0 Einleitung 1 Hierarchische Systeme in der ... · GPVT_1&2 Vorlesung (Einführung in die) MVT, Prof. Dr. J. Tomas, 01.11.2011 2 0 Einleitung - Lehrveranstaltungsplan (Folie 0.1),

0 Einleitung 2

1 Hierarchische Systeme in der Verfahrenstechnik 2

1.1 Definitionen .................................................................................... 2 1.2 Verfahrenstechnische Systeme, Hierarchie der Modellelemente ... 2 1.3 Elemente eines Stoffwandlungsverfahrens ..................................... 3

2 Kennzeichnung der Eigenschaften disperser Stoffsysteme 6

2.1 Überblick über disperse Systeme .................................................... 6 2.2 Partikelgrößenverteilungen und Kennwerte ................................... 6

2.2.1 Partikelgrößenmerkmale ......................................................... 7 2.2.2 Partikelgrößenverteilungen ................................................... 10

2.2.2.1 Partikelgrößenverteilungsfunktion und –verteilungsdichte10 2.2.2.2 Analytische Partikelgrößenverteilungsfunktionen ............ 14 2.2.2.3 Statistische Momente ........................................................ 18 2.2.2.4 Umrechnung der Mengenarten der Verteilungsfunktionen20 2.2.2.5 Kenngrößen der Partikelgrößenverteilungen .................... 22 2.2.2.6 Multimodale Partikelgrößenverteilungen ......................... 24

2.2.3 Messung von Partikelgrößenverteilungen ............................ 25 2.2.3.1 Prüfsiebmethoden ............................................................. 25 2.2.3.2 Sedimentations- und Stromklassiermethoden .................. 26 2.2.3.3 Zählmethoden ................................................................... 28 2.2.3.4 Abbildende Methoden - Bildverarbeitung ........................ 28 2.2.3.5 Feldstörungen ................................................................... 29 2.2.3.6 Laserlichtbeugung ............................................................. 30

2.2.3.6.1 Laborgeräte ................................................................. 31 2.2.3.6.2 In-Line-Geräte ............................................................ 31

2.2.3.7 Streulichtmethoden (Photonenkorrelationsspektrometrie)31 2.2.3.8 Kombination von Laserlichtbeugung und Streulicht ........ 32 2.2.3.9 Ultraschalldämpfungsspektrometer .................................. 32 2.2.3.10 On-Line-Methode mittels Photolumineszenz ............... 32 2.2.3.11 Beurteilung der Einsetzbarkeit ..................................... 32

2.2.4 Pyknometrische Messung der Partikeldichte ........................ 33 2.2.5 Messung der Oberfläche eines Partikelkollektivs ................. 33

2.2.5.1 Permeabilitätsmethoden.................................................... 33 2.2.5.2 Adsorptionsmethode der Oberflächenmessung ................ 34

2.2.5.2.1 Gasadsorption und BET-Methode. ............................. 34 2.2.5.2.2 Einpunkt-BET-Methode ............................................. 37 2.2.5.2.3 Probenvorbehandlung und Platzbedarf AM,g .............. 37 2.2.5.2.4 Messgeräte .................................................................. 39

2.2.6 Partikelformmerkmale und Partikelformanalyse .................. 40 2.3 Packungszustand von Partikeln .................................................... 43

GPVT_1&2 Vorlesung (Einführung in die) MVT, Prof. Dr. J. Tomas, 01.11.2011

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0 Einleitung - Lehrveranstaltungsplan (Folie 0.1), - Literaturempfehlungen (Folie 0.2), - Prüfungsschwerpunkte (Folie 0.3 und Folie 0.4), - Gliederung (Folien 0.5, 0.6 und 0.7)

1 Hierarchische Systeme in der Verfahrenstechnik

1.1 Definitionen

- Gegenstand der Verfahrenstechnik: (Folie 1.1)

"Die Verfahrenstechnik ist eine Ingenieurwissenschaft mit integrierendem Charakter, deren Gegenstand die ökologisch verträgliche, industrielle Stoffwandlung zum Zwecke der wirtschaftlichen Nutzung ist, wobei die Form der Stoffe keine primäre Bedeutung besitzt."

Stoffwandlung: Änderung der physikalischen und/oder chemischen Eigen-schaften

1.2 Verfahrenstechnische Systeme, Hierarchie der Modellele-mente

⇒ Was ist Verfahrenstechnik? Tabelle hierarchischer Ordnung (Folie 1.2)

⇒ Einfaches Blockfließbild eines typischen Verfahrens (Folie 1.3)

Verfahrenstechnik spielt in vielen Industriezweigen eine wichtige Rolle:

* Bergbau: - Aufbereitung mineralischer Rohstoffe - Kohleveredlung * Metallurgie:

- Aufbereitung metallischer und metallhaltiger Sekundärrohstoffe - extraktive Metallurgie * Reinhaltung der Biosphäre: - Reinigung Abluft und Abwasser - Altlastensanierung (Böden) - Abfallaufbereitung u. -verwertung * Energietechnik, Kraftwerkstechnik


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* Baustoffindustrie: - Erzeugung von Primärbaustoffen - Recycling von Baustoffen * keramische und Glasindustrie * chemische Industrie * Textilindustrie * pharmazeutische Industrie * Lebensmittelindustrie * industriell produzierende Landwirtschaft * Neben- und Hilfsanlagen des Maschinenbaues, der Kraftfahrzeugtechnik

1.3 Elemente eines Stoffwandlungsverfahrens Die Verfahrenstechnik hat sich erst in den letzten Jahrzehnten als selbstän-diges Wissenschaftsgebiet herausgebildet. Herausbildung war an die Beant-wortung der Fragestellung geknüpft: Welches sind die Bausteine bzw. Elemente stoffwandelnder Verfahren?

→ Prozesse (Grundoperationen): Zerkleinern (Folie 1.4), Agglomeration (Folie 1.5), Mischen (Folie 1.6), Klassieren (Folie 1.7), Anreichern (Folie 1.8), Sortierprozesse (Folie 1.9), Flüssigkeitsabtrennung (Folie 1.10), Staub-abscheiden (Folie 1.11), Brennen und Rösten (Folie 1.12), Destillieren, Trocknen

Aufgabe der verfahrenstechnischen Lehre besteht nicht darin, Verfahren für die Herstellung bestimmter Stoffe aneinandergereiht zu beschreiben ⇒ che-mische Technologie. Vielmehr werden behandelt:

- die prozesstechnischen Grundlagen einschließlich der naturwissenschaftli-chen Grundvorgänge sowie die Modellierung der Mikro- und Makroprozes-se (Folie 1.13, Folie 1.14, Folie 1.15, Folie 1.16, Folie 1.17),

- die ausrüstungsmäßige Realisierung der Prozesse und die verfahrenstech-nische Auslegung der Apparate und Maschinen (Folie 1.18, Folie 1.19),

- die Grundlagen der Verkettung der Prozesse zu Verfahren ⇒ System-aspekte, Projektierung.

Abgrenzung der Verfahrenstechnik von anderen Bereichen der Stoff-wandlung Fertigungstechnik, Verarbeitungstechnik ≡ Formwandlungs-Technik:

Erzeugnisse präziser Form werden hergestellt, die Form ist dem jeweili-gen Verwendungszweck angepasst sowie


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Energietechnik ≡ Stoffwandlung zum Zwecke der Energierzeugung bzw. Energiewandlungs-Technik,

Informationstechnik ≡ Informationswandlungs-Technik auf stofflicher Grundlage.

Kennzeichnend für die Verfahrenstechnik ist die Wandlung bzw. Verarbei-tung von Stoffströmen mit dem Ziel, Stoffe mit bestimmten physikalischen und/oder chemischen Eigenschaften zu erzeugen, ohne dass die präzise, de-finierte Form ein Qualitätsmerkmal ist (z. B. Getreidemehl, Zement, Zucker, Kalidüngemittel, Farben, Eisenerzkonzentrat). Aber, es existieren Übergän-ge zur Fertigungstechnik (z. B. in Keramik, Glasindustrie, Metallurgie). Nach der Art der Einwirkung lässt sich die Verfahrenstechnik wie folgt gliedern: Mechanische Verfahrenstechnik: Stoffwandlung durch mechanische Einwirkung (Energie); Gesetze der Me-chanik herrschen vor; beschränkt im Wesentlichen auf feinst- bis grobdis-perse Stoffsysteme (Partikelgröße etwa > 0,1...1 µm), z. B.:

- Trennen und Mischen grobdisperser Partikeln (Teilchen, Körner, Tropfen, Blasen),

- Zerteilen und Agglomerieren; Thermische Verfahrenstechnik: Stoffwandlung durch thermische Einwirkung; beschränkt im wesentlichen auf molekulardisperse Stoffsysteme (Partikelgröße etwa 0,4 nm ... 0,1 µm); ist nicht unbedingt mit Wärmezufuhr (z.B. Trocknen) oder -abfuhr ge-koppelt (unterschiedliche thermodynamische Potentiale); Moleküle bewegen sich gegeneinander. Gesetze der Thermodynamik sind bestimmend. - Stoff- und Wärmeübertragung, - Trennen (z.B. Destillieren, Trocknen, Absorbieren); Reaktionstechnik: Stoffumwandlung durch chemische und biochemische Reaktionen; Gegen-stand ist die technische Realisierung von Reaktionen; Reaktorgestaltung und -dimensionierung. Eindeutige Abgrenzung von MVT und TVT gelingt nur bei den sog. Mik-roprozessen, weil eine Reihe technischer Makroprozesse schon Kombinati-onen mechanischer und thermischer Mikroprozesse darstellen.


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MVT und TVT sind auch nach den Makroprozessen (Prozesseinheiten, Grundoperationen) gegliedert worden. Diese Untergliederung ist sogar bis in die Gegenwart die Vorherrschende. Sie entstand in den 30-er Jahren und stellte damals einen wesentlichen Fortschritt dar. Für die Praxis wird diese Untergliederung auch weiterhin ihre volle Bedeutung behalten. Auch die verfahrenstechnische Lehre ist lange Zeit nur unter dem Gesichtspunkt der Gliederung nach Makroprozessen (Grundoperationen) betrieben worden: Trennen und Vereinigen → (Mischen) Zerteilen und Agglomerieren. Prozess: Stoffwandlung in einem Prozessraum, d.h. in einer Grundausrüs-tung (Apparat, Maschine), Beispiele für Grundausrüstungen: Brecher, Sieb, Trockner, Kolonne.

Gliederung und hierarchische Ordnung in der VT siehe Folie 1.13:

* Teilprozess * Mikroprozess * Grundvorgänge


6

2 Kennzeichnung der Eigenschaften disperser Stoffsysteme

2.1 Überblick über disperse Systeme

Disperses System (dispers = zerstreut, räumlich verteilt):

(Folie 2.1, Folie 2.2)

Beispiele: Schüttgut, Suspension, Nebel, Matrixwerkstoffe

(Folie 2.3, Folie 2.4)

Bestandteile: Disperse Phase (disperser Stoff) verteilt in einer kontinu-ierliche Phase (Dispersionsmittel)

Da durch mechanische Einwirkung sich im Wesentlichen nur grobdisperse Stoffsysteme wandeln lassen, geschieht im Nachfolgenden eine Beschrän-kung auf derartige Systeme Die Zustandsaussagen für grobdisperse Stoffsys-teme umfassen: - die Kennzeichnung des Dispersitätszustandes der grobdispersen Phase, - die Kennzeichnung des Packungs- und Mischungszustandes (Mengen

anteile, Porosität, Homogenität der Mischung). Diese Zustandsänderungen sind nun Gegenstand der MVT.

2.2 Partikelgrößenverteilungen und Kennwerte Viele Roh- und Hilfsstoffe, Zwischen- und Endprodukte sowie Abfälle ver-fahrenstechnischer Prozesse stellen feste Partikel- oder Körnerkollektive dar (Haufwerke, Schüttgüter), z.B. Fertigprodukte der Aufbereitungstech-nik, Primärbaustoffe, feste Brennstoffe, Einsatzstoffe der keramischen und Glasindustrie, Düngemittel, Farbpigmente, Tabletten, Futter- und Lebens-mittel. Sie sind durch Zerkleinerung-, Klassier-, Kristallisations-, Agglome-rations-, Entstaubungs- oder andere Prozesse entstanden und sind polydispers, d.h., sie setzen sich aus Partikeln unterschiedlicher Größe und Form zusammen. Monodispersität bedeutet Partikeln gleicher Größe und Form, z. B. Kugeln ⇒ oftmals als Modellzustand angenommen. Die Kennzeichnung des Dispersitätszustandes (im Folgenden wegen der Beschränkung auf Feststoffpartikeln, vor allem granulometrischer Zu-stand genannt) dieser Stoffsysteme ist von grundlegender Bedeutung, weil Größe und Form viele Eigenschaften der einzelnen Partikeln (wie z. B. Homogenität, Festigkeit bzw. Bruchwahrscheinlichkeit, Löslichkeit,


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Reaktivität) sowie des Partikelkollektivs (Trennbarkeit, Mischbarkeit, Fließverhalten, Durchströmungsverhalten, Agglomerationsverhalten, Nei-gung zur Staubbildung) unmittelbar beeinflussen. Die Kennzeichnung des granulometrischen Zustandes (granum - das Korn, granulum - das Körnchen) beinhaltet im Allgemeinen Aussagen über die Partikelgrößen und deren Wahrscheinlichkeit des Antreffens im Kollek-tiv im Sinne einer Eigenschaftsverteilung. Eine integrale Aussage über den Dispersitätszustand eines Partikelkollektivs ermöglicht seine spezifische Oberfläche. In neuerer Zeit gewinnt zusätzlich die Beschreibung der Parti-kelformen und deren Verteilung wachsende Bedeutung. Wesentlich für eine mathematisch widerspruchsfreie, allgemeingültige Be-handlung von verteilten Stoffeigenschaftsgrößen ist nun die axiomatische Wahrscheinlichkeitsdefinition nach A. N. KOLMOGOROFF (1933). Je-dem Zufallsereignis E aus einem Ereignisraum einer Grundgesamtheit G wird eine reelle Zahl (= Wahrscheinlichkeit = probability) P(E) mit folgen-den Eigenschaften zugeordnet: I. Für jedes Zufallsereignis gilt die Nichtnegativität:

0)( ≥EP ( 2.1)

II. Für das sichere Ereignis gilt:

1)( =EP ( 2.2)

III. Für abzählbar unendlich viele, paarweise disjunkte (unvereinbare) Er-eignisse Ei gilt die Additivität (∪ vgl. logisches UND):

...)(...)()(...)...( 2121 +++=∪∪∪ ii EPEPEPEEEP ( 2.3)

2.2.1 Partikelgrößenmerkmale

Die Definition des Begriffes Partikel- oder Korngröße (Folie 2.5) - im Folgenden durch das Symbol d (= Durchmesser) oder x (nach DIN 66 161) gekennzeichnet - ist nicht problemlos. Für den Fall einer idealen Kugelform ermöglicht der Durchmesser eine eindeutige Aussage. Auch einige weitere regelmäßige Körper ließen sich durch den Formtyp und eine Hauptabmes-sung eindeutig kennzeichnen (z. B. Würfel, Tetraeder).

