© Andrea Berger, Martina Graner, Nadine Pacher

Gleichungen und Gleichungen und GleichungssystemeGleichungssysteme

5. Klasse

Inhaltlichen GrundlagenInhaltlichen Grundlagenzur standardisierten schriftlichen Reifeprüfungzur standardisierten schriftlichen Reifeprüfung

•Inhaltsbereich Algebra und Geometrie (AG) •(Un-)Gleichungen und Gleichungssysteme

•AG 2.1 Einfache Terme und Formeln aufstellen, umformen und im Kontext deuten können

•AG 2.2 Lineare Gleichungen aufstellen, interpretieren, umformen/lösen und die Lösung im Kontext deuten können

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• AG 2.3 Quadratische Gleichungen in einer Variablen umformen/lösen, über Lösungsfälle Bescheid wissen, Lösungen und Lösungsfälle (auch geometrisch) deuten können.

• AG 2.4 Lineare Ungleichungen aufstellen, interpretieren, umformen/lösen, Lösungen (auch geometrisch) deuten können.

• AG 2.5 Lineare Gleichungssysteme in zwei Variablen aufstellen, interpretieren, umformen/lösen, über Lösungsfälle Bescheid wissen, Lösungen und Lösungsfälle (auch geometrisch) deuten können.

1. Woche – 1. Stunde1. Woche – 1. Stunde

1. Woche – 1. Stunde1. Woche – 1. Stunde

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Gruppenarbeit / Gruppenarbeit / Gruppenpuzzle (Seite 74)Gruppenpuzzle (Seite 74)

Gruppenarbeit / Gruppenarbeit / Gruppenpuzzle (Seite 74)Gruppenpuzzle (Seite 74)

Gruppenarbeit / Gruppenarbeit / Gruppenpuzzle (Seite 74)Gruppenpuzzle (Seite 74)

Gruppenarbeit / Gruppenarbeit / Gruppenpuzzle (Seite 74)Gruppenpuzzle (Seite 74)

GrundkompetenzenGrundkompetenzen

FormvariablenFormvariablen

• 1-2 Stunden• 2. Woche• Gegebene Gleichungen und

Textaufgaben

TafelbildTafelbild

• Formvariablen sind Parameter, unbestimmte Zahlen. Sie sind keine Unbekannte, nach denen die Gleichung gelöst wird! Die Variable (Unbekannte) ist damit abhängig von der Formvariable.

• Eine Gleichung muss nicht für alle Werte einer Formvariable lösbar sein.

TafelbildTafelbild

• Schritt 1 - Beispiele zu Gleichungen mit einer Formvariablen:

• Beispiel: Dazu, dass eine Gleichung nicht für alle a (und x) definiert sein muss.

• Beispiel:

SchülerInnenSchülerInnen

• Zuerst: Für welche x ist diese Gleichung definiert

• Dann: Für welche a ist sie definiert

Schritt I: gegebene Schritt I: gegebene GleichungGleichung• Löse x2 +2ax + (a2 – a +3) = 0 in

Abhängigkeit von der Formvariable a!• Die Gleichung ist für alle x und a

definiert• Schritt 1: Lösen wie eine normale

Gleichung

• Da die Wurzel nur dann gezogen werden kann, wenn (a-3)>0 ist kann man nun mehrere Fälle für die Lösung unterscheiden:

• Schritt 2: Lösungsfälle unterscheiden

Schritt II - TextaufgabeSchritt II - Textaufgabe

• Beispiel: Bernhard behauptet: „In meiner Klasse gibt es um die Hälfte mehr Burschen als Mädchen, insgesamt 24 Schüler.“ Wie viele Mädchen gehen in seine Klasse?

• Gleichung: • x…Anzahl der Mädchen

• Suchen jetzt Lösung in Abhängigkeit zur SchülerInnenzahl der Klasse.

• a muss also ein Vielfaches von 5 sein.

Graphisches Lösen - Graphisches Lösen - EinführungsbeispielEinführungsbeispiel• Wir wollen als Einführungsbeispiel, das

folgende Gleichungssystem lösen:I: 4x+y = 38II: y = x-2

• Als ersten Schritt schreiben wir einmal beide Gleichungen auf y= um!

