1 Die Versuche zur Solarzelle - physik.kit.edu · Messen Sie nun f ur die Strom-Spannungs-Kennlinien der Solarzellen temperaturabh angig. Bestimmen sie Kurzschlussstrom, Sperrstrom

1 DIE VERSUCHE ZUR SOLARZELLE 1

1 Die Versuche zur Solarzelle

1.1 Aufgaben zur Solarzelle

1.1.1 Aufgabe 1: Kennlinien intensitatsabhangig messen

Messen Sie fur die drei Solarzellen (A, B, C) die Strom-Spannungs-Kennlinie von −4Vbis 0, 6V in 0, 01V -Schritten intensitatsabhangig (Dunkelkennlinie und Variation des Ab-stands zur

”punktformigen“ Lichtquelle). Bestimmen Sie intensitatsabhangig den Kurz-

schlussstrom und die Leerlaufspannung, sowie den Wirkungsgrad mit dem die Solarzellendie auf sie fallende Strahlungsintensitat der Halogenlampe in elektrische Leistung umwan-deln. Warum ist der Wirkungsgrad bei Sonneneinstrahlung hoher? Bestimmen Sie damitdann fur jede gemessene Intensitat den Idealitatsfaktor und vergleichen Sie diese Wertemit der Theorie. Berechnen Sie zusatzlich den Fullfaktor FF der Solarzellen.

1.1.2 Aufgabe 2: Kurzschlussstrom spektral aufgelost messen

Messen Sie den Kurzschlussstrom der Solarzellen in Abhangigkeit von der Photonenenergieund bestimmen Sie daraus den Bandabstand von Silizium.

1.1.3 Aufgabe 3: Kennlinien temperaturabhangig messen

Messen Sie nun fur die Strom-Spannungs-Kennlinien der Solarzellen temperaturabhangig.Bestimmen sie Kurzschlussstrom, Sperrstrom (in guter Naherung bei V = −0, 5V ) undLeerlaufspannung temperaturabhangig und ermitteln Sie durch Extrapolation der Leer-laufspannung auf T = 0 den Bandabstand von Silizium.

1.1.4 Aufgabe 4: Vergleich Solarzelle und Kernenergie

Schatzen Sie ab, wie viele km2 Flache in unseren Breiten mit Solarzellen zu bedeckenwaren, um einen Block eines Kraftwerkes (wie z.B. Philippsburg) mit Pel = 1GW zuersetzen. Wurde das genugen? Die mittlere einfallende Leistung der Sonnenstrahlung be-tragt uber das Jahr, Tag und Nacht und alle Wetterlagen gemittelt 120Wm−2.

1.1.5 Hinweis

Benutzen Sie zur Durchfuhrung dieses Versuchs das entsprechende Computerprogramm.Es ermoglicht Ihnen die erhaltenen Messdaten in einer ASCII-Datei zu speichern. Diesekonnen Sie dann beispielsweise mit Microsoft Excel offnen und bearbeiten. Das Programmspeichert die Messdaten in Spalten ab. Bei Aufgabe 1 wird in der ersten Spalte der Abstandzur Lichtquelle, in der zweiten die Spannung in V und in der dritten der Strom in mA

1 DIE VERSUCHE ZUR SOLARZELLE 2

gespeichert. Bei Aufgabe 2 wird in zwei Spalten (Wellenlange in nm, Kurzschlussstrom inµA) abgespeichert. Bei Aufgabe 3 wird wie in Aufgabe 1 abgespeichert, nur dass anstattdes Abstandes nun die Temperatur in der ersten Spalte aufgelistet wird. Da die Aufgabenfur alle drei Solarzellen gleich sind, vermerken sie bitte im Dateinamen die Solarzelle (A,B, C) um spatere Verwechslungen zu vermeiden. Fur die Auswertung sind folgende Datenwichtig:Leistungsaufnahme der Halogenlampe: 55WFlachen der Solarzellen: AA = 8, 12cm2, AB = 4cm2 und AC = 4cm2

2 THEORETISCHE GRUNDLAGEN ZU DEN VERSUCHEN 3

2 Theoretische Grundlagen zu den Versuchen

2.1 Allgemeine Grundlagen1

2.1.1 Kristallstruktur

Wir betrachten kristalline Festkorper, die sich durch eine raumlich periodische Anordnungder Atome auszeichnen. Die (primitive) Einheitszelle wird durch drei nicht koplanareBasisvektoren ~ai aufgespannt. Eine Translation, die den Kristall in sich selbst uberfuhrt,lasst sich schreiben als

~R =3

∑

i=1

ni~ai mit ni = 0,±1,±2... . (1)

Die ~ai spannen ein abstraktes Punktgitter im Ortsraum auf, das sog. Kristallgitter. DieKristallstruktur besteht aus diesem abstrakten Punktgitter und der sog. Basis, die angibtan welchen Platzen in der Einheitszelle die einzelnen Atome sitzen. Es konnen unterschied-liche Kristallstrukturen fur das gleiche Punktgitter auftreten; so haben z.B. Diamant,Zinkblende oder Kochsalz ein kubisch flachenzentriertes Punktgitter, aber durchaus un-terschiedliche Kristallstrukturen.Neben dem abstrakten Punktgitter im Ortsraum definiert man ein Punktgitter im rezi-proken Raum, das sog. reziproke Gitter, aufgespannt durch die Vektoren ~bi mit

~bi =2π

VEZ

~a2 × ~a3 und zyklisch, (2)

so dass gilt:~ai ·~bj = 2πδij . (3)

Dabei ist VEZ das Volumen der Einheitszelle im Ortsraum. Ein Translationsvektor ~G imreziproken Gitter schreibt sich somit

~G =

3∑

i=1

hi~bi mit hi = 0,±1,±2... . (4)

Man definiert im reziproken Gitter so genannte Brillouin Zonen (BZ). Die erste Zone be-steht aus allen Punkten des reziproken Raumes, die dem Ursprung (dem sog. Γ-Punkt)

naher liegen als allen anderen Punkten ~G.

