© Ewert/Wagenhofer 2005. Alle Rechte vorbehalten! Entscheidungs- rechnungen bei Unsicherheit

© Ewert/Wagenhofer 2005. Alle Rechte vorbehalten!

Entscheidungs-

rechnungen

bei Unsicherheit

5.2

Ziele

Darstellung der Vorgehensweise bei der Break Even-Analyse

Analyse der Auswirkungen von Unsicherheit auf die Produktionsprogrammplanung

Aufzeigen der Entscheidungsrelevanz von Fixkosten unter verschiedensten Bedingungen

5.3

Motivation

Gründe für Annahme sicherer Erwartungen bei KLR KLR dient kurzfristig wirksamen Entscheidungen Erläuterung grundlegender Prinzipien

Gegenargument Stimmigkeit obiger Argumente erst nach Analyse unter Einbeziehung der Unsicherheit beurteilbar

Einbeziehung von Unsicherheit

Behandelte Ansätze Break Even-Analyse Modellansätze für kurzfristig wirksame

Entscheidungen und Lösungsstrukturen am Beispiel von Produktionsprogrammentscheidungen

Besondere Fragen dabei Messung von Risiko Entscheidungskontext: zB

Handelbarkeit des Eigenkapitals Entscheidungsrelevanz von

Fixkosten

5.4

Break Even-Analyse Grundlagen

Grundidee Einfluß von exogenen Parametern auf die Lösung von

Entscheidungsproblemen

Methode: Sensitivitätsanalyse Empfindlichkeit der Zielgrößen auf Änderungen der Parameter Ermittlung des “günstigen” Parameterbereichs: Entscheidung bleibt

optimal

Grundmodell der Break Even-Analyse Fokus auf Beschäftigungsunsicherheit

Ermittlung einer Break Even-Menge

Ermittlung anderer kritischer Parameterwerte möglich

5.5

BEA im Einproduktfall

Bestimmung des Periodengewinns

FF KxdKxkpG

mitd Deckungsbeitragk variable Stückkosten je Produkteinheitp Absatzpreis je Produkteinheitx ProdukteinheitenK F Fixkosten

xKd

Kp k

F F

5.6

BEA im EinproduktfallBeispiel

Beispiel Absatzpreis = 100, variable Kosten = 40, Fixkosten = 120.000

BEM = 120.000/(100-40) = 2.000

x

E, K

Erlöse E

KF

Kosten K

Verlustzone

Gewinnzone

x

5.7

BEA im Einproduktfall Andere kritische Werte

k pK G

x

F

Break Even-Stückkosten

p kK G

x

F

Break Even-Preis

x K Gd

F

Kritischer Gewinn G

5.8

Fixkosten = 120.000Absatzpreis = 100variable Kosten = 40Menge = 1.800kritischer Gewinn = 0

Break Even-Preis = 40 + 120.000/1.800 = 106,67

für Absatzpreis = 90Break Even-Stückkosten = 90 - 120.000/1.800 = 23,22

Für Absatzpreis = 80Break Even-Stückkosten = 80 - 120.000/1.800 = 13,33

BEA im Einproduktfall Fortsetzung Beispiel

5.9

BEA im Einproduktfall Auswertungen

Beeinflussung der Break Even-Menge durch

Veränderung der proportionalen Stückkosten

Veränderung des Absatzpreises

Veränderung des Mindestgewinns

Erhöhung des Fixkostenblocks durch zusätzliche Werbemaßnahmen, Einstellung von zusätzlichem Verkaufspersonal

Änderung auf Produktionsverfahren in Richtung niedrigerer variabler Stückkosten bei höheren Fixkosten

Deckung auszahlungswirksamer Teile der Fixkosten (“Cash-Point”)

E, K

Absatzmenge x

Erlöse E

FK

Kosten K

Verlustzone

Gewinnzone

x

5.10

Risikomaße Sicherheitskoeffizient SK

Fragestellung Um welchen Prozentsatz darf Umsatz/Absatz (ausgehend von Basiswert) sinken,

ohne in die Verlustzone zu geraten? Überlegungen

Je höher SK, desto sicherer positiver/bestimmter Periodenerfolg Ausgangsmenge x: volle Kapazitätsauslastung

