.9. Besselhörner x0xba γ x0xba γ
• γ = 0: Zylinderrohr
• γ = 1: konisches Horn mit Apex bei x = 0
• γ > : stark divergente Mündung bei x = 0 ( realistische Beschreibung moderner Blasinstrumente )
Besselhörner: x0xba γ x0xba γ
Analytische Lösung für γ > 0 (ebene-Wellen-Näherung):
xkNBxkJAxxp 21
21
21
γγ
γ
xkNBxkJAxxp
21
21
21
γγ
γ
Bessel-Funktion Neumann-Funktion
Ideal offenes unendliches Besselhorn:
xkJxAxp 21
21
γ
γ
xkJxAxp
21
21
γ
γ
Besselhornfunktion bei offener Mündung:
Ebene-Welle-Näherung
Kugelwellen-Näherung
Totalreflexion bei F(x) k2Totalreflexion bei F(x) k2
F Horn strahlt nicht ab !F Horn strahlt nicht ab !
Freie Abstrahlung für k2 > FmaxFreie Abstrahlung für k2 > Fmax
TunneleffektTunneleffekt
Teilabstrahlung für k2 < Fmax
Teilabstrahlung für k2 < Fmax
4.3.10. Netzwerkanalyse
Allgemeiner Wellenleiter ( passiver ) elektrischer Vierpol
xuS U
xpp
111
11
xuS U
xpp
111
11
xuS U
xpp
222
22
xuS U
xpp
222
22
x1 x2
S1
S2
Impedanzmatrix:
2
1
2
1
2221
1211
U
UZ
p
p
ZZ
ZZZ
Beispiel: Beidseitig offenes konisches Horn
S2S1
L
x
x2x10
Reziprozitäts-Theorem:
Für beliebige (passive) Hörner gilt Z Z 2112 Z Z 2112
21
21
21
2112
21
21
222
21
12
111
θθLksin
θsinθsin
SS
cρiZZ
θθLksin
θsinθLksin
S
cρiZ
θθLksin
θsinθLksin
S
cρiZ
1,21,2 xkarctanθmit
Beobachtung: Z12 = Z21 gilt auch allgemein
Transportmatrix:
2
1
2
1
22
11
21
2
2
1
1
22
11
21
U
UZ
p
p
A1
AdetA
A
1Z
U
pA
U
p
Z1
ZdetZ
Z
1A
Behandlung zusammengesetzter Hörner:
Z(1), A(1) Z(2), A(2)U1 U2U3
p1 p2 p3
2
21
1
1
U
pA
U
p
3
32
2
2
U
pA
U
p
Verkettungsregel: 21tot AAA
Bemerkung: 1AdetZ Z 2112 1AdetZ Z 2112
Beispiel: Ideal offenes konisches Rohr mit Zylinder-Eingang
f max
von
Zin (
Tro
mpe
tenm
aße)
totKonusZylindertot ZAAA
Z Z tot11in Z Z tot
11in
Harmonisches Spektrum bei
L1 L2
Harmonisches Spektrum bei
L1 L2
Beispiel: Horn mit Abschlussimpedanz ZL
ZL
p2p1
U2U1
LL A ,Z
21L21 UUZpp
11
11 ZZ L
L
1Z
01 A
1L
L
ZL
LL A ,ZA , Z
Horn
22L
22
L11
21
Ltot
ZZ
Z1
ZdetZ
ZdetZ
Z
1AAA
Eingangsimpedanz:
0ZHorn offenes idealZ
ZdetZHorn nesgeschlosse Z
ZZ
ZZZ
A
AZ Z
L22
L11
L22
211211tot
21
tot11tot
11in
0ZHorn offenes idealZ
ZdetZHorn nesgeschlosse Z
ZZ
ZZZ
A
AZ Z
L22
L11
L22
211211tot
21
tot11tot
11in
21
12
111in θθLksin
θsinθLksin
S
cρiZZ
1,21,2 xkarctanθmit
Beispiel: Ideal abgeschlossenes konisches Horn
S2S1
L
x
x2x10
LZ
Quasistatischer Grenzfall: 1xk L,k 1,2
V
cρ
ωi
1
xx
3x
Sk
cρi
θθLksin
θsinθLksin
S
cρiZ
2
31
32
21
121
12
1in
Hohlraumform in diesem Grenzfall irrelevant
= akustische Impedanz eines Hohlraums
= akustische Nachgiebigkeit elektrische Kapazität
V
cρ
ωi
1Z
2
in
2cρ
V
121
21121
122in θLksinθθLksin
θsinθsinθLksinθLksinθsin
S
cρi
Z
ZdetZ
1,21,2 xkarctanθmit
Beispiel: Ideal offenes konisches Horn
Quasistatischer Grenzfall:
21
1,2in
SS
Lρωi
1xk Z
S2S1
L
x
x2x10
0ZL
Spezialfall offenes Zylinderrohr: S1 = S2 = S S
Lρωi ZZyl
in S
Lρωi ZZyl
in
Allgemein:
= akustische Impedanz eines ideal offenen Horns
= akustische Trägheit elektrische Induktivität
Hornin S
1LρωiZ
HornS
1Lρ
Quasistatische Netzwerke: Beispiel 1
Helmholtz-Resonator getrieben durch äußeres
Schallfeld pext
Helmholtz-Resonator getrieben durch äußeres
Schallfeld pextL
S
VZcavZcav ZpipeZpipe ZradZrad
pextpextUU
~
ZcavZcav ZpipeZpipe ZradZrad
pextpext
UU
pext Wechselspannungsquelle
Zrad komplexer Widerstand
Zpipe Induktivität
Zcav Kapazität
pext Wechselspannungsquelle
Zrad komplexer Widerstand
Zpipe Induktivität
Zcav Kapazität
Quasistatische Netzwerke: Beispiel 2
Helmholtz-Resonator intern getrieben durch
vibrierende Wand
Helmholtz-Resonator intern getrieben durch
vibrierende Wand
U0 Wechselstromquelle
Zrad komplexer Widerstand
Zpipe Induktivität
Zcav Kapazität
U0 Wechselstromquelle
Zrad komplexer Widerstand
Zpipe Induktivität
Zcav Kapazität
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ZradZrad
U0U0
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