© Copyright by M.Drifte 1996 Formel- sammlungtuffi.smsfactory.ch/Dateien/Formelsammlung Physik.pdf · Grundlagen der Elektrotechnik 48. Elektrostatik 49. Magnetismus 50. R-L-C Elemente

Formelsammlung Physik/Elektrotechnik

M.D 07.09.2006 22:51:00

© Copyright by M.Drifte 1996

Formel-sammlung

Physik


M.D 07.09.2006 22:51:00

Inhalt 1. Kinematik 2. Kinematik der Drehbewegung 3. Massenanziehung, Gravitation 4. Der Impuls 5. .... Mechanik der Flüssigkeit 30. Wärmelehre 31. Schwingungen 47. Grundlagen der Elektrotechnik 48. Elektrostatik 49. Magnetismus 50. R-L-C Elemente 51. Schwingkreise 52. Wirk-Schein-Blindleistung 53. Transformator 54. Motoren 55. Stromversorgungen 56. Halbleiter 57. Bipolar Transistor 58. FET-Schaltungen 59. Operationsverstärker 60. Dreiphasen-Systeme 61. (Batterien) noch zu machen 62. Vierpolparameter

Formelsammlung Physik/Elektrotechnik 1. Kinematik

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1.1.4 Der freie Fall 1. Kinematik s

t

vg

t

a

t

1. Mechanik s g t

2

2=

⋅ - Kinematik Beschreibt den Ablauf der Bewegung

- Dynamik - Statik: Kräfte an ruhigen Körpern v g t= ⋅ - Kenetik: Zusammenhänge von Kinetik und Bewegung

1.1 Kinematik

1.1.1 Gleichförmig, Geradelinige Bewegung v :Geschwindigkeit [ m/s ] s :Weg [ m ]

v st

=ΔΔ

a vt

=ΔΔ

sv

t

v

t

a

t v :Geschwindigkeit [ m/s ] s :Weg [ m ] t :Zeit [ s ] a :Beschleunigung [ m/s2 ]

t :Zeit [ s ] g :9.91 [ m/s2 ]

1.1.5 Der senkrechte Wurf

s

s’

t’ t“

vSteigzeit:

t’ t“

v0

t

a

t

t =vg0

Steighöhe: 1.1.2 Gleichmässig beschleunigte bewegung ohne Anfangsgeschwindigkeit s v t v

g' '= =⋅⋅

0 02 2

s a t2

2=

⋅

v a t= ⋅

sv

½ a t2

t

v

½*at*tv

v=a*t

t t

a

a*t

t

v :Geschwindigkeit [ m/s ] s :Weg [ m ] t :Zeit [ s ] a :Beschleunigung [ m/s2 ]

Flugzeit: t"= 2 v

g0⋅

1.1.6 Der horizontale Wurf

y y atx x v t= += + ⋅

012

2

0

rvx0

y0

y

x

1.1.3 Gleichmässig beschleunigte bewegung mit Anfangsgeschwindigkeit 1.1.7 Der schiefe Wurf

( )( )

y v t a t

x v t

p y

p

= ⋅ ⋅ +

= ⋅ ⋅

0 012

2

0 0

sin

cos

α

α

rv a

α0 xp

x0

y0

yp

s s v ta t

20 0

2

= + ⋅ +⋅

v v a t0= + ⋅

sv

t

va

v a*t v=v0+a*t

vo

t t

a

a*t

t v :Geschwindigkeit [ m/s ] s :Weg [ m ] t :Zeit [ s ] a :Beschleunigung [ m/s2 ]


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2. Kinematik der Drehbewegung 2.3 Ungleichförmige Kreisbewegung 2.1 Gleichförmige Drehbewegung Mittlere Bahnbeschleunigung

Mittlere Bahnbeschl.=Änderung der Bahngeschwindigkeit

dazu benötigte Zeit

Bahngeschwindigkeit bei

r rv v v1 2= = gilt:

v = dsdt

v r n= ⋅2π n: Drehzahl [s-1] v: Geschwindigkeit [m/s] s: Strecke [m] t: Zeit [s]

Δs

r

rv1

rv2

t1t2t t t12 = + Δ

a tvt= Δ

Δ

Bahnbeschleunigung

att

vt=

→limΔ

ΔΔ0

Die Richtung der Bahnbeschleunigung ist tangentiel zur Kreisbahn. Mittlere Winkelbeschleunigung

Mittlere Winkelbeschl. =Änderung der Winkelgeschwindigkeit

dazu benötigte Zeit

α ω= ΔΔt

Winkelbeschleunigung Bahnbeschleundigung

r r

a v= ddt

Bem: Der betrag bleibt konstant. Nur die Richtung ändert sich.

rv1

rv2

v v vv v v

1 2

2 1

= =

= +r r r

ΔΔrv

α ω=→

lim tΔ

ΔΔt 0

Kennzeichnung des Drehsinnes

Radialbeschleunigung

r r

arv= d

dt rv const=

arvr

vr2

= = ⋅ =dvdt

dsdt

a v rrvr

22= = =ω ω

Die Radialbeschleunigung der Kreisbewegung steht immer senkrecht auf der Bahn-geschwindigkeit und zeigt in radialer Richtung auf den Kreismittelpunkt.

Δs

r

rv1

rv2

t1t2 t t t12 = + Δra r

ra r

2.4 Drehzahlmessung mittels Stropkop

Situation Eine Drehscheibe mit k markierungen wird mit einem Strophoskop abgeblitzt. Dabei gibt es blitzfrequenzen bei dem das Rad stehenbleibend zu scheint. Um die Drehzahl festzustellen braucht es zwei benachtbarte Blitzfrequenzen.

n f fk f f= −

1 2

1 2( )

2.2 Drehzahl und Winkelgeschwindigkeit

[ ]1s

Drehzahl

n Nt= n 1

T=

v = = ⋅2π πrT 2 r n

n: Drehzahl

N: Zahl der Umdreh. T: Zeit für 1 Umdreh

T

r

Mittlere Winkelgeschwindigkeit

ϖϕ

=ΔΔt

Mittlere Winkelgeschwindigkeit =gesamte überstrichener

dazu benötigte Zeit∠

ϖ :rad/sec=1/sec ϕ Momentane Winkelgeschwindigkeit :rad

ω ϕ=→

limΔ

ΔΔt t0

t :sec

ω ππ= =2 2T n

Bahngeschwindigkeit Mittlere Bahnbeschl.=

gesamte überstrichener Winkeldazu benötigte Zeit

v T= =2π ω r r


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2.5 Dynamik der geradlinigen Bewegung 2.6 Arbeit,Leistung,Energie

Drehmoment r

r r

M r F= × rr

rF

F: Drehmoment [Nm] r: Radius [m]

W: Arbeit [Nm] = [J] Arbeit

Federkraft

r rF D x= − ⋅F

D: Federrate

Beschleunigungskraft r

rF m a= ⋅

m: Masse [Kg]

Gewichtskraft r

rF m g= ⋅

F: Kraft [N]

Haftreibung

F FR N= ⋅μmax

μ: Haftreibungskoeffizent FN: Normalkraft [N]

Gleitreibung

F F=R N⋅μ ' μ<μ’

μ: Gleitreibungskoeffizent

Rollreibung

NF FR r= ⋅μ

μr r≈ 1

μrfr=

μr: Rollreibungskoeffizent f: Rollreibungslänge [m] BEM: Hängt von der Beschaffenheit und der

Kontaktfläche sowie vom Radius des Rades ab.

W Fr

sr s: Weg [m] = • F: Kraft [N]

m: Masse [Kg] Hubarbeit

W F h mgh= • =r

h

m

m

r g: 9.81 [m/s] r h: Hoehe [m] F

Reibungsarbeit r

W F s F sr N= • = ⋅r F

r

s

mm

Beschleunigungsarbeit r

F

W mB = ⋅2

2V1sv=0 v>0

mm

Elastische Verformungsarbeit

Δ ΔWi s=F F+

⋅1 2

2

W Wii

=∑Δ

TIP: Fläche unter der Kurve

F

D

sa

Ruhelage

sa

Δs

F

F1

F2

s

P: Leistung [J/s] = [W] Leistung

P Wt

=ΔΔ

Wirkungsgrad

η =W

N

A

W oder η =

PP

N

AWN

NutzarbeitAufgenomenearbeit

WA 0<η<1

Spannungsenergie (pot. Energie) Energie

Kinetische Energie

E mk = ⋅12

2v

Portentielle Energie E m g hp = ⋅

E D sp = ⋅21 2

Enegiesatz der Mechanik Δ Δ ΔW E Ep k= +

E [Nm] = [J]

Formelsammlung Physik/Elektrotechnik 3. Gravitation

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3.3 Potentielle Energie 3. Massenanziehung,Gravitation Bezüglich der Oberfläche siehe Hubarbeit 3.1 Gravitationsgesetz [Benedetti 9.03] Bezüglich eines unendlich Weit entfernten Punkts und einem Punkt im Abstand r.

Fm m

r= γ 1 2

2

F : Gravitationskraft [N] m1,m2 : Beliebige Massen [kg] r : Abstand [m] γ : Gravitationskonstante 6,68E-11 m3/(kg s2)

m1

m2

r

Schwerbeschleunigung auf der Erde

gmr

E= γ 2

me : Masse Erde [kg]r : Radius von Zentrum [m]γ : Gravitationskonstante [m3/(kg s2)] Siehe auch Mende Simon p.88

Anziehungskraft in Homogener Kugel

Fm m r

R=

⋅ ⋅γ 1

3

Schwerbeschleunigung inherhalb einer Homogenen Kugel

gm rR

=⋅

γ 13

m1

R

r

m

rF

F : Kraft [N] m1 : Masse der Kugel [kg] m : Testmasse [kg] R : Radius der Kugel [m] r : Abstand der Testmasse vom Zentrum m1 [m]

3.1.1 Geostationäre Bahn

rmp=

⋅γ

ω23

ω : Winkelgeschwindigkeit [1/s] γ : Gravitationskonstante mp : Masse des Planeten [kg]

3.2 Hubarbeit Energie im Homogenes Kraftfeld

W F h mgh h = ⋅ =

m : Masse [kg]g : Schwerebeschleunigung [m/s2]h : Hoehe von der Oberfläche [m]

Energie im Inhomogenen Kraftfeld (Wie die Erde)

W m mr rh = ⋅ −

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟γ 1

1 2

1 1

γ : Gravitationskonstante 6,68E-11 m3/(kg s2)

ϕ ϕ γ= = − ⋅∞ mrp1

Epot bezüglich derselben Masse in einem unendlich entfernten Punkt

EPOT mmp x2 x1

ins Unendliche= ⋅ϕ

rRp

ϕ=-γ mp 1/r

mp

Rp

ϕ : Gravitationspotential γ : Gravitationskonstante mp : Masse des Planeten [kg] r : Abstand zum Zentrum [m] (Ausserhalb des Planeten)

3.4 Fluchtgeschwindigkeit

rRp

EPOT gilt für m

Rp

Etot=EKin+EPot

vm

rFLp=

⋅ ⋅⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

212γ

mvFL : Fluchtgeschwindigkeit [ / ] s

γ : Gravitationskonstante mp : Masse des Planeten kg] r : ursprünglicher Abstand [m]

(Zentrum) vom Planeten (Ausserhalb)

Rp : Grenze der Kinetischen Energie bei der ein Körper der Masse m an die Erde gebunden bleibt. [m]


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3.5 Kinematik der Rotation Massenträgheitsmoment für einfache Formen mit Schwerpunkt im Zentrum: Kugel: Vollzylinder:

3.6 Zentripetalkraft Kreisbewegung α=0 T,ω

rar

rar

rFZP

m

rFZF

rv

rar

Translation(Beschleunigt)

mra

rFRES

rFT

FZP ist die Zentripetalkraft => Verandwortlich für die

Kreisbewegeung FZF ist die Zentifugalkraft => Scheinkraft

FRES ist die resultierende Kraft => Verandwortlich für die

Beschleunigung FT ist eine Scheinkraft

Zentripedalkraft

F m am rm v

mvr

ZP r= ⋅

= ⋅= ⋅

=

r

ϖϖ

2

2

Rotationsbeschleunigung

a vrr =2

a rr = ⋅ϖ 2

ar : Radialbeschleunigung [m/s2]at : tangentialbeschleunigung [m/s2]v : Geschwindigkeit [ /m

s]r : Radius [m]ω : Kreisfrequenz [1/s]γ : Gravitationskonstante 6,68E-11 m3/(kg s2)

Rotationsenergie

E Jkinrot = 1

22ϖ

m : Masse [kg]J : Massenträgheitsmoment [kg m2]ω : Kreisfrequenz [1/s]

Massenträgheitsmoment

J r mi ii

n

= ⋅∑ ( )2 Δ

J : Massenträgheitsmoment [kg m2]

J mR= 12

2

J mR= 2

52

Hohlzylinder: Stab:

J mR= 2

J mL= 112

2

m : Masse [kg] Platte: J : Massenträgheitsmoment [kg m2] R : Radius [m] L : Länge [m]

J mL= 112

2

Satz von Steiner (Schwerpunkt verschiebung)

2 J J m ss= + ⋅ s S (Schwerpunkt)

E J mss= +12

2 2( )ω ω J : Massenträgheitsmoment [kg m2]

E : Energie [J] m : Masse [kg] ω : Kreisfrequenz [1/s] s : Verschiebung von Schw.p [m]

m : Masse [kg] Gesammt energie eines Rotierenden v : Geschwindigkeit [m/s] Körpers ω : Rotationsgeschwindigkeit [1/s]

E E E

E Jkintot

kinrot

kintrans

kintot

= +

= +12

2 12

2ϖ mv

J : Massenträgheitsmoment [kg m2] E : Energie [J]

Geschwindigkeit unter berück-sichtigung des Massenträgheits-moment

mr

h v mgh

m Jr

=+

22

2

v : Geschwindigkeit [m/s] m : Masse [kg] J : Massenträgheitsmoment [kg m2] h : Höhe [m] r : Radius der Kugel [m]

2] g : 9,81 [m/s


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3.7 Drehmoment r r r

M r F= ×

r

vω

r r

M J= × α

v r= ω ⋅ r r rv r= ω × 2α : Winkelbeschleunigung [1/s ]

v : Tangentialgeschwindigkeit [m/s]

J : Massenträgheitsmoment [kg m2] r : Radius [m] ω : Rotationsgeschwindigkeit [1/s]

3.8 Arbeit und Leistung bei Drehbewegung

M :Drehmoment [Nm] Arbeit bei M=const. W M= ⋅ ϕ ϕ :überstrichener Winkel [rad] W : Arbeit [ J ] [Nm]

P: :Leistung [Watt] Leistung

P Wt

=ΔΔ

ϕ :Drehwinkel [rad] ω :Winkelgeschwindigkeit [1/s] M :Drehmoment [Nm]

P M ft

=⋅ Δ

Δ

P M= ω

Formelsammlung Physik/Elektrotechnik 4.Impulse

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4.2 Der Unelastische Stoss 4. Der Impuls

m m1 2+

m2

m1

ru1

rv2rv1

rr r

um v m v

m m=

++

1 1 2 2

1 2

4.0 Der Impuls Allgemein

r rp mv=

rvm

p : Impuls [kg m/s] m : Masse [kg] v : Geschwindigkeit [m/s]

Energiebilanz des Stosses

(Deformationsenergie) Impulserhaltung Vorher = Nachher

m v m = m v m v1 0 2 0+ v1 1 2 2r r+

= r0 m v m v1 1 2 2

r r+

r rp p konst1 2+ = .

m1rv1

rv2m1 m2v0 0=

rF2 1→

rF2 1→

m2

p : Impuls [kg m/s] m : Masse [kg] v : Geschwindigkeit [m/s]

Vorher Nacher

W mv mm MDEF = −+

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

12

2 1 2 2= ½ mv +W½(m+M)v DEF

4.3 Elastischer Stoss Idealerweise geht kein E in W über. Kraftstoss

r r

r r

F ma m vt

pt

= = =ΔΔ

ΔΔ

r r

F pt

=ΔΔ

tΔ Δr rp F= ⋅

p : Impuls [kg m/s] [Ns] m : Masse [kg] v : Geschwindigkeit [m/s] F : Kraft [Nm] t : Zeit [s] a : Beschleunigung [m/s2]

Kin DEF

Rückstossantrieb(Rakete)

( )

a

mt

v v

m

TR=

−ΔΔ

Δ

a

mt

v

m m

TR=

+

ΔΔ

Δ

Die Beschleunigund ist um so grösser je weniger Treibstoff übrig ist.

r r rv v m m

mvE TR= −

+⎛⎝⎜

⎞⎠⎟+ln Δ

0

m m+ Δ

rv

r r rv v vTR+ −Δ

r rv v+ ΔmΔm

Vorher

NacherTreibstoff

rvTR = Treibstoff (relativ zur Rakete) rvE Endgeschwindigkeit= rv0 = Anfangsgeschwindigkeit

Stossgesetze Für jeden Stoss gilt Impulserhaltung

r r rum mm m

vm

m mv1

1 2

1 21

2

1 22

2=

−+

++

r r rum mm m

vm

m mv2

2 1

1 22

1

1 21

2=

−+

++

rv1rv2

ruru1

ru2m2

m2

m2

m1

m1

m1

Formelsammlung Physik/Elektrotechnik 5.Drehimpuls

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5. Drehimpuls Siehe auch Benedetti 8.15 5.1 Drehimpuls bezüglich Ausgangspunkt

r r rL r p= ×

rpAusgangs-punkt

Flugbahn

ϕrr

m

r rL J= ⋅ω

L r p r m v

= ⋅= ⋅ ⋅

Bemerkung: rLWenn =const =>

rp L : Drehimpuls [kg m2/s] =const dh.

