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中学３年 第６章 円の性質
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レッスン
チェックテスト
まとめの学習
入試問題にチャレンジ
2
中学３年 第６章 円の性質 MAP
１．円の基本的性質
２．円周角
３．円に内接する四角形
４．四角形の内接条件 ５．接 線
６．応 用
3
例題
40° 80°
A
C
D
O ・
例題１ 右の図について、次の問いに答えなさい。
（ア）AB＝４cm のとき、BC の長さは何 cm ですか。
（イ）AB＝４cm、CD＝10cm のとき、∠ COD を求めなさい。
例題２ 右の図で AB＝CD とすると、AB＝CD となること
を証明しなさい。
B
A
CB
D
O ・
A BH
O ・
A
B C
例題３ 右の図で、円 O の中心から弦 AB におろした垂線
OH は弦 AB の中点を通ります。これを証明しなさい。
例題４ △ABC の３つの頂点 A，B，C を通る円を作図しな
さい。
4
例題５ 次の図で、 x∠ の大きさを求めなさい。
（ア） （イ） （ウ）
・O
140°
x
・O
120°
x
・O
x
（エ） （オ） （カ）
45°
x
20°
・O 50°x
10°
70°
x
100°
例題６ 右の図で、AD//BC であるとき、AB＝CD であること
を証明しなさい。
A D
B C
例題７ 次の図で、４点 A，B，C，D が同一円周上にあるのはどれですか。
（a） （b） （c） A
45°
45° A D
B C
50°
80° D
B
C
20°
40° 60°
A
D
B C
30°
50°
A
D
B C
E
例題８ 右の図で、∠A＝ BCE となることを証明しなさい。 ∠
5
例題９ 次の図で、∠ x を求めなさい。
（ア） （イ）
55°
x
60°
x
（ウ） （エ）
50°
x60°
30°
x
80°
例題 10 次の図の四角形 ABCD が円に内接するものはどれですか。
（ア） （イ） （ウ）
80°
100°
A
B C
D
100°A
B C
D
E
100°
A
B C
D
E
30°
50°
例題 11 右の図で、AB//DC です。四角形 FECD は
円に内接することを証明しなさい。 A
B C
D
E
F
G
6
例題 12 次の図で、 x を求めなさい。
（ア） （イ）
・O
16cm
14cm
A
B C
D x cmH
E
F
7cmG
9cm
2cm
x 6cm
cm
例題 13 半径 cm、 cm の２つの円があり、それらの中心間の距離を cm とします。次の場合a b dに、この２円の共通接線の本数を求めなさい。
（ア） ＝６ ＝４ ＝12 a b d （イ） ＝７ ＝５ ＝12 a b d （ウ） ＝６ ＝５ ＝９ a b d
例題 14 次の図で、∠ x の大きさを求めなさい。ただし、TT’は接点を表しています。
（ア） （イ） B
70° x
30°
A
T
A
110°
x
B
T
（ウ） （エ）
40°
x A
T
T’
B
70°
xA
B
T 30°
C
A
B P
D
C
例題 15 右の図で、四角形 ABCD は円に内接しています。
次の問いに答えなさい。
（ア）△APB∽△CPD を証明しなさい。
（イ） AD＝５cm，BC＝９cm、CP＝３cm のとき、DP の
長さを答えなさい。
7
例題 16 右の図で、CE は接線で BC＝CD のとき、△ABC∽△CDE であることを証明しなさい。
A
B
E
D
C
例題 17 右の図で、△ABC は、AB＝AC の二等辺三角形です。BD＝CE のとき、△ADE は二等辺
三角形であることを証明しなさい。 A
B E
D
C
8
練習問題
練習１ 右の図について、次の問いに答えなさい。 D
A
C
B
・ O
40°
100°
（ア）AB＝10cm のとき、BC の長さを求めなさい。
（イ）AB＝10cm，CD＝15cmのとき、∠ CODの大きさを求めなさい。
練習２ 右の図について、次の問いに答えなさい。
（ア）∠AOC の大きさを求めなさい。
（イ）∠OCB の大きさを求めなさい。
