ii

ii

ii

ii

10 Lineare Gleichungen undGleichungssysteme mitzwei Variablen

101 Eine lineare Gleichungmit zwei Variablen

Die 4B und die 4C werden zum Abschlussdes Schuljahres gemeinsam eine mehrtaumlgi-ge Reise unternehmen Nach einer langenPlanungsphase sind das Reiseziel die Un-terkunft und die Organisation der Anreisefestgelegt In der Unterkunft werden fuumlr dieSchuumllerinnen und Schuumller Dreibettzimmerund Vierbettzimmer zur Verfuumlgung stehenNun geht die Planerei von neuem los Wergeht mit wem in ein Zimmer Schlieszliglich soll

niemand uumlberbleiben und kein Zimmer unterbelegt sein Wie geht sich das fuumlr die 24Maumldchen und 23 Burschen der beiden Klassen gut aus

In diesem Kapitel lernst du

1 lineare Gleichungen mit zwei Unbekannten kennen2 wie man ihre Loumlsungsmenge angibt und grafisch darstellt3 dass zwei zusammengehoumlrige lineare Gleichungen ein Glei-

chungssystem bilden4 wozu man solche Gleichungssysteme brauchen kann und5 wie man sie sowohl grafisch als auch rechnerisch loumlsen kann

9018 Dreibettzimmerund0 Vierbettzimmer4 Dreibettzimmerund3 Vierbettzimmer0 Dreibettzimmerund6 Vierbettzimmer

901I2)H1K1 Welche Moumlglichkeiten der Aufteilung auf Dreibettzimmer und Vierbettzimmer

gibt es fuumlr die 24 Maumldchen Loumlse durch Probieren und versuche alle Moumlglichkeitenanzugeben

In Aufgabe 901 konntest du die Loumlsungen durch Probieren finden Werden bei vergleich-baren Aufgabenstellungen die Zahlen groumlszliger oder sind auch andere Zahlen als nurnatuumlrliche Zahlen im Spiel wird es schnell schwierig alle Loumlsungen durch Probieren zufindenProbieren vor allem systematisches Probieren ist bereits eine wichtige mathemati-sche Taumltigkeit Eine mathematische Darstellung hilft nun tatsaumlchlich alle Loumlsungen zuerfassen

Dazu schreiben wirdie (unbekannte) Anzahl der Dreibettzimmer mit x an unddie (unbekannte) Anzahl der Vierbettzimmer mit y

ii

ii

ii

ii

101 Eine lineare Gleichung mit zwei Variablen 185

Dann istdie Anzahl der in Dreibettzimmern untergebrachten Maumldchen 3x die Anzahl der in Vierbettzimmern untergebrachten Maumldchen 4y Da es insgesamt 24 Maumldchen sind laumlsst sich der Sachverhalt durch die Gleichung3x + 4y = 24 darstellenEine solche Gleichung heiszligt einelineare Gleichung mit zwei Variablen (x und y)Die Loumlsung einer solchen Gleichung wird als geordnetes Zahlenpaar (x |y) angeschrie-benZ B ist das Zahlenpaar (4|3) eine Loumlsung der Gleichung 3x + 4y = 24 weil es dieGleichung erfuumllltEs gilt naumlmlich 3 sdot 4 + 4 sdot 3 = 24 und das ist eine wahre AussageDie Menge aller Zahlenpaare die beim Einsetzen in die Gleichung eine wahre Aussageliefern heiszligt die Loumlsungsmenge der Gleichung

Da wir die Maumldchen nicht zerteilen koumlnnen lassen wir fuumlr die Loumlsungen der Gleichungnur natuumlrliche Zahlen zu die Grundmenge G besteht daher aus den natuumlrlichenZahlen G = ℕFuumlr G = ℕ besteht die Loumlsungsmenge aus den drei ZahlenpaarenL = (8|0) (4|3) (0|6)Denn nur diese drei Zahlenpaare (G = ℕ) liefern eingesetzt in die Gleichung einewahre Aussage Damit ist die Aufgabe geloumlst

Laumlsst man aber losgeloumlst von der urspruumlnglichen inhaltlichen Aufgabenstellung die re-ellen Zahlen als Loumlsungen der Gleichung zu also G = ℝ so hat die Gleichung unendlichviele LoumlsungenDenn zu jedem beliebigen Wert fuumlr x isin ℝ laumlsst sich der zugehoumlrige y-Wert berechnenz B x = 42eingesetzt in die Gleichung3 sdot 42 + 4y = 24rArr 4y = 114rArr y = 285Das Zahlenpaar (42|285) ist daher eine Loumlsung derGleichung (fuumlr die Grundmenge G = ℝ)Analog kann man zu jedem anderen x-Wert den zugehoumlrigen y-Wert berechnen bzwauch umgekehrt zu jedem y-Wert den zugehoumlrigen x-WertAllgemein gilt4y = minus3x + 24y = minus 3

4x + 6

Die Loumlsungsmenge fuumlr G = ℝ besteht daher aus unendlich vielen Zahlenpaaren Da mansie nicht alle auflisten kann wird die Loumlsungsmenge in folgender MengenschreibweiseangegebenL = (x |y) | y = minus 3

4x + 6 x isin ℝ y isin ℝ

Das bedeutetrdquoDie Loumlsungsmenge L besteht aus allen Zahlenpaaren (x |y) fuumlr die der

Zusammenhang y = minus 34x + 6 besteht x und y sind reelle Zahlenldquo

ii

ii

ii

ii

186 10 Lineare Gleichungen und Gleichungssysteme mit zwei Variablen

Grafische Interpretation der Loumlsungsmenge

Eine Gleichung der Form y = kx + dist die Funktionsgleichung der linea-ren Funktion Der Graph dieser Funkti-on ist eine Gerade (vgl Kapitel 96 aufS 171) Daher laumlsst sich die Loumlsungs-menge jeder linearenGleichungmit zweiVariablen fuumlr die Grundmenge G = ℝgrafisch als Gerade darstellenFuumlr das Beispiel 3x + 4y = 24 umge-formt y = minus 3

4x + 6 ist die Gerade in

der Zeichnung dargestellt

Lineare Gleichung mit zwei VariablenEine Gleichung mit zwei Variablen x y isin ℝ der Gestalt

ax + by = c mit a b c isin ℝ a ne 0 b ne 0

heiszligt eine lineare Gleichunga und b heiszligen die Koeffizienten von x bzw yJede lineare Gleichung kann man durch Umformen auch in der Gestalt

y = kx + d

darstellenDie Loumlsungsmenge der Gleichung besteht aus allen geordneten Zahlenpaaren(x |y) x y isin ℝ welche die Gleichung erfuumlllenGrafisch dargestellt ergeben diese Zahlenpaare eine Gerade

902 3x + 4y = 23(1|5) (5|2)

902I2)H1K1 Welche Moumlglichkeiten der Aufteilung auf Dreibettzimmer und Vierbettzimmer gibt

es fuumlr die 23 Burschen der beiden vierten Klassen Schreibe die zur Aufgabenstellungpassende Gleichung an und schreibe alle Moumlglichkeiten in Form von zur Gleichungpassenden geordneten Zahlenpaaren auf

903 DasZahlenpaar (3|5)meint x = 3 undy = 5 DasZahlenpaar (5|3)meint x = 5 undy = 3

903I2)H4K1 Erklaumlre warum die Loumlsung einer linearen Gleichung mit zwei Unbekannten als

geordnetes Zahlenpaar angegeben werden muss also die Reihenfolge wichtig ist Worinliegt der Unterschied z B zwischen (3|5) und (5|3)

904 a) x Anzahlder 2 euro-Lose yAnzahl der5 euro-Lose2x + 5y = 30b) (0|6) (5|4)(10|2) (15|0) c) Die4 Zahlenpaare ausb) als Punkte imKoordinatensystemeingezeichnet

904I2)H1K2 Bei einem Schulfest organisiert die 4A gemeinsam mit der 7A eine Tombola Es

werden Lose zu 2 euro und 5 euro angeboten Da der Erloumls der Tombola einem guten Zweckzugutekommt ist Toms und Saras Mutter bereit 30 euro in den Loskauf zu investierenWelche Moumlglichkeiten fuumlr die Zusammensetzung aus 2-euro-Losen und 5-euro-Losen hat siea) Stelle eine passende Gleichung aufb) Gib die Loumlsung in Form von Zahlenpaaren anc) Stelle die Loumlsung grafisch im Koordinatensystem darBeachte Tipp 101

ii

ii

ii

ii

101 Eine lineare Gleichung mit zwei Variablen 187

Tipp 101Achte bei der grafischen Darstellung der Loumlsungsmenge einer linearen Gleichung mitzwei Variablen darauf ob die Grundmengeℕ oder ℝ ist Fuumlr G = ℝ ist die grafischeDarstellung der Loumlsungsmenge eine Gerade waumlhrend sie fuumlr G =ℕ nur aus einzelnenPunkten besteht 905 (1)

4x + y = 841(2)(50|641)(100|441) (120|361)(3) ndash (4) Sie liegenalle auf jenerGeraden die durchdie in (3)eingezeichnetenPunkte verlaumluftNur natuumlrlicheZahlen kommenals Koordinaten derPunkte in Frage

905I2)H1K2 Bei einem Laufbewerb haben sich insgesamt

841 Laumlufer angemeldet Es gibt einen Teambewerbfuumlr Teams mit jeweils vier Laumlufern und einen Bewerbfuumlr Einzellaumlufer Wie viele Teams und wie viele Ein-zellaumlufer haben sich angemeldet(1) Stelle den Text durch eine lineare Gleichung mitzwei Variablen dar(2) Gib mindestens 3 Loumlsungen an(3) Zeichne die drei Loumlsungen aus (2) in einem geeigneten Koordinatensystem ein(4) Beschreibe in Worten wo im Koordinatensystem alle weiteren Loumlsungen liegen

906 a) (1) L =(x|y)|y = minus 4

9x + 3

xy isin ℝ (3)(0|3)(9|ndash1)(ndash9|7)b) (1) L = (x|y)|y =32x + 2 xy isin ℝ(3) (0|2)(2|5)(4|8)c) (1) L = (x|y)|y =ndash6x + 2 xy isin ℝ(3)(0|2)(ndash1|8)(1|ndash4)d) (1) L = (x|y)|y =x xy isin ℝ (3)(0|0)(1|1)(2|2)

906 (1) Gib die Loumlsungsmenge der linearen Gleichung fuumlr G = ℝ an(2) Stelle die Loumlsungsmenge grafisch dar(3) Gib mindestens 3 ganzzahlige Zahlenpaare an die Loumlsungen der Gleichung sind

a) 4x + 9y = 27 b) ndash30x + 20y = 40c) x +

16y =

13

d) ndashx +y = 0

907I2)H1K1 Stelle den Text durch eine lineare Gleichung mit zwei Variablen dar und gib min-

destens zwei Loumlsungen fuumlr G =ℕ anAuf einer Berghuumltte gibt es Zimmerlager fuumlr je 4 Personen und Matratzenlager fuumlr je10 Personen Insgesamt koumlnnen 64 Personen in dieser Huumltte uumlbernachten Wie vieleZimmerlager und wie viele Matratzenlager gibt es 4x + 10y = 64 (6|4) oder (1|6)

908a) 6x + 8y =200(25|0) (22|4) (19|8)(16|12) (13|16)(10|20) (7|24) (4|28)oder (1|32)b) 150x + 060y = 9(2|10) oder (4|5)

908I2)H1K1 Wie Aufgabe 907 fuumlr den Text

a) Ein Veranstaltungssaal ist fuumlr 200 Personen zugelassen Wie viele Tische fuumlr 6Personen und wie viele Tische fuumlr 8 Personen koumlnnen insgesamt houmlchstens aufgestelltwerdenb) Sara kauft Stifte zu je 150 euro und Hefteinbaumlnde zu je 060 euro Insgesamt bezahlt sie 9 euro

909 a) b = 2m undm = b

2b) 8

Maumldchen 16Burschen

909I2)H3K1 In eine Klasse gehen doppelt so viele Burschen wie Maumldchen

a) Welche der Gleichungen beschreibtbeschreiben den Sachverhalt richtig

times times 2b = m b = 2m m = b

2b = m ∶ 2

b) Wie viele Maumldchen bzw Burschen gehen in diese Klasse wenn sie insgesamt 24Schuumllerinnen hat

