Комплексные числа и цветаВ этом девятом издании календаря «Complex Beauties» мы снова отправимся в прекрасный мир ком-плекснозначных функций. Каждый месяц мы представляем специальную функцию. На нижней сто-роне каждого разворота показан фазовый портрет функции; на его верхней стороне мы объясняемсвязанное с ней математическое понятие. Наша цель — сделать текст доступным и для непосвящен-ных; временами это довольно сложная задача. Тем не менее, всегда можно любоваться изображения-ми, чтобы получить представление о магии математических структур. Мы включаем биографическиеочерки о математиках, чья работа способствовала пониманию функций, представленных в каждоммесяце.

Мы благодарим приглашенных авторов в этом году: Шелдон Акслер (Сан-Франциско) представ-ляет экзотический класс аналитических функций; Андрей Богатырёв (Москва) и Константин Метлов(Донецк) объясняют использование комплексных функций при изучении магнитных вихрей.

Построение фазовых портретов основано на интерпретации комплексных чисел z как точекна гауссовской плоскости. Горизонтальную координату такой точки обозначают x и называют веще-ственной частью (Re z); вертикальную координату обозначают y и называют мнимой частью (Im z);пишут z = x + iy. По-другому положение точки z можно также задавать ее расстоянием от началакоординат (|z|, модуль z) и азимутом (arg z, аргумент z).

Фазовый портрет функции f (z) комплексной переменной (на картинке слева от стрелки) воз-никает, когда все точки z области определения f окрашиваются в соответствии с аргументом её зна-чения w = f (z) (или фазы w/|w|). Более точно,вначале цвета из цветового круга переносятся получам, исходящим из начала координат, на точкиплоскости w (картинка справа от стрелки). Такимобразом, точкам с равным аргументом соответ-ствует один и тот же цвет. Вторым шагом каждаяточка z в области определения функции f окра-шивается в тот же цвет, что и значение f (z) в w-плоскости.

z

f→

f (z)

Фазовый портрет можно считать ”отпечатками пальцев“ функции. Хотя при этом остается толькочасть данных (аргумент), а другая часть (модуль) исчезает, функции важного класса (”аналитические“или, более общо, ”мероморфные“) можно восстановить однозначно с точностью до нормировки.Определенные модификации цветового кодирования позволяют нам легче увидеть свойства функ-ции.

f→ f→

В этом календаре мы используем в основном три различных схемы раскраски: фазовый портрет,описанный выше, и еще два варианта, показанные во втором ряду рисунков. Вариант слева добав-ляет к представлению модуль функции; версия справа, кроме того, подчеркивает сохранение угловпри отображении.

Введение в теорию функций, проиллюстрированное фазовыми портретами, можно найти в книгеE.Wegert, Visual Complex Functions — An Introduction with Phase Portraits, Springer Basel, 2012. Болееподробная информация о календаре (в том числе и за предыдущие годы), как и о книге доступны на

www.mathe-kalender.de, www.visual.wegert.com.

Мы благодарим всех наших верных читателей и Verein der Freunde und Forderer der TU Bergakademie Freiberg e. V.за их неоценимую поддержку этого проекта.

c©Элиас Вегерт и Гунтер Семмлер (TU Bergakademie Freiberg), Памела Горкин и Ульрих Дэпп (Bucknell University, Lewisburg),перевод на русский А. Б. Богатырёв, С. А. Горейнов, О. А. Григорьев, С.Ю. Лямаев, М. С. Смирнов (ИВМ РАН, Москва).

Г. Фабер ЯнварьПн Вт Ср Чт Пт Сб Вс Пн Вт Ср Чт Пт Сб Вс

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1314 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 2728 29 30 31

Многочлены ФабераНа рубеже XIX и XX столетий интерес к задаче аппроксимации комплексных функций был весьмавелик. Вот, например, один из результатов Рунге 1885 г.: всякая функция, аналитичная на компактноммножестве E, имеющем связное дополнение, может быть приближена равномерно на E многочленом(Complex Beauties, декабрь 2014 г.). В дальнейшем возник вопрос, можно ли получать такие прибли-жения из разложений в ряды специального вида: найдется ли по множеству E последовательностьмногочленов p1, p2, . . ., такая, что всякая аналитичная на E функция f разлагается в ряд

f (z) = a0 +∞

∑k=1

ak pk(z), z ∈ E,

с комплексными коэффициентами ak?В 1903 г. Георг Фабер опубликовал работу, содержащую элегантное и конструктивное решение

этой задачи в случае, когда дополнение C \ E множества E до сферы Римана C односвязно: тогда, потеореме Римана, существует конформное отображение ϕ множества C \ E на дополнение замкнуто-го единичного круга. Это отображение можно нормировать так, чтобы вблизи бесконечности былоϕ(z) = c z + ψ(z), где c — положительная константа, а ψ — ограниченная функция. Тогда n-я сте-пень ϕ представится суммой многочлена pn и исчезающей на бесконечности функции. Фабер смогпоказать, что построенная таким способом последовательность pn, именуемая ныне многочленамиФабера, обладает нужными аппроксимационными свойствами.

Многочлены Фабера для отрезка [−1, 1] — это ни больше ни меньше чем многочлены Чебышёва(Complex Beauties, январь 2016 г.). Три фазовых портрета ниже суть примеры того, как многочленыФабера степени 35 зависят от формы определяющего их множества E (обведенного черным).

Эффективное вычисление многочленов Фабера и сегодня является актуальной исследовательскойзадачей. На главной картинке этого месяца — многочлен p36, отвечающий квадрату, повернутомуна 45◦. Все вычисления проведены с помощью программного пакета Schwarz–Christoffel Toolbox вматлабе.

Георг Фабер (1877 – 1966)родился в г. Кайзерслаутерн в семье коммерсанта. Он изучал математику и физику в Гёттингене иМюнхене, где он получил степень в 1902 г. После нескольких лет преподавания в гимназии, он про-шел хабилитацию в высшей технической школе г. Карлсруэ. После работы в Карлсруэ, Тюбингене,Штуттгарте, Кёнигсберге и Страсбурге он был в 1916 г. назначен полным профессором в высшейтехнической школе Мюнхена. Там он проработал 30 лет и получил звание почетного (emeritus) про-фессора. После окончания Второй мировой войны Фабер, в течение последнего своего года жизни,был назначен оккупационным правительством на должность ректора высшей технической школыМюнхена. Ему также поручили реорганизацию учебного процесса.