練習３ 右の図で、AD＝２AB のとき、次の問いに答えなさい。
（ア）∠AOD の大きさを求めなさい。
（イ）AB＝８cm のとき、CD の長さを求めなさい。
A
B C
・ O 20°
40°
・
B A
D
C
O
30°
練習４ 次の図において、∠ x の大きさを求めなさい。
（ア） （イ）
・ O
x
・ O
x
85°
9
練習５ 次の図において、∠ x の大きさを求めなさい。
（ア） （イ）
x
30°
30°
x
80°
練習６ 次の図において、∠ x の大きさを求めなさい。
（ア） （イ）
・ O
x50°
・ O
x
120°
練習７ 次の図において、∠ x の大きさを求めなさい。
（ア） （イ）
・ O x
20°
・ O
x
65°
練習８ 次の図において、∠ x の大きさを求めなさい。
（ア） （イ）
x55°
x
85° 80°
10
練習９ 次の図において、∠ x の大きさを求めなさい。
（ア） （イ）
x 80°
100°
x60°
95°
練習 10 次の図において、∠ x の大きさを求めなさい。
（ア） （イ）
x
35° 40° ・
O
・ x
50°
75°
O
練習 11 次の図において、∠ x の大きさを求めなさい。
（ア） （イ）
x
30°
x65°
・
練習 12 次の図において、∠ x の大きさを求めなさい。
（ア） （イ）
x
60° 110°
x
30°
70°
11
練習 13 次の図において、∠ x の大きさを求めなさい。
（ア） （イ）
x
75°
x
50°
練習 14 次の図において、∠ x の大きさを求めなさい。
（ア） （イ）
・ x
50°
O
・
x55°
O
練習 15 次の図において、∠ x の大きさを求めなさい。
（ア） （イ）
x50°
x
70°
40°
練習 16 次の図において、∠ x の大きさを求めなさい。
（ア） （イ）
x
20° 30°
x
65°
・O
12
練習 17 次の図において、∠ x の大きさを求めなさい。
（ア） （イ）
x
50°
35°
x
65°
30°
練習 18 次の図において、∠ x の大きさを求めなさい。
（ア） （イ）
x・O
・
x20°
O
練習 19 次の図において、∠ x の大きさを求めなさい。
（ア）AB＝BC （イ）AC＝CD
・ x
70° O
A
B
C
D
練習 20 次の図において、∠ x の大きさを求めなさい。
（ア） （イ）
x
・O 40°A B
C D
x 100° 30°
x
50°
40°
13
練習 21 次の図において、∠ x の大きさを求めなさい。
（ア） （イ）
x40° 70°
x50° 65°
練習 22 次の図において、∠ x の大きさを求めなさい。
（ア） （イ）
x
30°
40°
x
30°80°
練習 23 次の図において、∠ x の大きさを求めなさい。
（ア）AB：BC：CA＝１：２：２ （イ）AC：CD：DB＝３：３：４
練習 24 次の図において、∠ x の大きさを求めなさい。
（ア）AC：CD＝２：３ （イ）AB：CD＝１：２
x
・O A B
C D
xA
B
C
x
A
B C
60°
D
E
x
・O A B
C D
30°
14
練習 25 次の四角形 ABCD で、円に内接するものを選びなさい。
（ａ） （ｂ） （ｃ）
80° 70°
110°
A
B C
D
80° 70°
110°A
B C
D
80°
100°
A
B C
D
練習 26 次の四角形 ABCD で、円に内接するものを選びなさい。
（ａ） （ｂ） （ｃ）
50° 40°
40° A
B C
D
35°
60°
A
B C
D
30°
60° A
B C
D
練習 27 次の図の四角形 ABCD が円に内接するためには、∠ x の大きさが何度であればよいです
か。
（ａ） （ｂ） 110° A
B C
D
x
70° A
B C
D
x
練習 28 右の図のように、２つの円 O，O’が２点 A，
B で交わっています。点 A を通る直線と２つの円と
の交点を C，D、また、円 B を通る直線と２つの円
との交点を E，F とします。このとき、CE//FD であ
ることを次のように証明しました。 の中に
あてはまるものを答えなさい。
・ ・O O’
A
B
C D
E
F
〔証明〕
