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Prof. Dr. Wandinger 4. Schnittlasten bei Balken TM 1 4.2-1
08.06.20
2. Rahmen und Bogen
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Prof. Dr. Wandinger 4. Schnittlasten bei Balken TM 1 4.2-2
08.06.20
2. Rahmen und Bogen
● Gekrümmte Balken werden als Bogen bezeichnet.● Rahmen sind
Tragwerke, die aus starr verbundenen ge-
raden Balken oder Bogen zusammengesetzt sind.● Die Schnittlasten
können wie bei geraden Balken aus
Gleichgewichtsbetrachtungen am geschnittenen System ermittelt
werden.
● Die Differenzialbeziehungen zwischen Streckenlast, Querkraft
und Biegemoment gelten nur für gerade Balken-abschnitte.
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Prof. Dr. Wandinger 4. Schnittlasten bei Balken TM 1 4.2-3
08.06.20
2. Rahmen und Bogen
● Beispiel: Rahmen– Gegeben:
● a, F, q0 = F/a– Gesucht:
● Lagerkräfte● Schnittlasten
2a
a
a
a
A
B
C D E
F q0
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Prof. Dr. Wandinger 4. Schnittlasten bei Balken TM 1 4.2-4
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2. Rahmen und Bogen
– Lagerkräfte:
2a
a
a
a
A
B
C D E
F
2q0 a
✄
Az
Bz
Bx
x
z
∑ M B=0 :3 a F−2 a A z+2 q0 a2=0
→ Az=32 F +q0 a=
52 F
∑ F x=0 : B x−2 q0 a=0→ B x=2 q0 a=2 F
∑ F z=0 : F−Az+Bz=0 → B z=Az−F= 32 F
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Prof. Dr. Wandinger 4. Schnittlasten bei Balken TM 1 4.2-5
08.06.20
2. Rahmen und Bogen
– Koordinatensysteme:● Jeder Balken hat sein
eigenes Koordinatensys-tem.
● Die xk-Achse zeigt in Balkenrichtung und die zk-Achse nach
rechts.
● Balken CE: System 1● Balken EB: System 2● Balken DA: System
3
A
B
C D Ex1
z1
x2
z2x
3
z3
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2. Rahmen und Bogen
– Schnittlasten:● Balken CE, Bereich CD:
C
F✄Q
z
My
Nx
1
X
z1
0< x1
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2. Rahmen und Bogen
● Balken CE, Bereich DE:
a
a
A
C
D
F ✄
Az
Qz
Nx1
z1
My
X
a< x1
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2. Rahmen und Bogen
● Balken EB:
B
E
x2
z2
Bz
Bx
2a QzNM
y
Xq
0
✄0< x2
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Prof. Dr. Wandinger 4. Schnittlasten bei Balken TM 1 4.2-9
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2. Rahmen und Bogen
→ M y ( x2)=F a(2− x2a )[2− 12 (2− x2a )]= 12 F a (2− x2a )(2+
x2a )M y (0)=2 a F , M y (2 a)=0
● Balken DA:
a
A
D✄
Az
x3
z3
QzMy
N
X
0< x3
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2. Rahmen und Bogen
+
-
-
-F
3F/2
-2F
Qz +
+
-
-aF
2aFMy
-
+-5F/2
3F/2
N
-
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2. Rahmen und Bogen
– Beobachtungen:● An den Verbindungsstellen der Balken sind
Normalkraft und
Querkraft unstetig.● Das Biegemoment ist stetig.
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2. Rahmen und Bogen
● Beispiel: Bogen
– Gegeben:● r, F● α = 30°
r
αA B
F
– Gesucht:● Lagerkräfte● Schnittlasten
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2. Rahmen und Bogen
– Lagerkräfte:
r
αA
B
F
Ax
Az
Bz
x
z
✄
∑ M A=0 :2 r B z−F r sin(α)=0
→ B z=12 F sin (α)=
12 F sin (30 °)=
14 F
∑ F x=0 : F−Ax=0→ Ax=F
∑ F z=0 : Az−B z=0 → Az=B z= 14 F
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A
B
s
t
n
ϕr
2. Rahmen und Bogen
– Koordinatensystem:● Es wird ein mitlaufendes
Koordinatensystem ver-wendet.
● Die s-Koordinate wird entlang des Bogens gemessen.
● Die t-Achse ist tangenti-al zur Bogenachse.
● Die n-Achse steht senk-recht auf der t-Achse und zeigt nach
rechts.
● Die y-Achse zeigt aus der Zeichenebene her-aus
s=r ϕ
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2. Rahmen und Bogen
– Schnittlasten:● Die Normalkraft N zeigt in Richtung
der t-Achse.● Die Querkraft Qn zeigt in Richtung der
n-Achse.● Das Moment My dreht um die y-Ach-
se.● Am positiven Schnittufer zeigen posi-
tive Schnittlasten in positive Koordi-natenrichtungen.
A
s
t
n
ϕ
FQ
n
N
My✄
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2. Rahmen und Bogen
● Bereich 1: 0
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2. Rahmen und Bogen
● Bereich 2:
r
B
Qn
Bz
t
n
✄ NM
y
ϕ ψ
ψ
X
30 °
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2. Rahmen und Bogen
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2. Rahmen und Bogen
● Beispiel: Rahmen
– Gegeben:● a, q0
a
a
2a
A B
C
q0
– Gesucht:● Schnittlasten
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Prof. Dr. Wandinger 4. Schnittlasten bei Balken TM 1 4.2-20
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a
a
a
A
B
C
2q0 a
a
Az
Ax
Cz
x
z
✄
2. Rahmen und Bogen
– Lagerkräfte:
∑ M A=0 : −a⋅2 q0 a+3 aC z=0 → C z=23 q0 a
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2. Rahmen und Bogen
– Schnittlasten:● Bereich AB:
∑ F x=0 : Ax=0∑ F z=0 : −Az+2 q0 a−C z=0 → A z=2 q0 a−C z= 43 q0
a
0
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2. Rahmen und Bogen
● Bereich BC: 0
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2. Rahmen und Bogen