Важнейшей областью научной работы Фабера была теория функций, в особенности полиноми-альная аппроксимация, интерполяция и конформные отображения. Фабер принимал участие в из-дании собраний сочинений Эйлера, Кристоффеля и предпринял расширенное издание трехтомногоучебника своего предшественника Г. Буркхардта по теории функций в Мюнхене. Он был награжденв 1956 г. федеральным крестом и в 1959 г. — баварским орденом за заслуги.

J.H. Curtiss, Faber Polynomials and the Faber Series. The American Mathematical Monthly, 78-6 (1971) pp. 577–596. Tobin A. Driscoll, Schwarz-Christoffel Toolbox for MATLAB. Karl-Heinz Bottcher,Bertram Maurer, Stuttgarter Mathematiker. Univ. Stuttgart, 2008. Nachrufe auf Akademiemitglieder. http://badw.de/gelehrtengemeinschaft/nachrufe.html

И. Ньютон ФевральПн Вт Ср Чт Пт Сб Вс Пн Вт Ср Чт Пт Сб Вс

1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 2425 26 27 28

Конечные разностиБольшинство функций в этом календаре— аналитические, то есть характеризуются следующим свой-ством: в окрестности всякой точки z0 из области определения они представимы в виде степенно-го ряда. Такой ряд сходится в том наибольшем круге с центром в z0, в который функция можетбыть аналитически продолжена. Например, функция, обратная (ком-плексной) функции тангенса, имеет представление в виде ряда

arctg z = z− z3

3+

z5

5− z7

7+ . . . + (−1)k z2k+1

2k + 1+ . . . , (1)

верное при |z| < 1. Картинка напротив, на которой мы видим сотую ча-стичную сумму этого ряда, иллюстрирует его расходящееся поведениевне единичного круга.

В работе ”О вычислении рядов“ Исаак Ньютон занимается преобразованием степенного ряда пе-ременного z путем введения нового переменного t = z/(1− z). Приравнивая разложения

c1z + c2z2 + . . . + ckzk + . . . = a1t + a2t2 + . . . + aktk + . . . ,

Ньютон заключает, что коэффициенты ak вычисляются по данным ck рекурсивно с помощью конечныхразностей, для чего используется следующая таблица.

c1 ∆c1 ∆2c1 ∆3c1 . . .c2 ∆c2 ∆2c2 ∆3c2 . . .c3 ∆c3 ∆2c3 ∆3c3 . . .c4 ∆c4 ∆2c4 ∆3c4 . . ....

......

.... . .

Первый столбец содержит коэффициенты первоначального ряда. Вкаждый следующий столбец, начиная сверху, надо записать разностьэлементов предыдущего столбца: элемента, стоящего ниже, и соседне-го элемента. Например, во втором столбце ∆c1 = c2− c1, ∆c2 = c3− c2и т. д., в третьем столбце получаем ∆2c1 = ∆c2 − ∆c1 = c3 − 2c2 + c1 ипроч. Наконец, в первой строке таблицы возникают коэффициенты akнового ряда.

Применяя эту схему к степенному ряду (1), Ньютон получил представление

arctg z =z

1 + z2

(1 +

23

( z2

1 + z2

)+

2 · 43 · 5

( z2

1 + z2

)2+

2 · 4 · 63 · 5 · 7

( z2

1 + z2

)3+ . . .

), (2)

верное при z, удовлетворяющих неравенству (Im z)2 − (Re z)2 < 1/2. Это область, ограниченнаядвумя гиперболами и содержащая вещественную ось целиком. В частности, при z = 1 получаемсходящийся рад для значения π/4 = arctg 1. Главная картинка месяца демонстрирует двадцатуючастичную сумму ряда (2). Прием Ньютона — один из первых примеров аналитического продолженияфункций.

Сэр Исаак Ньютон (1643 – 1727)был сыном овцевода; родился в деревне Вулсторп при Колстерворте (графство Линкольншир). Послеучебы в королевской школе в Грантем и Тринити-колледже Кембриджа Ньютон занимался частнойисследовательской работой в родовом поместье. В 1667 г. он вернулся в Кембридж и в 1669 г. получилдолжность на престижной лукасовской кафедре математики.

Ньютон был чрезвычайно разносторонним ученым. Вместе с Лейбницем (у которого он ожесто-ченно оспаривал приоритет) он стал основателем исчисления бесконечно малых. В основном своемтруде ”Математические начала натуральной философии“, принадлежащем ряду важнейших научныхработ всех времен, он сформулировал три основные закона движения и развил теорию гравитации. Воптике ему принадлежит основополагающий вклад в корпускулярную теорию света и в теорию спек-тра; он разработал также оригинальный зеркальный телескоп. Кроме этого, Ньютон изучал древнююисторию, теологию и мистику; его излюбленным коньком была алхимия.

Помимо занятий наукой, Ньютон занимал представительские должности. В качестве Мастера ко-ролевского монетного двора он вел беспощадную борьбу с фальшивомонетчиками. В 1703 г. Ньютонбыл назначен президентом Королевского общества и посвящен в рыцари в 1705-м.

Ranjan Roy, Sources in the Development of Mathematics, Cambridge University Press 2011, p.176 ff.

Ж. Л. Лагранж МартПн Вт Ср Чт Пт Сб Вс Пн Вт Ср Чт Пт Сб Вс

1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 2425 26 27 28 29 30 31

Остаточный член в форме ЛагранжаУже в XVII столетии для аппроксимации трансцендентных функций использовали многочлены. Спо-соб определения многочлена, касающегося n-кратно дифференцируемой функции в окрестностиданной точки x0, приписывается Бруку Тейлору. Многочлен

pn(x) =n

∑k=0

f (k)(x0)

k!(x− x0)

k

называют многочленом Тейлора n-й степени для f в точке x0 (см. Complex Beauties, март 2011 г.).Тейлор не рассматривал ни погрешности аппроксимации, ни сходимости pn к f при растущих сте-

пенях многочлена. Впервые выражение для функции ошибки Rn = f − pn выписал и обосновал, ис-пользуя формулу конечных приращений, Лагранж. Эта формула носит сейчас название остаточныйчлен в форме Лагранжа: если функция f на интервале (a, b) непрерывно дифференцируема (n + 1)раз, то по любому x ∈ (a, b) найдется точка c между x и x0 таким образом, что

Rn(x) =f (n+1)(c)(n + 1)!

(x− x0)n+1.

На картинке сбоку показана функция f (x) = sin x (черным),ее многочлен Тейлора степени 9 в точке x0 = 0 (синим) ивеличина функции ошибки R9 (красным).