910I2)H1K1 Erfinde zu der Gleichung jeweils einen passenden Text und gib mindestens zwei

ganzzahlige Loumlsungen ana) x + y = 30 b) 2x + 3y = 11c) x = 3y d) x =

12y

ii

ii

ii

ii

188 10 Lineare Gleichungen und Gleichungssysteme mit zwei Variablen

102 Grafisches Loumlsen linearer Gleichungssysteme

Zu Beginn des letzten Abschnitts hast du uumlber die geplanteReise der 4B und der 4C erfahren Die 24Maumldchenmusstenuumlberlegen wie sie sich auf die Drei- und Vierbettzimmeraufteilen werden Endlich haben sie sich geeinigt

rdquoWie

viele Dreibettzimmer und wie viele Vierbettzimmer sollich denn nun fuumlr euch bestellenldquo fragt die Lehrerin dieden Schlussausflug leitet

rdquoDuumlrfen wir Ihnen ein Raumltsel

stellenldquo fragen die Maumldchen grinsend zuruumlckrdquoEigent-

lich wollte ich ja rasch die Organisation abschlieszligen aberwenn es ein gutes Raumltsel ist dann her damitldquo antwortet die Lehrerin

rdquoWir haben die

Zimmer so eingeteilt dass wir insgesamt 7 Zimmer brauchenldquo sagt Sara

9114 Dreibettzimmerund3 Vierbettzimmer

911 Wie viele Dreibett- und Vierbettzimmer muss die Lehrerin nun tatsaumlchlich fuumlr dieMaumldchen bestellen wenn es insgesamt 7 Zimmer sein sollen Wenn du die Ergebnisseaus Aufgabe 901 verwendest ist die Loumlsung besonders einfach

Urspruumlnglich hatten die Maumldchen drei Moumlglichkeiten die Zimmer einzuteilen Durchdie neue Information dass die Maumldchen insgesamt 7 Zimmer benoumltigen bleibt nur eineMoumlglichkeit als Loumlsung uumlberAuch diese neue Information laumlsst sich als lineare Gleichung anschreiben man erhaumllt sozwei lineare Gleichungen zu einem Sachverhalt

Urspruumlngliche InformationFuumlr 24 Maumldchen stehen Dreibett- und Vierbettzimmer zur Verfuumlgung3x + 4y = 24 (vgl mit Seite 185)Neue InformationDie Maumldchen benoumltigen insgesamt 7 Zimmerx + y = 7Insgesamt erhaumllt man ein lineares Gleichungssystem mit zwei VariablenI 3x + 4y = 24II x + y = 7

912 DasZahlenpaar mussbeide Gleichungenerfuumlllen d heingesetzt muss fuumlrbeide Gleichungeneine wahreAussage entstehen

912I2)H4K3 Uumlberlegt zu zweit Welche Bedingungen muss ein Zahlenpaar (x|y) erfuumlllen damit

es Loumlsung eines Gleichungssystems also von beiden Gleichungen eine Loumlsung ist

Lineares GleichungssystemZwei zusammengehoumlrende lineare Gleichungen mit zwei Variablen bilden einlineares Gleichungssystem

I a1x + b1y = c1II a2x + b2y = c2

Ein Zahlenpaar (x |y) ist Loumlsung des Gleichungssystems wenn es beide Gleichungenerfuumlllt

ii

ii

ii

ii

102 Grafisches Loumlsen linearer Gleichungssysteme 189

913 (minus1|2)(1|10) (05|8) (minus1|2) times(5| minus 7)

913I2)H3K1 Welches der Zahlenpaare ist Loumlsung des gegebenen Gleichungs-

systems Kreuze an4x ndash y = -63x + 2y = 1

914Indash10 sdot (ndash1) + 7 sdot3 = 31 wA undII 8 sdot (ndash1)+ 5 sdot 3= 7 w A

914I2)H2K1 Zeige durch Einsetzen in die beiden Gleichungen dass das Zahlenpaar (ndash1|3) Louml-

sung des Gleichungssystems istI ndash10x + 7y = 31II 8x + 5y = 7

915I 3 sdot 4 + 4 sdot 3 = 24wA undII 4 + 3 = 7 w A

915I2)H2K1 Weise durch Einsetzen in die beiden Gleichungen des Gleichungssystems

I 3x + 4y = 24II x + y = 7nach dass die Loumlsung die du in Aufgabe 911 gefunden hast tatsaumlchlich eine Loumlsungdes Gleichungssystems ist

Grafisches Darstellen von linearen GleichungssystemenDa sich eine lineare Gleichung als Gerade grafisch darstellen laumlsst kann man auch einlineares Gleichungssystem grafisch darstellenIm Koordinatensystem werden zwei Geraden eingezeichnetSchneiden die beiden Geraden einander dann Erfuumlllen die Koordinaten des Schnittpunk-tes S(xs |ys) beide Gleichungen Das Zahlenpaar (xs |ys) ist daher Loumlsung des Gleichungs-systems

916 (1) I k = 2d = ndash1 y = 2x ndash 1II k = ndash1 d = 5y = ndashx + 5 (2)I ndash2x + y = ndash1II x + y = 5 (3)(xs |ys) = (2|3)

916I2)H1K2 diams Welches lineare Gleichungssystem ist hier

grafisch dargestellt(1) Bestimme fuumlr beide Geraden die Steigungk und den Achsenabschnitt d und gib die zu-gehoumlrigen Gleichungen in der Form y = kx + dan(2) Gib beide Gleichungen auch in der Formax + by = c an(3) Entnimm der Zeichnung die Koordinatenxs und ys des Schnittpunktes S und uumlberpruuml-fe durch Einsetzen in beide Gleichungen ob(xs |ys) eine Loumlsung des linearen Gleichungssys-tems ist

917 (1) I y =2x + 4II y = ndash 1

2x + 3

2(2) ndash (3) S(ndash1|2)(4) I ndash2 sdot (ndash1) + 2 =4 II (ndash1) + 2 sdot 2 = 3

917 Gegeben ist das lineare GleichungssystemI ndash2x + y = 4II x + 2y = 3

(1)I2)H2K1 Forme die Gleichungen in die Form y = kx + d um

(2)I2)H1K1 Stelle die beiden Gleichungen im Koordinatensystem grafisch dar

(3)I2)H3K1 Bestimme die Koordinaten xs und ys des Schnittpunktes S der beiden Geraden

(4)I2)H2K1 Zeige dass die beiden Werte xs und ys die beiden Gleichungen aus der Angabe

erfuumlllen Setze sie dazu in die Gleichungen ein

ii

ii

ii

ii

190 10 Lineare Gleichungen und Gleichungssysteme mit zwei Variablen

Grafisches Loumlsungsverfahren fuumlr lineare GleichungssystemeI x + 2y = 6II x ndash y = 3

1 Forme die beiden Gleichungen um und stelle sie in der Form y = kx + d darI y = minus 1

2x + 3

II y = x ndash 32 Zeichne die zu den Gleichungen gehoumlren-

den Geraden im Koordinatensystem ein3 Entnimm aus der Zeichnung die Koordina-

ten xs und ys des Schnittpunktes S der bei-den Geraden Das Zahlenpaar S(xs |ys) istdie Loumlsung des GleichungssystemsSchnittpunkt S(4|1)rArr L = (4|1)

ProbeDas Zahlenpaar muss beide Gleichungen erfuumlllen Eingesetzt in die beiden Ausgangs-gleichungen liefern xs und ys fuumlr beide Gleichungen eine wahre AussageI 4 + 2 sdot 1 = 6

6 = 6 wAII 4 ndash 1 = 3

3 = 3 wA

918 a) L = (4|2)b) L = (0|4)

918I2)H2K2 Bestimme grafisch die Loumlsung des linearen Gleichungssystems

Fuumlhre auch die Probe durcha) I y = ndashx + 6

II y =14x + 1

b) I y =14x + 4

II y = ndash2x + 4

919 a) L = (1|3)b) L = (3|0)

919I2)H2K2 Loumlse das lineare Gleichungssystem grafisch und fuumlhre rechnerisch die Probe durch

a) I y = 3xII y = ndash3x + 6

b) I y =13x ndash 1

II y = minus 53x + 5

Tipp 102Computerunterstuumltztes Arbeiten hilft den Zeitaufwand des grafischen Loumlsungsver-fahrens zu reduzieren Das kostenlos erhaumlltliche Programm GeoGebra (wwwgeoge-braorg) eignet sich dafuumlr besonders (siehe S 145)

920 a) L = (ndash2|4)b) L = (0|1)c) L = (ndash3|0)d) L = (2|5)

920I2)H2K2 Ermittle die Loumlsung des linearen Gleichungssystems grafisch

Uumlberpruumlfe dein Ergebnis durch Einsetzen in die beiden Gleichungena) I minus 1

2x + 2y = 9

II 3x + 2y = 2b) I 3x + y = 1

II ndash4x + 2y = 2

c) I ndash5x + 3y = 15II x + 3y = ndash3

d) I ndash12x ndash 2y = ndash11

II x ndash y = ndash3

ii

ii

ii

ii

102 Grafisches Loumlsen linearer Gleichungssysteme 191

921 Nein einGleichungssystemkann auch garkeine Loumlsunghaben (die beidenGeraden sindparallel) oderunendlich vieleLoumlsungen (diebeidenGleichungenstellen dieselbeGerade dar)

921I2)H4K3 In den bisherigen Aufgaben hatten wir es nur mit Gleichungssystemen zu tun die

eindeutig loumlsbar waren die beiden Geraden hatten einen SchnittpunktUumlberlegt zu zweit Muss das immer so sein Kann es Gleichungssysteme geben diemehr als eine Loumlsung oder gar keine Loumlsung habenTipp Uumlberlegt welche Lagebeziehung zwei Geraden in der Ebene haben koumlnnen

922 Die beidenGeraden habendieselbe Steigungaberunterschiedlichesd sind daherparallel und habenkeinen Punktgemeinsam

922I2)H4K2 Weise mit Hilfe des grafischen Loumlsungsverfahrens nach dass folgendes Gleichungs-

system keine Loumlsung hatI ndash2x + y = ndash5II 4x ndash 2y = ndash1

923I2)H4K2 Wende das grafische Loumlsungsverfahren auf folgendes Gleichungssystem an

Welcher besondere Fall liegt vor Beschreibe in Worten Was kannst du daher uumlber dieLoumlsung des Gleichungssystems aussagenI ndash4x + 2y = ndash2II 2x ndash y = 1

923 Die beidenGleichungenstellen dieselbeGerade darUnendlich vieleZahlenpaarenaumlmlich jenePunkte die auf derGeraden liegenerfuumlllen beideGleichungen undsind daher Loumlsungdes Gleichungssys-tems

Loumlsungsfaumllle bei linearen GleichungssystemenBei linearen Gleichungssystemen mit zwei Gleichungen und zwei Variablen gibt esdrei verschiedene Loumlsungsfaumllle

1 FallDas Gleichungssystem hat genau ein Zahlenpaar(x |y) x y isin ℝ als Loumlsung L = (x |y)Grafische InterpretationDie Loumlsungen der beiden Gleichungen stellenGeraden dar die einander im Punkt (x |y) schneiden

2 FallDas Gleichungssystem hat keine Loumlsung L = Grafische InterpretationDie Loumlsungen der beiden Gleichungen stellenparallele Geraden dar und haben daher keinenPunkt gemeinsam

3 FallDas Gleichungssystem hat unendlich viele Loumlsun-genz B L = (x |y) | y = minus2x + 4 x y isin ℝGrafische InterpretationDie Loumlsungen der beiden Gleichungen stellen diesel-be Gerade dar Jeder Punkt der auf dieser Geradenliegt ist Loumlsung des Gleichungssystems

924 Nein dennzwei Geradenkoumlnnen nur genaueinen oder garkeinenSchnittpunkthaben

ii

ii

ii

ii

192 10 Lineare Gleichungen und Gleichungssysteme mit zwei Variablen

924I2)H4K3 Ist es moumlglich dass ein lineares Gleichungssystem mit zwei Variablen genau 2

Loumlsungen hat Begruumlnde deine Antwort925 Sind k und dgleich dannfallen die beidenGeradenzusammenrArrunendlich vieleLoumlsungen Sinddie Steigungengleich aber dieAchsenabschnitteunterschiedlichdann sind diebeiden GeradenparallelrArr keineLoumlsung Sind dieSteigungenunterschiedlichso schneiden dieGeraden einanderrArr genau eineLoumlsung

925I2)H4K2 Uumlberlegt zu zweit Wie kann man aus den beiden Gleichungen eines Gleichungs-

systems die in der Form y = kx + d gegeben sind direkt ablesen (das heiszligt ohne dieZeichnungen anzufertigen) welcher Loumlsungsfall vorliegt Vergleicht dazu jeweils dieSteigungen k bzw die Achsenabschnitte d der beiden Gleichungen

