Vorkurs Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler · 2x4−5x2−12= 2x2 3 ⋅ x−2 ⋅ x 2...

Vorkurs

Mathematik für WirtschaftswissenschaftlerFabian Kleine

Lehrstuhl für Angewandte Mikroökonomiefabian.kleine[at]uni-erfurt.de

Inhalt

1 Grundlagen der Algebra2 Algebraische Ausdrücke3 Grundzüge der Mengenlehre4 Folgen und Reihen5 Differentialrechnung6 Grundzüge der Finanzmathematik

WS 2009/2010 Universität Erfurt 1

Literatur

Cramer, E. Und J. Neslehová (2005): Vorkurs Mathematik – Arbeitsbuch zum Studienbeginn in den Wirtschafts- und Sozialwissenschaften, 2. Auflage, Springer Verlag Berlin.

Gerlach, S. Und C. Steuer (2002): Rechentrainer, 1. Auflage Studeo Verlag Berlin.

Ohse, D. (2000): Elementare Algebra und Funktionen – Ein Brückenkurs zum Studium, 2. Auflage, Verlag Vahlen München.

Schwarze, J. (2000): Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler – Band 1 Grundlagen, 11. Auflage, Verlag Neue Wirtschafts-Briefe Herne/ Berlin.

Sydsaeter, K. und P. Hammond (2008): Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler – Basiswissen mit Praxisbezug, 3. Auflage, Pearson Studium München.

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1 Grundlagen der Algebra

1.1 Zahlenbegriffe

Natürliche Zahlen ℕ : 1, 2, 3, 4, …

Ganze Zahlen ℤ : …, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4 , …

Rationale Zahlen ℚ : Division zweier Zahlen aus ℤ

Irrationale Zahlen: unendliche Dezimalzahlen (z.B. )

Reelle Zahlen ℝ : Rationale und irrationale Zahlen.

Komplexe Zahlen ℂ : Erweiterung von ℝ um imaginäre Zahl i , i2=−1(Komplexe Zahlen werden hier nicht behandelt)

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1.2 Rechnen mit reellen Zahlen

1.2.1 Fakultät:

Das Produkt der ersten n ℕ :

n!=1⋅2⋅3⋅4⋅⋅⋅n−1⋅n .

1.2.2 Binomialkoeffizient:

Der Binomialkoeffizient gibt an auf wie viele Arten man k Objekte aus einer Menge von n Objekten auswählen kann (ohne Zurücklegen und ohne Beachtung der Reihenfolge).

nk:= n !n−K ! k ! für nk und n , k∈ℕ0 .

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1.2.3 Binomische Formeln und Binomischer Satz:

Die bekanntesten Binomischen Formeln sind die so genannten ersten Binomischen Formeln:

ab2=a22abb2

a−b2=a2−2abb2

aba−b=a2−b2

Daneben gelten auch die so genannten gemischten Binimischen Formeln:

x y ⋅x− y =x2− y2

x y ⋅x2−x⋅y y2=x3 y3

x− y ⋅x2x⋅y y2=x3− y3

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Binomischer Satz :

(Allgemeine Formulierung der Binomischen Formeln)

Für n∈ℕ0 und x , y∈ℝ gilt:

x yn=∑k=0

n

nk xn−k y k .

Pascalsches Dreieck

x± y0=1 x± y1=x± y x± y2=x2±2xy y2

x± y3=x3±3x2 y3xy2± y3

x y4=x4±4x3 y6x2 y2±4xy3 y4

11 1

1 2 11 3 3 1

1 4 6 4 1

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1.2.4 Brüche

Ein Bruch ist der Quotient ab mit a , b∈ℤ und b≠0 .

a ist der Zähler und b ist der Nenner des Bruches.

Erweitern und Kürzen eines Bruches:

a⋅ fb⋅ f

=ab mit a , b∈ℤ , f ∈ℝ , b , f ≠0

a :qb :q

=

aqbq

=ab mit a , b∈ℤ , q∈ℝ , b , q≠0

In Differenzen und Summen darf nicht gekürzt werden!

