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Boolesche Zufallsfunktionen
Florian Voß
Seminar „Simulation und Bildanalyse in Java II“
Universität Ulm, Abteilungen SAI & Stochastik
10.11.2003
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Inhalt :1. Motivation
2. Boolesche Zufallsmengen
3. Boolesche Zufallsfunktionen
4. Spezialfällea) Boolean Islands
b) Rocky Deeps
5. Literatur
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1. MotivationModellierung und Simulation von
Materialstrukturen durch Boolesche Zufallsmengen
AAC-Schaum Aluminium-Schaum
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1. MotivationModellierung und Simulation von Oberflächen
durch Boolesche Zufallsfunktionen
Bruchoberfläche von GlasfaserBild von Elektronenmikroskop
(Bsp. Boolean Islands)
UO2-Pulver (Bsp. Rocky Deeps)
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2. Zufällige MengenBoolesche Zufallsmengen:
Seien• {xi,iI} ein Poisson-Punktprozess von
Keimen in Rd
• Ai unabhängige Kopien eines zufälligen Primärkorns A0, d.h. unabhängige identischverteilte zufällige Mengen in Rd
• Dann ist A=iI(xi + Ai) eine Boolesche Zufallsmenge (Boolesches Modell).
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2. Zufällige Mengen
Eine Realisierung eines Poisson-Prozesses von Keimen in R2
Eine Realisierung einer Booleschen Zufallsmenge in R2
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2. Zufällige Mengen
Eine Realisierung einer Booleschen Zufallsmenge in R3.Das Komplement kann z. B. einen Schaum modellieren.
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3. Boolesche ZufallsfunktionenErweiterung der Booleschen Zufallsmenge um
eine Dimension
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3. Boolesche Zufallsfunktionen
Eine Realisierung von Boolean Islands
Eine Realisierung von Rocky Deeps
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3. Boolesche ZufallsfunktionenDefinition :
Seien• µn das Lebesgue-Maß auf Rn
ein -endliches Maß auf R• I ein Poisson-Punktprozess in RnR mit
Intensitätsmaß µn(dy)(dt), y Rn, t R.
Somit ist die Intensität des Poisson-Prozesses „konstant“ in horizontalen t-Schnitten, daraus folgt horizontale Stationarität.
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3. Boolesche Zufallsfunktionen
• Sei {*(x, t) | *( . , t): Rn R} eine Familie von unabhängigen oben halbstetigen Zufallsfunktionen mit Parameter t, sodass Xu:={x : *(x, t) u}, -<u<+, f.s. kompakt sind.
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3. Boolesche Zufallsfunktionen• Die Boolesche Zufallsfunktion mit dem primären Korn
*( . ,t) und Intensität (dt) ist dann wie folgt definiert :
(x):=sup{*(y,t)(x,t) | (y,t) I}
• Dabei werden
1. Die Bezeichnung *(x,t) für Umbra und Funktion verwendet.
2. *(y,t)(x,t) verstanden als Umbra von *(x,t) verschoben um (y,t)
3. *(x, t) primäres Korn (zentriert im Ursprung) genannt.
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3. Boolesche ZufallsfunktionenKapazitäts-Funktional :
• Sei B Rn R eine kompakte Menge.
• Die Wahrscheinlichkeiten Q(B):=P(Bc), dass B die Umbra von nicht schneidet, charakterisieren die Boolesche Funktion .
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3. Boolesche Zufallsfunktionen• Für die Formel von Q(B) wird die
Bildoperation Dilatation benötigt:
AB:={a + b | a A, b B}
Dilatation B der Umbra einer Funktion mit dem Kreis B
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3. Boolesche Zufallsfunktionen• Dann gilt:
• Dabei bezeichnet t die horizontale n-dimensionale Hyperebene in Höhe t.
• -B={(-x,-t) RnR | (x,t) B}
])(-B))),.(*[()(exp(-Q(B)-
tn tdt
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3. Boolesche Zufallsfunktionen
Boolesche Funktionen für den Fall =t1+t2 mit verschiedenen
Primärkörnern für t = t1 und t = t2
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3. Boolesche ZufallsfunktionenEindimensionale Verteilung :
• Sei B={(0,t)} und qt:=Q({(0,t)})
• qt wird die Porosität des Schnittes von in Höhe t genannt.
• Dann gilt:
])u)) ,.(*[()(exp(-q))(P( t-
-
t undutx
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3. Boolesche Zufallsfunktionen
• Hieraus folgt außerdem:
• Der Erwartungswert hängt nicht von x ab, da stationär ist.