Лагранж не рассматривал комплекснозначных функций;между тем, многочлены Тейлора можно ввести естествен-ным образом и для комплексных дифференцируемыхфункций. Теория будет даже проще, поскольку комплексныедифференцируемые (голоморфные) функции оказываютсядифференцируемыми неограниченное число раз, и можноопределить многочлен Тейлора произвольно высокой степени. Кроме того, многочлены pn сходятсяк f в некоторой окрестности точки x0.

Картинка этого месяца содержит функцию ошибки для синуса f (z) = sin z, приближаемого мно-гочленом Тейлора p9 степени 9 в нулевой точке:

p9(z) =9

∑k=0

f (k)(0)k!

zk =4

∑k=0

(−1)k

(2k + 1)!z2k+1.

Как можно понять из фазового портрета, функция ошибки R9 имеет в x0 = 0 нуль порядка 11. Этооттого, что многочлены p9 и p10 совпадают в связи с равенством f (10)(0) = 0.

Жозеф-Луи Лагранж (1736 – 1813)родился в Турине, бывшем тогда столицей герцогства Савойи и Сардинского королевства. Он училсяв коллеже Турина и, за вычетом длительного путешествия в Париж, первые 30 лет жизни провел всвоем родном городе. Лагранж переписывался с Эйлером и многими другими математиками. Послетого, как Эйлер переехал из Берлина в Санкт-Петербург, Лагранж в 1767 г. занял его место в Прус-ской академии наук. Лагранжу принадлежит существенный вклад во многих областях различных на-ук: астрономии, механике, динамике, теории вероятностей и обосновании исчисления бесконечномалых.

Несмотря на попытки вернуть Лагранжа на его родину, он принял решение в 1787 г. переехать изБерлина в Париж и стал членом Французской академии наук. Ему удалось счастливо избежать пре-вратностей французской революции. В 1794 г. Лагранж стал первым профессором математическогоанализа во вновь основанной Ecole Polytechnique. Наполеон отмечал его высокими наградами, средикоторых Большой крест императорского ордена воссоединения.

Перед отъездом в Берлин Лагранж женился на одной из своих двоюродных сестер, однако бракбыл бездетным. Согласно сайтуMathematics Genealogy Projects, у Лагранжа было лишь трое учеников,среди которыхФурье и Пуассон; однако список его научных последователей содержит более 100 000человек. Спустя всего неделю после награждения Большим крестом Лагранж скончался в Париже, вовремя редакторской работы над своим известнейшим трудом под названием Аналитическая меха-ника.

У. Томсон АпрельПн Вт Ср Чт Пт Сб Вс Пн Вт Ср Чт Пт Сб Вс1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1415 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 2829 30

Магнитные вихри (Андрей Богатырёв и Константин Метлов)В противовес атомистическим идеям Демокрита Аристотель постулировал существование запол-

няющей пространство «квинтэссенции» ( = ”пятого элемента“). Позднее эта идея превратилась в кон-цепцию эфира и её можно рассматривать как предшественника современных теорий поля. Эфирвдохновил Джеймса Клерка Максвелла создать свою теорию электродинамики и лорда Кельвина —на разработку теории вихревого движения (гидродинамика идеальной жидкости). Согласно Кельви-ну, все объекты, включая атомы, должны описываться замысловатыми вихревыми линиями, чтобыих свойства определялись исключительно топологией этих узлов.

В двух измерениях движение вихря может быть описано с помощью комплексного анализа. Этасвязь хорошо известна для гидродинамики, но она также существует для магнетизма. Состояниеферромагнетика может быть представлено как векторное поле локальной намагниченности m. Ком-поненты могут быть выражены с использованием стереографической проекции:

mX + i mY =2w(z, z)

1 + w(z, z)w(z, z), mZ =

1− w(z, z)w(z, z)1 + w(z, z)w(z, z)

,

где w(z, z) зависит от координаты z = x + i y в плоскости магнетика и её сопряженной z.Эта модель была сформулирована Тони Скирмом для описания барионов. Гордон Ву впослед-

ствии выразил уравнение Эйлера-Лагранжа для равновесного векторного поля намагниченности втерминах комплексных производных:

∂

∂z

(∂w∂z

)=

2w1 + ww

∂w∂z

∂w∂z

.

Это уравнение имеет два типа решений: солитоны (обнаруженные Александром Белавиным иАлександром Поляковым), соответствующие мероморфной функции w(z, z) = f (z), (удовлетворя-ющей уравнению ∂w/∂z = 0) и мероны (обнаруженные Дэвидом Дж. Гроссом) соответствующиеw(z, z) = f (z)/| f (z)|.

В случае ограниченного плоского цилиндрического магнитного образца субмикронного размера,векторное поле намагниченности может быть выражено как солитон или мерон, в котором f (z) —решение задачи Римана-Гильберта — мероморфная функция, значения которой на боковой границемагнетика направлены вдоль этой границы. В случае многосвязных цилиндров можно обнаружитьглубокую взаимосвязь топологии поля намагниченности с топологией самого наноэлемента.

Статичные поля намагниченности в тонких субмикронных ферромагнитных пленках описывают-ся так же, как и стационарный поток идеальной жидкости. Иллюстрация этого месяца показываетдважды периодическую вихревую структуру в плоском наномагнетике.

Вильям Томсон, первый барон Кельвин (1824 – 1907)родился в Белфасте, второй сын математика Джеймса Томсона. Университет Глазго предоставил воз-можности обучения для способных учеников, и Томсон начал обучаться там с возраста 10 лет. Послеокончания университета Томсон поступил в Кембриджский университет. После пребывания в Пари-же, где он работал в лаборатории физика-экспериментатора Анри Виктора Реньо, Томсон вернулся вГлазго. В возрасте 22 лет Томсон стал профессором кафедры, где и работал до 1899 года. ИнтересыТомсона включали термодинамику, гидродинамику, электромагнетизм, теорию упругости, теплоту,математику и технологии. В качестве студента Томсон опубликовал несколько статей о примене-нии рядов Фурье к различным отраслям физики. В 1846 году он разработал метод решения задачэлектростатики, а в 1848 году, после изучения теоремы Карно, он высказал идею абсолютной тем-пературной шкалы. В 1866 году он был посвящен в рыцари за свои работы по трансатлантическомутелеграфному проекту, став сэром Уильямом Томсоном.

