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Präsentation zur Vorlesung (5) Aussagenlogik und Prädikatenlogik - "Semantic Web Technologien WS 2011/12" am Hasso Plattner Institut, Potsdam, am 22.11.2011
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VorlesungDr. Harald Sack
Hasso-Plattner-Institut für SoftwaresystemtechnikUniversität Potsdam
Wintersemester 2011/12
Semantic Web Technologien
Blog zur Vorlesung: http://wwwsoup2011.blogspot.com/
Montag, 5. Dezember 11
Vorlesung Semantic Web, Dr. Harald Sack, Hasso-Plattner-Institut, Universität Potsdam
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Semantic Web Technologien Wiederholung
Ontolo
gien
Semantic Web Technologien Wiederholung
Montag, 5. Dezember 11
Vorlesung Semantic Web, Dr. Harald Sack, Hasso-Plattner-Institut, Universität Potsdam
1. Einführung 2. Semantic Web Basisarchitektur
Die Sprachen des Semantic Web - Teil 1
3. Wissensrepräsentation und LogikDie Sprachen des Semantic Web - Teil 2
4. Semantic Web Anwendungen
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Semantic Web Technologien Vorlesungsinhalt
Montag, 5. Dezember 11
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3. Wissensrepräsentation und LogikDie Sprachen des Semantic Web - Teil 2
3.1.Exkurs: Ontologien in Philosophie und Informatik
3.2.Wiederholung: Aussagenlogik und Prädikatenlogik
3.3.Beschreibungslogiken (Description Logics)3.4.RDFS-Semantik3.5.OWL und OWL-Semantik3.6.OWL 2 und Regeln
Semantic Web Technologien Vorlesungsinhalt
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Montag, 5. Dezember 11
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Logik zur Formalisierung ontologischer Modelle Montag, 5. Dezember 11
Vorlesung Semantic Web, Dr. Harald Sack, Hasso-Plattner-Institut, Universität Potsdam
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3. Wissensrepräsentation und Logik3.2 Wiederholung Aussagenlogik und Prädikatenlogik
3.2 Wiederholung Aussagenlogik und Prädikatenlogik3.2.1 Logik Grundlagen3.2.2 Modelltheoretische Semantik 3.2.3 Normalformen 3.2.4 Resolution3.2.5 Eigenschaften von PL und FOL
Montag, 5. Dezember 11
Vorlesung Semantic Web, Dr. Harald Sack, Hasso-Plattner-Institut, Universität Potsdam Turmbau zu Babel, Pieter Brueghel, 1563
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3. Wissensrepräsentationen3.2 Wiederholung Aussagenlogik und Prädikatenlogik
A friend of Einstein‘s, Kurt Gödel found a hole in the center of Mathematics...
Montag, 5. Dezember 11
Vorlesung Semantic Web, Dr. Harald Sack, Hasso-Plattner-Institut, Universität Potsdam Turmbau zu Babel, Pieter Brueghel, 1563
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3. Wissensrepräsentation und Logik3.2 Wiederholung Aussagenlogik und Prädikatenlogik
Logik – Grundlagen■ hier nur knappe und informelle Wiederholung □ siehe Bachelorstudium Mathematik I, etc.■ im Weiteren Verlauf wird ein solides Verständnis der Grundlagen der Logik
vorausgesetzt, daher bitte selbstständig wiederholen□ siehe auch
U. Schöning: Logik für Informatiker, Spektrum Akademischer Verlag, 5. Aufl. 2000.
Montag, 5. Dezember 11
Vorlesung Semantic Web, Dr. Harald Sack, Hasso-Plattner-Institut, Universität Potsdam Turmbau zu Babel, Pieter Brueghel, 1563
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Logik - Grundlagen■ Wortherkunft: λογος =[griech.] Wort, Lehre, Rede,...
■ Definition (für unsere Vorlesung):Logik ist die Lehre vom formal korrekten Schließen.
■ Warum „formale Logik“?--> Automatisierbarkeit!
■ Konstruktion einer „Rechenmaschine“ für Logik
Arbor naturalis et logicalis, ausRaimundus Lullus „Ars Magna“, um 1275
Raimundus Lullus(1232-1316)
■ Als Logik bezeichnete Raimundus Lullus im 14. Jhd. die Kunst und die Wissenschaft, mit Hilfe des Verstandes Wahrheit und Lüge zu unterscheiden, Wahrheit zu akzeptieren und Lüge von sich zu weisen.
Montag, 5. Dezember 11
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Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716)
Logik - Grundlagen
"... omnes humanas ratiocinationes ad calculum aliqvem characteristicum qvalis in Algebra combinatoriave arte et numeris habetur, revocandi, qvo non tantum certa arte inventio humana promoveri posset, sed et controversiae multae tolli, certum ab incerto distingvi, et ipsi gradus probabilitatum aestimari, dum disputantium alter alteri dicere posset: calculemus."
Leibnitz in einem Brief an Ph. J. Spener, Juli 1687Montag, 5. Dezember 11
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Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716)
Logik - Grundlagen
Leibnitz in einem Brief an Ph. J. Spener, Juli 1687
„alle menschlichen Schlussfolgerungen müssten auf irgendeine mit Zeichen arbeitende Rechnungsart zurückgeführt werden, wie es sie in der Algebra und Kombinatorik und mit den Zahlen gibt, wodurch nicht nur mit einer unzweifelhaften Kunst die menschliche Erfindungsgabe gefördert werden könnte, sondern auch viele Streitigkeiten beendet werden könnten, das Sichere vom Unsicheren unterschieden und selbst die Grade der Wahrscheinlichkeiten abgeschätzt werden könnten, da ja der eine der im Disput Streitenden zum anderen sagen könnte: Lasst uns doch nachrechnen!“
Montag, 5. Dezember 11
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Logik - Grundlagen■ Syntax: Zeichen ohne Bedeutung definiert Regeln, wie zulässige Zeichenfolgen gebildet werden dürfen
■ Semantik: Bedeutung der Syntax definiert Regeln, wie die Bedeutung von komplexen Zeichenfolgen aus der Bedeutung von atomaren Zeichenfolgen abgeleitet werden kann
If (i<0) then display (“negatives Guthaben!“)
Zuweisung vonBedeutung
Syntax
Gebe die Meldung “negatives Guthaben!“ aus,wenn der Kontostand i unter 0 Euro sinkt.