926 a) gleiches kunterschiedliches drArr keine Loumlsungb) unterschiedli-ches krArr eineLoumlsung c) gleichesk gleiches drArrunendlich vieleLoumlsungend) gleiches kunterschiedliches drArr keine Loumlsung

926I2)H3K2 Welcher Loumlsungsfall liegt bei den gegebenen Gleichungssystemen vor Untersuche

durch Vergleich der Steigungen k und der Achsenabschnitte d ob das Gleichungssystemgenau eine Loumlsung unendlich viele Loumlsungen oder keine Loumlsung hata) I y = ndash2x + 6

II y = ndash 2x + 1b) I y =

14x + 4

II y = ndash2x + 4

c) I 2y = 6x + 12II y = 3x + 6

d) I y =13x ndash 1

II y =13x + 5

927 a) keineLoumlsungb) unendlich vieleLoumlsungenc) L = (ndash2|0)d) keine Loumlsung

927I2)H3K2 Forme die Gleichungen jeweils auf die Gestalt y = kx + d um Vergleiche dann die

Steigungen und die Achsenabschnitte der beiden Gleichungen und bestimme welcherLoumlsungsfall vorliegt Fuumlr den Fall dass es genau eine Loumlsung gibt ermittle diese Loumlsunggraphisch

a) I 3x + 2y = 9II 3x + 2y = 1

b) I32x + 4y = ndash2

II 3x + 8y = ndash4

c) I x + 2y = ndash2II x ndash 2y = ndash2

d) I ndash12x ndash y = ndash11

II 2x ndash 4y = ndash3

928 Richtliniendazu siehe Loumlsungvon Aufgabe 925

928I2)H1K3 Schreibe ein lineares Gleichungssystem an das

(1) genau eine Loumlsung(2) keine Loumlsung(3) unendlich viele Loumlsungen hat

929 I x + y = 5II -2x + y = 2S(1|4) ist dieLoumlsung

929I2)H3K3 Sara hat ein Gleichungssystem gra-

fisch geloumlst Rechts siehst du die Zeich-nung Wie lautet die Angabe WelcheKoordinaten hat der Schnittpunkt Wel-che Bedeutung hat er fuumlr dasGleichungs-system

I x + y = 5

II -2x + y = 2

Schnittpunkt S(1|4)

Bedeutung ist die Loumlsung

ii

ii

ii

ii

103 Rechnerisches Loumlsen linearer Gleichungssysteme 193

103 Rechnerisches Loumlsen linearer Gleichungssysteme

Im letzten Abschnitt hast du viele Gleichungssysteme gra-fisch geloumlst Durch dieses Loumlsungsverfahren kann man sehrviel uumlber lineare Gleichungssysteme lernen z B warum esniemals genau 2 Loumlsungen haben kann Wie jedes grafischeVerfahren hat es aber den Nachteil dass man sehr von dereigenen Zeichengenauigkeit abhaumlngig ist Selbst wenn mansich noch so bemuumlht Loumlsungen wie (0345| 261) wird maneiner haumlndischen Zeichnung nur unter groszligem Aufwand ent-nehmen koumlnnen Aber selbst wenn die Loumlsung ganzzahligist koumlnnen Schwierigkeiten auftreten Uumlberlege am Beispieldes Zahlenpaares (1|100)Beim computerunterstuumltzten Arbeiten koumlnnen durch Verschieben des Bildschirmaus-schnittes und Zoomen diese Probleme bewaumlltigt werden aber in Sachen Genauigkeitstoumlszligt man auch da an Grenzen Ein klarer Fall also dass auch rechnerische Loumlsungs-moumlglichkeiten gefragt sind

Wir kommen ein letztes Mal auf die Abschlussreise der 4B und der 4C zuruumlck die amAnfang dieses Kapitels (siehe S 184) vorgestellt wurde Uumlber die Zimmereinteilungfuumlr die 24 Maumldchen weiszlig man dass sie insgesamt 7 Zimmer benoumltigen und dass dieseZimmer Dreibett- und Vierbettzimmer sind Daraus ergibt sich das GleichungssystemI 3x + 4y = 24II x + y = 7

Ein Zahlenpaar (x|y) das Loumlsung des Gleichungssystems ist muss beide Gleichungenerfuumlllen Das heiszligt der Zusammenhang zwischen den Variablen x und y der sich auseiner Gleichung ergibt muss auch fuumlr die andere Gleichung geltenIm Gleichungssystem oben ergibt sich aus Gleichung IIx + y = 7 bzw x = 7 ndash yDas muss auch fuumlr Gleichung I geltenDaher duumlrfen wir in Gleichung I fuumlr x den Term 7 ndash y einsetzen3 sdot (7 ndash y) + 4y = 24und erreichen damit dass wir y aus einer linearen Gleichung mit einer Variable bestim-men koumlnnen

21 ndash 3y + 4y = 24y = 3

Wegen x = 7 ndash y erhalten wir fuumlr x = 7 ndash 3 = 4und damit als Loumlsung des Gleichungssystems das Zahlenpaar (4|3)

Beide Gleichungen sind erfuumlllt wie die Probe zeigtI 3 sdot 4 + 4 sdot 3 = 12 + 12 = 24II 4 + 3 = 7

ii

ii

ii

ii

194 10 Lineare Gleichungen und Gleichungssysteme mit zwei Variablen

Die beschriebenen Uumlberlegungen begruumlnden das so genannte EinsetzungsverfahrenIm folgenden Musterbeispiel im gelben Kasten sind die einzelnen Durchfuumlhrungsschrittezusammengefasst

Einsetzungsverfahren (= Substitutionsverfahren)I 3x + 4y = 24II x + y = 71 Druumlcke in einer der beiden Gleichungen x durch y aus

(Du kannst auch umgekehrt y durch x ausdruumlcken Mach das was einfacher ist)Gleichung II x = 7 ndash y

2 Durch Einsetzen des Terms in die andere Gleichung erhaumlltst du eine Gleichungmit einer VariablenGleichung I 3 sdot (7 ndash y) + 4y = 24

3 Loumlse diese Gleichung21 ndash 3y + 4y = 24y = 3

4 Setze die Loumlsung in den Term ein und ermittle die zweite Variablex = 7 ndash 3 = 4rArr L = (4|3)

ProbeI 3 sdot 4 + 4 sdot 3 = 12 + 12 = 24II 4 + 3 = 7

Es gibt fuumlr lineare Gleichungssysteme noch weitere Loumlsungsverfahren zwei davonwerden in den folgenden beiden Musterbeispielen vorgestellt

Gleichsetzungsverfahren (= Komparationsmethode)I 3x + 4y = 24II x + y = 71 Druumlcke in beiden Gleichungen x durch y aus

(Ebenso koumlnntest du wahlweise auch y durch x ausdruumlcken)I 3x = ndash4y + 24

x = ndash 43y + 8

II x = 7 ndash y2 Durch Gleichsetzen der beiden Terme erhaumlltst du eine Gleichung mit einer Va-

riablenndash 4

3y + 8 = 7 ndash y

3 Loumlse diese Gleichungndash 1

3y = ndash1

y = 34 Setze die Loumlsung in einen der beiden Terme aus 1 ein und ermittle die zweite

Variablex = 7 ndash 3 = 4rArr L = (4|3)

Vergiss die Probe nicht

ii

ii

ii

ii

103 Rechnerisches Loumlsen linearer Gleichungssysteme 195

Additionsverfahren1 Multipliziere die Gleichungen mit geeigneten Faktoren so dass bei einer Variable

entgegengesetzt gleiche Koeffizienten entstehenI 3x + 4y = 24II x + y = 7 |sdot(ndash4)

2 Durch Addieren der beiden Gleichungen erhaumlltst du eine Gleichung mit einerVariableI 3x + 4y = 24II ndash4x ndash 4y = ndash28

ndashx = ndash43 Loumlse diese Gleichung

x = 44 Setze die Loumlsung in eine der beiden Gleichungen ein und berechne die zweite

Variable4 + y = 7y = 3rArr L = (4|3)

Vergiss die Probe nicht (siehe Seite 194)

930 a) L =(ndash1|2)b) L =(0|4)c) L =(2|5)d) L =(10|20)

930I2)H2K1 Loumlse das Gleichungssystem mit dem Einsetzungsverfahren

Fuumlhre auch die Probe durcha) I x + 2y = 3

II ndash2x + y = 4b) I ndashx + 4y = 16

II 2x + y = 4c) I x ndash y = ndash3

II ndash12x ndash 2y = ndash11

d) I 7x + y = 90II ndash12x + 5y = ndash20

931 a) L =(4|1)b) L =(4|2)c) L =(ndash23|10)d) L =(ndash35|0)

931I2)H2K1 Loumlse das Gleichungssystem mit dem Gleichsetzungsverfahren

Fuumlhre auch die Probe durcha) I x ndash y = 3

II x + 2y = 6b) I ndash

14x + y = 1

II x + y = 6c) I x + 2y = ndash3

II x ndash 3y = ndash53d) I x + 3y = ndash35

II ndash5x + 3y = 175

932a) L =(17|ndash103)b) L =(10|14)c) L =(8|0)d) L =(18|21)

932I2)H2K1 Loumlse das Gleichungssystem mit dem Additionsverfahren

Fuumlhre auch die Probe durcha) I 3x + 2y = ndash155

II 2x ndash 5y = 549b) I 7x ndash y = 56

II ndash8x + 3y = ndash38c) I 5x + 11y = 40

II 6x ndash 12y = 48d) I 10x ndash 3y = 117

II 20x + 4y = 444

933 a) L =(02|18)b) L =(16|3)c) L =(17|10)d) L =(ndash04|05)

933I2)H2K1 Loumlse das Gleichungssystem mit jenem Loumlsungsverfahren das am besten (fuumlr dich)

passt Vergiss die Probe nicht

a) I x + y = 2II x + 6y = 11

b) I 5x + 2y = 14II ndash5x ndash 3y = ndash17

c) I 6x + y = 202II 7x ndash 3y = ndash181

d) I x + 11y = 51II x ndash 10y = ndash54

ii

ii

ii

ii

196 10 Lineare Gleichungen und Gleichungssysteme mit zwei Variablen

934 (1)1 (1| minus 4)(2) (5|8)(3) (minus05| minus 3)(4) (minus25|0)

934I2)H2K1 Ordne den Gleichungssystemen die richtige Loumlsung zu

(1) 7x + y = 3 (minus05| minus 3)minusx + 5y = minus21

(2) x = yndash3 (5|8)xndash2y = minus11

(3) y = 4xndash1 (minus25|0)y = minus2xndash4

(4) minus4x + 7y = 10 (1| minus 4)2xndash3y = minus5

935 (2|5)935I2)H2

K1

Gleichungssystem Gegeben ist das folgende Gleichungssystem

I x + 2y = 12II 2x + 5y = 29

Loumlse dieses Gleichungssystem

936 c = 3 d = 4936I2)H2

K1

Zwei Gleichungen Loumlse das GleichungssystemI 3c ndash 4d = ndash 7II c = d ndash 1

937 a) L = b) L = (13|ndash55)c) L = (x|y)|y = 1

2x

ndash 74 xy isin R

d) L =

937I2)H2K2 Gib die Loumlsungsmenge des Gleichungssystems an

Achtung Nicht jedes der Gleichungssysteme ist eindeutig loumlsbar

a) I ndash3x ndash 10y = 0II 15x + 5y = 1

b) I 8x ndash 7y = 1425II ndash9x + 2y = ndash128

c) I 2x ndash 4y = 7II ndash6x + 12y = ndash21

d) I ndash06x + 12y = 08II 18x ndash 36y = ndash28

938I2)H1K3 Gib ein lineares Gleichungssystem an das

a) die Loumlsung (4|1) b) die Loumlsung (minus2|5) c) keine Loumlsung hat

939 Alle beruhendarauf dasssowohl derZusammenhangzwischen denbeiden Variablender sich ausGleichung I ergibtals auch derZusammenhangder sich ausGleichung II ergibterfuumlllt sein muss

939I2)H4K3 Erklaumlre was der Hintergrund der drei Verfahren ist

ii

ii

ii

ii

104 Textaufgaben zu linearen Gleichungssystemen 197

104 Textaufgaben zu linearen GleichungssystemenVerwende beim Loumlsen der in den folgenden Aufgaben auftretenden Gleichungssystemejenes Loumlsungsverfahren das dir am geeignetsten erscheint

