Problemlösen im Mathematikunterricht

Problemlösen im Mathematikunterricht

Michael Rüsing

B. M. V. – Schule

Bardelebenstraße 9

45147 Essen

michael@ruesing-essen.de

Voraussetzungen

• Problemlösen kann man nur durch Problemlösen lernen

• Problemlösen muss ein durchgehendes Prinzip im Mathematikunterricht sein

• Problemlösestrategien können in allen Gebieten der Mathematik erfahren und eingeübt werden

• Schulbuchaufgaben müssen Anlässe zum Problemlösen bieten

Klasse 6:

-  wenden die heuristischen Strategien „Beispiele finden“, „Überprüfen durch Probieren“, „Unterscheiden und Abarbeiten verschiedener Fälle“ an-  übersetzen Situationen aus Sachaufgaben in mathematische Modelle (Rechenoperationen, Terme, Gleichungen, geometrische Darstellungen, Diagramme)

Klasse 8:-  überprüfen bei einem Problem die Möglichkeit mehrerer Lösungen

-  wenden die heuristischen Strategien „Spezialfälle finden“ und „Verallgemeinern“ an und variieren damit die Problemstellung-  nutzen verschiedene Darstellungsformen (Tabellen, Skizzen, Gleichungen) zur Problemlösung

Klasse 10:-  zerlegen komplexe Probleme in Teilprobleme

-  nutzen verschiedene heuristische Strategien („Zerlegen“, „Analogie bilden“, „Zurückführen auf Bekanntes“, „Vorwärts- und Rückwärtsarbeiten“) und bewerten ihre Praktikabilität

Problemlösen im Mathematikunterricht

(Problemlösen im weiteren Sinne)

1. Problem findenSchülerinnen und Schüler entdecken Probleme und Fragestellungen in inner- wie außermathematischen Kontexten. Hierbei erfassen sie die Problemsituation genauer und bewerten, ob eine Frage interessant und verfolgenswert erscheint.

2. Problem lösen (Problemlösen im engeren Sinne)Schülerinnen und Schüler setzen ihre erworbenen Kompetenzen in neuer Weise oder in neuer Kombination ein, um ein selbst gesetztes oder vorgegebenes Ziel zu erreichen. Hierbei werden vorhandene Kompetenzen oder bekannte Begriffe zugleich gefestigt und flexibilisiert.

Problemlösen im Mathematikunterricht

(Problemlösen im weiteren Sinne)

3. Problem weiterentwickelnDie Suche nach einer Problemlösung führt auf neue oder allgemeinere Ideen oder auf weiterführende Probleme. Hierbei entstehen neue mathematische Begriffe und Verfahren.

aus Leuders, T., Mathematik Didaktik, 2003

Warum Problemlösen?

• Durch Problemlösen wird Mathematik selbstständig entwickelt

• Probleme schaffen Anknüpfungspunkte für das Behalten und Erinnern

• Problemlösen ist Schlüsselkompetenz

• Problemlösen vermittelt Erfolgserlebnisse (Aha-Erlebnisse)

aus Leuders, T., Mathematik Didaktik, 2003

Kriterien für gute Probleme

1. Ein Problem führt auf allgemeinere mathematische Ideen und macht übergreifende Zusammenhänge verständlich. Dabei macht es gegebenenfalls neue Begriffsbildungen nötig und zugleich einsichtig.

2. Ein Problem gibt Anlass zu divergentem Arbeiten und individuellen Erkundungen. Dabei sollte es vor allem unterschiedliche Ansätze –auch auf unterschiedlichem Niveau- erlauben.

Kriterien für gute Probleme

3. Ein Problem bietet einen (inner- oder außermathematischen) Kontext für ein mathematisches Konzept. Dabei sollte es vor allem leicht zugänglich sein, die Problemsituation muss den Lernenden unmittelbar verständlich sein.

4. Ein Problem besteht aus einer Situation, in der Schülerinnen und Schüler erst die Strategie selbst entwickeln müssen. Dabei können sie aus vorhandenen Kenntnissen schöpfen und diese neu kombinieren.

aus Leuders, T., Mathematik Didaktik, 2003

Wie gestaltet man einen problemlösenden Unterricht?