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Varianten der Semantik■ Bsp.: Programmiersprachen
Berechnung der Fakultät
Syntax
Intendierte SemantikFUNCTION f(n:natural):natural;BEGIN IF n=0 THEN f:=1 ELSE f:=n*f(n-1);END;
• „die durch den Benutzer beabsichtigte Bedeutung“•schränkt die Menge aller möglichen Modelle
(Bedeutungen) auf die vom (menschlichen) Benutzer beabsichtigte Bedeutung ein.
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Varianten der Semantik■ Bsp.: Programmiersprachen
Berechnung der Fakultät
Syntax
Intendierte SemantikFUNCTION f(n:natural):natural;BEGIN IF n=0 THEN f:=1 ELSE f:=n*f(n-1);END;
•hat zum Ziel, die Bedeutung von Zeichenketten (Programmen) in einer formalen Sprache auszudrücken, so dass sich über das Anwenden von Ableitungsregeln (Kalkülen) Aussagen über die Zeichenketten (Programmen) beweisen lassen.
formale Semantik
€
f : n → n!
Montag, 5. Dezember 11
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Varianten der Semantik■ Bsp.: Programmiersprachen
Berechnung der Fakultät
Syntax
Intendierte SemantikFUNCTION f(n:natural):natural;BEGIN IF n=0 THEN f:=1 ELSE f:=n*f(n-1);END;
formale Semantik
€
f : n → n!
Verhalten des Programmsbei der Ausführung
Prozedurale Semantik
•die Bedeutung eines sprachlichen Ausdrucks (Programms) ist die Prozedur, die intern abläuft, wenn dieser Ausdruck fällt.
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Varianten der Semantik
■Modelltheoretische Semantik nimmt die semantische Interpretation künstlicher und natürlicher Sprachen dadurch vor, indem sie „Bedeutung mit genau definierter Interpretation in einem Modell gleichsetzt“■= formale Interpretation in einem Modell
■ z.B. modelltheoretische Semantik für Aussagenlogik■ Zuweisung von Wahrheitswerten „wahr“ und „falsch“
zu atomaren Aussagen und■Beschreibung der Junktoren durch
Wahrheitswertetafeln
Alfred Tarski(1901-1983)
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Wie funktioniert Logik?
Syntax
■ Jede Logik L:=(S,⊨) besteht aus einer Menge von Sätzen S und einer Schlussfolgerungsrelation ⊨
■Sei Φ ⊆ S und φ ∈ S :
■ „ φ ist eine logische Konsequenz von Φ“ oder„aus den Sätzen von Φ folgt der Satz φ“
■Gilt für 2 Sätze φ,ψ ∈ S sowohl {φ} ⊨ ψ als auch {ψ} ⊨ φ, Dann sind die Sätze φ und ψ logisch äquivalent
Φ ⊨ φ
φ≡ψ
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Aussagenlogik (Propositional Logic)
Syntax
Chrysipos von Soli(279-206 v. Chr.)
■Bereits in der griechischen Antike legen Philosophen der Stoa die Grundlagen für die Aussagenlogik■Chrysipos von Soli beschreibt im 3. Jhd. v.
Chr. in seiner „grammatikalischen Logik“ eine erste vollständige Junktorenlogik
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Aussagenlogik (Propositional Logic)
■George Boole schuf den ersten algebraischen Logikkalkül in seiner 1847 erschienenen Schrift„The Mathematical Analysis of Logic“■er formalisiert klassische Logik und
Aussagenlogik und entwickelt ein Entscheidungsverfahren für wahre Formeln über eine disjunktive Normalform
George Boole(1815-1864)
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Aussagenlogik (Propositional Logic)
■Gottlob Frege formuliert den ersten aussagenlogischen Kalkül mit Schlussfolgerungsregeln im Rahmen seiner 1879 entwickelten „Begriffsschrift“
Gottlob Frege(1848-1925)
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Aussagenlogik (Propositional Logic)
■Bertrand Russel formulierte 1910 zusammen mit Alfred North Whitehead in der „Principia Mathematica“ einen Kalkül für die Aussagenlogik
Bertrand Arthur William Russell, 3. Earl Russell(1872-1970)
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Aussagenlogik (Propositional Logic)
■ Erzeugungsregeln für Sätze:■ alle atomaren Aussagen sind Sätze (p,q,...)■ ist φ ein Satz, dann auch ¬φ■ sind φ und ψ Sätze, dann auch φ∧ψ, φ∨ψ, φ→ψ, φ↔ψ
■ Präzedenzen: ¬ vor ∧,∨ vor →, ↔
Junktor Name Intuitive Bedeutung
⌐ Negation „nicht“
∧ Konjunktion „und“
⋁ Disjunktion „oder“
→ Implikation „wenn – dann“
↔ Äquivalenz „genau dann, wenn“
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Aussagenlogik (Propositional Logic)
• Formulierung von Sachverhalten
Einfache Aussagen ModellierungDer Mond besteht aus grünem Käse gEs regnet rDie Straße wird nass n
Zusammengesetzte Aussagen Modellierung
Wenn es regnet, dann wird die Straße nass r → n
Wenn es regnet und die Straße nicht nass wird, dann besteht der Mond aus grünem Käse
(r ∧ ⌐n) → g
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Prädikatenlogik 1. Stufe (First Order Logic, FOL)
■Erste Ansätze einer Verallgemeinerung der Aussagenlogik finden sich bereits bei Aristotelesin seinen Syllogismen
Aristoteles(384-322 v. Chr)
wikipedia.org
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25■Gottlob Frege Gottlob Frege entwickelte
und formalisierte ein prädikatenlogisches System in seiner 1879 erschienenen„Begriffsschrift - eine der arithmetischen nachgebildete Formelsprache des reinen Denkens“