Es wirken keine Kräfte auf m J : Massenträgheitsmoment [kg m2] ω : Winkelgeschwindigkeit [1/s] r : Radius [m] p : Impuls [kg m/s] v : Geschwindigkeit [m/s] m : Masse [kg]

5.2 Dremoment

r r

M Lt= Δ

Δ r r

M dLdt=

L : Drehimpuls [kg m2/s] M : Drehmoment [Nm] t : Zeit [s]

5.3 Massenträgheitsmoment

J m r= ⋅ 2

J : Massenträgheitsmoment [kg m2] r : Radius [m] m : Masse [kg]

5.4 Kreisel Precision

ω pML=

0

Drehmoment r

r

M Lt

=ΔΔ

r r rM Lp= ×ω 0

Wenn auf den Kreisel FG+F gedrückt wird zeigt M in die andere Richtung

ωp :Precision [rad] L0 :Drehimpuls [Kg m2/s] M :Drehmoment von r [Nm] r :Radius [m]

Formelsammlung Physik/Elektrotechnik 7. Mech.d.Flüssi.

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7.1.4 Druckmessung Nanometer 7 Mechanik der Flüssigkeiten Druckdifferenz Δ =

p1p2

7.1 Ruhende Flüssigkeit 7.1.1 Allgemein

pFA

=

p : Druck [Pa] F : Kraft [N] A : Fläche auf die die Kraft wirkt [m]

7.1.2 Kompressiblität

χ = −1V

dVdp

V : Volumen [m3]

7.1.3 Druckausbreitung Kraftwandler

FAA

F22

11=

A1

F1F2

A2 Druckwandler

pAA

p12

12=

A1

p1p2

A2 Schweredruck

p h FAG( ) =

p h h g( ) = ⋅ ⋅δ

gF mg AhG = = δ δ : Dichte [Kg/m3] h : Höhe [m] g : Erdbeschleunigung 9,81 [m/s2] m: Masse [kg]

A

h

δ

Δ Δ

p p pp g h

−

= ⋅ ⋅1 2

δΔh

δ :Dichte [Kg/m3] δ

Absuluter Druck

=p g ha ⋅δ ⋅ Δ pp=0

δ : Dichte [Kg/m3] Δh

δ

Auftrieb Der Auftrieb eines Körpers ist gleich dem Gewicht der verdrängten Flüssigkeitsmenge.

Δh

AFA

FGδFL

F V gA k FL= ⋅δ ⋅

F A g hA FL= ⋅δ ⋅ • Δ 3δFL : Dichte der Flüssigkeit [Kg/m ] 3 : Volumen des Körpers [m ] Vk

Achtung:Die Dichte nimmt nach unten zu


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7.2 Ruhende Gase 7.3 Fluiddynamik 7.2.1 Allgemein Kontinuitätsgleichung

Bei Konstanter Temperatur p V const⋅ =

p : Druck [Pa] V : Volumen [m3]

7.2.2 Kompressibilität Bei Temp. const.

χ =1p

p : Druck [Pa]

7.2.3 Schweredruck Gesetzmässigkeit

p p h0

hδ δ=

( )( )0

dpdh p

g p h=−

⋅δ 0

0( )

Barometrische Höhenformel

p h e p( ) = ⋅00

pgh−

δ0

Luftsäule

P0/δ0

δ(h)

p(h)dh

h

p(h) : Druck in der höhe h [Pa] p0] : Druck auf dem Boden [Pa] δ(h) : Dichte in der höhe h δ0 : Dichte auf dem Boden

Für Inkompressible Fluide A v A v1 1 2 2= Die beiden Volumen sind gleich gross. S1=V1Δt

S2=V2Δt

A2

v1v2

S2

S1

A1

Bernulli Gleichung (Energie erhaltung)

{ {

{ {

p v gh

p v gh

Schweredruck

Schweredruck

1 2 12

1

212 2

22

StatischerDruck

DynamischerDruck

StatischerDruck

DynamischerDruck

+ +

=

+ +

−

−

δ δ

δ δ

123

123

1

oder

p v gh const+ + =12

2δ δ .


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7.3.4 Druckmessungen in Strömungen 7.5 Reale laminare Strömung (mit innere Reibung ,ohne Wirbel)

Statischer Druck

p p g hstat = + ⋅ ⋅2 δ Δ

Δh

p1 p2

vv

Bewegte scheibe

Ruhende scheibe

Δv

xΔx

FR

v

Bei linearer geschw. verteilung

F A vxR = ⋅η

Bei nicht lineare geschw. verteilung

F A dvdxR = ⋅η

η : Viskosität [Pa*s] Gesammtdruck

p g hGesammt = ⋅ ⋅δ Δ

Δh

VV

p=0

: Reibungskraft [N] FR

Strömung in einem Rohr

l

vp2

rR

p1p1>p2

( )v r pl

R r( ) = −Δ4

2 2

η

Δp p p= −Dynamischer Druck

p g hDyn = ⋅ ⋅δ Δ

Strömungsgeschwindigkeit

v vpDyn

1 22

= =δ

Δh

VV

Druckdifferenzen (Venturirohr)

Δ Δp p p g h= − = ⋅ ⋅1 2 δflüssig

Strömungsgeschwindigkeit

( )v

pAA

1 22

11

2

=−

⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

Δ

δ Δh

V1 V2

7.4 Volumenstrom Austritts geschwindigkeit

v gh2 2=

Volumenstrom

V Vt

A v.= = ⋅2 2

V•

: Volumenstrom [m3/s]

A1>>A2

h

A1

A2

v1 0≈

v2

1 2

v_Volumenfluss

: Mittlere Geschwindigkeit V p

lR t=

⋅⋅ ⋅

⋅πηΔ

84 v(r) : Geschwindgkeit abh. von r [m/s]

η : Viskosität [Pa* s]

v Vr

_=

•

2π

Reibungskraft auf Rohr

F p rR = ⋅ ⋅Δ 2 π

F l vR = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅8 π η_

Reibungskraft auf Kugel F r

vvvR = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅6 π η

r : Radius Kugel [m] FR : Kraft [N] v : Geschwindigkeit Flüssigk. . oder Kugerl [m/s] η : Viskosität [Pa* s]

7.8 Turbolente Strömung (Wirbelbildung) Ab kritischer Geschwindigkeit ein wechsel von laminarer zur turbolenten strömung

[l] : char. länge des Körpers [δ] : Dichte des Fluids

Reynoldszahl Re [η] : Viskosität

Re = ⋅ ⋅l vδη

[v] : rel. Geschwindigkeit zwischen Körper und Fluid

2[A] :Stirnfläche mStrömungen um oder in geom. Körpern sind

gleich, wenn die Reynoldszahlen gleich sind. [Cw] :Widerstandsbeiwert -

Strömungswiderstand

F c A vw w= ⋅ ⋅12

2δ

Formelsammlung Physik/Elektrotechnik 30. Wärmelehre

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30. Wärmelehre (Kalorik , Thermodynamik) 30.1 Temperatur (Mende Simon p.109, Beneteti 14.01) Absolute Temperatur (T)

Tk

EKin=⋅

⋅2

3

Mittlere kinetische Energie der Gasatome

E m vKin = ⋅12

2

T: Temperatur [K] k: Bolzmankonstante [J/K] 1.3806619E-23 J/Km: Masse [Kg]

EKin : Mittlere kin. Energie [J]

v : Mittler geschwindigkeit der Gasmolekühle [m/s]

30.2 Temperaturscala Umrechnung:

( )

T K T CT F T C

T C T F

[ ] [ ] .[ ] [ ]

[ ] [ ]

= ° += ° +

° = −

273153232

9559

K in Kelvin C° in Celsius Frad F in Farenheit

30.3 Thermische Längen und Volumenausdehnung Feste Stoffe:

ΔΔ

l

l ∼ T

Längenausdehnungs koeffizent

α =⋅Δ

Δ

l

l T

Volumenausdehungdskoeffizent

γ α=⋅

= ⋅Δ

Δ

VV T

3

Flächenausdehungs koeffizent

γ α= ⋅2

α: Längenausdehungskoeffizent [1/K] γ: Volumenausdehungskoeffizent [1/K] ≈ (1...100) 10-6 1/Kγ : Flächenausdehungskoeffizent [1/K] T: Temperatur [K] l: Länge [m]

Flüssige Stoffe (Volumenausdehung): Dichte bei der Temperatur ϑ

δϑϑ

=m

V

δγ ϑ

δγ ϑϑ =

+ ⋅=

+ ⋅m

V0

0

1 1( )

m : Masse [Kg] Vϑ : Volumen bei Temperatur ϑ [m3] ϑ : Temperatur [K] δ0 : Dichte bei 0 C° [Kg/m3] γ : Volumenausdehungskoeffizent [1/K] Achtung: Die Dichte von Wasser ist am

grössten bei 4 C°

Dichte umrechung verschiedender Temperaturen

δ δ=⋅⋅0

0

0

p TT p

Mende Simon p.116

Gasförmiger Stoffe γ ≅ 3661⋅10−6 1/Κ

für alle idealen Gase Volumenausdehung bei p=const.

( )V V= + ⋅0 1 γ ϑ

V : Volumen [m3] V0 : Volumen bei 0 C° [m3] γ : Volumenausdehungskoeffizent [1/K] ϑ : Temperatur [K]

30.4 Zustandsgleichung für idealle Gase

p VT const m Rs⋅

= = ⋅

p VT v R⋅

= ⋅

p V R TmMr

⋅ = ⋅ ⋅

p V k N T⋅ = ⋅ ⋅

vmMr

=

ν =N

N A

p : Druck [Pa] [N/m] p0 : Normaldruck [Pa] V : Volumen [m3] m : Masse [m] T : Temperatur [K] Rs : spez. Gaskonstante [J/ ] KmolR : Allgem. Gaskonstante [J/ ] R = 8314

KmolJ/Kmol

Mr : Kilomolmasse [ Kg/Kmol] N : Anzahl Teilchen NA : Anzahl Teilchen pro Kilomol NA =6.02 E26 (Advogradozahl) k : Bolzmankonstante [J/K] 1.3806619E-23 J/Kv : Stoffmenge (Zahl der Kilomole) ν:

30.5 Gemisch idealer Gase

p V R T⋅ = ⋅ ⋅ν

p V R Ti i⋅ = ⋅ ⋅ν p pi= ∑

mm

M M

M M

r11 1

1 12

1 2

=−

−

VV

M MM M

r1 2

1 2=

−−

pi : Partialdruck des i-ten Gases [Pa] [N/m] V : Volumen [m3] R : Allgem. Gaskonstante [J/Kmol] R = 8314 J/Kmolm : Masse [Kg] m1 : Masse des 1. Gases [Kg] Mr : Kilomolmasse [ Kg/Kmol] M1 : Kilomolmasse 1.Gases [ Kg/Kmol] M2 : Kilomolmasse 1.Gases [ Kg/Kmol] V : Volumen [m ] 3

V2 : Volumen 1. Gases [m3]


M.D 07.09.2006 22:53:00 Seite: 2

30.6 Gaskinetische deutung des Druckes Tabelle

pNV EKin=

⋅⋅

23

E m vKin = ⋅12

2

Mittlere Translationsener. eine idea. Gasmolek.

E k TKin = ⋅32

p : Druck [Pa] [N/m] N : Anzahl Teilchen [ ] T : Temperatur [K] V : Volumen [m3] k : Bolzmankonstante [J/K] 1.3806619E-23 J/Km : Masse [Kg]

EKin : Mittlere kin. Energie [J]

v : Mittler geschwindigkeit der Gasmolekühle [m/s]

Mittlere Geschwindigkeitsverteilung

f v NmkT v edN

dvmv

kT( ) = = ⋅⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

⋅ −4 2

32 2

22ππ

Eigenschaft der Maxwell Gleichung a.) 1

0

1N f v dv( ) =∞

∫

b.) Wahrscheindlichste Geschwindigkeit

vwk Tm= ⋅2

c.) Mittlere Molekühlgeschwindigkeit

v vk Tm w= = ⋅⋅⋅

8 1128π . d.) mittlere thermische Geschwindigkeit

v v vk Tm w= = = ⋅⋅2 3 1225.

Anzahlteilchen

v [m/s]

T1 <T2f(u)

T : Temperatur [K] v : Geschwindigkeit [m/s] k : Bolzmankonstante [J/K] 1.3806619E-23 J/Km : Masse [Kg]

Mittlere freie Weglänge

l =⋅

12 nσ

σ π= ⋅d 2

n NV=

N: Anzahl Teilchen [ ] V: Volumen [m3]

l : Mittlere freie Weglänge [m] 50...200nm

d

30.7 Gleichverteilungs Gesetz Die Mittlere kinetische Energie

E k T fKin = ⋅ ⋅12

T : Temperatur [K] k : Bolzmankonstante [J/K] 1.3806619E-23 J/KEKin : Mittlere kin. Energie [J]

f : Freiheitsgrad [ ]

Freiheitsgrad Gasart Translation Rotration Total f

1 Atom 3 0 3 2 Atome 3 2 5 3 Atome 3 3 6

30.8 Innere Enerigie

E : Kinetische Energie [J] U E EKin Pot= + Kin (aus Intermolekularen Kräften)

E : Potentielle Energie [J] Pot (Aus ungeordneten wärme bewegung) Die Innere Energie U ist die gesammtheit der Kinetischen Energie und portentiellen Energie aller seiner Molekühle,seiner Atome, Elektronen, Kerne und Neutronen.

U: Innere Energie [J]

30.9 Arbeit, Energie, Wärme a.) Volumenänderungsarbeit Das System gibt Arbeit ab! F

dW F dsp A dsp dV

= •= − ⋅ ⋅= − ⋅

r r

A F : Kraft [N] W : Arbeit [Ws]

W p V dVVV

V

= − ⋅∫ ( )1

2 s : Weg [m] 2] A : Fläche [m

p : Druck [Pa] 3] V : Volumen [m

b.) Wärmeenergie:

ΔU WW : Arbeit [Ws] Q : Wärmeendergie [J]

Q>0 System nimmt Wärme auf Q<0 System gibt Wärme ab

QdU dW dQ

= += +

U : Innere Energie [J] Jc.) Wärmekapazität /

C QT

=ΔΔ

Spezifische Wärmekapazität „spez. Wärme“

c Cm

= Matrialkonstante

Δ Δ

ΔQ m c T

p V= ⋅ ⋅= − ⋅

Molare Wärmekapazität „molare Wärme“

c C Cm

M c Mm r r= = = ⋅ν

C : Wärmeenergie [ K] T : Temperatur [K] Q : Wärmeenergie [J] c : spezifische Wärmekapazität [J/kg K]

J: molare Wärmekapazität [ /cm kmol K] Kg: Kilomolmasse [ /Mr Kmol]

m : Masse [Kg]


M.D 07.09.2006 22:53:00 Seite: 3

30.10 Spezifische Wärme von Idealen Gasen 30.11 Zustandsänderung idealler Gase : „spez. Wärme“ bei V=const cBerechnung von c v v

cvR fMr

= ⋅⋅2

Molare Wärme

cmvR f= ⋅

⋅2 Berechnung von cp

( )cpR

Mf

r= +2 1

Molare Wärme

( )c Rmpf= +2 1

Abhängigkeit von cp & cv

c cp vR

Mr= + c c Rmp mv= +

cp : „spez. Wärme“ bei p=const R : Allgem. Gaskonstante [J/Kmol] R = 8314 J/Kmol f : Freiheitsgrad [ ] Mr : Kilomolmasse [Kg/Kmol]

Mende Simon p.138 Klassifikationen:

Adiabaten exponenten χ

χ = = +cc

ff

p

v

2

cv : „spez. Wärme“ bei V=const cp : „spez. Wärme“ bei p=const f : Freiheitsgrad [ ] χ : Adiabaten exponent

spez. Wärme von festen Körpern • cp ≈ cv weil dV klein

( Wärmezufuhr ergibt eine Zunahme der inneren Energie, keine Volumenarbeit )