SKp x p x

p xx x

xxx

1

BeispielKapazität x = 10.000, BE-Menge = 8.000

Sicherheitskoeffizient = 1 8.000/10.000 = 0,2

Kapazitätsauslastung kann um 20% unterschritten werden, ehe man Verluste macht

5.11

Operating Leverage OL

Fragestellung Relative Gewinnänderung im Verhältnis zur relativen Umsatzänderung Einfluß der Fixkosten ersichtlich Definition ohne Berücksichtigung eines Mindestgewinns:

OL

GGE

E

OL

x d

x d K

x px p

F

Letztlich aber nur Umformung des Sicherheitskoeffizienten

OLx d x

x x d K

x

xKd

x xx

SKF F

1 1

5.12

Beurteilung von SK und OL

Problem: Keine Berücksichtigung der Verteilungen

Darstellung am Beispiel der Gewinnvarianz

2 2 2 2 2 2 2~ ~ ~ ~ ~G x d K x d x d x p kF

WirkungenTatsächlich

Niedrigere Stückkosten führen zu höherem Deckungsbeitrag und höherer Varianz des Gewinns

Fixkosten ohne Konsequenzen für Varianz

Kennzahlen Niedrigere Stückkosten führen zu höherem Deckungsbeitrag, zu

geringerer BEM und zu höherem SK und niedrigerem OL Höhere Fixkosten führen zu größerem OL

5.13

Beispiel

Varianz der Absatzmengen: 150 Absatzpreis: 10

Verfahren 1: K k d xF1 1 1 11000 8 2

10002

500 . ; ; ; .

Verfahren 2: K k d xF2 2 2 22 000 6 4

2 0004

500 . ; ; ; .

Gleiche Werte für SK und OL

Gewinnvarianzen

Verfahren 1: 21

212 2150 2 150 4 600~ ~G x d

Verfahren 2: 22

222 2150 4 150 16 2 400~ ~ .G x d

5.14

Vergleich mit dem Variationskoeffizienten VK

ˆF

G x d xVK

x d K x xG

Hier gilt

VK

KF 0

VKd

0

Diese Beziehungen sind analog zu denjenigen bei SK und OL

5.15

Stochastische Break Even-Analyse Einproduktfall

Explizite Untersuchung der Wahrscheinlichkeitsverteilung des Gewinns

Verteilung der einzelnen Bestimmungsfaktoren Annahme risikobehafteter Absatzmengen Risiko als Wahrscheinlichkeit für Erfolgsniveau G

E G E x d KF~ ~

Pr ~G G

Break Even-Wahrscheinlichkeit Pr ~ Pr ~ G x x 0

5.16

Stochastische Break Even-AnalyseBeispiel

Absatzmengen x seien gleichverteilt im Intervall x x,

f xx x

F xx xx x

x x x

1; ;

Break Even-Wahrscheinlichkeit Pr ~ G F x 0 1

Pr ~

G

falls x x

x xx x

falls x x x

falls x x

0

0

1

5.17

Stochastische Break Even-AnalyseBeispiel ...

Absatzmengen gleichverteilt in [0, 10.000]

F(x) = 0,0001x

Deckungsbeitrag d = 50, Fixkosten = 200.000

Break Even-Menge = 4.000

F(4.000) = 0,4 und Break Even-Wahrscheinlichkeit = 0,6

0 4.000 10.000 Menge

Wah

rsch

ein

lich

keit

5.18

Stochastische Break Even-Analyse Weitere Fragestellung

Fragestellung

Wie hoch ist der maximale Erfolg, der mit einer vorgegebenen Wahrscheinlichkeit überschritten wird?

Pr ~ PrG G

1 F x x xx x

x

K Gd

x x

F

Pr

G d x x x KF Pr

5.19

Stochastische Break Even-AnalyseBeispiel

Maximierung der Break Even-WahrscheinlichkeitAnnahmen: Absatzmengen gleichverteilt in [0, 10.000]

Deckungsbeitrag d = 40

Fixkosten = 150.000

Variante: Einstellung Verkaufspersonal mit Fixkosten = 90.000

und Obergrenze Absatzmenge = 13.000

Mindestgewinn = 200.000

Ausgangssituation: erforderlicher Absatz = 8.750; Wahrscheinlichkeit 0,125

Variante: erforderlicher Absatz = 11.000;

Wahrscheinlichkeit = 1 - 11.000/13.000 = 0,1538

Einstellung daher vorteilhaft

5.20

Stochastische Break Even-Analyse Beispiel ...

