1 Unterrichtsgang Mathematik im Leistungskurs der Kursstufe am Gymnasium Papenburg Schuljahre 2001/2002 und 2002/2003 mit OStR A. Langendörfer und Kurs

1

Unterrichtsgang Mathematik im Leistungskurs der Kursstufe

am Gymnasium PapenburgSchuljahre 2001/2002 und 2002/2003mit OStR A. Langendörfer und Kurs 13.Ma.1

2

Wie viel Ableitung braucht der Mensch

oder

KuDi ist – in mutierter Form – wieder auferstanden.

3

Leitlinien

• Problemorientierte anwendungsbezogene Aufgaben

• Einsatz eines CAS wo immer möglich• Keine Diskussion von 5-6 Funktionstypen• Keine Vernachlässigung elementarer mathe-

matischer Grundkenntnisse und Grundlagen• Beachtung übergreifender Aspekte

4

Themenfolge

1. Wie viel Nass passt ins Fass? 12.11. Polynomfunktionen und Splines2. Flächeninhalte und Rotationsvolumina3. Exponentialfunktionen

2. Im Transrapid von A(msterdam) nach B(erlin) 12.11. Problemlösung über Splines (Längen- und Breitengrade in kart. Koordinaten)

2. Das Problem der Krümmung - Krümmungskreise 3. Bogenlänge, Krümmungsfunktion und Gesamtkrümmung

bei Funktionen

3. Wie viele Bäume müssen fallen? 12.21. Parametrisierte Kurven - Grundlagen2. Parallelkurve3. Flatterbandkurve4. Evolute, Zykloide, Neilsche Parabel und Rollkurven

5

Themenfolge 2

4. KuDi ist tot - aber er ist wieder auferstanden 13.11. Ableitung und „Diskussion“ von parametrisierten Kurven

• Achsenschnittpunkte auf x- und y-Achse• Extrema (2 an der gleichen Stelle) und Steigung• Singuläre Punkte, Doppelpunkte und Schwenkpunkte

2. Integration von parametrisierten Kurven• Flächeninhalte zwischen Kurve und den Achsen• Rotationsvolumina

3. Bogenlänge und Krümmung bei parametrisierten Kurven

5. Dreh‘ ich oder dreh‘ ich nicht? oder: auch nach oben kann der Platz

beschränkt sein 13.11. Abstand von windschiefen Geraden differentialgeometrisch betrachtet2. Hüllkurven <-> Ortskurven3. Abstände von Kurven und Geraden

6

Wie viel Nass passt ins Fassoder

Wie viel Weizen darf‘s denn sein?

Funktion <-> Relation Umkehrfunktion, Kehrform

7


Wie viel Weizen darf‘s denn sein?

Untersuchung und Herleitung der (Rand) Funktion

(A)

Berechnung des Flächeninhaltesund des Rotationsvolumens

(bei gegebener Randfunktion)

(B)

8


Wie viel Weizen darf‘s denn sein?(A)

• Randfunktion als Polynom 2. oder 4. oder 5. Grades1. Über Lösen entsprechender Gleichungssysteme

2. Über den „Fit“- Befehl (Derive 5)

• Randfunktion über Splines definieren1. Was ist ein Spline?

2. Grenzen der Spline-Darstellung

• Randfunktion als Exponentialfunktion

9

Wie viel Weizen..... Randfunktion als Polynom 2. oder 4. oder 5. Grades

Bedingungen festlegen(Glas vermessen)

Höhe, Radius unten, oben und Taille

Koordinaten von 3 Punkten -> 3 Bedingungen

g.r.Fu. 2. Gradesg.r.Fu. 4. Grades

Steigung am Anfang/Ende = 02 zusätzliche Bedingungen

g.r.Fu 5. Grades

Taillenpunkt als Minimumliefert 6. Bedingung

Achtung: Bestimmung von weite-ren Punkten des Glases ist mög-lich. Liefert weitere Bedingungen, die das Ergebnis aber verschlech-tern, da der Graf der Funktion (z.B. 8./9. Grades )„ausschlägt“ und kein befriedigendes Ergebnis liefert.

10

Wie viel Weizen..... Randfunktion über „Fit“-Befehl

Der Derive-Befehl „Fit“ verbindet ein vorher festgelegtes Polynom n-ten Grades f mit einem n+1

Punkte umfassenden Feld.

z.B. #1 g(x) := ax5 +bx4 +cx3 +dx2 +ex +f

#2 punkte := [[x1,y1],[x2,y2],.....,[x6,y6]]

#3 fit ([x,g(x)], punkte) oder

#3 fit ([x,g(x)], #2) oder

#3 fit ([x,g(x)], [[x1,y1],[x2,y2],.....,[x6,y6]])

„Fit“ kann keine Bedingungen wie f‘ = 0 oder f‘‘=0 verarbeiten. Es ist ein eingeschränkter Gleichungslöser

