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Negative ZahlenNegative Zahlen

Lernprogramm für die Lernprogramm für die OberstufeOberstufe

2

Das kannst du schon…?Das kannst du schon…?

In der vorgegebenen Reihenfolge lässt sich der In der vorgegebenen Reihenfolge lässt sich der Rechenauftrag mit unseren Mitteln noch nicht Rechenauftrag mit unseren Mitteln noch nicht lösen.lösen.

Durch Umstellen (Operationszeichen erster Durch Umstellen (Operationszeichen erster Stufe mitnehmen!) wird die Aufgabe gut lösbar!Stufe mitnehmen!) wird die Aufgabe gut lösbar!

Das Ergebnis heisst:Das Ergebnis heisst:

2525 - 30- 30 - 15- 15 + 40+ 40 ==

2020

3

Und wenn es kalt wird?Und wenn es kalt wird?

Rechne von links nach rechts, ohne umzustellen!Rechne von links nach rechts, ohne umzustellen! Stell dir vor, es handle sich um Temperaturen in Stell dir vor, es handle sich um Temperaturen in

Grad Celsius.Grad Celsius. Es darf deshalb auch unter Null gehen!Es darf deshalb auch unter Null gehen! Das Ergebnis ist natürlich auch hier: Das Ergebnis ist natürlich auch hier: +20+20 Wir machen ab: Zahlen über Null können als Wir machen ab: Zahlen über Null können als

positive Zahlen positive Zahlen (+x)(+x) oder einfach als Zahlen oder einfach als Zahlen ohne Vorzeichen ohne Vorzeichen (x)(x) geschrieben werden: geschrieben werden: +20+20 = = 2020

Negative Zahlen verlangen nach einem Negative Zahlen verlangen nach einem negativen Vorzeichen: negativen Vorzeichen: - 5- 5 ; ; - 20- 20 oder oder (-5)(-5) ; ; (-(-20)20)

+25

- 30

- 15

+40

+20+202525 - 30 - 15- 30 - 15 + + 4040 = =

Das Wetter spielt verrückt:Das Wetter spielt verrückt:

Zuerst ist es angenehm warm. Dann kühlt es zweimal nacheinander empfindlich ab. Gegen Ende der Woche steigt dieTemperatur enorm an…

0°

4

Die Sache mit den Die Sache mit den Vorzeichen…Vorzeichen…

Wir unterscheiden zwischen Vorzeichen und Wir unterscheiden zwischen Vorzeichen und Operationszeichen.Operationszeichen.

Vorzeichen geben an, wo sich der Zahlwert auf dem Zahlen-Vorzeichen geben an, wo sich der Zahlwert auf dem Zahlen-strahl befindet.strahl befindet.

Operationszeichen geben an, was mit den Zahlen zu „tun“ Operationszeichen geben an, was mit den Zahlen zu „tun“ ist!ist!

(-38) ++ (+38) –– (-10) = (+10)negative

s Vorzeich

en

negatives Vorzeichen

positives Vorzeich

en

positives Vorzeichen

Operationszeichen

50(-50)

(-38) (+38)

5

Entdecke Rechenregeln für die Entdecke Rechenregeln für die Addition und Subtraktion mit Addition und Subtraktion mit

negativen Zahlen!negativen Zahlen!

Arbeite mit Zahlenstrahlen! Im Heft entspricht ein Häuschen 2 Zahlwerten.Arbeite mit Zahlenstrahlen! Im Heft entspricht ein Häuschen 2 Zahlwerten. Die Operation „Minus“ dreht den Zahlwert! Vorzeichen bestimmen die Richtung des Subtrahends.Die Operation „Minus“ dreht den Zahlwert! Vorzeichen bestimmen die Richtung des Subtrahends.

12 – 40 =

(- 28)

(-12) – 40 =

(- 52)

(-12) + (-40) =

28

(- 52)

(-12) – (+40) =

(- 52)

(-12) + 40 =(-12) – (-40)

=28

50(-50)

50(-50)

50(-50)

50(-50)

50(-50)

50(-50)

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Operationszeichen und Operationszeichen und Vorzeichen „stossen“ Vorzeichen „stossen“

aneinander…aneinander…

Positive Klammern Positive Klammern dürfen weggelassen dürfen weggelassen werden!werden!