(1Klingshirn[11])


Fur eine einfache kubische Kristallstruktur mit der Gitterkonstante a erstreckt sich dieerste BZ in alle drei Richtungen des reziproken Raumes von

−π

a≤ ki ≤

π

awobei i = x, y, z . (5)

2.1.2 Die Zustande der Elektronen im Festkorper

Das Potentialtopfmodell

Die einfachste Vorstellung des Elektronensystems in einem Festkorper ist das Sommerfeld-oder Potentialtopfmodell. Hier geht man davon aus, dass der Kristall einen Potentialtopfmit einer Tiefe −V0 darstellt, dessen Zustande (bei T = 0K) bis zur Fermienergie EF

aufgefullt sind. Der Abstand von EF zum Vakuumniveau V0 ist die Austrittsarbeit der

Abbildung 1: Das Potentialtopfmodell fur einfache Metalle.

Elektronen WA. Mit diesem Modell lassen sich einige Eigenschaften einfacher Metalle er-klaren, wie zum Beispiel ihre spezifische Warme, ihre elektrische Leitfahigkeit oder ihrParamagnetismus. Allerdings ist in diesem Modell die Existenz von Halbleitern oder Iso-latoren nicht erklarbar. Dazu bedarf es des nachfolgend erlauterten Bandermodells.


Das Bandermodell

Das Auftreten von Energiebandern, die von sog. verbotenen Zonen oder Energieluckengetrennt sind (englisch

”gap“), in denen keine stationaren, propagierenden Elektronen-

zustande existieren (Abbildung 2 auf der nachsten Seite), lasst sich verstehen ausgehendvon freien Elektronen und von den Orbitalen der Atome, aus denen der Kristall aufgebautist. Die zugehorigen Methoden der Bandstrukturrechnung sind bekannt unter Namen wieNFE (nearly free electrons), OPW (orthogonalized plane waves), APW (augmented pla-

ne waves) und ~k · ~p (nach dem Produkt aus Wellenvektor ~k und Impulsoperator ~p) bzw.LCAO (linear combination of atomic orbitals) oder tight binding approach.Wir beginnen mit freien Elektronen. Wenn sich diese uber einem konstanten Potential V0

bewegen, haben sie (nichtrelativistisch) die Energiedispersion

E(~k) = E0 +~

2~k2

2me

(6)

mit ebenen Wellen als Eigenfunktionen

Ψ~k(~r) =

1√Ω

ei~k~r . (7)

Dabei sind 1√Ω

der Normierungsfaktor und ~k der Wellenvektor mit∣

∣

∣

~k∣

∣

∣= 2π

λ. Dies ist in

Abbildung 2 auf der nachsten Seite dargestellt.

Die ebene Welle ist gleichzeitig Eigenfunktion des Impulsoperators ~

igrad mit dem Im-

pulseigenwert ~~k. Dies entspricht gerade obigem Potentialtopfmodell.Wir betrachten jetzt ein schwaches periodisches Potential langs der x-Achse (Abbil-dung 3 auf Seite 7) und lassen eine ebene Welle auf dieses Potential auftreffen. Dannwird an jedem Potential die ebene Welle etwas gestreut. Die Streuwellen interferieren fureinen allgemeinen Wert von kx weitgehend destruktiv, d.h. fur ein solches k werden Eigen-energie (6) und Eigenfunktion (7) nicht wesentlich verandert.

Es gibt aber bestimmte kx-Werte fur die sich die ruckgestreuten Wellen konstruktiv uber-lagern. Diese sind fur unser Beispiel gegeben durch

nλ = 2a (8)

oderkx = n · π

amit n = ±1,±2... . (9)

Das sind gerade die Grenzen der 1. und der hoheren Brillouin Zonen in einem einfachkubischen Gitter (Vergl. Gleichung (5)). Der reziproke Raum ist also der Raum, in dem


Abbildung 2: Die Energiezustande eines freien Elektrons uber einem konstanten Potential,das ausgedehnte Zonenschema fur ein periodisches Potential und das reduzierte Zonen-schema fur ein periodisches Potential (aus: Hofmann 2004 [7]).

die ~k-Vektoren aufgetragen werden.Die Uberlagerung der einfallenden mit der rucklaufenden Welle fuhrt zu einer stehendenWelle. Diese hat fur gleiches λ bzw. k zwei Losungen, die sinkxx- und die coskxx-Losung.

Bei gleicher kinetischer Energie ~2~k2

2mist die potentielle Energie der Zustande mit großer

Aufenthaltswahrscheinlichkeit im Bereich der Potentialminima kleiner als die der ande-ren Losung. Deshalb bilden sich an den Randern der Brillouin Zonen zwei Losungenunterschiedlicher Gesamtenergie und damit Energielucken aus (durchgezogene Linie inAbbildung 2 (b) und Abbildung 4 auf Seite 8 (a)). Da sich ein Wellenpaket, aufgebautaus stehenden Wellen, auch nicht bewegt und damit die Gruppengeschwindigkeit vg nullwird, d.h.

vg =1

~· ∂E

∂kx

= 0 , (10)

muss die Dispersionskurve mit waagrechter Tangente auf den Zonenrand zulaufen.

Geht man anstatt von freien Elektronen von Atomorbitalen aus, so hat man zunachstbei großem Abstand zwischen den Atomen die scharf definierten δ-formigen Energieterme(Abbildung 4 (d)). Mit abnehmendem Abstand fangen die Atomorbitale an zu uberlap-pen. Diese Wechselwirkung fuhrt zu einer Aufspaltung in Bander (Abbildung 4 (c)). Die


Abbildung 3: Ein schwaches, eindimensionales, periodisches Potential V (x) und die Auf-enthaltswahrscheinlichkeit der beiden Losungen (aus: Klingshirn 2005 [10]).

Bandbreite wachst mit weiter abnehmendem Abstand, da dann die beteiligten Wellen-funktionen zunehmend uberlappen.Die genauere Untersuchung ergibt das sog. (Ewald-)Bloch Theorem:In einem periodischen Potential sind die Wellenfunktionen der Elektronen sog. Blochwel-len

Ψ~kx(~r) =

1√Ω

ei~k~ru~k(~r) . (11)

Dabei istu~k

(~r + ~R) = u~k(~r) (12)

gitterperiodisch. In u~k(~r) steckt die Information uber die durch chemische Bindung und

Wechselwirkung veranderten Atomorbitale, wahrend die Exponentialfunktion den Cha-rakter der ebenen Welle reprasentiert. In der Blochwelle sind somit beide obigen Ansatzevereint. Fur die Energieeigenwerte gilt:

E(~k) = E(~k + ~G) . (13)

Das erlaubt einerseits, die Dispersion von Abbildung 4 (a) periodisch fortzusetzen oderalle Aste mit geeigneten Vektoren des reziproken Gitters in die erste Brillouin Zone zuschieben. Das liefert das sog. reduzierte Zonenschema von Abbildung 4 (b), das manoffenbar sowohl von dem Ansatz nach Abbildung 4 (a) als auch Abbildung 4 (d) erreicht.