Allerdings entstehen mit abnehmender Symmetrie zunehmend Schwierig-keiten hinsichtlich der Festlegung der charakteristischen Hauptabmessung. Praktisch liegen aber fast ausnahmslos unregelmäßig geformte Partikeln bzw. Körner vor. Man behilft sich deshalb mit Partikelgrößendefinitionen,


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die von messbaren physikalischen Partikeleigenschaften - sog. Partikelgrößenmerkmalen, d. h. von größenabhängigen physikalischen Eigenschaften - abgeleitet sind. Voraussetzung ist dabei selbstverständlich, dass ein funktioneller Zusammenhang zwischen der Messgröße und der Par-tikelgröße existiert. Als messbare Partikeleigenschaften (Folie 2.5) sind in Betracht zu ziehen: a) charakteristische Längen:

Dazu gehören die lichten Öffnungsweiten w von Sieböffnungen, die bei den verbreitet angewendeten Siebmethoden die Grundlage für die Partikelgrößenbewertung bilden. Für Partikeln, die Öffnungen der Weite w passieren können, gilt d < w. Für Partikeln, die wegen ihrer Abmes-sungen dazu nicht in der Lage sind, ist d ≥ w.

Im Zusammenhang mit den abbildenden Methoden der Partikelgrößen-analyse (siehe auch 2.2.2.1) werden charakteristische Sehnenlängen der Bil-der einer Zufallsanordnung von Partikeln in einer Ebene als Partikelgrößenmerkmale benutzt. Dafür ist die Messrichtung vorzugeben. Als Partikelgrößenmerkmale kommen dann vor allem die in Folie 2.6.1 dar-gestellten Sehnenlängen in Betracht:

• FERETsche Sehnenlänge dF, • MARTINsche Sehnenlänge dM (Sehne in Messrichtung, die die Pro-

jektionsfläche halbiert), • maximale Sehnenlänge dS

b) Oberfläche oder Projektionsfläche: Während die messtechnische Erfassung der Oberfläche einzelner Parti-keln bzw. Körner erhebliche Schwierigkeiten bereitet, liefert die Bild-auswertung Möglichkeiten zur Bewertung der Projektionsfläche (siehe z. B. /9/).

c) Volumen oder Masse: Das Volumen gröberer (nichtporöser) Partikel bzw. Körner lässt sich mit-tels der beim Eintauchen in eine Flüssigkeit eintretenden Verdrängung bestimmen (Pyknometrie). Einfacher und für einen breiteren Größenbe-reich anwendbar ist die Bestimmung der Partikelmasse mittels Wägung.

d) stationäre Sinkgeschwindigkeit: Die Bewertung der stationären Sinkgeschwindigkeit ist die messtechni-sche Basis der Stromklassier- und Sedimentationsmethoden, die für Partikelgrößenanalysen im Fein- und Feinstkornbereich sehr verbreitet eingeführt sind.

e) Feldstörungen:


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Die durch einzelne Partikeln bzw. Körner verursachten Störungen eines elektrischen Feldes bilden die messtechnische Grundlage der Impulsme-thoden (Coulter-Prinzip). Bei anderen Methoden wird die Intensität der in einer Partikel- bzw. Kör-nersuspension • gestreuten (Beugung) oder • absorbierten (Extinktion) Strahlung für die Partikelgrößenanalyse ausgewertet. Auch diese Methoden eignen sich nur für genügend feine Körnungen.

Unabhängig von der gemessenen Partikeleigenschaft ist es üblich, Aussagen über die Partikelgrößen mittels Linearabmessungen zu machen. Falls also nicht unmittelbar charakteristische Längen bewertet worden sind, steht man bei der Umrechnung der Messwerte (z. B. Projektionsflächen, stationäre Sinkgeschwindigkeit) vor dem Problem, welche Partikelform dafür ange-nommen werden soll. Man löst dieses Problem in der Regel dadurch, dass Kugelgestalt als Mo-dell zugrunde gelegt wird. Diese Partikeldurchmesser bezeichnet man als äquivalente Kreis- bzw. Kugeldurchmesser oder äquivalente Partikelgrößen. Man erhält diese wie folgt: a) die flächenäquivalenten Kugel- bzw. Kreisdurchmesser dS und dP:

πS

SAd = bzw.

πP

PAd ⋅

=4 ( 2.4)

AS Partikeloberfläche (S = surface) AP Partikelprojektionsfläche

b) den volumenäquivalenten Kugeldurchmesser dV:

3 6π

PV

Vd ⋅= ( 2.5)

VP Partikelvolumen c) den äquivalenten Durchmesser dvs der Kugel gleicher stationärer

Sinkgeschwindigkeit vs (siehe auch 4.1.2. GPVT_5.doc#Sinkge-schwindigkeit):

)(a4vc3d

fs

2sfW

vs ρ−ρ⋅⋅⋅ρ⋅⋅

= ( 2.6)

a Beschleunigung (a = acceleration) cW Widerstandsbeiwert (cW = f(Re)) ρs Feststoffdichte ρf Fluiddichte


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Entsprechende äquivalente Durchmesser sind auch für Methoden ableitbar, bei denen Feldstörungen gemessen werden (siehe z. B. /7/ /9/ /10/). 2.2.2 Partikelgrößenverteilungen Bei der Kennzeichnung des granulometrischen Zustandes von Partikel- bzw. Körnerkollektiven ist vorwiegend die Aufgabe gestellt, Aussagen über die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Partikelgrößen im Kollektiv oder in der Grundgesamtheit (= population) zu gewinnen, d.h. darüber, welcher Mengenanteil kleiner als eine bestimmte Bezugspartikelgröße ist oder auch welche Mengenanteile auf vorgegebene Partikelgrößenklasse oder -fraktionen entfallen. Derartige Informationen gewinnt man mit Hilfe ent-sprechender Partikelgrößenanalysenmethoden, bei denen der Bewertung eines der im letzten Abschnitt erörterten Partikelgrößenmerkmale zugrunde liegt. Für die Auswahl der Partikelgrößenanalysenmethode kann eine Rolle spielen und für die Darstellung der Verteilungen ist in jedem Falle wesent-lich, welche Mengenanteile oder Mengenart zugrunde gelegt werden soll. Am meisten verbreitet sind - Massenverteilungen, aber auch - Anzahlverteilungen spielen eine gewissen Rolle. Längenanteile sind in der MVT kaum von Inte-resse. Für Beschichtungprozesse (Coating) können durchaus Flächenanteile als Mengenart bedeutsam sein. Die Kennzeichnung der jeweils benutzten Mengenart soll im Folgenden auch einem verbreitet anerkannten Vorschlag mittels eines Index r (= Dimension) geschehen, wobei: (0) r = 0 Anzahlanteile (von l0), (1) r = 1 Längenanteile (von l1), (2) r = 2 Flächenanteile (von l2) und (3) r = 3 Volumen- (von l3) bzw. Massenanteile als Mengenart charakterisieren /11/ /12/. 2.2.2.1 Partikelgrößenverteilungsfunktion und –verteilungsdichte

Um die Partikelgrößenverteilungsfunktion (Verteilungssummenkurve, Quantil) Qr(d) nach DIN 66 141 (früher Fr(x) „Verteilungsfunktion“) eines Partikelkollektivs zu gewinnen, sind die Wahrscheinlichkeiten und somit die Mengenanteile zu bestimmen, deren Partikeln kleiner als vorgegebene Partikelgrößen d1, d2 ... di sind, und in einem Diagramm über der oberen Klassengrenze di aufzutragen (Folie 2.6.2).


11

Man erhält die Verteilungsfunktion Qr(d*<d) als Summe der Einzel-wahrscheinlichkeiten ...)(...)()( 21 +++ idPdPdP Sie weist die nachste-

hend genannten Eigenschaften auf: (1) Mit den KOLMOGOROFF’schen Wahrscheinlichkeitsaxiomen Gln.

( 2.1) bis ( 2.3) gelten folgende Normierungsbedingungen Qr(d) = 0 für d ≤ du

Qr(d) = 1 für d > do ( 2.7)

du kleinste (untere) Partikelgröße do größte (obere) Partikelgröße

(2) stetig (3) monoton nicht fallend, d.h. für d1 < d2 gilt Qr(d1) ≤ Qr(d2) ( 2.8) Die Partikelgrößenverteilungsdichte (Verteilungsdichtekurve) qr(d) nach DIN 66 141 (früher fr(d)) ergibt sich nach:

)()()( dd

ddQdq rr = , ( 2.9)

d.h., man kann sie durch Differentiation der Partikelgrößenverteilungsfunktion gewinnen bzw. letztere durch Integra-tion der Verteilungsdichte erhalten. Will man die Partikelgrößenverteilungsdichte qr(d) unmittelbar aus den Mengenanteilen der Partikelgrößenklassen bestimmen, wie sie sich z. B. bei Siebanalysen ergeben, so geht man zunächst zu folgender Schreibweise von Gl.( 2.9) über:

ddQddQdq rr

dr ∆−∆+=

→∆

)()(lim)(0

. ( 2.10)

Da man die Partikelgrößenklassen im Hinblick auf die Analysenmethode nicht beliebig klein wählen kann, so werden für die numerische Berechnung entsprechend aufeinander folgende Klassengrenzen di-1 und di eingesetzt:

1ii

1iriri1ir dd

)d(Q)d(Q)d...d(q−

−− −

−=

( 2.11)

Damit ist aber die unmittelbare Zuordnung von qr zu einer bestimmten Par-tikelgröße d innerhalb der Partikelgrößenklasse di-1 ... di nicht mehr gegeben. Man erhält deshalb bei der graphischen Darstellung zunächst ein Säulendia-gramm - auch Histogramm genannt -, wie es Folie 2.6.3 und Folie 2.7 zeigt. Die Ordinate ist in mm-1 geteilt - %/mm oder sogar nur %-Angaben sind absolut falsch!

Der Übergang zum Differentialquotienten gemäß Gl.( 2.9) und damit zur stetigen Kurve für qr(d) geschieht durch Flächenausgleich. Darüber hinaus


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darf bei engeren Klassen näherungsweise als Abszissenwert auch das arithmetische Klassenmittel,

2ddd i1i

i,m+

= − ( 2.12)

bzw. bei breiterer Klasseneinteilung das logarithmische Mittel

i1i2

dlogdlog

ilog,,m dd10di1i

⋅== −

+−

( 2.13)

verwendet werden. Beide Klassenmittelwerte unterscheiden sich nur gering-fügig - Faktor 0,75 (0,9) bzw. 0,707 (0,895) - bei entsprechend enger Klas-seneinteilung nach der R 10/3-Reihe (Klammerwerte für R 10-Reihe). Bei einer Vielzahl von Messwerten (M >> 10) sollte grundsätzlich der Messbereich in diskrete Klassen eingeteilt werden. Diese Klasseneintei-lung nimmt man zweckmäßig mit den sog. Normzahlen vor. Diese Norm-zahlen (NZ) sind gerundete Glieder geometrischer Reihen, die sich wie folgt berechnen lassen:

für die R10-Reihe gilt: 25,1101010 ≈=q ( 2.14)

für die R 10/3-Reihe gilt: ( ) 210310

3/10 ≈=q . ( 2.15)

Z.B. für die Siebmaschenweiten wi oder Partikelgröße di bedeutet das:

13/10 −⋅= ii wqw bzw. 13/10 −⋅= ii dqd . ( 2.16)

Zusätzlich wird in Abhängigkeit von der Gesamtanzahl der Messwerte M folgende Klassenzahl N empfohlen (Tabelle T 2.1):

Anzahl der Messwerte m = 1... M Klassenzahl i = 1...N 5 ≤ M ≤ 25 N ≈ M/5

25 ≤ M ≤ 100 MN≈

100 < M MN lg5,41 ⋅+≈

Tabelle T 2.1: Klassenzahl N in Abhängigkeit vom Datenumfang M stetiger oder diskreter Merkmale (siehe auch Hütte (1991), S. A 139)

Falls die Verteilungsdichte mit einer logarithmisch geteilten Abszisse dargestellt werden sollte, ist über den konstanten Masseanteil zu normieren, da sonst eine logarithmische Verzerrung der Grafik zu verzeichnen ist:

.3 const=µ bzw. )(log)( *33 ddQddQ = und damit

)(/)(log)()(log)()( *33 dddddddqdddq ⋅⋅=⋅ . ( 2.17)

Die Ableitung auf der rechten Seite ist: d

elog10lnd

1)d(d

)d(logd=

⋅= , d.h.,


13 eddqdq log/)()(log 3

*3 ⋅= .

Daraus lässt sich einerseits mit dem Klassenmittelwert dm,i als Abszissen-wert gewinnen

3,2)()(log ,3*3 ⋅⋅= imii ddqdq .

