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中学２年 第７章 相似な図形

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中学２年 第７章 相似な図形

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レッスン

チェックテスト

まとめの学習

入試問題にチャレンジ

中学２年 第７章 相似な図形

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中学２年 第７章 相似な図形 MAP

１．相似な図形

２．三角形の相似条件

３．平行線と線分の比

４．中点連結定理と重心

中学２年 第７章 相似な図形

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例題

例題１ 次の各組の図形で、必ず相似になるものはどれですか。記号で答えなさい。

ア ２つの長方形 イ ２つの正方形 ウ ２つの二等辺三角形 エ ２つの正三角形

例題２ 下の図で、四角形 ABCD∽四角形 EFGHであるとき、次の問いに答えなさい。

（ア） ∠ D， ∠ Fの大きさを求めなさい。

（イ）四角形 ABCDと四角形 EFGHの相似比を求めなさい。

（ウ）辺 CD，EHの長さを求めなさい。

例題３ ∠ Aが直角である△ABCの頂点Aから斜辺BC

に垂線ADをひくと、△ABCと△DBAは相似になります。

このことを証明しなさい。

例題４ 次の図で、BC//DEのとき、 xの長さを求めなさい。

（ア） （イ）

中学２年 第７章 相似な図形

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例題５ 下の図で、a //b // cのときの、 xの長さを求めなさい。

例題６ 下の図で、BC//DEのとき、ECの長さを求めなさい。

例題７ 下の図で、AD//EF//BCのとき、 x， yの長さをそれぞれ求めなさい。

例題８ 下の図で、AD：DB＝AE：EC＝４：３のとき、DE//BCとなることを証明しなさい。

中学２年 第７章 相似な図形

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例題９ 下の図で、点 D，Eは AB，ACの中点です。BC＝12cmのとき、DEの長さを求めなさい。

例題 10 下の図は、AP=PB=BR，AQ=CQです。このとき、BS：CSを求めなさい。

例題 11 下の図のように、ひし形 ABCDの 1つの頂点 Cと辺 ABの中点Mを結び、対角線 BDと

の交点を Pとします。このとき、BP：PDを求めなさい。

中学２年 第７章 相似な図形

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練習問題

練習１ 下の図において、△ABC と相似な三角形を、記号を使って表しなさい。また、そのとき

に使った相似条件を書きなさい。

（ア） （イ）

練習２ 下の図において、△ABC と相似な三角形を、記号を使って表しなさい。また、そのとき

に使った相似条件を書きなさい。

（ア） （イ）

練習３ 下の図において、△ABC と相似な三角形を、記号を使って表しなさい。また、そのとき

に使った相似条件を書きなさい。

（ア） （イ）

中学２年 第７章 相似な図形

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練習４ △ABC において、点 B，C から辺 AC，AB にそれぞれ垂