Das Bandermodell lasst sich im ~k- oder reziproken Raum darstellen oder im Ortsraum(Abbildung 5 auf Seite 9). Je nach Problemstellung wahlt man die eine oder andereDarstellung.

Wir besetzen nun fur T = 0K die Zustande gemaß der Fermi-Dirac-Statistik mit den imKristall vorhandenen Elektronen. Dieser Auffullprozess kann so ausgehen, dass man eine


Abbildung 4: Entwicklung des reduzierten Zonenschemas b), ausgehend von freien Elek-tronen in einem schwachen periodischen Potential a) oder von Atomorbitalen d), c) (aus:Klingshirn 2005 [10]).

Reihe vollstandig gefullter Bander erhalt und daruber ein oder mehrere teilweise gefullteBander. Solche Substanzen sind Metalle. Sie haben fur T → 0 eine endliche (oder bei Su-praleitern eine unendliche) elektrische Leitfahigkeit und EF liegt in einem Band. In einemteilweise besetzten Band kann ein Elektron unter beliebig kleiner Energiezufuhr an derGrenze zwischen besetzten und unbesetzten Zustanden von einem Ort an einen anderenOrt transportiert werden. Da das Band im Sommerfeldmodell immer nur teilweise besetztist, lassen sich damit, wie schon erwahnt, nur Metalle beschreiben.Gibt es nach Auffullen aller Zustande bei T = 0 nur vollstandig gefullte Bander, danneine Energielucke und daruber vollstandig leere Bander, so hat das Material fur T → 0 dieelektrische Leitfahigkeit σ = 0, da vollstandig leere Bander trivialerweise nicht zur elek-trischen Leitfahigkeit beitragen konnen, und auch vollstandig besetzte Bander aufgrunddes Pauliprinzips nicht leiten. Die auch in manchen Lehrbuchern vertretene Auffassung,dass Elektronen im Leitungsband frei beweglich sind, Elektronen in Valenzbandern da-gegen fest an die Atome gebunden seien, ist falsch. Dann durfte es namlich auch keineLocher- oder p-Leitung geben (siehe unten). Hier gleich ein Hinweis zur Nomenklatur:alle bei T = 0 vollstandig besetzten Bander heißen Valenzbander, alle teilweise besetztenoder leeren Bander heißen Leitungsbander. Betragt die Lucke Eg zwischen dem hochstengefullten Valenzband und dem niedrigsten leeren Leitungsband

0 < Eg ≤ 4eV , (14)


Abbildung 5: Darstellung der Bandstruktur im ~k- und im Ortsraum (aus: Klingshirn 2005[10]).

so handelt es sich um einen Halbleiter und fur

Eg ≥ 4eV (15)

um einen Isolator. Die Grenze zwischen Halbleiter und Isolator ist fließend. So ist Diamantmit Eg ≈ 5.5eV noch ein typischer Halbleiter.Die Halbleiter selbst werden noch eingeteilt in schmalluckige Halbleiter (

”narrow gap

semiconductors“) fur0 < Eg ≤ 0, 5eV , (16)

in”normale“ Halbleiter fur

0, 5eV ≤ Eg ≤ 2eV (17)

und in breitluckige Halbleiter (”wide gap semiconductors“)

Eg > 2eV , (18)

die besonders in den letzten Jahren wieder von verstarktem wissenschaftlichen Interessesind. Beruhren sich Valenz- und Leitungsband, d.h. ist Eg = 0, so spricht man von Halb-metallen.

In Abbildung 6 auf der nachsten Seite ist eine typische Bandstruktur von kubischen Halb-leitern mit tetraedrischer Koordination dargestellt. Die Komplexitat der Bandstrukturruhrt neben dem periodischen Potential im Wesentlichen von der Ruckfaltung der pa-rabolischen Dispersion nach (13) in die erste Brillouin Zone her. Es sind einige Details


Abbildung 6: Typische Bandstruktur von Halbleitern mit tetraedrischer Koordination mitDetails (aus: Klingshirn 2005 [10]).

gezeigt. Liegen die globalen Extrema von Valenz- und Leitungsband beim gleichen ~k-Vektor in der 1. Brillouin Zone (meist bei ~k = 0), so spricht man von einem direktenHalbleiter oder einem Halbleiter mit direkter Lucke, da der optische Ubergang zwischenden Bandextrema direkt mit einem Photon (~k ≈ 0) moglich ist (z.B. GaAs). Liegen die

Extrema bei unterschiedlichen ~k-Werten, so ist der Halbleiter indirekt, da zusatzlich zudem Photon noch ein Phonon zur (Quasi-)Impuls oder ~~k-Erhaltung notig ist (z.B. Sioder Ge).

2.1.3 Dotierung, Elektronen und Locher

Wir verlassen nun den Fall T = 0 und uberlegen, wie man eine endliche Anzahl von Elek-tronen im Leitungsband oder von unbesetzten Zustanden im Valenzband erzeugen kann,wie also im Halbleiter eine endliche Leitfahigkeit erzeugt werden kann. Dazu fuhren wir

zunachst den Begriff des Lochs ein. Ein vollbesetztes Valenzband enthalt ca. 1023 Elektronencm3 .

Entfernen wir daraus ein Elektron, so konnen wir entweder die (1023 − 1) verbleibenden


Abbildung 7: Direkter und indirekter Halbleiter (modifiziert aus: Bohnet 2003 [1]).