Томсон также способствовал разработке практических приложений в разных науках. Он былглавным научным консультантом в строительстве первых трансатлантических кабелей. Он разра-ботал ряд электрометрических приборов, в том числе улучшенный зеркальный гальванометр, чув-ствительные электрометры, устройство для электромеханической записи телеграфных сигналов икомпас, который компенсирует магнитное поле железного корпуса корабля. Томсон получил многопочестей; к ним относятся Медаль Кейта, Королевская медаль и Медаль Копли. В 1892 году Томсонубыло пожаловано дворянство за его научную работу, и он стал 1-м бароном Кельвином. В 1896 годуон был избран почетным членом Петербургской академии наук.

A. B. Bogatyrev, K. L. Metlov. What makes magnetic skyrmions different from magnetic bubbles? J. Magnetism and Magnetic Materials, 465 (2018), 743–746.

Т. Х. Гронуолл МайПн Вт Ср Чт Пт Сб Вс Пн Вт Ср Чт Пт Сб Вс

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1213 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 2627 28 29 30 31

Неравенство Фейера-Джексона-ГронуоллаПоведение сходимости рядов Фурье поднимает интересные вопросы. Например, возьмите функциюf , показанную на рисунке ниже слева. Эта функция кусочно-линейная, вещественная и периодиче-ская с периодом 2π. На рисунке справа показана частичная сумма ее ряда Фурье.

x

yπ2

− π2

π 2π 4π−2π

y = f (x)

x

yπ2

π 3πu0−2π

y = s5(x)

Поскольку f нечетна, ее ряд Фурье состоит только из синусов; это ∑∞k=1(sin kx)/k. Сходимость ча-

стичных сумм

sn(x) =n

∑k=1

sin kxk

особенно удивительна вблизи точек разрыва функции f . Чтобы найти локальные экстремумы sn,положим

s′n(x) =n

∑k=1

cos kx =sin n

2 x cos n+12 x

sin x2

= 0.

Для интервала (0, π) получаем локальные максимумы в точках uj =2j+1n+1 π для j = 0, 1, . . . , b n−1

2 c илокальные минимумы при vj =

2jn π для j = 1, . . . , b n−1

2 c. Для наименьшего положительного значениялокального максимума sn, то есть u0 (в котором мы имеем глобальный максимум), находим

limn→∞

sn

(π

n + 1

)=∫ π

0

sin xx

dx >π

2.

То есть при больших n частичные суммы превышают ожидаемое значение π/2 в точках разрыва.Такое поведение известно как явление Гиббса.

Что можно сказать о нижних границах sn? В 1910 году Липот Фейер предположил, что для всех n

sn(x) =n

∑k=1

sin kxk

> 0 при 0 < x < π.

Показав, что sn принимает положительные значения во всех точках локальных минимумов vk, ТомасХэкон Гронуолл установил это неравенство в своей работе Uber die Gibbssche Erscheinung und dietrigonometrischen Summen sin x + 1

2 sin 2x + · · ·+ 1n sin nx (Mathematische Annalen 1912). Поскольку

Д. Джексон дал другое доказательство годом ранее, это неравенство обычно называют неравенствомФейера-Джексона.

В этом месяце показана частичная сумма s10, распространённая на комплексную плоскость. Навещественном интервале (0, π) фазовый портрет окрашен красным, так как значения функции наэтом интервале положительны.

Томас Хэкон Гронуолл (1877 – 1932)родился в Дилта Брук (Швеция). Проведя год в Уппсале, он продолжил учился в Стокгольме, гдепреподавали Миттаг-Леффлер, Бендиксон, Фредгольм, фон Кох и Фрагмен. Гронуолл уже имел кан-дидатскую степень по математике и опубликовал 10 работ ко времени, когда ему исполнилось 21.Чрезмерно суровое наказание за студенческую шалость привело к его отстранению из университетана полгода. Вследствие этого Гронуолл отправился в Германию, чтобы получить диплом инженера.Некоторое время он работал инженером-строителем в Германии, прежде чем эмигрировал в Соеди-ненные Штаты в 1904 году, где работал в различных металлургических компаниях. Примерно в 1911году он решил вернуться к математике. Он опубликовал несколько работ в ведущих журналах и участ-вовал в Чикагском собрании Американского математического общества в 1912 году. В 1913-14 гг.он был инструктором и в 1914-15 гг. — ассистентом Принстонского университета. Гронуолл прово-дил исследования во многих областях классического анализа, среди которых гармонический анализ,дифференциальные и интегральные уравнения, аналитическая теория чисел и функциональный ана-лиз. В то же время он был заинтересован в приложениях. Он служил математическим консультантомдля компаний. Гронуолл сделал важный вклад в физическую химию и в результате стал доцентом наФакультете физики Колумбийского университета.

Д. Сарасон ИюньПн Вт Ср Чт Пт Сб Вс Пн Вт Ср Чт Пт Сб Вс

1 2 3 4 5 6 7 8 910 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 2324 25 26 27 28 29 30

Сингулярные внутренние функции (Шелдон Акслер)Внутренней функцией назовем такую ограниченную аналитическую функцию ϕ на открытом единич-ном диске D на комплексной плоскости, что

limr↑1|ϕ(rz)| = 1

для почти любого z ∈ ∂D (где мера на ∂D вводится как обычная мера Лебега — «длина дуги»).Например, пусть α ∈ D и

ϕ(z) =z− α

1− αz.

Если |z| = 1, то

|ϕ(z)| =∣∣∣∣ z− α

zz− αz

∣∣∣∣ = ∣∣∣∣ z− α

z− α

∣∣∣∣ 1|z| = 1.

Согласно принципу максимума, |ϕ| ограничена единицей на D. Из приведенного выше следует, чтоϕ — внутренняя функция.

Простые примеры внутренних функций доставляют произведения Бляшке (март 2012 — конеч-ные, июль 2012 — бесконечные произведения Бляшке). Другой пример: пусть для z 6= 1 выполнено

ϕ(z) = ez+1z−1 .

Заметим, чтоz + 1z− 1

=z + 1z− 1

· z− 1z− 1

=|z|2 − 1|z− 1|2 −

2 Im z|z− 1|2 i.

Итак, Re z+1z−1 < 0 при |z| < 1 и Re z+1

z−1 = 0 при z ∈ ∂D \ {1}, откуда |ϕ(z)| < 1 при |z| < 1 и|ϕ(z)| = 1 для z ∈ ∂D \ {1}. Значит, функция ϕ — внутренняя, называемая сингулярной атомарнойвнутренней функцией (см. июнь 2014).