11

Wie viel Weizen..... Randfunktion über Splines (1)

Es seien x0<x1<....<xn Stützstellen und fi (i=0..n)zugehörige Stützwerte. Man soll in einem kartesischen Koordinatensystem durch die Punkte (xi;fi) ein biegsames Kurvenlineal möglichst glatt legen. Dann ist die Biegelinie s festgelegt durch die drei folgenden Forderungen:(1) s(xi) = fi für alle i;(2) s sei in ganz [x0;xn] zweimal stetig differenzierbar, d.h. in allen Punkten, insbesondere auch in den Punkten (xi;fi), gehen die Ableitungen und die Krümmungen stetig ineinander über;(3) Die Gesamtkrümmung der Kurve s soll minimal sein, d.h. unter allen in Frage kommenden Funktionen ist s ausgezeichnet.Aus (3) folgt – hier ohne Beweis -, dass gilt:In jedem Intervall [xi;xi+1] ist s durch ein Polynom 3. Grades gegeben.

Def.: Ein kubischer Spline s (eine Splinefunktion dritten Grades) zu den Interpolationspunkten (xi;fi), i=0(1),...,n, n>=2, mit x0<x1<....<xn ist eine Funktion s mit den Eigenschaften (1),(2) und (3).

(2) Hat die weitgehendsten Konsequenzen für die Splinefunktion. Sie bewirkt einen glatten Anschluss der einzelnen Polynome dritten Grades an den Stellen xi; dort sind insbesondere Krümmungsradius und Krümmungskreis gleich.

BeispielGegeben seien die 5 Stützpunkte gemäß #3.Die Biegefunktion s muss also aus 4 Polynomen 3. Grades bestehen : #4 bis # 7.Somit ergeben sich 4*4=16 Variablen, also muss man 16 Bedingungen für s finden. Die 4 gefunde-nen Polynome ergeben den gesuchten Spline

12

Wie viel Weizen..... Randfunktion über Splines (2)

#1:"Beispiel zur Bearbeitung von Spline-Funktionen"

#2:"Festlegung der Stützpunkte"

#3:punkte:=[[0,2],[2,4],[5,3],[8,4.5],[10,2]]

#4:sp1(x):=a*x^3+b*x^2+c*x+d

#5:sp2(x):=e*x^3+f*x^2+g*x+h

#6:sp3(x):=i*x^3+j*x^2+k*x+l

#7:sp4(x):=m*x^3+n*x^2+o*x+p

#8:SOLVE([sp1(0)=2,sp1(2)=4,sp2(2)=4,sp2(5)=3,sp3(5)=3,sp3(8)=4.5,sp4(8)=4.5,sp4(10)=2,sp1''(0)=0,sp4''(10)=0,sp1'(2)=sp2'(2),sp2'(5)=sp3'(5),sp3'(8)=sp4'(8),sp1''(2)=sp2''(2),sp2''(5)=sp3''(5),sp3''(8)=sp4''(8)],[a,b,c,d,e,f,g,h,i,j,k,l,m,n,o,p])

#9:Simp(#8)

[a=-151/1632 AND b=0 AND c=559/408 AND d=2 AND e=875/7344 AND f=-3109/2448 AND g=2393/612 AND h=563/1836 AND i=-977/7344 AND j=6151/2448 AND k=-4591/306 AND l=29219/918 AND m=185/1632 AND n=-925/272 AND o=3295/102 AND p=-3207/34]

#10:Sub(#4) sp1(x):=(-151/1632)*x^3+0*x^2+559/408*x+2

#11:Sub(#5) sp2(x):=875/7344*x^3+(-3109/2448)*x^2+2393/612*x+563/1836

#12:Sub(#6) sp3(x):=(-977/7344)*x^3+6151/2448*x^2+(-4591/306)*x+29219/918

#13:Sub(#7) sp4(x):=185/1632*x^3+(-925/272)*x^2+3295/102*x+(-3207/34)

#14:drucksp1(x):=IF(x>=0 AND x<=2,sp1(x))




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Wie viel Weizen darf‘s denn sein?(B)

• Berechnung des Rotationsvolumens bei bekannter Randfunktion1. Didaktische Reduktion auf Berechnung des Flächeninhaltes.

