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1 „Flächenanlegungen“ • Einfache Flächenanlegung, gr. parabolé: eine gegebene Fläche F an eine gegebene Strecke a anlegen (d.h. ein Rechteck mit Seite a und Fläche F bestimmen). • Flächenanlegung mit Defekt, gr. elleipsis: an eine gegebene Strecke a eine gegebene Fläche F so anlegen, dass ein Quadrat fehlt. • Flächenanlegung mit Überschuß, gr. hyperbolé: an eine gegebene Strecke a eine gegebene Fläche F so anlegen, dass ein Quadrat überschießt. • Diese Aufgaben werden im Buch VI der „Elemente“ behandelt.

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„Flächenanlegungen“

• Einfache Flächenanlegung, gr. parabolé: eine gegebene Fläche F an eine gegebene Strecke a anlegen (d.h. ein Rechteck mit Seite a und Fläche F bestimmen).

• Flächenanlegung mit Defekt, gr. elleipsis: an eine gegebene Strecke a eine gegebene Fläche F so anlegen, dass ein Quadrat fehlt.

• Flächenanlegung mit Überschuß, gr. hyperbolé: an eine gegebene Strecke a eine gegebene Fläche F so anlegen, dass ein Quadrat überschießt.

• Diese Aufgaben werden im Buch VI der „Elemente“ behandelt.

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Flächenanlegungen algebraisch

• Einfache Flächenanlegung: löse die GleichungF = ax

• Flächenanlegung mit Defekt: löse die Gleichungen

x + y = a, F = xyalso letztlich die Gleichung x(a - x) = F.• Flächenanlegung mit Überschuß: löse die

Gleichungen x - y = a, F = xy

also letztlich die Gleichung y(y + a) = F.

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5.6.3 Kegelschnitte bei Apollonios und Archimedes

• Als „Kegelschnitte“ bezeichnet man Kurven, die zu folgenden drei Familien von Kurven gehören:– Ellipsen (insbesondere Kreise)– Parabeln– Hyperbeln

• Der Name „Kegelschnitt“ rührt daher, dass man die Kurven erhalten kann, wenn man eine Ebene in einem bestimmten Winkel mit einem Kegel schneidet.

• Dies war die übliche Zugangsweise in der Antike. Nachdem bereits Euklid ein Werk über Kegelschnitte verfaßt hat, sind die Hauptautoren Apollonios von Perge (262?-190?) und Archimedes (287?-212).

• Die Namen „Ellipse“, „Parabel“ und „Hyperbel“ rühren daher, dass es einen Zusammenhang zu Flächenanlegungen gibt, der im Folgenden klar wird

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Kreis und Ellipse

• Der Kreis als einfachste der geschlossenen Kurven war allen frühen Hochkulturen bekannt

• Modern ausgedrückt: die Menge aller Punkte, deren Abstand zum Mittelpunkt gleich einem vorgegebenen Wert (dem Radius) ist

• Die Ellipse ist eine Verallgemeinerung des Kreises: Gegeben sind zwei Punkte (die sogenannten Brennpunkte) A und B; für alle Punkte auf dem Ellipsenbogen ist die Summe der Abstände zu A und B konstant

• Den Kreis erhält man, wenn A und B zusammenfallen• Keplers Gesetze der Planetenbewegung: die Planeten bewegen

sich auf Ellipsenbahnen, in deren einem Brennpunkt die Sonne steht

• Auch eine Ellipse kann man mit einem Seil konstruieren (Abbildung aus E.W.v.Tschirnhaus, Medicina mentis, 1686/87)

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Cartesische Gleichung der Ellipse

• „Große Achse“ AB = 2a,

„kleine Achse“ CD = 2b.• Koordinatenachsen =

Achsen der Ellipse:

x2/a2 + y2/b2 = 1• Spezialfall Kreis:

x2/r2 + y2/r2 = 1 bzw.

x2 + y2 = r2

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Die Hyperbel

• Die Hyperbel ist die Menge aller Punkte, für die die Differenz der Abstände von zwei gegebenen (Brenn-) Punkten konstant ist

• Auch hier spricht man von Achsen a, b

• Cartesische Gleichung:

x2/a2 - y2/b2 = 1

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Spezialfall: die gleichseitige Hyperbel

• Gilt a = b („gleichseitige Hyperbel“), so stehen die Asymptoten senkrecht aufeinander

• Man kann also die Asymptoten statt der Achsen als Koordinatensystem wählen

• Man erhält dann die Gleichung

xy = a2/2• Kommt in der Schulmathematik

vor (antiproportionale Zuordnung)• Die Fläche des Rechtecks aus x-

und y-Koordinate der Punkte der Hyperbel ist konstant

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Die Parabel

• Die Parabel ist die Menge aller Punkte, die von einem festen Punkt (Brennpunkt) und von einer festen Geraden (Leitlinie) gleich weit entfernt sind.

• Achsen: Tangente an Scheitelpunkt und Senkrechte durch Brennpunkt

• p: Entfernung Brennpunkt-Leitlinie

• Gleichung:

y2 = 2px

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Einteilungen geometrischer Kurven

• Heute bezeichnet man Kegelschnitte auch als Kurven zweiten Grades, weil die zugehörigen algebraischen Gleichungen zweiten Grades sind (höchster Exponent 2)

• Diese Einteilung wurde erst mit der Einführung der Koordinaten möglich

• Griechen unterschieden ebene, körperliche und linienhafte Örter– Ebene Örter: Gerade und Kreis– Körperliche Örter: erfordern räumliche Konstruktionen (wie z.B.

Kegelschnitte)– Linienhafte Örter erfordern spezielle Kurvenkonstruktionen, z.B.

mechanische wie die Quadratrix

• Dies ist eine grobe Einteilung nach der Schwierigkeit der Konstruktion

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Definitionen des Kegels

• Euklid: „Ein Kegel ist der Körper, der umschlossen wird, wenn ein rechtwinkliges Dreieck, während eine der Katheten fest bleibt, durch Herumführen wieder in dieselbe Lage zurückgebracht wird, von der es ausging“.

• Apollonios: „Wenn ein Punkt mit einem Punkte der Peripherie eines Kreises […] geradlinig verbunden wird, die Verbindungslinie […] unter Beibehaltung jenes ursprünglichen Punktes längs der Kreisperipherie bewegt wird, bis sie in ihre ursprüngliche Lage zurückkehrt, so nenne ich die durch die Gerade beschriebene Fläche […] eine Kegelfläche“.

• Euklid definiert einen Körper, während Apollonios eine (Mantel-)Fläche definiert.

• Apollonios' Definition läßt auch schiefe Kreiskegel zu.

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Die Kegelschnitte als senkrechte Schnitte eines Kegels mit einer Ebene

Ellipse: spitzwinkliger Kegel

Parabel: rechtwinkliger Kegel

Hyperbel: stumpfwinkliger Kegel

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Kegelschnitte eines beliebigen Kegels unter verschiedenen Winkeln

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Und die Flächenanlegung?

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Exkurs zu cartesischen Koordinaten

• Die heute in der Schulmathematik verwendeten rechtwinkligen Koordinatensysteme (Stichwort: x-Achse, y-Achse usw.) bezeichnet man als „cartesisch“

• Erfunden wurden diese Koordinaten von René Descartes (1596-1650, lat. „Cartesius“, daher der Name)