Andererseits kann die transformierte Verteilungsdichte auch direkt mit

log

3*3

)()(logd

dQdq∆∆

= ( 2.18)

berechnet werden, wobei

11log, logloglog

−− =−=∆

i

iiii d

dddd ( 2.19)

ist oder näherungsweise 2loglog 3/10log, ≈≅∆ qd i . Damit lässt sich

)d/dlog()d(logq

1ii

i,3i

*3

−

µ= ( 2.20)

über den logarithmischen Klassenmittelwert Gl.( 2.13) i1iilog,,m ddd ⋅= −

iii

im ddqdd ⋅=≈= 707,0

23/10log,,

auftragen. Die Ordinate ist gemäß Gl.( 2.20) dimensionslos und sollte vor-zugsweise linear geteilt werden. Durch diese Transformation werden die hohen Masseanteile der Partikelgrößenfraktionen vergleichsweise realistisch dargestellt. Insbesondere unterbleibt die grafische Überbewertung der Feinstgutfläche (= Masseanteile) durch die geringen Größendifferenzen ∆di (vergleiche Gln.( 2.11) und ( 2.20)) bei ansonsten gleichem Teilungsfaktor, z.B. q10/3 im logarithmischen Maßstab. Bei monomodalen Verteilungsdichten ist die logarithmische Auftragung insbesondere dann sinnvoll, wenn das Merkmal wirklich über (log d) nor-mal verteilt ist, d.h. eine symmetrische Verteilungsdichte liefert. Die Ergebnisse einer Partikelgrößenanalyse stellt man vielfach zunächst in einer Tabelle zusammen. Dies ist in Folie 2.6.4 an einem Beispiel mit der Masse als Mengenart gezeigt. Diese Verteilungstafel enthält neben der Be-zeichnung der Partikelgrößenklasse i deren Masseanteil µ3,i= mi/mges sowie den zur jeweils oberen Klassengrenze gehörigen Wert der Partikelgrößen-verteilungsfunktion Q3(d < di) (Verteilungssumme). Die feinste und gröbste Partikelklasse gibt man in der Verteilungstabelle gewöhnlich ohne untere bzw. obere Begrenzung an (z. B. "-0,6 mm" und "+20 mm"), da diese im Allgemeinen nicht exakt bekannt sind. In Folie 2.6.5 sind die zur Tabelle gehörige Partikelgrößenverteilungsfunktion Q3(d) mit linearer Tei-


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lung beider Koordinaten, sog. lineares Netz, sowie die Partikelgrößenverteilungsdichte q3(d) dargestellt. Für die Kennzeichnung der Partikelgrößenverteilungsfunktion mit der Mas-se als Mengenwert wurde früher auch das Symbol D(d) (Siebdurchgang und „Durchgangskennlinie“) sowie R = 1 – D (Rückstand und „Rückstandskenn-linie“) benutzt. 2.2.2.2 Analytische Partikelgrößenverteilungsfunktionen

Da die Normalverteilung den Bereich von - ∞ bis + ∞ erfasst, dürfte sie an sich nur wenig für die approximative Beschreibung von Partikelkollektiven geeignet sein. Lediglich für Kristallisate und Agglomerate sowie bei Wahl der Masse als Mengenart hat sie sich hin und wieder als geeignet erwiesen /17/, wobei ihr aber die logarithmische Normalverteilung überlegen sein dürfte. Allgemein lautet die Normalverteilung (Folie 2.7):

σµ−

⋅−⋅π⋅⋅σ

=2

rd

21exp

21)d(q , ( 2.21)

dtt21exp

21)d(Q

d 2

r ∫∞−

σµ−

⋅−⋅π⋅⋅σ

= . ( 2.22)

Allerdings ist zu beachten, dass für die Integrationsvariable t der gesamte Wertebereich ∞<<∞− t gilt, zur Darstellung von Partikelgrößenverteilun-gen jedoch nur der Wertebereich zwischen unterer und oberer Partikelgröße

∞<≤≤< ou ddd0 ( 2.23)

physikalisch sinnvoll ist. Mit der Transformation der Integrationsvariablen

σµ−

=du und dem neuen Wertebereich -∞ ≤ u ≤ ∞ ( 2.24)

dt2

uexp21)d(Q

u 2

r ∫∞−

−⋅

π⋅= ( 2.25)

lässt sich die dimensionsbehaftete Standardabweichung σ Gl.( 2.27) vor dem Integral eliminieren (Folie 2.7). Die Parameter der Normalverteilung sind:

µ = d50 = dh ( 2.26)

d50 Zentralwert, d.h. Partikelgröße für Qr(d) = 50 % (Lagemaß) dh Modalwert, d.h. Partikelgröße des Maximums der Verteilungsdichte σ2 Varianz oder der Standardabweichung σ (Breitemaß)


15

21684 dd −

=σ ( 2.27)

d84; d16 Partikelgrößen für Qr(d84) = 84,1 % bzw. Qr(d16) = 15,9 % Man gelangt von Gl.( 2.22) über die Normierung µ = 0 und σ = 1 zur nor-mierten Normalverteilung, die gewöhnlich tabelliert vorliegt.

dt2texp

215,0dt

2texp

21)d(Q

u

0

2u 2

r ∫∫

−⋅

π⋅+=

−⋅

π⋅=

∞−

( 2.28)

Davon ausgehend sind die sog. Fehlerfunktion (error function) erf(d) und ihre Komplementärfunktion (error function complement) erfc(d) bedeutsam:

[ ] dttexp21)2d(Q2)d(erfd

0

2NVT ∫ −⋅

π=−⋅⋅= , ( 2.29)

)2d(Q2)d(erf1)d(erfc NVT ⋅⋅−=−= . ( 2.30)

Diese ergeben sich unter ausgewählten Randbedingungen als Lösungen der FOKKER-PLANCK-Differentialgleichung der statistischen Physik1 für den Transport oder die „Verschiebung“ molekularer Fluidteilchen (siehe Abschnitt 5.3.1 GPVT_5.doc#Fokker_planck). In der Schreibweise von KOLMOGOROFF (siehe GPVT_5.doc#Kolmogoroff_Dgl) drückt sie die Wahrscheinlichkeit dxtxq ⋅),( dafür aus, dass sich das betrachtete Fluidteil-

chen zum Zeitpunkt t im Intervall x bis x + dx befindet:

[ ] [ ]2

22

1

x)t,x(q)x(u

21

x)t,x(q)x(u

t)t,x(q

∂⋅∂

⋅+∂⋅∂

−=∂

∂ . (

2.31)

Das zweite Moment .const)x(D2/)x(u2 == der Geschwindigkeitsvertei-

lung entspricht einer Streuung, Mischung oder Dispersion der Fluidteil-chen um die Ortslage x = const. Es ist ein Maß des mittleren Verschie-bungsquadrates der ungeordneten Bewegung der Fluidteilchen und wird basierend auf EINSTEIN als Diffusionskoeffizient definiert. Ob nun eine Partikelgrößenverteilungsfunktion angenähert einer Normalver-teilung gehorcht, kann man mittels eines einfachen Wahrscheinlichkeits-netzes (Ordinate im Maßstab der Normalverteilungsfunktion, Abszisse line-ar geteilt) relativ einfach prüfen. Dort müssten sich nämlich die Messwerte Qr(d1), Qr(d2), ..., Qr(dn) angenähert durch eine Gerade erfassen lassen.

Dr.- Ing.habil. J. Tomas 1992 1 Risken, H.: The Fokker-Planck Equation, Methods of Solution and Applications, Springer

Verlag, Berlin 1996


16

Eine Normalverteilung wird aus einer Summe zufälliger, statistisch unab-hängiger, fehlerhafter Merkmals-Einzelwerte erhalten – svw. asymptotische NVT nach GAUSS - als Grenzwert der Wahrscheinlichkeitssumme lt. III. Axiom von KOLMOGOROFF Gl.( 2.3). Davon ausgehend ergibt das Produkt statistisch unabhängiger, fehlerhafter Merkmals-Einzelwerte (Summe der Logarithmen!) eine sog. logarithmi-schen Normalverteilung (LNVT). D.h., der Logarithmus des Merkmals ist normalverteilt. Die Eignung der logarithmischen Normalverteilung zur Beschreibung von aus Zerkleinerungsprozessen herrührenden Partikelgrö-ßenverteilungen hatte erstmalig KOLMOGOROFF /18/ aufgrund theoreti-scher Überlegungen erkannt und ist seitdem für eine ganze Reihe von An-wendungsbeispielen nachgewiesen worden /14//19/ bis /26//37/. Man gelangt zur zweiparametrigen Log-Normalverteilung durch die Sub-stitution DIN 66 144 (Folie 2.7):

ln

lndlnuσ

µ−= und ( ) t/dttlnd = ( 2.32)

( )tlndtln21exp

21)d(Q

u 2

ln

lnr ∫

∞−

σ

µ−⋅−⋅

π⋅= , ( 2.33)

wobei der Größenbereich 0 < d < ∞ und damit die transformierten Integrati-onsgrenzen -∞ < u < ∞ sind. Für die beiden Verteilungsparameter gilt

µln = ln d50 ( 2.34)

2/1

h

50

16

50

50

84

16

84ln d

dlnddln

ddln

ddln

21

=

=

=

⋅=σ . ( 2.35)

Anschaulich lässt sich diese Substitution so deuten, dass die im linearen Körnungsnetz für das Merkmal d asymmetrische Verteilung in einem ein-fach-logarithmischen Netz in eine Normalverteilung für das Merkmal ln d überführt wird. Deshalb sind µln und σln Parameter der Verteilung von ln d und dürfen nicht mit den Parametern der entsprechenden Verteilung von d verwechselt werden. Ob eine Partikelgrößenverteilung durch eine zweiparametrige Log-Normalverteilung erfassbar ist, lässt sich in einem Wahrscheinlichkeitsnetz mit logarithmischer Abszissenteilung prüfen, in dem die Messwerte eine Gerade liefern müssten. Lässt sich die Anzahlverteilung eines Partikelkollektivs durch eine Log-Normalverteilung erfassen, so gilt dies auch für die zugehörige Massever-teilung und umgekehrt /7/. Anzahl- und Masseverteilung stellen im loga-rithmischen Wahrscheinlichkeitsnetz parallele Geraden dar, d.h. mit dem Maß des Anstiegs:

ln3ln,0ln, σσσ == , ( 2.36)


17

wobei sich der Zentralwert d50 der gesuchten Mengenart k aus dem der ge-gebenen Mengenart r wie folgt ergibt /7/ /9/:

( )[ ]rkexpdd 2lnr,50k,50 −⋅σ⋅= . ( 2.37)

Eine vierparametrige logarithmische Normalverteilung mit der unteren Grenze du und der oberen Grenze do erhält man aus Gl.( 2.32) durch nach-stehende Substitution /15/:

δ

δδ σ

µ−δ=

ln,

ln,lnu , wobei ( 2.38)

ddddd

o

uo −

−⋅=δ mit du ≤ d ≤ do ( 2.39)

ist. Für du = 0 geht sie in eine dreiparametrige Log-Normalverteilung mit oberer Grenze über, die sich insbesondere für die Beschreibung von Zer-kleinerungsergebnissen eignet (siehe MVT_e_2neu.doc#deltatransformation Abschnitt 2.1.2.3, bzw. MVT_e_2neu.pdf). In der Absicht, die Partikelgrößenverteilung von Zerkleinerungsprodukten analytisch darzustellen, sind die GATES-GAUDIN-SCHUHMANN-Verteilung /27/ bis /29/ und die ROSIN-RAMMLER-SPERLING-BEN-NETT (RRSB)-Verteilung /30//31//47/ nach empirischen Untersuchungen entstanden (Folie 2.8). Die GATES-GAUDIN-SCHUHMANN-Verteilung (GGS-Verteilung, DIN 66 143) lautet:

k

o3 d

d)d(Q

= . ( 2.40)

Durch Logarithmieren erhält man daraus eine Geradengleichung:

odkdkQ lglglg 3 ⋅−⋅= bzw. AdkQ +⋅= lglg 3 , ( 2.41)

wobei odkA lg⋅−= für das jeweilige Kollektiv eine Konstante ist. Im voll-

logarithmischen Netz ergibt diese Verteilung folglich eine Gerade mit dem Anstieg k = tanα (beachte Abszissen- und Ordinatenmaßstab!). Diese Po-tenzfunktion benutzt man heute vielfach in der Schreibweise von BOND:

k

803 d

d8,0)d(Q

⋅= . ( 2.42)

Durch das Normieren auf die 80% - Partikelgröße wird die Anwendung der Potenzfunktion erleichtert, weil diese im Gegensatz zur oberen Partikelgrö-ße ohne Schwierigkeiten bestimmbar ist. Für verschiedene feingemahlene Produkte fanden Rosin und Rammler einer-seits und Sperling andererseits eine Exponentialfunktion, die in einer neuen Schreibweise (WEIBULL-Verteilung der Statistik, Folie 2.7) lautet:


18

−−=

n

633 d

dexp1)d(Q ( 2.43)

d63 Partikelgröße (Maßstabswert), für die %63e/11)d(Q3 =−= ist

n Parameter der Kurvengestalt; liegt vielfach zwischen 0,7 und 1,4. Für das zweifache Logarithmieren ist es nützlich, die RRSB-Verteilungs-funktion wie folgt umzustellen:

n

633 ddexp

)d(Q11

=

− elg

dd

)d(Q11lg

n

633

⋅

=

−

e) (lg lg + d lgn - d lgn = ))d(Q1

1 (lg lg 633−

bzw.