940 a) x + y = 1585x + 65y = 95548 Schuumllerinnenund110 Erwachseneb) 104 Schuumllerin-nen und92 Erwachsene

940I2)H2K1 Der Eintritt zu einer Greifvogelschau kostet fuumlr Schuumllerinnen

500 euro fuumlr Erwachsene 650 euro Das Verwaltungsbuumlro der Greifvo-gelstation moumlchte wissen wie die Aufteilung der Zuschauer aufErwachsene und Schuumllerinnen war An der Kassa hat man abernur die Gesamtanzahl an verkauften Karten und die Einnahmenregistriert Berechne aus diesen Aufzeichnungen wie viele Er-wachsene bzw Schuumllerinnen die Flugshow besucht haben

a) Vormittagsvorstellung 158 Karten Einnahmen 955ndash eurob) Nachmittagsvorstellung 196 Karten Einnahmen 1118ndash euro

941 x + y = 27065x + 4y = 1485162 Karten fuumlrErwachsene und108 Schuumllerinnen-Karten

941I2)H2K1 Bei der Auffuumlhrung eines Schultheaters werden an der Abendkassa Karten zu

650 euro fuumlr Erwachsene und Karten zu 4 euro fuumlr Schuumllerinnen verkauft Insgesamt wurden270 Karten verkauft und 1485 euro eingenommen Wie viele Schuumllerinnenkarten und wieviele Karten fuumlr Erwachsene wurden verkauft

9423 Gleichungssystem

942I2)H3K1 Wie Aufgabe 941 fuumlr insgesamt 171 verkaufte Karten und 879 euro EinnahmenWelches

Gleichungssystem passt zum Text Kreuze an

times I e + s = 879II 650e + 4s = 171

I e + 4s = 171II 650e + s = 879

I e + s = 171II 650e+4s = 879

I 4s + s = 171II 650e + e = 879

943 (1) DerHinflug erfolgt mitRuumlckenwind derRuumlckflug mitGegenwind Jadenn bei allenLangstreckenfluuml-gen wirken sich dieLuftstroumlmungenauf die Flugzeit ausWien ndash New York910 h New York ndashWien 845(Abfragewwwauacom2552009) (2)Wien ndash Tokio821 kmh Tokio ndashWien 764 kmh(3) Eigengeschwin-digkeit desFlugzeuges7925 kmh Wind-geschwindigkeit285 kmh

943I2)H2K1 diams Waumlhrend des Langstreckenfluges Wien ndash To-

kio werden den Passagieren uumlber Bildschirme Rei-seinformationen geboten Zu Beginn der Reise wirddie Distanz zwischen Wien und Tokio mit 9164 kmangegeben die voraussichtliche Flugzeit mit 1110h Frau Schindler vergleicht mit ihren Fluginforma-tionen fuumlr den Ruumlckflug Dort wird die Flugzeit fuumlrTokio ndash Wien mit 1200 h angegeben obwohl sie wie-der mit demselben Flugzeugtyp fliegen wird(1) Warum unterscheiden sich die Flugzeiten zwischen Hinflug und Ruumlckflug so deut-lich Ist das auch bei anderen Langstreckenfluumlgen so Frage im Internet die Flugzeitenfuumlr den Transatlantikflug von einem europaumlischen Flughafen nach New York hin undzuruumlck ab(2) Berechne die durchschnittliche Fluggeschwindigkeit fuumlr die angegebenen FlugzeitenWien ndash Tokio bzw Tokio ndash Wien(3) Berechne die (durchschnittliche) Eigengeschwindigkeit des Flugzeuges und die(durchschnittliche) erwartete Windgeschwindigkeit die der Angabe der Flugzeit zu-grunde liegen

ii

ii

ii

ii

198 10 Lineare Gleichungen und Gleichungssysteme mit zwei Variablen

944(1) Hinflug764 kmhRuumlckflug 836 kmh(2) Eigengeschwin-digkeit desFlugzeuges800 kmh Windge-schwindigkeit36 kmh

944I2)H2K1 diams Die Flugzeit fuumlr den Flug Frankfurt ndash Chicago

wird im Internet von einer Fluglinie mit 908 h an-gegeben die Flugzeit fuumlr den Ruumlckflug mit dem-selben Flugzeugtyp mit 821 h Die Entfernungzwischen Frankfurt und Chicago betraumlgt 6978 km(1) Berechne die durchschnittlichen Fluggeschwin-digkeiten fuumlr die angegebenen Flugzeiten fuumlr Hin-und Ruumlckflug(2) Berechne die (durchschnittliche) Eigengeschwindigkeit des Flugzeuges und die(durchschnittliche) erwartete Windgeschwindigkeit die der Angabe der Flugzeit zu-grunde liegen

Kommen zwei Systeme (z B Fluumlssigkeiten) mit unterschiedlicher Temperatur zusam-men so gleichen sich ihre Temperaturen durch Waumlrmeaustausch an Waumlrme flieszligtdabei immer vom waumlrmeren zum kaumllteren System so lange bis beide Systeme diegleiche Temperatur habenMischt man einen Liter Wasser mit einer Temperatur von 10 mit einem Liter Was-ser mit einer Temperatur von 20 so entstehen 2 Liter Wasser mit der mittlerenTemperatur von 15

94566 Liter aus demWasserboiler und84 Liter aus demKaltwasserzufluss

945I2)H2K1 ⋆ In einem Niedrigenergiehaus steht ein solar-

beheizter Wasserboiler zur Verfuumlgung Nach einemsonnigen Tag wird eine Wassertemperatur von 64angezeigt Eine Badewanne soll mit 150 Litern Was-ser gefuumlllt werden die erwuumlnschte Temperatur ist37 Wie viele Liter muumlssen aus dem solarbeheiztenBoiler und wie viele Liter aus einem Kaltwasserzu-fluss (16 ) zuflieszligen Runde auf ganze Liter

946 12 Liter 946I2)H2K1 ⋆ An einem heiszligen Sommertag ist die Temperatur in einem 100-Liter-Aquarium

auf 27 angestiegen Wie viel Liter Wasser muss man entnehmen und durch 10 kaltes Wasser ersetzen damit wieder die fuumlr die Fische passende Temperatur von 25 erreicht wird(Tipp Wenn von den 100 Litern x Liter entnommen werden so ist das genau jeneWassermenge mit 10 die zur verbleibenden Wassermenge (y Liter) hinzukommt)

Zahlenraumltsel

947a) x + y = 131 undx minus v = 43b) x = y + 5 und2v + x = 83

947I2)H2K1 Uumlbersetze den Text jeweils in zwei lineare Gleichungen und loumlse das Gleichungs-

system um die beiden gesuchten Zahlen zu ermitteln Fuumlhre auch die Probe durcha) Die Summe zweier Zahlen ist 131 Ihre Differenz betraumlgt 43b) Eine Zahl ist um 5 groumlszliger als die andere Addiert man zum Doppelten der kleinerenZahl die groumlszligere Zahl erhaumllt man 83

ii

ii

ii

ii

104 Textaufgaben zu linearen Gleichungssystemen 199

948 a) 150 und 50b) 8 und 28

948I2)H2K1 Wie Aufgabe 947

a) Eine Zahl ist dreimal so groszlig wie eine zweite Zahl Die Differenz der beiden Zahlenbetraumlgt 100b) Die Differenz zweier Zahlen ist 20 Addiert man zum Dreifachen der kleineren Zahldas Doppelte der groumlszligeren Zahl erhaumllt man 80

949 13 und 9949I2)H2K1 ⋆ Die Differenz zweier Zahlen betraumlgt 4 Verringert man die groumlszligere der beiden

Zahlen um 1 und vergroumlszligert die kleinere um 2 so wird das Produkt um 15 groumlszliger Wielauten die beiden Zahlen

950 27 und 42950I2)H2K1 ⋆ Die Summe zweier Zahlen ist 69 Vergroumlszligert man eine Zahl um 3 und verringert

die andere um 5 so wird das Produkt um 24 kleiner Berechne die beiden Zahlen

Aufgaben aus der Geometrie

951 a) a = 23 cmb = 13 cmb) a =24 cmb = 12 cm

ef

a

b

951I2)H2K1 Die laumlngere Seite eines Parallelogramms ist

a) um 10 cm laumlnger als die kuumlrzere Seiteb) doppelt so lang wie die kuumlrzere SeiteDer Umfang des Parallelogramms ist 72 cmBerechne die Seitenlaumlngen des Parallelogramms

952 I α + 54 = γ II 2α + γ = 180α = β = 42deg γ = 96degb

A c

a

C

B

952I2)H2K1 In einem gleichschenkligen Dreieck ist ein Basiswinkel (α = β

vergleiche mit der Skizze) um 54deg kleiner als der Winkel γ Ermittle dieGroumlszlige der Winkel des gleichschenkligen Dreiecks Fuumlhre auch die Probedurch

953 Basis 32 cmSchenkel 21 cm

953I2)H2K1 Die Basis eines gleichschenkligen Dreiecks ist um 11 cm laumlnger als die Schenkel-

laumlnge Der Umfang des Dreiecks ist 74 dm Wie lang sind Basis und Schenkel diesesgleichschenkligen Dreiecks

954 Basis 18 cmSchenkel 21 cm

954I2)H2K1 Der Umfang eines gleichschenkligen Dreiecks betraumlgt 60 cm Die Basis ist um

3 cm kuumlrzer als eine Schenkellaumlnge Berechne die Laumlnge der Basis und der Schenkel

955 b = 21 cml = 35 cm

955I2)H2K1 In einem Rechteck verhalten sich die Seiten wie 35 Der Umfang des Rechtecks

ist 112 cm Wie breit und wie lang ist das Rechteck

956 Erfinde eine aumlhnliche Aufgabenstellung wie die in 955Deine Nachbarindein Nachbar soll sie loumlsen

957 (1) b = 8 cml = 18 cm (2) einQuadrat mits = 12 cm

957I2)H2K1 ⋆ Die Seiten eines Rechtecks verhalten sich wie 49 Verlaumlngert man die kuumlrzere

Seite um 4 cm und verkuumlrzt die laumlngere Seite um 6 cm so bleibt der Flaumlcheninhaltunveraumlndert(1) Wie lang und wie breit ist das urspruumlngliche Rechteck(2) Wie lang sind die Seiten des veraumlnderten RechtecksWelche besondere Form liegt vor

ii

ii

ii

ii

200 10 Lineare Gleichungen und Gleichungssysteme mit zwei Variablen

958 a) y = ndashx +3

b) y = 135x + 4

5

958I2)H2K1 Wie lautet die Gleichung jener Geraden g die durch die beiden gegebenen Punkte

geht

A(ndash2|5) B(3|1)Da beide Punkte auf der Geraden g liegenerfuumlllen sie die Gleichung y = kx + dWir setzen daher die Koordinaten der Punkte fuumlr x und y ein und erhalten ein linearesGleichungssystem mit den Variablen k und dA liegt auf g rArr I 5 = ndash2k + d | sdot (ndash1)B liegt auf g rArr II 1 = 3k + d rceil+

(ndash1) sdot I ndash5 = 2k ndash d rfloorndash4 = 5kk = minus 4

5minus 4

5eingesetzt in Gleichung I ergibt

5 = ndash2 sdot 1114100minus 451114103 +d rArrd = 5 ndash

85= 17

5Die Gleichung der Geraden g die durch die beiden Punkte A und B verlaumluft lautetdaher

g y = minus 45k +

175

a) A(2|1) B(ndash1|4) b) R(ndash3|ndash7) S(2|6)

959 a) y = minus 25x + 2

b) y = minus 74x + 5

c) y = 109x + 1

9

d) y = 56x ndash 5

959 Stelle die Gleichung jener Geraden auf die durch die gegebenen beiden Punktegehta) A(ndash20|10) B(5|0) b) C(0|5) D(4|ndash2) c) E(8|9) F(ndash1|ndash1) d) G(6|0) H(0|ndash5)

105 Ausblick und Exercises1051 Ausblick

960 (1)a = 104 cmha = 78 cm (2) Eshandelt sich nichtum ein linearesGleichungssystemEinsetzungsverfah-ren undGleichsetzungsver-fahren koumlnnen zurAnwendungkommenAdditionsverfahrenund grafischesLoumlsungsverfahrennicht