Gottlob Frege(1848-1925)
Prädikatenlogik 1. Stufe (First Order Logic, FOL)
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26■Charles Sanders Peirce entwickelte
gemeinsam mit seinem Studenten O.H. Mitchell unabhängig von Gottlob Frege eine vollständige Syntax für eine Quantorenlogik in der heute üblichen Notation
Charles Sanders Peirce(1839-1914)
Prädikatenlogik 1. Stufe (First Order Logic, FOL)
Montag, 5. Dezember 11
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Prädikatenlogik 1. Stufe (First Order Logic, FOL)
□Junktoren wie in der Aussagenlogik□Variablen, z.B. X,Y,Z,…□Konstantensymbole, z.B. a, b, c, …□Funktionssymbole, z.B. f, g, h, … (mit Stelligkeit)□Relations-/Prädikatssymbole, z.B. p, q, r, … (mit Stelligkeit) (∀X)(∃Y) ((p(X)∨ ¬q(f(X),Y))→ r(X))
Quantor Name Intuitive Bedeutung
∃ Existenzquantor „es existiert“
∀ Allquantor, Universalquantor
„für alle“
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Prädikatenlogik 1. Stufe (First Order Logic, FOL)
FOL: Syntax■ „richtiges“ Formen von Termen aus Variablen, Konstanten- und Funktionssymbolen:□ f(X), g(a,f(Y)), s(a), .(H,T), x_location(Pixel)
■ „richtiges“ Formen von Atomen aus Relationssymbolen, deren Argumente Terme sind:□ p(f(X)), q (s(a),g(a,f(Y))), add(a,s(a),s(a)),
greater_than(x_location(Pixel),128)
■ „richtiges“ Formen von Formeln aus Atomen, Junktoren und Quantoren:□ (∀Pixel) (greater_than(x_location(Pixel),128) → red(Pixel) )
■ Im Zweifelsfall klammern! Alle Variablen quantifizieren!
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Prädikatenlogik 1. Stufe (First Order Logic, FOL)■Formulierung von Sachverhalten
■ „alle Kinder lieben Eiscreme.“∀X: Kind(X) → liebtEiscreme(X)
■ „der Vater einer Person ist deren männlicher Elternteil.“∀X ∀Y: Vater(X,Y) ↔ (männlich(X) ∧ Elternteil(X,Y))
■ „Es gibt eine (oder mehrere) Vorlesung(en), die interessant ist(sind).“∃X: Vorlesung(X) ∧ istInteressant(X)
■ „Die Relation ,istNachbar‘ ist symmetrisch.“∀X ∀Y: istNachbar(X,Y) → istNachbar(Y,X)
Montag, 5. Dezember 11
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Prädikatenlogik 1. Stufe (First Order Logic, FOL)■Beispiel: Verwandschaftsverhältnisse
(∀X) ( parent(X) ↔ ( human(X) ∧ (∃Y) parent_of(X,Y) ))
(∀X) ( human(X) → (∃Y) parent_of(Y,X) )
(∀X) (orphan(X) ↔ (human(X) ∧¬(∃Y) (parent_of(Y,X)∧ alive(Y))))
(∀X)(∀Y)(∀Z)(uncle_of(X,Z) ↔ (brother_of(X,Y) ∧ parent_of(Y,Z)) )
Intendierte Semantik: klar!
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Prädikatenlogik 1. Stufe (First Order Logic, FOL)■Beispiel: Pinguine
( (∀X)( penguin(X) → blackandwhite(X) )
∧ (∃X)( oldTVshow(X) ∧ blackandwhite(X) )
) → (∃X)( penguin(X) ∧ oldTVshow(X) )
Intendierte Semantik?
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3. Wissensrepräsentation und Logik3.2 Wiederholung Aussagenlogik und Prädikatenlogik
3.2 Wiederholung Aussagenlogik und Prädikatenlogik3.2.1 Logik Grundlagen3.2.2 Modelltheoretische Semantik 3.2.3 Normalformen 3.2.4 Resolution3.2.5 Eigenschaften von PL und FOL
Montag, 5. Dezember 11
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AussagenlogikModelltheoretische Semantik
30 ■ Interpretation I:Abbildung aller atomaren Aussagen nach {w,f}.
■ Ist F eine Formel und I eine Interpretation, dann ist I(F) ein Wahrheitswert, der aus F und I mittels Wahrheitstafeln ermittelt wird.
I(p) I(q) I(⌐p) I(p⋁q) I(p∧q) I(p→q) I(p↔q)
f f w f w w w
f w w w f w f
w f f w f f f
w w f w w w w
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AussagenlogikModelltheoretische Semantik
30 ■Wir schreiben I ⊨ F, wenn I(F)=w ist, und nennen dann die Interpretation I ein Modell der Formel F.
■Semantik-Regeln:■ I Modell von ¬φ genau dann, wenn I kein Modell von φ■ I Modell von (φ∧ψ) genau dann, wenn I Modell von φ
UND von ψ■ ...
■Zentrale Begriffe:□allgemeingültig (Tautologie)□erfüllbar□widerlegbar□unerfüllbar
Montag, 5. Dezember 11
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PrädikatenlogikModelltheoretische Semantik
30
■Struktur:□ Festlegung eines Grundbereichs D.□Konstantensymbole werden auf Elemente von D
abgebildet.□ Funktionssymbole auf Funktionen nach D.□Relationssymbole auf Relationen über D.
■Dann:□ Terme werden zu Elementen von D.□Relationssymbole mit Argumenten werden wahr oder
falsch.□Entsprechende Behandlung der Junktoren/Quantoren.
Montag, 5. Dezember 11
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PrädikatenlogikModelltheoretische Semantik
30( (∀X)( penguin(X) → blackandwhite(X) )
∧ (∃X)( oldTVshow(X) ∧ blackandwhite(X) )
) → (∃X)( penguin(X) ∧ oldTVshow(X) )
■ Interpretation I:□ Grundbereich: eine Menge M, die die Elemente a,b enthält.□ … keine Konstanten- oder Funktionssymbole …□ Wir zeigen: Die Formel ist widerlegbar (d.h. sie ist nicht
allgemeingültig):
□ Sind I(penguin)(a), I(blackandwhite)(a), I(oldTVshow)(b), I(blackandwhite)(b) wahr, I(oldTVshow)(a) und
I(penguin)(b) jedoch falsch, dann ist die Formel unter I falsch, d.h. I ⊭ F.