Более общо, обозначим через µ положительную меру на ∂D, сингулярную по отношению к обыч-ной мере Лебега. Для z ∈ D определим

ϕ(z) = exp∫

∂D

z + wz− w

dµ(w).

Функции такого вида называют сингулярными внутренними функциями. Они в самом деле являютсявнутренними, и любая внутренняя функция, не имеющая нулей в D, имеет такой вид. В частности,если µ — мера Дирака с центром в точке 1 ∈ ∂D, мы получаем вышеупомянутую атомарную сингу-лярную функцию. На иллюстрации показан фазовый портрет приближенного значения сингулярнойвнутренней функции, полученной для неатомарной меры µ с носителем на канторовом множестве(замкнутом несчетном множестве из ∂D с мерой Лебега 0).

Дональд Сарасон (1933 – 2017)родился в Детройте. Сарасон получил кандидатскую степень в 1963 году в университете Мичиганапод руководством Пола Халмоша (см. август). Затем он получил позицию постдока в Университетеперспективных исследований, а вся его дальнейшая карьера, вплоть до ухода на покой в 2012 го-ду, была связана с Калифорнийским университетом в Беркли. В работах Сарасона по внутреннимфункциям были продемонстрированы глубокие связи между теорией операторов и теорией функ-ций комплексного переменного. Например, в работе Сарасона, ссылка на которую приведена ниже,процитированной более чем в тысяче публикаций, показана взаимосвязь между вышеупомянутойатомарной сингулярной внутренней функцией и оператором Вольтерры V на L2([0, 1]):

(V f )(x) =∫ x

0f (t) dt

для f ∈ L2([0, 1]) и x ∈ [0, 1]. Эта связь была использована Сарасоном для характеризации операто-ров на L2([0, 1]), коммутирующих с оператором Вольтерры V.

Donald Sarason: Generalized interpolation in H∞ , Trans. Amer. Math. Soc. 127 (1967), 179–203.

Т. Х. Волфф ИюльПн Вт Ср Чт Пт Сб Вс Пн Вт Ср Чт Пт Сб Вс1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1415 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 2829 30 31

Теорема о коронеПусть f1, f2, . . . , fn —ограниченные аналитические функции в единичном дискеD и пусть существуетчисло δ > 0 такое, что

| f1|+ | f2|+ · · ·+ | fn| ≥ δ на D.

Существуют ли в таком случае ограниченные аналитические функции g1, g2, . . . , gn такие, что

f1g1 + f2g2 + · · ·+ fngn = 1 на D?

В 1962 году Леннарт Карлсон ответил на этот трудный вопрос утвердительно; попутно он придумал иразвил важные новые методы в этой области. Теорема Карлсона называется теоремой о короне по-тому, что открытый единичный диск D можно отождествить с подмножеством определенного ком-пактного множества (пространство максимальных идеалов алгебры ограниченных аналитическихфункций) и изначально было неясно, не окружен ли он в этом множестве своеобразной «короной».Вышеупомянутая теорема показывает, что нет; если говорить более техническим языком, D плотенв этот пространстве максимальных идеалов.

Когда n = 1, для ответа на поставленный вопрос достаточно элементарных свойств аналитиче-ских функций. Если f1, . . . , fn непрерывны на замыкании единичного диска, ответ также легко выве-сти, но из базовых фактов функционального анализа. Однако поведение аналитических функций вобщем случае, как мы видим на картинке этого месяца, бывает достаточно сложным.

Пускай (an) — последовательность комплексных чисел в единичном диске и

ϕj(z) =z− aj

1− ajz

— соответствующие им преобразования Мёбиуса. Мы уже видели, что эти функции отображают Dна себя (см. июнь). Если ∑(1− |aj|) < ∞, произведение

B(z) =∞

∏j=1

−aj

|aj|z− aj

1− ajz

сходится и определяет так называемое бесконечное произведениеБляшке. Справа показано произведение Бляшке, разрывное вединственной точке. На титульной картинке показано прибли-жение к бесконечному произведению Бляшке, разрывному вкаждой точке единичной окружности. Зная о существованиитаких функций, проще понять, как нетривиально утверждениетеоремы о короне. В 1979 г. Томас Вольф представил простоедоказательство этой теоремы. В статье, посвященной Вольфу,Дон Сарасон писал, ”Вести о его решении задачи о короне быстро распространились и сделали егознаменитым“.

Томас Х. Вольф (1954 – 2000)родился в Нью-Йорке. В бытность студентом в Гарварде, он часто играл в покер со своим однокурс-ником Биллом Гейтсом. В 1979 году в Беркли он получил кандидатскую степень, его руководителембыл Дон Сарасон (см. июнь). Большую часть своей карьеры он провел в должности профессора ма-тематики в Калтехе, хотя он также занимал такую должность в Нью-Йоркском институте Куранта с1986 по 1988 года и в Беркли в 1992-1995. Он внес весомый вклад во многие области исследо-вания; хронологически первой из них была теория алгебр функций, которую он пополнил новымдоказательством теоремы о короне. К другим областям относятся гармонический анализ, уравненияв частных производных, теория потенциала и комплексный анализ. В 1985 он получил Салемскуюпремию, которой награждались молодые математики за выдающиеся достижения в области анали-за. В 1999 году ему вручили премию Бёхера, присуждаемую за наиболее значительные работы поанализу. 31 июля 2000 года Вольф погиб в автомобильной аварии, ему было сорок шесть лет. Какписал Питер Джонс, ”Раз за разом Том Вольф брался за центральную проблему какой-нибудь обла-сти и решал её. Несколько полученных им результатов — и эта область менялась навсегда. Тогда Томпереключался на совершенно новое поле деятельности, а все остальные аналитики тратили годы,чтобы его догнать“.

L. Carleson, S.-Y. A. Chang, P. W. Jones, M. Keel, P. D. Lax, N. Makarov, D. Sarason, W. Schlag, and B. Simon, Thomas H. Wolff, Notices of the AMS, 2001 48 (5), pp. 485–490.

П. Халмош АвгустПн Вт Ср Чт Пт Сб Вс Пн Вт Ср Чт Пт Сб Вс

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1112 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 2526 27 28 29 30 31

Функции с заданным значением на границеС помощью интегральной формулы Коши можно восстановить голоморфную функцию в единичномдиске D по ее значению на границе — однако, это значение на границе не может быть произволь-ным: из интегральной формулы Шварца (см. август 2014) следует, что голоморфная в D функцияопределяется с точностью до чисто мнимой аддитивной константы вещественной частью Re f своегозначения на границе. Аналогично, функцию можно восстановить по мнимой части ее значения награнице.