• praktisch misst man cp Ist T klein (0...50K)

c T∼ 3

Ist T gross (>300K)

c Rmv = ⋅

≈ ⋅325 103 J

kmol K

R : Allgem. Gaskonstante [J/Kmol] R = 8314 J/KmolT : Temperatur [K]

Kaloriermetrie (Wärmemessung)

( )[ ] ( )[ ] [ ]m c T T m c T T C T Tm m G m1 1 1 0 0 0 0⋅ − = ⋅ − + −( )

( )[ ] ( )[ ]C

m c T T m c T TT TG

m m

m=

⋅ − − ⋅ −

−1 1 1 0 0 0

0( )c: spezifische Wärmekapazität [J/kg K] T: Temperatur [K] m: Masse [Kg]

Tm

m0, c0, T0

Wärme Isoliertm1, c1, T1

CG=cgmg

Prozesse Eigenschaften isochore ΔV=0 , V=const. isobare Δp=0 , p=const. isotherme ΔT=0 , T=const. isotrophe ΔQ=0 , Q=const. (adiabatisch)

30.11.1 Isochor T : Temperatur [K] Isochor ΔV=0 , V=const. Q : Wärmeendergie [J]


dWv=0, Tp const=

Δ Δ ΔU Q c m Tv= = ⋅ ⋅ U : Innere Energie [J]

Δ ΔU c V pvMR

r= ⋅ ⋅ ⋅

m : Masse [Kg] f : Freiheitsgrad [ ]

: „spez. Wärme“ bei V=const cv p : Druck [Pa]

Δ ΔU V pf= ⋅ ⋅2

3] V : Volumen [m J/R : Allgem. Gaskonstante [ Kmol] R = 8314 [J/Kmol]

siehe auch Benedetti 14.08 30.11.2 Isobar

T : Temperatur [K] Isobare Δp=0 , p=const. Q : Wärmeendergie [J]


TV const=

Δ Δ ΔU Q Wv= + U : Innere Energie [J] m : Masse [Kg]

TΔ ΔQ c mp= ⋅ ⋅ f : Freiheitsgrad [ ] 3]

Δ ΔQ m Tf RMr

= ⋅ ⋅ ⋅+22

V : Volumen [mp : Druck [Pa] J/R : Allgem. Gaskonstante [ Kmol]

R = 8314 [J

{Δ ΔQ p Vf

X

= ⋅ ⋅+22

/Kmol] χ : Adiabaten exponent siehe auch Benedetti 14.08


M.D 07.09.2006 22:53:00 Seite: 4

30.11.3 Isotherm 30.12 Änderung von Aggregatzustände 30.12.1 Allgemein Isotherme ΔT=0 , T=const.

dU=0, U=const p V const⋅ =

− = +W Qv

VQ p dV

V

= ⋅∫1

2

Q R T dVmM V

V

V

r= ⋅ ⋅ ∫ 1

1

2

Q R TmM

VVr

= ⋅ ⋅ ⋅ ln( )2

1

Q R TmM

ppr

= ⋅ ⋅ ⋅ ln( )1

2

( )( )( )( )

Q p V

p V

p V

p V

pp

pp

VV

VV

= ⋅ ⋅

= ⋅ ⋅

= ⋅ ⋅

= ⋅ ⋅

1 1

2 2

1 1

2 2

2

1

2

1

1

2

1

2

ln

ln

ln

ln

V1, p1V2, p2

F

T : Temperatur [K] R : Allgem. Gaskonstante [J/kmol K] R = 8314 [J/kmol K] f : Freiheitsgrad [ ] Mr : Kilomolmasse [ kg/kmol] Wv : Arbeit [J] [Ws] Q : Energie [J] [Ws] m : Masse [Kg] p : Druck [Pa] p1 : Druck am Anfang [Pa] p2 : Druck am Ende [Pa] V : Volumen [m3] V1 : Volumen am Anfang [m3] V : Volumen am Ende [m2

3]

mMr

= ν :Stoffmenge:

siehe auch Benedetti 14.07

• Die siede Temperatur ist stark druckabhängig

gasförmigflüssigfest

kondensieren

desublimieren

sublimieren

erstarren Verdampfen

erstarren

• Verflüssigen von Gasen durch kompression ist nur möglich falls T < T ist k

MENDE SIMON p.143 Benedeti p.14.03

30.11.4 Isotroph Isotrophe (adiabatisch) ΔQ=0 ,Q =const. dU=dWv

( ) ( )cvTT

RM

VVr

⋅ = − ⋅ln ln2

1

2

1

Adiabatische Zustandsgleichung

p V const⋅ =Χ

tT p consΧ Χ⋅ =−1

Χ =cc

p

v Adiabatenexponent

Arbeit bei adiabatischen Zustandsänderung

ΔΧ

Wp V p V

=⋅ − ⋅

−2 2 1 1

1

cv: „spez. Wärme“ bei V=const cp: „spez. Wärme“ bei p=const χ : Adiabaten exponent T : Temperatur [K] p : Druck [Pa] p1 : Druck am Anfang [Pa] p2 : Druck am Ende [Pa] V : Volumen [m3] V1 : Volumen am Anfang [m3] V2 : Volumen am Ende [m3] ΔW : Arbeit [Ws] R : Allgem. Gaskonstante [J/Kmol]

R = 8314 J/Kmol

X :1.402 für Luft (Mende Simon p122) siehe auch Benedetti 14.07

Fest ⇔ Flüssig

Q m qs s= ⋅

QS: Schmelzwärme [J]

fest &flüssig

Ts

Schm.Temp.T

Q

fest

flüssig

Qs

: Schmelztemp [K] Ts: Schm. enthalpie [J/Kg] qs

m: Masse [Kg]

Flüssig ⇔ Gasförmig

Q m qV V= ⋅

QV: Verdampfwärm. [J]

flüssig& gas

flüssig

TV

Siede.Temp.T

Q

gas

QV

Tv: Siedetemp. [K] qV: Verdampf. enthalp.[J/Kg]m: Masse [Kg]

30.12.2 Zusammenhang zwischen Dampfdruck und Temperatur

: molare Verdampfungswärme qdpdT

qT v v= −

1 2

2 1

,

( )

1,2 3: molare Volument [m ] v 1,2

p : Druck (Sättigung) [pa] T : Temperatur [K]

30.14 Luftfeuchte Allgemein

• Luftfeuchte = gehalt an Wasserdampf • Luft löst Wasser nicht

Gesättigte Luft partialdruck des Wasserdampfes = Sättigungsdampfdruck zur betrefenden Temp Taupunkt Relative Luftfeuchte = 100% 30.14.1 Absolute Luftfeuchte

V : Volumen [m3]

ϕ =m

VDampf m : Masse Dampf [g]

3] ϕ : Abs. Luftfeuchte [g/m

30.14.2 Relative Luftfeuchte ϕ : Abs. Luftfeuchte [g/ 3]

ϕϕ

ϕrelsattigung

pp

= =max &&

m

: Max. abs. Luftfeuchte [g/ 3] ϕ max mp : partialdruck des Wasserdam. [pa]

: Sättigungs Dampfdruck [pa] psättigung


M.D 07.09.2006 22:53:00 Seite: 5

30.15 Wärmetransport 30.16 Wärmestrahlung Mende Simon p.319 P : Leistung [W] Konvektion

Wärmeübertragung durch Matrialstransport

Man unterscheidet: Freie Konvektion

Durch Temperatur und damit Dichteunterschied Erzwungene Konvektion

Durch Pumpen Wärmestrom

P QP c T

dQdt

dmdt

= =

= ⋅ ⋅

&

Δ

m : Masse [kg] c : Spezifische Wärmekapazität [J/ (Kg K)] ΔT : Temperaturdifferenz [K] &Q : Wärmeenergie änderung

Wärmestrom=Energiestrom=> Die pro Zeiteinheit transportierte Wärme(Energie)

Auftreffen von Strahlung (Anteile) α

α(λ) : Absorptionsgrad (schwarz=1) ρ τ+ + = 1 ρ(λ) : Reflexionsgrad (weiss=1)

τ(λ) : Transmisionsgrad λ : Wellenlänge [m]

Emisionsvermögen eines Körpers

( )α(λ,T) : Absorptionsgrad

( )ε λ α λ, ,T T= ε(λ,T) : Emisionsgrad (Senkrecht zur Fläche) λ : Wellenlänge [m]

T : Temperatur [K] ε = α h : Plankische Wirkumsquantum 6.625⋅10

Planckisches Strahlungsgesetz -34 [Js] (Spektralverteilung eines schwarzen Körpers ε=α=1)

dPh c Ae

dh ck T

=⋅ ⋅ ⋅⋅ −

⋅⋅ ⋅

21

2

5

πλ

λλ

λ : Wellenlänge [m] Wärmeleitung Wärmetransport innerhalb eines Stoffes ohne Matrialtransport

Imstationäre Zustand gilt:

P Q

PA

T

=

= ⋅

&

λl

Δ

A

T2T1

l λ : Wärmeleitungskoeffizent [W/(K m)]] MENDE SIMON p.127 A: : Querschnitt [ m2 ] l : Stablänge [ m ] ΔT : Temperaturdifferenz [K]

-23 [J/K] k : Bolzmankonstante 1.39⋅10 8 [m/s] c : Lichtgeschwindigkeit 2.998⋅10T : Temperatur [K]

2] A : Fläche [mStefan-Bolzmann-Gesetz

Tu

T

A

P/m(Spektralverteilung eines schwarzen Körpers ε=α=1)

P A T= ⋅ ⋅ ⋅ε σ 4

Wärmestrahlung Wärmeübertragung durch elektromagnetische Strahlung

P Q

P A T== ⋅ ⋅

&

α Δ

P k A T= ⋅ ⋅ Δ

PTR

=Δ

RA

=⋅l

λ

LuftFest

ΔT α : Wärmeübergangszahl [W/(m2 K)] R : WärmeLeitwiederstand [ K/W ] k : Wärmedurchgangszahl [ W/(m2K)] A: : Querschnitt [ m2 ] l : Stablänge [ m ] ΔT : Temperaturdifferenz [ K ]

Bei Bestrahlung von der Umgebung

( )ΔP A T Tu= ⋅ −ε σ 4 4 -2 -4σ : Stefan-Bolzmann-Konst [Wm K ] -8 σ:=5.67⋅10 Wm-2 -4K

T : Absorbierende Temperatur [K[ Tu : Umgebungstemperatur [K] P : Leistung [W] ΔP : Abgestrahlte Leistung [W] ε : Emsissionsvermögen

Wiensiches Verschiebungsgesetz

λmax .⋅ = =T K mmK2 8978

30.16.1 Strahlungsflussdichte Mende Simon p.274

2] ϕ : Strahlungsflussdichte [W/mϕ φ=

⊥A φ : Strahlungsfluss [W] 2 : Bestrahlte Fläche [m ] A⊥Für die Sonne gilt: 2] S : Solarkonstante [W/m2 ϕ=S=1.37E3 W/m

30.16.2 Strahlungsfluss

Q : Strahlungsenergie [J] [Ws] φ = Q

t =P t : Zeit [s] φ : Strahlungsfluss [W]


M.D 07.09.2006 22:53:00 Seite: 6

30.16.3 Gleichgewichts Temperatur

A A Ts s s e eε ϕ ε= 0

T0 : Gleichgewichtstemperatur [K] εe : Emisionsgrad Empfänger

: Emisionsgrad Sender εs : Fläche der einfallenden As

2] Energierstrahlen [mAe : Oberfläche des Körpers [m2]

30.16.4 Abkühlung ohne Wärme einstrahlung

( )T tTAm c= + ⋅

−103

133 σε

T0 : Temperatur am Anfang [K] A : Oberfläche des Körpers [m2] t : Abkühlzeit [s] m : Masse [kg] c : spezifische Wärmekapazität [J/kg K] T : Endtemperatur [K]

Formelsammlung Physik/Elektrotechnik 31.Schwingungen

M.D 07.09.2006 22:54:00 Seite: 1

31.1.2 Flüssigkeitspendel 31. Schwingungen Kreisfrequenz A

31.1 Ungedämpfte Schwingung ω

δ0

2=

⋅ ⋅ ⋅A gm Bewegungsgleichung

&&x x+ ⋅ =ω02 0

Kreisfrequenz

ω02 2= D

m Frequenz ist unabhängig von derLage. Dh. von der Schwerkraft.

Periode

T02

0= π

ω

Frequenz,Eigenfrequenz

f T01

20= = ωπ

x : Auslenkung [m] D : Federrate [N/m] m : Masse [Kg] ω0 : Kreisfrequenz [Hz] ϕ0 : Phase (Anfangsbed.) [rad] A : Amplitude(Anfangsb.) [ ]

mD

D

xx=0

3δ : Dichte [Kg/m ] mm : Gesammtmasse [Kg]

2 ] g : 9,81 [m/s2] A : Querschnittsfläche [m

31.1.3 Doppelmasse Bewegungsgleichung

Amplitude f(t)

( )( ) ( )

x t A t

x t tv

( ) cos

cos sin

= ⋅ −

= +

ω ϕ

ω ωω

0 0

0 0 00

0

Anfangsbedingungen

A x v202 0

2

02= + ω

( )cos ϕ = xA

0

( )sin ϕ ω= ⋅v

A0

0

( )tan ϕ ω= ⋅v

x0

0 0

x t x( )= =0 0 (Ort)

& ( )x t v= =0 0 (Geschwindigkeit)

31.1.1 Drehpendel Bewegungsgleichung

&&*

ε ε+ =DJ 0

Kreisfrequenz

ω0 =∗D

J

D* : Federrate [ ]Nmrad

&&ε : Winkelbeschleunigung [Rad/s] J : Massenträgheitsmoment [ Kgm2 ]

ε

&& ( )&& ( )

ϕ

ϕ ϕ ϕ1 1 2

2

2 2 12

2 02 0

+ − =

+ −

Dm

Dm

ϕ ϕ

=

r

r

ϕ2

ϕ1

D1

D2

D3

m

m

r :Radius [m]ϕ1 :Auslenkung [rad]ϕ2 :Auslenkung [rad]m :Masse [Kg]J :Trägheitsmom. [Kgm2]

Kreisfrequenz

ω12= Dm Gleichphase

ω26= Dm D1 D2 D3

m m

Gegenphase

Massenträgkeitsmoment:

J m r= ⋅1 22

31.1.4 Hohlkörper in Flüssigkeit

3Bewegungsgleichung

m x⋅δ : Dichte [Kg/m ]

A g x= − ⋅ ⋅ ⋅&& δ m : Gesammtmasse [Kg] 2] g : 9,81 [m/s2] A : Querschnittsfläche [mKreisfrequenz

ωδ

0 =⋅ ⋅A gm δ

A

mx

Formelsammlung Physik/Elektrotechnik 31.Schwingungen

M.D 07.09.2006 22:54:00 Seite: 2

31.1.5 Schiefer Wagen 31.3 Mathematisches Pendel

Kreisfrequenz

ω20 = m

D

Anfangsbedingungen:

( )x m g

D0 =⋅ sin α

( )& sinx v s g2= = ⋅ ⋅ α0 0

Amplitude:

A x x= +02 0

2

02&

ω

α

s

a g

D

m

x0

Bewegungsgleichung

(

31.2 Zusammenschaltung von Federn Serie-Schaltung

1 1 1

1 2D D D= + +...

