Über die gruppen A a B b = 1

Ober die Gruppen A B b 17' Von OTTO SOHREIER in Hamburg.

Im folgenden leite ieh einige Eigensehaflen der Gruppen (~a.b ab, die yon den Elementen A, B erzeugt und dureh eine Relation A s 13 b ~--- 1 definiert werden, a und b sind dabei ganze Zahlen, die ich ohne Einsehrttnkung der Allgemeinheit als nicht-negativ und, um triviale Falle auszusehalten, als ~ 1 annehme. Unter diesen Gruppen kommen die Fundamentalgruppen aller Knoten vor, die auf den Torus gelegt werden k6nnen; z .B. ist (~3.., die Gruppe tier Kleeblattschlinge. Aus Satz II ergibt sieh eine Verein~achung yon DEHN's Beweis ffir die Ver- schiedenheit der beiden KleeblattsehlingenS), die ohne Konstruktion des Gruppenbildes auskommt und w6rtlich auch fiir beliebige Knoten auf dem Torus giltS).

I: Die Zahlen a, b si~td &erch die Gr.ppe (~a,~, bis a . f die Reihen- folge eindeutig bestimmt.

Zunitchst bilden wir die von A a I : B -b) erzeugte Untergruppe yon (~a,b. A a ist ein invariantes Element yon q~a,b, daher ,~ ein Normal- teiler yon q~a.b. Es sei ~ ~ (~a,t,/~. ~ wird yon den Elementen ~4 : ~A, B : ~ B erzeugt und durch die Relationen -4 a : 1, B b ----- 1 definiert. Jedes Element von ~ litfit sieh auf eine und, wie leicht zu sehen ist, nur eine Weise auf die Normalform ~4x, BY1 . . . . 4 x, BY, bringen, wobei

0 ~ . x l < a , O < x : < a , . . . ; - .- 0 < y ~ - ~ < b , 0 ~ y~o< b.

HilJ'ssatz 1. "~ enthalt aufier 1 kein invariantes Element.

Ist nttmlich A xl ... BY, ein invariantes Element in der Normalform,

so folgt aus der Vertauschbarkeit mit .4 und der Eindeutigkeit tier

Normalform yp-: 0 und p ~ 1, ebenso aus der Vertauschbarkeit mit B

xl ---~ 0, also ist unser Element ~---~4 ~ B ~ ~ 1.

t) Diese ~berleguugen habe ich im AnsehluB all ein topologisches Seminar yon Herrn REIDE~iEISTER in Wien angestellt.

2) Math. Ann. 75, S. 402. 3) Wie Herr DEHN mir mitteilte, ist auch sein Beweis auf alle diese Knoten

a,.vendbar.

168 0. Sehreier.

Hilfssatz 2. Jedes Element endlieher 0rdnung von ~ l~ifft sieh in eine Potenz yon .4 oder B transformieren.

Sei r e i n Element der 0rdnung c und ~4 x~ . . . BY, seine Normalform. Dann ist mindestens eine der Zahlen x~, yp ~ 0, sonst ware wegen der Eindeutigkeit der Normalform r e :~ 1. Fiir .1o = 1 ist damit die Be- hauptung bewiesen. Sie sei riehtig f ~ alle Zahlen < p. Ist etwa yp = 0, so ist .4~, r-4 -x , = ~4x~+x,.. �9 BU,-~, daher gilt die Behauptung fitr -4~l'~4-xp, also aueh ~ r F. (Analog wenn z~ = 0.)

Aus HilSssatz 1 folgt unmittelbar, daft ~ das Zentrum yon ~a,b ist. Hilfssatz 2 zeigt nun, da~ max (a, b) die grOflte endliche 0rdnung eines Elementes der Faktorgruppe des Zentrums yon (~a,b, also dureh ~a,t, eindeutig bestimmt ist. Nehmen wir zu den definierenden Relationen yon ~ noeh die Vertausehbarkeil; der Erzeugenden hinzu, so erhalten wir eine Abelsehe Gruppe der 0rdnung ab; demnaeh ist ab die 0rdnung der Faktorgruppe der Kommutatorgruppe der Faktorgaalppe des Zentrums yon (~,.b, also eindeutig dutch ~a,b festgelegt. Damit ist I bewiesen.