Untere- und obere Rechtecksfolge bildenFlächeninhalte aufsummierenGrenzwerte bildenDabei intensive Nutzung eines CAS auf TI oder PCFlächeninhalte unter Graphen <-> Flächeninhalte zwischen Graphen Bestimmtes und unbestimmtes Integral

2. Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung

3. Erweiterung auf Rotationsvolumen bei Drehung um x-AchseUntere- und obere Zylinderfolge bildenVolumina aufsummierenGrenzwertbildungNutzung des CAS bei relativ komplexen Randfunktionen

4. Erweiterung auf Rotation um y-AchseUmkehrbarkeit, Kehrform, Umkehrfunktion

5. Erweiterung auf Grenzwertuntersuchungen für x-> bzw. x->0

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Wie viel Weizen darf‘s denn sein?(C)

• Exponentialfunktionen als Randfunktion

1. Herleitung einer e-Funktion z.B. über natürliche Zerfallsprozesse aus derChemie, Biologie oder Physik

2. Untersuchung von Expo.-funktionen mittels Differenzialrechnung

3. Kettenregel und Regeln von L‘Hospital

4. Funktionen des Typs f(x) = k*e-bx^2 als mögliche Randfunktion

5. Anwendungen für Exponential-Funktionen aus NW (auch mit anderen Basen)

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Im Transrapid von A(msterdam) nach B(erlin)

1. Aufstellen einer Splinekurve durch die Städte A(msterdam), G(roningen), H(ansestadt) B(remen), H(ansestadt) H(amburg) und B(erlin) nach Umrechnung vongeographischen Länge und Breiten in kartesische Koordinaten.

2. Aufstellen einer zweiten Verbindung, nun über A(msterdam), D(ortmund),

H(annover), M(agdeburg) und B(erlin) in entsprechender Weise

3. Die Frage nach der optimalen Streckenführung führt auf die Kern-bereiche Kosten Streckenlänge Bogenlänge und Geschwindig-keit Krümmung

4. Herleitung der Formel b = für die Bogenlänge C:\Dokumente und Einstellungen\Langendörfer Achim\Eigene Dateien\PowerPoint\Praesenztag\Bogen.ppt

dxxfb

a 2)('1

5. Krümmung ist nicht f‘‘(x) am Beispiel f(x) = x^2.

16

dxxfb

x

yxyxb

yxb

yxb

b

a

i

iiii

ii

2

2

2222

22

22

)('1

)1(limlim

17

Im Transrapid von A(msterdam) nach B(erlin)

Die Krümmung des Graphen einer Funktion an einer Stelle x0 entspricht nicht dem Wert der 2. Ableitung der Funktion an dieser Stelle (z.B. ist f‘‘(x) = 0 für f(x)=x2 der Graph von f ist aber nicht konstant gekrümmt), weil bei der Krümmung in einem Intervall (anders als bei der Steigung) die Länge des Graphen (also seine Bogenlänge) berücksichtigt werden muss. Je kürzer der Bogen desto geringer die Krümmung ( also ist die direkte Verbindung – die Gerade – nicht gekrümmt; k=0 ist somit das einzige Krümmungsmaß, das über die 2. Ableitung ermittelt werden kann).Die Krümmung von f an der Stelle x0 lässt sich aber über den zugehörigen Krümmungskreis definieren; k 1/r. Somit liefert der Radius des Krümmungskreises das Krümmungsmaß von f. k: (x-xm)2 + (y-ym)2 = r2

k‘: x-xm + (y-ym)*y‘= 0

k‘‘: 1 + y‘2 + (y-ym)*y‘‘ = 0

k(x0) = f(x0)k‘(x0) = f‘(x0)k‘‘(x0) = f‘‘(x0) 1)(x0-xm)2 + (f(x0)-ym)2 = r2

2)(x0-xm) + ( f(x0)-ym)*f‘(x0) = 0

3)1 + f‘(x0)2 + (f(x0)-ym)*f‘‘(x0) = 0

aus 3) -> ym

)(''

)('1)(

0

02

0 xf

xfxfym

Einsetzenin 2) ->xm)(''

)('1*)('

0

02

00 xf

xfxfxxm

Einsetzen in 1) -> r

)(''

))('1(

0

23

02

xf

xfr

2

32 ))('1(

)(''1)(xf

xfrxk

dxxf

xfdxxfxkg

b

a

b

a

2

2

)('1

)('')('1*)(

Integration von küber die Teilbögenliefert die Gesamt-krümmung

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Klassische Mathematik Teil 1

1. Grundlagen der linearen Algebra• Gruppe, Körper, Vektorraum, Unterräume, Basis, Dimension ...

• Lineare (Un)Abhängigkeit, Def. des Skalar- und Vektorprodukts• Metrik auf dem R3

2. Grundlagen der Analytischen Geometrie• Geraden- und Ebenengleichungen, Schnitt, Winkel, Abstände,

Lagebeziehungen, Kugel, Polare

• Schwerpunkt u.a. Abstand von 2 windschiefen Geraden, Abstandsberechnungen im Allgemeinen

oderParametrisierte Kurven Hüllkurven

Körper der komlexen Zahlen

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Körper der komplexen Zahlen

• Geschichte der komplexen Zahlen

• Isomorpie zwischen C und RxR (a+ib <-> )

• Darstellungsformen (Normalform, Polarform, Eulerform)