D1 D2

Parallel-Schaltung

D D= D+ +1 2 ... D1 D2

)&& sinϕ ϕ+ =gl 0

ϕ Ff

mg sin

α

l

m

FG=mgFür kleine Winkel sin(ϕ)≈ϕ

&&ϕ ϕ+ =gl 0

g : Gewichtskraft [kg] Frequenz l : Stangenlänge [m]

ω0 =gl

ϕ : Auslenkwinkel [rad] siehe auch Benedetti p.10.05 siehe auch Mede Simon p.253

31.4 Physikalisches Pendel Drehmoment

( )M s FG= ⋅ ⋅sin ϕAufhängepunkt

Schwerpunktϕ

s

Bewegungsgleichung

( )&& sinϕ ϕ+ =⋅ ⋅m g sJA

0 FG=mg

Ruhelage

Für kleine Auslenkung sin(ϕ)≈ϕ

&&ϕ ϕ+ =⋅ ⋅m g sJA

0 2

Kreisfrequenz

ω0 =mgsJA

Trägheitsmoment

s J J mA Sp= + ⋅ 2

JA : Trägheitsmoment [kg m ] 2 : Trägheitsm. im Schwerpunkt [kg m ] JSp

m : Masse [kg] ϕ : Auslenkwinkel [rad] ω : Kreisfrequenz [ 1/rad]

2] g : Gravitationsbeschl. 9.81 [m/sFG : Gewichtskraft [N] s : Abstand Drehpunkt-Schwerpunkt [m] siehe auch Benedetti p.10.05 siehe auch Mede Simon p.253

Formelsammlung Physik/Elektrotechnik 47. Grundlagen

M.D 07.09.2006 22:54:00 Seite: 1

47.5 Potential (Volt) 47. Grundlagen U : Spannung [V]

47.1 Beweglichkeit der Ladungsträger

bE

=ν

b :Beweglichkeit der Ladungsträger

ν :Driftgeschwindigkeit [ mVs

2

] E: :Feldstärke [V/m]

47.2 Strom(Ampere)

IQt

=ΔΔ

I n q A n q A b E= ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ν

Q : Ladung [C] I : Strom [A] n : Freie Elektronen [ ] q : Elementarladung 1.602E-19 A : Querschnitt [m2] b : Beweglichkeit der Ladungsträger E : Feldstärke [V/m]

ν : Driftgeschwindigkeit [ mVs

2

] 47.3 Stromdichte

JIA

=

J n q b EJ E= ⋅ ⋅ ⋅= ⋅γ

J : Stromdichte [A/m2] γ : Spez. Leitwert b : Beweglichkeit n : Freie Elektronen [ ] q :

E : Feldstärke [ Vm ]

47.4 Energie/Arbeit (Joule)

W F s= ⋅

W Q U= ⋅

W U I t= ⋅ ⋅

Stromkosten K

K k W= ⋅

t

W

W : Energie [J] [Ws] [Nm] F : Kraft [N] s : Weg [m] Q : Ladung [C] U : Spannung [V] I : Strom [A] t : Zeit [s] k : Kosten pro Ws [Fr/Ws] K : StromKosten [Fr]

UWQ

= W : Energie [Ws] [J] Q : Ladung [C]

47.6 Feldstärke

r Q : Ladung [C]

EFQ

=r

EFQ

=E : Feldstärke [N/C] [V/m]

47.7 Leistung(Watt)

W : Energie [Ws] [J]

PWt

=ΔΔ

t : Zeit [s] P : Leistung [W]

U : Spannung [V] P U I= ⋅ I : Strom [A]

47.8 Wirkungsgrad

η : Wirkungsgrad [ ]

η =PP

ab

auf

P : Leistung abgegeben [W] ab : Leistung aufgenommen [W] Pauf


M.D 07.09.2006 22:54:00 Seite: 2

47.15 VRD 47.10 Zweipole

I

U

Aktiv wirkender Zweipol Gibt Energie ab

Passiv wirkender Zweipol Nimmt Energie auf U C IB= ⋅

C ,B :Bauteilspezifisch 47.11 Passiver Zweipole 47.11.1 Widerstand / Glühlampe

Widerstand

RUI

=

differentieller Widerstand

r =ΔUΔI

Leitungswiderstand

RA

=⋅ρ l

U

I

ΔI

ΔU

ρ : Spezifischer Widerstand l : Leiterlänge [m] A : Querschnitt [m2] R : Wiederstand [Ω] U : Spannung [V] I : Strom [A]

47.16 Temperaturabhangikeit von Widerständen

Für „ kleine“ Temperaturen gilt

( )R Rϑ α= ⋅ + ⋅20 1 Δϑ Δϑ :Temperaturdifferenz (<150K) α :Temperaturkoeffizent

Δ

47.12 Diode differentieller Widerstand

rU

=Δ

IΔ

UFUS

IF

47.13 Kaltleiter(PTC)

(α>0)

R f A e= = ⋅( )ϑ ϑB

A ,B :Bauteilspezifisch ϑ :Temperatur in [K] α :Temperaturkoeffizent

ϑ

R

47.14 Heissleiter(NTC)

(α<0) (Negativ)

R f A e= = ⋅( )ϑ ϑB

A ,B :Bauteilspezifisch ϑ :Temperatur in [K] α :Temperaturkoeffizent

ϑ

R

ΔϑR R= ⋅α ⋅20

Für „grosse“ Temperaturen

( ) ( ){ }R Rϑ α β= ⋅ + ⋅ + ⋅2021 Δϑ Δϑ

Δϑ :Temperaturdifferenz (>150K) α :Temperaturkoeffizent

47.20 Aktiver Zweipol 47.21 Spannungs und Stromquelle Spannungsquelle: IRi

U0U

RUI

RUIi

ki= =0 Δ

Δ

Stromquelle

Ri

I0

U


M.D 07.09.2006 22:54:00 Seite: 3

47. 22 Elektrolyse 47.21 Gesetz von Faraday

m: Masse des abgeschiedenen Stoffes [kg] Masse des abgeschiedenen Stoffes

m = M: Molare Masse [kg/mol] ⋅ ⋅ ⋅Ä Q = Ä I t Q: Ladung [C] Ä: elektrochem Äquivalent

Ä =M

z F⋅z: Wertigkeit

(Wieviele e- können abgegeben / aufgenommen werden)

NAeC

mol= ⋅9 65 104. F: Faradaykonstante 47.22 Peltierelement (Kühlelement)

Q : Wärmemenge [J] Wärmemenge I : Strom [A] Q I t= ⋅ ⋅Π t : Zeit [s] Π ≈ −10 3 J

C

47.23 Wellenlänge In Luft und Vakuum c : Lichtgeschwindigkeit [m/s]

: 3E8 [m/s]

λ =cf

f : Frequenz [1/s] [Hz] λ : Wellenlänge [m] T : Periodendauer [s]

λ = ⋅c T

Formelsammlung Physik/Elektrotechnik 48. Elektrostatik

M.D 07.09.2006 22:54:00 Seite: 1

48.3.2 E-Feld einer geladenen Kugel 48. Elektrostatik Im innern:

r

E

E = 0

48.1 Elementarladung Ausserhalb:

e C= ⋅ −1602 10 19. rr

48.2 Elektrische Leitung im Vakuum (Glühemission)

j A T eWAk T= ⋅ ⋅ − ⋅2

j: Elektronenemisionsstrom A: Richardson-Konstante (Materiealabhängig) T: Temperatur und Kelvin k: Bolzmankonstante ( k Nm

K= ⋅ −1381 10 23. ) WA: Austrittsarbeit (Material und Oberflächenabhängig)

48.2 Das Gesetz von Columb

FQ Q

r= ⋅

⋅14

1 220πε

r r

FQ Q

rrr= ⋅

⋅⋅1

41 2

20πε

Bei mehren Punktladung müssen die Kraftvektoren addiert werden.

Q1 Q2rrF: Kräfte zwischen ruhenden

Punktladungen im Vakum ε0 : Influenzkonstante

ε0 8854 10 212

2= ⋅ −. C

Nm

Q: Ladung [As]=[C] 48.3 Elektrisches Feld

r rr r r

E r QF rQ

Qr

rr

( , )( )

= = ⋅0 0

24πε Quelladung Q

Probeladung Q0

rr

48.3.1 E-Feld mehrer Punktladungen

Q1

Q2

rE1

rE2

rE

Superposition oder überlagerung der Felder. Vek. addition.

r r rE E E= +1 2

EQ

rrr

= ⋅4 0

2πε

r: Kugelradius [m] 48.4 Verschiebungsarbeit in einem Stationären Feld

W Q UAB= ⋅

Feldstärke zwischen 2 Platten s

Es

=U U: Spannung [V]

E: elek. Feldstärke [ V ] m W: Arbeit [Ws] Q: Ladung [As] [C]

48.5 Kraft zwischen Kondensatorplatten

FdWds

QA

= =2

02ε

48.6 Potential einer Punktladung Bezugspunkt ist im Unendlichen

+Q0 Punkt im unendlichen

+Qϕ(r)

ϕ( )rEQ

pot=0

ϕπε

( )rQ

r=

4 0


M.D 07.09.2006 22:54:00 Seite: 2

48.7 Feldfluss und Satz von Gauss 48.14 Kapazität

rA

rE

A

ϕ

Feldfluss durch Fläche A

Φ A E E A= ⋅ ⋅ = •cos( )ϕA

r r

Feldfluss durch beliebige Fläche

ΦA E df= •∫A

r r

Satz von Gauss

ΦA Q=1

0ε

Q: Ladung inerhalb von A [As]

48.9 Flächenladungsdichte σ

σ =QA

Q =Ladung [C] [As] A =Öberfläche [m2]

48.10 Feld einer unendlich langen, geladen Geraden

E r( ) = ⋅1

r2 0πελ

≈1r

Linienladungsdichte:

λ =sQ

E(r )

r

s

48.11 Feld einer unendlich ausgedehnten,ebenen, homogenen Flächenladung

E x( ) = σε2 0

σ =Flächenladungsdichte

A

x

48.12 Feld einer Doppelschicht

EAussen = 0

EInnen =σε0

EInnen

EInnen EAussen

σA

σ 21 48.13 Elektisches Feld im innern und an der Oberfläche eines Leiters

EInnen = 0 EAussen =σε0

CQU

=

C: Kapazität [F] Q: Ladung [As]

Reelles C Idealles C U: Spannung [V] Seriegeschaltet Kondensator tragen die gleiche Ladung

UQ Ctot= ⋅

Q C U C U= ⋅ = ⋅ 1 1 2 2

Formelbuch S.59f Plattenkondensator C : Kapazität [F]

CAd

= ⋅ε ε0

ε0 : elek.Feldkonstante [ AsVm ]

: Permitivitätszahl [ ] εr2] A : Oberfläche [m

d : Durchmesser [m] C : Kapazität [F] Kugelkondensator

C r

r r=

−0

1 11 2

4πε ε


: Permitivitätszahl [ ] εr2] A : Oberfläche [m

d : Durchmesser [m] r1 : Radius innere Kugel [m] r2 : Radius äussere Kugel [m] C : Kapazität [F] Zylinderkondensator

C rr

r=

l⋅ ⋅2 02

1

π ε εln( )


: Permitivitätszahl [ ] εr 2] A : Oberfläche [m

d : Durchmesser [m] : Radius innen [m] r1 : Radius aussen [m] r2


M.D 07.09.2006 22:54:00 Seite: 3

48.15 Energie im elektrischen Feld

C : Kapazität [F] W U C= ⋅1

22

U : Spannung [V] W : Energie [J ][Ws]

3V : Volumen [m ] EnergieDichte W : Energie [Ws]

wWV

= wdWdV

= Wsm3 ] w : Energiedichte [ AsVm: elek.Feldkonstante [ ] ε

w Er=ε ε0 2

2

0

: Permitivitätszahl [ ] ε r

Vm ] E : elek. Feldstärke [

Q :Ladung [As] Energie einer geladenen Kugel R : Radius [m]

WQ

Rr=

2

08πε ε

48.16 Endgeschwindigkeit eines Ions/Elektrons in einer Ionen / Elektronenkanone

m : Masse [Kg]

v UQm

= ⋅2Q : Ladung [C] U : Spannung [V]

: Energie [J] EKin

Mende Simon p.225,327

vEmKin= ⋅2

Ladung eines Elektrons Q=e=1.6021773E-19 C

Masse eines Elektrons me=9.10939E-31 kg

Mende Simon p.394 c: v-Licht=2.9979246E8 m/s An der Grenze der Lichtgeschwindigkeit m: Masse in ruhe [Kg]

v cm c

QU m c= ⋅ −

+⎛⎝⎜

⎞⎠⎟1 0

2

02

2 Q: Ladung [C] U: Spannung [V] v: Geschwindigkeit [m/s]

Formelsammlung Physik/Elektrotechnik 49. Magnetismus

M.D 07.09.2006 22:55:00 Seite: 1/6

49.5 Magnetische Feldstärke 49. Magnetismus r

r

HB

r=

⋅μ μ0

H : Feldstärke [A/m]

49.1 Magnetische Flussdichte B (Induktion) Die wirkende Kraft F auf einen Leiter der länge l im mag.Fluss B und einem Strom I.

BF

I=

⋅l

Einheit: F : Kraft [N] I : Strom [A] l : Strecke [m] B : Flussdichte [T] [Vs/m2] [ ]B TeslaN

AmVsm= = =2

Kraftwirkung im homogenen mag.Feld:

F I B= ⋅ ⋅ ⋅l sin( )α Allgemein:

r r

lr

F I B= ⋅ ×( ) l zeitg in Stromrichtung I

α

SNB

49.2 Magnetischer Fluss φ Im homogenen mag. Feld

Φ = ⋅B A Allgemein

Φ = •∫r rB dA

A

B H= ⋅μ Einheit:

φ : Fluss [Vs] [Wb] B : Flussdichte [T] [Vs/m2] A : Fläche senkr. zu B [m2] H : Feldstärke [A/m] μ0 : 4π10-7 [Vs/Am]

49.3 Magnetische Feldkonstante μ0

μ π

μ0

7

06

4 101257 10

= ⋅

= ⋅

−

−

VsAm

VsAm.

49.4 Permeabilität μ

μ μ μ= ⋅0 r

μr : Permeablitätszahl (mat. abhängig)

μ : Permeablität VsAm

Θ = ⋅l H Θ : Durchflutung [A] B : Flussdichte [T] [Vs/m2]

H ist eine Rechenhilfsgrösse

Im inneren einer Kreisringspule

dr

l

H N I=

⋅l

l = 2πr

Magnetfeld in der Umgebung eines langen, geraden, zylindrischen Leiters.

H Ir

=⋅2π

Magnetfeld im Innern eines langen, geraden, zylindrischen Leuters.

H I rra

=⋅⋅2 2π

Magnetfeld in einer langen Koaxialleitung 1.Innenleiter 0 ≤ r ≤ r1

HI r

r=

⋅⋅2 1

2π

2.Zwischenraum r1 ≤ r ≤ r2

HI

r=⋅2π

3.Aussenleiter r2 ≤ r ≤ r3

H Ir

r rr r

= ⋅−−2

32 2

32

22π

4.Aussenraum r3 ≤ r ≤ ∞ H = 0

Magnetfeld im Metallrohr 1. r < a 3. r>b 2. a ≤ r ≤ b H = 0 H I

rr ab a

= ⋅−−2

2 2

2 2πH I

r=

2π ba


M.D 07.09.2006 22:55:00 Seite: 2/6

49.6 Gesetz von BIOT-SAVART 49.7 Kräfte auf stromdurchflossen Leiter im magn. Feld

Das Gesetz von BIOT-SAVART

H H Q vr

= =⋅ ⋅

⋅

r sin( )απ4 2

( )r r rH Q

rv r=

⋅⋅ ×

4 3π

Q

rH

rr

rv

α

P

+

Q : Punktladung [As] v : Geschw. der Punktladung [m/s]

Für l>>a gilt: I1 I2

F F

l

a

Fla

I INA≅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅−0 2 10 6

1 22.

49.8 Kraft auf eine bewegte Ladung im magn. Feld (Lorenzkraft)

rAllgemein:

H Ir

dl= ⋅ ⋅∫4 2παsin

l

H I dr rr

dl= ⋅×

⋅∫4 3π

r r

l

r r

Q

rv

-

rBrF

rF

Q

rB

rv

+

F Q v B= ⋅ ×( )

[Q] = As (Ladung) [v] =m/s (Geschw. der Ladung)

[B] = Vsm2 (Flussdichte)

Magnetfeld eines dünnen, geraden Leiters beliebiger länge.

( )H Ia

=⋅

−4 1 2π

α αcos( ) cos( )

Spezialfall: Unendlich langer Leiter

H Ia

=⋅2π

49.9 Durchflutungsgesetz / Magnetische Spannung

Θ

Θ

= •

=•

∫

∫

r r

r rH ds

B dsμ

Θ : Durchflutung [A] 2] B : Flussdichte [Vs/m

H : Feldstärke [A/m] ds : Intergrationsweg [m] I : Strom [A] N : Windungen [ ] μ : Permeablität [Vs/Am]

Magnetfeld im Mittelpunkt einer kreisförmigen,dünnen Leiterschleife

H Ir

=⋅2

H

r I

I

Θ = ⋅N I Θ = ⋅l H


M.D 07.09.2006 22:55:00 Seite: 3/6

49.10 Hysterese eines Ferrormagn. stoffes 49.12 Berechnen des Arbeitspunktes

Remanenzflussdichte BrKoerzitivfeldstärke -Hc

Daten aus der Neukurve: (erst magentisierung) Anfangspermeablität μa -> H=0

maximale Permeablität ( )μmax max= B

H Magnetostriktion: Änderung der Abmessung des Stoffes. Werkstoffarten: Harte Stoffer: Hc gross Weichestoffe: Hc klein

HcH

-Hc

-Br

Br

B

Neukurve

Hystereseschleife

Allgemein

Magentisierungskurve oder Kommutierungskurve bei magn. weichen Stoffen: (Hc gering) weicht nur geringfügig von der Neukurve ab. Sie wird für die technischen rechungen verwendet.

49.10 Magnetische Kreise Magnetischer Widerstand

Rm =ΘΦ

RAm =⋅l

μ

Magnetischer Leitwert

Λ =1

Rm

Rm : Magn. Widerstand [ A

Vs Henry= 1 ]

Λ : Magn. Leitwert [ VsA Henry= ]

Θ : Durchflutung [A] Φ : Fluss [Vs] [Wb] l : Länge [m] μ : Permeablität [Vs/Am]

Magnetische Spannung V H m = ⋅ =l Θ

V N Im = ⋅ = Θ

Vm : A = 1.256 Gilbert (Gb) H : Feldstärke [A/m] N : Windungszahl [ ] I : Strom [A]

49.11 Umrechungen

1 102 24T GWb

mVsm

= = =

1 1 108Wb Vs M= =

1 11 256Gb A= .