Um die Automorphismengruppe yon l~a.b aufstellen zu kOnnen, be- weisen wir

Hilfssatz 3. Samtliehe Automorphismen von ~ sind fiir a ~ b dutch { ~ 4 ~ T - I ~ r T ~ B ~ T - I B S T } gegeben, wo r zu a, s zu b prim sind und T ein beliebiges Element yon ~ bedeutet; fiir a ~ b kommen noch die Automorphismen {A- ,T -x B r T, B-* T -z.4s T} hinzu.

Die angegebenen Substitutionen erzeugen ersiehtlieh Automorphismen yon ~. Es ist zu zeigen, daff es keine anderen gibt. Nun miissen bei jedem Automorphismus _4 und B in Elemente ,4' und B' der 0rdnungen a und b ~bergehen. ~4', B' k0nnen nieht mit Potenzen derselben Er- zeugenden yon ~ konjugiert sein, da sonst die andere in jedem aus .4', B' gebildeten Element die Exponentensumme 0 h~tte, also in der yon ~4', B' erzeugten Gruppe nieht vork~tme. Also muff ft~r a ~ b .4~--~- P-z~I 'P, 1t' ~ ~ - z B ~ sein, wo P, ~ Elemente yon ~ sind, r und s dieselbe Bedeutung haben wie oben. Bestimmt {,4--,.4', B ~ t l ' I einen Automorphismus yon ~, so aueh {~4~I I -Z-4v lLB~BS} , wo P~-~ ~ H gesetzt ist. Da sieh dann aber .4 aus / /-x.d~r/ /und B s zusammensetzen lassen muff, k a n n / / n u r die Form .4~/~,J haben. Setzen wir nun T = ~4-~P = Bu~', so ist ~4 '= T - ~ 4 ~ 7 ", B ' -~ -T -1BST . (Analog ffir a = b.)

H. Die siimtlichen Atdomorphismen ron ~a,b sind f)'ir a ~ b din'oh I 4- - .T- I A~T. B - - ' T - 1 B ' T } gegeben, woe ~ 4-1 ~nd T ein br-

{~ber die Gruppen A" B ~ = 1. 169

licbi.qes Eleme~t yon (~a,b bedet~tet; f l i t a -~- b kommr noch die A~domorphismen { A - , T - 1 B ~ T, B - * T -a A ~ T} hinz~t.

Da ~ als eharakteristisehe Untergruppe yon (~a,b bei Anwendung jedes Automorphismus in sieh fibergeht, sind eindeutig jedem Auto- morphismus yon (~a,b Automorphismen yon ~ und ~ zugeordnet. Bcstimmt {A-~ A', B - ~ B ' ] einen Automorphismus yon (~a,b, SO mull daher A 'a~-- A u' ---- B -~b ~ B ' - b und hack Hilfssatz 3 fiir a ~: b A' - - T -~ A~§ ~' T, B ' : T - 1 B s+~bT sein, wo h, k ganze Zahlen sind. Daraus folgt r ~ - h a ~ �9 ---- sqUkb. (Analog far a ~ b.)

H I . / h e Automorphismengruppe yon (~a,b ist f i i r a 96 b mit der dutch 3 Elemente I, J, K erzeugten und dutch I a ~ 1, j b ~ 1, K ~ ~ 1,

( K I ) ~ ~ 1, (K J) ~ ---- 1 definierten abstrakten G ~ p p e eiustufig isomorph; fi~r a ~ b kommt noch eine Erzeugende L mit den Relationen L 2 ~ 1, K L ~- L K , L I ~ J L hinzu.

Um dies einzusehen, hat man blofl die durch {A~A, B--.A-IBA}, {A-,B-lAB, B-, B}, {A ~ A -1, B - ~ B -1} bestimmten Automorphismen von (~a,b der Reihe nach mit I, J, K zu bezeichnen, fiir a ~ b iiberdies den durch {A-,B, B~A} bestimmten Automorphismus yon q}~,b mit L und zu beachten, daft ~ das Zentrum yon ~a.b ist.