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180
Anlage 1:
Es sei folgende zeitspezifische Emissionsfunktion s/t(d) in allgemeiner Form
zugrundegelegt:
s/t(d) ad" - Sd2 + fd
aus: sit (d) ~ sflreDZ ad" Sd2 + fd
sgrenz =>
a
I
= '0
Eine Liisung durch Ermittlung von dl (=SOLN( 1,1», d2 (-SOLN(1,2» und
d3 (-soln(3,1» kann in allgemeiner Form mit dem Softwaresystem REDUCE
herbeigefi.ihrt werden:
UTLISP 5.2 (NOS/BE-RRZK L02) 28/12/82
REDUCE 3.2. lS-APR-85 - RRZK-INSTALLATION - CREATED 08/12/86 GL*=NU*(ALPHA*D**3-BETA*D**2+GAMMA*D>-SGRENZ;
GL *= ALPHA*D3*NU - BETA*D2*NU + O*GAMMA*NU - SGRENZ SOLVE (GL. D) ; SOLN ( I. I> *=
" 2 (9*SGRT(27*ALPHA *SGRENZ - 18*ALPHA*BETA*GAMMA*NU*SGRENZ, + ·32 3 222
4*ALPHA*GAMMA *NU + 4*BETA *NU*SGRENZ - BETA *GAMMA *NU >* 2
ALPHA + 27*SGRT(3)*ALPHA *SGRENZ - 9*SORT(3)*ALPHA+BETA* 3 (213)
GAMMA*NU + 2*SORT(3)*BETA *NU) *SQRT( - 3) + 3* (2/3) (113) (2/3)
2 *3 *NU *SORT( (213) (113) (213)
2 *3 *NU *SGRT(
" 2
- 3)*ALPHA*GAMMA -
" - 3)*BETA
(9*SORT(27*ALPHA *SGRENZ - 18*ALPHA*BETA*GAMMA*NU*SGRENZ +
3 " 4*ALPHA*GAMMA *NU
" ALPHA + 27*SGRT(3)*ALPHA *SGRENZ - 9*SORT(31*ALPHA-2ETA* 3 (213) (1/3)
GAMHA*NU + 2*SQRT(31*BETA .NUI + 2*2 * (1/6) (1/3)
3 *NU *
" " (9*SGRT(27*ALPHA *SGRENZ - 18*ALPHA*PETA*GAMMA*NU*SGRENZ +
3" 3 ,,2 2 4*ALPHA*CAMMA *NU + 4*BETA *NU*SGRENZ - BETA *GAMMA *NU 1*
2 ~PHA + 27*SGRT(3)*ALPHA *SGRENZ - 9*SORTi31*ALPHF.*ilETA*
181
3 (i/3) 1(/3) GAMMA*NU + 2*SGRT(3)*EETA .NU) *EETA + 3*2 * (113) (213) 12/3i (113) (2/3) 2
3 *NU *ALPHA*GAMHA - 2 *3 *NU ~EETA i/16 (113) (116) (113)
*2 *3 *NU * 2 2
(9*SQRTI27*ALPHA 'SGRENZ - 18*ALPHA<EETA*GAMMA.NU*SGRENZ 3 2 3 2 2
+ 4*ALPHA*GAHMA *NU + 4*EETA .NU*SGRENZ - BETA <CAMMA • 2 2
NU l*ALPHA + 27*SGRTI3l*ALPHA *SGRENZ - 9*SGRTIJl*ALPHA* 3 IIi3l
BETA*GAHMA*NU + 2*SGRT(3)*BETA .NUl *ALPHAi SOLNI2.1l Ii= ( -
.. 2':2 i9*SGRTI27*ALPHA *SGRENZ - 18*ALPHA*BETA.GAMMA.NU~SG~ENZ +
3 2 3 2 2 2 4fALPHA*GAMHA *NU + 4*BETA *NU*SGRENZ - BETA .GAMMA *NU ,.
