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Nearly Free Electron Model
Präsentation für Solid State Physics
0530982 Andreas Katzensteiner
0530720 Roland Schmied
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Inhaltsverzeichnis
Modell des freien Elektronengases-Nachteile Verbesserungen des Modells Elektronen im periodischen Potential Blochfunktionen Wellenfunktionen und Aufenthaltswahrscheinlichkeit Energie-Impuls-Relation Betrachtung eines Grenzfalles Hereinklappen der höheren Brillouinzonen Aufspaltung der Energiewerte Energielücke als Folge der Gitterperiodizität Quellen
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Modell des freien Elektronengases - Nachteile
I: Einelektronennäherung
II: keine Wechselwirkung zwischen Elektronen
III: Kastenpotential
IV: Energieniveau kontinuierlich
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Verbesserungen des Modells
Ersatz des Kastenpotentials durch periodisches Potential der Atomrümpfe
Festkörper unendlich ausgedehnt
Abweichungen von der Periodizität und von Oberflächeneffekten werden vernachlässigt
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Elektronen im periodischen Potential
Elektronen im Metall nicht frei
Potential der Schrödingergleichung periodisch
Raumdiagonale
) (E )(E epotpot Rrr
. e cbaR Abb.1: Elektronen im periodischen Potential
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Blochfunktionen
Ansatz für Lösungsfunktion
Blochfunktionen
Energie des periodischen Potentials
e*-ie )u( )( Rkrr
) (* e )( ek-i
ke Rrr kR
2m
k E(k)
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Wellenfunktionen und Aufenthaltswahrscheinlichkeit
Überlagerung von einfallender und reflektierter Welle durch Braggreflexion an den Gitterebenen
Amplituden A und B gleich
-ikxikx e*B e*A
)e (e2
A x/ai-x/ai
Abb.2: stehende Welle an den Gitterebenen
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Wellenfunktionen und Aufenthaltswahrscheinlichkeit
Aufenthalts-wahrscheinlichkeits-dichten für ein Elektron
asin²*2A²
aos²*2A²
*
*
x
xc
Abb.3: Aufenthaltswahrscheinlichkeitsdichten für ein Elektron
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Energie-Impuls-Relation
Beschränkung der Energie-Impuls-Relation auf den Bereich:
Für Elektronenwellen- funktionen gilt:
(r) e*(r) (r) kiGr
kGk
/a k /a-
Grk
GrkrGk rrr iii e*)( e*e*)u( )(
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Betrachtung eines Grenzfalles
gitterperiodische Potential E (r) konstant
Nur diskrete k-Werte erlaubt
Dispersionskurve eines freien Teilchens
pot
Abb.4: Dispersionskurve eines freien Teilchens
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Hereinklappen der höheren Brillouinzonen
Hereinklappen der höheren Brillouinzonen und Reduzierung der k-Werte auf erste Brillouinzone
Eigenfunktionen genügen den Bedingungen für Blochfunktionen
)( e ) ( ki
k rar ka
akk
aGkkkk rGrGarGar red
red
red
redredbreit
i)i( )e( )e( ) ( ) (
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Aufspaltung der Energiewerte
Störung des Elektrons durch periodisches Potential der Atomrümpfe:
Linearkombination der gestörten Wellenfunktion
Näherungsweise Vereinfachung der Lösungen zu:
Ausbildung einer Energielücke | (G) V | )(kE (k)E 00
GkGk cc 00k0
)( * e E )(E 0pot rr
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Energielücke als Folge der Gitterperiodizität
Je kleiner die räumliche Periode ist, desto größer wird die Energielücke
Am Zonenrand verlaufen die Kurven horizontal
Abb.5: Energielücke als Folge der Gitterperiodizität
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Quellen
Festkörperphysik, Ibach u. Lüth, Springer-Verlag, 4.Auflage, Kapitel 7
Introduction to Solid State Physics, Charles Kittel, was weiß ich was das für ein Verlag ist, 7.Auflage, Kapitel xy
Experimentalphysik 3, Wolfgang Demtröder, Springer-Verlag, 3.Auflage, Kapitel 13