• Rechnen und Arbeiten mit komplexen Zahlen

b

a

20

Wie viele Bäume müssen fallen?Grundlagen parametrisierter Kurven

Ein Lastwagen mit einem Eisenträger, der a Meter nach hinten herausragt durchfährt eine b Meter breite Allee auf dem Mittelstreifen, wobei der Verlauf des Streifen in einem Bereich von –c bis +c um den Ursprung in etwa dem Verlauf des Graphen der Funktion f(x) = k*xn genügt. (1LE = 10 Meter)Kann der Laster die Allee durchfahren ohne die Bäume am Rande zu treffen?

z.B. f(x) = 0,5*x4 , c=2 , a=8 und b = 5

Wie lautet die Terme der inneren undäußeren Begrenzung der Straße? Parallelkurve

Da die Straße insgesamt a (a=8) Meter breit sein soll, könnte man annehmen, dass funten(x)=f(x)-4 und foben(x)=f(x)+4 ist. Dies ist aber außer an der Stelle O(0;0) falsch. Gesucht ist zunächst ein Punkt Z, der von einem Punkt P auf f einen bestimmten Abstand hat. Dies ist vektoriell kein Problem. Also muss man versuchen, das analytische Problem vektoriell zu bearbeiten.

1. Transfer

10

2

8

2

2

0

4

1*2

2

0

)10;2(2

4

1

2

0

2*4

0*

0*

*

y

x

y

x

y

x

y

y

PmanerhältxFür

y

y

xy

by

x

y

y

bx

x

y

bxmy

Gerade

21

Wie viele Bäume müssen fallen?Grundlagen parametrisierter Kurven 2.

Die Umformung einer Geradengleichung der Form y=m*x+b in die vektorielle Form gelingt immer.

Dabei werden Vektoraddition und Skalarprodukt verwendet, was bei einer Einführung in Klasse 11 nicht problematisiert werden muss, zumal es den Schülern völlig logisch und sinnrichtig erscheint.

Die Umkehrung ist nicht immer so leicht, insbesondere dann nicht, wenn der Aufpunkt nicht in der Form gegeben ist.Für LK-Schüler aber kein Problem.

b

0

2. Transfer

Parabel

f(x)=y = m*x +b ist also gleichbedeutend mit

y

x

y

x

tmb

tm

m

mt

btf

0*

0)(

Jeder Punkt P(x;y) auf dem Graphen von f(x)=k*xn ist darstellbar (erreichbar) über den Vektor

f(x)=k*xn

)(tf

t

)()(

tf

ttp

HinweisBeim TI 92 Plus bzw. Voyage 2000 muss unter

„Mode“ an erster Stelle „Funktion“ in „Parametrisch“geändert werden. Im y-Editor wird dann x(t)=t undy(t) = f(t) eingegeben. Unter „Windows“ muss zu-nächst t und dann der Zeichenbereich für x und y

eingegeben werden. Variable ist t!! x ist zunächst zu einer Zeichenbereichsgröße degradiert.

22

Wie viele Bäume müssen fallen?Parallelkurve 1

Zu einem Punkt Q auf der „unteren“ Parallelkurve gelangt man, indem man zunächst zu einem Punkt P auf f geht und dort den mit dem Abstandsfaktor b multiplizierten Normaleneinheitsvektor ansetzt.

2

2

2

20

0

))('(1)()(

))('(1

)('*)(

1

)('*

))('(1)()(

:

1

)('*

))('(1

1)(

1

)(')(

)('

1)('

*)()(

tf

btftq

undtf

tfbttq

tf

tf

b

tf

ttq

sichergibtDaraus

tf

tftn

somitund

tftnistAlso

tftpt

mittnistDabei

nbtptq

y

x

Beispiel f(x) = x2 mit b=2

2

2

2

22

20

22

41

2)(

41

*2*2)(.

1

2

41

2

)(

)()(:

2tan

1

2

41

1:

1

2:

2

1:

)()(

tttyund

t

tttxbzw

t

tt

t

ty

txtxarstellungParameterd

dierveParallelkuderxOrtsvektoreinenfürsich

ergibtrabelAusgangspadervonbdAbsMit

t

tnPinornheitsvektNormalenei

tnPinktorNormalenve

ttPinektorTangentenv

t

ttpxxf

Die Darstellung der „oberen“ Kurve ergibt sich durch Vertauschung der Vorzeichen im Normalenvektor bzw.in der Parameterdarstellung.

23


Parallelkurve fürb=2

Parallelkurvenscharfür b =0,5; 1; 1,5 und 2

Problem!!

Die unteren Parallelkurven sind problemlos zu erstellen, bei den oberen kann es aber zu sogenannten Rückläufen kommen.

Fragen: Wann und warum? Was hat es mit den Spitzen auf sich?

Rückläufe treten auf, wenn die x-Komponenteder Parameterdarstellung die Monotonie ändert.

Um also zu klären, wie breit eine Straße nach oben sein kann, muss man das Monotonieverhalten fürx(t) untersuchen, d.h. man bildet x‘(t) und be-

stimmt die lokalen Extrema von x(t).