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Multiplikation von Brüchen:

ab⋅cd= a⋅cb⋅d

Division von Brüchen:

ab: cd=

abcd

= ab⋅dc= a⋅db⋅c

Addition von Brüchen:

ab± cb=a±c

b bzw. ab± cd= a⋅db⋅d± c⋅bd⋅b= a⋅d±c⋅b

b⋅d , mit b⋅d als Hauptnenner

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1.2.5 Potenzen

Das n-fache Produkt einer Zahl mit sich selbst ergibt die n-te Potenz dieser Zahl:a⋅a⋅a⋅...⋅a

n−mal

=an

a ist die Basis und n der Exponent.

Beachte: x−n=1xn und x0=1 .

Für eine beliebige Basis x , y∈ℝ∖ {0 } und p ,q∈ℚ gilt:x p y p= xyp

x p

xq =x p−q

x p xq=x pq

x p

y p =xy

p

x pq=x p⋅q

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1.2.6 Wurzeln

n x=x1/n , x≥0,n∈ℕ . x ist der Radikant und n der Wurzelexponent.

Für x∈ℝ+ , n∈ℕ und m∈ℤ gilt: n xm=xmn .

Für beliebige x , y0,n ,m∈ℕ und p ,q∈ℚ gilt:

n x p⋅m xq=x

pmqnmn =

nm x pmqn

n x p÷m xq=nm x pm−qn

m n x pq=nm x pq

n x p⋅n y p= n xy pn x p

n y p=

nxy p

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1.2.7 Logarithmen

Ist a y=x a∈ℝ+∖ {1}; x∈ℝ+ ; y∈ℝ , so heißt y=loga x Logarithmus von x zur Basis a .

Anmerkungen:

1.Logarithmus ist ein Synonym für Exponent.2.Der Potenzwert x in a y=x heißt auch Numerus.3.Der Numerus muss stets positiv sein, denn es gibt zu einer positiven Basis a keine Hochzahl, so dass die entstehende Potenz Null oder negativ wird.

Alternative Definition:

Der Logarithmus von x zur Basis a ist derjenige (eindeutig bestimmte) Exponent y , mit dem man a potenzieren muss, um x zu erhalten.

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Häufig verwendete Logarithmen:

Dekadischer Logarithmus: a=10 log10 x≡log xNatürlicher Logarithmus: a=e≈2.7182... loge x≡ln x

Für jede beliebige Basis a∈ℝ+∖ {1} und die stets positiven Numeri x und y gilt:

loga xy=loga xloga yloga x / y=loga x−loga yloga x r=r⋅loga x r∈ℝ

loga1/ x=−loga xloga

n x=loga x1/ n=1/n loga x

Speziell gilt:

log 10x=x ln e x=x

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1.2.8 Das Summenzeichen

Das Summenzeichen steht als Wiederholungszeichen für die fortgesetzte Addition:

amam1am2...an−1an:= ∑i=m

nai , n≥m, n∈ℤ .

Dabei ist:• i der Summationsindex• m die untere Summationsgrenze• n die obere Summationsgrenze• ai das allgemeine Summenglied

Beispiel: arithmetisches Mittel (Mittelwert)

x=1 /n∑i=1

n

xi

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Rechenregeln für Summen:

∑i=1

n

a=aa...an−mal

=n⋅a

∑j=k

n

c⋅a j=cakcak1...can=c⋅ak...an=c⋅∑j=k

n

a j

∑j=k

n

a jb j=∑j=k

n

a j∑j=k

n

b j

∑j=k

n

a j=∑j=k

m

a j∑m1

n

a j k≤mn

Doppelsummen:

∑i=1

n

∑j=1

m

aij=a11a12a13...a1ma21...a2m...an1...anm

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1.2.9 Produktzeichen

Das Produktzeichen steht als Wiederholungszeichen für die fortgesetzte Multiplikation:

ak⋅ak1⋅ak2⋯an−1⋅an :=∏i=k

n

ai , n≥k , k , n∈ℤ .

Dabei ist:• i der Multiplikationsindex• k die untere Multiplikationsgrenze• n die ober Multiplikationsgrenze• ai das allgemeine Glied

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Rechenregeln für Produkte:

∏i=1

n

cai=cn∏i=1

n

ai

∏i=1

n

ai bi=∏i=1

n

ai ⋅∏i=1

n

bi

für ai=bi gilt also∏i=1

n

ai2=∏

i=1

n

ai2

Fakultät schreibt man als Produkt folgendermaßen:

n!=∏i=1

n

i.