Fragestellung:Ergebnismaximierung bei vorgegebener Wahrscheinlichkeit

Vorgegebene Wahrscheinlichkeit = 0,4

Ausgangssituation

G = 40[10.000 0,4(10.000 0)] - 150.000 = 90.000

Variante

G = 40[13.000 0,4(13.000 0)] 240.000 = 72.000

Einstellung zusätzlichen Verkaufspersonals unvorteilhaft

5.21

Simulationsverfahren

1. Auswahl als unsicher betrachteter Parameter (P)

2. Schätzung isolierter Wahrscheinlichkeiten für jeden P

3. Ermittlung der Ausgangsgrößen für SimulationslaufZufallszahlen für jeden P gleichverteilt in [0, 1]Transformation in konkreten ParameterwertBerücksichtigung stochastischer Abhängigkeiten durch sukzessives Vorgehen

4. Berechnung der Zielgröße

5. Häufige Wiederholung von 3. und 4. (zB 10.000mal)

6. Ermittlung der Verteilungsfunktion der Zielgröße aus relativen Häufigkeiten

5.22

Transformation von Zufallszahlen

Pr ~x x x F x F x z z1 2 2 1 2 1

x

F x

1

z1

x1

x F z11

1

z2

x2

x F z21

2

5.23

Value-at-Risk und Cash-Flow-at-Risk

Risikomaße im praktischen Risikomanagement Value-at-Risk (VaR)

Downside-Risikomaß

Probleme bei Anwendung im Nichtbankenbereich

Cash-Flow-at-Risk (CFaR)

Berücksichtigt Besonderheiten im Nichtbankenbereich

Pr PrW VaR

Pr PrCF CFaR

5.24

Break Even-Analyse Mehrproduktfall

Ausgleichseffekte zwischen verschiedenen Produktarten Produktionsprogramm soll in seiner Gesamtheit ein bestimmtes

Ergebnis bescheren Nicht mehr eine Break Even-Menge, sondern eine Vielzahl von

Mengenkombinationen

Absatzmengenkombinationen der Produktarten j = 1, ..., J:

1

ˆ ˆ ˆ0J

Fj j

j

X x x d K G

X)x,,x,x(x Jˆˆˆˆˆ 21

5.25

Break Even-Analyse Mehrproduktfall ...

Zweiproduktfall: Gerade

x d x d K G x K G

d

d

dxF

F

1 1 2 2 22

1

21

Mehrproduktfall: Konvexkombination isolierter Break Even-Mengen

x j ( , ,x , , )ji 0 0 x K G

dji

F

j

x x x x xJ j J jj

J

1 1 2 2

1

j jj

J j ;

0 1

1

5.26

J = 4 Produktarten

Deckungsbeiträge: d1 = 20; d2 = 70; d3 = 60; d4 = 150

Fixkosten = 150.000

Mindestgewinn = 60.000

Break Even-Analyse: Mehrproduktfall Beispiel

Break Even-Mengen

.

.

.

.

.

.

.

.

x

x

x

x

1

2

3

4

1 2 3 4

1

2

3

4

10 500

0

0

0

0

3 000

0

0

0

0

3 500

0

0

0

0

1400

10 500

3 000

3 500

1400

x . ; x . ; x . ; x .i i i i1 2 3 410 500 3 000 3 500 1400

Beliebiger Break Even-Vektor

5.27

Break Even-Analyse Mehrproduktfall ...