960I2)H2K1 ⋆ In einemDreieck verhalten sich eine Seite und ihre Houmlhe wie 43 Der Flaumlcheninhalt

des Dreiecks betraumlgt 4056 cm2(1) Berechne die Seitenlaumlnge und die Houmlhe(2) Inwiefern unterscheidet sich das Gleichungssystem in (1) von den anderen bisjetzt behandelten Welche Loumlsungsverfahren koumlnnen zur Anwendung kommen welchenichtWie Aufgabe 960 zeigt gibt es auch andere als nur lineare Gleichungssysteme Mit demEinsetzungsverfahren kann man auch diese loumlsen Das Additionsverfahren ist dafuumlrnicht geeignetBei komplexen Sachverhalten mit hoher Anwendungsrelevanz kommt man in der Regelnicht mit einem Gleichungssystem das nur zwei Gleichungen enthaumllt aus Beispiels-weise fuumlhren Messreihen in der Chemie oder Physik haumlufig auf Gleichungssysteme dieaus mehreren Gleichungen mit mehreren Variablen bestehenDie Loumlsungsverfahren wie du sie kennengelernt hast sind auch fuumlr solche Gleichungs-systeme erweiterbar In der Praxis wird der oft hohe Rechenaufwand mit geeigneterSoftware am Computer (siehe Kap 145 S 265) bewaumlltigt

ii

ii

ii

ii

105 Ausblick und Exercises 201

1052 Exercises

vocabularysystem of linear equations lineares Gleichungssystemsolution Loumlsunggraphing zeichnensubstitution das Ersetzen Einsetzenaddition method hier Additionsverfahrento solve loumlseninfinitely-many unendlich viele

961 (ndash5|1) is asolution of thegiven equation

961I2)H3K2 Determine whether either of the points (1|ndash5) and (ndash5|1) is a solution to the given

system of equationsndash6x + y = 315x + 7y = ndash18

962I2)H3K1 Fill in

infinitely-many (2x) ndash two ndash three (2x) ndash one (2x) ndash no solution ndash none

For systems of linear equations (two variables two equations) there are threepossible types of solutions

The system may have one solution (a specific point (x|y))

no solution at all or

infinitely-many solutions

There is no such system with two or three solutions

You will always have one none

or infinitely-many solutions

963 L = (0|3)963I2)H2K2 Solve the following system by graphing

x + 4y = 12ndash10x + 5y = 15

964 L = (ndash50|100)964I2)H2K2 Solve the following system by substitution

ndash3x + y = 2507x + 10y = 650

965 L = (35|ndash8)965I2)H2K2 Solve the following system using the addition method

6x + 11y = ndash678x ndash 3y = 52

966 98 and 41966I2)H2K2 The difference of two numbers is 57 The sum of these two numbers is 139 Which

numbers are we referring to

967 (12|1) and(1|0)

967I2)H2K1 Which are correct solutions to the equation 5x + 4y = 5

times times(12|1) (2| + 12) (04|05) (1|0)

ii

ii

ii

ii

202 10 Lineare Gleichungen und Gleichungssysteme mit zwei Variablen

106 Mathe fit und kompetent ndash Kompetenzcheck

968 Richtig sindm + b = 21 undm minus 2b

2m + b = 21 m + 2b = 21 m + b = 21 timesm = 2b timesb = 2m

968I2)H3K1 In einer Klasse mit 21 Kindern gibt es doppelt so viele

Maumldchen wie BubenDie Anzahl der Maumldchen wird mit m bezeichnet die Anzahl derBubenmit b Kreuze jeneGleichung(en) an die zur beschriebenenKlasse passen

969I2)H1K1 Schreibe den Text in Form eines linearen Gleichungssystems an

a) Bei einer Flugreise wiegt Deryas Koffer um 7 kg mehr als ihr Handgepaumlck Insgesamthaben die beiden Gepaumlckstuumlcke 23 kg

I k = h + 7

II k + h = 23b) Eine Zahl ist um 7 groumlszliger als die andere Subtrahiert man vom Doppelten dergroumlszligeren Zahl die kleinere erhaumllt man 20

I x = y + 7

II 2x minus y = 20

970I2)H1K3 Erfinde einen kurzen Text der sich durch eine lineare Gleichungmit zwei Variablen

darstellen laumlsst

971 (1) (minus05|3)(2) (5|0) (3) (1| minus 7)(4) (0|4)

971I2)H2K1 Verbinde die Gleichungssysteme mit der jeweils richtigen Loumlsung

(1) 2x + y = 2 (1| minus 7)minus8x minus 2y = minus2

(2) 4x + 6y = 20 (0|4)minusx + y = minus5

(3) 2x + y = minus5 (minus05|3)minus8x minus 2y = 6

(4) x + 2y = 8 (5|0)10x minus y = minus4

972 a) (6| minus 5)b) (04|1)

972I2)H2K1 Loumlse das Gleichungssystem und fuumlhre auch die Probe durch

a) I 3x + 4y = minus2 b) I 5x minus 4y = minus2II x minus y = 11 II minus2x + 6y = 52

973 L = (ndash2|1) 973I2)H2K2 Loumlse das Gleichungssystem (1) graphisch und (2) rechnerisch

I minus3x + 2y = 8II 2x + 4y = 0

ii

ii

ii

ii

106 Mathe fit und kompetent ndash Kompetenzcheck 203

974I2)H3K2 (1) Welches Gleichungssystem ist in der Grafik dargestellt Kreuze an

I y = 34xndash4

II y = 13x + 1

I y = 43x + 4

II y = minus 13xndash1

I y = xndash4II y = 1

3x + 1

I y = 43x minus 4

II y = minus 13x + 1

times

(2) Wie lautet die Loumlsung dieses Gleichungssystems (3|0)

975 Keine LoumlsungDie beidenGleichungenstellen paralleleGeraden dar dahergibt es keinZahlenpaar dasbeide Gleichungenerfuumlllt975I2)H4

K2 Wie viele Loumlsungen hat das angeschriebene GleichungssystemVersuche zu antworten ohne ein Loumlsungsverfahren anzuwendenBegruumlnde deine Antwort

I x + y = 1II 2x + 2y = 3

976 SieheZusammenfassungder Loumlsungsfaumllleauf Seite 191

976I2)H4K3 Erklaumlre Warum hat ein lineares Gleichungssystem mit zwei Variablen entweder

genau eine keine oder unendlich viele Loumlsungen977 3 und 4Gleichungssystem

977I2)H3K1 In einem Rechteck verhalten sich die Seiten wie 4 ∶ 7 Der Umfang ist 55 cm

Zwei der folgenden Gleichungssysteme beschreiben den Sachverhalt richtig Kreuze anwelche

times timesI b ∶ l = 4 ∶ 7II 4b + 7l = 55

I 4l = 7bII b + l = 55

I b ∶ l = 4 ∶ 7II 2b + 2l = 55

I 4l = 7bII 2(b + l) = 55

978 1 kg Mehlkostet 15 euro 1 kgZucker kostet 1 euro

978I2)H2K2 Tom kauft 2 kg Mehl und 1 kg Zucker und bezahlt dafuumlr 4 Euro Anna kauft 1 kg

Mehl und 3 kg Zucker und bezahlt dafuumlr 45 Euro Wie viel kostet 1 kg Mehl Wie vielkostet 1 kg Zucker

979 (1) Esbesuchten viermalso vieleErwachsene wieKinder dieAusstellung (2)Insgesamtbesuchten 680Personen dieAusstellung (3) Eshaben um 240mehr Kinder alsErwachsene dieAusstellungbesucht

979I2)H3K1 Im Folgenden steht jeweils k fuumlr die Anzahl der Kinder und e fuumlr die Anzahl

der Erwachsenen die eine Ausstellung besucht haben Schreibe in Worten was dieGleichungen uumlber den Ausstellungsbesuch von Erwachsenen und Kindern aussagen(1) Montag e = 4k (2) Dienstag k + e = 680 (3) Mittwoch e + 240 = k

980 800 kmh70 kmn

980I2)H2K2 Ein Flugzeug erreicht mit Ruumlckenwind eine Geschwindigkeit von 870 kmh bei

(gleichstarkem) Gegenwind kommt es nur auf 720 kmh Berechne die Eigengeschwin-digkeit des Flugzeugs und die Windgeschwindigkeit

981I2)H1K3 Schreibe ein lineares Gleichungssystem an das die Loumlsung (2|5) hat

ii

ii

ii

ii

101 Eine lineare Gleichung mit zwei Variablen 185

Dann istdie Anzahl der in Dreibettzimmern untergebrachten Maumldchen 3x die Anzahl der in Vierbettzimmern untergebrachten Maumldchen 4y Da es insgesamt 24 Maumldchen sind laumlsst sich der Sachverhalt durch die Gleichung3x + 4y = 24 darstellenEine solche Gleichung heiszligt einelineare Gleichung mit zwei Variablen (x und y)Die Loumlsung einer solchen Gleichung wird als geordnetes Zahlenpaar (x |y) angeschrie-benZ B ist das Zahlenpaar (4|3) eine Loumlsung der Gleichung 3x + 4y = 24 weil es dieGleichung erfuumllltEs gilt naumlmlich 3 sdot 4 + 4 sdot 3 = 24 und das ist eine wahre AussageDie Menge aller Zahlenpaare die beim Einsetzen in die Gleichung eine wahre Aussageliefern heiszligt die Loumlsungsmenge der Gleichung

Da wir die Maumldchen nicht zerteilen koumlnnen lassen wir fuumlr die Loumlsungen der Gleichungnur natuumlrliche Zahlen zu die Grundmenge G besteht daher aus den natuumlrlichenZahlen G = ℕFuumlr G = ℕ besteht die Loumlsungsmenge aus den drei ZahlenpaarenL = (8|0) (4|3) (0|6)Denn nur diese drei Zahlenpaare (G = ℕ) liefern eingesetzt in die Gleichung einewahre Aussage Damit ist die Aufgabe geloumlst

Laumlsst man aber losgeloumlst von der urspruumlnglichen inhaltlichen Aufgabenstellung die re-ellen Zahlen als Loumlsungen der Gleichung zu also G = ℝ so hat die Gleichung unendlichviele LoumlsungenDenn zu jedem beliebigen Wert fuumlr x isin ℝ laumlsst sich der zugehoumlrige y-Wert berechnenz B x = 42eingesetzt in die Gleichung3 sdot 42 + 4y = 24rArr 4y = 114rArr y = 285Das Zahlenpaar (42|285) ist daher eine Loumlsung derGleichung (fuumlr die Grundmenge G = ℝ)Analog kann man zu jedem anderen x-Wert den zugehoumlrigen y-Wert berechnen bzwauch umgekehrt zu jedem y-Wert den zugehoumlrigen x-WertAllgemein gilt4y = minus3x + 24y = minus 3

4x + 6

Die Loumlsungsmenge fuumlr G = ℝ besteht daher aus unendlich vielen Zahlenpaaren Da mansie nicht alle auflisten kann wird die Loumlsungsmenge in folgender MengenschreibweiseangegebenL = (x |y) | y = minus 3

4x + 6 x isin ℝ y isin ℝ

Das bedeutetrdquoDie Loumlsungsmenge L besteht aus allen Zahlenpaaren (x |y) fuumlr die der

Zusammenhang y = minus 34x + 6 besteht x und y sind reelle Zahlenldquo

ii

ii

ii

ii

186 10 Lineare Gleichungen und Gleichungssysteme mit zwei Variablen

Grafische Interpretation der Loumlsungsmenge

Eine Gleichung der Form y = kx + dist die Funktionsgleichung der linea-ren Funktion Der Graph dieser Funkti-on ist eine Gerade (vgl Kapitel 96 aufS 171) Daher laumlsst sich die Loumlsungs-menge jeder linearenGleichungmit zweiVariablen fuumlr die Grundmenge G = ℝgrafisch als Gerade darstellenFuumlr das Beispiel 3x + 4y = 24 umge-formt y = minus 3

4x + 6 ist die Gerade in

der Zeichnung dargestellt

Lineare Gleichung mit zwei VariablenEine Gleichung mit zwei Variablen x y isin ℝ der Gestalt

ax + by = c mit a b c isin ℝ a ne 0 b ne 0

heiszligt eine lineare Gleichunga und b heiszligen die Koeffizienten von x bzw yJede lineare Gleichung kann man durch Umformen auch in der Gestalt

y = kx + d

darstellenDie Loumlsungsmenge der Gleichung besteht aus allen geordneten Zahlenpaaren(x |y) x y isin ℝ welche die Gleichung erfuumlllenGrafisch dargestellt ergeben diese Zahlenpaare eine Gerade

902 3x + 4y = 23(1|5) (5|2)

902I2)H1K1 Welche Moumlglichkeiten der Aufteilung auf Dreibettzimmer und Vierbettzimmer gibt

es fuumlr die 23 Burschen der beiden vierten Klassen Schreibe die zur Aufgabenstellungpassende Gleichung an und schreibe alle Moumlglichkeiten in Form von zur Gleichungpassenden geordneten Zahlenpaaren auf