Wb = Weber T = Tesla M = Maxwell G = Gauss Oe = Oersted Gb = Gilbert

Θ = ⋅ + ⋅= ⋅ +

H HH L

Fe Fe L L

Fe FeBL

l l

l lμ 0

Auslesen aus Magnetisierungskurve

ALuft = AEisen (BL=BFe) gleicher Querschnitt

BH

Fe

L

*

* =⋅μ0 l

l

BL

* =⋅μ0 Θl

HFe

* =Θl

ALuft ≠ AEisen (BL≠BFe) unterschiedlicher Q.sch.

BAAL

L

Fe* =

⋅⋅

μ0 Θl

HFe

* = Θl

BLuft=f(HFe)

BFe=f(HFe)

H*

B*

HFeHFe AP

BAP

Arbeits-punkt

B

lL : mit Länge des Luftspaltes [m] μ0 : 4π10-7 [Vs/Am] lFe : mit. Länge des Eisens [m] Θ : Magnetische Spannung [A] H : Feldstärke [A/m] N : Windungszahl [ ] I : Strom [A] AFe : Querschnitt Eisen [m2] AL : Querschnitt Luft [m2]

Θ = ⋅N I Θ = ⋅l H

49.12.1 Dauermagnet Berechnung des Arbeitspunktes Schnittpunkt (Luftspaltgerade,Magnetkurve)

BH

AA

Fe

Fe

D L

L D=− ⋅ ⋅

⋅μ0 l

l

AL : Fläche Luftspalt [m2] AD : Querschnittsfläche Magnet [m2] lD : Länge Magnet [m] lL : Länge Luftspalt [m]

lD

lL

AD

AL

BH

Fe

Fe

B

H

BFe

HFe

49.12.1 Achtung bei schräger Schnittfläche Bei schräger Schnittfläche ist der Eisenquerschnitt AFe nicht gleich dem Luftquerschnitt AL. d.h die Schnittfläche ist nicht gleich der aktiven Fläche.

lL

F

F

AL

AFe

Dies ist insbesondere bei grossem Luftspalt der Fall. Der Grund liegt darin, dass die Feldlinien senkrecht das Eisen verlassen.


M.D 07.09.2006 22:55:00 Seite: 4/6

49.13 Bewegungsspannung 49.15 Gegenseitige Induktion („Trafo“)

u B vL = • ×r r r

l( )

u B vL = ⋅ ⋅l v

l

B

I

V

B : Flussdichte [T][Vs/m2] l : Länge Stab [m] v : Geschwindigkeit [m/s] uL : Ind. Spannung [V]

Flussverkettung

Ψ

49.14 Selbstinduktion Selbstinduktive Spannung

ud

dtN d

dtm= =

⋅ψ φ

u N didt

= ⋅2 Λ Λ =⋅μ Al

u L didt

=

Für Sinusgrossen gilt: u t L t( ) cos( )= ⋅ ⋅ω ω

Selbstinduktivität

LIm=

ψ L N

I=

⋅φ

L N= ⋅2 Λ Λ =⋅μ Al

L : Induktivität [Henry] Λ : Magnetischer Leitwert I : Strom [A] N : Windungen [ ] φ : Fluss [Vs]

Ψ Ψ1 1 1 2 12 11 12= ⋅ + ⋅ = +N Nφ φ Ψ Ψ Ψ2 2 2 1 21 21 22= ⋅ + ⋅ = +N Nφ φ

LGegeninduktivität M L

,L = [ Henry H] (Gegeninduktivität) 12 21

L= =12 21 Ψ = [Vs] (Verkettungsfluss ) (M ist veraltet)

LI12

12

2=Ψ

LI21

21

1=Ψ

Gegeninduktivität von zwei einlagige Zylinderspulen nebeneinnader auf einem Kern

l

N1

N2

d

L N N d12

1 22

4=

⋅ ⋅μ πl

Gegeninduktivität von zwei Doppelleitungen

b

l

a

L ab12

02

221=

⋅+

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

μπl

ln

Kopplungsfaktor Bei Idealler Kopplung (k=1) gilt:

kL

L L=

⋅12

1 2

L L L12 1 2= ⋅

Feste Kopplung: k ≈ 1 Lose Kopplung k < 0.8 Streufaktor

δ = −1 2k


M.D 07.09.2006 22:55:00 Seite: 5/6

49.16 Streuung ,Skineffekt, Wirbelstrom

Wirbelstrom ohne Lamenierung

P I RWirbel wo= ⋅2

Iwo: Wirbelstrom ohne Lamenierung

Wirbelstrom mit Lamenierung

PInWirbelwo=2

IInwmwo=

Iwm: Wirbelstrom mit Lamenierung Siehe auch 53.1 Transformator

49.17 Energie im mag. Feld Im linearen Feld

W L I

H A B A

A

= ⋅

= ⋅ ⋅ ⋅ =⋅

=⋅ ⋅

12

2

12

12

2

2

2

μμ

φμ

ll

l

siehe auch 50.2 W F= ⋅l

Im nicht linearen Feld

w B H H

B EV

= ⋅ = ⋅

=⋅

=

12

12

2

2

2

μ

μ

Die Gesammte Energie W w dV= ⋅

W : Energie [J] μ0 : 4π10-7 [Vs/Am] F : Kraft [N] A : Fläche Luft [m2] H : Feldstärke [A/m] B : Flussdichte [T] [Vs/m2] φ : Fluss [Vs] [Wb]

Verluste: Eisenverluste=Hysterese+Wirbelverluste

siehe auch 53.1 Transformatoren

49.18 Eisenverluste Verluste ist die komplette Fläche unter der hysterese Kurve

P dWdV

VVerlust = ⋅

Im Wechselfeld

P dWdV

V fVerlust = ⋅ ⋅

dWdV : Energie pro Volumen [Ws/m3] [J/m3]

V : Volumen [m3] f : Frequenz [Hz] [1/s]

-Hc Hc

B

H

H-Br

Br

Hysterese-schleife

Siehe auch 53.1 Transformator

49.19 Kräfte im mag. Feld Allgemein

I

α

SNB

rl

r

l

l

F i d B

F i B

= ×⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

= ⋅ ⋅

→

∫0

(senkrecht)

Für l>>a gilt: I1 I2

F F

l

a

Fla

I INA≅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅−0 2 10 6

1 22.

B

F

I

A

Kraft an Grenzflächen

F A B=

⋅⋅

2

02 μF dW

ds=

F H A= 12

20μ

FA

=⋅ ⋅Φ2

02 μ

Für die berechnung des Arbeitspunktes B (oder H) siehe 49.12 Berechnung der Arbeitspunktes

μ0 : 4π10-7 [Vs/Am] F : Kraft [N] A : Fläche Luft [m2] H : Feldstärke [A/m]

2] B : Flussdichte [T] [Vs/m φ : Fluss [Vs] [Wb]

49.20 Fachbegriffe Magnetostriktion: Änderung der

geometrischen Abmessung im Magnetfeld. Sättigung: Punkt bei welchem das B mit μ

steigt. ( )BH = μ . Neukurve: Kurve die entsteht wenn ein nicht

magnetisierter ferrormagnetischer Stoff magnetisiert wird.

Kommutierungskurve: auch Magnetierungskurve genannt :entsteht duch

Aufnahmen mehrer hysteresenkurven mit unterschiedlichen höchstwerten.

Koerzitivfeldstärke: Das Hc in der Hysterese-schleife bei welchem das B Null wird.

Remanenzflussdichte: Das Br in der Hysterese-schleife bei welchem das H Null wird.

49.21 Ablenkung von Elektronen im Magnetischen Feld

v: : Geschwindigkeit [m/s] r m v

q B=

⋅⋅

m: : Masse der Ladung [Kg] q: : Ladung [As] B: : Flussdichte [T] r: : Radius [m]


M.D 07.09.2006 22:55:00 Seite: 6/6

49.22 Kreisstrom 49.27 Magentisierung

0

z

N Ir

H N I r

r z=

⋅ ⋅

⋅ +

2

2 2232( )

( )r r rB H M= +μ0

χ: Magn. Suszeptibilität M: Magnetisierung durch ausrichtung

magn. Dipole r vM Hm= ⋅χ Temperaturabhängigkeit des Paramagnetismus

χm T~

1ur m= +1 χ

49.23 Zylinderspule

( ) ( )H N I z

r z

z

r z=

⋅⋅

+

+ +−

−

+ −

⎡

⎣

⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥2

2

22

22

22

2l

l

l

l

l I Il N I

r dH z

z=0

49.24 Helmholzspule

( ) ( )H N I r

r z r zb b=

⋅ ⋅

+ ++

+ −

⎡

⎣

⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥

2

22

22

21 1

32

32

-b2 +

b2

I⋅N I⋅Nb

rr

0

49.25 Magnetisches Moment

r r rj I A n I A= ⋅ ⋅ = ⋅

r r rM j B= ×

r r rM I A B= ⋅ ×( )

j: magnetisches Moment [Am2] n: normalen Vektor A: Fläche um den der Strom fliesst [m2] B: Fluss [T] M: Dehmoment [Nm]

49.26 Spannungsstoss Die über die Zeit integrierte Spannung nennt man Spannungsstoss. Sie ist unabhängig von der Geschwindigkeit:

u dt Nt

t

⋅ ==∫ ΔΦ

0

1

Formelsammlung Physik/Elektrotechnik 50. R-L-C-Elemente

50. R L C-Elemente 50.3 Widerstand Strom R

u

i50.1 Kondensator i uR= Strom:

i C dudt=

Spannung

uC

i dt Ut

t

= ⋅ +∫1

0

1

0

Energie

W C u= ⋅12

2

Kapazität

Q C U= ⋅ Wechselspannung

Z j C= 1ω

C

u

i

i: Strom i(t) [A] C: Kapazität [F] u: Spannung u(t) [V] W: Gespeicherte Energie [Ws] t0: Zeit zum Zeitpunkt 0 [s] t1: Zeit zumZeitpunkk 1 [s] U0: Spannung zum Zeitpunkt 0 [V] Q: Ladung [As] Die Spannung eilt dem strom 90° nach

Spannung u i R= ⋅ i: Strom i(t) [A] R: Widerstand [Ω]

Leistung u: Spannung u(t) [V] P U I= ⋅ W: Abgegebene Leistung [W]

50.4 RCL-Schaltungen 50.4.1 R - Schaltungen

Umrechnung Strom-Spannungsquelle <=>

R R1 2= U I Rq q= ⋅ 2Uq R2

R1

U

II

Iq

U

IURq

q=1

Umrechung Spannungsquelle mit Spannungsteilter

Uq2

Ri

I

U

U

Uq1

R2

R1

I

50.2 Spule Strom

u Ldidt

=

Spannung

iL

u dt It

t

= ⋅ +∫1

00

1

Energie (Integral i*u)

W L i= ⋅12

2

Wechselspannung

Z j L= ω

L

u

i

i: Strom i(t) [A] L: Indukivität [H] u: Spannung u(t) [V] W: Gespeicherte Energie [Ws] t0: Zeit zum Zeitpunkt 0 [s] t1: Zeit zumZeitpunkk 1 [s] I0: Strom zum Zeitpunkt 0 [A] Die Spannung eilt dem Strom 90° vorraus

R R Ri = 1 2

U UR

R Rq q2 12

1 2=

+

Umrechnung Stern - Dreieck HP [/HOME/ALGE/ELEKTR]

R22 R33

R113 2

1

R1

3 2

1

R3 R2

R R RR R

R

R R RR RR

R R RR RR

11 2 32 3

1

22 1 31 3

2

33 1 21 2

3

= + +

= + +

= + +

Umrechnung Dreieck - Stern

R22 R33

R11

R1

3 2 3 2

11

R3 R2

Datum:07.09.2006 22:55:00 Seite: 1/3


R

R RR R R

RR R

R R R

RR R

R R R

122 33

11 22 33

211 33

11 22 33

311 22

11 22 33

=+ +

=+ +

=+ +

50.4.2 RC-Schaltungen Kories p.23 Laden

R CUq uC

i(t)

i tUR

eqt

RC( ) =−

iuR

q0=

τ = ⋅R C

u U eC q

tRC= ⋅ −

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

−1

Strom

u U eR q

tRC= ⋅

−

ti t R

UR C

q= −

⋅⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ ⋅ ⋅ln

( )

( )t R CU U

Uq C

q= − ⋅ ⋅

−ln

7 t/τ

EntladenLaden

109865432

I0

I0

1

Entladen

u u u eC R

tR C= = ⋅

−⋅

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

0

Spannung uC

u0Uq

Laden Entladen

t/τ7 1098654321

i i et

RC= − ⋅−

0 iuR0

0=

tuu

RCC= −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ ⋅ln

0

Bei Belastetem Kondensator siehe 50.4.1 Umrechnung Spannungsteiler

R1

R2C

Uq uC

i(t)

Bemerkung:

Wenn der Kondensator bereits vorgeladen ist, dann ist in obigen Formeln Uq=Uq1-U und U =UC0 c c0+Uc1

Datum:07.09.2006 22:55:00 Seite: 2/3


50.4.3 RL-Schaltung Laden

LRUq uL

i

iUR

eqt RL= −

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

−⋅

1 i uR00=

τ = LR

u U eR q

t RL= −

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

−⋅

1 Strom

u U eL q

t RL= ⋅

−⋅

7 t/τ

EntladenLaden

109865432

I0

1

tLR

uU

L

q= − ⋅

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟ln

( )t LR

U i t RU

q

q= − ⋅

− ⋅ln

( )

Entladen

u u U eR L

t RL= = − ⋅

−⋅

0

i i et RL= ⋅

−⋅

0 i uR00=

tLR

uU

L= ⋅⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ln

0

Spannung uL

Uq

u0

Laden Entladen

t/τ7 1098654321

Bei Belasteter Spule siehe 50.4.1Umrechnung Spannungsteiler L

R2

R1

Uq uL

i

Datum:07.09.2006 22:55:00 Seite: 3/3

Formelsammlung Physik/Elektrotechnik 51. Schwingkreis

M.D 07.09.2006 22:56:00 Seite: 1/3

51.1.6 Bandbreite 51. Schwingkreis 3dB Grenze

BQg g= − =+ −ω ωω0

51.1 Serie-Schwingkreis 51.1.1 Resonanzfrequenz

ω0

1=

LC fLC0

12

=π

Die Dämpfung R hat keinen Einfluss auf die Resonanzfrequenz

51.1.2 Kreisgüte

QI XI R

XR

L L=⋅

=2

2

QL

R=

ω0 Q

LR LR

=

Q RLC= 1

I

U

ULUC

R LC

UR

I UR

UX UZ

R

XC+XL

51.1.3 Dämpfung oder Verlustfaktor Dämpfung:

DQ

=1

2

Verlustfaktor:

dQ

= =σ1

Q : Kreisgüte [ ] D: : Dämpfung [ ]

51.1.4 Verstimmung Relative Frequenzabweichung

v = −ωω

ωω0

0

Normierte Frequenzabweichung

v = −Ω Ω1

Bei der Verstimmung v=1/Q besteht ein phasenverhältnis von 45° ω0 : Kreisfrequenz (res.) 2πf [Hz] ω : Ist Frequenz 2πf [Hz] v : Verstimmung [ ]

51.1.5 Grenzfrequenz

ω ωg Q Q± = ± + +⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟0

212

11

2

u

ω

B

3dB

ωg- ωg+ω0

ω0 : Kreisfrequenz (res.) 2πf [Hz] ωg+ : Obere Grenzfrequenz 2πf [Hz]

: Untere Grenzfrequenz 2πf [Hz] ωg-Q : Kreisgüte [ ]

51.1.7 Impedanz

[ ]Z R jQvSer = ⋅ +1

51.1.8 Der Stromverlauf I : Resonanzstrom

[ ]I

I

QvSer

R=+1

2

R

51.1.9 Phasenverschiebung

( ) tg Q vϕ = ⋅

VV

V

= −∞ ⇒ = − °= ⇒ = − °

= +∞ ⇒ = + °

ϕϕ

ϕ

900 0

90

ϕ =⎛⎝⎜

⎞⎠⎟arccos

Re

II s

I : Strom bei Resonanz Res U : Spannung über X +XX C L

U : Spannung über R R

ϕ =⎛⎝⎜

⎞⎠⎟arctan

UU

X

R

51.1.10 Spannung über der Induktivität und Kapazität Spule:

I

U

ULUC

R LC

UR

( )U U Q

QvL = ⋅ ⋅ ⋅

+

ωω0

2

1

1

Bei Resonanz

U U QL = ⋅ Kondensator:

( )U U Q

QvC = ⋅ ⋅

⋅ +

1

10

2ωω

?