Konstanter Absatzmix Beliebiges Produkt als Leitprodukt Annahme konstanter Verhältnisse der Absatzmengen

Für erstes Produkt als Leitprodukt und j als konstante Verhältnisse der Absatzmengen der Produkte j zu Produkt 1

jj

x

x für j , ,J

11

D x d x d x d x dj j j j j jj

J

j

J

j

J

1 1

11

11

x K G

d

F

1

5.28

Break Even-Analyse: Mehrproduktfall Break Even-Umsatz

Ermittlung des Break even-Umsatzes bei konstantem Absatzmix

E x p x p x pj j j jj

J

j

J

1 1

11

E p xK G

d p

F

1

Relation “Deckungsbeitrag zu Gesamtumsatz” für jedes Produktgegeben und konstant

D

E

x d

x p

x d

x p

d

pj j j j j j j

1

1

1

E K G

D

E

F

j

j

J

1

5.29

Break Even-Analyse: Mehrproduktfall Beispiel

Mengenrelation 1 : 2 : 4 : 4

d . 1 20 2 70 4 60 4 150 1000

x .

. 1

210 0001000

210

x ; x ; x 2 3 4210 2 420 210 4 840 210 4 840

5.30

Break Even-Analyse: Mehrproduktfall Beispiel ...

Mengenrelation 1 : 2 : 4 : 4

Gegeben seien folgende Preise

p p p p1 2 3 4110 200 160 220 ; ; ;

p 1 110 2 200 4 160 4 220 2 030.

D

E

.;

D

E

.;

D

E

.;

D

E

.1 2 3 420

2 030140

2 030240

2 030600

2 030

E .

..

. .

. . 210 000

10002 030

210 000 2 0301000

426 300

5.31

Pessimistische und optimistische Variante

Pessimistische VarianteIndividuelle Deckungsbeitrags-Umsatz-Relationen Dj /Ej in

aufsteigender Reihenfolge, bis Absatzobergrenze erreicht ist Optimistische Variante

umgekehrtGewinn G

Umsatz E

KF

optimistischeVariante

Produkt 3

Produkt 2Produkt 1

Eopt

pessimistischeVariante

Produkt 1

Produkt 3

E pess

Produkt 2

5.32

Break Even-Analyse Ergebnis

BEA vermittelt Gefühl für Bedeutung der Unsicherheit

BEA als wichtige Signalfunktion

insbes für mehr Informationsbeschaffungen bzw Planungsansätze unter expliziter Einbeziehung von Wahrscheinlichkeitsverteilungen

Keine konkrete Handlungsempfehlung

Erfordernis expliziter Analyse der Konsequenzen verschiedener Problemstrukturen für die Unternehmenspolitik

5.33

Programmplanung bei Risiko

Untersuchung der Implikationen expliziter Risikoberücksichtigung in der Produktionsprogrammplanung

Bestehen Unterschiede in der Lösungsstruktur

Was ist risikobehaftet? Risikobehaftete Beschaffungs- oder Absatzpreise (Deckungsbeitrag) Risikobehaftete Fixkosten

~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~G x p k K x d K D Kj j jF

j jF

j

JF

j

J

11

Annahmen im folgendenEine Mehrproduktrestriktion, die nicht risikobehaftet ist

Gesamtes Produktionsprogramm wird im voraus festgelegt

5.34

Programmplanung bei Risiko Annahmen und Vorgehen

Wichtige EigenschaftLösungsstruktur hängt vom Entscheidungskontext und Präferenzsystem ab

Entscheidungskontext

Börsennotiert Nicht börsennotiert

Ohne Berücksichtigungder Portefeuillewahl

Mit Berücksichtigungder Portefeuillewahl

5.35

Börsennotierte Unternehmen Zielsystem

Marktwertmaximierung für börsennotierte Unternehmen als überragendes Ziel

Berechnung von MarktwertenTime State Preference-Ansatz

Arbitrage Pricing Theory (APT) (Arbitragefreiheit im Marktgleichgewicht)

5.36

Börsennotierte Unternehmen Marktannahmen

Eine Unternehmung kann durch ihre Entscheidungen keine “völlig neue” Rückflußstruktur schaffen.Die bestehenden Finanztitel am Kapitalmarkt spannen einen Vektorraum auf, der durch Investitions- und Produktionsentscheidungen eines betrachteten Unternehmens nicht verändert wird.

