SCHWINGUNGEN –WELLEN€¦ · Schwingungen 51Schwingungen Wellen 5.1 • Federpendel Auslenkung x,...

SCHWINGUNGEN – WELLEN Schwingungen – ResonanzWellenelektrischer Schwingkreis – elektromagnetische Wellen

Schwingungen 5 1 SchwingungenWellen 5.1  Schwingungen

• Federpendel• Federpendel Auslenkung x, Masse m, Federkonstante kH Bewegungsgleichung:

2

2

d ( )( )H

x tm k x t Bewegungsgleichung: 

Ansatz über Kräfte auf MasseTrägheitskraft = rücktreibende Kraft

( ) sin( )x t x t

2 ( )d Ht

Kreisfrequenz  Schwingungsfrequenz    f=0/2

0 0 0( ) sin( )x t x t

0 Hk m Sc gu gs eque f 0/ Periodendauer T=1/f

Amplitude  x0• Energie

Gesamtenergie = kinetische Energie + potentielle Energie = konstant2k x

2

proportional Quadrat der Auslenkung0

0, 2H

ges

k xE

SchwingungenWellen

• gedämpfte Schwingung• gedämpfte Schwingung z.B. Reibungskraft (proportional v=dx/dt)

2d ( ) d ( )( )

x t x tm k x t2 ( )

d dHm k x tt t

0 0( ) sin( )tx t x e t

Abklingkoeffizient..., ‐zeit.......A=1/ =2m/ Frequenz verschoben:  2

0 01 ( 2 )m Energie nimmt exponentiell ab mit Abklingzeit E=m/

/0( ) EtE t E e

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SchwingungenWellen

• Erzwungene Schwingung• Erzwungene Schwingung periodische äußere Kraft  << 0: Masse folgt immer der Antriebskraft

0( ) cos( )F t F t  0:  Masse folgt immer der Antriebskraft

>> 0:  Massenträgheit überwiegt, ( ) ( )/ Hx t F t k

Reibung und Rückstellkraft spielen keine Rolle

≈ 0:   Masse nimmt dauernd Energie auf,

2( ) ( )/( )x t F t m 0: asse t daue d e g e au ,nur Reibung begrenzt Amplitude

00

Fx Resonanz,

Masse schwingt mit frequenzabhängiger

0 22 2 2 2 2

0

xm

max. Amplitude bei2 20 2R

4

Masse schwingt mit frequenzabhängigerPhase relativ zu Antrieb 2 2

0tan ( )m

SchwingungenWellen

• Überlagerung von Schwingungen• Überlagerung von Schwingungen Addition der Schwingungen 

(Addition von Sinusschwingungen) "Schwebung"

1 2( ) ( ) ( )( ) i (( ) /2) i (( ) /2)

x t x t x tt t

• Gekoppelte SchwingungenB P d l E i ht P d l 1 f 2

0,1 0,2 1 2 1 2( )sin(( ) /2)sin(( ) /2)x x t t

z.B. Pendel: Energie geht von Pendel 1 auf 2 2 unterschiedliche "Schwingungsmoden" 

(Freiheitsgrade) Molekülschwingungen (C02)

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SchwingungenWellen

• Grund Oberschwingung• Grund‐, Oberschwingung transversale oder longitudinale 

Auslenkung gekoppelter Massen Saite Orgelpfeife

transversal: transversal:Saite, Wasseroberfläche,Balken

longitudinal:Schall in Luft, Druckwellen in Wasser, etc.

festes Ende: Knoten (keine Auslenkung)( g) offenes Ende: Bauch (max. Auslenkung) "Randbedingungen"

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Schwingungen 5 2 WellenWellen 5.2  Wellen

• Ausbreitung von Auslenkungen:• Ausbreitung von Auslenkungen: während T=1/f breitet sich Wellen um eine

Wellenlänge aus:  Ausbreitungsgeschwindigkeit der Phasenlage: /T f c

02 2

( , ) sinA x t A t x

Wellenlänge...,     Wellenvektor...k=2/

0 sin( )A t kx

e e ä ge..., e e e to ... / Wellenfront:   Linien gleicher 

PhaseÜ Überlagerung möglich

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Schwingungen Ausbreitung einer WelleWellen Ausbreitung einer Welle

• Interferenz:• Interferenz:  Überlagerung von Wellen (Addition) Verstärkung:  Wellen mit gleicher Phasenlage (=0)

Auslöschung:( , ) sin( ) sin( ) 2 sin( )A x t A t kx A t kx A t kx

Auslöschung: bei entgegengesetzter Auslenkung (=)( , ) sin( ) sin( )

i ( ) i ( ) 0A x t A t kx A t kx

A t k A t k

• Prinzip von Huygens J d i W ll t P kt i d

sin( ) sin( ) 0A t kx A t kx

Jeder von einer Welle erregte Punkt wird selbst zum Ausgangspunkt einer neuen Kreis‐/Kugelwelle. Überlagerung aller 

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Kugelwellen ergibt neue Wellenfront

SchwingungenWellen

Beispiel für HuygensschesPrinzip

R fl i• Reflexion• Einfallswinkel = Ausfallswinkel

• Brechung• Brechungsgesetz 2 2sin k c

• Brechungsgesetz1 1sin k c

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SchwingungenWellen

• Beugung• Beugung Schall kann auch hinter Hindernis 

wahrgenommen werden (ohne Reflexion – Baum auf Wiese)Effekt hängt von Wellenlänge  ab