Negative Klammern Negative Klammern dürfen nur weggelassen dürfen nur weggelassen werden, wenn alle werden, wenn alle Operationszeichen 1. Stufe Operationszeichen 1. Stufe in der Klammer in der Klammer gewechselt werden!gewechselt werden!

Beispiele:

12 + (-20) =

12 - (+20) =

(-8) (-8)

Erinnerst du dich noch an unsere Klammerregeln: Positive und negative Klammern… ?

Obige Beispiele könnten als positive und negative Klammern aufgefasst werden!

12 -20 =

12 - 20 =

12 + (+20) =

(+32)

12 +20 =

12 - (-20) =

12 + 20 =

(+32)

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Addiere und subtrahiere Addiere und subtrahiere neg. Zahlen!neg. Zahlen!

Vorgehen: Schaffe zuerst alle Klammern weg, indem du die Vorgehen: Schaffe zuerst alle Klammern weg, indem du die „Klammerregeln“ für Operationen 1. Stufe anwendest!„Klammerregeln“ für Operationen 1. Stufe anwendest!

Denke daran: Ein Rechenauftrag fängt nie mit einem Minus Denke daran: Ein Rechenauftrag fängt nie mit einem Minus an! Eine negative Zahl am Anfang eines Terms beginnt an! Eine negative Zahl am Anfang eines Terms beginnt immer so: immer so: (-x)(-x)

Stelle dir dann ein Thermometer vor oder einen Lift in Stelle dir dann ein Thermometer vor oder einen Lift in einem mehrstöckigen Haus mit vielen Kellergeschossen!einem mehrstöckigen Haus mit vielen Kellergeschossen!

Rechne im Kopf! Notiere die Ergebnisse! Klicke erst dann Rechne im Kopf! Notiere die Ergebnisse! Klicke erst dann wieder!wieder!

0

+1

+2

+3

+4

+5

+6

+7

+8

+9

-1

-2

-3

-4

-5

-6

-7

-8

-9

-10

15 – (+28) + (-36) – (-5) + 6 – (+19) – ( -7) =

(-32) – 12 – (+8) + (-21) + 9 – 28 – (+40) + (-51) =

(-14) – 34 + 7 – (-12) + (-23) – 17 – (+22) – 18 =

52 – (-12) – (+33) + (-11) – 15 – 24 – (-8) – (+5) =

(-100) – 45 – (-19) + (-21) + 18 – 30 – (+70) =

15 – 28 – 36 + 5 + 6 – 19 + 7 = (-50)

(-32) – 12 – 8 – 21 + 9 – 28 – 40 – 51 = (-183)

(-14) – 34 + 7 + 12 – 23 – 17 – 22 – 18 = (-109)

52 + 12 – 33 – 11 – 15 – 24 + 8 – 5 = (-16)

(-100) – 45 + 19 – 21 + 18 – 30 – 70 = (-229)

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Negative Zahlen Negative Zahlen multiplizieren…multiplizieren…

Zur bildlichen Darstellung der Multiplikation Zur bildlichen Darstellung der Multiplikation eignet sich ein Koordinatenkreuz. Wir eignet sich ein Koordinatenkreuz. Wir berechnen Flächen! berechnen Flächen! (A = l * b; hier: A = x (A = l * b; hier: A = x * y)* y)

(+5)(+5) * * (+5)(+5) kann einfachheitshalber auch kann einfachheitshalber auch alsals 5 5 * * 55 geschrieben werden. Das geschrieben werden. Das Ergebnis ist sicher positiv: Ergebnis ist sicher positiv: (+25)(+25) = = 2525 (nach Abmachung)(nach Abmachung)

(+5)(+5) * * (-5) = (-5) = 55 ** (-5) = (-5) = => Das Ergebnis ist=> Das Ergebnis ist (-25) (-25) sicher negativ!sicher negativ!

(-5) (-5) * * (+5)(+5) = = (-5) (-5) * * 5 5 == ((nach Abmachung!)nach Abmachung!) 5 5 * * (-5) (-5) == (Kommutativgesetz!)(Kommutativgesetz!) (-25) (-25)

Wie kann das Ergebnis vonWie kann das Ergebnis von (-5) (-5) * * (-5) (-5) heissen?heissen?