線 BD，CEを引くとき、△ABD∽△ACEであることを次のように証

明しました。 の中に適当な語句や記号を書きなさい。

〔証明〕△ABDと△ACEにおいて、

∠ ア は共通‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥①

仮定より、 ∠ ADB＝ ∠ イ ＝90° ‥‥‥‥‥‥②

①，②より ウ がそれぞれ等しいから、△ABD∽△ACE

練習５ 右の△DEFは、△ABCを形を変えずに一定の割合

で拡大したものです。次の問いに答えなさい。

（ア）相似の中心はどこですか。

（イ）辺 BCに対応する辺はどれですか。

練習６ 右の図で、△ABCと△DEFは点 Oを相似の中心と

して、相似の位置にあります。次の問いに答えなさい。

（ア）頂点 Aに対応する頂点はどれですか。

（イ）辺 EFに対応する辺はどれですか。

練習７ 右の図は、相似の位置にある２つの三角形を表して

います。次の問いに答えなさい。

（ア）相似の中心はどこですか。

（イ）辺 ABに対応する辺はどこですか。

中学２年 第７章 相似な図形

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練習８ 右の図は、相似な位置にある２つの三角形を表し

ています。次の問いに答えなさい。

（ア）相似の中心はどこですか。

（イ）２つの三角形が相似であることを、記号を使って表

しなさい。

練習９ 下の図で、△ABC∽△DEFであるとき、次の問いに答えなさい。

（ア）△ABCと△DEFの相似比を求めなさい。

（イ）辺 DEの長さを求めなさい。

練習 10 下の図で、△ABC∽△DEFであるとき、次の問いに答えなさい。

（ア）辺 ACの長さを求めなさい。

（イ）辺 EFの長さを求めなさい。

中学２年 第７章 相似な図形

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練習 11 下の図で、△ABC∽△DEFであるとき、次の問いに答えなさい。

（ア）辺 DEの長さを求めなさい。

（イ） ∠ Cの大きさを求めなさい。

練習 12 下の図で AB//CDのとき、 xの長さを求めなさい。

（ア） （イ）

練習 13 下の図で BC//DEのとき、 xの長さを求めなさい。

（ア） （イ）

中学２年 第７章 相似な図形

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練習 14 下の図で、AB//CDのとき、 xの長さを求めなさい。

（ア） （イ）

練習 15 下の図で、BC//DEのとき、 xの長さを求めなさい。

（ア） （イ）

練習 16 下の図で、a //b // cのとき、 xの長さを求めなさい。

（ア） （イ）

中学２年 第７章 相似な図形

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練習 17 下の図で、a //b // cのとき、 xの長さを求めなさい。

（ア） （イ）

練習 18 下の図で、 xの長さを求めなさい。

（ア） （イ）

練習 19 下の図で AD//EF//BCのとき、 xの長さを求めなさい。

（ア） （イ）

中学２年 第７章 相似な図形

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練習 20 下の図で AD//EF//BCのとき、 xの長さを求めなさい。

（ア） （イ）

練習 21 右の図は、AB=CDである四角形 ABCDの辺 ADの

中点をM、辺 BCの中点を Nとしたものです。対角線 ACの

中点を Pとするとき、△PMNが二等辺三角形であることを次

のように証明しました。 の中に適当な記号を書きな

さい。

〔証明〕△ACDで、M、Pはそれぞれ中点なので

MP ＝ 21 ア ‥‥‥‥①

また、△CABで、N、Pはそれぞれ中点なので、

NP ＝ 21 イ ‥‥‥‥②

仮定より、AB＝CD‥‥‥‥‥③

①，②，③より、MP＝ ウ

よって、△PMNは二等辺三角形である。

練習 22 右の図の△ABCで、辺 BC の中点を D、辺

ACを三等分する点を F，Eとし、ADと BFの交点を

G とします。BF＝28cm のとき、次の問いに答えなさ

い。

（ア）DEの長さを求めなさい。

（イ）BGの長さを求めなさい。

中学２年 第７章 相似な図形

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練習 23 右の図の△ABCで、辺 ABを三等分する点を

D，E、辺 BC，辺 CAの中点をそれぞれ F，Gとし、EC

と FGの交点を Hとします。次の問いに答えなさい。

（ア）DG＝８cmのとき、ECの長さを求めなさい。

（イ）GF＝６cmの時、HFの長さを求めなさい。

練習 24 右の図は、△ABCの辺 AB，ACの中点をそれぞれ

M，Nとし、ABの延長上にMB：BD＝２：１となる点 Dをとり、

NDと BCの交点を Eとしたものです。BC＝12cmであるとき、

次の問いに答えなさい。

（ア）MNの長さを求めなさい。

（イ）BEの長さを求めなさい。

練習 25 右の図は、△ABCの辺 AB，ACの中点をそれぞ

れM，Nとし、ACの延長上に NC：CD＝２：３となる点 D

をとり、MDと BCの交点を Eとしたものです。BC＝30cm

であるとき、次の問いに答えなさい。

（ア）MNの長さを求めなさい。

（イ）ECの長さを求めなさい。

練習 26 右の図で、Gは△ABCの重心です。BD＝２cm，AD＝６cm

のとき、次の問いに答えなさい。

（ア）CDの長さを求めなさい。

（イ）AGの長さを求めなさい。

中学２年 第７章 相似な図形

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練習 27 右の図で、G を△ABC の重心とします。AG の延長と辺