0
0
)1())(( dtqdtqmxE tt
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3. Boolesche ZufallsfunktionenZweidimensionale Verteilung :
• Sei nun B={(0,t),(h,u)} • Dann ist P((0) < t, (h) < u)=Q(B)=Q(h,t,u)=
v(-h,-u)t-
-
n v)),.(*( v)),.(*((dv)-exp
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3. Boolesche Zufallsfunktionen
• Die Kovarianz C(h)=E[(0) (h)] – m² kann bestimmt werden durch :
2
),,()]()0(E[R
uthdQtuh
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3. Boolesche Zufallsfunktionen
• Das Variogramm 1. Ordnung 1(h)=½E|(0) - (h)| kann bestimmt werden
durch :
• Denn |(0)-(h)|= (0)+(h)-2inf{(0),(h)}.
0
0
1 ),,()),,(()( dttthQdttthQqh t
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3. Boolesche Zufallsfunktionen
• Das Variogramm 2. Ordnung 2(h)=½E[((0) - (h))2] kann bestimmt werden
durch :
2(h) =C(0) - C(h)
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3. Boolesche ZufallsfunktionenTeilbarkeit unter Vereinigung
• Sei {j}={*j, j(dt)} eine Familie von Booleschen Zufallsfunktionen nummeriert mit jJ, sodass
Dann ist =sup{j, j J} eine Boolesche Zufallsfunktion.
Jj
j R)(
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3. Boolesche Zufallsfunktionen
• Sei eine Boolesche Zufallsfunktion in RnR. Dann ist H eine Boolesche Zufallsfunktion für alle Hyperebenen HRn parallel zur t-Achse und eine Boolesche Zufallsmenge für H orthogonal zur t-Achse.
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3. Boolesche Zufallsfunktionen
• Jede Boolesche Zufallsfunktion : Rn R ist unendlich teilbar unter dem sup, d.h. für jedes kN kann geschrieben werden als :
=sup{i,i{1,..,k}}
wobei i k unabhängige identischverteilte Boolesche Zufallsfunktionen sind.
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4.a) Spezialfälle: Boolean IslandsDefinition:
• Spezialfall, bei dem (dt) ein Diracmaß im Ursprung ist, d.h. (dt)= 0(dt).
• Der Keim-Prozess I ist dann ein n-dimensionaler stationärer Poisson-Punktprozess in 0 mit Intensität .
• O.B.d.A. setzen wir *(x)0 f.s.
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4.a) Spezialfälle: Boolean Islands
Realisierung von Boolean IslandsSimulation von Boolean Islands
mit Kegeln als Primärkörner (Sicht von oben)
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4.a) Spezialfälle: Boolean Islands
Metallische Oberfläche modelliert durch Boolean Islands (mit Sicht von oben)
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4.a) Spezialfälle: Boolean IslandsKapazitäts-Funktional :
• Sei B eine kompakte Menge. Dann gilt:
• Falls B um den vertikalen Vektor (0,t) verschoben wird, d.h. Bt=B + (0,t), dann gilt :
]))(*[(exp(Q(B) 0 Bµn
])))(*[(exp()Q(Bt tn Bµ
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4.a) Spezialfälle: Boolean IslandsBerechnung verschiedener Kenngrößen
• Um Eigenschaften wie z.B. den Erwartungswert des Volumens des primären Korns * zu berechnen, benötigt man folgende Formel :
)dtQ(Blog:M(B) t
0
nR
dxxBE ])))((*([
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4.a) Spezialfälle: Boolean IslandsVolumen vom Untergraph von * und
seinem Träger:• B={0}
• Sei nun B das vertikale Segment der Länge dessen höchster Punkt der Ursprung ist.
*)()](*[)dt(qlogM({0}) 1t
0
nR
ndxxE
*))(supp(*)(M(B) 1 nn
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4.a) Spezialfälle: Boolean IslandsAnzahl von Maximumstellen:
• Falls * f.s. nur eine Maximumstelle hat, dann gilt für die spezifische Anzahl von Maximumstellen z, d.h. die durchschnittliche Anzahl von Maximumstellen pro Einheitsvolumen im Rn :
• Dabei ist G(t) die Verteilungsfunktion der maximalen Höhe des primären Korns *
0
)(dtGqz t
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4.a) Spezialfälle: Boolean IslandsKonvexität für Boolean Islands:
• Um Parameter schätzen zu können, benötigt man Annahmen über die Konvexität des Primärkorns.
• Außerdem kann dann die Oberfläche des Primärkorns berechnet werden.