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2 Algebraische Ausdrücke

Klassifizierung von Ausdrücken:

Ganze rationale Ausdrücke (Polynome)

Gebrochen rationale Ausdrücke

Algebraische Ausdrücke

Addition, Subtraktion, Multiplikation

Addition, Subtraktion, Multiplikation, Division

Addition, Subtraktion, Multiplikation, Division,Wurzeln

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2.1 Ganze rationale Ausdrücke (Polynom n-ten Grades)

Der ganze rationale Ausdruck mit der Variable x

a0a1⋅xa2⋅x2...an⋅x

n

heißt Polynom n-ten Grades.

ai∈ℝ heißen die Koeffizienten des Polynoms;jeder einzelne Summand wird als Glied bezeichnet.

Der höchste Exponent determiniert den Grad des Polynoms.

Addition und Multiplikation von Polynomen findet gliedweise statt.

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Faktorzerlegung von Polynomen

Zerlegung eine Polynomes in ein Produkt von Polynomen.

Beispiel:

2x4−5x2−12=2x23⋅ x−2⋅ x2

Grund:

Kürzen von Brüchen, Lösen von Gleichungen

Methode:

Man findet Zerlegungen, indem man vom Distributivgesetz gebrauch macht um gemeinsame Faktoren zu finden und auszuklammern.

Binomische Formeln können gegenebefalls als Hilfsmittel dienen.

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Faktorenzerlegung bei Polynomen zweiten Grades:

Polynom: x2bxc

x2bxc=x p⋅ xq =x2 pq⋅x p⋅q p⋅q=c und pq=b

Vorzeichenuntersuchung:

Fall 1: c0 p⋅q=c0 beide müssen gleiches Vorzeichen haben

1a: b0 pq0 also muss gelten p ,q01b: b0 pq0 also muss gelten p ,q0

Fall 2: c0 p⋅q=c0 beide müssen verschieden Vorzeichen haben

2a: pq=b0 für p0 und q0 muss gelten: ∣p∣∣q∣2b: pq=b0 für p0 und q0 muss gelten: ∣p∣∣q∣

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2.2 Gebrochen rationale Ausdrücke

Ein gebrochen rationaler Ausdruck ist stets darstellbar als

a0a1⋅x...an⋅xn

b0b1⋅x...bm⋅xm

d.h. als Quotient zweier Polynome ( so genanntes Zähler- und Nennerpolynom).

Multiplikation:Beide Zähler und beide Nenner werden miteinander multipliziert.

Division:Zähler wird mit dem reziproken Ausdruck des Divisors multipliziert.

Addition:Zähler und Nenner werden so erweitert, dass sie den selben Hauptnenner besitzen.

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2.3 Algebraische Ausdrücke

Ausdrücke, in denen die Variable im Radikant einer Wurzel auftritt, werden als algebraische Ausdrücke bezeichnet.

Hier gelten die Beziehungen zwischen Wurzeln und Potenzen sowie die Potenz- und Wurzelgesetze! (siehe Kapitel 1.2.5 und 1.2.6)

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3 Mengenlehre

3.1 Begriff der Menge:

Eine Menge ist ein Zusammenfassung bestimmter, wohlunterschiedener Objekte unserer Anschauung oder unseres Denkens. Die Objekte heißen Elemente der Menge.

Ist ein Objekt a Element der Menge A , so schreibt man a∈A .Ist ein Objekt b nicht Element der Menge A , so schreibt man b∉A .

Objekte einer Menge beschreibt man durch Aufzählung der Elemente in geschweiften Klammern {} oder durch Beschreibung der erforderlichen Eigenschaften M={x | x hat die Eigenschaft E } .

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3.2 Weitere Definitionen:

•Grundmenge : Alle Elemente für eine bestimmte Betrachtungsweise.

•Leere Menge {} (auch ∅ ) enthält keine Elemente.

•Mächtigkeit ist die Anzahl nA der Elemente einer Menge.

•Gleichheit von Mengen: Zwei Mengen sind einander gleich ( A=B ) wenn jedes Element aus A auch Element von B und zugleich jedes Element von B auch Element von A ist.