2 ALPHA + 274SGRT(3)*ALPHA *SGRENZ - 94S@RT(3)*ALPHA*BETA*
3 (2/3) GAMHA*NU + 2.SGRT(3)4BETA *NU) .SGRT( - 3) - 3* (2/3) I I 13) (2/3)
2 *3 *NU 4SGRT( - 3)*ALPHA*GAMHA +
(2/3 1 (113) (2/3) 2 2 *3 *NU *SGRTI - .3l*BETA
" 2 (9*SGRTI,,7*ALPHA *SGRENZ - IS*ALPHA*SETA*GAHMA*NU*SGRENZ +
J" 3 2 2 2 40ALPHAtGAMMA *NU + 4*BETA *NU*SGRENZ - BETA *GAMMA *NU )4
2 ALPHA + 27*SGRT(3)*ALPHA *SGRENZ - q*SGRTI3l*ALPHA*BETA*
3 (213) I1i3i GAMHA*NU + 24SGRT(3)4BETA 4NU) + 2*2 * (III,) (113)
3 .NU • 2 2
(9*SGRT(27*ALPHA *SGRENZ - 18*ALPHA*EETA*GAMMA*NUoSGRENZ • 3 2 3 2 2 2
4*ALPHA*GAMHA *NU + 4*BETA *NU.SGRENZ - BETA *GAMMA oNU l* 2
ALPHA + 274SGRT(3).ALPHA *SGRENZ - 94SGRT(3)*ALPHA*BETA* 3 (1/3) (213)
GAMMA*NU + 2*SGRT(3)*BETA *NU) .BETA + 3*2 * (113) (2/3) (2/3) (113) (2/3) 2
3 *NU *ALPHA*GAMHA - 2 *3 *NU *BETA )/(6
(1/3) (1/6) (1/3) *2 *3 *NU *
2 2 (9*SGRT(27*ALPHA *SGRENZ - 18*ALPHA*BETA*GAMMA*NU*SGRENZ
3 2 3 2 2 + 44ALPHA*GAMMA .NU + 4*BETA *NU*SGRENZ - BETA .GAM'A *
2 2 NU )4ALPHA + 27*SGRT(3)*ALPHA *SGRENZ - 9*SGRT(3)*ALPHA*
3 i 1/3) BETA*GAMMA*NU + 2'SGRT(3)*BETA *NUl *ALPHA)
182
SOUI(3,1) 1=
2 2 (lHSGRT (27*ALPHA *SGRENZ - IS .... LPHA.BETA*GAMMA*NU*SGRENZ +
3 2 3 2 2 2 4*ALPHA*GAMMA *NU + 4*BETA *NU*SGRENZ - BETA *GAMMA *NU ).
2 ALPHA + 27*SGRT(3).'LPHA *SGRENZ - 9*SGRT(3)*ALPHA*BETA*
3 (2/3) (1/3) (lIb) GAMMA.NU + 2*SGRT(3)*BETA *NU) + 2 *J "
( 1/3) NU *
2 2 (9"SGRT/27*ALPHA *SGREtlZ • - lS*ALPHA*BETA*GAMMA*NU*SGRENZ +
3 2 3 2 2 2 4.ALPHA*GAMMA *NU + 4*BETA *NU*SGRENZ - BETA *GAMMA .NU )*
2 ALPHA + 27*SGRT(3)*ALPHA *SGRENZ - 9*SGRT(31*ALPHA*EETA*
,j \1/.,)1 '" wi GAMMA"NU + 2*SGRT(31*BETA *NUI *BETA - 3*2 •
3(1/31*NU(2/31*ALPHA*GAMMA + 2(2/31.3 (1/3)*NU(2/J)*BETA21/(J
(113) (1/61 <1131 *2 *3 "NU *
(9*SGRT(27*ALPHA2*SGRENZ 2 - 18*ALPHA*BETA*GAMMA*NU*SGRENZ 3 2 3 2 2
+ 4*ALPHA*GAMMA 'NU + 4*BETA *NU*SGRENZ - BETA .GAMMA *
NU2 1*ALPHA + 27*SGRT(J).ALPHA2*SGRENZ - 9*SGRT(J)*ALPHA* 3 (1/3)
BETA*GAMMA*NU + 2*SGRT(31"BETA "NUl *ALPHA) BVE;
GARBAGE COLLECTIONS= 0 7
183
Bei Funktionen der o. a. Form existieren Losungen, die geometrisch den
DurchstoBpunkten (Nullstellen) des zugehorigen Funktionsbildes durch die
x-Achse (soreaz-Linie) entsprechen.l) In Abhangigkeit vom Verlauf der zeitspe
zifischen Emissionsfunktion und dem Restriktionsgrad des Grenzwertes soreaz
existieren jedoch entweder eine, zwei oder drei reelle Losungen, von denen
dann der jeweils groBte Wert - d*- darstellt.