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4.a) Spezialfälle: Boolean IslandsSteiner-Formel:• in R3 für die Einheitskugel B:
• in R2 für die Einheitskreisscheibe B:
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3
4)(
2
1)()()( AdAsAvBAv
2)()()( AuAaBAa
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4.a) Spezialfälle: Boolean IslandsOberfläche von *:
• Sei der Rand der Umbra glatt genug, um ein Oberflächenmaß s(*) einführen zu können, im Halbraum RnR+.
• Sei B die Einheitskugel mit dem Mittelpunkt im Ursprung und sei * konvex , dann gilt:
*)(|})0({)(| 0
sMBM
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4.a) Spezialfälle: Boolean IslandsAnnahme über die Konvexität des Trägers von *
• Betrifft die Berechnung von . Falls Boolean Islands ist, dann erfüllt Q(B) für die Einheitskugel B0 mit Zentrum in 0 die Gleichung:
• Für A=Supp(*) ergibt dies im R2 bzw. R3 ein Polynom vom Grad 2 bzw. 3 in (Steiner-Formel)
)](*)([)(log BfSuppµBQ n
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4.a) Spezialfälle: Boolean Islands• Zum Beispiel über Methode der kleinsten
Quadrate können die Koeffizienten bestimmt werden und so getestet werden, ob 0
Boolesche Zufallsmenge ist.• Außerdem kann aus dem Wert des
Koeffizienten höchsten Grades geschätzt werden.
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4.a) Spezialfälle: Boolean IslandsAnnahme über die Konvexität der
Schnitte:• Durch das gleiche Vorgehen wie für den
Träger kann getestet werden, ob alle horizontalen Schnitte t Boolesche Zufallsmengen sind.
• So erhält man eine starke Vermutung, dass Boolesche Zufallsfunktion ist.
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4.a) Spezialfälle: Boolean Islands
• Falls der Schnitt in Höhe t eine Boolesche Zufallsmenge ist mit Intensität t, dann gilt :
wobei G(t) die Verteilungsfunktion der maximalen Höhe von * ist.
• Hieraus kann G(t) geschätzt werden aus experimentellen Werten von t und .
)),(1( tGt
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4.a) Spezialfälle: Boolean IslandsSupremum von Boolean Islands :
• Sei {j,jJ} eine endliche Familie von Boolean Islands mit Keimen in Höhe tj. Dann ist :=supjJ{j} eine Boolean-Islands-Funktion mit Keimen in Höhe tmin=minjJ{tj}.
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4.a) Spezialfälle: Boolean Islands
Supremum von 2 Boolean Islands mit Keimen in Höhe t1 bzw. t2
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4.b) Spezialfälle: Rocky Deeps
Definition:
(dt) = 0, falls t > 0 (dt) = |dt|, falls t 0
* unabhängig von t, d.h. *(x, t) = *(x) für t 0.
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4.b) Spezialfälle: Rocky Deeps
Eine Realisierung von Rocky Deeps
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4.b) Spezialfälle: Rocky Deeps
Simulation von Rocky Deeps (hier das Komplement)
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4.b) Spezialfälle: Rocky DeepsKapazitäts-Funktional:
• Sei Bh eine kompakte Menge verschoben um den Vektor (0,h). Dann gilt :
0
h )}(]))(*[(exp{)Q(B tdBµ thn
0
}]))(*[(exp{ dtBµ thn
h
un duBµ }]))(*[(exp{
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4.b) Spezialfälle: Rocky Deeps
• Die Ableitung von logQ(Bh) nach h ist :
• Hieraus kann man die Boolesche Struktur testen und schätzen bei konvexem Primärkorn (Steiner-Formel).
]))(*[(dh
)dQ(B
)Q(B
1 h
hhn Bf
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4.b) Spezialfälle: Rocky DeepsSupremum von Rocky-Deeps-Funktionen:
• Sei {j,jJ} eine Familie von Rocky Deeps Funktionen mit Top-Level tj[tmin,tmax], wobei [tmin,tmax] ein endliches Intervall ist.
• Dann ist :=supjJ{j} eine Rocky Deeps Funktion.
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5. Literatur
1. J. Serra „Image Analysis and Mathematical Morphology “, Vol. 1 , 1982, Academic Press
2. J. Serra „Image Analysis and Mathematical Morphology “, Vol. 2 , 1988, Academic Press (Kapitel 15)
3. J. Serra „Boolean Random Functions“, Journal of Microscopy, Vol. 156, Pt 1, 1989, S. 41-63
4. J.M. Chautru „The Use of Boolean Random Functions in Geostatistics“, in M. Armstrong (ed.), Geostatistics, Vol. 1, 1989, Kluwer, S. 201-212
5. C. Lantuejoul „Geostatistical Simulation : Models and Algorithms“, 2002, Springer, S. 171-175