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Der Begriff der logischen Konsequenz
30■Eine Theorie T ist eine Menge von Formeln.
■Eine Interpretation I ist ein Modell für T, wenn I ⊨ G für jede Formel G in T gilt.
■Eine Formel F ist eine logische Konsequenz aus T, wenn jedes Modell von T auch Modell von F ist.
■Wir schreiben dann T ⊨ F.
■ Zwei Formeln F,G heißen logisch (auch semantisch) äquivalent, wenn {F} ⊨ G und {G} ⊨ F gelten.
■Wir schreiben dann F ≡ G.
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Logische Äquivalenzen
30
DeMorgan‘sche Gesetze
F ∧ G ≡ G ∧ FF ∨ G ≡ G ∨ F
F → G ≡ ¬F ∨ GF ↔ G ≡ (F → G) ∧ (G → F)
¬(F ∧ G) ≡ ¬F ∨ ¬G¬(F ∨ G) ≡ ¬F ∧ ¬G
¬¬F ≡ F
F ∨ (G ∧ H) ≡ (F ∨ G) ∧ (F ∨ H)F ∧ (G ∨ H) ≡ (F ∧ G) ∨ (F ∧ H)
¬(∀X) F ≡ (∃X) ¬F¬(∃X) F ≡ (∀X) ¬F
(∀X)(∀Y) F ≡ (∀Y)(∀X) F(∃X)(∃Y) F ≡ (∃Y)(∃X) F
(∀X) (F ∧ G) ≡ (∀X) F ∧ (∀X) G(∃X) (F ∨ G) ≡ (∃X) F ∨ (∃X) G
Augustus De Morgan(1806-1871)
Montag, 5. Dezember 11
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39 3.2 Wiederholung Aussagenlogik und Prädikatenlogik3.2.1 Logik Grundlagen3.2.2 Modelltheoretische Semantik 3.2.3 Normalformen 3.2.4 Resolution3.2.5 Eigenschaften von PL und FOL
Montag, 5. Dezember 11
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Normalformen
30
■ Zu jeder Formel gibt es unendlich viele logisch äquivalente Formeln.
F ∧ G ≡ G ∧ FF ∨ G ≡ G ∨ F
F → G ≡ ¬F ∨ GF ↔ G ≡ (F → G) ∧ (G → F)
¬(F ∧ G) ≡ ¬F ∨ ¬G¬(F ∨ G) ≡ ¬F ∧ ¬G
¬¬F ≡ FF ∨ (G ∧ H) ≡ (F ∨ G) ∧ (F ∨ H)F ∧ (G ∨ H) ≡ (F ∧ G) ∨ (F ∧ H)
¬(∀X) F ≡ (∃X) ¬F¬(∃X) F ≡ (∀X) ¬F
(∀X)(∀Y) F ≡ (∀Y)(∀X) F(∃X)(∃Y) F ≡ (∃Y)(∃X) F
(∀X) (F ∧ G) ≡ (∀X) F ∧ (∀X) G(∃X) (F ∨ G) ≡ (∃X) F ∨ (∃X) G
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41
Normalformen
30
■ Für jede dieser Äquivalenzklassen sucht man nun möglichst einfache (eindeutige) Repräsentanten.
■Diese Repräsentanten werden Normalformen genannt.
■Einfaches Beispiel:□ schreibe ¬F statt ¬¬¬¬¬F
F ∧ G ≡ G ∧ FF ∨ G ≡ G ∨ FF → G ≡ ¬F ∨ GF ↔ G ≡ (F → G) ∧ (G → F)¬(F ∧ G) ≡ ¬F ∨ ¬G¬(F ∨ G) ≡ ¬F ∧ ¬G¬¬F ≡ FF ∨ (G ∧ H) ≡ (F ∨ G) ∧ (F ∨ H)F ∧ (G ∨ H) ≡ (F ∧ G) ∨ (F ∧ H)
¬(∀X) F ≡ (∃X) ¬F¬(∃X) F ≡ (∀X) ¬F(∀X)(∀Y) F ≡ (∀Y)(∀X) F(∃X)(∃Y) F ≡ (∃Y)(∃X) F(∀X) (F ∧ G) ≡ (∀X) F ∧ (∀X) G(∃X) (F ∨ G) ≡ (∃X) F ∨ (∃X) G
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42
Normalformen
30■ Ziel: Umwandlung von Formeln in Klauselform.■ (a∧(b∨¬c)∧(a∨d)) {a,{b,¬c},{a,d}}
■ Dazu notwendige Zwischenschritte:1.Negationsnormalform
□ alle Negationen stehen ganz innen2.Pränexnormalform
□ alle Quantoren stehen ganz vorne3.Skolemnisierte Pränexnormalform
□ Eliminierung der Existenzquantoren4.konjunktive Normalform (CNF) = Klauselform
□ Darstellung als Konjunktion von Disjunktionen
(CNF) (Klausel)
Montag, 5. Dezember 11
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Negationsnormalform30 ■ Alle Negationszeichen werden durch Verwendung der folgenden
Äquivalenzen nach innen gezogen:
F ↔ G ≡ (F → G)∧(G → F) ¬(F ∧ G) ≡ ¬F ∨ ¬G
F → G ≡ ¬F ∨ G ¬(F ∨ G) ≡ ¬F ∧ ¬G
¬(∀X) F ≡ (∃X) ¬F ¬¬F ≡ F¬(∃X) F ≡ (∀X) ¬F
■ Ergebnis:□ Implikationen und Äquivalenzen fallen weg□ mehrfachen Negationen fallen weg□ alle Negationszeichen stehen direkt vor Atomen
Montag, 5. Dezember 11
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4430
Negationsnormalform■ Beispiel
( (∀X)( penguin(X) → blackandwhite(X) )
∧ (∃X)( oldTVshow(X) ∧ blackandwhite(X) )
) → (∃X)( penguin(X) ∧ oldTVshow(X) )
wird zu
¬( (∀X)( ¬penguin(X) ∨ blackandwhite(X) )
∧ (∃X)( oldTVshow(X) ∧ blackandwhite(X) )
) ∨ (∃X)( penguin(X) ∧ oldTVshow(X) )
und dann zu
( (∃X)( penguin(X) ∧ ¬blackandwhite(X) )
∨ (∀X)(¬oldTVshow(X) ∨ ¬blackandwhite(X) )
) ∨ (∃X)( penguin(X) ∧ oldTVshow(X) )
Montag, 5. Dezember 11
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4530
Pränexnormalform
■ erst Formel bereinigen (Quantoren binden verschiedene Variablen).