C+d lgn = ))d(Q1

1 (lg lg3−

, ( 2.44)

wobei C = lg (lg e) - n lg d63 für das jeweilige Kollektiv eine Konstante ist. Damit ist die RRSB-Funktion in die Gleichung einer Geraden überführt worden, deren Anstieg n = tanα ist. Für die Handhabung sind doppelt-logarithmische Körnungsnetze entwickelt worden (Folie 2.8.7 und 8): Sie zeichnen sich dadurch aus, dass die Ordinate nach lg (lg 1/(1-Q3(d)) und die Abszisse nach lg d geteilt sind. In diese Körnungsnetze sind außerdem Randmaßstäbe aufgenommen worden, welche die rasche Ermittlung des Parameters n und des Oberflächenkennwertes AS,V,K⋅d63 (siehe folgender Abschnitt 2.2.2.5) zulassen /34//35/. Man erhält diese durch Parallelver-schiebung der RRSB-Geraden durch den Pol P und liest am Schnittpunkt mit den Randmaßstäben die entsprechenden Zahlenwerte ab. Durch die Pa-rameter d63 und n ist diese Verteilung eindeutig beschrieben. 2.2.2.3 Statistische Momente

In zunehmendem Maße führen sich auch zur Kennzeichnung von Partikelg-rößenverteilungen die von den Wahrscheinlichkeitsverteilungen bekannten Momente ein /11//12//14/, die wiederum aufgrund der formal analogen ma-thematischen Struktur begrifflich der ⇒ Mechanik entlehnt wurden: statisches Moment (Drehmoment um die y-Achse, mathematisch positiv wenn entgegen dem Uhrzeigersinn nach links drehend) (Folie 2.9)

∫= dxxFM zy )( ( 2.45)

x = r Abstände der Wirkungslinien der Kräfte in z-Richtung bezüg-lich der y-Achse (Schwer- oder Drehpunktachse oder „neutra-le Faser“ bei Biegung)


19

• Trägheitsmoment

∫= dmxJ y2 ( 2.46)

• statisches Flächenmoment 1. Grades und Flächenschwerpunktsabstand xS bezüglich der y-Achse

∫= dAxSy gesyS ASx /= ( 2.47)

• Flächenmoment 2. Grades (auch sog. „Flächenträgheitsmoment“)

∫= dAxI y2 ( 2.48)

x Abstand der Flächenelemente dA in der x-y-Ebene von der y-Bezugsachse

• Satz von Steiner gültig für parallel ver-schobene Koordinaten x-y nach x*-y* mit dem Schwerpunkt als Ursprung und den Schwerpunktsabständen xS, yS

AxII Syy ⋅+= ∗2 . ( 2.49)

Diese sind nun für eine Partikelgrößenverteilung mit der Vertei-lungsdichte qr(d) wie folgt definiert:

( ) ( )∫∫ ⋅−=⋅−=o

u

o

u

d

dr

kd

dr

krkd ddQdddddqddM )()()( **

,* . ( 2.50)

rkd M ,* stellt das vollständige k-te Moment der Partikelgrößen-

verteilungsfunktion Qr(d*<d) in der Mengenart (Dimension) r bezüglich einer Partikelgröße d* dar, wobei k eine ganze Zahl ist. Da Gl.( 2.50) vielfach nicht analytisch integrierbar ist, muss auf die numeri-sche Berechnung zurückgegriffen werden:

( )∑=

⋅−=N

iir

kimrkd ddM

1,,,* * µ . ( 2.51)

N Gesamtzahl der Partikelgrößenklassen des Kollektivs

21

,ii

imddd +

= − Klassenmittelwert der i-ten Partikelgrößenklasse

di-1; di untere bzw. obere Grenze der i-ten Größenklasse µr,i Anteil der i-ten Partikelgrößenklasse in der Mengenart r Für d* = 0 erhält man die Anfangsmomente, die auch als Erwartungswer-te bezeichnet werden:

∫=0

)()(,

d

dr

krk

u

dddqdM . ( 2.52)

Bild 2.1: Koordinaten- verschiebung

y

x

x*

y*

xS

yS S


20

Mit k = 1 erhält man daraus die mittlere Partikelgröße dm,r als Schätzung des Erwartungswertes E(d) des Kollektivs (s. Absch. 2.2.2.5, Tab. T 2.2)

∫ ⋅===o

u

d

drr,mr,1 )d(d)d(qddM)d(E , ( 2.53)

wenn das Integral oder die numerische Summe absolut konvergieren:

∑=

µ⋅=N

1ii,ri,mr,m dd . ( 2.54)

Von Bedeutung sind weiterhin die zentralen Momente, d.h. die auf den „Schwerpunkt“ E(d) = dm,r bezogenen

∫ −==o

u

r,m

d

dr

kr,mr,kr,kd )d(d)d(q)dd(ZM . ( 2.55)

So stellen Z2,r ≡ σr2 die Varianz Var(d), Streuung oder Dispersion D2(d),

( )[ ] )d(D)d(Var)d(EdE 22 ==− (siehe Abschnitt 2.2.2.5, Tab. T 2.2)

( )[ ] ∫ ∫ −=−=σ=−o

u

o

u

d

d

d

d

2r,mr

2r

2r,m

2r

2r,m d)d(d)d(qd)d(d)d(q)dd(ddE ( 2.56)

( ) 2r,m

N

1ii,r

2i,m

N

1ii,r

2r,mi,m

2r dddd −µ⋅=µ⋅−=σ ∑∑

==

( 2.57)

und vr ≡ σr/dm,r den Variationskoeffizienten einer Größenverteilung dar. 2.2.2.4 Umrechnung der Mengenarten der Verteilungsfunktionen

Von Bedeutung ist die Umrechnung von Anzahlverteilungen in Volu-men- bzw. Masseverteilungen und umgekehrt (Folie 2.9 und Folie 2.10). Dafür kann man von nachstehendem Integral ausgehen

∫ ⋅d

dr

k

u

)d(d)d(qd , ( 2.58)

das ein unvollständiges k-tes Anfangsmoment der Qr-Verteilung darstellt, weil es nur den Partikelgrößenbereich du ... d erfasst. Vollständige Momen-te werden immer zwischen der kleinsten und größten Partikelgröße du...do integriert. Nennt man nunmehr nach NÖLLE /14/ /40/

∫∫=o

uu

d

dr

kd

dr

kr,k )d(d)d(qd)d(d)d(qdm ( 2.59)

die k-te Momentenfunktion der Verteilung Qr(d), dann erfüllt diese ebenfalls die durch Gln. ( 2.7) und ( 2.8) formulierten Bedingungen für Verteilungs-funktionen. Damit ergibt sich die Umrechnung von der gegebenen Men-genart r auf eine gesuchte Mengenart t bei der Verteilungsdichte


21

r,rt

rrt

t M)d(qd)d(q

−

− ⋅= ( 2.60)

und Verteilungsfunktion

∑

∑

∫

∫

=

−

=

−

−

−

−

−

µ⋅

µ⋅≈== N

1ii,r

rti,r,m

n

1ii,r

rti,r,m

d

dr

rt

d

dr

rt

d

dr,rt

d

dr,rt

t

d

d

)d(d)d(qd

)d(d)d(qd

M

M)d(Q

o

u

u

o

u

u . ( 2.61)

Somit stellt

∫

∫==

o

u

u

d

d0

3

d

d0

3

30,3

)d(d)d(qd

)d(d)d(qd)d(Qm ( 2.62)

q0(d) Verteilungsdichte der Mengenart Anzahl den Anteil aller Partikeln < d an dem Gesamtvolumen bzw. der Gesamtmas-se des Kollektivs dar. Mit Hilfe von Gl.( 2.62) können somit Anzahlvertei-lungen in Masse- bzw. Volumenverteilungen umgerechnet werden.

Vergleiche auch: 30,m

3i,m

i,030,mges

3i,mi

i,3ges

i

dd

dndn

mm

⋅µ=⋅⋅

=µ=

Für die numerische Berechnung gilt dann:

∑

∑

=

=

µ⋅

µ⋅= N

1ii,0

3i,m

n

1ii,0

3i,m

3

d

d)d(Q . ( 2.63)

µ0,i Mengenanteil (= Anzahli/Gesamtzahl) in der Mengenart Anzahl Indem n schrittweise von 1 bis N verändert wird, erhält man die entspre-chenden Verteilungssummen. Will man aus gegebener Masseverteilung die Anzahlverteilung gewinnen, so ist wie folgt vorzugehen:

∫

∫

−

−

− ==o

u

u

d

d3

3

d

d3

3

03,3

)d(d)d(qd

)d(d)d(qd)d(Qm ( 2.64)

bzw. numerisch:

∑

∑

=

−

=

−

µ⋅

µ⋅= N

1ii,3

3i,m

n

1ii,3

3i,m

0

d

d)d(Q . ( 2.65)


22

Die Umrechnung des k-ten vollständigen Anfangsmomentes von der be-kannten Mengenart r in die gesuchte Mengenart t gelingt allgemein mittels:

r,rt

r,rtkt,k M

MM

−

−+= . ( 2.66)

2.2.2.5 Kenngrößen der Partikelgrößenverteilungen

Vielfach bestehen die Notwendigkeit oder das Interesse, Partikelgrößenver-teilungen mittels Kenngrößen zu kennzeichnen. Sinnvoll sind vor allem cha-rakteristische Partikelgrößen und spezifische Oberflächen: (1) Diese Voraussetzung erfüllt die bereits durch Gl.( 2.53) definierte mitt-

lere Partikelgröße dm,r oder Erwartungswert der Verteilung. (2) Auch die Halbwerts-Partikelgröße d50,r (svw. 50 %-Quantil, Median-

oder Zentralwert) (siehe Gln.( 2.26) und ( 2.34), Tab. T 2.2), (3) oder der Modalwert bzw. die häufigste Partikelgröße dh werden zur

Kennzeichnung eines Partikelkollektivs benötigt (siehe Gl.( 2.26)). (4) In der MVT benutzt man zur Kennzeichnung von Zerkleinerungsproduk-

ten auch die 95 %-Partikelgröße d95 und die 80 %-Partikelgröße d80 der Masseverteilungen (siehe Gl.( 2.42)). Die Erstgenannte stellt auch einen Ersatz für die obere Partikelgröße do dar, da diese gewöhnlich messtechnisch schwer bestimmbar ist.

(5) Eine von der Mengenart unabhängige granulometrische Kenngröße ist der Sauter-Durchmesser dST.

Dabei ist dST der Kugeldurchmesser eines monodispersen Kollektivs, das das gleiche Gesamtvolumen V und die gleiche Gesamtoberfläche AS,K wie das durch volumenäquivalente Kugeln idealisierte reale polydisperse Kollektiv hat (NK, NK* - Kugel- oder Partikelzahlen):

0,2

0,3d

d0

2*K

d

d0

3*K

2STK

3STK

K,SST M

M

)d(d)d(qdN

)d(d)d(qdN

dN

d6

N6

AV6d

o

u

o

u ==π

π

==

∫

∫. ( 2.67)

Mit Gl.( 2.66) lässt sich auch der Index erweitern und es folgt:

2,10,02

0,021

0,2

0,3ST M

MM

MM

d ===−

−+ . ( 2.68)

Ebenso kann mit Gl.( 2.66) aus einer vorliegenden Masseverteilung r = 3 das erste k = 1 vollständige Anfangsmoment der Flächenverteilung t = 2 berech-net werden, mit der Normierungsbedingung k = 0 für das sichere Ereignis:


23

1)d(d)d(qdMo

u

0d

d33,0 == ∫ , ( 2.69)

∫−

=====−−−

−+

o

u

1d

d3

3,13,1

3,0

3,32

3,3212,1ST

)d(d)d(qd

1M

1MM

MM

Md ( 2.70)

1N

1i

1

K,SST i,3i;m

dA

V6d−

=

−

µ⋅=

⋅= ∑ . ( 2.71)

Über die statistischen Momente können mit Gl.( 2.66) weitere integrale Partikelgrößen dk,r gebildet werden:

( )k

r

rkkrkrk M

MMd

/1

0,

0,/1,,

== + . ( 2.72)

Die wesentlichen Kennwerte von Partikelgrößenverteilungen werden in der Tabelle T 2.2 zusammengefasst:

Tabelle T 2.2: Charakteristische Kennwerte von Partikelgrößenverteilungen

Kennwert LNVT RRSB GGS Zentralwert r,50rln, dln=µ ( ) n/1

3,633,50 2lndd ⋅= k/13,803,50 )8/5(dd ⋅=

Varianz 2

16

842ln d

dln21

⋅=σ

{[ ] }2

263

2

)n/11(

)n/21(d

+Γ−

+Γ=σ

2

k/22

3,802

)k1)(k2(k)4/5(d

++⋅

⋅=σ

Modalwert ( )2lnr,50r,h expdd σ−⋅=

n/1

3,633,h n11dd

−⋅= -

Erwartungswert, Mittelwert

σ⋅=

2expdd

2ln

r,50r,m

+Γ⋅=

n11dd 3,633,m

k/11)4/5(d

dk/1

3,803,m +

⋅=

SAUTER-Durchmesser

σ⋅⋅=

25expdd

2ln

0,50ST ( )n/11d

d 3,63ST −Γ=

−⋅⋅=

k11)4/5(dd k/1

3,80ST

Mit ∫∞

−⋅−=Γ0

x1 dtt)texp()x( , )!1N()N( −=Γ , z.B. 1)2( =Γ , π=Γ )5,0(

Die spezifische Oberfläche (S = surface, sp - spezifisch) AS,sp ist eine Kenngröße, die sich zur integralen Charakterisierung eines Partikelkollektivs eignet. Sofern die Oberfläche nicht unmittelbar experi-mentell bestimmt wird, ist sie auch mit Hilfe der Partikelgrößenverteilung berechenbar. Die spezifische Oberfläche ergibt sich mit Hilfe der Anzahl-verteilung wie folgt:


24

ST0,3

0,2d

d0

3

d

d0

2

sp,S d1f

MM

f)d(d)d(qd

)d(d)d(qdfA

o

u

o

u ⋅=⋅=⋅=

∫

∫, ( 2.73)

wobei für den Faktor f gilt: a) zur Berechnung der volumenbezogenen Oberfläche AS,V (ψA -

Sphärizitätsfaktor, berücksichtigt die Partikelform):

AV

6fψ

= mit S

K,SA A

A=ψ ( 2.74)

b) zur Berechnung der massebezogenen Oberfläche AS,m:

sAmf ρψ ⋅=

6 . ( 2.75)

Für Vergleiche setzt man meist ψA = 1. Für die Umrechnung in die Men-genart Masse gilt mit der Gl.( 2.66):

∫⋅=⋅=⋅= −

o

u

d

d33,1

0,3

0,2sp,S )d(d)d(q

d1fMf

MM

fA . ( 2.76)

Daraus folgt für die numerische Berechnung mit Hilfe einer genügend gro-ßen Zahl von Partikelgrößenklassen:

∑=

⋅=N

i im

ispS d

fA1 ,

,3,

µ. ( 2.77)

Aus den Gln.( 2.73) und ( 2.77) ist unmittelbar zu erkennen, dass für die spezifische Oberfläche eines Kollektivs insbesondere die jeweils feinsten Klassen maßgebend sind. Deshalb ist bei der numerischer Berechnung nach Gl.( 2.77), sowohl der unteren Grenze du als auch der Klasseneinteilung nach der feineren Seite hin besondere Beachtung zu schenken. Weiterhin sind verschiedene graphische Methoden zur Ermittlung der spezifischen Oberfläche vorgeschlagen worden (siehe z. B. /9/ /11/ /44/ bis /46/). 2.2.2.6 Multimodale Partikelgrößenverteilungen ⇒ siehe Folie 2.11 …Damit lassen sich insbesondere die Teilkollektive mehrmodaler Vertei-lungsfunktionen besser erkennen (siehe z.B. Abschnitt 2.1.2, MVT_e_2neu.doc, MVT_e_2neu.pdf). Eine klare Erkennbarkeit der Teil-kollektive sollte jedoch Voraussetzung für diese computergestützte Auswer-temethode sein …


25

2.2.3 Messung von Partikelgrößenverteilungen Die Aufgabe der Partikelgrößenanalyse besteht darin, anhand repräsentativer Proben die Partikelgrößenverteilung zu ermitteln. In diesem Abschnitt wird ein Überblick über die dafür in Betracht zu ziehenden Methoden vermittelt. Auch die Partikelgrößenanalyse setzt wie jede andere Beurteilung einer Ei-genschaft eines körnigen Stoffes die Lösung des Problems der Probenah-me voraus. Die Analysenmethoden zur Ermittlung von Partikelgrößenverteilungen un-terscheiden sich zunächst danach, ob die Messwertbestimmung an Masse-anteilen geschieht oder ob die Mehrwerterfassung an Einzelpartikeln des zu analysierenden Körnerkollektivs vorgenommen wird. Letztere werden auch als Zählmethoden bezeichnet. Die zuerst genannte Gruppe lässt sich weiter in Klassiermethoden und Sedimentationsmethoden gliedern. - Für die Klassiermethoden ist charakteristisch, dass die Endprobe des zu

analysierenden Kollektivs durch Trennschnitte in Partikelgrößenklassen zerlegt und deren Teilmassen durch Auswägen bestimmt werden. Man erhält folglich die Masseverteilungsdichte q3(di-1 ... di) gemäß Gl.( 2.11).