Elektronen betrachten oder den einen unbesetzten Platz. Letzteres ist offensichtlich ein-facher und fuhrt zum Konzept der Defektelektronen oder Locher. Ein Loch ist ein unbe-setzter Zustand in einem ansonsten fast vollstandig gefullten Band. Elektrische Ladung,Spin und Impuls sind entgegengesetzt zu denen des fehlenden Elektrons, da diese Wertefur ein gefulltes Band insgesamt Null sind. Das Loch hat somit eine positive Ladung undtragt zum Stromtransport bei (Locherleitung).Zusammenfassend konnen wir folgendes festhalten: Elektronen und Locher im Halbleiter-Kristall sind so genannte Quasiteilchen, die nur im Kristall existieren. Sie sind charakte-risiert durch ihre Dispersionsrelation E(~k) und durch ihren Quasiimpuls ~~k. Quasiimpuls

deshalb, weil ~~k nur modulo der ~bi erhalten ist und weil Blochwellen keine Eigenfunktio-nen des Impulsoperators sind. Dennoch gilt z.B. in Streuprozessen im Kristall ein Erhal-tungssatz fur die Summe aller ~~ki(± ~G). Weiter werden Elektronen und Locher durch ihreeffektiven Massen charakterisiert. Die effektive Masse wird durch folgende Uberlegungeingefuhrt:Fur Transporteigenschaften bildet man durch die Uberlagerung von Bloch-Wellen Wel-lenpakete. Diese bewegen sich mit ihrer Gruppengeschwindigkeit

vg =1

~

∂E

∂k=

∂ω

∂k. (19)

Siehe auch Gleichung (10). Eine außere Kraft (z.B. außeres ~E- oder ~B-Feld) andert vg

gemaß

a =∂vg

∂t=

1

~

∂2E

∂k∂t=

1

~

∂2E

∂2k

∂k

∂t=

1

~2

∂2E

∂2k

∂~k

∂t. (20)

Dabei ist a die Beschleunigung, die Impulsanderung ∂~k∂t

gibt die Kraft ~F . Ein Vergleichmit

a =1

mF (21)

fuhrt zum Konzept der effektiven Masse von Elektronen und Lochern, mit der sie auf eine


außere Kraft reagieren und die gegeben ist durch

1

me,h

=1

~

2∂2E

∂k2=

1

~2

∂2E(~k)

∂ki∂kj

. (22)

Die allgemeinere Schreibweise in Gleichung (22) zeigt, dass es sich um eine Tensorgroßehandeln kann. Die effektiven Massen sind also umso kleiner, je großer die Bandkrummungist. Das ist ein sehr sinnvolles Konzept, denn wir hatten weiter oben festgestellt, dass dieBreite der Bander und damit ihre Krummung umso großer wird, je großer die Uberlap-pung benachbarter Wellenfunktionen ist. Andererseits kann sich ein Elektron oder Lochumso leichter durch den Kristall bewegen, je großer diese Uberlappung ist.

Wir betrachten noch einmal Abbildung 5 (a): In kubischen Halbleitern findet man oft, dassdas Valenzband bei k = 0 durch die Spin-Bahn Wechselwirkung ∆SO in zwei Teilbanderaufgespalten ist. Das obere ist bei k = 0 vierfach entartet (J = L+S = 3

2~) und spaltet es

fur ~k 6= 0 in zwei je zweifach entartete Bander auf. Da diese unterschiedliche Krummungbesitzen, werden sie als schweres und leichtes Lochband (

”hh“ und

”lh“) bezeichnet. Das

Spin-Bahn abgespaltene Band (J = L + S = 1

2) ist nur zweifach entartet. In einachsigen

Kristallen wie GaN , ZnO, CdS, CdSe,... ist die vierfache Entartung des oberen Bandesdurch das hexagonale Kristallfeld schon bei k = 0 aufgehoben. Man hat daher bei k = 0drei zweifach entartete Valenzbander, die von oben nach unten ublicherweise als A-, B-und C-Valenzband bezeichnet werden. Fur tiefe Atomorbitale (z.B. 1s) geht der Uberlappgegen Null und die effektive Masse gegen ∞. Fur solche (und nur fur solche) Elektronenkann man sagen, dass sie fest an ein Atom gebunden sind.Die Effekte, die uns im Folgenden interessieren, spielen sich ganz uberwiegend im Ma-ximum des obersten Valenzbandes und im Minimum des tiefsten Leitungsbandes ab. Indiesen Bereichen ist die Dispersion im Allgemeinen parabolisch und damit die effektiveMasse konstant. Dies fuhrt zur effektiven Massen-Naherung, in der Elektronen und Locherals freie Teilchen mit Ladung ±e, Quasiimpuls ~~k und konstanter effektiver Masse me,h

betrachtet werden. Elektronen und Locher sind Einteilchenzustande oder die Losungendes N ± 1 Teilchenproblems in folgendem Sinne:Bringt man in einen Kristall mit einem mit N Elektronen voll besetzten Valenzband einweiteres (das N + 1. Teilchen) Elektron, so stehen fur dieses gerade die Leitungsband-Zustande zur Verfugung. Entfernt man ein Elektron (N − 1 Teilchen), so kommt diesesgerade aus den Valenzband-Zustanden.

Es gibt verschiedene Moglichkeiten, in einem Halbleiter Elektronen und/oder Locher zuerzeugen.

• Thermische Anregung

Bei endlicher Temperatur wird ein geringer Teil der Elektronen thermisch vom Va-lenzband ins Leitungsband angeregt und lasst dort Locher zuruck. Es gilt damit fur


die Elektronen- und Locherkonzentration n und p

n = p = ni(T ) . (23)

Dabei ist ni(T ) die so genannte intrinsische Elektronenkonzentration. In typischenHalbleiter ist ni bei Raumtemperatur sehr klein, wie eine Betrachtung des Boltz-mannfaktors zeigt. In diesem Fall liegt das Fermi-Niveau oder chemische Potentialder Elektronen etwa in der Mitte der Bandlucke. Die Begriffe Fermienergie EF oder(Elektro-) chemisches Potential µ werden in der Halbleiter-Physik im Allgemeinensynonym gebraucht. EF gibt die Energie an, bei der die Besetzungswahrschein-lichkeit gerade den Wert 0.5 annimmt, unabhangig davon, ob bei dieser EnergieZustande existieren oder nicht. Im Allgemeinen liegt EF im Halbleiter in der Ener-gielucke.