∠ACE＝ （ア） （AE に対する円周角） ∠ ∠ABF＝∠ （イ） （AF に対する円周角）
したがって
∠ACE＝ （イ） ∠ （ウ） が等しいので、CE//FD
15
練習 29 右の図のように、四角形 ABCD が円に内接し
ています。点 E は点 C における円の接線と AB の延長と
の交点です。AB//DC のとき、△ACD∽△ECB であるこ
とを次のように証明しました。
A
B
C
D
E F
の中にあてはまるものを答えなさい。
〔証明〕 △ACD と△ECB で四角形 ABCD は円に内接
しているから、
∠ADC＝ （ア） ‥‥‥‥‥‥‥‥① ∠ また、EC は接線だから
∠ CAD＝ （イ） ‥‥‥‥‥‥‥‥② ∠ AB//DC だから
∠DCF＝ （ウ） ‥‥‥‥‥‥‥‥③ ∠ ②，③より
∠ CAD＝ （ウ） ‥‥‥‥‥‥‥‥④ ∠ ①，④より、２組の角がそれぞれ等しいので、
△ACD∽△ECB
練習 30 次の図で、AD は接線です。 x の長さを求めなさい。
（ア） （イ）
xcm ・ 7cm
4cm
A D
B
C
x
A
B
C
D
cm
8cm
12cm
16
入試問題－標準問題
問１ 次の問いに答えなさい。
a A
B C
T T’
（ア） 右の図で、直線 TT’は円の接線で、点 A はその接点です。
円周上の２点 B，C は AC＝BC を満たす点で、∠ TAB＝ °
のとき、∠ABC の大きさを を用いて表しなさい。
aa
（都立高専）
（イ） 右の図のように、４点 A，B，C，D は円 O 上にあり、∠ CBD
＝40°，∠ CDB＝30°のとき、∠OBD の大きさを求めなさい。
30°
・O
40°
A
B
C
D
（東京工大附）
問２ 右の図のように、円 O に内接する四角形 ABCD において、対角線
AC、BD の交点を E とします。EA＝６cm，EB＝３cm，EC＝４cm と
するとき、線分 ED の長さを求めなさい。（宮城県）
6cm
A
B
C
DE
3cm 4cm
・ ・ dO O’
問３ 大小２つの円 O，O’の半径をそれぞれ３cm，１cm とし、
中心間の距離を cm とします。d の値がどのような範囲のと
き、円 O，O’が２点で交わるか不等号を使って表しなさい。
d
（福島県）
問４ 右の図のように、直角三角形 ABC に内接する円があり、
その接点をそれぞれ L，M，N とします。AN＝５cm，BM
＝12cm のとき、その円の半径の長さを求めなさい。
12cm
5cm
A
L
B M C
N（芝浦工大附）
17
問５ 半径１の円周上に A，B，C があって、AB：BC：CA＝５：３：４
であるとき、次の問いに答えなさい。
（ア）∠ABC の大きさを求めなさい。
（イ）CA の長さを求めなさい。
（土佐）
問６ 次の問いに答えなさい。
（ア）右の図において、線分 AC は円 O の直
径であり、∠AEB＝24°，BC＝CD です。
このとき、∠ x ， の大きさを求めな
さい。（広島大附）
∠ y
（イ）右の図で、AB は円の中心 O を通る直線で、AC はこの円
に引いた接線、C はその接点です。D は円周上の点で∠ BDC
＝65°とするとき、 BAC の大きさを求めなさい。（城北） ∠
問７ 図のように、BD を直径とする円周上に、２点 A，C があります。
AB＝AD， DBC＝30°のとき、次の問いに答えなさい。 ∠（ア）∠AEB の大きさを求めなさい。
（イ）面積比△ABE：△CDE を求めなさい。（近畿大附）
問８ AOB＝90°であるおうぎ形 OAB があります。右の図のよ
うに、AB 上に点 P をとり、線分 OA を直径とする半円と弦 PA
との交点を Q とします。次に点 B から弦 OQ に垂線 BR を引
きます。このとき、次の問いに答えなさい。
∠
（ア）△AOQ と△OBR は合同であることを証明しなさい。
（イ）AP：PB＝４：１のとき AQ と QO の長さの比を求めな
さい。（埼玉県）
・
x
24°O
A
BC
D
y E
・
・ ・
A
B
C
・
65°
O
A
B
C
D
30° E
A
B
C
D
AO
BP
Q
R
18
問９ 図において、線分 AB は円 O の直径、∠AOC＝72°です。また
直線 は線分 BC に平行で点 P において円と接しています。このと