BC との交点を D，G を通り辺 BC と平行な直線と辺 AB，AC との

交点をそれぞれ E，Fとします。AB＝18cm，BC＝24cmのとき、次

の問いに答えなさい。

（ア）AEの長さを求めなさい。

（イ）EGの長さを求めなさい。

練習 28 右の図で、△ABCの中線 AP，CQの交点を Gとし、

Qから辺 BCに平行な直線をひき、APとの交点を Rとします。

AP＝36cmのとき、次の線分の長さを求めなさい。

（ア）AR

（イ）RG

中学２年 第７章 相似な図形

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入試問題－標準問題

問１ 次の問いに答えなさい。

（ア）下の図で、AB＝３cm、EF＝５cm、AB//CD//EFであるとき、線分 CDの長さを求めなさい。

（桐光）

（イ）右の図のように、平行四辺形 ABCD において、辺 BC を５：

２の比に分ける点を P、辺 CDを２：１の比に分ける点を Q、AP

と BQの交点を Rとするとき、BR：RQを最も簡単な整数の比で

表しなさい。（桐蔭）

問２ 次の問いに答えなさい。

（ア）右の図において、 ∠ ABC＝ ∠ AED であるとき、EC の長さを求め

なさい。

（イ）右の図で、四角形 ABCDは AD//BCの台形です。また、P，

Q はそれぞれ辺 AB，DC 上の点で、PQ//AD です。AD＝８

cm，BC＝18cm，ABAP＝

52のとき、PQの長さを求めなさい。

問３ 右の図において、四角形 ABCDは正方形であり、Eは ADの中点、Fは

ACと BEとの交点です。このとき、次の問いに答えなさい。

（ア）EFの長さと FBの長さとの比を最も簡単な整数の比で表しなさい。

（イ）四角形 EFCDの面積は、正方形の面積の何倍になるか求めなさい。

（大阪府・一部）

中学２年 第７章 相似な図形

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問４ 右の図のように平行四辺形 ABCDがあります。辺 AD上に、点 E

を AE：ED＝１：３となるようにとり、CEの延長と辺 BAの延長

との交点を Fとし、CEと BDとの交点を Gとします。このとき、

次の問いに答えなさい。

（ア）△ABEの面積は△ADFの面積の何倍になるか求めなさい。

（イ）FE：EGを最も簡単な整数の比で表しなさい。（京都府）

問５ 右の図の四角形 ABCDにおいて、AD//BC//EFのとき、次の

問いに答えなさい。

（ア） xの値を求めなさい。 （イ） yの値を求めなさい。（同志社香里）

問６ 右の図のように、三角形 ABC の辺 BC，AC のそれぞれの中点

を D，Eとし、AD，BEの交点を Gとします。このとき、次の問

いに答えなさい。

（ア）AG：GD＝２：１であることを証明しなさい。

（イ）三角形 ABC の面積が 48cm2であるとき、四角形 EGDCの

面積を求めなさい。（石川県）

問７ 右の図のような△ABCの辺 BC上に BP：PC＝１：２となる点

Pをとり点 Aと結び、辺 ACの中点を Mとし、中点 Mから BC

に平行な直線を引き、線分 APとの交点を Qとします。また線分

APと線分BMとの交点をRとするとき、次の問いに答えなさい。

（ア）AQ：QRの比を求めなさい。

（イ）四角形 RPCM の面積は、△BPR の面積の何倍となるかを

求めなさい。（芝浦工大）

中学２年 第７章 相似な図形

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問８ 右の図の台形 ABCDは AD//BCで高さは５cm、AD＝３cm、BC