Для аргумента arg f и фазы f /‖ f ‖ = ψ значений голоморфной функции на границе единичногодиска ∂D ситуация сложнее. Например, для непрерывной функции ψ : ∂D → ∂D ограничениянакладывает принцип аргумента: поскольку число обмотки ψ, wind ψ, равно числу нулей f в D,решения существуют только для wind ψ ≥ 0. Если wind ψ = 0, решение существует и определено сточностью до положительного постоянного множителя (и лежит в пространстве Харди Hp для любогоp : 1 ≤ p < ∞). Если же число обмотки n положительно, то существуют решения, обнуляющиеся налюбом наперед заданном множестве n точек.

Для исследования краевой задачи, в которой фаза разрывна, нужны более тонкие методы, цен-тральную роль в них играет изучение свойств специальных операторов. Одним из первопроходцевв этой деятельности был Пол Халмош, который соединил в своих работах методы теории функций,функционального анализа и теории операторов. Этот сплав подходов позволяет по-новому взглянутьна краевую задачу и связанные с ней и до сих пор влияет на развитие этой исключительно богатойобласти.

В этом месяце иллюстрация изображает фазовый портрет голоморфной в единичном диске функ-ции

f (z) = cn

∏k=1

(ak − zak + z

)sk

, |ak| = 1, sk ∈ R.

Точки ±ak разделяют единичную окружность на дуги, на которых фаза f постоянна, и меняется скач-ками по ±skπ в ±ak. Такое поведение на границе подчеркивает постоянство функции на лучах, рас-ходящихся из центра круга.

Пол Халмош (1916 – 2006)родился в Будапеште. Его мать умерла, когда ему было шесть месяцев, а отец, осознавая, как опаснооставаться в Венгрии, в 1924 году переехал в Соединенные Штаты. Согласно воспоминаниям Халмо-ша, их семья воссоединилась в Чикаго в 1929 году. Халмош учился в Иллинойсском университете вУрбана-Шампейне. Под руководством Джозефа Дуба он защитил кандидатскую диссертацию. ЗатемХалмош стал ассистентом фон Неймана в Институте перспективных исследований. В соавторстве онинаписали статью. Лекции фон Неймана вдохновили Халмоша на написание его первой книги Конеч-номерные векторные пространства. Затем Халмош преподавал в Сиракузах, в университете Чикагои университете Мичигана. В 1968 г. он в течение года возглавлял кафедру в университете Гавайев, азатем до 1985 года работал в университете Индианы, откуда перешел в университет Санта-Клары.

Широко известен вклад Халмоша в теорию операторов, эргодическую теорию и функциональ-ный анализ. По словам Джона Конвея, ”что мне всегда казалось удивительным, так это необычайнобольшое количество тем и задач, которые сейчас находятся в центре внимания исследователей и ко-торые были впервые упомянуты в его работах“. Также Халмошу принесла славу его преподаватель-ская и просветительская деятельность. Помимо Конечномерных векторных пространств, он такженаписал Теорию меры, Наивную теорию множеств, Сборник задач по гильбертовым пространствами другие. За свою популяризаторскую деятельность он получил премию Стила, приз Математическойассоциации Америки за преподавательские достижения, премию Шовене, премию Полиа, и дважды— премию Лестера Форда.

Халмош и его жена пожертвовали 4 000 000 долларов на реконструкцию конференц-центра Car-riage House в Вашингтоне и на поддержку проводимых в нём программМатематической ассоциации.В знак признания просветительских заслуг Халмоша Математическая ассоциация учредила премиюПола Халмоша и Лестера Форда.

Ewing, J. and Gehring, F. W. eds. Paul Halmos, Celebrating 50 years of mathematics. Springer Science & Business Media, 2012. p. 155

Н. Н. Лузин СентябрьПн Вт Ср Чт Пт Сб Вс Пн Вт Ср Чт Пт Сб Вс

1 2 3 4 5 6 7 89 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 2223 24 25 26 27 28 29 30

Теорема единственности Лузина-ПриваловаФундаментальное различие вещественной и комплексной дифференцируемости проявляет себя, вчастности, в том, что в случае последней справедливы так называемые теоремы единственности.Для примера рассмотрим функцию

f (x) =

{x2 sin(1/x) при x 6= 0,0 при x = 0,

вещественно дифференцируемую на всей прямой R. У неё найдетсяпоследовательность нулей (красные точки на верхнем рисунке), сходя-щаяся к началу координат, однако во всякой окрестности начала коор-динат функция не равна тождественно нулю. В то же время, если f —комплексно дифференцируемая (голоморфная) функция в области G, имножество её нулей, лежащих в этой области, имеет предельную точкуz ∈ G (см. средний рисунок), тогда f тождественно равна нулю на G.Важным требованием здесь является то, что предельная точка z должналежать внутри области. В случае, когда она лежит на границе, ситуациятруднее.

Рассмотрим функцию f , голоморфную в открытом единичном кругеD. Число w называется её радиальным пределом в точке t ∈ ∂D, еслиf (z) стремится к w при z стремящемся к t вдоль радиуса круга; w на-зывается некасательным пределом, если f (z) стремится к w при z стре-мящемся к t во всяком секторе с вершиной в точке t с углом, меньшимπ. Лузин и Привалов установили следующий глубокий результат: еслиf голоморфна вD и на подмножестве положительной меры в ∂D нека-сательные пределы функции f существуют и равны нулю, тогда f ≡ 0наD. В этом утверждении нельзя заменить некасательные пределы нарадиальные: пример ненулевой голоморфной в D функции, у которойрадиальные пределы равны нулю почти всюду на границе круга, былпредставлен Лузиным и Приваловым в 1925 году.

x

y

z

zn

G

t

zt

z

На обложке этого месяца изображен фазовый портрет функции f , голоморфной в открытом еди-ничном круге и имеющей некасательные пределы постоянного модуля на дугах единичной окружно-сти. Модуль r(ϕ) = | f (eiϕ)| монотонно возрастает на полуотрезке [0, 2π) от 10−80 до 1. Для малыхϕ, модуль r(ϕ) также мал, однако если бы на сколь угодно малом полуотрезке [0, ε) он был бы равеннулю, тогда функция f тождественно равнялась бы нулю.