き、 PAB の大きさを求めなさい。（中央大附）
l
∠
問10 図Ⅰのように、円 O の外の点 A から、その円に２つの接線が
引かれています。接点を P、Q とするとき、次の問いに答えなさ
い。（鳥取県）
（ア）図Ⅰに、線分 OA，OP，OQ を書き加えて、AP＝AQ であ
ることを証明しなさい。
さらに図Ⅱのように、円 O は△ABC に内接し、辺 AB，BC，
CA の接点をそれぞれ P，Q，R とし、AB=15cm，BC＝13cm，
CA＝14cm のとき、
（イ）線分 AP の長さを求めなさい。
（ウ）△ABC の面積は 84cm2 になります。このとき、内接円 O
の半径を求めなさい。
・ 72° O A B
C
P
l
・ A
P
Q
図Ⅰ
図Ⅱ
14cm
15cm 13cm P Q
R A
B
C
30°
A
B C
E
・・
× ×
D
問11 図のように AB＞AC，∠ B＝30°の三角形 ABC があり
ます。 A, C のそれぞれの外角の二等分線の交点を D
とするとき、次の問いに答えなさい。（大教大・平野）
∠ ∠
（ア） ∠ADC の大きさを求めなさい。
（イ） AD の延長と外接円との交点を E とするとき、△
EBC は二等辺三角形であることを証明しなさい。
問12 右の図のように、AB＝AC の二等辺三角形 ABC の外接
円の AB のうち、小さい方の AB 上に点 D をとります。ま
た点 B におけるこの外接円の接線と直線 AD との交点を E
とします。辺 AB と弦 CD の交点を F とするとき、次の問
いに答えなさい。（神奈川県）
A
B
C
E
D
F
（ア）△AEB と△CFB は相似であることを証明しなさい。
（イ）CD が外接円の直径とするとき、ADB 上の AD と DBC
上の BC の長さの比 AD：BC を最も簡単な整数の比で
表しなさい。
19
20
問13 右の図Ⅰのように AB＝８cm，AC＝６cm，∠ BAC＝90°
である直角三角形 ABC があります。辺 AC 上に AD＝１cm
となる点 D をとり、D から辺 BC に垂線を引き、その交点を
E とします。このとき、次の問いに答えなさい。（秋田県）
（ア） 次の の中に適する数やことばを書きなさい。 B C
8cm 6cm 1cm
A
D
E
図Ⅰ
△ABC は直角三角形であるから BC＝ ① cm である。
△ABC と△EDC は ② という条件より相似であり、その相似比は ③ である。
また四角形 ABED は ④ であるから円に内接する四角形である。
（イ） 図Ⅱは図Ⅰの A と E，B と D を結び、その交点を F
としたものです。このとき三角形 ABF の面積を求めなさ
い。
A
B C
D
E
図Ⅱ
F
問14 右の図において円 O の半径は７cm、円 O’の半径は３cm、OO’
＝１cm です。また点 A，B，C，D は直線 OO’と円 O，円 O’と
の交点であり、弦 AE は点 F で円 O’に接しています。このとき
次の問いに答えなさい。（東京学芸大附）
（ア）線分 FE の長さを求めなさい。
（イ）図の の部分 ADF の面積を求めなさい。
（ウ）図の の部分 DBEF の面積を求めなさい。
問 15 右図の正三角形 ABC は、半径 r の円 O に内接しています。
AB を直径とする円を描くとき、斜線部分の面積は
243 πba + r 2 となります。 a ， の値を求めなさい。ただし
円周率は
b
π とします。（中央大杉並）
入試問題－発展問題
問１ 次の問いに答えなさい。
B
A
C D
E102°
（ア） 右の図で、点 A，C は大小２つの円の交点で
AB，CB は小さい円の接線、AD，CE は大きい
円の接線です。また点 B は大きい円の周上にあ
ります。∠ BAD＝102°のとき、∠ ECD の大き
さを求めなさい。（市川）
（イ）右の図で、O は２つの半円の中心で、BC
は小さい半円と点 D で接しています。
AOC＝76°のとき、 OEB の大きさを
求めなさい。（桐朋）
∠ ∠
問２ 右の図のように AB を直径とする半円があり
ます。この半円の弧上に点 C があって、AC の
延長上に AC＝CP となるように点 P をとり、点