M.D 07.09.2006 22:56:00 Seite: 2/3

51.2 Parallelschwingkreis 51.1.11 Frequenz für die maximalwerte für U und UL C

51.2.1 Resonanzfrequenz Die Abweichung zur Stromresonanz beträgt weniger als 2.5% wenn R ≤ 0.1*X

fL C R CL ⋅ ⋅ −2 2 2π

= ⋅1 2

2Resonanz.

( )fLC

RLC = ⋅ ⋅

⋅1

21

2

2

2π

Der Verlustwiderstand R

51.1.12 Funktionen UR = f(UX) U=konst.

ϕ =⎛⎜

⎞⎟arccos

I⎝ ⎠ReI s

ϕUX

U

UR

I

Ungefähr: L bewirkt dass die Resonanzfrequenz niedriger wird

ω0

1≅

LC

U

IL

IC

p

L

CI

IRR

Exakt:

ω0

21= −

⎡⎣⎢

⎤⎦⎥LC

RL

L

ω0 : Kreisfrequenz (res.) 2πf [Hz]

51.2.2 Umwandeln Reihenwiderstand R in Parallelwiderstand RL P

R

RL

C RPL

=⋅

L : steht in serie zu L (Spulenwiderstand)

Rp : Spulenwiderstand

51.2.3 Strom im Resonanzfall U : Spannung bei Resonanz [V]

IU

Res =RP

: Strom bei Resonanz [A] IRes Rp : Paralellwiderstand [Ω]

51.2.4 Dämpfung oder Verlustfaktor

δω

= =⋅

0

0R C RP P

ω ⋅=

1LR

LC

P

δ = 1Q

ω0 : Kreisfrequenz (res.) 2πf [Hz] Rp : Paralellwiderstand [Ω] Q : Kreisgüte [ ] δ : Dämpfung [ ]

51.2.5 Kreisgüte Eventueller Vorwiederstand wirkt parallel zu RQ R C= ω0 p

p

Q RpCL=

Q = =δ

RPLC

1 Q

RLP=

ω0

ω0 : Kreisfrequenz (res.) 2πf [Hz] Rp : Paralellwiderstand [Ω] Q : Kreisgüte [ ] δ : Dämpfung [ ]


M.D 07.09.2006 22:56:00 Seite: 3/3

51.2.6 Verstimmung 51.2.13 Strom duch die Induktivität und Kapaziät

Relative Frequenzabweichung

v = −ωω

ωω0

0

Normierte Frequenzabweichung

v = −Ω Ω1

Ω =ωω0

Bei der Verstimmung v=1/Q besteht ein phasenverhältnis von 45° ω0 : Kreisfrequenz (res.) 2πf [Hz] ω : Ist Frequenz 2πf [Hz] v : Verstimmung [ ]

Spule:

U

IL

IC

R

L

CI

IR

( )II

L =+ −

Res

δ δ2 2

51.2.7 Grenzfrequenz

ω ωg Q Q± = ± + +⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟0

212

11

2

u

ω

B

3dB

ωg- ωg+ω0 51.2.8 Bandbreite

BQg g= − =+ −ω ωω0

Qg g

=+ −−ω

ω ω0

ω0 : Kreisfrequenz (res.) 2πf [Hz] ωg+ : Obere Grenzfrequenz 2πf [Hz] ωg- : Untere Grenzfrequenz 2πf [Hz] Q : Kreisgüte [ ]

51.2.9 Impedanz

ZRjQvP=

+1 v : Verstimmung [ ] Q : Kreisgüte [ ] Rp : Paralellwiderstand [Ω]

51.2.10 Spannungsresonanz

[ ]

UU

Qv=

+

02

1

U0 : Spannung im Resonanzfall [V] v : Verstimmung [ ] Q : Kreisgüte [ ]

51.2.11 Der Stromverlauf

( )( )

( )[ ]I =+ − −

⋅ + −

δ δ

δ δ δ

2 2 2 2 3

2 2 2

1 1

1

Ω Ω

Ω

Ω =ωω0

δ : Dämpfung [ ]

51.2.12 Phasenverschiebung

( ) ( )tan( )ϕ

δδ

=−

⋅ −1

13

2Ω Ω Ω =

ωω0

δ : Dämpfung [ ]

21Ω

Kondensator: I C U

IC = ⋅ ⋅

= ⋅ΩΩ

ω0

Res

δ : Dämpfung [ ] ω0 : Kreisfrequenz (res.) 2πf [Hz]

51.2.14 Frequenz für die maximalwerte für I und IL C

Die Abweichung zur Spannungsresonanz beträgt weniger als 2.5% wenn R ≤ 0.1*Xf

L C R CC = ⋅⋅ ⋅ −

12

22 2 2π Resonanz.

( )f

LCR

LL = ⋅ ⋅⋅

12

12

2

2π

R=Rp : Paralellwiderstand [Ω]

51.3 Spezialfall Frequenzunabhängig und

C

LR

RImpedanz Reel

RLC

=

Formelsammlung Physik/Elektrotechnik 52. B-S-W-Leistung

52. Wirk-Schein-Blindleistung 52.4 Scheinleistung (Kories p.193ff) Für beliebige Spannungen und Ströme

S U I=52.1 Effektivwert / quadratischer Mittelwert /true r.m.s S: Scheinleistung [VA] Spannung

U u dtEff T

T

= ⋅∫1 2

0

Strom

I i dtEff T

T

= ⋅∫1 2

0

t

u

Der Effektivewert orientiert sich an der Leistung u: Spannung u(t) [V] i: Strom i(t) [A]

Messinstrumente die den eff.Wert messen Weitere Messgeräte Kories p.210 Dreheisen

( )α = f I2 Messgrösse I , U

Elektrostatisch ( )α = f U 2

Messgrösse: U

52.2 Gleichrichtwert Spannung

u u dtT

T

= ⋅∫1

0

Strom

i i dtT

T

= ⋅∫1

0

t

ui

u: Spannung u(t) [V] i: Strom i(t) [A]

Messinstrumente die den gl.ri.Wert messen Weitere Messgeräte Kories p.210

Drehspul mit gleichrichter α = ⋅k i

Messgrösse: U , I

52.3 Gleichwert / arithmeischer Mittelwert Spannung

u u dtT

T

= ⋅∫1

0

Strom

i i dtT

T

= ⋅∫1

0

t

ui

Messinstrumente die den Gleichwert messen

Weitere Messgeräte Kories p.210

Drehspul α = ⋅k i

Messgrösse: U , I

Drehmagnet α = ⋅k i

Messgrösse: U , I

Eff Eff⋅ : Effektivspannung [V] UEff

( ) ( )S u dt i dT T

TT

= ∫∫1 2 1 2

00

*

I

t

Eff: Effektivstrom [A] u: Spannung u(t) [V] i: Strom i(t) [A]

52.5 Wirkleistung

P: Wirkleistung [W] Für beliebige Spannungen und Ströme : Effektivspannung [V] U

P u i dtT= ⋅ ⋅∫1

0

T EffIEff: Effektivstrom [A] u: Spannung u(t) [V] i: Strom i(t) [A]

Für Sinusgrössen

( )P U IEff Eff= ⋅ ⋅ cos ϕi

u

ϕ

cos(ϕ) Leistungs- oder Wirkfaktor [ ]

52.6 Blindleistung

P: Wirkleistung [W] Für beliebiege Spannungen und Ströme S: Scheinleistung [VA]

Q S P= −2 2 Q: Blindleistung [VAr]

: Effektivwert der spannung [V] UEffFür Sinusgrössen zusätzlich IEff: Effektivwert des stromes [A] ( )Q U IEff Eff= ⋅ ⋅sin ϕ u: Spannung u(t) [V] i: Strom i(t) [A]

sin(ϕ) Blindfaktor [ ]

Datum:07.09.2006 22:56:00 Seite:1

Formelsammlung Physik/Elektrotechnik 52. B-S-W-Leistung

52.7 Leistungs- oder Wirkfaktor cos(ϕ) Leistungs- oder Wirkfaktor [ ]

cos( )ϕ =PS

52.7.1 Blindfaktor

sin(ϕ) Blindfaktor [ ] sin( )ϕ =

QS

52.8 Scheitelfaktor = 1.414 Sinus ks

1.732 Dreieck

kU

Useff

=$ 1.000 Rechteck

2.000 Einweggleichrichter 1.414 Doppelweggleichrichter 1.190 Dreiphasengleichrichtung 1.732 Sägezahn

52.8 Formfaktor = 1.111 Sinus kf

1.155 Dreieck

kUUf

eff= 1.000 Rechteck 1.571 Einweggleichrichter

1.111 Doppelweggleichrichter 1.017 Dreiphasengleichrichtung 1.155 Sägezahn

Drehspul-Messinstrument mit vorgeschaltetem Gleichricheter werden mit dem Formfaktor geeicht. Das Messinstrument zeigt den Gleichrichtwert an.

U k U Siehe auch 52.2 eff f= ⋅Somit:

Datum:07.09.2006 22:56:00 Seite:2

Formelsammlung Physik/Elektrotechnik 53. Transformator

M.D 07.09.2006 23:04:00 Seite: 1

53. Transformator Unter Last

P I R I RCU P P S S= ⋅ + ⋅2 2

53.1 Eigenschaften Kupferverluste Im Leerlauf

Trafo wirk wie eine Drosselspule cos(ϕ)=0.1...0.4 Leerlaufstrom Es treten die Eisenverluste PFE auf. Sie sind belastungsunabhängig.Weil der Arbeitspunkt

nicht verändert wird => P P PFE H W= +

Die Hysteresenverluste sind abhängig von = Induktion B [T] = Frequenz f [Hz] = Eisenqualität δH

=> P f BH H≅ ⋅ ⋅δ 2

Wirbelstromverluste sind abhängig von = Induktion B [T] = Frequenz f [Hz] = Eisenqualität δW = Konstruktion

=> P f BW W≅ ⋅ ⋅δ 2 2 Wirbelverluste steigen im Quadrat

der Frequenz

Im Beispiel des Netzes 50 / 60Hz steigen die Wirbelverluste um 2 Bemerkung: Bei sehr kleinen Frequenzen ( fast Gleichspannung) hat man nur noch hysterese

Verluste. dh. PW ≈ 0

Die Kupferverluste sind Quadratisch von der Belastung abhängig

P P P Gesammtverluste FE

f

f2

k*B2

50 Hz0

3000

2500

2000

1500

1000

500

604030200 10

V CU= +

Im Kurzschluss Die Kurzschlussspannung Uk ist ein mass für Spannungsfestigkeit/Spannungsänderung bei

belastungsänderung des Trafos

Relative kurzschlussspannung [ ]ε = ⋅UU

k

1100 %

Uk Eingangsspannung(Primärspannung) wenn im ausgang (Sek.) Nennstrom fliesst. BEISPIELE • Grosser Trafo ε = 3...10% • Kleintraffo ε = 15% • Klingeltrafo ε = 40% • Schweistrafo ε = 100%

53.2 Übersetzungsverhältnis (Linder p.162) Übertragungsfaktor

&&uN

UU

II

= = =1

2

1

2

2

1

N

Impedanzverhältnis

Z ZNN

Z u2 21

2

2

22' &&=

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ = ⋅

Z2’ N2N1

I1 I2

Z2

53.3 Induzierte Spannungen Eingangsspannung (Prim.)

U N feff12

2 1= ⋅ ⋅π $Φ U1 N2N1

Primär Sekundär

I1 I2

U2

Ausgangsspannung (Sek.)

U N feff22

2 2= ⋅ ⋅π $Φ

Formelsammlung Physik/Elektrotechnik 54. Motoren

54.4 Asynchronmaschine (Linder p223) 54. Motoren Der Asynchronmotor kann nicht oder nur wenn

die Statorwicklung mit Strom durchflossen ist als Generator betrieben werden, da das Erre-gerfeld via Induktion aus der Ständerwicklung genommen wird.

Eigenschaften: Kleines Anlaufmoment bei grosser Strom-

aufnahme 54.1 Allgemein (Lindner p.199) Folgende Motorarten haben sich durchgesetzt

Spannungsversorgung Motorart Für geregelten Antieb geeignet Kurzschlussläufermotor Gleichstrom Kollektormotor JA Kurzgeschlossene Drehstromwicklung in Stern-schaltung.

Drehstrom Asynchronmotor Synchronmotor

JA Frequenzumrichter

Besitzt einen grossen an Anlaufstrom. Einphasen Wechselstrom Kollektormotor Kleine Leisung (Universalmo-tor) Grosse Leistung (Antrieb)

NEIN Schleifringläufermotor Der Läufer(Rotor) enthält eine Drehstromwick-lung mit gleicher polzahl wie der Ständer und ist in Sterngeschaltet. Die Wicklungsenden werden über Schleifringe nach aussengeführt und zu einem Anlasser geführt.

54.2 Lastmoment Beharrungsmoment (Losbrechmoment) Beschleunigungsmoment

Arten von Lastmomenten M = konst P ~ n M ~ n P ~ n2

M ~ n2 P ~ n3 M ~ 1/n P = konst. f: Frequenz der Spannung [Hz] Drehzahl:

M=konst

P~n

M

n

P~n2

M~n

M

n

P~n3

M~n2

M

n

M~1/n

P=konst

M

n 54.3 Synchronmaschiene (Lindner p217) Generator

Erregerleistung beträgt weniger als 2% und muss von aussen zugeführt werden

Vorwiegend verwendet in der Energieer-zeugung.

Synchronisation mit Netz bei gleicher Fre-quenz,Phase und Spannung F2F1

G

W1U1 V1

GS3~

L3L2L1

Motor

Drehzahl enspricht dem Drehfeld Braucht eine Anfahrhilfe Verwendet Drehstrom

Drehzahl

nf

ps =⋅60

f: Frequenz der Spannung [Hz] p: Polpaarzahl [ ] ns: Synchrondrehzahl [min-1]

nf

ps =⋅60

Die ist Drehzahl ist kleiner als ns

Leistung:

P M= ⋅ω

P M n= ⋅ ⋅2π Schlupf:

sn n

ns

s=

− f f si = ⋅

fi: Frequenz der Rotorspannung p: Polpaarzahl [ ]

: Synchrondrehzahl [min-1] ns Diese wird normalerweise nie erreicht. n: Ist Drehzahl [min-1] s: Schlupf [ ] M: Drehmoment [Nm] ω: Winkelgeschwindigkeit [rad] s<0 Generator betrieb s>0 Motorbetrieb

Schlupfkennlinie Drehzahlkennlinie

Bremse Motor

Losbrechmoment

Generator

LastenkennlinieAP

Abeits-bereich

Kippunkt

Instabil

Stabiler AP

ns

P~M

n

Bremse Motor

Losbrechmoment

Generator

LastenkennlinieAP

Kippunkt

Abeits-bereich

Instabil

Stabiler AP

n=nss=0

P~M

n=0s=1s -s

Datum:07.09.2006 23:05:00 Seite:1

Formelsammlung Physik/Elektrotechnik 54. Motoren 54.5.2 Drehzahl / Drehmoment Induktionsregeler:

Die Rotorspannung wird über Schleifringe nach Aussen geführt. Der Rotor wird blockiert und steht in einem Winkel zum Stator. Die dabei vom Fluss durchflossenen Fläche A ist die Stellgrösse.

U f N B A consts20 24 44= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅. $ f: Netzfrequenz [Hz]

Amax

B: Flussdichte [T] N2: Rotorwindungen [ ] A: Fläche vom Fluss durchflossen [m2] U20: Spannung vom Rotor abgegeben [V] s: Schlupf [ ]

Umax Umin

Amin

StatorStator

Rotor

StatorStator

U U s2 20= ⋅

UNebenschlussmotor: Fremd err.

i: Induzierte Spannung [V]

M

IA I: Aufgenommer Strom [A] : Maschienen konstante [ ] kM k Im= ⋅ ⋅Φ m

Drehzahlregelung: polpaarumschaltung (Dahlanderschaltung) Variable Spannung

Frequenzumrichter Schlupfsteuerung

54.5 Gleichstrommaschine / Kollektormaschinen / Einphasenmotor Diese Art von Motoren kann so wohl für Gleich-spannung wie auch für Einphasen-Wechselspannung verwendet werden, sofern kein Permament Magnet verwendet werden

Erregung

Rotor Wicklung

Die maximale Drehzahl ist durch die mechani-sche Festigkeit, insbesondere durch den Kol-lektor, bestimmt.

0..5kW <20'000 min-1

5...100kW < 5'000 min-1

100... kW < 2'000 min-1

54.5.1 Schaltungsarten Nebenschluss (Regelungsaufgaben) Feld

Anker

IA

UA

M

n

UA=konst

M

IA

Hauptschluss (Traktionsaufgaben) Besitzt ein grosses Anzugsmoment. ( Laststrom und Erregerstrom sind gleich )

Anker

Feld IA

nUM

~

M

n

IA ~ M2

M

IA

Doppelschluss Nur bei gesteuertem Antrieb. Beeinflussun-ge der Lastromabhän-gigen Drehzahlände-rung.