- Bei den Sedimentationsmethoden wird demgegenüber von den zeitab-hängigen Feststoffkonzentrationsänderungen in der Messzone einer Suspensionssäule, die eine Folge der von der Partikelgröße abhängigen Sinkgeschwindigkeiten in genügend verdünnten Suspensionen sind, auf die Partikelgrößenverteilung geschlossen.

2.2.3.1 Prüfsiebmethoden Bei den sehr verbreiteten und über einen weiten Partikelgrößenbereich (we-nige µm bis mehr als 100 mm) einsetzbaren Siebmethoden wird die Probe mit Hilfe von Prüfsiebböden in Partikelgrößenklassen zerlegt. Hierbei bilden sich die lichten Öffnungsweiten wi der Siebböden, die Grundlage für die Partikelgrößenbewertung. Die entsprechenden Geräte und Methoden für die Siebanalysen sind in allen Industrieländern Gegenstand der Normung (siehe auch DIN 66 165). Die Siebung erfolgt entweder nacheinander auf Einzelsieben, wobei die Reihenfolge von fein nach grob sowie umgekehrt sein kann, oder die Prüf-siebe werden zu Siebsätzen zusammengestellt, siehe Folie 2.12.9a. Im letzt-genannten Falle ist nur die Anordnung von grob nach fein möglich. Sieht man zunächst von den Methoden ab, die sich eines Fluidstromes für den Siebguttransport bedienen, so werden Sieb bzw. Siebsatz mit der aufge-gebenen Probe entweder von Hand (Handsiebung) oder aber vorherrschend mittels einer Prüfsiebmaschine (Maschinensiebung) so bewegt (im Allge-


26

meinen schwingend), dass Körner und Siebboden Relativbewegungen aus-führen. Dabei sollte innerhalb einer gewissen Zeit jedem Partikel Gelegen-heit gegeben werden, jene Siebböden zu passieren, durch deren Sieböffnun-gen es aufgrund seiner Abmessungen schlüpfen kann. Folglich ist die Fest-legung einer angemessenen Siebzeit ein wesentliches Problem. Nach vorliegenden Erfahrungen sollte etwa so lange gesiebt werden, bis sich der Siebrückstand auf dem Siebboden um weniger als 0,1 % der Masse des Aufgabegutes in der Minute ändert. Allerdings ist die Abriebempfind-lichkeit des Prüfgutes in diese Überlegungen einzubeziehen. Die Siebgut-bewegung kann auch mit Hilfe eines Spülstromes geschehen (Schlämmsie-bung und Luftstrahlsiebung). Im Anschluss an die Absiebung werden die Teilmassen ausgewogen und den entsprechenden Partikelgrößenklassen di-1 ... di zugeordnet. Die hinsichtlich ihrer Durchführung relativ einfach er-scheinenden Siebmethoden dürfen aber keinesfalls unterschätzt werden (sie-he z.B. /48/ /40/ /57/ /63/). Die besonders zu beachtenden Probleme sind * die Qualität der Prüfsiebböden, * die Schwingungsparameter, * die Siebzeit, * die Agglomerations- und Haftneigung und * die Abriebempfindlichkeit. 2.2.3.2 Sedimentations- und Stromklassiermethoden

Zu den Klassiermethoden zählen weiterhin die Stromklassiermethoden (DIN 66 111), deren Anwendung sich auf den Fein- und Feinstkornbereich er-streckt. Hierbei werden die Unterschiede der Sinkgeschwindigkeiten bzw. Bewegungsbahnen ausgenutzt, die Körner in einem Fluid unter der Wir-kung von Feld-, Strömungs- und Trägheitskräften erreichen bzw. zurückle-gen. Letztlich sind es die bei der Umströmung auftretenden Partikelgrößen-abhängigen Widerstandskräfte, die den Klassiereffekt bewirken. Als Wirkprinzipien (siehe auch Abschnitt 5.1 GPVT_5.doc oder Foli-en_GPVT_5.pdf) kommen das Gegenstromprinzip oder das Querstrom-prinzip in Betracht, je nachdem, ob die Kraftfeld-Richtung entgegen oder quer zur Fluidströmung verläuft. Da mittels des Gegenstromprinzips höhere Trennschärfen erzielbar sind /5/, sollte es für die Partikelgrößenanalyse vorgezogen werden. Eine solche Trennung ist in Folie 2.12.9b schematisch dargestellt. Körner, deren Sinkge-schwindigkeit größer als die Strömungsgeschwindigkeit ist, gelangen der Strömung entgegen in die gröbere Klasse, die anderen werden in Strömungs-richtung in die feinere Klasse ausgetragen. Durch Wiederholen bei verschie-


27

denen Strömungsgeschwindigkeiten bzw. unterschiedlicher Feldstärke erhält man mehrere Sinkgeschwindigkeitsklassen. Diese lassen sich durch die sie begrenzenden äquivalenten Partikelgrößen kennzeichnen. Als Fluid kommt heute fast nur noch Luft in Betracht. Dementsprechend spricht man von Sichtmethoden. Es sind sowohl solche für das Schwerkraftfeld als auch in Zentrifugalkraftfeldern entwickelt worden /7/9//10//17//51/. Die für Partikelgrößenanalysen im Feinstpartikelbereich verbreiteten Sedi-mentationsmethoden (siehe z. B. /7//9//10//55//58//61//64/) beruhen darauf, dass die Körner (ρs > ρf) unter der Wirkung eines Kraftfeldes nach einer meist vernachlässigbaren Beschleunigungperiode mit ihrer stationären Sink-geschwindigkeit sedimentieren. Für die Analyse muss zunächst eine genü-gend verdünnte Suspension vorliegen, in der die Körner dispergiert sind, so dass die Bedingungen einer unbehinderten Einzelpartikelsedimentation gegeben sind, d.h., das Partikelabstandsverhältnis ka = a/d ≈ 2 oder der Fest-stoffvolumenanteil ϕs nach Gl.( 2.120) sollten etwa

%2,0VV

VVV

ls

s

s

ss ≤

+==ϕ ( 2.78)

Vs Feststoffvolumen Vl Flüssigkeitsvolumen nicht übersteigen. Bei der vorherrschenden Suspensionsmethoden muss zur Zeit t = 0 eine räumliche Gleichverteilung der Körner aller Sinkgeschwin-digkeitsklassen vs ... vs + ∆vs gewährleistet sein. Hinsichtlich der Messwertgewinnung ist nun noch weiter in inkrementale und kumulative Methoden zu gliedern. Bei den inkrementalen Methoden erfasst man die Feststoffkonzentrationen in einem im Abstand H von der Suspensionsoberfläche befindlichen hori-zontalen Volumenelement dV (Folie 2.12.10a). Bei t = 0 enthält dieses eine Feststoffmasse m(t = 0), die aus Partikeln aller Größen bzw. stationären Sinkgeschwindigkeiten vs gemäß der Probenzu-sammensetzung besteht. Nach einer Zeit dt haben alle Partikeln mit vs > dh/dt dieses Volumenelement verlassen, während solche mit vs < dh/dt in ihm noch mit ihrer Anfangskonzentration enthalten sind. Somit folgt für die Verteilungsfunktion Q3(vs) der stationären Sinkgeschwindigkeiten in der Mengenart Masse unmittelbar:

)0t(m)v/dht(m

)0t(m)dt/dhv(m)v(Q ss

s3 =≤

==

≤= . ( 2.79)

Gl.( 2.6) liefert dann die zu den stationären Sinkgeschwindigkeiten gehö-renden äquivalenten Partikelgrößen. Die Erfassung der Feststoffkonzentrati-on im betrachteten Volumenelement geschieht vorwiegend gravimetrisch, d.h. aus Teilvolumina, die nach entsprechenden Zeiten mittels Pipetten ab-


28

gezogen werden (Sedimentations-Pipetten), oder mit Hilfe der Absorption elektromagnetischer Strahlung (Foto-Sedimentometer, Röntgen-Sedimen-tometer). Zu den kumulativen Sedimentationsmethoden zählen die Sedimentations-waagen (Folie 2.12.10c), bei denen die am unteren Ende der Suspensions-säule aussedimentierenden Körner in Abhängigkeit von der Zeit gewogen werden. Bei den im Vergleich zu den Suspensionsmethoden weniger verbreiteten Überschichtungsmethoden geht man so vor, dass zur Zeit t = 0 auf die zunächst feststofffreie Sedimentationsflüssigkeit eine dünne Suspensions-schicht der zu untersuchenden Probe aufgebracht wird (Folie 2.12.10b). Die Körner sedimentieren anschließend in die Flüssigkeit hinein und bewirken orts- und zeitabhängige Konzentrationsänderungen, aus denen inkrementell oder kumulativ auf die Partikelgrößenverteilung geschlossen werden kann. Sowohl Suspensionsmethoden als auch Überschichtungsmethoden lassen sich in Schwerkraftfeld und in Zentrifugalkraftfeldern realisieren. 2.2.3.3 Zählmethoden

Für Methoden, bei denen die Messwerte für jedes einzelne Partikel eines Kollektivs registriert werden, hat sich die Bezeichnung Zählmethoden ein-gebürgert, weil das Gemeinsame der hinsichtlich Mess- und Auswerteme-thodik zahlreichen Varianten darin besteht, dass die Mengenart jeweils eine Anzahl ist und folglich Anzahlverteilungen bestimmt werden (siehe z.B. auch /7//9/ /55//58//59/). Je nachdem, ob die Partikel selbst oder ihre Abbil-dungen ausgemessen werden, spricht man von unmittelbaren oder mittelba-ren (abbildenden) Methoden. Eine prinzipielle Voraussetzung für die An-wendung aller Zählmethoden besteht darin, dass der Messzone die Parti-keln einzeln und nacheinander zugeführt werden. Als Partikelgrößen-merkmale werden charakteristische * Längen, * Umfang oder * Fläche der Partikelprojektion, * Partikelvolumen sowie -masse oder * durch die Partikeln hervorgerufene Feldstörungen benutzt. Für unmittelbare mechanische Messungen kann man eine Partikelschiebelehre (Folie 2.12.11) die Einzelpartikelwägung und Einzelpartikelsiebung anwenden. 2.2.3.4 Abbildende Methoden - Bildverarbeitung


29

Von den abbildenden Methoden sind die * Makro- und Mikrofotografie, * die Licht- und die Elektronenmikroskopie zu nennen. Die Auswertung der Abbildungen geschieht mittels * direkter Längenmessung, * Messokularen, * Punktzählgeräten, * Bildabtastung, * optisch-elektronischer Bildanalyse (Videotechnik) und anderer Metho-den (siehe z.B. /9//10//67//68//69/). ⇒ siehe Folie 2.13. 2.2.3.5 Feldstörungen Bei Messungen von Feldstörungen, die für feinste Partikeln anwendbar sind, werden diese vereinzelt nacheinander in flüssiger oder gasförmiger Phase durch ein Messvolumen bewegt, wobei sie ein dort herrschendes Feld auf-grund ihrer Anwesenheit beeinflussen. Die Feldstörung wird von einem De-tektor in ein elektrisches Signal umgeformt.

Beim Coulter-Prinzip werden die in einem Elektrolyten suspendierten Parti-keln durch eine Mikroöffnung (Düse) gesaugt, in der ein elektrisches Feld anliegt (siehe z. B. /7//9//10//55//58/ bis /60/). Jeder Partikeldurchgang ver-ursacht eine dem Partikelvolumen angenähert proportionale, kurzzeitige Widerstandsänderung, die als Spannungsimpuls erfasst wird.

Wird die Ausbreitung von Lichtwellen durch Partikeln beeinflusst, so kann man diese Störung ebenfalls für die Größenanalyse benutzen. Die ausge-nutzten physikalischen Effekte sind die Streuung und die Absorption von Lichtwellen an kleinen Partikeln. * Unter Streuung versteht man die Ablenkung von Lichtwellen aus ihrer

ursprünglichen Richtung durch Reflexion, Brechung oder Beugung an den feinen Partikeln.

* Absorption ist die Schwächung der Lichtwellen durch Umwandlung in andere Energieformen.