24


)(*)(''

)('1)()(

.......)()(

)(''

)('1

:0)('

)('1

)('*)(

)(*)()(

)()(

tan

0

32

32

2

0

tntf

tftftx

amittxtx

sichergibtSpitzenderOrtskurvedieFür

tf

tfa

erhalteundtxBilde

tf

tfattx

immeralsodabeiistEs

tnatfty

txtx

obennachadAbsimrveParallelku

s

as

a

a

a

aa

Da dieses a aber für jeden Punkt P des Graphen jeweils den Krümmungskreisradius angibt (s. Folie 16), legt der Vektor xs(t) den zugehörigen Krümmungskreismittelpunkt fest. Alle Krümmungskreismittelpunkte liegen also auf einer Kurve, die man die Evolute oder hier Neil‘sche Parabel der Ausgangskurve nennt.

25

Wie viele Bäume müssen fallen?Flatterbandkurve

Nachdem nun die Straße mit ihrem(r) oberen und unteren Rand(kurve) durch Parallelkurven festgelegt wurde, muss nun geprüft werden, welche Kurve der hinterste Punkt des Eisenträgers durchläuft, wenn der Lastwagen auf dem Mittelstreifen der Straße die Kurve passiert. Es erfolgt ein neuer vektorieller Ansatz.

Ortsvektor zum Parabelpunkt P

Tangentenvektor in P

Tangenteneinheitsvektor in P

)(tf

tp

)('

1

tft

)('

1

)('1

12

0 tftft

Ortsvektor des Flatterbandes mitLänge ldes Tangentenstücks

)('

1

)('1)()(

)()(

2 tftf

l

tf

t

ty

txtx

oder)('*

)()()(tfl

tftyundl

ttx

Beispiel 1: f(x) = 1/8x2 , a = 2 m und l = 4 mBeispiel 2: f(x) = 1/8x2 , a = 2 m und l = 5 m

Die Bäumekönnenstehenbleiben

DieBäumemüssenweg

26

Wie viele Bäume müssen fallen?Evolute, Neil‘sche Parabel, Rollkurven 1

Unter der Evolute versteht man die Kurve, die die Mittelpunkte der Krümmungskreise einer zweimal differenzierbaren Funktion f durchlaufen, wenn ein Punkt P den Graphen von f durchläuft. Damit lässt sich die Evolute zu f wie folgt allgemein definieren:

)(''

)('1)(

)(''

))('1(*)('

)(

)()(

2

2

tf

tftf

tf

tftft

ty

txte

Bsp.: f(x) = a*x2

2

32

32

1)(

4)(

ata

ty

tatx

3 224

4

3

2

1)(

)(

taaa

ty

ttx

oder3 224

4

3

2

1)( xa

aaxf

Die Evolute zu f(x)=ax2 lässt sich also in parametrisierter und funktionaler Form angeben. Diese Evolute nennt man Neil‘sche Parabel. Dieses Verfahren lässt sich aber nicht immer durchführen. Im Beispiel: f(x)=2x2 für –1< x < 1 mit Neil‘scher Parabel

Wird der Term von f komplexer, ergeben sich schwierigere Zusammenhänge

27


Evolute zu f(x) = 3*x4

2

6

6

36

1252)(

3

)172(*2)(

t

tty

tttx

1) Die Evolute besitzt 2 Äste, da die Krümmung von f

im Ursprung 0 ist; k(0)=0. Dort muss somit der

Radius des Krümmungskreises unendlich sein.

2) Diese Evolute (keine Neil‘sche Parabel) kann nicht

in funktionaler Form dargestellt werden.

Daraus ergibt sich, dass jede funktionale Darstellung einer „Kurve“ in eine parametri-sierte Form umgewandelt werden kann - aber nicht umgekehrt.

Der Vorteil der parametrisierten Darstellung von Kurven liegt also darin, dass man auf diese Weise auch Kurven beschreiben kann, die keine Funktion darstellen.

)sin()(

)( 2

tty

ttx

2

3

)(

1)(

tty

tttx

28


Rollkurven

Gegeben sei ein Punkt auf dem Rad einer Loko-motive mit dem Radius r. Welche Bahn durch-läuft dieser Punkt wenn sich das Rad dreht? Welche Fläche wird dabei überstrichen? Wie verhält sich ein Punkt, der im Rad liegt? usw.

