1

• 1. Splineglättung 1.1 Motivation

1.2 Notation1.3 Splineglättung1.4 Kriging-Ansatz1.5 Spezialfall, bei dem Kriging und

Splineglättung übereinstimmen• 2. Räumliche Whittaker-Glättung – eine

Anwendung in der Prämienberechnung

2

1.1 Motivation

• Daten können Messfehler enthalten• Lösung der Spline-Interpolation ist unbrauchbar

Spline-Interpolation Splineglättung

• Merkmale der Splineglättung• Keine genaue Interpolation• Anforderung an die Interpolationsfunktion f: Die Abweichungen zwischen

den Funktionswerten und den beobachteten Werten dürfen an den Messstellen „nicht zu groß“ von werden.

3

1.2 Notation

• D Rd sei das Beobachtungsfenster• f(x), x D Funktion • xα (=1,...,n) Messstellen in D

• zα=f(xα)+ α gemessenen Werte an den Stellen x (=1,...,n)

• Sei α ein Messfehler (=1,...,n), der folgende Eigenschaften hat:• E(α) = 0;

• Cov(α,) = E(α) = Sα

• Var(α) = Sαα Const,

4

1.3 Splineglättung

• Ziel: Die Funktion f(x) mit einer glatten Funktion f*(x) zu approximieren, die folgende Voraussetzung erfüllt:• der folgende Ausdruck wird minimiert:

• Wobei J(f*) die Krümmung der Spline-Interpolation darstellt.

• Die Splineglättung ist somit eine Mischung aus Spline-Interpolation und der Methode der kleinsten Quadrate.

0)(p *)(])(*[2

1

fpJzxf

n

5

• Dabei steuert p das Verhältnis zwischen Glätte der Funktion und der Übereinstimmung mit den Messwerten an den Messstellen.

• Der Parameter p bestimmt also den Einfluss des Spline-Interpolanten und des MKQ-Schätzers auf die Lösung des Spline-Glättungs-Verfahrens:– p 0: Die Lösung ist annähernd ein MKQ-Schätzer

(insbesondere p = 0 MKQ-Schätzer)– Mit wachsendem p nähert sich die Lösung der des Spline-

Interpolationsverfahrens.

• In R²: dxdyfJ y

fyxf

xf

2*2*2*2

22

2

2 2*)(

6

• Lösung (Matheron, Wahba)

• Wobei: K(h)=|h|²log|h|, • Basisfunktionen,z.B.: L=2, für x = (x1,x2)

• Problem des Splineglättungsverfahrens: Bestimmung des Parameters p

Llxfb

zxfcpxxKb

xfcxxKbxf

n

l

n L

lll

n L

lll

,...,0 0)(

n1,..., )())((

)()()(*

1

1 0

1 0

2 ,1 ,0 ,1

)(2

1

lxlxl

xfl

7

1.4 Kriging-Ansatz• Man kann die formale Äquivalenz mit dem Modell des intrinsischen

Kriging k-ter Ordnung in leicht modifizierter Form auf die Spline-Glättung anwenden;

• Wir betrachten nun das Zufallsfeld Z(x) und zerlegen es in ein intrinsisches Feld k-ter Ordnung Y(x) und einen zufälligen Fehler (x)

Z(x) = Y(x) + (x) x D

• z(x1),...,z(xn): Gemessenen Werte an den Stellen x1,..., xn • Sei K(h)=Cov(Y(x),Y(x+h)) (h Rd, x,x+h D) die Kovarianz des

Zufalls-Feldes Y(x)• Sei S(h)=Cov((x),(x+h)) (h Rd, x,x+h D) die Kovarianz des

zufälligen Fehlers (x)

8

• Der zufällige Fehler (x) genügt dabei folgenden Bedingungen:

• Das Zufallsfeld und der zufällige Fehler sind unkorreliert:

Cov(Y(x), (x)) = 0 x D

• Der Fehler hat den Erwartungswert Null:

E((x)) = 0 x D

• Die Kovarianz des Fehlers hat somit folgende Form:

S(h) = E((x)(x+h)) x,x+h D, h Rd

9

• Ziel ist es, anhand der Messwerte z(x1),...,z(xn) das Zufallsfeld Y(x) durch intrinsisches Cokriging zu schätzen.

• Schätzer:

• Falls folgend Bedingungen erfüllt sind:• {} ist zulässig, falls gilt:

setze 0 = -1, fl(x0)=fl(x):

• h Rd:

))()(()()(*1 1

n n

xxYxZxY

n

l

n

ll

xf

xfxf

0

1

0)(

)()(

n

l

n

lhxfxf

00 0)( 0)(

10

• Lösung durch duales Kriging:

• Wobei im R2 z.B.: fl(x) = (x1)k1(x2)k2,

k1+k2 k; x = (x1,x2) D R²(im Fall k=2: 1, x1, x2, (x1)², x1 x2,(x2)² )

,...,0 0)(

,...,1 )()]()((

)()()(

1

1 0

01

*

n

l

n L

lll

L

lll

n

Llxfb

nzxfcxxSxxKb

xfcxxKbxY

n nn

SxYxYExYxYE1 11

22 min)]()([)]()(*[

11

1.5 Spezialfall: Übereinstimmung der Cokriging- Lösung und des Splineglättungsverfahrens

• Sei nun x R², L=2, k=1;• Und wählt man im dualen Kriging für die Kovarianz von Y(x):

• Und für die Kovarianz von (x):

„Weißes Rauschen“

hhbhKS

log)( 2

0h 0h 0

)(0c

hS

12

• So erkennt man, wenn man die beiden Schätzer Y*(x) und f*(x) vergleicht,

dass die beiden Lösungen übereinstimmen, falls p=c0/bs

n

xbxbb

zxcxccbcxxxxbb

xcxccxxxxbbxY

n

xbxbb

zxcxccpxxxxb

xcxccxxxxbxf

nnn

n

S

S

n

S

nnn

n

n

,...,1

0 , 0 , 0

log

log)(

,...,1

0 ,0 ,0

log

log)(*

1

2

1

1

1

1

2

2

1

10

02

2

2

1

101

2*

1

2

1

1

1

1

2

2

1

10

2

1

2

2

1

10

2