•••

• Schließlich müssen Schülerinnen und Schüler fortschreitend auch effektive Problemlösestrategien und hilfreiche Arbeitstechniken entwickeln. Diese können sukzessive im Unterricht angereichert und bewusst gemacht werden. Insbesondere muss man sie ermutigen, solche Strategien bewusst zu benutzen. Beispielsweise ist vielen Schülern keineswegs klar, dass man in der Mathematik auch mit Versuch und Irrtum und Spezialfällen arbeiten darf.

•••

aus Leuders, T., Mathematik Didaktik, 2003

Wie gestaltet man einen problemlösenden Unterricht?

•••

• Schließlich müssen Schülerinnen und Schüler fortschreitend auch effektive Problemlösestrategien und hilfreiche Arbeitstechniken entwickeln. Diese können sukzessive im Unterricht angereichert und bewusst gemacht werden. Insbesondere muss man sie ermutigen, solche Strategien bewusst zu benutzen. Beispielsweise ist vielen Schülern keineswegs klar, dass man in der Mathematik auch mit Versuch und Irrtum und Spezialfällen arbeiten darf.

•••

aus Leuders, T., Mathematik Didaktik, 2003

Abgrenzung Problemlösen - Modellieren

Modellieren: Arbeiten in außermathematischen Kontexten

Problemlösen: Arbeiten in innermathematischen Situationen, nachdem das Modell aufgestellt worden ist

(so wie es die Kernlehrpläne in NRW verstehen)

Heuristische Strategien sind

• niemals Selbstzweck

• immer ein Angebot

• keine Garantie auf Erfolg

• nicht eindeutig der Aufgabe zuzuordnen

• nur durch eigenes Handeln erlernbar

a) Weise nach, dass genau drei Runden gespielt wurden.

b) Wer gewann die erste Runde?

c) Wie viele Punkte erzielte Tom in der letzten Runde?

Ria, Sarah und Tom spielen ein Spiel. Zu Anfang wählen sie drei ganze Zahlen a, b und c mit a > b > c > 0. Dann spielen sie mehrere Runden des Spiels; in jeder Runde gilt: Einer der drei wird Erster und bekommt a Punkte, ein anderer wird Zweiter und bekommt b Punkte, der dritte wird Letzter und bekommt c Punkte. Außerdem wird noch als bekannt vorausgesetzt:

In der zweiten Runde hatte Sarah a Punkte bekommen.

Der Endstand lautete: Ria 20 Punkte, Sarah 10 Punkte, Tom 9 Punkte.

Aufgabenbeispiel

Lösungshinweise

Gesamtzahl der erreichten Punkte: 20 + 10 + 9 = 39

Zerlegung in ein Produkt (4 Möglichkeiten):

39 = 1 · 39

39 = 3 · 13

39 = 13 · 3

39 = 39 · 1

mehrere Runden

3 Runden zu je 13 Punkten

mindestens 6 Punkte pro Runde

Lösungshinweise

Zerlegung von 13 in drei Summanden

Mit einschränkenden Bedingungen:

• alle Summanden unterschiedlich

• alle Summanden größer 1

• größter Summand 8

a > b > c

a > b > c > 0

Sarah hat einmal gewonnen und insgesamt 10 Punkte

Lösungshinweise

Systematische Darstellung in einer Tabelle

a 8

b 4

c 1

Lösungshinweise

Systematische Darstellung in einer Tabelle

a 8 8

b 4 3

c 1 2

Lösungshinweise

Systematische Darstellung in einer Tabelle

a 8 8 7 7 6 6

b 4 3 5 4 5 4

c 1 2 1 2 2 3

Lösungshinweise

Systematische Darstellung in einer Tabelle

a 8 8 7 7 6 6

b 4 3 5 4 5 4

c 1 2 1 2 2 3

20 Punkte RiaProbe!

Lösungshinweise

Die einzige mögliche Lösung ist a = 8; b = 4; c = 1

Ria: 20 Punkte 20 = 8 + 8 + 4

Sarah: 10 Punkte 10 = a + d = 8 + 1 + 1

Tom: 9 Punkte 9 = 4 + 4 + 1

8 Punkte von Sarah in der zweiten Runde;somit hat Tom 4 Punkte in der dritten Runde

Probe

Zusammenstellung einiger Problemlösestrategien

Systematisches Probieren

Vorwärtsarbeiten / Rückwärtsarbeiten

Transformation in eine andere Darstellungsart

-         Gleichung, Term, Graph, Skizze,Tabelle

Mustererkennung

Reduktion des Schwierigkeitsgrades

-         Komplexität, einfachere Werte, Umkehraufgabe

Zerlegung in Teilprobleme

Analogiebildung

Systematisches Probieren

Erfassen aller möglichen Fälle

und

Ausschließen der unmöglichen Fälle

Ohne Systematik verliert man leicht den Überblick.