Spanning

Competitivity

Bewertungssystem am Kapitalmarkt wird durch Entscheidungen eines Unternehmens nicht verändert.Entspricht der Annahme eines konstanten Zinssatzes im Rahmen der Kapitalwertmaximierung bei sicheren Erwartungen

5.37

Programmplanung bei Risiko Vorgehensweise

Planungszeitraum von T Perioden Zahlungsüberschüsse Ü am Periodenende risikobehaftet durch

Zustände (t) Zustandsraum für Periode t ... (t) Für jeden Zustand positiver Bewertungsfaktor R(t))

Marktwert genau einer anfallenden Geldeinheit aus Sicht t = 0 Marktwert W zu t = 0

1

T

t t (t)

W Ü t R t

Bewertungsfaktoren R(t)) beinhalten

Zeit- und Risikopräferenzen der Kapitalmarktteilnehmer

Erwartungen der Kapitalmarktteilnehmer

Zinssatz i für sichere AnlagenMarktwert einer in t = 1 mit Sicherheit erzielten Geldeinheit

1 11

11

1R

i

5.38

Programmplanung bei Risiko Wertadditivität

Kurzfristig wirksame Entscheidungen betrachtet Marktwerte der in t = 1 anfallenden Überschüsse

Zugrundegelegte Bewertungsfunktion

Für gilt:~ ~ ~Ü Ü Ü 1 2

1 2

1 2 1 2

W Ü Ü R Ü Ü R

Ü R Ü R W Ü W Ü

“Wertadditivität”

W Ü Ü R

5.39

Beispiel

Zustand 1 2 3

Überschuß Ü() 100 200 300Bewertungsfaktor R0,3 0,25 0,25

100 0,3 200 0,25 300 0,25 155W

1 1

0,3 0,25 0,25 0,8 1 0,251 0,8

ii

5.40

Programmplanung bei Risiko Interpretation der Bewertungsfaktoren

Time State Preference-Modell Einperiodiges Portefeuille eines Investors Vermögen V Finanztitel j = 1,…,J

Investor maximiert

unter der Nebenbedingung

Für den Konsum gilt:

0max ,EU U c c

0 j jj

c x W V

j jj

c x Ü

5.41

Programmplanung bei Risiko Interpretation der Bewertungsfaktoren

Lagrange-Funktion:

Bedingungen erster Ordnung:

Definiert man nun

dann folgt

0 j jj

LG EU c x W V

0 0

0

0

,0j j

j

LG EU

c c

U c cLGÜ W j

x c

0,0

U c cR

c

j jW Ü R j

5.42

Lösungsstruktur analog zu jener bei Sicherheit Verwendung von Marktwerten der Stück-DB statt sicherer Stück-DBProdukt mit höchstem spezifischen Marktwert des Stück-DB wird produziert

Programmplanung bei Risiko Optimales Produktionsprogramm

Struktur des optimalen Produktionsprogramms Nur Zahlungsüberschüsse können angesetzt werden Stückdeckungsbeiträge sollen stets zahlungswirksam sein Nur zahlungswirksame Fixkosten können relevant sein

1

JFZ

j jj

Ü x d K

1 1

1 1

J JFZ FZ

j j j jj j

J JFZ FZ

j j j jj j

W Ü W x d K W x d W K

W d x W K w x W K

Fixkosten irrelevant

5.43

Beispiel

Produkt 1 2

DB je zu 50% 10 oder 20 14

Stunden/Stk 5 5

1 210 0 4 20 0 4 12 14 0 4 14 0 4 11 2w , , ; w , , ,

Optimales Programm280 Stück Produkt 1

Fixkosten = 0Kapazität: 1.400 Stunden R(1) = R(2) = 0,4Sicherer Zins = 25%

Marktwerte

5.44

Beispiel ...