Wenn ein Kreis auf einer Geraden abrollt, dann heißt die Bahnkurve, die ein beliebiger Punkt des Kreises beschreibt, eine Zykloide

)cos(*)(

)sin(*)sin(*)(

tcrMCMBCBPQty

tcrttcBACPBOBQBOQOtx

Bild einer gespitzten (c=r), ver-kürzten (r>c) und geschlunge-nen (r<c) Zykloide

29

KuDi ist gar nicht so totDiskussion von parametrisierten Kurven

Gegeben sei die durch K1:

beschriebene Kurve.

ttty

tttx

4)(

)(4

3

1.Ableitung K‘: )('

)('

tx

ty

dt

dxdt

dy

dx

dy

2.Ableitung K‘‘:

32

2

2

))('(

)('')(')(')(''

)('

1*

))('(

)('')(')(')(''

)('

1*

))('

)('(

*)*()(

tx

txtytxty

txtx

txtytxty

txdt

tx

tyd

dx

dt

dtdx

dt

dt

dyd

dxdx

dyd

dx

yd

Diskussionspunkte

1. Nullstellen (y(t)=0)

2. Y-A-punkte.... (x(t)=0)

3. Extrema (y‘(t)=0 ^ x‘(t)0)

4. Schwenkpunkte (x‘(t)=0 ^ y‘(t)0)

5. Wendepunkte

6. Singuläre Punkte

7. Doppelpunkte

8. Mehrfachpunkte

K1 K2

ttty

ttx3

2

)(

1)(K2

30

KuDi ist gar nicht so totDiskussion von parametrisierten Kurven 2

1. y(t)=0t=0 t= (x=0,x= 4- )

2. x(t)=0t=-1 t=0 t=1 (y=5,y=0,y= -3)

3. y‘(t)=0 4t3-4=0 t=1 ; x‘(1)0; K‘‘(1)>0; also TP; x(1)=0 und y(1)= -3TP(0;-3)

4. x‘(t)=3t2-1=0 t= S1(0,385 ; 2,421) und S2(-0,385 ; -2,198)

5. K‘‘(t)=0 t=0

t= - 1,52138 => W1(0;0) und W2(-2;11,44)

6. Singulärer Punkt: Gilt x‘(t0) = 0 und y‘(t0)=0, so heißt der Punkt P(x(t0);y(t0)) singulärer Punkt. Über das Verhalten der Tangente in diesem Punkt kann keine allgemeine Aussage gemacht werden. (Gesonderte Untersuchung bzgl. Steigung).

7. Doppelpunk: (bei K1)Bei K1 ist für t = 1 und t = -1 x(t) = 0 undgleichzeitig ist y(t)=0; d.h. die Kurve K1 durchläuft den Ursprung zweimal. Damit liegt im Ursprung ein Doppelpunkt vor.

8. Mehrfachpunkt:Ist ein „Doppelpunkt“, der nicht im Ursprung liegt. Um ihn zu ermitteln löst man: x(t1) = x(t2) y(t1) = y(t2)

3 4 3 4

33

1

0)13(

)2(122

3

t

ttt

31


Integrationsverfahren1. Integration durch Partialbruchzerlegung

2. Partielle Integration

3. Integration durch Substitution

4. Grenzwertuntersuchungen bei Flächeninhalten und Volumina

32

KuDi ist gar nicht so totIntegration von parametrisierten Kurven

1. Fläche zwischen Kurve und x-Achse

2. Fläche zwischen Kurve und y-Achse

3. Fläche in einer Schleife

4. Rotation um x-Achse

5. Rotation um y-Achse

Integration wie Ableitungen unter Verwendung der Kettenregel

2

1

2

1

2

1

)('*)(**)()(t

t

x

x

t

t

dttxtydtdt

dxtfdxxfA

2

1

2

1

2

1

)('*)(**)()(t

t

y

y

t

t

dttytxdtdt

dytgdyygA

Nach 1) oder 2) -> gleiches Ergebnis

2

1

22

1

2

1

22 ))('*)((*)*)(()(t

t

x

x

t

t

dttxtydtdt

dxtfdxxfV

2

1

22

1

2

1

22 ))('*)((*)*)(()(t

t

y

y

t

t

dttytxdtdt

dytgdyygV

33

KuDi ist gar nicht so totBogenlänge und Krümmung bei parametrisierten Kurven

Bogenlänge

Krümmung

dttytx

dttxtx

tydt

dt

dx

dx

dt

dt

dydxxfs

t

t

t

t

t

t

x

x

2

1

22

2

1

22

1

22

1

2

)(')('

)('*))('

)('(1*)*(1)('1

.1)('

)(')('

)(')('')('')('

)(')('))('(

)(')('')('')('

)('1

)('')(

3

223223

32

gesetztaufdabeiwirdtx

tytx

tytxtytx

tytxtx

tytxtytx

xf

xfxk

Fläche A1 zwischen K und x-Achse

Fläche A2 zwischen K und y-Achse

Länge der drei Bögen

FEttt

t

dttttdttxtyA

14,52357

3

)13)(4()('*)(

245

7

4

0

244

0

1

33

FEdttxtydttxtyA 2)(*)(')(*)('1

0

0

1

2

LEdtdtdttytxs 22,1293,322,307,5)(')('

3 4

1

1

0

0

1

22

34

Dreh‘ ich oder dreh‘ ich nicht?oder: auch nach oben kann der Platz beschränkt sein