Wurden wirklich alle Fälle betrachtet?

a) Wie viele Punkte können die Kinder erreicht haben? Gib alle Möglichkeiten an.

b) Es hat sich herausgestellt, dass der Punktabstand zwischen Anke und Bastian genau so groß ist wie der zwischen Bastian und Clemens. Gib alle Möglichkeiten der Punktverteilung an, für die dies zutrifft.

Mathematikolympiade Aufgabe 400521

Anke, Bastian und Clemens haben an einem Wettbewerb teilgenommen. Dabei hat Anke mehr Punkte erzielt als die beiden anderen Kinder, und Clemens hat weniger Punkte erzielt als die beiden andern. Wenn man die Punktzahlen der drei Kinder miteinander multipliziert, ergibt sich das Produkt 120.

C B A

1 2 60

1 3 40

1 4 30

1 5 24

1 6 20

1 8 15

1 10 12

2 3 20

2 4 15

2 5 12

2 6 10

3 4 10

3 5 8

4 5 6

Abstand A-B Abstand B-C

58 1

37 2

26 3

19 4

14 5

7 7

9 2

1 12

2 11

3 7

4 4

1 6

2 3

1 1

C B A

1 2 60

C B AC B A

1 2 60

1 3 40

C B A

1 2 60

1 3 40

1 4 30

1 5 24

1 6 20

1 8 15

1 10 12

C B A

1 2 60

1 3 40

1 4 30

1 5 24

1 6 20

1 8 15

1 10 12

2 3 20

2 4 15

2 5 12

2 6 10

Abstand A-B Abstand B-C

58 1

Abstand A-B Abstand B-C

58 1

37 2

Abstand A-B Abstand B-C

58 1

37 2

26 3

19 4

14 5

7 7

9 2

1 12

2 11

3 7

4 4

1 6

2 3

1 1

Strategie: Suche das Nachbarfeld mit der größeren Zahl

Darstellung des Weges: • Polygonzug• Codierung u-r-r-r-u-r-u

Problem der Eindeutigkeit der Lösung

Aufgabe 1

Peter erzählt seinen Freunden Paul, Kathrin und Maria von seinem letzten Sommerurlaub in Afrika: „Auf einem Safariausflug sah ich zuerst genau so viele Geier noch auf einem Baum sitzen wie schon von einem toten Tier fraßen. Nach einigen Minuten flogen 5 Geier von dem Baum zum Aas. Jetzt waren drei Mal so viele Vögel beim Aas wie oben noch auf dem Baum.“

a) Paul sagt: „Dann hast du 6 Geier am Anfang auf dem Baum gesehen.“„Nein“, sagt Maria. „Es waren 9 Geier“.Wer hat Recht?

b) Kathrin schlägt vor, verschiedene Möglichkeiten auszuprobieren.Schreibe einige Möglichkeiten übersichtlich auf!

Arbeitsform: GruppenarbeitGruppenmitglieder:Zeit:Zeitnehmer:Lautstärkenwächter:Sprecher: alle Gruppenmitglieder müssen die Lösung erklären!

I. Phase der Gruppenarbeit: Bearbeitet die Aufgabe 1

Arbeitsanweisung für die Schülerinnen und Schüler

Dauer 10 – 12 Minuten

II. Phase der Gruppenarbeit

Die „alte“ Gruppe wird aufgelöst und eine neue Gruppe gebildet.

In der neuen Gruppe sind alle Gruppenmitglieder neu!

Arbeitsform: GruppenarbeitGruppenmitglieder:Zeit:Zeitnehmer:Lautstärkenwächter:Sprecher: Schreiber:

1. Erklärt euch gegenseitig, wie ihr vorhin in der ersten Gruppenzusammensetzung (Phase I) vorgegangen seid und zu welcher Lösung ihr gekommen seid!