P から弧に接線を引き、その接点を T とします。
また AB CD となるように、AB 上に点 D をと
ります。いま CD＝４cm，BD＝２cm とすると
き、次の問いに答えなさい。（法政大第一）
⊥
（ア）AB の長さを求めなさい。
（イ）PT の長さを求めなさい。
（ウ）CT の長さをa cm とするとき、BT の長さを を用いて表しなさい。 a
・ 76° O
BA
C
D
E
4
2 B A D
C T
P
・
A
B
C
D
E
O
問３ A＝90°の直角三角形 ABC に点 D，E，F で内接す
る半径４cm の円 O があります。この直角三角形 ABC の
２辺の比が、AB：AC＝４：３であるとき、次の問いに
答えなさい。（同志社香里）
∠
（ア）CF＝ x cm とするとき BD を x の式で表しなさい。
（イ）△ABC の外接円の半径を求めなさい。
（ウ）DE の長さを求めなさい。
21
問４ 右の図のように、OA＝12cm，∠AOB＝120°であるおう
ぎ形 OAB があり、弦 AB と弧 AB とで囲まれた弓形に内接
する２つの円 C，D があります。円 C は弓形に内接する円
のうち半径が最大のものであり、点 G で円 D と外接してい
ます。このとき、次の問いに答えなさい。（広島大附）
12cm
120°
O
A
BH
I C
D
GJ
E
F
（ア）点 D を通り、線分 OE に垂直な直線が、線分 OE と
交わる点を I とします。点 D の半径を r として I2 を r で表しなさい。
（イ） r の値を求めなさい。
（ウ）△EFH と△FGH の面積をそれぞれ S 1，S 2 として、面積の比 S 1：S 2 を簡単な整数比で表し
なさい。
問５ 右の図のように円 O の周上に４点 A，B，
C，D があります。点 P は点 A におけるこ
の円の接線と弦 BC の延長線との交点です。
また接点 A から弦 BC に垂線を引き、その
交点を H とします。また AD はこの円の直
径です。AB＝６cm，AP＝ 25 cm，CP＝５cm のとき、次の問いに答えなさい。
・ 5
256
A
OH
D
BC P
（駒沢大学）
（ア）BC：CA＝２：１、 ABC= °の
とき、 APC を a を用いて表しなさい。
∠ a∠
（イ）弦 AC の長さを求めなさい。
（ウ）△ABC の面積を5 cmx 2 とするとき、垂線 AH の長さおよび円 O の直径 AD を x を用いて表
しなさい。
問６ 右の図のように AB＝８，BC＝９，CA＝７の△ABC の
内接円の中心を I、その半径を r とし、この内接円と辺
AB，BC，CA の接点をそれぞれ D，E，F とします。ま
た、辺 BA の延長、辺 BC の延長および辺 CA に接する円
の中心を I’、その半径を r ’とし接線をそれぞれ G，H，J
とします。△ABC の面積を 512 とするとき、次の問い
に答えなさい。（早大本庄）
・
・
I
I’
C ・
・
・・
H
G
J F D
B
A
E9
8 7
（ア） r の大きさを求めなさい。
（イ）AD，BH の長さをそれぞれ求めなさい。
（ウ） r ’の大きさを求めなさい。
22
問７ 長さ 10cm の線分 AB を直径とする半円の弧上
に点 C をとり、弧 AC の中点を D、AD と BC の
延長線の交点を R とします。また、AC と BD の
交点を P とし、点 P から AB に引いた垂線を PQ
とするとき、次の問いに答えなさい。（青雲）
R
M
C
D P
QA B
（ア）∠ CAB＝50°のとき DQC の大きさを求
めなさい。
∠
（イ）弧 AB の中点を M とします。点 C が弧 AB
上を点 A から点 M まで、動くとき、点 R が
描く曲線の長さを求めなさい。ただし、点 C
が点 A と重なるときは、点 R は点 A にある
ものとします。
・
・・
A
B E
D
F
C
問８ 右図のように半径 15cm の円が直線 AD と D において接してい
ます。点 A から円の中心を通る直線をひき、円との交点を B，C
（A に近い方を B）とし、 BAD の二等分線と、BD，CD の交
点をそれぞれ E，F とします。BD：CD＝１：２であるとき、次