903 DasZahlenpaar (3|5)meint x = 3 undy = 5 DasZahlenpaar (5|3)meint x = 5 undy = 3

903I2)H4K1 Erklaumlre warum die Loumlsung einer linearen Gleichung mit zwei Unbekannten als

geordnetes Zahlenpaar angegeben werden muss also die Reihenfolge wichtig ist Worinliegt der Unterschied z B zwischen (3|5) und (5|3)

904 a) x Anzahlder 2 euro-Lose yAnzahl der5 euro-Lose2x + 5y = 30b) (0|6) (5|4)(10|2) (15|0) c) Die4 Zahlenpaare ausb) als Punkte imKoordinatensystemeingezeichnet

904I2)H1K2 Bei einem Schulfest organisiert die 4A gemeinsam mit der 7A eine Tombola Es

werden Lose zu 2 euro und 5 euro angeboten Da der Erloumls der Tombola einem guten Zweckzugutekommt ist Toms und Saras Mutter bereit 30 euro in den Loskauf zu investierenWelche Moumlglichkeiten fuumlr die Zusammensetzung aus 2-euro-Losen und 5-euro-Losen hat siea) Stelle eine passende Gleichung aufb) Gib die Loumlsung in Form von Zahlenpaaren anc) Stelle die Loumlsung grafisch im Koordinatensystem darBeachte Tipp 101

ii

ii

ii

ii

101 Eine lineare Gleichung mit zwei Variablen 187

Tipp 101Achte bei der grafischen Darstellung der Loumlsungsmenge einer linearen Gleichung mitzwei Variablen darauf ob die Grundmengeℕ oder ℝ ist Fuumlr G = ℝ ist die grafischeDarstellung der Loumlsungsmenge eine Gerade waumlhrend sie fuumlr G =ℕ nur aus einzelnenPunkten besteht 905 (1)

4x + y = 841(2)(50|641)(100|441) (120|361)(3) ndash (4) Sie liegenalle auf jenerGeraden die durchdie in (3)eingezeichnetenPunkte verlaumluftNur natuumlrlicheZahlen kommenals Koordinaten derPunkte in Frage

905I2)H1K2 Bei einem Laufbewerb haben sich insgesamt

841 Laumlufer angemeldet Es gibt einen Teambewerbfuumlr Teams mit jeweils vier Laumlufern und einen Bewerbfuumlr Einzellaumlufer Wie viele Teams und wie viele Ein-zellaumlufer haben sich angemeldet(1) Stelle den Text durch eine lineare Gleichung mitzwei Variablen dar(2) Gib mindestens 3 Loumlsungen an(3) Zeichne die drei Loumlsungen aus (2) in einem geeigneten Koordinatensystem ein(4) Beschreibe in Worten wo im Koordinatensystem alle weiteren Loumlsungen liegen

906 a) (1) L =(x|y)|y = minus 4

9x + 3

xy isin ℝ (3)(0|3)(9|ndash1)(ndash9|7)b) (1) L = (x|y)|y =32x + 2 xy isin ℝ(3) (0|2)(2|5)(4|8)c) (1) L = (x|y)|y =ndash6x + 2 xy isin ℝ(3)(0|2)(ndash1|8)(1|ndash4)d) (1) L = (x|y)|y =x xy isin ℝ (3)(0|0)(1|1)(2|2)

906 (1) Gib die Loumlsungsmenge der linearen Gleichung fuumlr G = ℝ an(2) Stelle die Loumlsungsmenge grafisch dar(3) Gib mindestens 3 ganzzahlige Zahlenpaare an die Loumlsungen der Gleichung sind

a) 4x + 9y = 27 b) ndash30x + 20y = 40c) x +

16y =

13

d) ndashx +y = 0

907I2)H1K1 Stelle den Text durch eine lineare Gleichung mit zwei Variablen dar und gib min-

destens zwei Loumlsungen fuumlr G =ℕ anAuf einer Berghuumltte gibt es Zimmerlager fuumlr je 4 Personen und Matratzenlager fuumlr je10 Personen Insgesamt koumlnnen 64 Personen in dieser Huumltte uumlbernachten Wie vieleZimmerlager und wie viele Matratzenlager gibt es 4x + 10y = 64 (6|4) oder (1|6)

908a) 6x + 8y =200(25|0) (22|4) (19|8)(16|12) (13|16)(10|20) (7|24) (4|28)oder (1|32)b) 150x + 060y = 9(2|10) oder (4|5)

908I2)H1K1 Wie Aufgabe 907 fuumlr den Text

a) Ein Veranstaltungssaal ist fuumlr 200 Personen zugelassen Wie viele Tische fuumlr 6Personen und wie viele Tische fuumlr 8 Personen koumlnnen insgesamt houmlchstens aufgestelltwerdenb) Sara kauft Stifte zu je 150 euro und Hefteinbaumlnde zu je 060 euro Insgesamt bezahlt sie 9 euro

909 a) b = 2m undm = b

2b) 8

Maumldchen 16Burschen

909I2)H3K1 In eine Klasse gehen doppelt so viele Burschen wie Maumldchen

a) Welche der Gleichungen beschreibtbeschreiben den Sachverhalt richtig

times times 2b = m b = 2m m = b

2b = m ∶ 2

b) Wie viele Maumldchen bzw Burschen gehen in diese Klasse wenn sie insgesamt 24Schuumllerinnen hat

910I2)H1K1 Erfinde zu der Gleichung jeweils einen passenden Text und gib mindestens zwei

ganzzahlige Loumlsungen ana) x + y = 30 b) 2x + 3y = 11c) x = 3y d) x =

12y

ii

ii

ii

ii

188 10 Lineare Gleichungen und Gleichungssysteme mit zwei Variablen

102 Grafisches Loumlsen linearer Gleichungssysteme

Zu Beginn des letzten Abschnitts hast du uumlber die geplanteReise der 4B und der 4C erfahren Die 24Maumldchenmusstenuumlberlegen wie sie sich auf die Drei- und Vierbettzimmeraufteilen werden Endlich haben sie sich geeinigt

rdquoWie

viele Dreibettzimmer und wie viele Vierbettzimmer sollich denn nun fuumlr euch bestellenldquo fragt die Lehrerin dieden Schlussausflug leitet

rdquoDuumlrfen wir Ihnen ein Raumltsel

stellenldquo fragen die Maumldchen grinsend zuruumlckrdquoEigent-

lich wollte ich ja rasch die Organisation abschlieszligen aberwenn es ein gutes Raumltsel ist dann her damitldquo antwortet die Lehrerin

rdquoWir haben die

Zimmer so eingeteilt dass wir insgesamt 7 Zimmer brauchenldquo sagt Sara

9114 Dreibettzimmerund3 Vierbettzimmer

911 Wie viele Dreibett- und Vierbettzimmer muss die Lehrerin nun tatsaumlchlich fuumlr dieMaumldchen bestellen wenn es insgesamt 7 Zimmer sein sollen Wenn du die Ergebnisseaus Aufgabe 901 verwendest ist die Loumlsung besonders einfach

Urspruumlnglich hatten die Maumldchen drei Moumlglichkeiten die Zimmer einzuteilen Durchdie neue Information dass die Maumldchen insgesamt 7 Zimmer benoumltigen bleibt nur eineMoumlglichkeit als Loumlsung uumlberAuch diese neue Information laumlsst sich als lineare Gleichung anschreiben man erhaumllt sozwei lineare Gleichungen zu einem Sachverhalt

Urspruumlngliche InformationFuumlr 24 Maumldchen stehen Dreibett- und Vierbettzimmer zur Verfuumlgung3x + 4y = 24 (vgl mit Seite 185)Neue InformationDie Maumldchen benoumltigen insgesamt 7 Zimmerx + y = 7Insgesamt erhaumllt man ein lineares Gleichungssystem mit zwei VariablenI 3x + 4y = 24II x + y = 7

912 DasZahlenpaar mussbeide Gleichungenerfuumlllen d heingesetzt muss fuumlrbeide Gleichungeneine wahreAussage entstehen

912I2)H4K3 Uumlberlegt zu zweit Welche Bedingungen muss ein Zahlenpaar (x|y) erfuumlllen damit

es Loumlsung eines Gleichungssystems also von beiden Gleichungen eine Loumlsung ist

Lineares GleichungssystemZwei zusammengehoumlrende lineare Gleichungen mit zwei Variablen bilden einlineares Gleichungssystem

I a1x + b1y = c1II a2x + b2y = c2

Ein Zahlenpaar (x |y) ist Loumlsung des Gleichungssystems wenn es beide Gleichungenerfuumlllt

ii

ii

ii

ii

102 Grafisches Loumlsen linearer Gleichungssysteme 189

913 (minus1|2)(1|10) (05|8) (minus1|2) times(5| minus 7)

913I2)H3K1 Welches der Zahlenpaare ist Loumlsung des gegebenen Gleichungs-

systems Kreuze an4x ndash y = -63x + 2y = 1

914Indash10 sdot (ndash1) + 7 sdot3 = 31 wA undII 8 sdot (ndash1)+ 5 sdot 3= 7 w A

914I2)H2K1 Zeige durch Einsetzen in die beiden Gleichungen dass das Zahlenpaar (ndash1|3) Louml-

sung des Gleichungssystems istI ndash10x + 7y = 31II 8x + 5y = 7

915I 3 sdot 4 + 4 sdot 3 = 24wA undII 4 + 3 = 7 w A

915I2)H2K1 Weise durch Einsetzen in die beiden Gleichungen des Gleichungssystems

I 3x + 4y = 24II x + y = 7nach dass die Loumlsung die du in Aufgabe 911 gefunden hast tatsaumlchlich eine Loumlsungdes Gleichungssystems ist

Grafisches Darstellen von linearen GleichungssystemenDa sich eine lineare Gleichung als Gerade grafisch darstellen laumlsst kann man auch einlineares Gleichungssystem grafisch darstellenIm Koordinatensystem werden zwei Geraden eingezeichnetSchneiden die beiden Geraden einander dann Erfuumlllen die Koordinaten des Schnittpunk-tes S(xs |ys) beide Gleichungen Das Zahlenpaar (xs |ys) ist daher Loumlsung des Gleichungs-systems

916 (1) I k = 2d = ndash1 y = 2x ndash 1II k = ndash1 d = 5y = ndashx + 5 (2)I ndash2x + y = ndash1II x + y = 5 (3)(xs |ys) = (2|3)

916I2)H1K2 diams Welches lineare Gleichungssystem ist hier

grafisch dargestellt(1) Bestimme fuumlr beide Geraden die Steigungk und den Achsenabschnitt d und gib die zu-gehoumlrigen Gleichungen in der Form y = kx + dan(2) Gib beide Gleichungen auch in der Formax + by = c an(3) Entnimm der Zeichnung die Koordinatenxs und ys des Schnittpunktes S und uumlberpruuml-fe durch Einsetzen in beide Gleichungen ob(xs |ys) eine Loumlsung des linearen Gleichungssys-tems ist

917 (1) I y =2x + 4II y = ndash 1

2x + 3

2(2) ndash (3) S(ndash1|2)(4) I ndash2 sdot (ndash1) + 2 =4 II (ndash1) + 2 sdot 2 = 3

917 Gegeben ist das lineare GleichungssystemI ndash2x + y = 4II x + 2y = 3

(1)I2)H2K1 Forme die Gleichungen in die Form y = kx + d um

(2)I2)H1K1 Stelle die beiden Gleichungen im Koordinatensystem grafisch dar

(3)I2)H3K1 Bestimme die Koordinaten xs und ys des Schnittpunktes S der beiden Geraden

(4)I2)H2K1 Zeige dass die beiden Werte xs und ys die beiden Gleichungen aus der Angabe

erfuumlllen Setze sie dazu in die Gleichungen ein

ii

ii

ii

ii

190 10 Lineare Gleichungen und Gleichungssysteme mit zwei Variablen

Grafisches Loumlsungsverfahren fuumlr lineare GleichungssystemeI x + 2y = 6II x ndash y = 3

1 Forme die beiden Gleichungen um und stelle sie in der Form y = kx + d darI y = minus 1

2x + 3

II y = x ndash 32 Zeichne die zu den Gleichungen gehoumlren-

den Geraden im Koordinatensystem ein3 Entnimm aus der Zeichnung die Koordina-

ten xs und ys des Schnittpunktes S der bei-den Geraden Das Zahlenpaar S(xs |ys) istdie Loumlsung des GleichungssystemsSchnittpunkt S(4|1)rArr L = (4|1)