R(1) = 0,6

R(2) = 0,2

Sicherer Zins = 25%

Marktwerte

1 210 0 6 20 0 2 10; 11,2w , , w

Optimales Programm Ausschließliche Produktion von Produkt 2

5.45

Programmplanung bei Risiko Börsennotierte Unternehmen

Diversifikationsüberlegungen im Rahmen der Marktwertmaximierung (Risikoreduzierung)

In Marktwerten implizit andere Diversifikationsaspekte enthalten, die sich in Korrelation zu bestimmten Marktfaktoren manifestieren

R

W Ü R Ü Ü

R

... zustandsspezifische

Eintrittswahrscheinlichkeiten

E , 1E E E ,

1

Ü Cov Ü iW Ü Ü Ü Cov Ü

i

Erwartetes Erfolgsniveau wird korrigiert um Risikoterm, der Korrelation zu einem Marktfaktor widerspiegelt. Marktfaktor von Bewertungsfaktoren des gesamten Kapitalmarkts abhängig

5.46

Nicht börsennotierte Unternehmen ohne Portefeuillewahl (1)

Zielgröße Subjektive Bewertung des Risikos durch einzelnen Entscheidungsträger

Bernoulli-Prinzip: ErwartungsnutzenmaximierungSubjektive Nutzenfunktion U für jeden EntscheidungsträgerErgebnisgröße : Endvermögen der Planungsperiode

Endvermögen = gegebenes Anfangsvermögen 0 + Periodengewinn

Gewählte Alternative ist jene mit dem größten Nutzenerwartungswert

0 0

FG D K

0 01

= E EJ

F Fj j

j

U U D K U x d K

5.47


SpezialfallErwartungswertmaximierung

Nutzenfunktion U linear: U(R mit R> 0 Entscheider ist risikoneutral

Gesucht Produktionsprogramm mit maximalem (Perioden-)Gewinnerwartungswert

0E E EU R R G

1 1

E E E E EJ J

F F Fj j j j

j j

G D K x d K x d K

Reihung nach dem höchsten erwarteten spezifischen DBFixkosten sind irrelevant

5.48

Beispiel

Produkt 1 2DB je zu 50% 10 oder 20 14Stunden/St 5 5erwarteter DB 15 14

Kapazität: 1.400 Stunden

Ausschließliche Produktion von Produkt 11.400/5 = 280 StückErwarteter DB: 4.200

5.49


Allgemeinerer FallRisikoscheu

Streng konkave Nutzenfunktion U

U’() > 0; U’’() < 0

Programmplanung als nichtlineares Optimierungsproblem

Bedeutung des erwarteten spezifischen DB nimmt ab

Es kommt zu Diversifikationseffekten

Maximierung des Erwartungsnutzens führt zu optimalem Produktprogramm-Portefeuille

5.50

Beispiel

Fortsetzung

Produkt 1 2

DB je zu 50% 10 oder 20 14Stunden/St 5 5

Kapazität: 1.400 StundenNutzenfunktion logarithmisch; > 0

2

10.000 10.00010.000 ln ; 0; 0U U U

5.51

Beispiel ...

Annahmen: 0 = 0 und Fixkosten = 0

1 2 1 2

1 2

5.000 ln 10 14 ln 20 14

5 5 1.400

x x x x

x x

1 2 1 2

1 2

ln 10 14 ln 20 14

5 5 1.400

LG x x x x

x x , wobei LG = LG°/5.000 und = °/5.000

Kuhn/Tucker-Bedingungen:

0 und 0 1,2jj

LGx j

x

0 und 0 1,2jj

LGx j

x

1 2 1 2

1 2

1 110.000 ln 10 14 ln 20 14

2 2

5 5 1.400

LG x x x x

x x

5.52

Beispiel ...

Frage: Sind beide Produkte im optimalen Programm?

Wird nur Produkt 1 gefertigt, darf an Stelle (280, 0)die Ableitung von LG nach x2 nicht positiv sein

1 2

2

280; 0 14 145

2.800 5.600

LG x x

x

1 2

1

280; 0 10 205 0 0,00143

2.800 5.600

LG x x

x

Setzt man diesen Wert für in die obige Ableitung ein, ergibt sich eine positive Differenz von 0,00035 Produkt 2 ist Bestandteil des optimalen Produktionsprogramms

Ähnliche Vorgehensweise zeigt, daß auch Produkt 1 im optimalen Produktionsprogramm enthalten ist

5.53

Beispiel ...