( (∃X)( penguin(X) ∧ ¬blackandwhite(X) )
∨ (∀X)( ¬oldTVshow(X) ∨ ¬blackandwhite(X) )
) ∨ (∃X)( penguin(X) ∧ oldTVshow(X) )
wird zu
( (∃X)( penguin(X) ∧ ¬blackandwhite(X) )
∨ (∀Y)( ¬oldTVshow(Y) ∨ ¬blackandwhite(Y) )
) ∨ (∃Z)( penguin(Z) ∧ oldTVshow(Z) )
Montag, 5. Dezember 11
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4630
Pränexnormalform
■ Dann aus der Negationsnormalform einfach alle Quantoren in derselben Reihenfolge nach vorne ziehen.
( (∃X)( penguin(X) ∧ ¬blackandwhite(X) )
∨ (∀Y)( ¬oldTVshow(Y) ∨ ¬blackandwhite(Y) )
) ∨ (∃Z)( penguin(Z) ∧ oldTVshow(Z) )
wird zu
(∃X)(∀Y)(∃Z)( ( penguin(X) ∧ ¬blackandwhite(X) )
∨ ( ¬oldTVshow(Y) ∨ ¬blackandwhite(Y) ) )
∨ ( penguin(Z) ∧ oldTVshow(Z) )
Montag, 5. Dezember 11
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4730
Skolemnisierte Pränexnormalform■ “Existenzquantoren entfernen”
(∃X) (∀Y) (∃Z) ( ( penguin(X) ∧ ¬blackandwhite(X) )
∨ ( ¬oldTVshow(Y) ∨ ¬blackandwhite(Y) ) )
∨ ( penguin(Z) ∧ oldTVshow(Z) )
wird zu …
(∀Y)( ( penguin(a) ∧ ¬blackandwhite(a) )
∨ ( ¬oldTVshow(Y) ∨ ¬blackandwhite(Y) ) )
∨ ( penguin( f(Y) ) ∧ oldTVshow( f(Y) ) )
■ wobei a und f neue Symbole sind (sog. Skolemkonstanten bzw. Skolemfunktionen).
Montag, 5. Dezember 11
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4830
Skolemnisierte Pränexnormalform
■ Vorgehensweise:1.Entfernen der Existenzquantoren von links nach rechts.2.Gibt es keinen Allquantor links des zu entfernenden
Existenzquantors, so wird die entsprechende Variable durch ein neues Konstantensymbol ersetzt.
3.Gibt es n Allquantoren links des zu entfernenden Existenzquantors, so wird die entsprechende Variable durch ein neues Funktionssymbol mit Stelligkeit n ersetzt, dessen Argumente genau die Variablen der n Allquantoren sind.
Montag, 5. Dezember 11
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4930
Skolemnisierte Pränexnormalform■ “Existenzquantoren entfernen”
(∃X) (∀Y) (∃Z) ( ( penguin(X) ∧ ¬blackandwhite(X) )
∨ ( ¬oldTVshow(Y) ∨ ¬blackandwhite(Y) ) )
∨ ( penguin(Z) ∧ oldTVshow(Z) )
wird zu …
(∀Y)( ( penguin(a) ∧ ¬blackandwhite(a) )
∨ ( ¬oldTVshow(Y) ∨ ¬blackandwhite(Y) ) )
∨ ( penguin( f(Y) ) ∧ oldTVshow( f(Y) ) )
■ wobei a und f neue Symbole sind (sog. Skolemkonstanten bzw. Skolemfunktionen).
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5030
Konjunktive Normalform (Klauselform)■ Es gibt nur noch Allquantoren, also lassen wir sie weg:
( penguin(a) ∧ ¬blackandwhite(a) )
∨ ( ¬oldTVshow(Y) ∨ ¬blackandwhite(Y) ) )
∨ ( penguin(f(Y)) ∧ oldTVshow(f(Y))
■ Mit Hilfe semantischer Äquivalenzen wird die Formel nun als Konjunktion von Disjunktionen geschrieben.
F ∨ (G ∧ H) ≡ (F ∨ G) ∧ (F ∨ H)F ∧ (G ∨ H) ≡ (F ∧ G) ∨ (F ∧ H)
Montag, 5. Dezember 11
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5130
Konjunktive Normalform (Klauselform)
(penguin(a) ∧ ¬blackandwhite(a) )
∨ ( ¬oldTVshow(Y) ∨ ¬blackandwhite(Y) )
∨ ( penguin(f(Y)) ∧ oldTVshow(f(Y))
wird zu ( penguin(a)∨¬oldTVshow(Y)∨¬blackandwhite(Y)∨penguin(f(Y)) )
∧ ( penguin(a)∨¬oldTVshow(Y)∨¬blackandwhite(Y)∨oldTVshow(f(Y)) )
∧ ( ¬blackandwhite(a)∨¬oldTVshow(Y)∨¬blackandwhite(Y)∨penguin(f(Y)) )
∧ ( ¬blackandwhite(a)∨¬oldTVshow(Y)∨¬blackandwhite(Y)∨oldTVshow(f(Y)) )
wird zu{ {penguin(a),¬oldTVshow(Y),¬blackandwhite(Y),penguin(f(Y))}, {penguin(a),¬oldTVshow(Y),¬blackandwhite(Y),oldTVshow(f(Y))}, { ¬blackandwhite(a),¬oldTVshow(Y),¬blackandwhite(Y),penguin(f(Y))}, {¬blackandwhite(a),¬oldTVshow(Y),¬blackandwhite(Y),oldTVshow(f(Y))} }
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5230
Eigenschaften von Normalformen■ Sei F eine Formel,■ G die Pränexnormalform von F,■ H die skolemisierte Pränexnormalform von G,■ K die Klauselform von H.