ProbeDas Zahlenpaar muss beide Gleichungen erfuumlllen Eingesetzt in die beiden Ausgangs-gleichungen liefern xs und ys fuumlr beide Gleichungen eine wahre AussageI 4 + 2 sdot 1 = 6

6 = 6 wAII 4 ndash 1 = 3

3 = 3 wA

918 a) L = (4|2)b) L = (0|4)

918I2)H2K2 Bestimme grafisch die Loumlsung des linearen Gleichungssystems

Fuumlhre auch die Probe durcha) I y = ndashx + 6

II y =14x + 1

b) I y =14x + 4

II y = ndash2x + 4

919 a) L = (1|3)b) L = (3|0)

919I2)H2K2 Loumlse das lineare Gleichungssystem grafisch und fuumlhre rechnerisch die Probe durch

a) I y = 3xII y = ndash3x + 6

b) I y =13x ndash 1

II y = minus 53x + 5

Tipp 102Computerunterstuumltztes Arbeiten hilft den Zeitaufwand des grafischen Loumlsungsver-fahrens zu reduzieren Das kostenlos erhaumlltliche Programm GeoGebra (wwwgeoge-braorg) eignet sich dafuumlr besonders (siehe S 145)

920 a) L = (ndash2|4)b) L = (0|1)c) L = (ndash3|0)d) L = (2|5)

920I2)H2K2 Ermittle die Loumlsung des linearen Gleichungssystems grafisch

Uumlberpruumlfe dein Ergebnis durch Einsetzen in die beiden Gleichungena) I minus 1

2x + 2y = 9

II 3x + 2y = 2b) I 3x + y = 1

II ndash4x + 2y = 2

c) I ndash5x + 3y = 15II x + 3y = ndash3

d) I ndash12x ndash 2y = ndash11

II x ndash y = ndash3

ii

ii

ii

ii

102 Grafisches Loumlsen linearer Gleichungssysteme 191

921 Nein einGleichungssystemkann auch garkeine Loumlsunghaben (die beidenGeraden sindparallel) oderunendlich vieleLoumlsungen (diebeidenGleichungenstellen dieselbeGerade dar)

921I2)H4K3 In den bisherigen Aufgaben hatten wir es nur mit Gleichungssystemen zu tun die

eindeutig loumlsbar waren die beiden Geraden hatten einen SchnittpunktUumlberlegt zu zweit Muss das immer so sein Kann es Gleichungssysteme geben diemehr als eine Loumlsung oder gar keine Loumlsung habenTipp Uumlberlegt welche Lagebeziehung zwei Geraden in der Ebene haben koumlnnen

922 Die beidenGeraden habendieselbe Steigungaberunterschiedlichesd sind daherparallel und habenkeinen Punktgemeinsam

922I2)H4K2 Weise mit Hilfe des grafischen Loumlsungsverfahrens nach dass folgendes Gleichungs-

system keine Loumlsung hatI ndash2x + y = ndash5II 4x ndash 2y = ndash1

923I2)H4K2 Wende das grafische Loumlsungsverfahren auf folgendes Gleichungssystem an

Welcher besondere Fall liegt vor Beschreibe in Worten Was kannst du daher uumlber dieLoumlsung des Gleichungssystems aussagenI ndash4x + 2y = ndash2II 2x ndash y = 1

923 Die beidenGleichungenstellen dieselbeGerade darUnendlich vieleZahlenpaarenaumlmlich jenePunkte die auf derGeraden liegenerfuumlllen beideGleichungen undsind daher Loumlsungdes Gleichungssys-tems

Loumlsungsfaumllle bei linearen GleichungssystemenBei linearen Gleichungssystemen mit zwei Gleichungen und zwei Variablen gibt esdrei verschiedene Loumlsungsfaumllle

1 FallDas Gleichungssystem hat genau ein Zahlenpaar(x |y) x y isin ℝ als Loumlsung L = (x |y)Grafische InterpretationDie Loumlsungen der beiden Gleichungen stellenGeraden dar die einander im Punkt (x |y) schneiden

2 FallDas Gleichungssystem hat keine Loumlsung L = Grafische InterpretationDie Loumlsungen der beiden Gleichungen stellenparallele Geraden dar und haben daher keinenPunkt gemeinsam

3 FallDas Gleichungssystem hat unendlich viele Loumlsun-genz B L = (x |y) | y = minus2x + 4 x y isin ℝGrafische InterpretationDie Loumlsungen der beiden Gleichungen stellen diesel-be Gerade dar Jeder Punkt der auf dieser Geradenliegt ist Loumlsung des Gleichungssystems

924 Nein dennzwei Geradenkoumlnnen nur genaueinen oder garkeinenSchnittpunkthaben

ii

ii

ii

ii

192 10 Lineare Gleichungen und Gleichungssysteme mit zwei Variablen

924I2)H4K3 Ist es moumlglich dass ein lineares Gleichungssystem mit zwei Variablen genau 2

Loumlsungen hat Begruumlnde deine Antwort925 Sind k und dgleich dannfallen die beidenGeradenzusammenrArrunendlich vieleLoumlsungen Sinddie Steigungengleich aber dieAchsenabschnitteunterschiedlichdann sind diebeiden GeradenparallelrArr keineLoumlsung Sind dieSteigungenunterschiedlichso schneiden dieGeraden einanderrArr genau eineLoumlsung

925I2)H4K2 Uumlberlegt zu zweit Wie kann man aus den beiden Gleichungen eines Gleichungs-

systems die in der Form y = kx + d gegeben sind direkt ablesen (das heiszligt ohne dieZeichnungen anzufertigen) welcher Loumlsungsfall vorliegt Vergleicht dazu jeweils dieSteigungen k bzw die Achsenabschnitte d der beiden Gleichungen

926 a) gleiches kunterschiedliches drArr keine Loumlsungb) unterschiedli-ches krArr eineLoumlsung c) gleichesk gleiches drArrunendlich vieleLoumlsungend) gleiches kunterschiedliches drArr keine Loumlsung

926I2)H3K2 Welcher Loumlsungsfall liegt bei den gegebenen Gleichungssystemen vor Untersuche

durch Vergleich der Steigungen k und der Achsenabschnitte d ob das Gleichungssystemgenau eine Loumlsung unendlich viele Loumlsungen oder keine Loumlsung hata) I y = ndash2x + 6

II y = ndash 2x + 1b) I y =

14x + 4

II y = ndash2x + 4

c) I 2y = 6x + 12II y = 3x + 6

d) I y =13x ndash 1

II y =13x + 5

927 a) keineLoumlsungb) unendlich vieleLoumlsungenc) L = (ndash2|0)d) keine Loumlsung

927I2)H3K2 Forme die Gleichungen jeweils auf die Gestalt y = kx + d um Vergleiche dann die

Steigungen und die Achsenabschnitte der beiden Gleichungen und bestimme welcherLoumlsungsfall vorliegt Fuumlr den Fall dass es genau eine Loumlsung gibt ermittle diese Loumlsunggraphisch

a) I 3x + 2y = 9II 3x + 2y = 1

b) I32x + 4y = ndash2

II 3x + 8y = ndash4

c) I x + 2y = ndash2II x ndash 2y = ndash2

d) I ndash12x ndash y = ndash11

II 2x ndash 4y = ndash3

928 Richtliniendazu siehe Loumlsungvon Aufgabe 925

928I2)H1K3 Schreibe ein lineares Gleichungssystem an das

(1) genau eine Loumlsung(2) keine Loumlsung(3) unendlich viele Loumlsungen hat

929 I x + y = 5II -2x + y = 2S(1|4) ist dieLoumlsung

929I2)H3K3 Sara hat ein Gleichungssystem gra-

fisch geloumlst Rechts siehst du die Zeich-nung Wie lautet die Angabe WelcheKoordinaten hat der Schnittpunkt Wel-che Bedeutung hat er fuumlr dasGleichungs-system

I x + y = 5

II -2x + y = 2

Schnittpunkt S(1|4)

Bedeutung ist die Loumlsung

ii

ii

ii

ii

103 Rechnerisches Loumlsen linearer Gleichungssysteme 193

103 Rechnerisches Loumlsen linearer Gleichungssysteme

Im letzten Abschnitt hast du viele Gleichungssysteme gra-fisch geloumlst Durch dieses Loumlsungsverfahren kann man sehrviel uumlber lineare Gleichungssysteme lernen z B warum esniemals genau 2 Loumlsungen haben kann Wie jedes grafischeVerfahren hat es aber den Nachteil dass man sehr von dereigenen Zeichengenauigkeit abhaumlngig ist Selbst wenn mansich noch so bemuumlht Loumlsungen wie (0345| 261) wird maneiner haumlndischen Zeichnung nur unter groszligem Aufwand ent-nehmen koumlnnen Aber selbst wenn die Loumlsung ganzzahligist koumlnnen Schwierigkeiten auftreten Uumlberlege am Beispieldes Zahlenpaares (1|100)Beim computerunterstuumltzten Arbeiten koumlnnen durch Verschieben des Bildschirmaus-schnittes und Zoomen diese Probleme bewaumlltigt werden aber in Sachen Genauigkeitstoumlszligt man auch da an Grenzen Ein klarer Fall also dass auch rechnerische Loumlsungs-moumlglichkeiten gefragt sind

Wir kommen ein letztes Mal auf die Abschlussreise der 4B und der 4C zuruumlck die amAnfang dieses Kapitels (siehe S 184) vorgestellt wurde Uumlber die Zimmereinteilungfuumlr die 24 Maumldchen weiszlig man dass sie insgesamt 7 Zimmer benoumltigen und dass dieseZimmer Dreibett- und Vierbettzimmer sind Daraus ergibt sich das GleichungssystemI 3x + 4y = 24II x + y = 7

Ein Zahlenpaar (x|y) das Loumlsung des Gleichungssystems ist muss beide Gleichungenerfuumlllen Das heiszligt der Zusammenhang zwischen den Variablen x und y der sich auseiner Gleichung ergibt muss auch fuumlr die andere Gleichung geltenIm Gleichungssystem oben ergibt sich aus Gleichung IIx + y = 7 bzw x = 7 ndash yDas muss auch fuumlr Gleichung I geltenDaher duumlrfen wir in Gleichung I fuumlr x den Term 7 ndash y einsetzen3 sdot (7 ndash y) + 4y = 24und erreichen damit dass wir y aus einer linearen Gleichung mit einer Variable bestim-men koumlnnen

21 ndash 3y + 4y = 24y = 3

Wegen x = 7 ndash y erhalten wir fuumlr x = 7 ndash 3 = 4und damit als Loumlsung des Gleichungssystems das Zahlenpaar (4|3)

Beide Gleichungen sind erfuumlllt wie die Probe zeigtI 3 sdot 4 + 4 sdot 3 = 12 + 12 = 24II 4 + 3 = 7

ii

ii

ii

ii

194 10 Lineare Gleichungen und Gleichungssysteme mit zwei Variablen

Die beschriebenen Uumlberlegungen begruumlnden das so genannte EinsetzungsverfahrenIm folgenden Musterbeispiel im gelben Kasten sind die einzelnen Durchfuumlhrungsschrittezusammengefasst

Einsetzungsverfahren (= Substitutionsverfahren)I 3x + 4y = 24II x + y = 71 Druumlcke in einer der beiden Gleichungen x durch y aus

(Du kannst auch umgekehrt y durch x ausdruumlcken Mach das was einfacher ist)Gleichung II x = 7 ndash y

2 Durch Einsetzen des Terms in die andere Gleichung erhaumlltst du eine Gleichungmit einer VariablenGleichung I 3 sdot (7 ndash y) + 4y = 24

3 Loumlse diese Gleichung21 ndash 3y + 4y = 24y = 3

4 Setze die Loumlsung in den Term ein und ermittle die zweite Variablex = 7 ndash 3 = 4rArr L = (4|3)

ProbeI 3 sdot 4 + 4 sdot 3 = 12 + 12 = 24II 4 + 3 = 7

Es gibt fuumlr lineare Gleichungssysteme noch weitere Loumlsungsverfahren zwei davonwerden in den folgenden beiden Musterbeispielen vorgestellt

Gleichsetzungsverfahren (= Komparationsmethode)I 3x + 4y = 24II x + y = 71 Druumlcke in beiden Gleichungen x durch y aus

(Ebenso koumlnntest du wahlweise auch y durch x ausdruumlcken)I 3x = ndash4y + 24

x = ndash 43y + 8

II x = 7 ndash y2 Durch Gleichsetzen der beiden Terme erhaumlltst du eine Gleichung mit einer Va-

riablenndash 4

3y + 8 = 7 ndash y

3 Loumlse diese Gleichungndash 1

3y = ndash1

y = 34 Setze die Loumlsung in einen der beiden Terme aus 1 ein und ermittle die zweite