Ermittlung des optimalen Produktionsprogramms Restriktion als Gleichung nach Produkt 2 auflösen

1 1 1 1

1 1

ln 10 14 280 ln 20 14 280

ln 3.920 4 ln 3.920 6

x x x x

x x

11 1

4 60 3.920 24

3.920 4 3.920 6x

x x

Nullsetzen der 1. Ableitung

1

3.920163,3

24x 2 280 163,3 116,6x

5.54


Entscheidungsrelevanz von Fixkosten und Anfangsvermögenabhängig von Risikoscheu

Maß der Risikoscheu Absolute Risikoaversion AR()

U

ARU

2

2

11

1AR

Beispiel: Logarithmische Nutzenfunktion

Absolute Risikoaversion nimmt - gegeben ein Anfangsvermögen - ab Höhere Fixkosten induzieren niedrigeres Endvermögensniveau Wahrscheinlichkeitsverteilung für Produktionsprogramm wird in einen

Bereich der Nutzenfunktion mit stärkerer Risikoscheu verschoben

5.55

Beispiel ...

Positives Anfangsvermögen 0 positive, sichere Fixkosten KF

Zielfunktion

0 1 0 1ln 3.920 4 ln 3.920 6F Fx K x K

0 13.920 24FK x

0 0

1 2

3.920 3.920; 280

24 24

F FK Kx x

Fixkosten über 3.920 + 0: nur Produkt 2Anfangsvermögen über 2.800 + KF: nur Produkt 1

5.56


SpezialfallKonstante absolute Risikoaversion

(sichere) Fixkosten und sicheres Anfangsvermögen wieder bedeutungslos

Beispiel: exponentielle Nutzenfunktion

1

; 0U e

U e

ARU e

1 1D DU D e e e U U D

E EU D U U D

Wegen U() < 0 ist -U() positivMit = 0 KF wird Irrelevanz von KF und Anfangsvermögen deutlich

5.57


Stochastische Fixkosten Potentielle Relevanz der Fixkosten wird verstärkt

Zusätzliche Diversifikationsaspekte hinsichtlich risikobehafteter Fixkosten

Auch bei konstanter absoluter Risikoaversion grundsätzliche Relevanz der Fixkosten

0FK

20

0

0

E E

E E ,

F

F

F F

U U U K U D

U U K U D

U U K U D Cov U K U D

Exponentielle Nutzenfunktion mit

5.58


Keine Fixkostenrelevanz nur dann, wenn Fixkosten mit DB völlig unkorreliert sind

Stochastische Fixkosten alleine induzieren keine Fixkostenrelevanz

Deckungsbeiträge dann sicher

FG D K

Zustandsabhängiges Endvermögen für jeden Zustand maximal bei Programm mit maximalem Deckungsbeitrag

Dominanzprinzip Man kann sich auf die bekannten Sicherheitsansätze beschränken, falls die Fixkosten die alleinige risikobehaftete Größe sind

5.59


Zusammenfassung

Relevanz von Fixkosten Fixkosten sind

irrelevant, falls Nutzenfunktion mit konstanter absoluter Risikoaversion und Fixkosten sicher

irrelevant, falls Fixkosten die alleinige stochastische Größe regelmäßig auch als sichere Größe relevant, falls Nutzenfunktion

ohne konstante absolute Risikoaversion grundsätzlich relevant, falls neben Deckungsbeiträgen auch

Fixkosten risikobehaftet und keine lineare Nutzenfunktion (Risikoneutralität)

Relevanz des Anfangsvermögens obige Ergebnisse gelten analog Anfangsvermögen am Periodenbeginn aber sicher --

insofern muß diesbezüglich keine Unsicherheit beachtet werden

5.60


Implikationen Begründung der Verwendung von Vollkostenrechnungen

Streng genommen nur Vollkostenrechnungen als Periodenrechnungen Fixkosten relevant wegen Einflusses auf Bewertung der

Gewinnverteilungen Fixkosten nach wie vor unabhängig von den Entscheidungsvariablen

Faktisch nichtlineares Entscheidungsproblem Risikobehaftetes Endvermögen ist das Argument einer Nutzenfunktion,

deren Erwartungswert zu maximieren ist

Problem: Bestimmung der Nutzenfunktion Kurzfristig wirksames Entscheidungsproblem, das in einen längerfristigen

Zusammenhang eingebettet ist Was ist der Nutzen des Endvermögens der betrachteten Periode?