■ Dann ist F ≡ G und H ≡ K aber i.A. F ≢ K.
■ Es gilt jedoch:□ F ist unerfüllbar genau dann, wenn K unerfüllbar ist.
(Grundlage des Resolutionsverfahrens)
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5330
Skolemnisierung ist keine Äquivalenztransformation
■ Die Formel (∃x) p(x) ∨ ¬(∃x) p(x) ist eine Tautologie.
■ Negationsnormalform: (∃x) p(x) ∨ (∀x) ¬p(x)
■ Pränexnormalform: (∃x) (∀y) (p(x) ∨ ¬p(y))
■ Skolemnormalform: (∀y) (p(a) ∨ ¬p(y))
■ Äquivalent dazu: p(a) ∨ ¬(∃y) p(y)
■ Die resultierende Formel ist keine Tautologie!■ z.B. Interpretation I mit□ I(p(a)) = f
□ I(p(b)) = w
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54
3.2 Wiederholung Aussagenlogik und Prädikatenlogik3.2.1 Logik Grundlagen3.2.2 Modelltheoretische Semantik 3.2.3 Normalformen 3.2.4 Resolution3.2.5 Eigenschaften von PL und FOL
Montag, 5. Dezember 11
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5530
Eine Rechenmaschine für die Logik■Erinnern wir uns:■Eine Formel F ist eine logische Konsequenz aus einer
Theorie T, wenn jedes Modell von T auch Modell von F ist.
■Problem: ■Wie arbeite ich direkt mit allen möglichen Interpretationen?
■Daher wird die logische Konsequenz mit Hilfe rein
syntaktischer Verfahren nachgebildet■Entscheidungsverfahren (Entscheidbarkeit)■Aufzählungsverfahren (Semientscheidbarkeit)
Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716)
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5630
Eine Rechenmaschine für die Logik■Entscheidungsverfahren (Entscheidbarkeit)■Eingabe: {φ1,..., φn} und Satz φ■Ausgabe: ■ „Ja“, falls Sätze φ existieren, für die gilt: {φ1,..., φn} ⊨ φ■ „Nein“ sonst.
■Aufzählungsverfahren (Semientscheidbarkeit)■Eingabe: {φ1,..., φn}■Ausgabe: ■Sätze φ für die gilt: {φ1,..., φn} ⊨ φ
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5730
Resolution
{F1,…,Fn} hat F0 als logische Konsequenz
{F1,…,Fn} ⊨ F0
F1 ∧… ∧ Fn → F0 ist allgemeingültig¬(F1 ∧… ∧ Fn → F0) ist unerfüllbar
G1 ∧ …∧ Gk ist unerfüllbar
□ Das Resolutionsverfahren erlaubt die Ableitung eines Widerspruchs aus G1 ∧ …∧ Gk.
Theorie
Äqu
ival
ente
Aus
sage
n
John Alan Robinson, "A Machine-Oriented Logic Based on the Resolution Principle", Communications of the ACM, 5:23–41, 1965.
John Alan Robinson (*1930)
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5830
Resolution (Aussagenlogik)■ Ist (p1∨…∨pk∨p∨¬q1∨…∨¬ql)∧(r1∨…∨rm∨¬p∨¬s1∨…∨¬sn)
wahr, dann:■ Eines von p, ¬p muss falsch sein.
■ Also: Eines der anderen Literale muss wahr sein, d.h. p1∨…∨pk∨¬q1∨…∨¬ql∨r1∨…∨rm∨¬s1∨…∨¬sn
muss wahr sein.
■ Ergo: Ist p1∨…∨pk∨¬q1∨…∨¬ql∨r1∨…∨rm∨¬s1∨…∨¬sn unerfüllbar, dann auch(p1∨…∨pk∨p∨¬q1∨…∨¬ql)∧(r1∨…∨rm∨¬p∨¬s1∨…∨¬sn)
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5930
Resolution (Aussagenlogik)
(p1∨…∨pk∨p∨¬q1∨…∨¬ql) (r1∨…∨rm∨¬p∨¬s1∨…∨¬sn)
p1∨…∨pk∨¬q1∨…∨¬ql∨r1∨…∨rm∨¬s1∨…∨¬sn
■ Aus zwei Klauseln wird eine neue
■ Ende des Verfahrens:■ Werden Klauseln resolviert, die nur noch aus je einem Atom bzw.
negierten Atom bestehen, dann entsteht eine „leere Klausel“, bezeichnet mit ⊥.
K2
K3
{K1,K 2} ⊨ K3Resolutionsschritt
K1
∧
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6030
Resolution (Aussagenlogik)
• Vorgehensweise, um einen Widerspruch aus einer Menge M von Klauseln abzuleiten:
1.Wähle zwei Klauseln aus M und erzeuge aus ihnen eine neue Klausel K durch einen Resolutionsschritt.
2. Ist K =⊥ , dann ist ein Widerspruch gefunden.
3.Falls K ≠⊥ , füge K zur Menge M hinzu und gehe zu 1.
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6130
Resolution (Prädikatenlogik)
■ In der Prädikatenlogik müssen bei der Resolution zusätzlich Variablenbindungen mit Hilfe von Substitutionen berücksichtigt werden
■ z.B. (p(X,f(Y)) ∨ q( f(X),Y)) (¬p(a,Z) ∨ r(Z) )
(q( f(a),Y) ∨ r(f(Y))).
Resolution mit [X/a, Z/f(Y)] ergibt
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6230
Resolution (Prädikatenlogik)
■ Unifikation von Termen■ Geg.: Literale L1, L2
■ Ges.: Variablensubstitution σ derart, dass nach Anwendung auf L1 und L2 gilt: L1σ = L2σ
■ Existiert eine solche Variablensubstitution σ, dann heißt σ Unifikator von L1 und L2.