2. Diskutiert, welches Verfahren zum Finden der Lösung am geeignetesten ist!

3. Beschreibt, wie man am besten aus eurer Sicht vorgehen sollte, um die Wahrheit herauszufinden! Notiert euer Verfahren auf Folie oder Plakat!

Arbeitsauftrag für die neu gebildeten Gruppen:

Dauer 20 Minuten einschließlich Dokumentation auf Plakaten

III. Phase der Gruppenarbeit: Vorstellen der Gruppenergebnisse aus Phase II

Aufgabe 2

Peter erzählt weiter: „ Es dauerte nicht lange, da kamen zu dem Aas zusätzlich noch Hyänen. Einige Geier flüchteten, doch es blieben auch noch welche. Insgesamt sah ich beim Aas dann 20 Tiere. Zusammen hatten sie 56 Beine.“

Wie viele Tiere von jeder Art stritten sich nun um das Aas?

Lösung zu Aufgabe 2

Geier

Hyänen

Beine

2 3 4 ... 10 11 12

18 17 16 ... 10 9 8

76 74 72 ... 60 58 56

2

18

76

2 3 4

18 17 16

76 74 72

2 3 4 ... 10

18 17 16 ... 10

76 74 72 ... 60

Aufgabe 3

Peters Bericht geht noch weiter. „Plötzlich bebte die Erde! Ich drehte mich erschrocken um und sah einen riesigen Elefanten!

Der Wildhüter beruhigte mich und erklärte mir, dass dieser Elefant ein guter alter Bekannter sei.

Das Alter des Elefanten verriet er mir in Form eines Rätsels:

Wenn du von dem Alter des Elefanten 20 subtrahierst und das Ergebnis verdreifachst, so bekommst du eine Zahl zwischen 130 und 140, die durch 4 teilbar ist.“

Wie alt war der Elefant, den Peter gesehen hatte?

Lösung zu Aufgabe 3

Zahl

130

131

132

133

134

135

136

137

138

139

140

teilbar durch 4

X X X

teilbar durch 3

X X X

Zusammenstellung einiger Problemlösestrategien

Systematisches Probieren

Vorwärtsarbeiten / Rückwärtsarbeiten

Transformation in eine andere Darstellungsart

-         Gleichung, Term, Graph, Skizze,Tabelle

Mustererkennung

Reduktion des Schwierigkeitsgrades

-         Komplexität, einfachere Werte, Umkehraufgabe

Zerlegung in Teilprobleme

Analogiebildung

Existenz und Eindeutigkeit von Lösungen

Übertragung in eine andere Darstellung

(1) K > A; K > J

(2) K > L; F > L

(3) F > N; F an Position 1; N an Position 2

F > N > K; die Reihenfolge von A, L und J ist unbestimmt

Existenz und Eindeutigkeit von Lösungen

Übertragung in eine andere Darstellung

(1) K > A; K > J

(2) K > L; F > L

(3) F > N; F an Position 1; N an Position 2

Weitere Fragestellungen:

Welche Aussage war überflüssig?

Existenz und Eindeutigkeit von Lösungen

Übertragung in eine andere Darstellung

(1) K > A; K > J

(2) K > L; F > L

(3) F > N; F an Position 1; N an Position 2

Weitere Fragestellungen:

Ersetze (2) durch „Florian ist jünger als Leila.“

F < L

Lehrling in einer Stunde

Maler in einer Stunde

Arbeit am Vormittag

5. Stunde

Zusammenstellung einiger Problemlösestrategien

Systematisches Probieren

Vorwärtsarbeiten / Rückwärtsarbeiten

Transformation in eine andere Darstellungsart

-         Gleichung, Term, Graph, Skizze,Tabelle

Mustererkennung

Reduktion des Schwierigkeitsgrades

-         Komplexität, einfachere Werte, Umkehraufgabe

Zerlegung in Teilprobleme

Analogiebildung

n3 = 3² + 2 · 3

n3 = 3² + 2 · 3 n3 = 4² - 1

n100 = 100² + 2 ·100 n100 = 101² - 1

Ergänzung: Bestimme Umfang und Flächeninhalt der Figur im 100. Schritt

Flächeninhalt: 1 2 3 4+1 +1 +1

Rechteckmuster mit Anfangswert 1 und Additionszahl 1

Umfang: 4 6 8 10+2 +2 +2

Rechteckmuster mit Anfangswert 4 und Additionszahl 2

Verschiedene Zählweisen für die 4. Figur

2 · 5

2 · 4 + 2

5 · 2

100. Figur

2 · 101

2 · 100 + 2

101 · 2

1 Würfelturm

Ein Würfel liegt vor dir auf dem Tisch.