Probleme mit Ausschüttungen, Effekte von Folgeentscheidungen, Bewertungsinterdependenzen

5.61

Nicht börsennotierte Unternehmen mit Portefeuillewahl (1)

Bisherige AnnahmenÜberschüsse des Programms als Grundlage für die

Einkommenserzielung

Gestaltung des Produktionsprogramms muß bei unsicheren Erwartungen auch Risikoaspekte berücksichtigen

Höhe und Risiko des Einkommens bzw Endvermögens unauflöslich mit der Programmplanung verknüpft

Aber: Portefeuille aus vielfältigen Finanztiteln zusammenstellbar

Produktionsprogramm kann von Aufgaben “entlastet” werden

Unternehmung maximiert virtuellen Marktwert

5.62


Virtuelle MarktwertmaximierungNotwendige Bedingungen: Spanning und Competitivity

ArgumentAngenommen, das Unternehmen realisiert optimales

Produktionsprogramm nach Erwartungsnutzenmaximierung

Dann gibt es Verbesserungsmöglichkeit wie folgt

Realisation des marktwertmaximalen Programms PM Es gibt ein Portefeuille, welches die Überschüsse von PM dupliziert zu Gesamtpreis des Wertes von PM (Spanning) Leerverkauf dieses Portefeuilles zum Wert von PM bei Verlust der Überschüsse aus PM Leerverkaufserlös des Wertes von PM wird für Kauf eines Portefeuilles verwendet, das Überschüsse des ursprünglichen Programms PE dupliziert; Mittelbedarf in Höhe des Wertes von PE Am Periodenende gleiche finanzielle Position wie vorher Am Periodenbeginn positiver Betrag in Höhe der Wertdifferenz > 0

5.63

Beispiel

Fortsetzung

Logarithmische Nutzenfunktion 10.000 ln()Fixkosten = 0 0 = 0

Produkt 1 2DB je zu 50% 10 oder 20 14Stunden/St 5 5

Kapazität: 1.400 Stunden

Erwartungsnutzenmaximales Programm:

1 2163,3; 116,6x x

5.64

Beispiel ...

Überschüsse am Periodenende

1 163,3 10 116,6 14 3.266,6Ü

2 163,3 20 116,6 14 4.900Ü

Bewertungsfaktoren am Kapitalmarkt

1 2 0,4 0,25R R i

Marktwertmaximales Programm: nur Produkt 1 mit xm1 280

1 280 10 2.800mÜ 2 280 20 5.600mÜ

3.266,6 ; 3.360e mW W

5.65

Beispiel ...

Am Kapitalmarkt zwei Finanztitel n = 1, 2 mit Überschüssen ün()

1 1 1 2 2 1 2 21; 2, 6ü ü ü ü

1 20,8; 3,2W W

Duplizierung der Überschüsse von PM mittels Stückzahlen

1 21.400; 700m m

Erwerb von 700 Stück des risikobehafteten Titels 2Geldanlage 1.400 0,8 = 1.120 zum Zinssatz von 25%

Leerverkauf: Verschuldung in Höhe von 1.120 und Leerverkauf des unsicheren Papiers im Umfang von 700 Stück

Leerverkaufserlös 1.120 700 3,2 3.360 mW

5.66

Beispiel ...

Duplizierung der Überschüsse von PE mittels Stückzahlen

Erwerb von 408,33 Stück Titel 2Geldanlage 2.450 × 0,8 = 1.960 Mittelbedarf 1.960 408,3 3,2 3.266,6 eW

Realisation PM + Leerverkauf Portefeuille 1 + Erwerb Portefeuille 2:Periodenende

1 12.800 2.800 3.266,6 3.266,6Ü Ü

2 25.600 5.600 4.900 4.900Ü Ü

Periodenbeginn zusätzliche Mittel 3.360 3.266,6 93,3m eW W

Sichere Investition bringt 93,3 1,25 116,6

1 22.450; 408,3e e

5.67


Zusammenfassung

Maximierung des virtuellen Marktwerts möglich

Fixkosten und Anfangsvermögen sind irrelevant

Anwendung eines Separationstheorems Politik auf der Ebene der Unternehmung gemäß einer a priori

bekannten Zielsetzung bestimmt unabhängig von individuellen Konsumpräferenzen

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