の問いに答えなさい。（同志社）
∠
（ア）AB の長さを求めなさい。
（イ）CF：FD を求めなさい。
（ウ）△DEF の面積を求めなさい。
問９ 右の図のように線分 AB に点 C で接し、AB を直径とする
円に点 D で内接する円をかくと、AC＝10、CB＝15 になり
ました。このとき、次の問いに答えなさい。（早大学院）
10 15 A BC
D
E （ア）内接円の半径を求めなさい。
内接円が BD と交わる点を E とすれば、
（イ）線分 CE の長さを求めなさい。
（エ）△CED の面積を求めなさい。
23
問10 半径２の円 O の外部の点 P から、２本の線を
引きます。円との交点を右の図のように A，B，C，
D とすると APB＝30°， AOD＝120°，
BOC＝60°です。このとき、次の問いに答えな
さい。
∠ ∠∠
・O 60°
120° 30°
AP
B
C
D
x
（駿台甲府）
（ア）∠ x （ DOC）の大きさを求めなさい。 ∠ （イ）弦 CD の長さを求めなさい。
（ウ）四角形 ABCD の面積を求めなさい。
問11 右の図のように円 O と円 O’が点 A で内接し、線分 OC は点
Bで円O’に接しています。直線ABと円Oとの交点をD，∠AOC
＝30°，円 O’の半径を とするとき、次の問いに答えなさい。 a
・・30°
O O’ A
C
D
B （愛光）
（ア） 線分 AB の長さを求めなさい。
（イ） △BCD の面積を求めなさい。
問12 右図のように△ABCに外接する円Oがあります。AB＝６，
BC＝５，CA＝４、∠A の二等分線と円 O との交点を D、BC
との交点を F とします。また D において、円 O の接線をひ
き、AB の延長線との交点を E とするときに、次の問いに答
えなさい。（東海大浦安・改）
・
・・
A
B
ED
F
O
C（ア）∠ BAC＝ x °とするとき、∠ BDE を x を用いて表し
なさい。
（イ）BD＝ とするとき、AD の長さを a の一次式で表しな
さい。
a
（ウ） DE の長さを求めなさい
問13 右の図で、直線 ST は点 A における大小２つの円に共
通な接線です。点 A から直線をひき、２つの円の交点を B，
C とします。CE は小さい方の円に D で接し、F は EA と
小さい方の円との交点とします。 TAB＝30°，∠ ∠ CDA
＝75°，AB＝３cm のとき次の問いに答えなさい。
75°
A S T
C
D F
E
30°
B 3
（早稲田実業）
（ア）∠ FAS の大きさを求めなさい。
（イ）AD の長さを求めなさい。
（ウ）大きい方の円の直径を求めなさい。
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問14 右図のように線分 AB を直径とする円 O の円周
上に点 C，D があり、線分 AD の延長線と線分 BC
の延長線との交点を E とします。また弧 CD 上に
AF＝BF となる点 F をとり、線分 AF と線分 BD の
交点を P、線分AFの延長線との線分BEの交点をQ、
線分 BF の延長線と線分 AE の交点を R とします。
AEB＝50°， AQB＝65°，BF＝∠ ∠ 13 + ，FR
＝ 13 − のとき次の問いに答えなさい。
・
50°65° EQ C B
O
A
D
R P
F
（共立女子）
（ア） ∠ PAD の大きさを求めなさい。
（イ） 弧 BC の長さと弧 CD の長さの比を求めなさい。
（ウ） △APD の面積を求めなさい。
問15 AB＝AC の二等辺三角形 ABC がありま
す。 B の二等分線と AC の交点を P、△
ABC の外接円との交点を Qとし、さらに AQ
の延長と BC の延長との交点を R としたと
き、AR＝30cm，BR＝25cm となりました。
次の問いに答えなさい。（東大寺学園）
∠
・・
A
B C
P
Q
R（ア） ∠ BAC＝ °とするとき、a ∠ ARB
の大きさを を用いて表しなさい。 a（イ） QR の長さは AB の長さの何倍か求
めなさい。
（ウ） AB の長さを求めなさい。
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