＝６cmです。辺 ABを１：２に分ける点を Eとするとき、△CDE

の面積を求めなさい。（国府台女子）

問９ 右の図のように、直線①，②は、点 A（２，12）で交わっています。また直線①は、 y軸と点 D（０，８）で、 x軸と点 B でそれぞれ交わ

っています。そして、直線②は x軸と点 C（６，０）で交わっていると

き、次の問いに答えなさい。

（ア）直線①の式を求めなさい。

（イ）△ABCの重心を Gとするとき、Gから x軸に垂線 GHをひくと

き GH の長さを求めなさい。ただし、座標軸の単位の長さは１cm

とします。（山梨県）

問 10 右の図のように、△ABCにおいて Dは ACの中点、BE：EC＝

２：３、DF//AE、AEと BDの交点を Gとします。このとき、次

の問いに答えなさい。

（ア）EF：FC，BG：GD，AG：GEの比を最も簡単な整数の比で

それぞれ表しなさい。

（イ）△BEG の面積を２とするとき、△ABG，四角形 EFDG の

面積を求めなさい。（高知学芸）

問 11 右の図において、AB＝12cm，BD＝３cm，DC＝５cmとし、

辺 AB上を動く点 Pが Aから出発して毎秒 0.25cmの速さで

Bに向かっているものとします。このとき、次の問いに答え

なさい。

（ア）△ABC と△PBD が初めて相似となるのは出発してか

ら何秒後か求めなさい。

（イ）△ABC と△DBP が２回目に相似となるのは１回目の

ときよりもさらに何秒後か求めなさい。（成徳短大附）

中学２年 第７章 相似な図形

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問 12 右の図のように△ABCの辺 BC，ACの中点をそれぞれD，Eとします。