Man kann ihn von allen Seiten betrachten.

5 Quadrate sind sichtbar,

1 Quadrat ist verdeckt.

Bei einem zweistöckigen Turm sind am Boden

und im Innern drei Quadrate verdeckt.

9 Quadrate sind sichtbar,

3 Quadrate sind verdeckt.

Einführung in die Algebra mit Würfelbauten

Wie viele Quadrate sind sichtbar, und wie viele sind verdeckt

•bei einem dreistöckigen Turm

•bei einem vierstöckigen Turm

•…

Erkennst du Gesetzmäßigkeiten ?

Paul erhält für die sichtbaren Quadrate den Term: 6 x – 2 x + 1. Wie hat er gedacht ?

Paradoxon des Zenon (Klasse 11)

Vereinfachungen: Geschwindigkeit Achill 10 m/sGeschwindigkeit Schildkröte 5 m/sVorsprung 10 m

Argumentations-schritt

Zeitpunkt Ort von Achill Ort der Schildkröte

Vorsprung

0 0 0 10 10

1 1 10 15 5

2 1,5 15 17,5 2,5

3 1,75 17,5 18,75 1,25

4 1,875 18,75 19,375 0,625

Paradoxon des Zenon (Klasse 11)

Vereinfachungen: Geschwindigkeit Achill 10 m/sGeschwindigkeit Schildkröte 5 m/sVorsprung 10 m

Argumentations-schritt

Zeitpunkt Ort von Achill Ort der Schildkröte

Vorsprung

0 0 0 10 10

1 1 10 15 5

2 1,5 15 17,5 2,5

3 1,75 17,5 18,75 1,25

4 1,875 18,75 19,375 0,625

Paradoxon des Zenon (Klasse 11)

Vereinfachungen: Geschwindigkeit Achill 10 m/sGeschwindigkeit Schildkröte 5 m/sVorsprung 10 m

Argumentations-schritt

Zeitpunkt Ort von Achill Ort der Schildkröte

Vorsprung

0 0 0 10 10

1 1 10 15 5

2 1,5 15 17,5 2,5

3 1,75 17,5 18,75 1,25

4 1,875 18,75 19,375 0,625

= 10 · 1

= 10 · 1,5

= 10 · 1,75

= 10 · 1,875

Paradoxon des Zenon (Klasse 11)

Vereinfachungen: Geschwindigkeit Achill 10 m/sGeschwindigkeit Schildkröte 5 m/sVorsprung 10 m

Argumentations-schritt

Zeitpunkt Ort von Achill Ort der Schildkröte

Vorsprung

0 0 0 10 10

1 1 10 15 5

2 1,5 15 17,5 2,5

3 1,75 17,5 18,75 1,25

4 1,875 18,75 19,375 0,625

= 10 · 1

= 10 · 1,5

= 10 · 1,75

= 10 · 3/2

= 10 · 7/4

12

1210

n

n

= 10 · 1,875 = 10 · 15/8

Zusammenstellung einiger Problemlösestrategien

Systematisches Probieren

Vorwärtsarbeiten / Rückwärtsarbeiten

Transformation in eine andere Darstellungsart

-         Gleichung, Term, Graph, Skizze,Tabelle

Mustererkennung

Reduktion des Schwierigkeitsgrades

-         Komplexität, einfachere Werte, Umkehraufgabe

Zerlegung in Teilprobleme

Analogiebildung

Strategie „Rückwärtsarbeiten“

Was brauche ich, um die gesuchte Größe zu bestimmen?

Welches Teilziel muss ich zunächst erreicht haben?