• Das wäre dann:I: y = -4x + 38II: y = x – 2

• Dies macht man damit man die Steigung der Gerade erkennen kann. Denn die allgemeine Formel lautet: y = kx + d!

• Da wir nun die Steigung wissen, können wir diese beiden Geraden in ein Koordinatensystem einzeichnen. Nennen wir hierbei die Gleichung I = g und II = h!

Graphisches Lösen - Graphisches Lösen - EinführungsbeispielEinführungsbeispiel• Graphisches Darstellung:

• Um die Lösung überprüfen zu können, lösen wir die Gleichung nun auf und kommen auf das Ergebnis, dass die Gleichung einen Schnittpunkt hat und zwar bei S=(8/6).

• Stimmt das nun mit unserer graphischen Lösung? Ja!

Parallele bzw. identische Parallele bzw. identische GeradenGeraden

• Diskussion: –Muss eine Gleichung jetzt immer

genau eine Lösung haben? Nein, eine Gleichung kann auch zwei parallele Geraden bzw. zwei identische Geraden enthalten.

Parallele bzw. identische Parallele bzw. identische GeradenGeraden• Zeigen wir nun zwei solche Beispiele wo

wir keine eindeutige Lösung haben:

• Man kann nun erkennen, dass eine Gleichung nicht immer eindeutig lösbar sein muss.

Übung – Beispiele Übung – Beispiele

• aus dem Buch – Seite: 208– Bsp. 525– Bsp. 526– Bsp. 527

Handout – Zettel Handout – Zettel

GleichsetzungsverfahrenGleichsetzungsverfahren

• I: 4x + 2y = 24• II: -7x + y = -33Dann wird umgeformt auf y=…!• I: y = -2x + 12• II: y = 7x – 33Danach setzt man die Gleichung gleich!• -2x + 12 = 7x – 33Danach löst man die Gleichung nach x auf!• -9x = -45• x = 5

GleichsetzungsverfahrenGleichsetzungsverfahren

Nun setzt man den x-Wert, oben in eine Gleichung ein und erhält den dazugehörigen y-Wert!•y = -10 + 12•y = 2Zur Kontrolle kann man die Angabe (beide Gleichungen) einsetzen!

Die Lösung heißt nun:

EinsetzungsverfahrenEinsetzungsverfahren

Man beginnt damit, dass man eine der Gleichungen in die Hauptform y = kx + d bringt und setzt diese dann in eine andere Gleichung für y ein. •I: 4x + 2y = 24•II: -7x + y = -33 Wir formen nun die zweite Gleichung auf y= … um!•II: y = 7x – 33 Nun setzen wir diese umgeformte Gleichung in die andere ein!

EinsetzungsverfahrenEinsetzungsverfahren

Nun lösen wir dieses Gleichungssystem nach x auf!•4x +14x – 66 = 24•18x = 90•x = 5Danach setzen wir den x-Wert wieder in eine der anderen Gleichungen ein und erhalten so den y-Wert.•y = 2Die Lösung heißt nun:

AdditionsverfahrenAdditionsverfahren

• I: 4x + 2y = 24• II: -7x + y = -33Wir multiplizieren nun die zweite Gleichung

mit -2, damit das y wegfällt!• I: 4x + 2y = 24• II: 14x - 2y = 66 Nun fällt uns das y weg und wir erhalten

eine Gleichung nur mit dem x-Wert:• 18x = 90• x = 5Wir erhalten nun wieder die Lösung:

ÜbungsphaseÜbungsphase

• Danach werden einige Beispiele eigenständig von den SchülerInnen gelöst, die einzige Bedingung ist, dass sie alle Methoden einmal verwenden sollen!

• In der nächsten Stunde könnte man den Stoff durch einen Stationenbetrieb festigen!

• es gibt auch ein Handout, zum Nachschlagen für die SchülerInnen

© Andrea Berger, Martina Graner, Nadine Pacher

Danke für eure Danke für eure Aufmerksamkeit!Aufmerksamkeit!