また、AD上に、２AF＝FDとなるように点 Fをとり、ADと BE，BEと

CFの交点をそれぞれ G，Hとします。このとき、次の問いに答えなさい。

（ア）BE：BHを最も簡単な整数の比で表しなさい。

（イ）△BCHと△FGHの面積比を最も簡単な整数の比で表しなさい。

（城北埼玉）

問 13 右の図において、BC//HI，BD＝２cm，DC＝４cm，CE

＝５cm，EA＝３cmのとき、次の問いに答えなさい。

（ア）AIの長さを求めなさい。

（イ）AHの長さを求めなさい。（佼成学園女子）

問 14 右の図のように、AB＝８cm，BC＝18cm，CD＝４cm，∠ B＝ ∠ C

＝90°の四角形 ABCDがあります。点 Pは点 Bを出発して辺 BC

上を頂点 Cまで毎秒２cmの速さで動きます。点 Pと頂点 A，点 P

と頂点 B を直線で結ぶとき、AP＋PD がもっとも短くなるのは、

点 Pが頂点 Bを出発して何秒後か求めなさい。（山梨県）

問 15 右の図の四角形 ABCDは長方形です。点 Eは辺 AD上にあり、

点 Fは ACと BEの交点です。AD＝８cm，AB＝４cm，AE＝２cm

のとき、次の問いに答えなさい。

（ア）△ABC∽△EABであることを証明しなさい。

（イ）Eと C，Fと Dを結ぶ線分の交点を Gとします。△EFGと

△DGCの面積の比を、最も簡単な整数の比で表しなさい。

（青森県）

中学２年 第７章 相似な図形

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入試問題－発展問題

問１ 次の問いに答えなさい。

（ア）平行四辺形 ABCDの辺 BCの中点を E、対角線 ACと BDの交

点を F、線分 AEと BDの交点を Gとします。このとき、△AFG

と平行四辺形 ABCD の面積の比を、最も簡単な整数比で表しな

さい。（市川・一部）

（イ）平行四辺形 ABCDで、BE：EC＝２：１となる点を Eとし

ます。△DEFの面積と四角形 ABCD の面積の比を、最も簡

単な整数比で表しなさい。（中大杉並）

問２ 右の図の長方形 ABCDで、AB：BC＝２：３、点 Fは辺 CDの中点

とし、BE＝DF＝２cmとします。このとき、次の問いに答えなさい。

（ア）△HFDの面積を求めなさい。

（イ）BG：GH：HDを最も簡単な整数の比で表しなさい。

（ウ）△AGHの面積を求めなさい。（東京工業）

問３ 次の問いに答えなさい。

（ア）右の図において、AD，BE はそれぞれ ∠ A， ∠ B の二等分線で

Fはその交点です。△AFEの面積は、△ABCの面積の何倍になる

か求めなさい。（駿台甲府）

（イ）右の図のような△ABC において ∠ A の二等分線と

辺 BCとの交点を D、 ∠ Aの外角の二等分線と辺 BC

の延長線との交点を Eとします。AB＝８cm，BC＝７

cm，CA＝６cmとするとき、DEの長さを求めなさい。

（巣鴨）

中学２年 第７章 相似な図形

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問４ 右の図の△ABCにおいて、辺 ABを２：１の比に分ける点をM，辺 AC