Eine reelle Nullstelle existiert immer dann. wenn gilt:
a) B2 S; 3·a·r oder
b) B2 3·a·r und zugleich:2)
_ sDrenz S/t(d2), d2-dtono
s/t(d,)
-} s. u. Beispiel I!
=) s. u. Beispiel 2'
Zwei reelle Nullstellen existieren immer dann. wenn gilt:
62 ) 3·a·r und zugleich: 3 )
- sore.z - S/t(d2). d2_dtaao
- soro.z - s/t(d,).
Drei reelle Nullstellen existieren immer dann, wenn gilt:
B2 } 3·a·r und zugleich: 4 )
S/t(d2) < soro.z < s/t(d,), d2=dtaao =} s. u. Beispiel 3!
Es wird beispielhaft folgende Emissionsfunktion unterstellt:
s/t(d) - d3 - 6d' + 10d, d. h. B' ) 3'a'r!
=} die Funktion ist abschnittsweise fallend.
Weiterhin mag fur die Grenzwerte:
sgrenz - 2: (Beispiel 1) oder
sDreaz - 6: (Beispiel 2) oder
sGrenz - 4: (Beispiel 3)
1) vgl.: Arnold, G. (1981), S. 504. 2) d, und d. werden in Abschnitt 4.4.2.5. Fall 6 im Rahmen
von dtoao ermittelt. 3) d, und d. werden in Abschnitt 4.4.2.5, Fall 6 im Rahmen
von dtoaO ermittelt. 4) d, und d. werden in Abschnitt 4.4.2.5, Fall 6 im Rahmen
von dtaao ermittelt.
der Ermittlung
der Ermittlung
der Ermittlung
184
derjenige Leistungsgrad d, d-d" ermittelt werden, der unter Beachtung des
Grenzwertes sgreDZ das maximale Produktionsniveau b-ax erbringt.
Die graphische Losung ergibt sich aus:
sIt 18
8
6
.. 2
Beispiel 1:
d3 - 6d" + 1 Od - 2 - O!
do .. 0,23 5)
dOl.2 .. 2,88 ±0,59; 6)
5 d
Es existiert nur eine reelle Losung (do), d. h. dO-do; dOl,. stellen Losungen
mit jeweils aus Real- und Imaginiirteil bestehenden komplexen Zahlen dar.
Beispiel 2:
d3 - 6d' + 10d - 2 - O!
do .. 3,89 7)
dOl.. ., 1,05 ±0,83;
Die Losung erfolgt analog zu Beispiel 1, d. h. d'-do.
5) do kann durch die Regula falsi (Iineares Eingabeln) ermittelt werden, vgl. Arnold, G. (1981), S. 509.
6) dOl.. ergibt sich durch Einsetzen von do in die obere Gleichung und anschlieBende Anwendung der ·pq-Formel·.
7) do kann durch die Regula falsi (lineares Eingabeln) ermittelt werden, vgl. Arnold, G. (1981), S. 509.
185
Beispiel 3:
d3 - 6d2 + 10d - 4 - O!