Im Allgemeinen verwendet man aber in diesem Zusammenhang den Begriff Extinktion, wobei je nach der gewählten optischen Anordnung die Schwä-chung des einfallenden Lichtes nicht nur durch Absorption, sondern auch gleichzeitig durch Streuung geschieht. Hinsichtlich das für die Partikelgrößenanalyse ausgenutzten optischen Effektes sind Analysen * der Beugungsspektren * des Streulichtes und der


30

* Extinktion zu unterscheiden (siehe hierzu z. B. /10//55//58//59//62/). Diese Methoden haben in Anbetracht der Verknüpfung mit preiswerter PC-Technik in neue-rer Zeit an Bedeutung sehr stark zugenommen. 2.2.3.6 Laserlichtbeugung Die Höhe der empfangenen Lichtintensität I als Maß der Strahlungsstärke (= Energiestrom/Fläche in W/m2) ist im Wesentlichen abhängig von der Parti-kelgröße d, der Wellenlänge des einfallenden Lichtes (z.B. λ = 633 nm für He-Ne-Laser), dem Streuwinkel θ und dem Brechungsindex n - für homo-gene isotrope Kugel siehe Theorie von G. MIE (1908):

),,,(0 ndfII λθ⋅= . ( 2.80)

I0 Intensität des einfallenden Lichtes

Bild 2.2: Messprinzip einer Beugungsmessung

Für den Bereich der FRAUNHOFER-Beugung am Spalt/Gitter muss die charakteristische Abmessung d > 5 λ sein. Dieses Gitter wird nun durch Kreisringblenden (Durchmesser D1, D2) und durch eine Monoschicht der Partikeln gebildet (verdünnte Suspensionen oder Aerosole), deren Bewe-gung das Beugungsmuster nicht ändert. Damit ist auch eine Messung bei kontinuierlicher Zufuhr möglich. Die empfangene Lichtintensität hängt sehr stark vom Streuwinkel ab. Sie ist an der hellsten Stelle bei θ = 0° (sog. POISSON-Fleck) I ∼ d4 sowie für θ ≠ 0° I ∼ d2. Gemessen wird die relative Lichtenergie ∆E

[ ]i

z

iDDiiiDD JJJJdQkE ∑

=

+−+∆=∆1

21

20

21

20

2,0... 2121

)()( . ( 2.81)

ki, J0, J1 Konstanten ∆Q0,i Anzahlanteile

Diese Gleichung lässt sich bei bekannten Konstanten nach den unbekannten Anzahlanteilen µ0,i ≡ ∆Q0,i in den Größenklassen i auflösen,.

Lichtquelle, Intensität I0

Sammellinse

Beugungswinkel θ

Partikelstrom Detektor, Intensität I

Messvolumen


31

2.2.3.6.1 Laborgeräte

⇒ siehe Folie 2.14 2.2.3.6.2 In-Line-Geräte

⇒ siehe Folie 2.15, Folie 2.16) 2.2.3.7 Streulichtmethoden (Photonenkorrelationsspektrometrie) Im Übergangs- oder MIE-Bereich, d.h. d ≈ λ, besteht ebenfalls keine Sym-metrie der Streulichtverteilung. Es bildet sich ein Maximum bei θ = 0° her-aus (sog. Vorwärtskeule). Wenn die Partikelgröße d < λ kleiner ist als die Wellenlänge des beleuchtenden Lichtes, z.B. in einer molekular- oder kollo-iddispersen Lösung, tritt eine gleichmäßige winkelunabhängige Streuung beim Durchgang auf (TYNDALL-Effekt). Dabei wird das Licht in Abhän-gigkeit von der Partikelgröße, -form und -art polarisiert und zwar senkrecht zur einfallenden Strahlrichtung am stärksten.

Bild 2.3: Lichtstreuung in einer kolloiden Lösung (Folie 2.17,)

Bei monodispersen kugelförmigen Partikeln in verdünnter Dispersion gilt für die gesamte Streulichtintensität I nach RAYLEIGH d < λ/10:

θ⋅

⋅+−

⋅λ

⋅⋅⋅

π= 2

2

2B

2P,B

2B

2P,B

2D

4

6n

4

0 sinn2n

nna

dVc4

I/I ( 2.82)

aD Abstand zwischen Streulichtemitter und Detektor cn Anzahlkonzentration der Partikeln (Anzahl/ml Dispersion) V Streuvolumen der Dispersion

λ Wellenlänge des einfallenden Lichtes (= 633 nm für He-Ne-Laser) (Tabelle T 2.3)

Wellenlänge der einzelnen Farbbereiche des Lichtes λ in nm UV - Violett - Blau - Grün - Gelb - Orange - Rot - Infrarot

390 430 490 570 600 710 770

Lichtquelle, Intensität I0

Sammellinse

kolloide Lösung

TYNDALL-Kegel


32

Die Streulichtintensität ist folglich proportional der Anzahlkonzentration der Partikel cn, der Partikelgröße d6 und abhängig von einem ausreichen-den Unterschied der Brechungsindizes von Partikel und Dispersionsmittel. nB,P Brechungsindex des Partikels nB Brechungsindex des Dispersionsmittels mit

1sinsin

ccn Vakuum

B ≥βα

== ( 2.83)

cVakuum = 299 792 km/s Lichtgeschwindigkeit im Vakuum (299 711 km/s in Luft (⇒ Vakuum ≡ Luft), 225 000 km/s in Wasser) wobei Tc /λ=

mit T Schwingungsperiode α Einfallswinkel des Lichtstrahles zur Flächennormalen (Senkrechten)

der Grenzfläche gemessen β Brechungswinkel des Lichtstrahles zur Normalen der Grenzfläche Die Partikelgröße d lässt sich nach der EINSTEIN-Gleichung2 mit Hilfe des Diffusionskoeffizienten DP der Partikel bestimmen (kB = R/NA BOLZ-MANN-Konstante, T Temperatur, η dynamische Viskosität), Folie 2.17:

P

B

D3Tkd⋅η⋅π⋅⋅

= ( 2.84)

2.2.3.8 Kombination von Laserlichtbeugung und Streulicht ⇒ siehe Folie 2.18 und Folie 2.19 2.2.3.9 Ultraschalldämpfungsspektrometer ⇒ siehe Folie 2.20, Folie 2.21 2.2.3.10 On-Line-Methode mittels Photolumineszenz ⇒ siehe Folie 2.22, Folie 2.23, Folie 2.24 2.2.3.11 Beurteilung der Einsetzbarkeit

Wenn man die im Vorstehenden erwähnten Methoden hinsichtlich ihrer Be-deutung für die MVT beurteilt, so ist Folgendes zu sagen: Die am meisten angewendeten Methoden sind neben den klassischen Sieb-methoden, die bislang für Analysen im Partikelgrößenbereich > 40 µm aus-

Dr.- Ing.habil. J. Tomas 1992 2 Einstein, A., Über die von der molekularkinetischen Theorie der Wärme geforderte Bewe-

gung von in ruhenden Flüssigkeiten suspendierten Teilchen, Ann. d. Physik 19 (1906) 549-

560.


33

gesprochen dominierten, die optischen Partikelanalysemethoden (Laser-lichtbeugung und -streuung) zu nennen. Neben den Letzteren, die an Bedeutung in den letzten Jahren stark zuge-nommen haben, sind für Partikelgrößenanalysen im Fein- und Feinstkornbereich in der MVT die Sedimentationsmethoden (Sedimenta-tions-Pipetten, Röntgen-Sedimentometer) und Sichtmethoden (Zentrifugalkraftsichter) eingeführt. Andere Methoden werden seltener angewendet, haben aber in anderen industriellen Bereichen teilweise große Bedeutung erlangt. Infolgedessen wird in den späteren Abschnitten vorwie-gend auf die für die in der MVT wichtigen Methoden zurückgekommen. 2.2.4 Pyknometrische Messung der Partikeldichte ⇒ siehe Folie 2.25 2.2.5 Messung der Oberfläche eines Partikelkollektivs

Außer der Berechnung der spezifischen Oberfläche auf Grundlage der Partikelgrößenverteilung (siehe 2.2.2.5) besteht die Möglichkeit, einen von der Oberfläche abhängigen physikalischen Effekt zu messen und damit die spezifische Oberfläche zu berechnen. 2.2.5.1 Permeabilitätsmethoden Bei den Permeabilitätsmethoden wird die zu untersuchende Probe in einen kleinen Hohlzylinder als Zufallspackung eingebracht und angemessen ver-dichtet. Bei bekannter Geometrie und Porosität des "Pfropfens" lässt sich aus dem Widerstand, den ein Fluid beim Durchströmen erfährt, auf die vo-lumenbezogene Oberfläche schließen. Dieser Widerstand ist umso größer, je feiner die Körnung des Pfropfens unter sonst gleichen Bedingungen ist. (Permeabilitätsmessung ⇒ siehe auch Praktikum Partikelgrößenanalyse)

3ST

2f

23

2

2ST

1b

)1(d

uk)1(d

ukh

pεε−ρ

+εε−η

=∆ ( 2.85)

- Der erste Term dieser Gleichung ist offensichtlich bei vorwiegender Zähigkeitswirkung ∼ηu wesentlich und - der zweite dagegen bei dominierenden Trägheitskräften ∼ρf u2 . Stellt man diese Gl. zur Berechnung des Druckverlustes in Partikelbetten wie folgt um:

u)1(d

k)1(d

kuhp

3ST

f23

2

2ST

1b

⋅εε−ρ

+εε−η

=∆ , ( 2.86)


34

so erfüllt )(ufuhp

b

=∆ bei Gültigkeit dieses Widerstandsgesetzes die Glei-

chung einer Geraden. Misst man ∆p für verschiedene u bzw. ρf⋅u und sind hb, ρf, η, ε, k1 und k2 bekannt, so kann die volumenbezogene Oberfläche sowohl aus dem Ordinatenabschnitt als auch aus den Anstieg der Geraden bestimmt werden (beachte: dST = 6 V/AS,K). Dies bildet die physikalische Grundlage für die Permeabilitätsmethoden zur Oberflächenbestimmung. (Folie 2.26) Bei genügend feinem Gut (etwa AS,m > 0,1 m2/g) kann man unter bestimm-ten Voraussetzungen von der Menge an Molekülen, die an den Partikelober-flächen für die Bildung einer monomolekularen Adsorptionsschicht erfor-derlich sind, auf die Oberfläche schließen, wenn der Platzbedarf eines Mo-leküls in der Adsorptionsschicht bekannt ist (Adsorptionsmethoden). 2.2.5.2 Adsorptionsmethode der Oberflächenmessung

Das Prinzip der Oberflächenmessung durch Sorption beruht darauf, dass die Oberfläche eines Adsorbens (Feststoffes) Gasmoleküle (Adsorptiv) oder Moleküle eines in einer Flüssigkeit gelösten Stoffes in bestimmter Menge adsorbiert und diese adsorbierte Menge (Adsorpt) unter gewissen Bedin-gungen proportional der absoluten Größe der Oberfläche ist (vgl. auch DIN 66 131). Da ein an der Feststoffoberfläche sorbiertes Gasmolekül eine bestimmte, von der Art des Gases abhängige Fläche AM,g einnimmt, lässt sich die bela-dene Feststoffoberfläche AS (= Adsorbat) unter der Annahme einer dichten Monoschichtpackung der Adsorbtmoleküle berechnen:

l,mmono,gAg,MS V/VNAA ⋅⋅= . ( 2.87)

AM,g Platzbedarf eines Adsorptmoleküls NA AVOGADRO-Zahl Vm,l Molvolumen des kondensierten Adsorpt (siehe Gl.( 2.104))

in (m3/kmol) Vg,mono Adsorptvolumen der monomolekularen Schicht Mit den nachfolgend beschriebenen Adsorptionsmethoden wird das Adsorptvolumen der Monoschicht Vg,mono ermittelt. 2.2.5.2.1 Gasadsorption und BET-Methode. ⇒ siehe Folie 2.27, Folie 2.28


35

Bei sehr kleinen relativen Gaspartialdrücken p (gewöhnlich p/p0 << 0,1) beobachtet man einen linearen Anstieg des Adsorptmengenanteils Xg (Bela-dung in g/g) in Abhängigkeit vom Partialdruck bzw. -verhältnis des Adsorp-tives (Gases bei T < Tkrit) - analog zur Gasabsorption bzw. -löslichkeit in Flüssigkeiten nach dem HENRY’schen Gesetz:

pCV Ag ⋅= bzw. 0*Ag p/pCX ⋅= ( 2.88)

Vg Adsorptvolumen CA Adsorptionskonstante p0(T) der Sättigungsdampfdruck des verwendeten Gases bei der Adsorp-

tionstemperatur T

Bild 2.4: Adsorptionsisotherme

Mit zunehmenden Druck, gewöhnlich p/p0 < 0,1, scheint sich jedoch die Beladung einem Grenzwert zu nähern, der von LANGMUIR als monomole-kulare Belegung der Oberfläche gedeutet wurde:

0L

0L

mono,g

g

p/pC1p/pC

VV

⋅+⋅

= . ( 2.89)

Vg,mono ist das Adsorptvolumen der monomolekularen Schicht

⋅

∆=

TRHC m

L exp . ( 2.90)

∆H m freiwerdende molare Adsorptionsenthalpie der Monoschicht (= Pha-senumwandlungswärme bei konstanter Temperatur infolge der Bin-dungsenergie zwischen Adsorbens und Adsorptiv)

Im Exponenten steht das Verhältnis der Bindungsenergie der Adsorption zur kinetischen Energie der Gasmoleküle. Allerdings wird bei höheren Gaspar-tialdrücken der Beladungsanstieg in der Regel immer steiler.

rel. Partialdruck p/p0 1 0

T = const. < Tkrit mono,g

g

mono,g

g

XX

.bzwV

V


36

Bild 2.5: Mehrschichtadsorption

Dies ist zunächst auf die Adsorption in mehreren Schichten zurückzuführen (Bild 1.5). Nach BRUNAUER, EMMET und TELLER3 gilt bei der Adsorp-tion von n möglichen Schichten4:

( ) ( )( ) ( ) 1n

0BET0BET

1n0

n0

0

0BET

mono,g

g

p/pCp/p1C1p/pnp/p)1n(1

p/p1p/pC

VV

+

+

⋅−⋅−+⋅+⋅+−

⋅−⋅

= . ( 2.91)