• Dotierung

Im thermischen Gleichgewicht kann die Konzentration einer Ladungstragersorte zuLasten der anderen stark durch Dotierung erhoht werden. Unter Dotierung verstehtman den gezielten Einbau von Fremdatomen. Donatoren (z.B. Gruppe V Elementein Si) haben ein lokalisiertes und schwach gebundenes Elektron, das bei Raumtem-peratur thermisch leicht ins Leitungsband angeregt werden kann, gemaß

D0 ↔ D+ + e , (24)

wahrend Akzeptoren einen unbesetzten Zustand knapp uber dem Valenzband anbie-ten, der aus diesem ein Elektron aufnehmen bzw. ein Loch ins Valenzband abgebenkann, gemaß

A0 ↔ A− + h . (25)

Im thermodynamischen Gleichgewicht gilt stets

n · p = n2i (T ) , (26)

d.h. man kann entweder n oder p erhohen (sog. Majoritatsladungstrager) zu Lastender anderen Ladungstragersorte (Minoritatsladungstrager). Dotierung mit Donato-ren und Akzeptoren fuhrt uber Elektron-Loch-Rekombination zur Kompensation.

• Optische Anregung oder Ladungstragerinjektion

Die Ladungstragerkonzentration kann auch durch optische Anregung erhoht wer-den (→ Photoleitfahigkeit, Solarzelle) oder durch Injektion in einen pn-Ubergang(→ Gleichrichter, Solarzelle, Lumineszenz). In diesen Fallen entfernt man sich vomthermodynamischen Gleichgewicht und Gleichung (26) gilt nicht mehr.

In Abbildung 8 auf der nachsten Seite zeigen wir schematisch die Ladungstragerverteilungin einem n und in einen p dotierten Halbleiter gezeigt. Das Ferminiveau (oder chemischePotential) liegt bei tiefen Temperaturen zwischen dem Band und dem Dotierniveau undbewegt sich mit zunehmender Temperatur in Richtung Mitte der Bandlucke.


Abbildung 8: Die schematische Ladungstragerverteilung in einem n- oder p-dotiertenHalbleiter.

Die Lage der Fermienergie EF ist festgelegt durch die absolute Temperatur des Halbleitersund die Elektronenkonzentration z.B. im Leitungsband gemaß

n =

∞∫

EL

D(E)fFD,B(E, EF , T )dE . (27)

Dabei sind D(E) die Zustandsdichte und f die Besetzungswahrscheinlichkeit. Fur Elek-tronen gilt

f = fFD =1

e(E−EF )

kBT + 1. (28)

Soweit EF in der Bandlucke liegt, lasst sich Gleichung (28) fur die Verteilung der La-dungstrager in den Bandern durch die Boltzmannstatistik ersetzen.

f = fB =1

e(E−EF )

kBT

(29)

Die Locherkonzentration ist dann gegeben durch

p =

EV∫

−∞

D(E)(1 − fFD,B(E, EF , T ))dE (30)

wobei im thermodynamischen Gleichgewicht die Fermieenergie EF fur Elektronen undLocher und die Besetzung der Dotierniveaus in der Lucke das Gleiche ist. Der Energie-nullpunkt wurde in (27 − 29) an die Oberkante des Valenzbandes gelegt.


2.1.4 Der pn-Ubergang

Bringen wir nun einen n- und einen p-dotierten Halbleiter in Kontakt, so wird Teilchenaus-tausch moglich, d.h. es diffundieren auf Grund des Konzentrationsgradienten Elektronenaus dem n-Halbleiter in das p-Gebiet und rekombinieren dort mit Lochern und umgekehrt.Dadurch entsteht eine an Ladungstragern verarmte Zone. Da die ionisierten Donatorenund Akzeptoren (D+ und A−) zuruckbleiben, entsteht eine elektrische Dipolschicht, inder ein elektrisches Feld herrscht.

Abbildung 9: Bandstruktur von einem a) p-dotierten und n-dotierten Halbleiter und b)einem pn-Ubergang (aus: Rack 2002 [15]).

Dieses elektrische Feld erzeugt eine Potentialstufe der Hohe Udiff , die die Diffusions-strome der Majoritatstrager (d.h. der Elektronen vom n- ins p-Gebiet und der Lochervom p- ins n-Gebiet) reduziert, da nur noch Ladungstrager diffundieren konnen derenthermische Energie kBT ausreicht, um Udiff zu uberwinden. Das Ferminiveau stellt sichbei Teilchenaustausch im thermodynamischen Gleichgewicht raumlich konstant ein. Alleoben angesprochenen Großen sind in Abbildung 9 schematisch dargestellt.Die Diffusionsstrome heißen auch Rekombinationsstrome, da die jeweiligen Majoritats-ladungstrager (z.B. die Elektronen im n-Gebiet), die auf die andere Seite diffundieren,dort schnell mit den vielen Ladungstragern der anderen Sorte (in diesem Beispiel Locherim p-Gebiet) rekombinieren. Die sog. Diffusions- (oder Rekombinations-)strome der Ma-joritatstrager addieren sich. Beide Diffusionsstrome werden jeweils fur sich kompensiertdurch die Feld-(Drift- oder Generations-)strome, die von den Minoritatstragern herruhren,die in das elektrische Feld der Verarmungszone diffundieren und dort beschleunigt werden,


Abbildung 10: (a) p- und n-Halbleiter, (b) pn-Ubergang, (c) Ladungstragerkonzentration,(d) Raumladungsdichte ρ, (e) elektrische Feldstarke, (f) elektrisches Potential (modifiziertaus: Ibach & Luth 1999 [8]).

oder die thermisch in der Verarmungszone durch Band-Band-Anregung erzeugt werden.Die Feldstrome sind auch bekannt unter dem Namen Driftstrome oder Generationsstrome,da die vom elektrischen Feld des pn-Ubergangs abgezogenen Minoritatstrager durch ther-mische Generation von Elektron-Loch-Paaren wieder nachgeliefert werden mussen. DerZusammenhang zwischen Raumladungsdichte (Abbildung 10 (c)), elektrischer Feldstarke(Abbildung 10 (d)) und elektrischem Potential (Abbildung 10 (e)) folgt aus den Glei-

chungen div ~E = ρ

εε0und ~E = −gradΦ. Abbildung 10 (c) zeigt die Abnahme der Ma-

joritatsladungstragerkonzentrationen im pn-Ubergang in logarithmischem Maßstab. Dersymmetrische Kurvenverlauf entspricht der Beziehung np = n2

i in der Verarmungszone.An einer Stelle wird n = p = ni erreicht. Der Begriff (Ladungstrager-)Verarmungszonefur den pn-Ubergangsbereich wird hier besonders einleuchtend.