Beugung an Kante: Beugung an Kante:  Eindringtiefe

Beugung an Spalt (Breite b):D...Abstandx D

abwechselnd helle, dunkle Bereichedunkel bei

B Gi (S l b d b)

min2

sin , ,..., ,...n

b b b Beugung an Gitter (Spaltbstand a>>b)

Maxima bei

• wichtig u.a. in Optik bei Auflösungs‐maxsin

na

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wichtig u.a. in Optik bei Auflösungsvermögen  optischer Geräte

Schwingungen DopplereffektWellen Dopplereffekt

• bewegte Quelle (Geschwindigkeit v)• bewegte Quelle (Geschwindigkeit v) nächste Wellenfront wird von anderer Position ausgelöst Abstand der Wellenfronten kürzer in Bewegungsrichtung und größerAbstand der Wellenfronten kürzer in Bewegungsrichtung und größer 

entgegen der Bewegungsrichtung beobachtete Wellenlänge B und Frequenz fB

ä d t üb W ll lä /F fgeändert gegenüber Wellenlänge S /Frequenz fSder Quelle 

v f 1 vf f

Tonhöhe ändert sich, wenn z.B.: Einsatzfahrzeug mit Sirene vorbeifährt

B S sv f 1 vcB Sf f

umgekehrt tritt der Effekt natürlich auch auf, wenn sich der Beobachter relativ zur Signalquelle bewegt

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g q g

Schwingungen 5 3 Akkustik SchallWellen 5.3.  Akkustik – Schall 

• Mechanische Druck‐Wellen in MedienMechanische Druck Wellen in Medien kein Schall in Vakuum                          

• Ausbreitung von Schall abhängig von Kräften zwischen Atomen siehe auch Elastizität!                    ..Dichte, d~Druck*cp/cV, Kompressibilitäts‐/Elastizitätsmodul

• Festkörper: transversal/longitudinale Wellen

2 /c d

• Festkörper: transversal/longitudinale Wellen  c1500Gewebe/3000Knochen, poröses Gestein/5100Aluminium, Eisen/6000Marmor,Stahl

• Flüssigkeiten: longitudinale Druckwellen c1400…1500Wasserg g Wasser

• Gasen: longitudinale Druckwellen, abhängig von cp/cV (Zahl der Freiheitsgrade)   c343Luft,20°C/981Helium

• Energiedichte w kinetische Energie der Teilchen mit Geschw. vS h ll i t P

2 2max 2 akw mv f P cA

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• Schalleistung PakSchallintensität (Leistung pro Fläche A) I=Pak/ASchall(intensitäts)pegel L=10 lg (I/I0)  I0…Int bei Hörschwelle

Schwingungen UltraschalluntersuchungenWellen Ultraschalluntersuchungen

• Schallfrequenzen: Infraschall (<16Hz) Ultraschall (>> 22kHz)• Schallfrequenzen: Infraschall (<16Hz)  ‐ Ultraschall (>> 22kHz)• Reflexion an Grenzflächen (mit unterschiedl. "Impedanz", bzw. Dichte)

Z4∙10‐4L ft/1,42F tt/1,48W /1,63M k l/6,12K h in 106 kgm‐2s‐1Z 4 10 Luft/1,42Fett/1,48Wasser/1,63Muskel/6,12Knochen in 10 kgm s

• Echo‐Verfahren: kurze Pulse, Messung der Laufzeit

2 1 2 1R Z Z Z Z

• Doppler‐US: Analyse von f gibt Auskunft über bewegte Flüssigkeiten• Absorption (Schall regt Schwingungen in Medium an, exponentielle Abnahme)

Streuung (abhängig von Größe von Inhomogenitäten)

Eindringtiefe begrenzt, von Frequenz abhängig

0( ) expI x I x

Frequenz: 2–15 MHz

Wellenlänge (in Muskulatur): 0,78–0,1 mm

Eindringtiefe (einfach): 12–1 6 cm

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Eindringtiefe (einfach): 12 1,6 cm

Ortsauflösung lateral: 3,0–0,4 mm

Ortsauflösung axial: 0,8–0,15 mm

SchwingungenWellen

Seismik: • geol. Untersuchungen • Erdbeben globale Tomographie aus LaufzeitmessungenErdbeben, globale Tomographie aus Laufzeitmessungen

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Schwingungen 5 4 Elektrischer SchwingkreisWellen 5.4.  Elektrischer Schwingkreis

• LC Schwingkreis• LC‐Schwingkreis Wechsel zwischen 

Verformungsenergie – kinetischer Energie el. Energie des Kondensators – Energie des

magnetischen Feldes

• Schwingkreis Hertzscher Dipol• Schwingkreis – Hertzscher DipolÜbergang zu Antenne Dipol:

keine Abstrahlung in Achsenrichtung

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SchwingungenWellen

• Dipolstrahlung• Dipolstrahlung

Polarisation:

zusätzlich noch zirkulare Polarisation, bzw. jede Überlagerung

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j g gdieser beiden Schwingungsarten

SchwingungenWellen

• Abstrahlung• Abstrahlung elektromagnetischer Strahlung Radiowellen, Fernsehsender,Radiowellen, Fernsehsender, 

Mikrowelle, Mobilfunk, (Infrarot‐) Wärmestrahlung, Licht UV‐Licht RöntgenLicht, UV‐Licht, Röntgen, ‐Strahlung

sichtbares Spektrum

c

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8mit 2,997925 10 m sc

c

Schwingungen AnhangWellen Anhang

Schallgeschwindigkeit

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