⋅∆−∆

=TRHHexpC multim

BET ( 2.92)

ist eine von der Temperatur abhängige Adsorptionskonstante, mit ∆H m freiwerdende molare Adsorptionsenthalpie der Monoschicht ∆H multi molare Bindungsenthalpie (-energie) von n Multischichten bei ab-

nehmender Intensität der Bindungen, ≅ ∆HK Kondensationsenthalpie des Gases bzw. ≅ -∆HV Verdampfungsenthalpie des Kondensates

Für den Grenzübergang unendlicher Schichtenzahl n → ∞ erhält man die sog. BET-Gleichung, die die isotherme Sorption im Bereich des relativen Druckes 0,05 ≤ p/p0 < 0,35 beschreibt [105]:

( ) 0BET

BET

0

0

mono,g

g

p/p1C1C

p/p1p/p

VV

⋅−+⋅

−= . ( 2.93)

Aus Gl.( 2.93) lässt sich durch Umformen eine Geraden-Gleichung ableiten:

( ) 0BETmono,g

BET

BETmono,g0g

0 p/pCV

1CCV

1p/p1V

p/p⋅

⋅−

+⋅

=−

. ( 2.94)

Dr.- Ing.habil. J. Tomas 1992 3 http://de.wikipedia.org/wiki/Edward_Teller 4 http://www.ipc.uni-jena.de/downloads/IPC/Lehre/PCII_11_BET.pdf

0 1 rel. Partialdruck p/p0

1

2

mono,g

g

mono,g

g

XX

.bzwV

V

n = 1

n = 4 n = ∞

CBET = 2

http://de.wikipedia.org/wiki/Edward_Teller

http://www.ipc.uni-jena.de/downloads/IPC/Lehre/PCII_11_BET.pdf


37

Bezeichnet man den linken Teil der Gleichung mit y und trägt ihn als Funk-tion von p/p0 auf, so stellt Gl.( 2.93) eine Gerade der Form

0p/pbay ⋅+= ( 2.95)

mit dem Achsenabschnitt a und der Steigerung b dar. a = 1 / (Vg,mono CBET) ( 2.96) b = (CBET - 1) / (Vg,mono CBET) ( 2.97) Aus der transformierten Messgeraden mit a bzw. b lassen sich das Monosorbatvolumen Vg,mono und die Konstante CBET bestimmen: Vg,mono = (a + b)-1, ( 2.98) CBET = (a + b) / a. ( 2.99) 2.2.5.2.2 Einpunkt-BET-Methode

Für die meisten Sorbenten bei Verwendung von Stickstoff, Argon oder Krypton als Messgas ist die molare Adsorptionsenthalpie (= Wechselwir-kungsenergie) der Monoschicht groß gegenüber der Kondensationsenthalpie des Gases ∆Hm > ∆Hmulti = ∆HK bzw. 4)TR/(Hm ≈⋅∆ ( 2.100)

und damit die Konstante CBET in der BET-Gleichung groß gegen Eins (CBET ≈ 60). Für ein hinreichend großes p/p0 (z.B. p/p0 ≈ 0,25) lässt sich die BET-Gl.( 2.93) umformen zu:

( ) 0mono,g0g

0

pp

V1

p/p1Vp/p

⋅=−

, ( 2.101)

woraus sich die Auswertegleichung für die Einpunktmethode ergibt zu:

( )0gmono,g p/p1VV −⋅= bzw. ( 2.102)

( )l,ms

0gAg,Mm,S Vm

p/p1VNAA

⋅

−⋅⋅⋅= . ( 2.103)

In der BET-Darstellung y(p/p0) bedeutet die vereinfachte BET-Gl.( 2.95), dass der Ordinatenabschnitt a vernachlässigt und die BET-Gerade durch den bei p/p0 gemessenen Wert für Vg und den Ordinatenursprung gelegt wird. Die Abweichung von der Auswertung nach BET liegt im Allg. innerhalb des Streubereiches der Messwerte [107] (DIN 66 132).

2.2.5.2.3 Probenvorbehandlung und Platzbedarf AM,g

Vor der Durchführung von Sorptionsmessungen müssen an der Feststoff-probe adsorbierte Verunreinigungen, wie z.B. Wasser, entfernt werden. Da-


38

zu wird die Probe unter Vakuum oder einem Inertgas aufgeheizt. Meist wer-den Temperaturen von 110 bis 130°C verwendet. Hohe Temperaturen ver-bessern die Desorption, erhöhen jedoch die Gefahr von Oberflächenverände-rungen (Sintern, thermisches Zersetzen usw.). Der erreichte Oberflächenzu-stand hängt von den gewählten Desorptionsbedingungen und deren zeitli-cher Dauer ab. Reproduzier- und vergleichbare Oberflächenmessungen las-sen sich nur erzielen, wenn die Probenvorbehandlung unter denselben Be-dingungen durchgeführt wird. Bei Angabe eines mit einem bestimmten Ge-rät ermittelten Zahlenwertes für die spezifische Oberfläche ist daher stets die Probenvorbehandlung mit anzugeben. Eine weitere Problematik in der Berechnung des Zahlenwertes der Oberflä-che AS bildet die Annahme eines Zahlenwertes für den Platzbedarf AMg ei-nes Moleküls [91]. Der verwendete Zahlenwert ist deshalb ebenfalls anzu-geben (siehe auch [W. Kast: Adsorption aus der Gasphase]), Tab. T 2.4):

Tabelle T 2.4: Flächenbedarf und Molekülgrößen

Stoff Molekülgrößen* dM,g in 10-10

m molekularer Flächenbedarf**

AM,g in 10-20 m2 CH4, CH3OH 3,0 ... 4,0 18,1 C4H10, C6H6 6,4 ... 6,7 32,0

CO2 2,8 17,0 H2O, NO 2,6 ... 4,0 12,5

N2 3,0 ... 4,0 16,2 O2 2,8 6,2 H2 2,4 4,5 He 2,0 3,1

zwischen * und ** differieren die Werte z. T. erheblich (siehe kritische Mo-leküldurchmesser bei Molekularsieben) Die Abschätzungen aus dem Molvolumen in m3/kmol der kondensierten Adsorptschichten liefert

lgM ρ/V lm, = , ( 2.104)

Mg Molmasse des Adsorptives (Gases der Umgebung) ρl Dichte des Adsorpts (Phasenänderung des sorbierten Gases zu kon-

densierten Schichten mit flüssigkeitsanalogem Verhalten, z.B. = 808,6 kg/m3 N2 bei T = 77,4 K und Sättigungsdruck p0 = 101 kPa)

wobei die Packungsdichte der Moleküle in der kondensierten Schicht zu berücksichtigen ist:

( ) ( ) lglMlMlM MV ρεε /11V ,,,lMol, ⋅−=⋅−= . ( 2.105)


39

1 - εM,l Packungsdichte der Moleküle des flüssiganalogen Adsopt l Der Durchmesser kugelförmiger Moleküle ist dann

( ) 3/1,,

,

16

⋅

⋅−⋅=

Al

gVlMlM N

Md

ρε

π ( 2.106)

NA = 6,022 * 1023 Moleküle/mol AVOGADRO-Zahl und der näherungsweise quadratische Platzbedarf eines kugelförmigen Adsorptmoleküls bei dichter Kugelpackung 6046,0)33/(1 l,M =π=ε− ,

εM.l = 0,3954 (Kugeln auf Lücke angeordnet mit einer mittleren Flächen-koordinationszahl 6, s. Abschnitt 2.3 und Folie 2.33) ist

( ) 3/2

Al

g3/2

Al

g3/2

Al

gl,M2l,Mg,M N

M1006,1

N3M2

NM16

dA

⋅ρ

⋅=

⋅ρ⋅

⋅=

⋅ρ⋅π

⋅ε−⋅==

( 2.107)

z.B. für Stickstoff N2 bei T = 77,4 K

23/2

263, 164,0/10022,6/6,808

/281,12

nmkmolMolekülemkg

kmolkgA NM =

⋅⋅

⋅≈ .

Benutzt werden 2, 162,0

2nmA NM = (s. DIN 66 131) und der Moleküldurch-

messer, folgt mit nmd NM 4,02, ≈ oder für Wasser bei θ = 20°C:

23/2

26

3

, 106,010022,61000

181,12

nmmA OHM =

⋅⋅

⋅≈ bzw. nmd OHM 326,02, ≈ .

2.2.5.2.4 Messgeräte

Die wichtigste Methode zur Bestimmung des Sorbatvolumens ist die volu-metrische Methode. Dabei wird das Sorbatvolumen aus der Druckerniedri-gung der Gasphase beim Sorptionsvorgang bestimmt. Bei der gravimetrischen Methode wird der Massenzuwachs der Probe durch die Sorbatmasse in Abhängigkeit von p/p0 gewogen. Während bei den gravimetrischen Methoden die Sorbatmenge direkt an der Probe ermittelt wird, bestimmt man die Adsorptmenge bei den volumetri-schen Methoden aus der Druckänderung der Umgebungsphase. Außer der Druckänderung lässt sich die adsorbierte Menge auch aus einer Konzentrationsänderung der Umgebungsphase oder durch Messen der beim Sorptionsvorgang umgesetzten Energie (Mikrokalorimeter) ermitteln. Eine Zusammenstellung von Adsorptionsisothermen (s. [108]). Für Routinemes-sungen besonders interessant sind die sog. Einpunktgeräte:


40

Das Areameter der Fa. STRÖHLEIN, Düsseldorf (DIN 66132), das Areatron der Fa. LEYBOLD-HERAEUS, Köln-Bayenthal [109], der Automatic Surface Area Analyzer Modell 2000 der Fa. MICROMERITICS, USA, und das 1700 Sorpty der CARLO ERBA SCIENCE; Lorsbach, Taunus. 2.2.6 Partikelformmerkmale und Partikelformanalyse Viele Eigenschaften der Einzelkörner und vor allem der Körnerkollektive (als ruhende, bewegte oder fließende Schüttung sowie als Suspension) hän-gen neben der Größe auch von der Partikelform bzw. Partikelformverteilung ab. Dafür sind die • Sinkgeschwindigkeit von Einzelkörnern in einem Fluid, • das Siebverhalten eines Körnerkollektivs • das Fließverhalten und die Verdichtbarkeit eines Schüttgutes sowie • die rheologischen Eigenschaften von Suspensionen wenige Beispiele. Weiterhin ist eine größere Anzahl von Formfaktoren vorgeschlagen wor-den (siehe z.B. /86/ bis /89/). Sie haben unter Berücksichtigung der jeweils angestrebten Aussage eine unterschiedliche Verbreitung gefunden. Diese Formfaktoren sind im Allgemeinen als dimensionslose Verhältnisse mess-barer Partikeleigenschaften definiert (Tab. T 2.5). Tabelle T 2.5: Formfaktoren isometrischer Partikel und Schüttgüter

Körperform Größenverh. dV/a Formfaktor ψA Kugel 1 1 Würfel 1,241 0,806

Quader a * a * 2 a 1,563 0,767 Quader a * a * 10 a (Stab) 2,673 0,534

Quader a * a * 0,1 a (Scheibe) 0,576 0,435 Quader a * a * 0,01 a (Blatt) 0,267 0,110

Zylinder h = d 1,145 0,874 Zylinder h = 2 d 1,442 0,832

Zylinder h = 10 d (Stab) 2,466 0,579 Zylinder h = 100 d (Faden) 5,313 0,281

Zylinder h = d/2 0,909 0,826 Zylinder h = d/10 (Scheibe) 0,531 0,471

Tetraeder (Dreieckspyramide) 0,608 0,670

Schüttgut Messwerte Zucker 0,85

Flugstaub 0,82


41

Sand 0,70 Kakaopulver 0,61 Kohlenstaub 0,61

Zement 0,57 Glimmerstaub 0,11

Untergliedern lassen sie sich in geometrische und dynamische Formfakto-ren.

Geometrieverhältnisse für stückiges Material: (Folie 2.29)

Wadell /91/ definierte einen Partikelformfaktor ψA (Sphärizität), der das Verhältnis der Oberfläche AS,K einer volumengleichen Kugel zur tat-sächlichen Partikeloberfläche AS,P darstellt (Folie 2.30):

P,S

2V

P,S

K,SA A

dAA ⋅π

==ψ ( 2.108)

mit den volumen- 3PV /V6d π= und oberflächenäquivalenten Durch-

messern π= /Ad P,SS folgt auch

( )P,S

3/2P

2

S

VA A

/V6dd π⋅⋅π

=

=ψ , ( 2.109)

z.B. für einen Würfel der Kantenlänge a:

( ) ( ) 806,06a

a6/6

a6

a6

A

V63/1

2

3/233/2

2

3/23

P,S

3/2P

A =

π=⋅

π⋅π=

⋅

π⋅

⋅π=

π⋅

⋅π=ψ

oder allgemein für den Quader a⋅b⋅c ≡ a⋅(b/a) ⋅ a⋅(c/a) ⋅a: ( 2.110)

)a/c()a/b()a/c()a/b(

)a/c()a/b(6

2a)a/c(a)a/b(2a)a/c(a2a)a/b(a2

a)a/c(a)a/b(a6 3/23/2

A ⋅++

π⋅⋅

⋅π

=⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅

π⋅⋅⋅

∗π=ψ

oder für einen Zylinder h/d = 1:

5,0)/(

)/(23

42

46 3/2

2

3/22

+

⋅

=+

⋅∗

=dh

dh

dhd

hd

A ππ

πππ

ψ = 0,874.

Relativ genau und reproduzierbar lässt sich die Kontur von Einzelkörnern mittels vom Schwerpunkt ausgehender Polarkoordinaten beschreiben /85//94/ bis /96/ (Folie 2.31.13a).