Ein 11 Meter hoher Tannenbaum kann mittels Schwertransport nicht waagerecht transportiert werden (siehe Flatterband). Es wird daher überlegt, ihn senkrecht auf der 1,5 Meter hohen Ladefläche eines Transporters stehend über eine Straße von A(schendorf) nach B(apenburg) zu transportieren. Dabei muss er allerdings eine Überlandleitung unter-queren, die nicht waagerecht verläuft sondern (vereinfacht dargestellt) gemäß einer fallenden Geraden im Raum. Der Straßenverlauf genüge im kritischen Bereich etwa der Verlauf des Graphen der Funktion f mit f(x) = 1/4 x2 für –2 x 2, mit 1 LE = 10 Meter und die Überlandleitung verläuft durch die Spitzen der beiden Haltemasten mit A(-0,5/1/1,4) und B(0,5/-1/1,1). Kann der Transport die Leitung unterqueren?

1. Geometrisches Problem, die Gerade wird dreidimensional vektoriell dargestellt, die Parabel aber funktional dreidimensionale parametrisierte Darstellung von f in

der Form

2. Reduktion des Problems auf die Berechnung des Abstandes zweier windschiefer Geraden im R3 .

3. Übertragung des Lösungsweges auf das gestellte Problem

04)(

2t

t

tp

Der so errechnete minimale Abstand löst nicht das gestellte Problem!!!!

35

Abstand windschiefer Geraden differentialgeometrisch betrachtet 1.

Es sei P ein Punkt der Geraden g mit

1

2

1

*

1

1

1

tp

Und Q sei ein Punkt der Geraden h mit

1

3

2

*

3

1

2

sq

910612614

)2()232()21(

)()()(

22

222

222

ttssts

tststs

pqpqpqQP zzyyxx

Daraus ergibt sich: 910612614)( 22 ttsststf s

Dies liefert für jedes s (fester Punkt Q von h) eine Parabel in Abhängigkeit von t (jeden Punkt von g), die den Abstandvon Q zu jedem Punkt P beschreibt.

36

Abstand windschiefer Geraden differentialgeometrisch betrachtet 2.

Alle Parabeln der Schar haben ein lokales Minimum (kleinster Abstand). Gesucht ist das kleinste Minimum in Abhängigkeit von s. Dazu bildet man die 1. Ableitung von fs(t) nach ds, setzt diese Ableitung gleich Null und löst nach s auf. Der gefundene s-Wert wird in f eingesetzt und es ergibt sich eine Funktion g(t), die Hüllkurve der Schar fs. Das lokale Minimum der Hüllkurve (nach t) liefert den gesuchten minimalen Abstand, wenn man den gefundenen t-Wert mit dem oben errechneten s-Wert in fs(t) einsetzt und aus dem Ergebnis die Wurzel zieht.Am obigen Beispiel ergibt sich:

LE

istGeradenbeidenderdAbsimaler

fdAbs

s

ttdt

tdf

tttf

tsts

tss

tsf

ttsststf

s

s

963,185333,3

tanmin

85333,3)693,0,28,0(tan

28,0

...693,00428,7..71,18)(

428,6...42,7..35,5)(

)2...(2142,0012628

12628),(

910612614)(

2

2.....2142,0

22

37

HüllkurvenDie oben nach Einsetzen von s in den Term der Kurvenschar gewonnenen Funktion beschreibt eine Parabel, die alle Parabeln der Parabelschar fs(t) einhüllt; die Hüllkurve.

Die Aufgabe, den kleinsten Abstand von zweiwindschiefen Geraden zu ermitteln, führt alsoauf den Lösungsansatz, von einer Kurvenschardas lokale Minimum (Maximum) der zugehöri-

gen Hüllkurve zu bestimmen.

(I)Hüllkurven

Beispiele

(II)Abstand von Geraden

zu Kurven

38

(I) Hüllkurve <-> Ortskurve 1An weiteren z.T. schwereren Beispielen können weitere Hüllkurven bestimmt werden. Dazu bietet sich z.B. eine Handreichung9) von FB Müller-Sommer vom 15.11.2000 an. „Springbrunnen“, „Neil‘sche Parabel“ als Hüllkurve aller Normalen einer Normalparabel, Astroide, Kreishüllkurven und Parametervariationen können besprochen werden.

Normalen aneine Normal-parabel werdenvon der Orts-kurve der Krümmungs-kreismittel-punkte einge-hüllt.

39

(I) Hüllkurve <-> Ortskurve 2

Vergleich von Ortskurve mit Hüllkurve(insbesondere die Unterschiede bei der Herleitung)

Gegeben ist die Funktionenschar

Untersuchen Sie, in welchem Zusam-menhang die Funktionenschar fa

mit folgenden Kurven steht

axxa e

axf

25,01)(

15,01

2

*)( xexxk25,0

2 *1

)( xex

xk

xxex

xk

25,03 *

1

1)(

xxex

xk

25,04 *

1

1)(

Lösung: k2 ist Ortskurve der Extrema

k3 und k4 sind Ortskurven derWendepunkteund k1 ist die Hüllkurve.