Betrachte das nebenstehende Bild! Was ver-Betrachte das nebenstehende Bild! Was ver-mutest du?mutest du?

Merke: Merke: (-5) (-5) * * (-5) (-5) == (+25)(+25)

(+25)(+25)

(-25)(-25)

(-25)(-25)

(+5)(+5) * (+5)(+5) =(-5)(-5) * (+5)(+5) =

(+5)(+5) * (-5)(-5) =

(-5)

(+5)

(+5)

(-5)

(-5)(-5) * (-5)(-5) =

(+25)(+25)

Spiegelachse

9

Vorzeichenregel für die Vorzeichenregel für die MultiplikationMultiplikation

Mathematisch korrekt, aber nicht sehr übersichtlich und einprägsam!Mathematisch korrekt, aber nicht sehr übersichtlich und einprägsam! In dieser „unkorrekten“ Darstellung sind die Vorzeichenregeln einprägsamer!In dieser „unkorrekten“ Darstellung sind die Vorzeichenregeln einprägsamer!

( x) ( y) ( xy) + * + = + ( x) ( y) ( xy) + * - = -

( x) ( y) ( xy) - * + = -( x) ( y) ( xy) - * -

= +

+

+

-

-

10

Division: Umkehroperation der Division: Umkehroperation der MultiplikationMultiplikation

Skizziere das „Operationshaus“ und Skizziere das „Operationshaus“ und fülle die wichtigsten Begriffe ein!fülle die wichtigsten Begriffe ein!

Überprüfe dein Ergebnis mit Mausklick!Überprüfe dein Ergebnis mit Mausklick! Ergänze, was in deinen Notizen fehlt!Ergänze, was in deinen Notizen fehlt!

* :

xn n x

Operationen 1. Stufe

Operationen 2. Stufe

Operationen 3. Stufe

Gegenoperationen

Gegenoperationen

Gegenoperationen

+

Schreibe folgende Schreibe folgende Rechen-aufträge auf Rechen-aufträge auf Notizpapier und rechne:Notizpapier und rechne:

(+35)(+35)**(+6)(+6) = =

(+35)(+35)**( -6 )( -6 ) = =

(-35)(-35) * * (+6)(+6) = =

(-35)(-35) * * (-6)(-6) = =

Schreibe jetzt die soeben Schreibe jetzt die soeben gelösten Aufgaben als gelösten Aufgaben als Umkehroperationen auf!Umkehroperationen auf!

(+210)(+210) : : (+6)(+6) = =

(- 210)(- 210) : : (-6)(-6) = =

( - 210)( - 210) : : (+6)(+6) = =

(+210)(+210) : : (- 6)(- 6) = =(+210)

(+210)

(-210)

(-210)

(+3(+35)5)(+3(+35)5)(-(-

35)35)(-(-

35)35)Schreibe nun eine vereinfachte

Übersicht über die Vorzeichenregeln bei Divisionen!

+ : + = + - : - = + - : + = -+ : - = -

Bei gleichen Operations-zeichen wird das Ergebnispositiv!

Bei verschiedenen Opera-tionszeichen wird das Ergebnis negativ!

11

Übung macht den Übung macht den Meister!Meister!

Schreibe die obigen Aufgaben ins Heft!Schreibe die obigen Aufgaben ins Heft! Löse sie ohne TR und kontrolliere dann mit Löse sie ohne TR und kontrolliere dann mit

Mausklick!Mausklick! Verbessere, wenn nötig!Verbessere, wenn nötig!

(-29)+12+(-13) =(-29)+12+(-13) = 37-(-5)+(-50)-8 =37-(-5)+(-50)-8 = 13+(-45)-(-12)-9 =13+(-45)-(-12)-9 = 2*(-17)-(-19)+(-8)=2*(-17)-(-19)+(-8)= 2*(-17)-(-19)*(-8) =2*(-17)-(-19)*(-8) = 2*(-15)-(-24):(-8) =2*(-15)-(-24):(-8) = (-5)*16+36:(-2)+3=(-5)*16+36:(-2)+3= (-84):(-7)*(-5)-85 =(-84):(-7)*(-5)-85 = [123:(-3)*(-2)-(-6)]:(-8)=[123:(-3)*(-2)-(-6)]:(-8)=