•Teilmenge: Ist jedes Element von A auch ein Element von B , so ist A eine Teilmenge von B ( A⊂B ).Für alle Mengen gilt: {}⊂A , A⊂A .

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•Komplementärmenge: M={x | x∉M∧x∈} ist Komplement zu M⊂ . Es gilt: M=M , ∅= , =∅ .

•Potenzmenge: Die Menge aller Teilmengen von A heißt Potenzmenge von A : P A={x | x⊂A } . Die Mächtigkeit der Potenzmenge einer endlichen Menge A

(mit nA=m ): nP A=2m .

•Zerlegung einer Menge: Eine Menge Z von nicht leeren Teilmengen von A (Z i∈Z , i=1,2... , n mit Z i⊂A ) heißt Zerlegung von A , wenn jedes a∈A in

genau einer Teilmenge Z i liegt.

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3.3 Mengenoperationen

•Durchschnitt (Schnittmenge): A∩B={x | x∈A∧x∈B} Menge aller Elemente die sowohl in A als auch in B enthalten sind.

Ist der Durchschnitt zweier Mengen A und B leer ( A∩B=∅ ), so heißen A und B disjunkt (elementfremd).

•Vereinigung: A∪B={x | x∈A∨x∈B }Menge aller Elemente, die in A oder in B oder in beiden enthalten sind.

•Differenz von Mengen: A∖ B={x | x∈A∧x∉B}Menge aller Elemente von A , die nicht in B enthalten sind.

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3.4 Produkte von Mengen:

n-Tupel:

Es sei n eine natürliche Zahl und a1 , ... , an seien nicht notwendig verschieden Elemente gewisser Mengen. Die Darstellung ( a1 , ... , an ) heißt ein aus diesen Elementen gebildetes n-Tupel und ai i=1,... , n seine i-te Koordinate.

Für n=2 spricht man von einem geordneten Paar, für n=3 von einem Tripel, für n=4 von einem Quadrupel etc.

Kartesisches Produkt:

Das kartesische Produkt A×B zweier Mengen A , B ist die Menge aller geordneten Paare a ,b mit a∈A und b∈B .

A×B={a ,b | a∈A∧b∈B }

Für das kartesische Produkt gilt das Kommutativgesetz nicht: A×B≠B×A .

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4 Folgen und Reihen

4.1 Zahlenfolgen

Eine Funktion, durch die jeder natürlichen Zahl eine reelle Zahl zugeordnet wird, heißt Zahlenfolge und wird mit {an}n∈ℕ oder auch ann∈ℕ bezeichnet. Die an heißen Glieder der Zahlenfolge und a1 Anfangsglied.

4.1.1 Arithmetische Folge

Eine Folge {an}n∈ℕ , bei der für jedes n∈ℕ gilt:an1−an=d=const. , heißt arithmetische Folge.

4.1.2 Geometrische Folge

Eine Folge {an}n∈ℕ , bei der für jedes n∈ℕ gilt:an1

an=q=const. , heißt geometrische Folge.

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4.1.3 Monotonie und Beschränktheit von Folgen

Die Folge heißt:

•monoton wachsend wenn gilt: an≤an1 .

•monoton fallend wenn gilt: an≥an1 .

Haben alle Folgenglieder den gleichen Wert, so heißt die Folge konstant.

Die Folge heißt beschränkt, wenn es eine positive Zahl B gibt, so dass alle Folgenglieder im Intervall [−B , B ] liegen, d.h. −B≤an≤B ∀ n .

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4.1.4 Grenzwert einer Zahlenfolge

Sei {xn}n∈ℕ eine Folge reeller Zahlen. Die Folge heißt konvergent gegen einen Wert a∈ℝ , falls gilt: zu jedem 0 gibt es eine natürliche Zahl n∈ℕ , so dass

∣xn−a∣ für alle n≥n .

a heißt Grenzwert oder Limes der Folge {xn}n∈ℕ .

Eine Folge {xn}n∈ℕ heißt divergent, falls sie nicht konvergiert.

Ist a=0 , so wird {xn}n∈ℕ Nullfolge genannt.

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4.2 Reihe

Gegeben sei eine Zahlenfolge {an} . a1a2a3...= ∑n=1

∞an heißt unendliche

Reihe oder kurz Reihe. Die an heißen Glieder der Reihe.

