1

Energiebänder in Kristallen

Eindimensionaler Fall

Graphische Darstellung der erlaubten Energien als eine Funktion des Wellenvektors

212

const.2

EEm

k

Freies Elektron

Elektron im periodischen Potential

a

nkE

m

nkaak

nkakaak

I

I

22

2

2coscoscos

2

-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 100

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

k

En

erg

ie

-10 -5 0 5 100

20

40

60

80

100

ka/

En

erg

ie

2

Energiebänder

-10 -5 0 5 100

20

40

60

80

100

ka/

En

erg

ie

Diskontinuierlich bei

a

nk

nnka

,3,2,1,0,

3-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 100

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

ka/

En

erg

ie

Energiebänder

-10 -5 0 5 100

20

40

60

80

100

ka/

En

erg

ie

0 5 10 15 20 25 30-10

-5

0

5

10

15

20

25

30

35

kI a

f(k I a

)

Periodische Lösung Elektron im periodischen Potential

Diskrete Energien

4

Darstellung der Energiebänder

,2,1,0

2

2

22

n

a

nk

mE

5

Elementarzelle

Periodisches Motiv 2D (3D) mit der kleinsten Fläche (Volumen)

6

2D-Elementarzelle

7

Gitterparameter

Kantenlängen a, b, cWinkel

a

b

c

AACC

BB

cnbnanT

Tczbyaxr

321

Vektoren im direkten Raum:

8

Kristallsysteme

Triklin: a≠b≠c, ≠≠

Monoklin: a≠b≠c, ==90°≠

Orthorhombisch: a≠b≠c, ===90°

Tetragonal: a=b≠c, ===90°

Hexagonal: a=b≠c, ==90°, =120°

Rhomboedrisch (trigonal): a=b=c, ==≠90°

Kubisch: a=b=c, ===90°

9

Reziprokes Gitter

Vektoren im reziproken Raum:

cba

cba

cba

acb

cba

ba

V

bac

d

nc

d

nb

d

na

001

001

010

010

100

100 ;;

clbkahGhkl

Basis im reziproken Raum:

a

b

c d(001)

cbaxxx jiijji ,,; ,

10

Beispiele – reziprokes Gitter

Kubisches Gitter:

*** ||;||;||

;1;

ccbbaa

acbacba

Tetragonales Gitter:

*** ||;||;||

1;1;

ccbbaa

ccabacba

Orthorhombisches Gitter:*** ||;||;||

1;1;1;

ccbbaa

ccbbaacba

Hexagonales Gitter:

60;||;30,;30,

1;3

2;120;

****

o

ccbbaa

cca

bacba

11

Netzebenenabstände

000

Abstände zwischen den Netzebenen im direkten Raum sind reziprok zu den Abständen im reziproken Raum

cos2cos2cos2

1

222222

2

2

cahcbkbhkacbkah

GGGd hklhklhklhkl

direkter Raum reziproker Raum

100 200 300 400

001 101 201 301 401

002 102 202 302 402

003 103 203 303 403

a*

c*Jeder Punkt im reziproken Raum entspricht einer Familie der Netzebenen

clbkahGhkl

12

2-D Brillouin Zonen

2

k

I. II.

III. IV.

kx

ky

G1

13

Analogie mit Röntgenbeugung

kx

ky

G

sin2

1sin

2

dd

Gkk

Gq

Gq

io

Elektronen und Photonen werden an der Grenze der Brillouin-Zone reflektiert.

Bragg-Bedingung

ki ko

q

14

Wigner-Seitz ZellePrimitive Elementarzelle in

3D

15

Reziprokes Gitter (kubisch primitiv)

0011

;0101

;1001

;

100

010

001;010;100

321

33321

232

321

321

321

ab

ab

ab

aiiattti

kji

att

ttt

ttb

atatat

Primitiv Primitiv

16

Reziprokes Gitter(kubisch innenzentriert)

1102

;1012

;0112

48;

2111

1114

1112

;1112

;1112

321

33

321

22

32

321

321

321

ab

ab

ab

akjkji

atttkj

akji

att

ttt

ttb

at

at

at

Innenzentriert Flächenzentriert

17

Reziprokes Gitter(kubisch flächenzentriert)

1112;1112

;1112

48;

2110

1014

0112

;1012

;1102

321

33

321

22

32

321

321

321

ab

ab

ab

akjiji

atttkji

akji

att

ttt

ttb

at

at

at

Flächenzentriert Innenzentriert