2.1.5 Der pn-Ubergang unter Vorspannung

Legt man nun eine Spannung in Durchlassrichtung an (-Pol an n-Gebiet, +Pol an p-Gebiet), werden Elektronen und Locher in die Verarmungszone getrieben. Diese wirddadurch schmaler und niederohmiger, die Diode leitet besser. Die Potentialstufe von Ab-bildung 9 auf Seite 15 wird um die angelegte Spannung erniedrigt, die Diffusionsstromewachsen naherungsweise exponentiell (Boltzmannstatistik), die Feldstrome bleiben nahe-rungsweise konstant.Legt man eine Spannung in Sperrrichtung an (+Pol an n-Gebiet, -Pol an p-Gebiet), werdennoch mehr Elektronen aus der Verarmungszone abgezogen, die dadurch breiter und nochhochohmiger wird. Die Diode sperrt. Die Potentialstufe wird um die angelegte Sperr-spannung erhoht, die Diffusionsstrome nehmen exponentiell ab, die Feldstrome bleibennaherungsweise konstant.Damit ergibt sich in diesem Modell eine Strom- und Spannungskennlinie (Abbildung 11)

I = IS

(

eeU

kBT − 1)

. (31)

Abbildung 11: Diodenkennlinie mit Durchbruch (modifiziert aus: Gavryushin & Zukauskas2002 [5]).


Hierbei ist IS der Sattigungssperrstrom. Dieser wird umso kleiner, je großer die Bandluckedes Halbleiters ist. Fur hohe Durchlassspannungen wird der Widerstand der Verarmungs-zone so klein, dass die exponentielle Kennlinie nach (31) in einen linearen Verlauf ubergeht,der durch die Ohmschen Widerstande der n- und p-Gebiete bestimmt ist. Eine ahnlicheKennlinie wie (31) erhalt man auch an manchen Halbleiter-Metallkontakten. Das sind diesog. Schottky-Dioden.Legt man eine Spannung an den pn-Ubergang, so befindet er sich nicht mehr im ther-modynamischen Gleichgewicht. Die Verteilungen fur Elektronen und Locher in der Verar-mungszone konnen nicht mehr mit einem gemeinsamen Ferminiveau fur beide Ladungs-tragersorten beschrieben werden. Deshalb fuhrt man Quasiferminiveaus Ee,h

F , jeweils furElektronen und Locher ein, die die Verteilung der Ladungstrager in den jeweiligen Bandernbeschreiben. Wird der pn-Ubergang in Durchlassrichtung gepolt, liegen die Quasifermini-veaus in der Verarmungszone naher an den jeweiligen Bandern als im thermodynamischenGleichgewicht; bei Polung in Sperrrichtung sind sie weiter davon entfernt. Der energeti-sche Abstand der Quasiferminiveaus wird als chemisches Potential des Elektron-Loch-Paarsystems bezeichnet, d.h. µeh = Ee

F − EhF . Im thermodynamischen Gleichgewicht ist

µeh = 0.

Abbildung 12: Spannung an einen pn-Ubergang (aus: Ibach & Luth 1999 [8]).


2.2 Grundlagen Solarzelle

2.2.1 Der Halbleiter unter Lichteinstrahlung

Strahlt man Licht auf einen Halbleiter, so konnen je nach Photonenenergie ~ω undBandlucke Eg verschiedene Effekte auftreten:

Abbildung 13: Wirkung von Lichtquanten unterschiedlicher Energie.

Wenn wir im Moment die Coulombwechselwirkung vernachlassigen, die zur Bildung vonExcitonen fuhrt (siehe Versuch Halbleiterspektroskopie), gibt es folgende drei Falle:

~ω < Eg oder ~ω ≥ Eg oder sogar ~ω Eg . (32)

Fur ~ω < Eg wird das Lichtquant nicht absorbiert und lauft durch den Halbleiter (sieheFall 1 in Abbildung 13). Fur ~ω ≥ Eg wird das Lichtquant bei hinreichender Schichtdi-cke des Halbleiters absorbiert und erzeugt ein zusatzliches Elektron-Loch-Paar. (Merke:optische Ubergange in Halbleitern und Isolatoren sind immer Zweiteilchenubergange, beidenen entweder ein Elektron und ein Loch erzeugt (Absorption) oder vernichtet werden(strahlende oder nichtstrahlende Rekombination, siehe Versuch Lumineszenz)). In Abbil-dung 13 waren das die Falle 2 und 3. Fur ~ω EG wird ebenso ein Elektron-Loch-Paar


erzeugt, aber mit einer großen Uberschussenergie ~ω−Eg. Diese liegt als kinetische Ener-gie von Elektronen und Lochern vor und wird bei der Relaxation der Ladungstrager andie Bandrander als Warme (d.h. uber die Emission von Phononen, siehe Versuch Gitter-schwingungen) an den Halbleiterkristall abgegeben. Aus (32) ergibt sich eine Methode,den Wert der Bandlucke von Halbleitern grob abzuschatzen. Fur Eg ≤ 1.8eV werden allePhotonen des sichtbaren Spektrums absorbiert, d.h. der Halbleiter sieht schwarz glanzendaus. Fur Eg ≥ 3.4eV werden alle durchgelassen, der Halbleiter ist farblos und klar durch-sichtig. Fur 1.8eV ≤ Eg ≥ 3.5eV variiert die Farbe mit zunehmender Bandlucke von(dunkel-)rot uber orange zu (hell-) gelb. Die erzeugten Elektron-Loch Paare konnen nachAblauf ihrer mittleren Lebensdauer Tl wieder strahlend oder nichtstrahlend rekombinie-ren, soweit die Ladungstrager nicht raumlich getrennt werden, wie das in einer Solarzelleoder Photodiode der Fall ist. Im ersten Fall wird Lumineszenzlicht mit einer Energie~ω ≤ Eg ausgesandt, im zweiten Fall Warme erzeugt (Klingshirn[11]).

2.2.2 Der pn-Ubergang unter Bestrahlung

Abbildung 14: Der pn-Ubergang unter Einfluss von Bestrahlung mit ~ω > Eg (aus: Paul1992 [14]).