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6330
Resolution (Prädikatenlogik)Unifikationsalgorithmus■ Geg.: Literale L1, L2
■ Ges.: Unifikator σ von L1 und L2.
1. L1 und L2 sind Konstanten: nur unifizierbar, falls L1 = L2 .
2. L1 ist Variable und L2 beliebiger Term: unifizierbar, falls für Variable L1 der Term L2 eingesetzt wird und Variable L1 nicht in L2 vorkommt.
3. L1 und L2 sind Prädikate oder Funktionen PL1(s1,...,sm) und PL2(t1,...,tn):unifizierbar, falls
1. PL1 = PL2 oder
2. n=m und sich jeder Term si mit einem Term ti unifizieren lässt
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6430
Resolution (Prädikatenlogik)Beispiele zur Unifikation
L1 L2 σp(X,X) p(a,a) [X/a]p(X,X) p(a,b) n.a.p(X,Y) p(a,b) [X/a, Y/b]p(X,Y) p(a,a) [X/a, Y/a]
p(f(X),b) p(f(c),Z) [X/c, Z/b]p(X,f(X)) p(Y,Z) [X/Y, Z/f(Y)]p(X,f(X)) p(Y,Y) n.a.
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6530
Resolution (Prädikatenlogik)
■ In der Prädikatenlogik müssen bei der Resolution zusätzlich Variablenbindungen mit Hilfe von Substitutionen berücksichtigt werden
■ z.B. (p(X,f(Y)) ∨ q( f(X),Y)) (¬p(a,Z) ∨ r(Z) )
(q( f(a),Y) ∨ r(f(Y))).
Resolution mit [X/a, Z/f(Y)] ergibt
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6630
Resolution (Prädikatenlogik)Beispiel zur prädikatenlogischen Resolution:
■ Terminologisches Wissen (TBox): (∀X) ( human(X) → (∃Y) parent_of(Y,X) )
(∀X) ( orphan(X) ↔
(human(X) ∧ ¬(∃Y) (parent_of(Y,X) ∧ alive(Y)))
■ Wissen um Individuen (ABox): orphan(harrypotter)
parent_of(jamespotter,harrypotter)
■ Können wir folgern: ¬alive(jamespotter)?
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6730
Resolution (Prädikatenlogik)
Beispiel zur prädikatenlogischen Resolution Zu zeigen:
((∀X) ( human(X) → (∃Y) parent_of(Y,X) )
∧ (∀X) (orphan(X) ↔
(human(X) ∧ ¬(∃Y) (parent_of(Y,X) ∧ alive(Y)))
∧ orphan(harrypotter)
∧ parent_of(jamespotter,harrypotter))
→ ¬alive(jamespotter))
ist allgemeingültig.
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6830
Resolution (Prädikatenlogik)
Beispiel zur prädikatenlogischen Resolution Zu zeigen:
¬((∀X) ( human(X) → (∃Y) parent_of(Y,X) )
∧ (∀X) (orphan(X) ↔
(human(X) ∧ ¬(∃Y) (parent_of(Y,X) ∧ alive(Y)))
∧ orphan(harrypotter)
∧ parent_of(jamespotter,harrypotter))
→ ¬alive(jamespotter))
ist unerfüllbar.
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6930
Resolution (Prädikatenlogik)
Beispiel zur prädikatenlogischen Resolution ■ Pränexnormalform:
(∀X)(∃Y)(∀X1)(∀Y1)(∀X2)(∃Y2)
(( ¬human(X) ∨ parent_of(Y,X) )
∧ (¬orphan(X1)∨ (human(X1) ∧ (¬parent_of(Y1,X1) ∨ ¬alive(Y1)))
∧ (orphan(X2) ∨ (¬human(X2) ∨ (parent_of(Y2,X2) ∧ alive(Y2)))
∧ orphan(harrypotter)
∧ parent_of(jamespotter,harrypotter))
∧ alive(jamespotter))
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Resolution (Prädikatenlogik)
Beispiel zur prädikatenlogischen Resolution ■ Klauselform (CNF):
( ¬human(X) ∨ parent_of(f(X),X) )
∧ (¬orphan(X1) ∨ human(X1))
∧ (¬orphan(X1) ∨ ¬parent_of(Y1,X1) ∨ ¬alive(Y1))
∧ (orphan(X2) ∨ ¬human(X2) ∨ parent_of(g(X,X1,Y1,X2),X2))
∧ (orphan(X2) ∨ ¬human(X2) ∨ alive(g(X,X1,Y1,X2)))
∧ orphan(harrypotter)
∧ parent_of(jamespotter,harrypotter))
∧ alive(jamespotter)
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Resolution (Prädikatenlogik)
Beispiel zur prädikatenlogischen Resolution ■ Klauselform:
{ {¬human(X), parent_of(f(X),X)},
{¬orphan(X1), human(X1)},
{¬orphan(X1),¬parent_of(Y1,X1),¬alive(Y1)},
{orphan(X2),¬human(X2),parent_of(g(X,X1,Y1,X2),X2)},
{orphan(X2) ,¬human(X2),alive(g(X,X1,Y1,X2))},
{orphan(harrypotter)},
{parent_of(jamespotter,harrypotter)},
{alive(jamespotter)} }
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7230
Resolution (Prädikatenlogik)
Beispiel zur prädikatenlogischen Resolution
1. {¬human(X), parent_of(f(X),X)}2. {(¬orphan(X1), human(X1)}3. {¬orphan(X1), ¬parent_of(Y1,X1),¬alive(Y1))}4. {(orphan(X2), ¬human(X2), parent_of(g(X,X1,Y1,X2),X2)}5. {orphan(X2), ¬human(X2), alive(g(X,X1,Y1,X2))}6. {orphan(harrypotter)}7. {parent_of(jamespotter,harrypotter)}8. {alive(jamespotter)}
9. {¬orphan(harrypotter), ¬alive(jamespotter)} (3,7) [X1/harrypotter, Y1/jamespotter]
Wissen:
Abgeleitete Klauseln:
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Resolution (Prädikatenlogik)
Beispiel zur prädikatenlogischen Resolution Wissen:
Abgeleitete Klauseln:
1. {¬human(X), parent_of(f(X),X)}2. {(¬orphan(X1), human(X1)}3. {¬orphan(X1), ¬parent_of(Y1,X1),¬alive(Y1))}4. {(orphan(X2), ¬human(X2), parent_of(g(X,X1,Y1,X2),X2)}5. {orphan(X2), ¬human(X2), alive(g(X,X1,Y1,X2))}6. {orphan(harrypotter)}7. {parent_of(jamespotter,harrypotter)}8. {alive(jamespotter)}