Николай Николаевич Лузин (1883 – 1950)родился в Иркутске и учился в гимназии в Томске. Поначалу математика ему не давалась из-за пло-хого её преподавания в гимназии, основанного на простом заучивании. Его отец нанял репетитора,который сумел открыть для Лузина красоту этой науки и возбудить к ней интерес. Впоследствии Лу-зин поступил в Московский университет, где его учителем был Д.Ф. Егоров. В 1915 г. он представилкандидатскую диссертацию «Интеграл и тригонометрический ряд», которая была так впечатляюща,что была принята как докторская. Лузин воспитал большое количество выдающихся математиков,среди которых П. С. Александров, А. Н. Колмогоров, А. Я. Хинчин, М. А. Лаврентьев, Л. Г.Шнирельман иП. С. Урысон.

Первые работы Лузина посвящены дескриптивной теории множеств и её приложениям к клас-сическому анализу (рядам Фурье, аналитическим функциям). Впоследствии в область его интересоввошли также численный анализ, дифференциальные уравнения и теория управления.

В 1929 году Лузин стал членом Академии наук СССР. В 1936 году против него развернулась по-литическая травля, в газете «Правда» он был объявлен «врагом в советской маске». В результатепостановления комиссии АН СССР в августе 1936 года, он потерял позицию в университете. В 2012году, через много лет после смерти Лузина, Академия наук отменила постановление 1936 года.

К. Задоски ОктябрьПн Вт Ср Чт Пт Сб Вс Пн Вт Ср Чт Пт Сб Вс

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1314 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 2728 29 30 31

Функции ограниченной средней осцилляцииЛебеговы пространства Lp при 1 ≤ p ≤ ∞ играют огромную роль в анализе, однако многие важ-ные утверждения справедливы лишь для 1 < p < ∞. Дело в том, что пространство L1 является, внекотором смысле, слишком большим, а L∞ — наоборот, слишком маленьким. Попытки придуматьим замену привели к рассмотрению пространства Харди H1 и пространства функций ограниченнойсредней осцилляции BMO(Rn). Последнее есть множество локально интегрируемых функций наRn,у которых средняя осцилляция конечна. Иными словами, f ∈ BMO(Rn), если

‖ f ‖BMO = supQ

(1|Q|

∫Q| f (x)− fQ|dx

)< ∞,

где супремум берётся по всем n-мерным кубам Q в Rn, и fQ = 1|Q|∫

Q f (x) dx — среднее значе-ние f на Q. Элементами этого пространства являются классы эквивалентности функций: равенство‖ f ‖BMO = 0 выполнено в том и только том случае, если f — константа. В 1971 году Ч. Феффермандоказал, что пространство BMO(Rn) является двойственным к вещественному пространству ХардиH1.

Нетрудно видеть, что L∞(Rn) ⊂ BMO(Rn). В то же время, функция log |x| ∈ BMO(Rn) \ L∞(Rn)показывает, что это вложение строгое. Можно определить комплексные пространства ограниченнойсредней осцилляции: скажем, что f ∈ BMO(T), если

‖ f ‖BMO = supI

1|I|

∫I| f − f I |

dθ

2π< ∞,

где супремум берётся по всем дугам I единичной окружности T.На самом деле, посредством отображения z = i(1− w)/(1 + w)пространства BMO(R) и BMO(T) можно отождествить.

В комплексном случае, логарифм log z, строго говоря,не является функцией; он представляет собой так называе-мую многозначную функцию, поэтому часто рассматриваетсянекоторая его ветвь (см. рисунок). На обложке этого ме-сяца изображен фазовой портрет функции ограниченнойсредней осцилляции f (z) = ∏n

k=1 log ak−zbk−z , где у логариф-

ма выбрана главная ветвь, а константы ak и bk унимодулярны.Внутри единичного круга f является произведением конформных отображений D на бесконечнуюполосу (по-разному нормированных).

Кора Садоски (1940 – 2010)родилась в городе Буэнос-Айрес в Аргентине. Оба её родителя работали в университете Буэнос-Айреса: мать была профессором математики, а отец основал центр компьютерных наук. Садоскиучилась в Чикагском университете под руководством Альберто Кальдерона и в 1965 г. получила кан-дидатскую степень. После этого она вернулась в Аргентину, чтобы занять должность ассистента вуниверситете Буэнос-Айреса. Однако в то время в стране была политически нестабильная ситуация;вместе с примерно 400 другими работниками университета она уволилась в знак протеста противполицейского нападения на высшую школу. Садоски снова покинула Аргентину, работала сначала вВенесуэле, затем в Институте перспективных исследований в Принстоне и в университете Говардав Вашингтоне. Она посвятила себя гармоническому анализу и теории операторов, часто работалав соавторстве с Мишей Котлар (научным руководителем её матери). Опубликовала более 60 печат-ных работ, 8 из которых касались функций ограниченной средней осцилляции, в том числе написалаодин учебник.

Как отмечено в статье Remembering Cora Sadosky, «Садоски сражалась во многих битвах и на мно-гих фронтах. Она выступала с осуждением всевозможных несправедливостей, гендерной и любойдругой дискриминации. . . . В том числе внутри математического сообщества, зачастую рискуя соб-ственной карьерой.» Она боролась за права женщин и чернокожих американцев в математическомсообществе, была президентом Ассоциации защиты прав женщин-математиков с 1993 по 1995 годы.Она была членом Американской ассоциации содействия развитию науки, дважды выступала на Со-вете Американского математического общества, была членом совещательного комитета по правамчеловека в Институте математических наук (MSRI).

https://www.agnesscott.edu/lriddle/women/corasadosky.htm. Remembering Cora Sadosky, https://doi.org/10.1007/978-3-319-30961-3_3.

Л. Фейер НоябрьПн Вт Ср Чт Пт Сб Вс Пн Вт Ср Чт Пт Сб Вс

1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 2425 26 27 28 29 30

Ядро ФейераМайская страница этого календаря была посвящена неравенству Гронуолла-Джексона-Фейера, пред-ложенному Фейером в 1910 году. Страница текущего месяца содержит больше информации о работесамого Фейера.

Ряд Фурье функции f может быть записан следующим образом:

∞

∑n=−∞

f (n)einx, где f (n) =1

2π

∫ π

−πf (x)e−inxdx.

Это представление полезно во многих задачах, включая распространение волн в струне и нагревметаллического кольца.