In Abbildung 9 auf Seite 15 ist der Bandverlauf in einem pn-Ubergang zunachst im thermo-dynamischen Gleichgewicht, d.h. EF ist raumlich konstant zu sehen. Unter Einstrahlungvon Photonen mit ~ω > Eg werden zusatzliche Elektron-Loch-Paare erzeugt. Findet derAbsorptionsprozess in der Verarmungszone statt (Abbildung 14), werden Elektron undLoch schnell raumlich durch das dort herrschende elektrische Feld getrennt. Bei offenenKlemmen verbleiben die Ladungstrager wahrend ihrer Lebensdauer im n- bzw. p-Gebietund bauen die dort herrschenden Raumladungen aus D+ bzw. A− ab. Dadurch wird diePotentialstufe abgebaut (in Abbildung 14 gezeigt). Die Abnahme der Potentialstufe wirdals Leerlaufspannung UL an den außeren Kontakten am pn-Ubergang gemessen. Schließt


man das Bandelement dagegen kurz, so konnen die raumlich getrennten Ladungstragerim Außenkreis einen Stromfluss bewirken und sich auf diese Art ausgleichen. Das ist derso genannte Kurzschlussstrom IK. In diesem Fall andert sich die Hohe der Potentialstufekaum.Photonen, die außerhalb der Raumladungszone absorbiert werden, erzeugen ebenfallsElektron-Loch-Paare. Die geringfugige Erhohung der Majoritatstragerkonzentration istdabei von geringerer Bedeutung, wesentlich ist die Erhohung der Minoritatstragerkonzen-tration durch die Lichtabsorption, d.h. der Elektronen im p-Gebiet und der Locher imn-Gebiet. Die zusatzlichen Minoritatstrager konnen mit Majoritatstragern wieder (strah-lend und nichtstrahlend) rekombinieren. Dann sind sie fur die photoelektrische Energieer-zeugung verloren, oder sie konnen zu den jeweiligen Kontakten diffundieren, dann tragensie ebenfalls nicht zur elektrischen Energieerzeugung bei. Man versucht diesen Verlust z.B.durch eine p+-Dotierung vor dem p-Kontakt zu reduzieren, da die damit verbundene weite-re Potentialstufe das Erreichen des Kontakts fur Elektronen erschwert. Schließlich konnendie zusatzlichen Minoritatstrager in die Verarmungszone diffundieren. Dort werden sievom elektrischen Feld abgezogen und tragen so zu Leerlaufspannung bzw. Kurzschluss-strom bei.Sehr viele Halbleiter basieren auf Si (fur andere Materialien oder Materialkombinationensiehe die beiliegende Literatur). Da Si ein indirekter Halbleiter ist (siehe oben), ist dieEindringtiefe des Sonnenlichtes (oder die Absorptionslange) relativ groß (typisch 100µm)im Vergleich zur Dicke der Verarmungszone (typisch 1µm). Die Absorption außerhalb derRaumladungszone uberwiegt daher stark. Es ist deshalb notig, moglichst hochwertigesSi zu verwenden, in dem die Diffusionslange der Minoritatstrager ebenfalls ca. 100µm er-reicht. Dazu macht man das n-dotierte Gebiet dunn (ca. 10µm) und das p-dotierte Gebietdick (ca. 200−300µm), da die Minoritatstrager, d.h. die Elektronen im p-Gebiet, aufgrundihrer kleineren effektiven Masse eine hohere Diffusionskonstante haben und daher leichterdie Verarmungszone erreichen als die Locher (Klingshirn[11]).

2.2.3 Die Kennlinie des pn-Ubergangs unter Beleuchtung

Die Kennlinie des pn-Ubergangs unter Bestrahlung ist in Abbildung 15 auf der nachstenSeite dargestellt. Ohne Bestrahlung entspricht die Kennlinie einfach der eines ublichen pn-Ubergangs. Mit Bestrahlung wachst der Sperrstrom im III. Quadranten und damit auchder Kurzschlussstrom linear mit der Bestrahlungsstarke. Die Strom-Spannungskennliniedes pn-Ubergangs lasst sich im einfachsten Fall durch eine additive Uberlagerung desKurzschlussstromes IK beschreiben, d.h.

I = IS

(

eeU

βkBT − 1)

− IK . (33)


Abbildung 15: Die Kennlinie eines pn-Ubergangs mit bzw. ohne Bestrahlung (Photonen~ω > Eg) (aus: Wikipedia 2005 [20]).

Dabei ist 1 ≤ β ≤ 2 der so genannte Idealitatsfaktor. Er gibt an, ob die Absorption derPhotonen mit Band-Band-Ubergangen (β → 1) oder mit Storstellen (β → 2) stattfindet.

Im III. Quadranten, d.h. in Sperrrichtung gepolt, verwendet man den pn-Ubergang alsPhotodiode zur Lichtmessung. Auf diese Anwendung soll hier nicht naher eingegangenwerden. Fur die Anwendung als Solarzelle ist der IV. Quadrant wichtig, der in Abbil-dung 16 auf der nachsten Seite noch einmal herausgezeichnet ist, zusammen mit derlinearen Kennlinie eines Ohm’schen Lastenwiderstandes RL (Abbildung 17 auf der nachs-ten Seite gemaß

UDiode + UL = 0 . (34)

Da IK linear mit der Bestrahlungsstarke wachst, variiert die Leerlaufspannung logarith-misch aufgrund der exponentiellen Kennlinie (33).

IK ∝ ILicht bzw. UL ∝ lnILicht (35)

Die entnommene elektrische Leistung P = IU entspricht dem Rechteck in Abbildung 16 aufder nachsten Seite. Sie verschwindet offenbar fur die Falle der offenen Klemmen (da I = 0)oder des Kurzschlusses (U = 0) und durchlauft mit der Variation von RL, d.h. der Stei-gung der Widerstandsgeraden in Abbildung 16 auf der nachsten Seite, ein Maximum. DerWert von RL, fur den die maximale elektrische Leistung entnommen wird, variiert mitder Bestrahlungsstarke, d.h. mit IK.


Abbildung 16: Die Kennlinie einer Solarzelle im IV. Quadranten (modifiziert aus: Jaeckel2002 [9]).