Durch Probieren erhiilt man die 1. Nullstelle:
dl - 2; unter Verwendung des Horner-Schemas8l ergibt sich:
dz - 2+{2 '" 3,41
d3 - 2-{2 '" 0,59
- > es existieren drei reelle Uisungen (dl, dz, d3)
d* - max[dl,d2,d3) ->
d* - d. '" 3,41.
8) Vgl.: Arnold, G. (1981), S. 504 f ..
Anlage 2
Zu zeigen ist die Auffosung von;
=> A - sllreaz != 0
186
- Sdo + rdO). tIl)
+ rdopt). (1 - t U )
nach tIl). Dies geschieht mit dem Softwaresystem "REDUCE";
UTLISP 5.2 INOS/BE-RRZK L02) 28112182
+
REDUCE 3.2. 15-APR-85 - RRZK-INSTALLATION - CREATEO 08/12/86 ••• GlI.= IN. (A.DM.*3-B*OM.*2+C*DM) *T 1 +N" (A*DT"*3-B*DT .. *2+C*OTl* <TM-Tl) ) -S; 33322
GL 1= A*DM *N*Tl + A.DT "N*TM - A*DT *N*Tl - B*OM .N*Tl - B*DT *N*TM + B* 2
OT *N*Tl + C*OM*N*Tl + C*DT*N*TM - C.DT*N*TI - S SOLVE(GL.Tl) ;
TMI=1 ; TM 1= 1
FOR 111=111 DO WRITE "SOLUTION(".I.") = ".SOLNII.!); 3 2 3 3
- A*
SOLUTION 11) = I - A*DT *N + B*DT *N - C*DT.N + SI/IN*IA*OM - A*DT - B* 2 2
OM + B*DT + C*DM - C*DT» FOR 111=111 DO WRITE "SOLUTION(".I.") " ".SOLNII.I);
3 2 3 J SOLUTION I!) = I - A*DT *N + B*DT *N - C*DT*N + SI/IN.(AoDM - A*DT - Eo
SII&2; S 1= 2
FOR 111= 1111 DO
SOLUTION (11 =
BYE;
2 2 OM + BoOT + CoDM - C*DT»
WRITE "SOLUTION(".I.") = ".SOLNII.!); J 2 J
i - A*DT oN + BoOT *N - C*OT*N + 21/IN*(A*DM 2 2
OM + BoDT + CoOM - C.OT»
GARBAGE COLLECTIONS" 0 0
J - A*DT
187
wobei gilt:
A - a B - B C - r OM - dO OT - dopt T1 - t(1)
TM-t"-N - Proportionalitatsfaktor - 1 S - sDraDZ - sIt"
ad OM: Oa OM • dO = 0, ist such a'do - B'do - r·do • 0
und kann dam it aus dem Bruch eliminiert werden:
=> t U ) -adopt 3 _ SdoP;! + rdopt + ser •••
-adopt 3 + Sdop\2 - rdopt
ad TM: TM - t" wurde vorne im Text der Wert 1 zugewiesen. Oem ent
spricht der 2. Losungsansatz (TM#-l ;). Fur den Fall, daB to, t"< 1
(z. B. bei den Halbstundenmittelwerten der TA-Luft) oder bei to, t> 1
gilt der oben (unter SOLN( 1 ,1» angefUhrte 1. Losungsansatz:
ad N:
tUb -adopt 3 • t. - SdoPt? t. + rdopt. t.
-adopt 3 + SdoP;! - rdopt
+ s8reDZ
Fur den Fall, daB keine Emissionsfunktion, sondern lediglich eine
Verbrauchsfunktion fUr das Aggragat existiert und gleichzeitig ange
nommen werden kann, daB sich der SchadstoffausstoB proportional
zum Faktorverbrauch verhalt, kann mit dem Proportionalitatsfaktor N
die Verbrauchsfunktion zu einer ·Emissionsfunktion umgewandelt·
werden. Hier wird jedoch bereits eine Emissionsfunktion unterstellt,
daher ist N, N • 1!