ТеоремаФейера утверждает, что для непрерывной функции f с периодом 2π последовательностьфункций (σn) равномерно сходится к f , где σn — среднее значение частичных сумм s0, . . . , sn−1 рядаФурье для f . Кроме того, Фейер показал, что

σn(x) =1n

n−1

∑k=0

sk(x) =1

2π

∫ π

−πf (x− t)Fn(t)dt, где Fn(x) =

1n

(sin nx

2sin x

2

)2

называется ядром Фейера. Замечательным следствием из результатов Фейера является аппроксима-ционная теорема Вейерштрасса: любая непрерывная функция на отрезке может быть равномерноприближена многочленами. Заменяя x комплексной переменной z, мы получаем комплексифика-цию ядра Фейера. Ниже изображены фазовые портреты для n = 1, 3 и 5. На иллюстрации месяцатакже изображено ядро Фейера F5, но на большей области: (|Re z|, |Im z| < 7).

Липот Фейер (1880 – 1959)родился в городе Печ (Венгрия), в семье Виктории Гольдбергер и Самюэля Вайса. Он вырос в еврей-ской семье и примерно в 1900 году сменил фамилию (в переводе с немецкого ”вайс“ означает белый,а ”фейер“ — соответствующее слово в венгерском), чтобы она звучала по-венгерски. Фейер учился вБудапештском университете технологий и экономики, за исключением одного года, проведенного вБерлинском университете. Именно там Фейер под влиянием Германа Шварца занялся исследовани-ем сходимости рядов Фурье, доказав ”Теорему Фейера“. Его диссертация также содержала нескольковажных следствий этой теоремы. После зимы 1902-3 года, проведенной в Геттингене, Фейер вернул-ся в Венгрию, и преподавал в Будапештском университете в 1903-1905 годах. Затем, до 1911 года,он был преподавателем в Коложваре, после чего возглавил кафедру математики Будапештского уни-верситета. Фейер работал в области гармонического анализа, уделяя много внимания рядам Фурье.В 1944 году Фейера вынудили уйти в отставку из-за его еврейского происхождения. Его пригнали кместу расстрела евреев, расположенному на берегу Дуная, но один из офицеров его спас. Умер он в1959 году. Фейер был членом Геттингенской, Баварской и Польской академий наук. Он был научнымруководителем Джона фон Неймана, Пала Эрдёша, Дьердя Пойа, Марселя Риса, Габора Сегё и ПалаТурана. В 1948 году стал лауреатом премии Кошута — венгерской государственной премии, выда-ваемой за выдающиеся достижения в науке, культуре и искусстве. В некрологе Фейера в журналеЛондонского математического общества Пойа написал: ”Почему же сейчас так много венгерских ма-тематиков? Много людей задавали этот вопрос, на который, как мне кажется, никто не может ответитьполностью. Однако, существовали две причины, которые явно повлияли на венгерскую математику,и одной из них являлся Леопольд Фейер, его работы, его личность.“

К. Л. Зигель ДекабрьПн Вт Ср Чт Пт Сб Вс Пн Вт Ср Чт Пт Сб Вс

1 2 3 4 5 6 7 89 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 2223 24 25 26 27 28 29 30 31

Диск ЗигеляИтерации комплексных функций рассматривались в этом календаре уже несколько раз (июль 2012,февраль 2014, февраль 2016, декабрь 2018 гг.). Если рациональную функцию f (степени большей1) применять к точке z на комплексной плоскости или сфере Римана, порождая последовательностьz, f (z), f 2(z) = f ( f (z)), . . ., то возможны всего две альтернативы, определяемые точкой z:

(1) Для достаточно близких к z точек и для всех натуральных чисел n, n-я итерация функции f даетточку, близкую к f n(z) = f ( f (· · · f (z))). Такие точки z образуют множество Фату, F, функцииf .

(2) Произвольно близкие к z начальные значения могут задать совершенно разные последова-тельности. Такие точки z образуют множество Жюлиа, J, функции f .

Обычно, определить принадлежность точки z0 множеству Фату или Жюлиа очень затруднительно.Однако существуют простые признаки для неподвижной точки z0 = f (z0). В этом случае достаточнорассмотреть производную λ = f ′(z0). Если |λ| < 1, то точка z0 является притягивающей, и длялюбой достаточно близкой к z0 начальной точки z, последовательность f n(z0) сходится к z0. Такимобразом, z0 лежит в множествеФату функции f . Если же |λ| > 1, то точка z0 является отталкивающейи принадлежит множеству Жюлиа.

Ситуация становится гораздо сложнее, если точка z0 является неопределенной, то есть |λ| = 1. Вэтом случае z0 лежит в множестве Фату тогда и только тогда, когда в некоторой окрестности точки z0уравнение Шредера

ϕ( f (z)) = λϕ(z)

имеет голоморфное решение, удовлетворяющее условиям ϕ(z0) = 0 и ϕ′(z0) = 1. В 1942 году Зигельустановил существование таких решений уравнения Шредера для конкретных значений λ. Функцияϕ отображает компоненту S точки z0 множества Фату конформно на круг. Множество S называетсядиском Зигеля, и функция f действует на нем как поворот вокруг z0 на угол arg λ.

Рассмотрим функцию f (z) = z2 + cz, где c = eπ(√

5− 1) i. Для этой функции z0 = 0 является неопре-деленной неподвижной точкой, лежащей в диске Зигеля. Слева изображен фазовый портрет функ-ции f 200 на множестве Фату. Справа изображена функция f 200 − z, у которой z0 является нулем.Соответствующий точке z0 диск Зигеля ярко выделен, а три ”круга“ в нем инвариантны относительно

”поворота“, осуществляемого функцией f .

Карл Людвиг Зигель (1896 – 1981)родился в Берлине в семье почтового служащего. С 1915 года он изучал астрономию, физику и мате-матику в родном городе. Он посещал лекцииФробениуса и Планка, и первый пробудил в нем интереск теории чисел. Зигель сопротивлялся призыву в армию, и был определен на работу в психиатриче-скую лечебницу. Он продолжил обучение в 1919 году в Геттингене. Его диссертация, написанная подруководством Эдмунда Ландау, содержала усиление теоремы Туэ о приближениях иррациональныхчисел, которое он получил на третьем семестре обучения. В 1922 г. Зигель назначен на должностьпрофессора во Франкфурте. Несмотря на отстраненность от нацистского режима, Зигель в 1935 годувернулся в Германию после года, проведенного в Институте перспективных исследований в Прин-стоне. Вернувшись в Германию, он защищал своих коллег еврейского происхождения. В 1937 годуего направили в Геттинген, но затем, в 1940 году, он иммигрировал в США через Норвегию. До воз-вращения в Геттинген в 1951 году он снова работал в Институте перспективных исследований. Зигельполучил много значительных результатов в теории чисел, дзета-функции Римана, модулярных форми небесной механике.