1

Streuung an endlichen Kristallen

321

321

321

,,321

1

,, 1321

,, 1321

321

2exp2exp

2exp

2exp

exp

2

nnn

N

jjjjj

nnn

N

jjjjj

nnn

N

jjjjj

Kristallnn

wnvnuniwzvyuxiqfqF

wnvnunwzvyuxiqfqF

cnbnanczbyaxcwbvauiqfqF

rqiqfqF

cwbvauq

cnbnanczbyaxr

Für (u, v, w) = (h, k, ℓ):

12exp 321 nknhni

N

jjjjj zkyhxihkfNNNhkF

1321 2exp

2

Streuung an endlichen Kristallen

0

1

2exp12exp321 ,,

3211

r

r

rFTrFTqF

wnvnuniwzvyuxiqfqFnnn

N

jjjjj

Formfaktor:

… im Kristall

… außerhalb des Kristalls

rrFTrFTrFT

3

Streuung an endlichen Kristallen

Konstante (vom Beugungsvektor q unabhängige) Verbreiterung der „Knotenpunkte“ des reziproken Gitters

rFTr

4

Temperaturschwingungen der Atome

F q f iq d d f iqnd iq dn

N

n

N

exp exp exp 1 1

dvonVerteilung

N

nn

N

n

N

n

diqdPiqd

iqNdfdiqiqndfqF

111

expexp1

exp1expexp

Pd

iq d

P iq dd

d d Pd

q d d d Pq

P iq dq

n

N

nn

N

0

2

21

0

2

2 0

2

2 0

2 2

01

2 2

4

14

exp exp

exp exp cos exp

exp exp

Zufällige (nicht korrelierte) Verschiebung der Atome aus ihren Gleichgewichtspositionen

Spezieller Fall – Gaußsche Verteilung mit Halbwertsbreite :

5

Temperaturschwingungen der Atome

0 5 10 15 20 25 300

100

200

300

400

q (A^-1)

Inte

nsity

(a.u

.)

Abnahme der Intensität Fourier Transformation der Verteilung der Atompositionen (der Temperaturschwingungen)

6

Temperaturschwingungen der Atome

R R

I q f iq R f iq R

I q f iq R R

I q f iq R R iq

n n n

m mm

n nn

m nnm

m n m nnm

( ) exp exp

( ) exp

( ) exp exp

2

2

nmmnmnm

nmnm

i

nm

nmnmnm

uuuquuuuq

uuquuiq

i

iuuiqqI

uuquuq

2222221

2221

42412

213

62

21

exp2exp

expexp

11

expexp

sin4

… zufällige Verschiebung der Atome aus den Gleichgewichtspositionen

… diffraktierte Intensität

u … Projektion der atomaren Verschiebung in die Richtung des Beugungsvektors

Symmetrische Schwingungen n = 0 für ungerade n

Dies gilt jedoch nur für harmonische Schwingungen

7

Temperaturschwingungen der Atome

Temperaturschwingungen der Nachbaratome sind unabhängig

m nnm

nm nmnm

nm

RRqifuquqNfI

RRqifuqNfI

nmuu

expexpexp1

expexp

für0

222222

;,

2222

Temperaturschwingungen der Atome: tragen zur Diffusionsstreuung bei (temperature diffuse scattering, TDS) – der

erste Teil der Gleichung für Intensität sind einer der Gründe für die Abnahme der Intensität der Braggschen

Beugungsmaxima bei höheren Beugungswinkeln – der exponentielle Faktor im zweiten Teil der Gleichung

Diffraktierte Intensität

8

Temperaturschwingungen der Atome

m nnm

m nnm

RRqifMMNfIMuq

RRqifuquqNfI

exp2exp2exp12

expexpexp1

2222

222222

9

Temperaturschwingungen der Atome

Experimentelle Daten – Konzentration der Diffusionsstreuung bei den Positionen der ordentlichen Braggschen Maxima

10

Temperaturschwingungen der Atome

m nnm RRqifMMNfI

MBuq

uB

exp2exp2exp1

2sin

2

8

22

2

222

22

exp(-2M) … der Debye-Waller Faktor

uT

m k

x

x

xx

zdz

zx T

a B

x

22

2

0

3 1

4

1

1

( )

( )exp( )

;0.0 0.1 0.2 0.3 0.4

-2.0

-1.5

-1.0

-0.5

0.0

AgCd

(sin)2

log

(I/I c

alc)

Temperaturabhängigkeit der atomaren Temperaturschwingungen – die Debye Funktion

11

Temperaturschwingungen der Atome

m nnm RRqifBI

expsin

2exp 22

2

Intensität der Beugungsmaxima

DWqfrdrqirpqfqf

rpFTrFTrFT

rprrdrprrr

aVaat

at

Vat

exp

Temperaturschwingungen – Verzerrung der Elektronendichte

12

Temperaturschwingungen der Atome

Isotrope Temperaturfaktoren – sphärische Symmetrie der atomaren Schwingungen

2

222

2

sin8exp

2exp

2exp

2

1

UUqqDW

U

r

Urp

Anisotrope Temperaturfaktoren – Ellipsoid der atomaren Schwingungen

N

jjjjj

N

jkj

tkj

tkj

zkyhxifDWhkF

ifhkF

khhkkhhkDW

1

1

2

2313122

332

222

11

2exp

22exp

222exp

hBhrh

233231

322221

312121

uuuuu

uuuuu

uuuuu

tjjj uuB