42

In Folie 2.31.13b ist dies für eine Partikelquerschnittsfläche geschehen. Da-bei wird im Allgemeinen so vorgegangen, dass der Radius r auf den Radius R des flächengleichen Kreises bezogen wird /97/. Die Kurve r(φ)/R lässt sich durch die Fourier-Reihe

( )∑=

∞→δ+φ⋅⋅=

φ N

0kkKN

ksinAlimR

)(r ( 2.111)

darstellen. Dafür genügt gegebenenfalls schon eine geringe Anzahl N zur hinreichend genauen Rekonstruktion des Partikelprofils. Die Größe des Ko-effizienten liefert Informationen über die Partikelform, wie es in Folie 2.31.13c angedeutet ist /97/. Je unregelmäßiger eine Partikelumrandung ist, desto mehr Koeffizienten sind zur Beschreibung erforderlich. Bemer-kenswert ist auch, dass sich häufig der Verlauf von

lg Ak = f(lg k) ( 2.112)

näherungsweise als Gerade darstellen lässt (Folie 2.31.13d) /98/. Weiterhin lassen sich aus den Fourier-Koeffizienten Ak Formparameter berechnen /86//99/ bis /102/. Schwierigkeiten bereitet es jedoch, einen Zusammenhang zwischen den Fourier-Koeffizienten und technologisch interessierenden Ei-genschaften herzustellen. Dafür existieren bisher lediglich empirische An-sätze /102/. Es sind auch entsprechende Methoden zur Beschreibung der dreidimensionalen Partikelgestalt entwickelt worden /97//103/. Eine weitere Methode zur Beschreibung der Unregelmäßigkeit einer Partikelkontur gelingt mit Hilfe der fraktionären (d.h. nicht ganzzahligen) Dimension (siehe z.B. /104/ bis /107/). Die Länge der Profillinie eines Par-tikels lässt sich näherungsweise durch die Länge L eines Polygonzuges mit der Seitenlänge λ beschreiben (Folie 2.31.14a). Die Länge des Polygonzuges wird mit der tatsächlichen Länge der Profillinie umso besser übereinstim-men bzw. die Unregelmäßigkeiten der Kontur werden umso detaillierter erfasst, desto kleiner λ ist. Es besteht folgender Zusammenhang zwischen der Länge L und der Seitenlänge λ des Polygonzuges (Folie 2.31.14):

D1KL −λ⋅= . ( 2.113)

K und D sind positive Konstanten, die die Unregelmäßigkeit der Kontur charakterisieren. Nach der Theorie des Fractals /104/ ist dieser die Dimensi-on D zuzuordnen. D nimmt für Konturen Werte zwischen 1 und 2 an, und zwar ist es umso größer, je unregelmäßiger das Profil ist. Die Dimension einer Partikeloberfläche liegt entsprechend zwischen 2 und 3. Im voll-logarithmischen Koordinatennetz liefert Gl.( 2.113) eine Gerade mit dem Anstieg (1-D). Zweckmäßigerweise bezieht man λ auf die Partikelgröße, z. B. den Feret-Durchmesser dF (Folie 2.6.1).


43

2.3 Packungszustand von Partikeln Die stoffliche Zusammensetzung wird durch die Mengenanteile der Kompo-nenten k oder Phasen gekennzeichnet. Bei grobdispersen Stoffsystemen weist man vorwiegend die Mengenanteile der kontinuierlichen und grobdis-persen Phasen aus. Massenanteile bezogen auf die Gesamtmasse

ges

kK m

m=µ ( 2.114)

oder als Beladung

1k

kk m

mX+

= , ( 2.115)

wenn k und k+1 die Komponenten bzw. Phasen kennzeichnen. Für die Um-rechnung gilt, wenn beispielsweise für ein Zweikomponentenstoffsystem gilt 21ges mmm +=

1

1

221

21

21

11 X1

XmmX

mXmm

m+

=+⋅

⋅=

+=µ ( 2.116)

1

1

ges1ges

ges1

1ges

1

2

11 1mm

mmm

mmmX

µ−µ

=⋅µ−

⋅µ=

−== . ( 2.117)

Oftmals ist es zweckmäßig die Volumenanteile

ges

ss

ges

kk V

V.bzwVV

=ϕ=ϕ ( 2.118)

ϕs Feststoffvolumenanteil mit s - solid, p - Partikel, d - disperse Phase zu benutzen, um insbesondere über die möglichen Bewegungszutände und Packungszustände Aussagen treffen zu können. Diese werden wesentlich von den Partikelkontaktabständen beeinflusst. Zur Verdeutlichung soll fol-gendes einfaches Würfelzellenmodell dienen:

2/a2dl ⋅+= ,

( )33

3

3s

s ad6d

l6d

VV

+⋅⋅π

=⋅⋅π

==ϕ .

Mit einem relativen Partikelabstand ka analog der KNUDSEN-Zahl

daka = ( 2.119)

und einer dem kubischen Packungsmodell mono-disperser Kugeln entsprechenden maximalen

Bild 2.6: Partikelabstände in einer monodispersen kubischen Packung

d

l

l

a

d


44

Packungsdichte ϕs,max = π/6 = 0,5326 erhält man:

( )3a

max,ss k1+

ϕ=ϕ bzw. ( 2.120)

1k 3

s

max,sa −

ϕϕ

= . ( 2.121)

Grobdisperse Stoffsysteme mit eingeschränkter Partikelbeweglichkeit, d.h. Partikelabstand a → 0, werden Packungen (z.B. Schüttgüter, Agglome-rate, Erdböden oder sog. Lockergesteine) genannt, wenn die Feststoffpar-tikeln in einem fluiden Dispersionsmittel (kontinuierlichen Phase, Index f = fluid) angeordnet sind und heißen Schäume, wenn die disperse Phase aus Gasblasen besteht. Der Volumenanteil der kontinuierlichen Phase (hier auch Index k) = Hohl-raum- oder Lückenvolumenanteil (Index ε) stellt die äußere Volumenporo-sität oder Porosität (Lückenanteil) dar:

sf

f

ges VVV

VV

+==ε ε . ( 2.122)

Die Packungsdichte 1 - ε = ϕs ist dann der Feststoffvolumenanteil (Fluid-masseanteil Xf = mf/ms)

)X1(V/)mm(V

mVV1

fs

b

sfsges

ges

ges

ss +⋅ρ

ρ=

+⋅==ϕ=ε− ( 2.123)

sss V/m=ρ - Feststoffdichte (s ≡ p), ( 2.124)

wenn die Schüttgutdichte (b - bulk ), die sich einfach durch Auswägen ex-perimentell ermitteln lässt (gewöhnlich Xf → 0, da mf << ms bei Luft),

ges

gesb V

m=ρ ( 2.125)

ist. Bei einem locker aufgeschütteten Partikelsystem erhält man die Schütt-dichte ρb,0 für die geringste Packungsdichte 1-ε0 = ρb,0/ρs. Die Feststoffdichte ρs von Partikeln lässt sich ebenfalls durch Auswägen der Partikelmassen ms und der Messung der Partikelvolumen Vs mittels • Flüssigkeitspyknometer (bei kompakten Partikeln) oder besser • Heliumpyknometer bei porösen Partikeln

ermitteln (Folie 2.32). Die gesamte Feststoffdichte ρs eines Stoffsystems aus nk Komponenten oder Phasen der Dichten ρs,k ist mit den Volumenantei-len ϕk:


45

∑=

⋅=kn

kkkss

1, ϕρρ . ( 2.126)

Von der äußeren ist die innere Volumenporosität - der Volumenanteil der kontinuierlichen Phase in den einzelnen Partikeln (Risse, Poren) - und die Flächenporosität (Flächenanteil der Hohlräume in einer Schnittfläche) ab-zugrenzen. Ausgehend von der Partikel- oder Schüttungsporosität lässt sich ein Flüssigkeitssättigungsgrad als Porenflüssigkeitsvolumenanteil definieren:

ll

s

sl

sl

s

l

sges

gesges

ls

ges

l Xm

mVV

VVV

V

VVVV

S ⋅⋅−

=⋅⋅

⋅−

=⋅−

=⋅⋅

⋅==

ρρ

εε

ρρ

εε

εε ε

ε

ε

ε

ε 111 ,

,

,

,

, .

( 2.127)

Einflüsse auf die Porosität - und damit sowohl auf die Porengröße und Po-rengrößenverteilung - haben: Packungsart, Partikelgrößenverteilung, Belastungsniveau und Partikelkontaktdeformation, Partikeldeformation, Haftkräfte zwischen den Partikeln, Partikelformverteilung u.a.m. Man unterscheidet Zufallsstrukturen und regelmäßige Packungsstrukturen. Zahlenwerte für die äußere Volumenporosität betragen größenordnungsmäßig für Zufallspackungen (Tab. T 2.6):

Tabelle T 2.6: Volumenporositäten ausgewählter Feststoffe & Schüttgüter

Partikelsystem Porosität ε Schüttungen aus

- Flusssand - Kohlenstaub

- Getreidekörner - Raschigringen

0,39 ... 0,4 0,44 ... 0,66 0,31 ... 0,46 0,55 ... 0,75

Filterkuchen Pellets Briketts

0,5 ... 0,9 0,25 ... 0,4 0,05 ... 0,2

Bei vollständigen bzw. idealen Zufallspackungen (Schwerpunktlage und Orientierung der Partikel in jeder räumlichen Richtung sind gleichwahr-scheinlich) sind die äußere Volumenporosität und die Flächenporosität gleich - für Kugeln schwankt die Koordinationszahl k zwischen 3 und 8 (siehe unten).


46

Regelmäßige Packungsstrukturen sind räumliche Partikelanordnungen mit periodischer Wiederholung eines Elementarschemas (Folie 2.33).

Die Anzahl der unmittelbaren Nachbarteilchen = Koordinationszahl 6 ≤ k ≤ 12 bestimmt die äußere Volumenporosität von gleichgroßen Kugeln: a) Die einfachste Packung stellt die kubische Kugelpackung (kA = 4 Flä-

chennachbarn + kV = 2 = (1 oben + 1 unten) Volumennachbarn ⇒ k = kA + kV = 6) dar. Für das würfelförmige Elementarbauschema (a = b = c) er-hält man:

Bild 2.7: Kubische Packung monodisperser Kugeln, ε = 0,4764

5236,06d6

dV

V24

181 3

3

Würfel

Kugel

s =π

=π

=⋅

⋅⋅

=ε−=ϕ . ( 2.128)

Sie dient oft als Modell für reale Packungen (siehe Tabelle T 2.6). b) Für die Packungsdichte der hexagonal basisflächenzentrierten Packung

(kA = 6 Flächennachbarn + kV = 2 = (1 oben + 1 unten) Volumennach-barn ⇒ k = kA + kV = 8, die zweite Schicht liegt direkt über der ersten) erhält man für das quaderförmige (a = b ≠ c) Elementarbauschema:

Bild 2.8: Hexagonal basisflächenzentrierte Packung, ε = 0,3954

6046,033d3d

6/d2V

V)212

818(

12

3

Quader

Kugel=

π=

⋅π

=⋅+⋅

=ε− ( 2.129)

oder auch als ortho-rhombisch basiflächenzentrierte Packung (a = b ≠ c)

2 d

d

d

y d d d= − =( )2 32 2

d

d

d

d d


47

6046,033

4d3

d121

V

V)1216(

13

3

ismaPr

Kugel=

π=

π==ε−

bzw. tetragonal raumzentrierte Packung (a = b ≠ c)

6046,033d36

d2V

V1818

13

3

Quader

Kugel

=π

=π

=

+

=ε− . ( 2.130)

c) Für die Packungsdichte der hexagonal dichtesten Packung (kA = 6 Flä-chennachbarn + kV = 6 = (3 oben + 3 unten) Volumennachbarn ⇒ k = kA + kV = 12, die zweite Schicht liegt in den Lücken der ersten und die dritte Schicht liegt über der ersten, a = b ≠ c)

3d234/ddd

26A 222

Polyeder,G =−= und 22Polyeder d3d3h ⋅+⋅=

7405,0236d3d

236

d9V

V)333(1

2

3

Polyeder

Kugel =π

=⋅⋅⋅

⋅π⋅=

⋅++=ε− ( 2.131)

Bild 2.9: Hexagonal dichteste Packung monodisperser Kugeln, ε= 0,2595 oder der kubisch flächenzentrierten Packung (kA = 4 Flächennachbarn + kV = 8 = (4 oben + 4 unten) Volumennachbarn ⇒ k = kA + kV = 12, die zweite Schicht liegt in den Lücken der ersten und die dritte Schicht liegt über der ersten) erhält man für das würfelförmige Elementarbauschema (a = b = c):

( ) 7405,023d2

d6

4

V

V)216

818(

1 3

3

Würfel

Kugel=

π=

⋅

π

=⋅+⋅

=ε− . ( 2.132)

d

d

2 d

d

d2

3 d 3

1+2*1/4+4*1/4+4*1/8 = 3 Kugeln in der Hexagonfläche

Lückenkugeln der 2. Schicht


48

Davon ausgehend lassen sich mit Hilfe der einfach zu handhabenden kubi-schen Packung recht einfach Abschätzungen zum Einfluss des Feingutantei-les - hier XF = µF = mF/(mF + mG) - von binären Kugelmischungen regulärer Struktur vornehmen.

(Folie 2.34, Folie 2.35, Folie 2.36, Folie 2.37)

Ein Maß der Porengröße stellt der sog. mittlere hydraulische Durchmesser dh ( ≡ mittlerer Kapillardurchmesser), der insbesondere bei der Untersu-chung von Durchströmungsproblemen von Packungen eingeführt wurde:

S

f

benetzt

tdurchström2

benetzt

tdurchströmh A

V4lU

lA4d4d4

UA4d ⋅

=⋅⋅⋅

≡⋅π⋅⋅π⋅

=⋅

= ( 2.133)

bzw. unter Berücksichtigung des Hohlraumvolumens Vε = Vf

)( fPgesf VVVlAV +⋅=⋅=⋅= εε Pf V)1(V ⋅ε=ε−⋅

εε−

⋅=1Pf VV ( 2.134)

und Oberfläche AS = U⋅l der Kapillaren der Länge l folgt:

V,SS

Ph A)1(

4A)1(

V4d⋅ε−ε⋅

=⋅ε−⋅ε⋅

= ( 2.135)

und da gemäß Gl. V,SST A/6d = , ist auch der Zusammenhang zwischen

einer Partikelgrößen- und Porengrößenverteilung herstellbar dh ≡ dε

)1(3d2dd ST

h ε−⋅⋅ε⋅

== ε . ( 2.136)

⇒ Aufschluss von Partikelmatrixwerkstoffen (Folie 2.38)

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0 Einleitung 1 Hierarchische Systeme in der ... · GPVT_1&2 Vorlesung (Einführung in die) MVT, Prof. Dr. J. Tomas, 01.11.2011 2 0 Einleitung - Lehrveranstaltungsplan (Folie 0.1),