Arithmetische und geometrische Reihe

Eine arithmetische (geometrische) Reihe ist eine Reihe, deren Glieder den Gesetzen einer arithmetischen (geometrischen) Folge gehorchen.

N-te Partialsumme der arithmetischen Reihe:

sn :=∑i=1

nai=∑

i=1

n[a1i−1d ]=n

2 [2a1n−1d ]=n2 a1an

N-te Partialsumme der geometrischen Reihe:

sn :=∑i=1

n

ai=∑i=1

n

a1 qi−1=a11−qn

1−q

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5 Grundlagen der Differentialrechnung

5.1 Motivation

Neben der reinen funktionalen Zuordnung von Variablen spielt insbesondere in ökonomischen Anwendungen die Frage der Änderungstendenz einer Funktion eine große Rolle. (z.B. Kostenfunktion und Grenzkosten, Gewinnfunktion und Grenzerlös, etc.)

Die Ableitungsfunktion

Existiert zu einer Funktion y= f x in jedem Punkt x eines Intervalls I (mit I∈D f ) die (erste) Ableitung f ' x , so heißt f (in I ) differnzierbar.

Die Funktion f ' , die jedem x∈ I die zugehörige (erste) Ableitung f ' x von f zuordnet, heißt abgeleitete Funktion von f oder Ableitungsfunktion von f .

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Beispiel:

f x=2x2

f ' x=4x

Die Ableitungsfunktion ordnet jeden Wert x0 den Anstieg der Tangente an x0 zu.

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-10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-40

-20

0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

200

f(x)f'(x)

5.2 Ableitungen von Funktionen

f x Parameterbereich Definitionsbereich f ' xc c∈ℝ ℝ 0xn n∈ℕ ℝ nxn−1

1/ xn n∈ℕ ℝ∖ {0} −n/ xn1

n x n∈ℕ gerade 0,∞ 1/n n xn−1

n∈ℕ ungerade ℝ 1/n n xn−1 , x≠0x r r∈ℝ∖ {0} 0,∞ rxr−1

e x ℝ e x

r x r0 ℝ ln r ⋅r x

ln x 0,∞ 1/ xloga x a∈0,∞∖ {1} 0,∞ 1/ ln a⋅1 / xsin x ℝ cos x cos x ℝ −sin x

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5.3 Ableitungsregeln

1.Faktorregel: Die Ableitung von c⋅ f , c∈ℝ , ist gegeben durchc⋅f x '=c⋅f ' x .

2.Summenregel: Die Ableitung von f g ist gegeben durch f x g x '= f ' x g ' x .

3.Produktregel: Die Ableitung von f⋅g ist gegeben durch f x⋅g x '= f ' x⋅g x f x⋅g ' x .

4.Quotientenregel: Die Ableitung von f /g ist gegeben durch

f xg x

'

= f ' x⋅g x− f x⋅g ' xg x2

.

5.Kettenregel: Sei g differenzierbar an der Stelle x und fdifferenzierbar an der Stelle g x , ist f °g

differenzierbar mit f g x '=g ' x⋅ f ' g x .

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Exkurs: Taylorpolynom / endliche Taylorreihe

Das Ziel des Taylorpolynomes ist es, „komplizierte“ Funktionen durch „einfache“ Polynome zu approximieren.

Gegeben sei die n - mal differenzierbare Funktion f :ℝℝ . Das Taylorpolynom in x0∈D f vom Grad n ist durch den folgenden Ausdruck

P x= f x0f ' x0

1 ! x−x0f ' ' x0

2 ! x−x02...

f nx0n! x−x0

n

gegeben. Häufig spricht man auch von einer endlichen Taylorreihe der Ordnung n .

Fehlerabschätzung / Restglied Rn

Ist die Funktion f :ℝℝ als n1 mal differenzierbar gegeben, so gilt für die Differenz zwischen der Funktion und ihrem Taylorpolynom die folgende Beziehung

Rn x= f x−P x= f n1 xn1 ! x−x0

n1 , mit x zwischen x und x0 .

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6 Grundlagen der Finanzmathematik

!Dieser Teil der Folien ist ab Montag dem 12.10.2009 online!

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