40

Abstand von Geraden zu Kurven

Die Vorgehensweise ist prinzipiell die gleiche wie bei 2 Geraden. Allerdings wird der Term für fs(t) erheblich komplexer und schwieriger. Darüber hinaus kann es sowohl für s als folgend für t mehrere Lösungen geben, die auf Minimum/Maximum und dann bei eventuell zwei Minima auf das gesuchte Minimum untersucht werden müssen. Wird der Grad der Kurvenfunktion 3 oder gar 4 oder wird die Kurve über einen Exponentialterm angegeben, kann es sein, dass selbst der TI Voyage aussteigt und keine Lösung liefert (auch Derive ist dann am Ende).

Für die gestellte Aufgabe von oben ergibt sich folgende Lösung.

P sei ein Punkt der Straße und Q einer der Überlandleitung.

MeterLEdAbs

fs

ttdt

tdf

ttfSubst

ttssg

sgttss

tsf

sststs

stststfQP

stqt

t

tp

s

365,1223645,1tan

5288,1)08,0,589,0(589,0

08,00........05,0)(

...........098,0)(.

)84,52..(098,00)(

)(84,5218,10),(

..........84,5209,5

)3,04,1()421()5,0()(

3,0

2

1

*

4,1

1

5,0

)(

04)(

3

4

2

2

22

22222

2

Dies ist aber nicht die Lösungdes Problems!!!!

41

Ente gut- Gans noch besser

(frei nach Bernd Stelter)

12,365 Meter ist zwar des geringste Abstand der Überlandleitung von der Straße, aber es ist nicht der Abstand senkrecht oberhalb der Straße, da der Vektor PQmin ja senkrecht auf der Straße aber auch senkrecht auf der Leitung steht; und das ist nicht genau oberhalb der Straße der Fall.

Um das obige Problem zu lösen, bedarf es dieser aufwendigen Abstandsberechnung nicht. Man projeziert die Überlandleitung auf die x-y-Ebene in der die Straße verläuft, bringt Gerade mit Kurve zum Schnitt und erhält dabei je einen s- und t-Wert. Diese Werte setzt man dann in fs(t) ein und erhält den gesuchten Abstand.

Im Beispiel ergibt sich:

MeterLE

dAbsf

alsoeressantnichtLösung

tsoderts

Systemxs

st

t

5,1225,1

5625,1tan5625,1)0;5,0(

;int.2

85,705,0

22

0

21

5,0

04

2

Der Transporter passt also gerade- mit Berührung - unter der

Leitung durch.(muss das Bäumchen halt etwas gekappt werden)

42

Literaturverzeichnis

1. Kroll / Vaupel, Analysis Band 2Dümmler-Verlag, 4282 (rot)

2. Kroll / Vaupel, Analysis Band 1Dümmler-Verlag, 4281 (grün)

3. Steinberg/Ebenhöh, Aufgaben zurAnalysis, Schroedel, 73225

4. Baumann, Analysis 1, Klett, 739512

5. Baumann, Analysis 2, Klett, 739514

6. Kayser, Analysis mit Derive,Dümmler-Verlag, 4523

7. H.-W. Henn, Realitätsnaher Mathe-matikunterricht mit Derive, Dümmler-Verlag, 4565

8. Materialien aus AMMuNT auf CD

9. Materialien Regionale Lehrerfort-bildung Vechta, Müller-Sommer

10. Materialien Regionale Lehrerfort-bildung Vechta, J. Rolfs

11. Facharbeiten 1999 – 2002 am Gym. Papenburg

12. Reidt/Wolf/Athen, Elemente der Mathe-matik Band 3, Schroedel, 1964

43

Literaturverzeichnis 2.

13. Knechtel, Weiskirch; Abituraufgaben mit Graphikrechnern +Taschencomputern I;Schroedel-Verlag 73237

14. Knechtel, Weiskirch; Abituraufgaben mit Graphikrechnern +Taschencomputern II;Schroedel-Verlag 73238

15. Röttger, Fulge u.a; Neue Ideen im Mathe-matikunterricht SII Differentialrechnung; Schroedel-Verlag 73235

16. Steinberg; Polarkoordinaten; Schroedel-Verlag 03364

17. Weigand; Neue Materialien für den Mathematikunterricht SII „Wie die Mathematik in die Umwelt kommt“; Schroedel-Verlag 73236

18. Aufgabensammlung A. Langendörferin Klausurenmappe.

Documents

1 Unterrichtsgang Mathematik im Leistungskurs der Kursstufe am Gymnasium Papenburg Schuljahre 2001/2002 und 2002/2003 mit OStR A. Langendörfer und Kurs