188
ad S: 1m 3. Losungsansatz (SI-2;) ist fUr TM - t" - 1 beispielhaft der
Grenzwert sgrenz auf den Wert 2 festgelegt worden.
t (1'= -adopt 3 • t" - Sdopt? t" + rdopt • t"
-adopt 3 + Sdop~ - rdopt
+ 2
Anlage 3:
Die Berechnung von dl und d2 wurde auch mittels "REDUCE" nachvollzogen:
UTLISP 5.2 (NOS/BE-RRZK L02) 28/12/82
RRZK-INSTALLATION CREATED 08/12/8b
2 GL 1= J*A*D - 2*8*0 + C
SOLVE(CL.D); SOLN(I.I) 1=
2 SOLN(2.1) 1= (SGRT( - J*A*C + B ) + B)/(J*A)
2
FOR 1#=1#2 DO WRITE "SOLUTION(".I.") = ".SOLN(I.I); 2
SOLUTION (1) (- SGRT< - J*A*C+ B ) + B)I (J*A) 2
SOLUTION(2), (SGRT( - J.A*C + B ) + B)/(J*A)
BYE; GARBAGE COLLECTIONS- 0 0
189
Anlage 4:
Zu zeigen ist die Auflosung von:
sit (dal., d to.)
=> B - sgrenz
~ soro.. = (adal.3 - Bdal• 2 + rdal.). t(l)
+ (adta.3 - Bdto• 2 + rd taD ). (l-t(1»
B
o
nach t(l): hier gillt unter Abiinderung der Variablen die in Anhang 2 vorge
stellte Losung!
es gilt:
A -a B -B C - r DM 3 daln DT - dt •• T1 - t!ll TM - t* -N - Proportionalitiitsfaktor - 1 S - sgrenz
ad DM: da DM -dal• > dO 0 gilt fUr t(l) in Abiinderung zu Anhang
_ad t •• 3 - Bdt •• 2 .. fd t •• + sgrenz => t (1)
2:
adal• 3 - ad t•n 3 - Sdal•2 + Sd t •• 2 + fd aln - rd to•
ad TM: TM - t* wurde vorne im Text der Wert zugewiesen. Dem ent-
=>
spricht der 2. Losungsansatz (TM#-l ;). Fur den Fall, daB to. t*< 1
(z. B. bei den Halbstundenmittelwerten der TA-Luft) oder bei t*, t> 1
gilt der aben (unter SOLN( 1 ,1» angefUhrte 1. Losungsansatz:
-adopt3 .t* - Sdopt 2 ·t* + rdopt.t* + sur •••
-adaln3 _ adt.n 3 - Sdal.2 + SdtaD2 + fdal• _ rd ta•
190
Anlage 5:
Bei Obertragung der A1gorithmen yom l-Stufen-Fall (Abschnitt 4.4.1.1 und
4.4.1.2) auf den Mehr-Stufen-Fall (Abschnitt 4.5.1.1) sind bezuglich der Be
einflussung des Massenverhiltnisses die Variablen wie folgt zu substituieren:
bei 2-stufiger Fertigung
a - (al+an) e (BI+all) r (rl+rll) dopl d .. OPl d_1D - max[dl-1·,dll-1D] d-" - min[dI-" ,dll-ax] t-·x - min[b-'" ,bl-ax] ttl. - min(btlX ,tntlX]
" bei n-stufiger Fertlgung
a - (al+all+ + aD) B - (BI+an+ + e.) r · (rl+rll+ + r.) dopl · d .. OPl d-1a · max[dl-18 ,dll-1., ... ,d.-1.] d-" · min[dl-'" ,d~", ... ,d.-ax] t-.. min[t~ .. ,~ .. , . .. ,t.-ax] ttlx · min[bf1X ,tllf1X , ••. ,t.f1X]
191
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