の中点を N とします。また線分 MN を１：２の比に分ける点を P とする

とき、次の問いに答えなさい。

（ア）△PMBと△PNAの面積の比を最も簡単な整数の比で表しなさい。

（イ）△PBCの面積は△ABCの面積の何倍となるか求めなさい。（東海）

問５ AB＝８，BC＝７，CA＝６である△ABCにおいて、線分 BCを Cの方へ延長して、その上に点 P

をとり、 ∠ PAC＝ ∠ PBAとなるようにするとき、次の問いに答えなさい。

（ア）PC＝ xとして、APを定数項が0でない xの一次式を用いて表しなさい。

（イ）PCの長さを求めなさい。（慶應）

問６ 右の図のような辺BCの長さが６，面積が12の鋭角三角形において、

辺 BCに平行な直線が２辺 AB、ACと交わる点をそれぞれ P，Qとし

ます。このとき、次の問いに答えなさい。

（ア）PQを一辺とする正方形 PQRSの辺 SRが BC上にくるとき、PQ

の長さを求めなさい。

（イ）PQと BCの距離を、PQの長さを xとして、 xの式で表しなさい。（共立女子・改）

中学２年 第７章 相似な図形

問７ 右の図は、長方形 ABCDの紙片を、頂点 Dが辺 BC上の点 Eに重

なるように、線分 AFを折り目として折ったときの図です。このとき、

次の各問いに答えなさい。

（ア）△ABE∽△ECFであることを次のように証明しました。

（１） ～ （３） に当てはまる記号や語を入れて証明を

完成しなさい。

（イFDPD

問８ ３

のよ

しま

（ア

（イ

（ウ

証明

△ABEと△ECFにおいて、

四角形 ABCDは長方形だから

∠ （１） ＝ ∠ ECF‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥①

∠ AECは△ABEの頂点 Eにおける （２）

だから

∠ AEC＝ ∠ （１） ＋ ∠ BAE‥‥‥‥‥‥‥‥‥②

また ∠ AEC＝ ∠ AEF＋ ∠ （３） ‥‥‥‥‥‥‥③ ここで ∠ （１） ＝ ∠ AEFだから

②，③より ∠ BAE＝ ∠ （３） ‥‥‥‥‥‥‥‥‥④ ①，④より２組の角がそれぞれ等しいから

△ABE∽△ECF

22

）もとの長方形 ABCDの対角線 BDと線分 AEとの交点を Pとするとき、FCPB

= であるこ

とを証明しなさい。（熊本県）

辺の長さが３cm，４cm，５cm の直角三角形 ABC を右の図

うに BC の中点 O を中心として時計と同じ向きに 90°回転

した。このとき、次の問いに答えなさい。

）△B’ORの面積を求めなさい。

）△B’PQの面積を求めなさい。

）四角形 OPQRの面積を求めなさい。（日大豊山女子）

中学２年 第７章 相似な図形

23

問９ AD//BC，AD：BC＝１：２の台形 ABCDがあります。２点 E，

Fはそれぞれ２辺 AB，DC上にあって、線分 BF，CEがどちら

もこの台形 ABCD の面積を二等分しています。このとき、次

の問いに答えなさい。

（ア）AE：EBを求めなさい。

（イ）AD：EFを求めなさい。

（ウ）線分 BFと CEの交点を Gとするとき、△EFGの面積は

台形 ABCDの面積の何倍になるか求めなさい。（桐朋）

問 10 右の図のように、△ABCの辺 BCを２：３に分ける点を D、辺

ACを６：５に分ける点を Eとし、ADと BEの交点を Fとします。

さらに辺 ABの延長上に点 Hをとり、線分 HCと ADの延長との

交点を Iとするとき、次の問いに答えなさい。

（ア）△AEFの面積は△BDFの面積の何倍になるか求めなさい。

（イ）Iが HCの中点であるとき、線分 BHは ABの何倍になるか

求めなさい。

（ウ）I が HC の中点であるとき、△AHC の重心を G とすると、

AG:GDを最も簡単な整数の比で表しなさい。（修道）

問 11 右の図のように、AB＝６cm，BC＝８cmの平行四辺形 ABCDが

あります。 ∠ C の二等分線と辺 BA の延長との交点を E とし、辺

CD上に点 Fを CF：FD＝２：１となるようにとります。また対角線

BDと EC，EFとの交点をそれぞれ P，Qとするとき、次の問いに答

えなさい。

（ア）AEの長さを求めなさい。

（イ）BD＝７cmのとき PQの長さを求めなさい。

（ウ）△DQFと平行四辺形 ABCDの面積比を求めなさい。（桜美林）

中学２年 第７章 相似な図形

24

問 12 右の図のように、平行四辺形ABCDの辺 BCの延長上に２BC

＝CEとなる点 Eをとり、Aと Eを結びます。辺 CDと線分 AE

との交点を Fとするとき、次の問いに答えなさい。

（ア）四角形 ABCFの面積は、△AFDの面積の何倍になるか求

めなさい。

（イ）頂点 Bを通り四角形 ABCFの面積を二等分する直線をl

とします。lと AEの交点を Pとするとき、AP：PFを求め

なさい。

（ウ）（イ）の lと、ADの延長線との交点を Qとするとき、AQ：QDを求めなさい。（洛南）

問 13 右の図のような四角形 ABCD があって、AD と BC は平行でないもの

とします。対角線 ACと BD の交点を P、Pから ADに平行線を引き AB

との交点を Q、Qから BCに平行線を引き ACとの交点を R、Rから AD

に平行線を引き CDとの交点を Sとし、Sと Pを結びます。このとき、次

の問いに答えなさい。

（ア）四角形 PQRSは平行四辺形であることを証明しなさい。

（イ）△PDA，△PAB，△PQRの面積がそれぞれ 10，15，６であるとき、

△PBC，△PCDの面積を求めなさい。（甲陽）

問 14 三角形の３つの中線を３辺とする三角形は、もとの三角形の面積の何倍になるか求めなさい。

（甲陽）

問 15 床に垂直な柱の A点に床に平行な長さ 84cmの横木が取りつけてあ

ります。また横木の上方には柱に沿って上下に動かすことのできる電

灯があり、床に横木の影ができるとき、次の問いに答えなさい。

（ア）はじめ柱の B点にあった電灯を、床からの高さが B点の高さの

２倍である C 点まで動かしたら、横木の影の長さは、はじめの影

の43倍になりました。このとき、AB：ACを求めなさい。

（イ）電灯を C点から 80cm下の D点に動かしたら、影は 15cmのびま

した。A点の床からの高さを求めなさい。（武蔵）