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Statistische Methoden IWS 2002/2003
Probeklausur Freitag, 13. Dezember 2002
- statt Vorlesung -
Nächsten Freitag!!!
Die hypergeometrische Verteilung
Notation
Eine Urne enthält n Kugeln, davon Nweiße und n - N schwarze.
Aus der Urne werden nacheinanderm Kugeln ohne Zurücklegen gezogen.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit,genau k weiße Kugeln zu ziehen?
Sie beträgt gerade H(n, N, m)(k)!
Wahrscheinlichkeitsdichten
Die Exponential-Verteilung
Die Gauß- oder Normalverteilung
Die Cauchy-Verteilung
Die Student- oder t-Verteilung
Hängt von Parameter n ab!
Die Chi-Quadrat-Verteilung
Hängt ebenfalls von Parameter n ab!
Unabhängigkeit
Vier Spielkarten zeigen auf der Vorderseitedie folgenden Aufschriften:
1 1 1
Eine Karte wird zufällig gezogen.
Ereignisse A, B und C
A : „Oben steht eine 0“B: „In der Mitte steht eine 0“C: „Unten steht eine 0“
1 0 0
0 1 0
0 0 1
Trotzdem sind die Ereignisse A, B und C nicht unabhängig:
d. h. C kann nicht eintreten, wennA und B eintreten.
Man hat zwar:
Allgemein definiert man:
Bedingte Wahrscheinlichkeiten
Die Belegschaft eines Betriebes wirdnach Rauchern und Nichtrauchern ein-geteilt. Dabei ergibt sich die folgende Tabelle:
Also haben wir:
Allgemein definiert man:
Pfadregel
Dann hat man:
Baumdiagramm
Wir betrachten eine Urne mit einer roten und 3 grünen Kugeln.
1. Stufe: Eine Kugel wird zufällig gezogen,ihre Farbe notiert. Anschließend werden diese und eine Kugel derselben Farbe in dieUrne zurückgelegt.
2. Stufe: Nach dem guten Mischen wird er-neut eine Kugel zufällig gezogen und derenFarbe notiert.
Urne mit roten und grünen Kugeln
START
0 1
0 01 1
3/4 1/4
4/5 1/5 3/5 2/5
Baumdiagramm
Allgemein:
Formel von der totalen Wahrscheinlichkeit
Formel von der totalenWahrscheinlichkeit
Einkommensverteilung der Haushaltein einer bestimmten Gegend
Anteil der Haushalte, die ein Auto> DM 40 000,- anschaffen, in denverschiedenen Einkommensklassen
Es ergibt sich:
Also nach der Formel für die totaleWahrscheinlichkeit:
5
Allgemein:
Formel von der totalen Wahrscheinlichkeit
FröhlicheWeihnachtenwünscht
Shirley
Satz von Bayes
Satz von Bayes
In einer Stadt vermutet man, dass fürdie Bevölkerung die folgende Aufteilungin Deutsche, Italiener und Ausländer, diekeine Italiener sind, besteht:
wobei die letzte Zeile den jeweiligen Anteilvon Personen in der Bevölkerungsgruppeangibt, die gerne Spaghetti bestellen.
(Beispiel nach H. Haase: Stochastik für Betriebswirte)
Jemand bestellt in einer Gaststätte Spaghetti.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dassdieser Gast ein Deutscher, ein Italiener oderein nicht-italienischer Ausländer ist?
D: „Der Gast ist ein Deutscher“I: „Der Gast ist ein Italiener“A: „Der Gast ist ein Ausländer, aber kein Italiener“S: „Der Gast bestellt Spaghetti“
Nach der Formel für die totale Wahr-scheinlichkeit hat man:
Daraus ergibt sich nach dem Satz von Bayes
Satz von Bayes
Lernen aus ErfahrungBeispiel
Eine Urne enthält 4 Kugeln.Wir wissen, dass eine der folgen-den Situationen A1, A2 oder A3vorliegt:
A1: eine Kugel ist rot, die drei anderen sind grünA2: zwei Kugeln sind rot, die beiden anderen grünA3: drei Kugeln sind rot, eine ist grün
Die Wahrscheinlichkeiten für diedrei Möglichkeiten sind unbekannt.Wir setzen:
P(A1) = p1P(A2) = p2P(A3) = p3
Wir ziehen aus der Urne m Kugeln mit Zurücklegen.
Nehmen wir nun an, dass dasEreignis B geschieht.
„Bei jedem Zug zeigt sich eine rote Kugel“
B
Dann hat man:
Nach dem Satz von Bayeserhalten wir:
Ebenso:
Für große m nähert sich die bedingte Wahrscheinlichkeitfür A3 gegeben B dem Wert 1,während sich die bedingten Wahrscheinlichkeiten für A1 und A2 dem Wert 0 annähern.
Unabhängig von den Werten fürp1, p2 und p3 hat man:
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