-

-

+

Anker

+

Wendepole

IA FeldKompund

Mitkompoundschal-tung

M

Doppelschluss

Nebenschlussn

Durch die Kompound-schaltung verliert die Momentenkenlinie ihre proportionalität zum Laststrom.

kp Z

am =⋅⋅2π

nU

kg≅

⋅Φ

kZ pag =⋅⋅60

U

n

kg: Maschienen konstante [ ] M: Drehmoment [Nm] Φ: Fluss [Vs][Wb] a: Anzahl parallele Rotorwicklungs- zweigpaare. [ ] p: Polpaarzahl [ ] Z: Anzahl Leiter im Rotor [ ] Sollte der Fluss aus irrgend einem Grund verschwinden wird sich die Maschinen eine zerstörerische Geschwindigkeit erreichen

Dieser Motor darf nur unter Lastbetrieben werden da es sonst zu einer zerstörerischen Drehzahl kommen kann.

Hauptschlussmotor: n

UM

~

M

n

nUM

~

54.5.3 Aufbau

8

5

4

9

110

8

32 (1) Stator, Jochring (2) Hauptpole (3) Feldwicklung (4) Rotor (Anker) (5) Rotorwicklung (8) Wendepole (9) Wendepolewicklung (10) Kompensationswicklung (Kompound)

Wendepol Bewirken eine Verbesserung der Kommutie- rung.

Die Bürsten schalten dann nahezu stromlos. Erregung erfolgt durch den Laststrom Für mehr als 200W standard Wird vom Laststrom durchflossen. Kompoundwicklung Es wird eine Lastromabhängige Komponente der Erregung hinzugefügt.

Siehe auch Ankerrückwirkung. Für mehr als 100kW standardmässig vorhan-den.

Datum:07.09.2006 23:05:00 Seite:2

Formelsammlung Physik/Elektrotechnik 54. Motoren

54.6 Brushless DC-Motor / Schrittmotor (Lindner p.241) 54.5.4 Ankerrückwirkung Deformation des Erregerfeldes auf Grund der Last. Bei reduziertem Erregerfluss tritt die Anker-rückwirkung stärker auf.

54.7 Linearmotor (Lindner p.239) Auswirkungen: Reduktion & beseitigung:• Verschiebung der neutralen Zone. Strom-

wendung findet nicht mehr bei 0 statt. Ver-schlechterung der Komutierung

• Erhöhung der Lamellenspannung. Darf nicht grossernals 20-25V werden. Rund-feuergefahr

• Sättigungserscheinungen an den Polkanten und Ankerzähnen

• Verschieben der Bürsten in die Neutralen-zone(einstellung auf mittlere Leistung)

• Konstruktive massnahme. Geeignet pol-schuhform verwenden.

• Einsetzen von Wendepolen. Hierbei wird die neutrale Zone für die komutierung si-chergestellt. (Die AR bleibt bestehen)

• Verwendung von Kompesationswicklungen. Nur P>100kW. Mit ihr wird die Ursache der Ankerrückwirkung eliminiert

Kurzstatormotor Langstatormotor

54.5.5 Kommutator / Stromwender Während der der neutralen Zone ändert im Stromleiter die von +I

Kommutierungsverlauf: a auf -Ia. Dieser Wechsel

erfolgt während der kommutierungsphase Tk.

Tbvk

k

k=

bk: Bürstenbreite : Umfangsgeschwindigkeit Kollektor

Idealekommutierung

Überkommutierung

t

Unterkommutierung

i

-Ia

+Ia

Tk

vk Während der Kommutierungsphase sind min-destens zwei Lamellen kurzgeschlossen.

54.5.6 Generatorbetrieb

t

UADurch das Umschalten des Kommutators erhält man am ausgang immer eine Pulsierende Gleichspannung

t

UABei besseren Spulenanordung erhält man eine weichere Ausgangsspannung

UDie Induzierte Spannung beträgt i: Induzierte Spannung [V]

U k ni g= ⋅ ⋅Φ

kZ pag =⋅⋅60

kg: Maschienen konstante [ ] n: Drehzahl [min-1] Φ: Fluss [Vs][Wb] a: Anzahl parallele Rotorwicklungs- zweigpaare. [ ] p: Polpaarzahl [ ] Z: Anzahl Leiter im Rotor [ ]

Datum:07.09.2006 23:05:00 Seite:3

Formelsammlung Physik/Elektrotechnik 55.Stromversorgung

55. Stromversorgung 55.2 Gleichrichterschaltungen (Lindner p.648 ,Kories p.483)

55.1 Brumspannung (Kories p.483) Für Vollweg Gleichrichter gilt:

$Uif CBr = ⋅ ⋅4

$Uu

R f CBr = ⋅ ⋅ ⋅4

Ua

Tt

ÛBr

ÛBr: Brumspannung [V] i: mittlere Strom [A] u : mittlere Spannung [V] f: Frequenz der Trafospannung [Hz] C: Kapazität [F] R: Lastwiederstand [Ohm]

Halbweg Gleichrichter

$Uif CBr = ⋅ ⋅2

$Uu

R f CBr = ⋅ ⋅ ⋅2

Ua

Tt

ÛBr

Faustformeln für Spannungen > 10V Einweg

UI 2.1 I

P 3.1

GL

eff GL

Trafo

≈ ⋅≈ ⋅≈ ⋅

115. U

P

InEff

GL

UOutGL

UInEff

RL

IL_Eff

Zweiweg

UI 1.1 I

P 1.5

GL

eff GL

Trafo

≈ ⋅≈ ⋅≈ ⋅

13. U

P

InEff

GL

UinEff

UGLRL

IL

Brückenschaltung

U I 1.57 I

P 1.23

GL

eff GL

Trafo

≈ ⋅≈ ⋅≈ ⋅

13. U

P

InEff

GL

UGL

UInEff

RL

IL

Einwegschaltung

U

UInEff= 0 45.

Welligkeitsfaktor

k UUw

out= =~ .121

Brummfrequenz:

f fBr = Max. Repetive Diodenspannung

$ $U URRM In= Mittelwert des Durchlassstromes der Diode

I I=F RL

UOutEff

UInEff

RL

IL_Eff

uout

UÛ

UEff

2ππ ωt

$U In

UInEff

Spizenspannung Trafo [V] : Effektivspannung Trafo [V]

U Mitterlwertspannung Trafo [V] Uou

$URRM

~U

t Mittelwertspannung über RL [V] max. period. Sperrspannung [V]

Effektivwert der Summe der Fourierwechselspannungen [V]

I Mittelwertstrom der Diode [A] FIRL Mittelwertstrom der Last [A]

Zweiweg-Mittelpunktschaltung

UUInEff

= 0 9. Welligkeitsfaktor

k UUw

out= =~ .0 48

Brummfrequenz:

f fBr = ⋅2 Repetive Diodenspannung

$ $U URRM In= ⋅2

UTRU0

RL

IL

u

UÛ

UEff

2ππ ωt

Mittelwert des Durchlassstromes der Diode

I IF RL= ⋅0 5.

Zweiweg-Brückenschaltung

UUInEff

= 0 9.

Welligkeitsfaktor

k UUw

out= =~ .0 48

Brummfrequenz:

f fBr = ⋅2 Repetive Diodenspannung

$ $U URRM In=

U0

UTR

RL

IL

u

UÛ

UEff

2ππ ωt

Mittelwert des Durchlassstromes der Diode

I IF RL= ⋅0 5.

Datum:07.09.2006 23:05:00 Seite:

Formelsammlung Physik/Elektrotechnik 56. Halbleiter

M.D 07.09.2006 23:05:00 Seite: 1

56.3 Thyristor 56. Halbleiter Nach dem Zünden kann der Tyristor nur duch einen Stromunterbruch gelöscht werden.

Phasenanschnittsteuerung mit Tyristor

56.1 Diode IL

Symbol:

Grenzwerte: UR: max. zulässige Spannung IF: max. zulässiger Flussstrom PV: max. zulässige Verlustleistung

Näherung:

RD

UD

Kennwerte: charakteristisch IR (UR): Sperrstrom bei angegeben. Sperrsp. UF(IF): Flussspannung beim ang. Flussstr. α (IF): Temp koeefizent bei geg. Flussstrom Kennwerte: dynamisch CD(UR): Sperrsch. kapaz. bei geg. Sperrsp. rd(IF): dyn. diff Wiederstand qs (IF): gesp. Ladung beim geg. Flussstrom trr (IF): Sperrerholzeit (anstelle von qs)

Es gibt sie als IL

UL

• kathodenseitiges Gate • anodenseitiges Gate

t Siehe auch Lindner p.344

56.4 Triac

Nach dem Zünden kann der Triacstor nur duch einen Stromunterbruch gelöscht werden.

Phasenanschnittsteuerung mit Triac

Durchlassspannung

( )U n u R IF TII F

F

S= ⋅ + ⋅ln

n=1 :nach Model. In der Praxis 1..3 uT: 26mV bei Raumtemperatur IS: Sättigungsstrom der Diode IF: Strom in Flussrichtung UF: Spannung in Flussrichtung R: Seriewiderstand der Diode

Thermospannung in Druchlassrichtung (Shockwell Formel)

U n UII

R IF TF

SD F= ⋅ ⋅

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ + ⋅ln

Uk TqT =⋅

≈26mV/25°C

n: Qualitätsparameter UT: Termospannung IS: Sperrstrom IF: Vorwärtstrom k: Bolzmankonstante q: Elementarladung T: Temperatur

56.2 Z-Diode In Durchlassrichtung verhalten einer Normalen Diode. • Zenerdioden unter 5V dominiert der

Zenereffekt. Diese Dioden haben eine negativen Temperatur koeffizenten. Der Knick ist weich.

• Zenerdioden grösser als 6V dominiert der

Avelanche-Effekt. Diese Dioden haben eine positiven Temperatur koeefizenten. Der Knick ist scharf.

• Z-Dioden im übergangsgebiet (5..6 V) haben eine sehr geringen Temperatur koeefizenten

IL

Er leitet die positive wie die Negative Halbwelle Siehe auch Lindner p.350

IL

t

Formelsammlung Physik/Elektrotechnik 57. Bip-Transistor

57. Bipolar-Transistor 57.2.2 Emitterschaltung Arbeitspunkt Praktiker angaben Ucc

C2

C3R2

R4

R3

R5

U2

U1

C1

R1

Der Transistor besteht aus einer stark dotierten N-Schicht (Emitter) und einer schwach dotierten und sehr dünnen P-Schicht (Basis) und aus einer schwach dotierten N-Schicht (Kollektor). 57.1.1 Grenzwerte:(Ratings) UCEO zul. CE-Spannung bei offener Basis. UCBO zul. CB-Span. bei offenem Emitter. UCES zulässige CE-Spannung bei kurz-

schluss zwischen Basis und Emitter.

57.1.2 Kennwerte: ICEO(UCE) Kollektorsperrstr. bei offener Basis ICBO(UCB) Kollektorsperrstr. bei offen. Emitter ICES(UCE) Kollektorsperrstr. bei geg. Span.,

wenn Basis mit Emitter verbunden. 57.2 Transistor Kenndaten in Emitterschaltung (Kories p.334) Statische Daten Stromverstärkung B

B IIC

B= auch hFE oder HFE

IB

B B

E

Ic=B⋅IB

UBE

UCE

E

CC

Dynamische Daten

u h

i h ui h i h uBE E B E CE

C E B E CE

= ⋅ + ⋅= ⋅ + ⋅

11 12

11 22

rBE rCE

iB ⋅β

iCiB

uBE uCE

57.2.1 h-Parameter Kurzschluss Eingangswiderstand

h rE BEui uBE

B CE11 0= = = auch hie

Ausgang kurzgeschlossen

IB

UCE=konst.

AP

ΔUBE

ΔIB

UBE Leerlauf Spannungsrückwirkung

h EdUdU i konst

CE

BE B12 0= ≈= .

Eingang offen

=0

Kurzschluss Vorwärtsstromverstärkung

h Eii uC

B CE21 0= = =β . auch hfe

Ausgang kurzgeschlossen

IC

UCE=konst.

ΔIBΔIC

UCE Leerlauf Ausgangsleitwert

h E ri

u iCE

C

CE B221

0= = = .

Eingang offen

IC ΔICAP

ΔUCE

UCE

UCE so wählen dass UR3=U /2 cc I wählen oder ist gegeben. C

UR4≈1...2V oder gegeben

7I IR B1 ≈ ⋅

I IR B2 6≈ ⋅

Widerstand R Widerstand R3 4

RUI

R

C3

3= RU

I IR

C B4

4=+

Widerstand RWiderstand R1 2

( ) R

U U UI

CC R BE

B1

4

7=

− +⋅ R

U UI

R BE

B2

4

6=

+⋅

57.2.3 Emitterschaltung Arbeitspunkt bei gegeben Komponenten

Kollektor-Strom

IU

RC

U RR R BE

R RB

CC

=−

+

⋅+

2

1 2

214

Kollektor-Emitterspannung UCE

U U I R RCE CC C= − +( )3 4

Datum:07.09.2006 23:06:00 Seite:1


57.2.4 Emitterschaltung Dynamische Daten 57.3.1 Kollektorschaltung Arbeitspunkt R5 bestimmt wie stark die Stromgegenkopplung ist

und dient der AP Stabilisierung Phasendrehung 180°

rBE

R1 R2R3

R5R4

rCE

iB ⋅βiCiB

iE=iB(β+1)

u1 u2

Praktiker angaben Ucc

C2

R2

R4 U2

U1

C1

R1

U

Eingangswiderstand

( )Z R R r R RBE1 1 2 4 5≈ ⋅ + β( )

Ausganswiderstand ohne RL

( )Z r R R R

RCE2 4 5 3

3

= +

≈

Spannungsverstärkung ohne RL

( )[ ]VR

r R RuBE

=− ⋅

+ + ⋅

β

β3

4 51 ( )

Die Verstärkung hat ein negatives Vorzeichen

Stromverstärkung ohne RL

Vii

V ZZiu= =⋅1

2

1

2

CE =U /2 cc I wählen oder ist gegeben. C

7I IR B1 ≈ ⋅

I IR B2 6≈ ⋅

Widerstand R4

RU

I IR

C B4

4=+

Widerstand RWiderstand R1 2

( ) R

U U UI

CC R BE

B1

4

7=

− +⋅ R

U UI

R BE

B2

4

6=

+⋅

57.3.1 Kollektorschaltung Dynamische Daten

rBER1 R2 R4

u1 u

iEiB

2rCE

iC= iB ⋅β

Phasendrehung 0°

Eingangswiderstand ohne RL Ausganswiderstand ohne RL

( )Z R R1 1 4 1≈ + ⋅ +( )βR rBE2 Eingangswiderstand mit RL

( )Z R R r R RBE L1 1 2 4 1≈ + ⋅ +( )β

Zr R

r

BE

BE

BE

24

41=

R r⋅+ + ⋅

≈

( ( ) )β β

β

Stromverstärkung ohne RSpannungsverstärkung ohne RL L und R4

( ) ( )[ ]Vu

Rr R

=+ ⋅

+ + ⋅

β

β

11

4

BE 4

Spannungsverstärkung mit RL

( )( )[ ]V

R Rr R Ru

L

BE L

=+ ⋅

+ + ⋅

ββ1

14

4

Vii = = +2

11β

i

Stromverstärkung mit RL

Vi

RR Ri

L= =

i ⋅+

2

1

4

4

β

Datum:07.09.2006 23:06:00 Seite:2


57.4 Basisschaltung Arbeitspunkt 57.5 Kopplungskondensatoren für Emitter & Kolektor & Basis-Schaltung Praktiker angaben Ucc

C3

C2

R2R4

U2U1

C1

R3R1

UCE =U /2 cc IC wählen oder ist gegeben. UR4≈1...2V oder gegeben I IR B1 7≈ ⋅

I IR B2 6≈ ⋅

: Quellenwiederstand

Widerstand R3

RUI

R

C3

3=

Widerstand R4

RU

I IR

C B4

4=+

Widerstand R1

( )

RU U U

ICC R BE

B1

4

7=

− +⋅

Widerstand R2

RU U

IR BE

B2

4

6=

+⋅

57.4.1 Basisschaltung dynamische Daten Phasendrehung 0°

rBER4 R3

rCE

iC=iB ⋅β

iB

u1 u2

Eingangswiderstand

Z RrBE

1 4 1=

+ β

Ausganswiderstand ohne RL

( )Z r R RR

CE2 4 3

3

= +

≈


( )[ ]VR

r RuBE

=⋅

+ + ⋅

β

β3

41


Viii = =

+1

2 1β

β

Eingangskondensator C1

( )Ca

f Z Zn

gu Q1

12=

⋅ ⋅ +π

ZQ

an: Koeefizent abhängig von Anzahl der Kondensatoren in der Schaltung

Eingangskondensator C2

( )Ca

f Z Rn

gu L2

22=

⋅ ⋅ +π

RL: Lastwiderstand an: Koeefizent abhängig von Anzahl der

Kondensatoren in der Schaltung

Emitterkondensator C3

( )Ca

f Rn

gu s3 2=

⋅ ⋅π Re

an: Koeefizent abhängig von Anzahl der Kondensatoren in der Schaltung

C3

R5

R4

( )R R R

R R hhs

ie

feRe = +

+

+

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟4 5

1 2

1

C3Ze*

R5R4

( )R R R

R R hhs

ie

feRe = +

+

+

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟4 5

1 2

1C3

R5

R4 C3

R5

Ze* R4

Koeeffizent a abhängig von Anzahl Kondensatoren (Serieschaltung von Filtern) n

n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 an 1 1.55 1.96 2.30 2.59

Datum:07.09.2006 23:06:00 Seite:3

Formelsammlung Physik/Elektrotechnik 58. FET-Schaltungen

M.D 07.09.2006 23:06:00 Seite: 1

58.2 Innere Widerstände 58 FET-Schaltungen

58.1 Typen IG-FET & MOS-FET Auf einem sehr schwachen dotierten p-leitendem Halbleiter („Bulk“ B ) sind zwei stark dotierte n-leitende Inseln („source“ S und „Drain“ D) vorhanden. Die Zone zwischen den beiden Inseln ist mit einem dünnen Isolator (häufig ein Oxyd) bedeckt, dessen Oberfläche mit einem elektrisch leitenden Schicht („Gate G“) überzogen ist. Unter der Oxydschicht kann ein sehr dünne schwach dotierte n-leitende Schicht (der sogenannte Kanal) sein.