Anwendbar, wenn der Überblick über den einzuschlagenden Weg fehlt

Strategie „Rückwärtsarbeiten“

„Working Backwards is one of the oldest problem-solving strategies, used since antiquity. The ancient Greeks used the method in construction problems. They assumed that an object is already constructed, and they worked backwards to the data, which were actually given.“

Arthur Engel, Problem-Solving Strategies

Raumdiagonale in einem Quader

Was brauche ich, um die Länge der Raumdiagonalen zu bestimmen?

Wenn die Länge der Flächendiagonalen bekannt wäre, könnte die gesuchte Größe bestimmt werden.

Vorwärtsarbeiten kann in Sackgassen führen

172

244

153

zyx

zyx

zyx

172

3 7

15 3

zyx

zx

zyx

4 79

3 7

15 3

yx

zx

zyx

addiere

addiere

Rückwärtsarbeiten fragt:

Welches Zwischenziel soll erreicht werden?

Zwischenziel:

2 Gleichungen mit 2 Variablen

Eliminiere y aus (1) und (3)

leider unbrauchbar

E 6.4 Eine Klassenfahrt wird geplant

Die Klasse 6c will eine Wanderfahrt machen. Es soll ins 165 km entfernte Waldbach gehen. Dort wollen die 32 Schülerinnen und Schüler mit zwei Begleitern 5 Tage lang in der Jugendherberge bleiben. An einem Tag ist die Besichtigung der nahe gelegenen Burg ‚Schreckenstein’ mit einer Führung geplant.

Nun unterhalten sich die Schülerinnen und Schüler darüber, wie viel jeder einzelne bezahlen muss.

Busse Reisen, 57823 Neustadt

Angebot

Auf Ihre Anfrage vom 13.5. machen wir folgendes Angebot:

Bus mit 38 Plätzen Waldbach (165 km) hin und zurück zum Gesamtpreis von 800 €.

Wir würden uns freuen, Ihre Klasse zu fahren.

Jugendherberge Waldbach

Wir danken für Ihre Anfrage und teilen Ihnen hiermit unsere Preise mit:

Tagessatz einschließlich Verpflegung 26,00 € pro Person.Bei Gruppen von mehr als 25 Personen gewähren wir zwei Freiplätze.

Wir freuen uns auf Ihren Aufenthalt in unserer Herberge

Burg Schreckenstein – die Attraktion von Waldbach

Öffnungszeiten täglich von 10.00 Uhr bis 18.00 Uhr

Eintritt: Kinder bis 14 Jahre 1,50 € Jugendliche / Erwachsene 2,50 € Gruppen ab 10 Personen 1,20 € pro Person

Für Gruppen bieten wir qualifizierte Führungen zum historischen Hintergrund an. Preis für die gesamte Gruppe 40,00 €

  a) Ergänze die unvollständigen Sprechblasen und setze das Gespräch fort.

b) Die 1. Sprechblase kann in die Sprache der Mathematik übersetzt werden:Einzelkosten = Gesamtkosten : Schülerzahl

c) Übersetze die weiteren Sprechblasen und auch deine Fortsetzung des Gespräches in die Sprache der Mathematik.

d) Vergleiche die Reihenfolge, in der du schließlich rechnen kannst mit der Reihenfolge des Sprechblasen.

e) Die gesamte Abfolge kann in einem Lösungsplan übersichtlich zusammengestellt werden. Der Anfang ist hier schon vorgemacht.

=

Gesamtkosten : SchülerzahlEinzelkosten =

Gesamtkosten = Fahrkosten + +

=

f) Welche Informationen aus den Angeboten werden zum Lösen der Aufgabe nicht benötigt?

E 6.14 Rückwärtsarbeiten

Aufgabe 1:

Einst wollte ein Kaufmann in einer fremden Stadt seine Waren verkaufen. Dazu brauchte er die Genehmigung des Bürgermeisters.

Um dorthin zu gelangen, musste er durch 5 Vorzimmer gehen. In jedem Vorzimmer erhielt er die Genehmigung, in das nächste Zimmer zu gehen.

Für jede Genehmigung musste er die Hälfte seiner Ware als Gebühr und noch 2 Stück dazu als Bestechungsgeld abgeben.

Als er schließlich beim Bürgermeister angelangt war, verlangte dieser ein Stück der Ware für die Verkaufserlaubnis. Als der Kaufmann auch dieses Stück abgegeben hatte, musste er feststellen, dass er keine Ware mehr hatte, und er musste wieder abreisen.