(-4) * (+16) =(-4) * (+16) = (-72) : (+3) =(-72) : (+3) = (-162)*(-2) =(-162)*(-2) = 96 : (-4) =96 : (-4) = (-162):(-2) (-162):(-2) == (-27)* 4 =(-27)* 4 = 282 : (-3) =282 : (-3) = (-756):14*(-3)=(-756):14*(-3)= (-2)*(-18):(-(-2)*(-18):(-

12)=12)=

(-64)(-24)

324(-24)

81(-108)

(-94)

162(-3)

(-30)(-16)(-29)

(-23)(-186)(-33)(-95)(-145)(-11)

12

Negative Zahlen auf dem Negative Zahlen auf dem TRTR Angenommen, du möchtest Angenommen, du möchtest

folgende Rechenanweisung in den folgende Rechenanweisung in den TR eintippen:TR eintippen:

Dann benötigst du dazu:Dann benötigst du dazu:- die Vorzeichentaste- die Vorzeichentaste- die Operationstasten ( + , - ,* , : )- die Operationstasten ( + , - ,* , : )- und hier die Klammertasten- und hier die Klammertasten

Taste der Reihe nach in den TR:Taste der Reihe nach in den TR:

Merke: Negative Zahlen verlangen Merke: Negative Zahlen verlangen im TR keine Klammern! Das im TR keine Klammern! Das Vorzeichen kann mit der Taste Vorzeichen kann mit der Taste gewechselt werden! gewechselt werden!

Ausserdem „kennt“ er die Regel: Ausserdem „kennt“ er die Regel: Höhere Operationsstufe zuerst!Höhere Operationsstufe zuerst!

+ -

Operations-zeichen

Vorzeichen

( )

Klammer-tasten

[ [ (+123)(+123)::(-3)(-3)**(-2)(-2)--(-6) (-6) ]]::(-8)(-8)==

( 123 : 3 + -

x 2 + -

6 + -

) : 8 + -

=

+ -

- 11

13

Vorzeichen und Vorzeichen und Potenzen…Potenzen…

Die höheren Operationsstufen lassen sich auf die unteren Operationsstufen zurück führen.Die höheren Operationsstufen lassen sich auf die unteren Operationsstufen zurück führen. Also müssen die Vorzeichenregeln auch für die Operationen höchster Stufe gelten.Also müssen die Vorzeichenregeln auch für die Operationen höchster Stufe gelten. Im Zweifelsfall schreibe ich Potenzen in vereinfachter Darstellung: Als Multiplikation oder…Im Zweifelsfall schreibe ich Potenzen in vereinfachter Darstellung: Als Multiplikation oder…

* :Operationen 2. Stufe

xn n xOperationen 3. Stufe

Operationen 1. Stufe+ 2 + 2

2 * 2

22

3 + 3 + 3

3 * 3

32

4 + 4 + 4 + 4

4 * 4

42

14

Und nun: Potenziere ganze Und nun: Potenziere ganze Zahlen!Zahlen!

Löse die Aufgaben schrittweise! Folge den Anweisungen (Pfeile)!Löse die Aufgaben schrittweise! Folge den Anweisungen (Pfeile)! Kannst du eine Regel erkennen? Notiere diese und diskutiere Kannst du eine Regel erkennen? Notiere diese und diskutiere

deinen Vorschlag mit einem Partner oder einer Partnerin!deinen Vorschlag mit einem Partner oder einer Partnerin!

(+5)2 =

(+5)* (+5) =

(+25) =

25

Schreibe als Multiplikation:

Vorzeichenregel:

Ergebnis:

vereinfacht:

(-5)2 =

(-5) * (-5) =

(+25) =

25

(+5)3 =

(+5)* (+5) * (+5) =

(+125) =

125

(-5)3 =

(-5) * (-5) * (-5) =

(-125)(+25)

(-125)

(-5)4 =

(-5) * (-5) * (-5) * (-5) =

(+625) =

625(+2

5)

* (+25)

(-2)5 =

(-2) * (-2) * (-2) * (-2) * (-2) =

(-32)

15

(-(-XXL)XXL)

Huch – ich weiss, ich bin

durch und durch

NEGATIV

…und dabei könnte man mich

mit einem klitzekleinen Vorzeichen kehren…

- (-XXL ) = (+XXL)

(-1)*(-XXL) = XXL