J-FET Das Gate ist hier nicht eigentlich isoliert, sondern bestehend aus einem p-leitendem Material. Gegenüber dem eingebauten n-Kanal ist es durch einen gesperrten pn-Übergang „isoliert“, solange das Gate negativ ist gegenüber dem Kanal. J-FET gibt es nur als „Verarmungstyp“ (Depletion-Mode)

58.1.1 Enhanced-Mode „Anreicherungstype“ (Selbstsperrend)

U(T)GS UGS

ID ID

UDS

UGS=2V

UGS=3V

UGS=1V

Ub

ID

+

+

58.1.2 Depletion-Mode“Verarmungstyp“ (Selbstleitend)

I IU

UD DSSGS

P GS= −

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

( )1

2

UDSS

U(P)GS

ID

UGS

IDSS

ID

UDS

UGS=0V

UGS=1V

UGS=-1V

Ub

ID

+/-

+

58.1.3 Grenzwerte (Ratings):

UDS zulässige DS-Spannung (unabhängig von der Beschattung des Gates). UGSO zulässige GS-Spannung bei offenem Drain. UDGO zulässige DG-Spannung bei offenem Source. ID zulässige Drainstrom IG zulässige Gatestrom

58.1.4 Kennwerte:

IDSS (UDS) Drainstrom bei UGS=0 V. Beim Verarmungstyp (Depletionmode) ist dies der maximal mögliche Arbeitsstrom, beim Anreicherungstyp (Enhancement-Mode) dagegen ein Sperrstrom.

IGSS (UGS) Gate-Sperrstrom bei angegebener GS-Spannung (Drain auf Source kurzgeschlossen).

U(P)GS (ID) Pinch-off-Voltage (Abschnürspannung) beim verarmungstyp. Nötige GS-Spannung, um den Drainstrom auf den angegeben (sehr kleinen) Wert zu reduzieren.

U(T)GS (ID) Treshold-Voltage (Schwellspannung) beim Anreicherungstyp. Nötige GS-Spannung, um den Drainstrom auf den angegeben (sehr kleinen) Wert zu erhöhen.

(Kurzschluss- ) Transadmitanz (auch Steilheit genannt)

yU Ufs

D

GS

d

gs= =

I i

Eingeschalteter Widerstand:

RIDS on

DS

D( ) =

U

(UGS=const)

58.2.1 Kleinsignalparameter Übertragungsadmitanz iDSG D

S

uGS uDSyos

ix=yfs⋅uGS

y SI

Uiufs

D

GS

D

GS= = =

ΔΔ

UDS=const. Höchsterwert bei UGS=0

yI

UfsDSS

P GS(max)

( )=−2 ⋅

Für andere Werte

y yI

Ifs fsD

DSS= (max)

Ausgangsadmitanz

yI

Ui

Uos rD

DS

d

dsDS

= = =1 ΔΔ

UGS=0


M.D 07.09.2006 23:06:00 Seite: 2

58.3 Übertragungs- und Ausgangs-Kennlinie (n -verarmungstype) 58.4 Sourceschaltung Arbeitspunkt (Kories p.386)

Gatespannung UDD

U1

U2C1

R3

C2GD

S

UGS

ID C3

R5R4R2

R1U U UGS G S= − Widerstand R4

U I RS D= ⋅

Übertragungskennlinie

( )

II U U

DDSS GS P GS

=− ( )

2

2U P GS( )

oder einfacher geschrieben

I IU

UD DSSGS= −

⎛⎜

⎞⎟1

2

P GS⎝ ⎠( )

Anlaufgebiet:

( )

II U U U U

UDDSS DS GS P GS DS

P GS=

⋅ ⋅ − −2 2

2( )

( )

Widerstand:

RUIDS

DS=D

oder

( )[ ]1 2

2R

I U U U

UDS

DSS GS P GS DS

P GS=

⋅ − −( )

( )

58.3.1 Temperaturverhalten im Sättigungsbereich Mit steigender Temperatur nimmt die Beweglichkeit der Ladungsträger ab; Die Übertragungskennlinie wird vert. zusammengestaucht. Wegen Änderung von Kontakt- und Diffusions-spannung verschiebt sich die Übertragungskennlinie nach links (<-- ) vorwiegend bei kleinen strömen.

-UGS

ID-20°C

25°C

100°C

4 Widerstand R1,R2

UU RR RG

DD=⋅+

2

1 2

Widerstand R : I3D

( )U U I R RDS DD D= − +3 4ID aus der Transverkennlinie oder mit der Formel (58.1.2) weiter vorne!

58.4.1 Sourceschaltung Dynamische Daten Eingangswiderstand

u2

u1 R3R5R4

iD

iG

R2R1

Z R R1 1= 2

Ausgangswiderstand ohne RL

( )( )Z

y y R Ry

R

Z R

fs os

os2

4 53

2 3

1=

+ + ⋅

≈

Strom ohne Gegenkopplung R5=0

i y uStrom mit Gegenkopplung

DS fs GS= ⋅

( ) iy uy y RDS

fs GS

os fs S

=⋅

+ +1


( ) ( )( )Vu

y Ry R y y R Ru

fs

os fs os

= =u − ⋅

+ ⋅ + +2

1

3

3 4 51

In den meisten Fällen reicht:

Vy R Ru

fs

fs

=y R− ⋅

+ ⋅3

4 51


Vii

VR R

Ri

uR

uR R

u= = =2

1

1 2

3

23

1

1 2


M.D 07.09.2006 23:06:00 Seite: 3

58.5 AC-Verstärker in Drain-Schaltung Ähnliches vorgehen wie bei S-Schaltung zs*zg*

ug0

Ud

Us

ZD

ZGZS

( )uy Z

y Z y y Zsfs S

os D fs os S

=⋅

+ + +1

vuuu

s

g=

viiid

g= = −∞

58.6 AC-Verstärker in Gate-Schaltung

( )( ) ( )u

u Y y yY y Y Y y yd

so S fs os

S os D D fs os

=⋅ +

+ + +

is id

Us

ZG

UdZDZS

us0

zS* zD*

( )v

uu

y y Zy Zu

d

s

fs os D

os D= =

++ ⋅1

viiid

s= = −1

58.7 Berechnung der Kondensatoren SIEHE Transistoren weiter vorne

Formelsammlung Physik/Elektrotechnik 59. Operationsver.

59. Operationsverstärker 59.5 Integrator Ausgangsspannung

Kories p.404 Lindner p.452 59.1 Nichtinvertierender Verstärker Verstärkung

VUU

RRu

a

e= = +1 1

2

Eingangswiderstand

Z in ≈ ∞

−

+

Ua

Ue Ui=0

R2

R1

59.2 Invertierender Verstärker Verstärkung

VUU

RRu

a

e= = − 2

1

Eingangswiderstand

Z R in = 1

−

+

R2

R1

UeUi=0

Ua

59.3 Addierer Verstärkung

( )U U Ua eRR e

RR

N N= − + +1 21 2......

Eingangswiderstand

Z R R Rin n= 1 2 ....

−

+

RN

Rn

R1

Uen

Ue1Ui=0

Ua

59.4 Subtrahierer Verstärkung

( )U U Ua e eRR= −1 2

2

1

Eingangswiderstand

Z R in1 1=

Z Rin2 1=

−

+

R2

R2

R1

R1

Ue1

Ue2

Ui=0

Ua

URC

u t dt U ta et

t

= − +∫1

00

1

( ) ( )a−

+

R

C

Ie

UeUi=0

Ua

59.6 Differenzierer Ausgangsspannung

U RCadUdt

e= − −

+

R

Ie C

UeUi=0

Ua

Eingangsstrom

I CedUdt

e=

59.7 Invertierender Schmitt-Trigger Schaltschwellen

−

+ UR

R RUeein a= −

+1

1 2max

Ua

Ue

Ui=0

R1

R2

UR

R RUeaus a= +

+1

1 2max

59.8 NichtInvertierender Schmitt-Trigger Schaltschwellen

URR

Ueein a= + 1

2max

−

+

R2

R1

UeUi=0

Ua

URR

Ueaus a= − 1

2max

Datum:07.09.2006 23:06:00 Seite:

Formelsammlung Physik/Elektrotechnik 59. Operationsver. 59.10 Multivibrator Frequenz

−

+

R3

C1 R1

R2

Ui=0Ua

( )fR C R

R

=⋅ ⋅ + ⋅

12 11 1

2 2

3ln

59.11 Dreieck-Rechteckgenerator Frequenz

fRR R C

= ⋅⋅

3

2 1 1

14 −

+

R3R2R1 C1

U1 U2−

+

Schmitt-TriggerIntegrator

59.12 Spannungsgesteuerte Stromquelle Konstantstrom

−

+ Ia

Ue

Ue

Ui=0

R

RL

IURa

e=

Datum:07.09.2006 23:06:00 Seite:

Formelsammlung Physik/Elektrotechnik 60. 3Ph-Systeme

M.D 07.09.2006 23:06:00 Seite: 1/2

60.1.3 Symetrische Belastung (Vierleiter-,Dreileitersystem) 60. Dreiphasensysteme 60.1.4 Spannung,Strom 60.1 Vierleiternetz Alle Werte sind komplex U U U

U U UI I II I I

R S T

RS ST TR

+ + =+ + =

+ + =

+ + =

0000

1 2 3

1 2 3* * *

I* : Konjugiertkomplex siehe Math. 10

60.1.1 Allgemein Stern

U UU UU U

R

S

T

= ∠ °= ∠− °= ∠ °

0120

120

Dreieck

U U

U U

U U

RS

ST

TR

= ∠ °

= ∠− °

= ∠ °

3 30

3 90

3 150

U URS R= 3

Alle Werte sind komplex

U U U U U U

U U U

RS R S

ST S T

TR T R

= −= −= −

N IN

I2

I1

I3L3

L2

N

T

S

UT

US

UR UTR

UST

URS

R L1

U: Betrag der Spannung UR

120°120°

120°

UT

UR

UTR

URSUS

USTRe

Im

UR,US,UT: Strangspannung URS,UST,UTR: Verkettete Spannung, Phasenspannung

Umrechnung:

I I1 12 3= ⋅

60.1.5 Leistung bei symetrische Belastung Stern

Z1

L3

L2

L1

UR

I1

I3I2

Z3Z2

(

60.1.2 Umrechnung der Lasten von Stern <--> Dreieck siehe 50.4.1

R22 R33

R113 2

1

R1

3 2

1

R3 R2

60.1.2.1 Umrechnung Ströme Leiterströme

I I II I II I I

1 12 31

2 23 12

3 31 23

= −= −= −

L3

L2UTR

UST

URS

L1

Z23I31

I23 I3

I2

I1

I12Z31

Z12

)P U IR= ⋅ ⋅ ⋅3 1 cos ϕ

Die Wirkleistung ist nicht komplex

S U IR∠ = ⋅ ⋅ ∠ϕ3 1

Dreieck

L3

L2

L1

( )P U IRS= ⋅ ⋅ ⋅3 1 cos ϕ

Z23I31

I23

I12Z31

Z12

( )P U IRS= ⋅ ⋅ ⋅3 12 cos ϕ

Wirkleistung ist nicht komplex

Umschaltung von Stern auf Dreieck

S S= 3 Δ

Formelsammlung Physik/Elektrotechnik 60. 3Ph-Systeme

M.D 07.09.2006 23:06:00 Seite: 2/2

60.2 Unsymetrische Belastung 60.2.1 Vierleiterssystem

Alle Werte komplex Nullleiterstrom (Stern)

I I Bem: Ist I

I IN = + +1 2 3N=0 so muss nicht eine Symetrische

Belastung vorliegen, es kann aber

INUI

UI

UI

R

R

S

S

T

T= + +

60.2.2 Leistung Vierleiternetz

S U I U I U IR R S S T T∠ = + +* * * Alle Werte Komplex S : Komplexe Leistung I* : Konjugiertkomplex siehe Math. 10

60.2.3 Dreileitersystem Berechnung der Nullleiterspannung 1.Virtueller Nullleiterstrom:

IU U UR

R R RS T

0 = + +R S T

Nullleiterspannung: (Sternpunktspannung)

[ ]U I R I R R RR S T= ⋅ = ⋅

Re

Im

UR

UT

US

UR’

U0

UT’

US’

0 0 0 0

UBerechnung der Strangspannungen U U U=

0=0 Bedeutet nicht das eine symetrische Belastung vorliegt.

U U UU U U

R R

S S

T T

'

'

'

−= −= −

0

0

0

Alle Werte sind komplex

60.2.4 Leistung Dreileiternetz Stern

Z1

L3

L2

L1

UT’US’

UR’

I1

I

TS U I U I U IR S∠ = + +' ' '1 2 3* * *

Alle Werte sind komplex I* : Konjugiertkomplex siehe Math. 10

32I

Z3Z2

S : Komplexe Scheinleistung UR’,U ,U : Strangspannung aus 60.2.3 S’ T’

Stern und Dreieck

S U I U IU I U IU I URS S= −1 3

* *I

ST TR

TR RS

T

∠ = −

= −2 1

3 2

* *

* *

I I I1 2 3 0* * *+ + = Alle Werte sind komplex.

L3

L2UTR

US

URS

L1

T

Z23I31

I23 I3

I2

I1

I12Z31

Z12

I* Konjugiertkomplex siehe Math 10 Bem: Es müssen nur Aussenleiter grössen bekannt sein

Formelsammlung Physik/Elektrotechnik 61. Batterie

M.D 07.09.2006 23:07:00 Seite:

61.Batterie Zellenspannung


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62. Vierpol Parameter rrLindner p.403 Z→EINEingangswiderstand

Allgemein

AusgangEingang

Rechnen mit den Vierpolparameter (HP48) Selbst geschriebene Funktionen [HOME/ALGEMEIN/ELEKTR/VIERPOL] Alle Parameter auf den Stack x11,x12,x21,x22 Hilfsfunktionen Parameter -> Array

rr →ARR Array - Parameter

rr ARR→ Umrechnender Vierpolparameter Umrechnen z-Parameter Parameter Z→Y Z→A Z→H

z11 z12 z21 z22

Umrechnen y-Parameter Parameter Y→Z Y→A Y→H

y11 y12 y21 y22

Umrechnen a-Parameter Parameter A→Y A→Z A→H

a11 a12 a21 a22

Umrechnen h-Parameter Parameter H→Y H→A H→Z

h11 h12 h21 h22

Funktion Parameter (RL=Lastwiderstand) z z z Z ZEIN z11 12 21 22 L

rrZ→AUSAusgangswiderstand Funktion Parameter (R =Quellenwiderstand) G

z z z Zz ZAUS 11 12 21 22 G

rrVUSpannungsverstärkung Funktion Parameter (RL=Lastwiderstand

a a a Za A 11 12 21 22 L

y y y y Z Y 11 12 21 22 L

rrVIStromverstärkung Funktion Parameter (RL=Lastwiderstand

a a a Za A 11 12 21 22 L

z z z z Z Z 11 12 21 22 L

h h h Zh H 11 12 21 22 L

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© Copyright by M.Drifte 1996 Formel- sammlungtuffi.smsfactory.ch/Dateien/Formelsammlung Physik.pdf · Grundlagen der Elektrotechnik 48. Elektrostatik 49. Magnetismus 50. R-L-C Elemente