Wie viele Stücke seiner Ware hatte er eigentlich in die Stadt mitgebracht?

Tipp:

Versuche zuerst ohne Hilfe die Aufgabe zu lösen.

Wenn du nach einiger Zeit noch keine Idee hast, dann kannst du dir beim Lehrer Tippkarten holen!

Tippkarte 1.1Veranschauliche zum Beispiel durch eine Skizze den in der Aufgabe beschriebenen Weg des Kaufmanns zum Bürgermeister!

Tippkarte 1.2Spiele mit Hilfe der vorliegenden Warenkarten die Situation nach!

Tippkarte 1.3Am Ende beim Bürgermeister hatte der Kaufmann noch ein Stück seiner Ware.Überlege, wie viel er davon hatte, als er in das 5. Vorzim-mer, in das 4. Vorzimmer, in das 3. Vorzimmer usw. ging!

+2·2

6

Aufgabe 2:

Drei Freunde haben Erdbeeren gepflückt. Nun sind sie müde und wollen die Beeren deshalb erst am nächsten Morgen gleichmäßig verteilen.

In der Nacht wacht einer der Freunde auf. Er hat einen riesigen Hunger und isst seinen Anteil der Erdbeeren auf. Dann schläft er satt wieder ein.

Kurz danach wacht der zweite Freund auf. Auch er hat Hunger. Weil er aber nicht weiß, dass bereits ein Anteil der Erdbeeren aufgegessen worden ist, isst er von den Erdbeeren, die noch da sind, ein Drittel.

Das gleiche geschieht auch mit dem dritten Freund.

Als alle am Morgen aufwachen und die Erdbeeren verteilen wollen, sind noch 24 Erdbeeren da.

Wie viele Erdbeeren hatten die Freunde eigentlich vorher gesammelt?

Tippkarte 2.1

Denke an das Rückwärtsarbeiten!

Tippkarte 2.2

Überlege:Wie viele Erdbeeren waren noch vorhanden, als der 3. Freund anfing zu naschen?

Aufgabe 3:

Das Spiel „Hundert gewinnt“ könnt ihr zu zweit spielen. Gespielt wird abwechselnd. Jeder Spieler, der an der Reihe ist, wählt eine Zahl zwischen 1 und 8 und nennt diese Zahl. Die Zahl wird dann zur Summe der bisher genannten Zahlen addiert. Es gewinnt derjenige, der die Summe 100 erreicht.

Beispiel: In diesem Spiel spielen Eva und Udo gegeneinander:

Udo beginnt und nennt die Zahl 4.

Eva nennt die Zahl 3. Die Summe ist 7.

Nun nennt Udo die Zahl 8. Die neue Summe ist 15.

Und so geht es weiter, bis einer auf die Summe 100 kommt.

a) Spiele das Spiel mit deinem Nachbarn oder deiner Nachbarin. Achtet darauf, dass ihr die Zahlen, die genannt werden, und alle Summen genau aufschreibt.

b) Manchmal kann man bereits vor dem Ende des Spiels erkennen, dass einer der Spieler gewinnen wird. Überlege, welche Summe man in seinem vorletztem Zug erreichen sollte, damit der Gegenspieler nicht mehr gewinnen kann.

c) Wenn der Spieler, der die erste Zahl nennt, das richtig macht und danach keinen Fehler mehr macht, kann der andere Spieler nicht mehr gewinnen. Wie muss der erste Spieler vorgehen?

Was kann man aus den gegebenen Größen alles berechnen?

• Gesamtbetrag in €

• Gesamtbetrag in $

• Wechselkurs

• sinnlose Rechnungen

Vorwärtsarbeiten

Was kann man aus den gegebenen Größen alles berechnen?

• Gesamtbetrag in €

• Gesamtbetrag in $

• Wechselkurs

• sinnlose Rechnungen

Vorwärtsarbeiten

Fazit

In modernen Schulbüchern lassen sich Aufgaben zur Problemlösekompetenz finden

In vielen dieser Aufgaben steckt weiteres Potential

Ergänzungen der vorgegebenen Aufgaben sind oft sinnvoll

Kooperative Unterrichtsentwicklung ist eine effektive Methode