Man definiert einen Fullfaktor FF fur die Situation maximaler Leistungsentnahme (Pmax =UmaxImax) gemaß

FF =UmaxImax

IKUL

< 1 . (36)

Der FF nahert sich umso mehr dem Idealwert 1 an, je”rechteckiger“ die Kennlinie der

Diode ist (Klingshirn[11]). Er ist abhangig von der Leerlaufspannung und ist in guter

Abbildung 17: Schaltung fur Gleichung (34).


Naherung gegeben durch

FF ≈eUL

βkBT− ln( eUL

βkBT+ 0, 72)

eUL

βkBT+ 1, 0

(37)

und kann in grober Naherung auch als konstant angenommen werden (nach Stone 1993 [18]und Paul 1992 [14]).

2.2.4 Der Wirkungsgrad der Solarzelle

Zum Verstandnis der pn-Solarzelle benotigt man die Bandstruktur des Halbleiters, d.h.Leitungs- und Valenzband, die durch eine endliche Energielucke getrennt sind. Wir be-trachten nun den Wirkungsgrad in Abhangigkeit von der Breite der Energielucke Eg inAbbildung 18.

Abbildung 18: Abhangigkeit des maximalen Wirkungsgrades von pn-Solarzellen von derEnergielucke (aus: Solarserver 2005 [17]).

Fur Eg → 0 werden zwar alle einfallenden Photonen absorbiert, d.h. IK wird maximal,aber die Leerlaufspannung, die nach oben durch Eg begrenzt ist (vollstandiger Abbau derPotentialstufe in Abbildung 11 auf Seite 17) geht gegen Null und damit auch der maxi-male Wirkungsgrad η.Fur Eg → ∞ konnte UL zwar sehr groß werden, aber es werden keine Photonen mehrabsorbiert (siehe Gleichung 32), d.h. IK → 0 und damit ebenfalls η → 0. Zwischen diesenGrenzwerten durchlauft η(Eg) ein Maximum, das bei etwa 1, 3eV liegt und einen Wert


um 30% hat. In der Nahe des Maximums liegen z.B. folgende Halbleiter (Eg): Si(1.1eV ),GaAs(1.4eV ), CdSe(1.8eV ). Das Maximum hat im Idealfall einen Wert um 30%. Mithochwertigen (und sehr teuren) Solarzellen erreicht man heute fur senkrechte Sonnen-einstrahlung und vollig klarem Himmel (ISonne ≈ 1kW/m2) Wirkungsgrade bis 25%.Preiswertere Solarzellen aus polykristallinem Si oder aus anderen Materialien erreichenWerte um 8% bis 10%. In unseren Breiten betragt die mittlere eingestrahlte Sonnen-lichtleistung gemittelt uber Tag und Nacht und uber die verschiedenen Wetterlagen ca.120W/m2 (Klingshirn[11]).

2.2.5 Praktischer Aufbau von Solarzellen

Der Querschnitt durch eine Hochleistungssolarzelle aus Si, wie sie auch im Versuch ver-wendet wird, ist in Abbildung 19 und Abbildung 20 auf der nachsten Seite dargestellt.

Abbildung 19: schematischer Querschnitt einer Solarzelle (nach Wurfel (1995)[21]).

Der pn-Ubergang besteht aus den oben schon genannten Grunden aus einer dunnen n+-Schicht, einer dicken p-Schicht, gefolgt von einer dunnen p+-Schicht. Die Kontakte aufder Einfallseite des Lichtes sind als dunne Metallstreifen ausgefuhrt, um moglichst wenigFlache abzuschatten, die aber andererseits hinreichend niederohmig sein mussen, um denInnenwiderstand nicht unnotig zu erhohen. Weiterhin mussen sie einen niederohmigen


Kontakt zum n+ − Si bilden. In Zukunft wird man versuchen, die Kontakte aus transpa-renten leitfahigen Oxiden (TCO) herzustellen wie ITO (Indium−tin−oxideIn1−xSnxO)oder ZnO : Al. Die Frontseite ist mit einer (Si-)Oxidschicht bedeckt, die einerseits denHalbleiter schutzen und insbesondere die schadliche Oberflachenrekombination reduzie-ren und die andererseits durch eine zweckmaßig bestimmte Dicke als Antireflexionsschichtwirken soll. Zur weiteren Verminderung der Reflexion wird die Oberflache in Form nega-tiver Pyramiden ausgefuhrt (Abbildung 20), da hier das Licht mehrfach reflektiert wird.Solche Solarzellen sehen besonders

”schwarz“ aus. Den Ruckseitenkontakt konnte man im

Prinzip vollflachig ausfuhren. Bei hochwertigen Solarzellen verwendet man jedoch strei-fenformige Kontakte und deckt den Rest zum Schutz gegen Oberflachenrekombination mitOxid ab. Das soll, zusammen mit dem Ubergang p−p+, den Prozentsatz der Elektronenweiter verringern, der den Ruckseitenkontakt anstatt des pn-Ubergangs erreicht.

Abbildung 20: Detaillierter Aufbau einer Hochleistungssolarzelle (aus: Green 2002 [6]).

Derzeit versucht man mit Tandemsolarzellen den Wirkungsgrad weiter zu erhohen. Da-zu absorbiert man zunachst den hoch energetischen Teil des Sonnenspektrums in einerSolarzelle mit großem Bandabstand Eg (und erhalt eine große Leerlaufspannung), ein wei-terer Teil des Sonnenspektrums wird in einer nachgeschalteten Solarzelle mit kleineremEg absorbiert. Damit steigen sowohl der Wirkungsgrad als auch die Herstellungskosten(Klingshirn[11]).

LITERATUR 27

Literatur

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[12] Kuchling, H. (1999): Taschenbuch der Physik. 16.Auflage. Fachbuch-verlag Leipzig.

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[14] Paul, R. (1992): Optoelektronische Halbleiterbauelemente. 2.Auflage.Teubner - Stuttgart.

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[19] Tipler, P. (1998): Physik. 2.Auflage. Sepktrum Akademischer Verlag -Heidelberg, Berlin.

[20] Wikipedia (2005): Solarzelle.http://de.wikipedia.org/wiki/Solarzelle(01.03.2005).

[21] Wurfel, P. (1995): Physik der Solarzellen. Spektrum Akademischer Ver-lag - Heidelberg, Berlin, Oxford.

[22] Winstel, G. & Weyrich, C. (1980): Halbleiter-Elektronik 10: Optoelek-tronik 1. Springer - Berlin, Heidelberg, New York.

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