9. {¬orphan(harrypotter), ¬alive(jamespotter)} (3,7)10. {¬orphan(harrypotter)} (8,9)
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7430
Resolution (Prädikatenlogik)
Beispiel zur prädikatenlogischen Resolution Wissen:
Abgeleitete Klauseln:
1. {¬human(X), parent_of(f(X),X)}2. {(¬orphan(X1), human(X1)}3. {¬orphan(X1), ¬parent_of(Y1,X1),¬alive(Y1))}4. {(orphan(X2), ¬human(X2), parent_of(g(X,X1,Y1,X2),X2)}5. {orphan(X2), ¬human(X2), alive(g(X,X1,Y1,X2))}6. {orphan(harrypotter)}7. {parent_of(jamespotter,harrypotter)}8. {alive(jamespotter)}
9. {¬orphan(harrypotter), ¬alive(jamespotter)} (3,7)10. {¬orphan(harrypotter)} (8,9)11. ⊥ (6,10)
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Resolution (Prädikatenlogik)Eigenschaften der Resolution für FOL■ Widerlegungsvollständigkeit□ Wird Resolution auf widersprüchliche Klauselmenge
angewandt, dann existiert eine endliche Folge von Resolutionsschritten, mit denen der Widerspruch entdeckt werden kann.
□ Die Anzahl n der notwendigen Beweisschritte kann dabei sehr groß werden (ineffizient)
□ Resolution in FOL ist nicht entscheidbar□ Ist die Klauselmenge nicht widersprüchlich, lässt sich
die Terminierung des Verfahrens nicht garantieren.
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3.2 Wiederholung Aussagenlogik und Prädikatenlogik3.2.1 Logik Grundlagen3.2.2 Modelltheoretische Semantik 3.2.3 Normalformen 3.2.4 Resolution3.2.5 Eigenschaften von PL und FOL
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Eigenschaften der Prädikatenlogik (FOL)
■ Monotonie□ Bei Vergrößerung des Wissens gehen keine
Schlussfolgerungen verloren.
□ Sind S und T Theorien, mit S⊆T
□ Dann gilt {F|S ⊨ F} ⊆ {F|T ⊨ F}
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Eigenschaften der Prädikatenlogik (FOL)
■ Kompaktheit□ Für jede Schlussfolgerung aus einer Theorie genügt
eine endliche Teilmenge der Theorie.
■ Semientscheidbarkeit□ Prädikatenlogik erster Stufe ist unentscheidbar.□ Aber sie ist semientscheidbar in dem Sinne, dass
eine logische Konsequenz T ⊨ F immer in endlicher Zeit nachgewiesen werden kann (nicht aber T⊭F)
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Eigenschaften der Aussagenlogik (PL)■ Alle genannten Eigenschaften der Prädikatenlogik.■ Entscheidbarkeit□ Alle wahren Schlüsse lassen sich finden, und alle
falschen Schlüsse lassen sich widerlegen, wenn man lange genug sucht.
■ ⇒ es gibt immer terminierende automatische Beweiser
■ Nützliche Eigenschaft:■ {φ1,...,φn} ⊨ φ gilt genau dann,
wenn (φ1 ∧...∧ φn) → φ eine Tautologie ist■ Entscheidung, ob Satz eine Tautologie ist, kann über
Wahrheitswerttabelle getroffen werden■ Entspricht im Prinzip der Überprüfung aller
Interpretationen
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3. Wissensrepräsentation und Logik3.2 Wiederholung Aussagenlogik und Prädikatenlogik
3.2 Wiederholung Aussagenlogik und Prädikatenlogik3.2.1 Logik Grundlagen3.2.2 Modelltheoretische Semantik 3.2.3 Normalformen 3.2.4 Resolution3.2.5 Eigenschaften von PL und FOL
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3. Wissensrepräsentation und LogikDie Sprachen des Semantic Web - Teil 2
3.1.Exkurs: Ontologien in Philosophie und Informatik
3.2.Wiederholung: Aussagenlogik und Prädikatenlogik
3.3.Beschreibungslogiken (Description Logics)3.4.RDFS-Semantik3.5.OWL und OWL-Semantik3.6.OWL 2 und Regeln
Semantic Web Technologien Vorlesungsinhalt
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82
Beschr
eibung
s-
logike
n
die nächste Vorlesung....
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83
• P. Hitzler, S. Roschke, Y. Sure: Semantic Web Grundlagen, Springer, 2007.
• U. Schöning: Logik für Informatiker, Spektrum Akademischer Verlag, 5. Aufl. 2000.
3. Wissensrepräsentation und Logik3.2 Wiederholung Aussagenlogik und Prädikatenlogik
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84 Extra-Literatur
• A. Doxiadis, C.H. Papadimitriou: Logicomix: eine epische Suche nach der Wahrheit, Atrium Verlag, 2010.
3. Wissensrepräsentation und Logik3.2 Wiederholung Aussagenlogik und Prädikatenlogik
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Materialien
□Bloghttp://wwwsoup2011.blogspot.com/
□Webseitehttp://www.hpi.uni-potsdam.de/studium/lehrangebot/veranstaltung/semantic_web_technologien.html
□bibsonomy - Bookmarkshttp://www.bibsonomy.org/user/lysander07/swt1112_05
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3. Wissensrepräsentation und Logik3.2 Wiederholung Aussagenlogik und Prädikatenlogik
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