Variablex = 7 ndash 3 = 4rArr L = (4|3)

Vergiss die Probe nicht

ii

ii

ii

ii

103 Rechnerisches Loumlsen linearer Gleichungssysteme 195

Additionsverfahren1 Multipliziere die Gleichungen mit geeigneten Faktoren so dass bei einer Variable

entgegengesetzt gleiche Koeffizienten entstehenI 3x + 4y = 24II x + y = 7 |sdot(ndash4)

2 Durch Addieren der beiden Gleichungen erhaumlltst du eine Gleichung mit einerVariableI 3x + 4y = 24II ndash4x ndash 4y = ndash28

ndashx = ndash43 Loumlse diese Gleichung

x = 44 Setze die Loumlsung in eine der beiden Gleichungen ein und berechne die zweite

Variable4 + y = 7y = 3rArr L = (4|3)

Vergiss die Probe nicht (siehe Seite 194)

930 a) L =(ndash1|2)b) L =(0|4)c) L =(2|5)d) L =(10|20)

930I2)H2K1 Loumlse das Gleichungssystem mit dem Einsetzungsverfahren

Fuumlhre auch die Probe durcha) I x + 2y = 3

II ndash2x + y = 4b) I ndashx + 4y = 16

II 2x + y = 4c) I x ndash y = ndash3

II ndash12x ndash 2y = ndash11

d) I 7x + y = 90II ndash12x + 5y = ndash20

931 a) L =(4|1)b) L =(4|2)c) L =(ndash23|10)d) L =(ndash35|0)

931I2)H2K1 Loumlse das Gleichungssystem mit dem Gleichsetzungsverfahren

Fuumlhre auch die Probe durcha) I x ndash y = 3

II x + 2y = 6b) I ndash

14x + y = 1

II x + y = 6c) I x + 2y = ndash3

II x ndash 3y = ndash53d) I x + 3y = ndash35

II ndash5x + 3y = 175

932a) L =(17|ndash103)b) L =(10|14)c) L =(8|0)d) L =(18|21)

932I2)H2K1 Loumlse das Gleichungssystem mit dem Additionsverfahren

Fuumlhre auch die Probe durcha) I 3x + 2y = ndash155

II 2x ndash 5y = 549b) I 7x ndash y = 56

II ndash8x + 3y = ndash38c) I 5x + 11y = 40

II 6x ndash 12y = 48d) I 10x ndash 3y = 117

II 20x + 4y = 444

933 a) L =(02|18)b) L =(16|3)c) L =(17|10)d) L =(ndash04|05)

933I2)H2K1 Loumlse das Gleichungssystem mit jenem Loumlsungsverfahren das am besten (fuumlr dich)

passt Vergiss die Probe nicht

a) I x + y = 2II x + 6y = 11

b) I 5x + 2y = 14II ndash5x ndash 3y = ndash17

c) I 6x + y = 202II 7x ndash 3y = ndash181

d) I x + 11y = 51II x ndash 10y = ndash54

ii

ii

ii

ii

196 10 Lineare Gleichungen und Gleichungssysteme mit zwei Variablen

934 (1)1 (1| minus 4)(2) (5|8)(3) (minus05| minus 3)(4) (minus25|0)

934I2)H2K1 Ordne den Gleichungssystemen die richtige Loumlsung zu

(1) 7x + y = 3 (minus05| minus 3)minusx + 5y = minus21

(2) x = yndash3 (5|8)xndash2y = minus11

(3) y = 4xndash1 (minus25|0)y = minus2xndash4

(4) minus4x + 7y = 10 (1| minus 4)2xndash3y = minus5

935 (2|5)935I2)H2

K1

Gleichungssystem Gegeben ist das folgende Gleichungssystem

I x + 2y = 12II 2x + 5y = 29

Loumlse dieses Gleichungssystem

936 c = 3 d = 4936I2)H2

K1

Zwei Gleichungen Loumlse das GleichungssystemI 3c ndash 4d = ndash 7II c = d ndash 1

937 a) L = b) L = (13|ndash55)c) L = (x|y)|y = 1

2x

ndash 74 xy isin R

d) L =

937I2)H2K2 Gib die Loumlsungsmenge des Gleichungssystems an

Achtung Nicht jedes der Gleichungssysteme ist eindeutig loumlsbar

a) I ndash3x ndash 10y = 0II 15x + 5y = 1

b) I 8x ndash 7y = 1425II ndash9x + 2y = ndash128

c) I 2x ndash 4y = 7II ndash6x + 12y = ndash21

d) I ndash06x + 12y = 08II 18x ndash 36y = ndash28

938I2)H1K3 Gib ein lineares Gleichungssystem an das

a) die Loumlsung (4|1) b) die Loumlsung (minus2|5) c) keine Loumlsung hat

939 Alle beruhendarauf dasssowohl derZusammenhangzwischen denbeiden Variablender sich ausGleichung I ergibtals auch derZusammenhangder sich ausGleichung II ergibterfuumlllt sein muss

939I2)H4K3 Erklaumlre was der Hintergrund der drei Verfahren ist

ii

ii

ii

ii

104 Textaufgaben zu linearen Gleichungssystemen 197

104 Textaufgaben zu linearen GleichungssystemenVerwende beim Loumlsen der in den folgenden Aufgaben auftretenden Gleichungssystemejenes Loumlsungsverfahren das dir am geeignetsten erscheint

940 a) x + y = 1585x + 65y = 95548 Schuumllerinnenund110 Erwachseneb) 104 Schuumllerin-nen und92 Erwachsene

940I2)H2K1 Der Eintritt zu einer Greifvogelschau kostet fuumlr Schuumllerinnen

500 euro fuumlr Erwachsene 650 euro Das Verwaltungsbuumlro der Greifvo-gelstation moumlchte wissen wie die Aufteilung der Zuschauer aufErwachsene und Schuumllerinnen war An der Kassa hat man abernur die Gesamtanzahl an verkauften Karten und die Einnahmenregistriert Berechne aus diesen Aufzeichnungen wie viele Er-wachsene bzw Schuumllerinnen die Flugshow besucht haben

a) Vormittagsvorstellung 158 Karten Einnahmen 955ndash eurob) Nachmittagsvorstellung 196 Karten Einnahmen 1118ndash euro

941 x + y = 27065x + 4y = 1485162 Karten fuumlrErwachsene und108 Schuumllerinnen-Karten

941I2)H2K1 Bei der Auffuumlhrung eines Schultheaters werden an der Abendkassa Karten zu

650 euro fuumlr Erwachsene und Karten zu 4 euro fuumlr Schuumllerinnen verkauft Insgesamt wurden270 Karten verkauft und 1485 euro eingenommen Wie viele Schuumllerinnenkarten und wieviele Karten fuumlr Erwachsene wurden verkauft

9423 Gleichungssystem

942I2)H3K1 Wie Aufgabe 941 fuumlr insgesamt 171 verkaufte Karten und 879 euro EinnahmenWelches

Gleichungssystem passt zum Text Kreuze an

times I e + s = 879II 650e + 4s = 171

I e + 4s = 171II 650e + s = 879

I e + s = 171II 650e+4s = 879

I 4s + s = 171II 650e + e = 879

943 (1) DerHinflug erfolgt mitRuumlckenwind derRuumlckflug mitGegenwind Jadenn bei allenLangstreckenfluuml-gen wirken sich dieLuftstroumlmungenauf die Flugzeit ausWien ndash New York910 h New York ndashWien 845(Abfragewwwauacom2552009) (2)Wien ndash Tokio821 kmh Tokio ndashWien 764 kmh(3) Eigengeschwin-digkeit desFlugzeuges7925 kmh Wind-geschwindigkeit285 kmh

943I2)H2K1 diams Waumlhrend des Langstreckenfluges Wien ndash To-

kio werden den Passagieren uumlber Bildschirme Rei-seinformationen geboten Zu Beginn der Reise wirddie Distanz zwischen Wien und Tokio mit 9164 kmangegeben die voraussichtliche Flugzeit mit 1110h Frau Schindler vergleicht mit ihren Fluginforma-tionen fuumlr den Ruumlckflug Dort wird die Flugzeit fuumlrTokio ndash Wien mit 1200 h angegeben obwohl sie wie-der mit demselben Flugzeugtyp fliegen wird(1) Warum unterscheiden sich die Flugzeiten zwischen Hinflug und Ruumlckflug so deut-lich Ist das auch bei anderen Langstreckenfluumlgen so Frage im Internet die Flugzeitenfuumlr den Transatlantikflug von einem europaumlischen Flughafen nach New York hin undzuruumlck ab(2) Berechne die durchschnittliche Fluggeschwindigkeit fuumlr die angegebenen FlugzeitenWien ndash Tokio bzw Tokio ndash Wien(3) Berechne die (durchschnittliche) Eigengeschwindigkeit des Flugzeuges und die(durchschnittliche) erwartete Windgeschwindigkeit die der Angabe der Flugzeit zu-grunde liegen

ii

ii

ii

ii

198 10 Lineare Gleichungen und Gleichungssysteme mit zwei Variablen

944(1) Hinflug764 kmhRuumlckflug 836 kmh(2) Eigengeschwin-digkeit desFlugzeuges800 kmh Windge-schwindigkeit36 kmh

944I2)H2K1 diams Die Flugzeit fuumlr den Flug Frankfurt ndash Chicago

wird im Internet von einer Fluglinie mit 908 h an-gegeben die Flugzeit fuumlr den Ruumlckflug mit dem-selben Flugzeugtyp mit 821 h Die Entfernungzwischen Frankfurt und Chicago betraumlgt 6978 km(1) Berechne die durchschnittlichen Fluggeschwin-digkeiten fuumlr die angegebenen Flugzeiten fuumlr Hin-und Ruumlckflug(2) Berechne die (durchschnittliche) Eigengeschwindigkeit des Flugzeuges und die(durchschnittliche) erwartete Windgeschwindigkeit die der Angabe der Flugzeit zu-grunde liegen

Kommen zwei Systeme (z B Fluumlssigkeiten) mit unterschiedlicher Temperatur zusam-men so gleichen sich ihre Temperaturen durch Waumlrmeaustausch an Waumlrme flieszligtdabei immer vom waumlrmeren zum kaumllteren System so lange bis beide Systeme diegleiche Temperatur habenMischt man einen Liter Wasser mit einer Temperatur von 10 mit einem Liter Was-ser mit einer Temperatur von 20 so entstehen 2 Liter Wasser mit der mittlerenTemperatur von 15

94566 Liter aus demWasserboiler und84 Liter aus demKaltwasserzufluss

945I2)H2K1 ⋆ In einem Niedrigenergiehaus steht ein solar-

beheizter Wasserboiler zur Verfuumlgung Nach einemsonnigen Tag wird eine Wassertemperatur von 64angezeigt Eine Badewanne soll mit 150 Litern Was-ser gefuumlllt werden die erwuumlnschte Temperatur ist37 Wie viele Liter muumlssen aus dem solarbeheiztenBoiler und wie viele Liter aus einem Kaltwasserzu-fluss (16 ) zuflieszligen Runde auf ganze Liter

946 12 Liter 946I2)H2K1 ⋆ An einem heiszligen Sommertag ist die Temperatur in einem 100-Liter-Aquarium

auf 27 angestiegen Wie viel Liter Wasser muss man entnehmen und durch 10 kaltes Wasser ersetzen damit wieder die fuumlr die Fische passende Temperatur von 25 erreicht wird(Tipp Wenn von den 100 Litern x Liter entnommen werden so ist das genau jeneWassermenge mit 10 die zur verbleibenden Wassermenge (y Liter) hinzukommt)

Zahlenraumltsel

947a) x + y = 131 undx minus v = 43b) x = y + 5 und2v + x = 83

947I2)H2K1 Uumlbersetze den Text jeweils in zwei lineare Gleichungen und loumlse das Gleichungs-

system um die beiden gesuchten Zahlen zu ermitteln Fuumlhre auch die Probe durcha) Die Summe zweier Zahlen ist 131 Ihre Differenz betraumlgt 43b) Eine Zahl ist um 5 groumlszliger als die andere Addiert man zum Doppelten der kleinerenZahl die groumlszligere Zahl erhaumllt man 83

ii

ii

ii

ii

104 Textaufgaben zu linearen Gleichungssystemen 199

948 a) 150 und 50b) 8 und 28

948I2)H2K1 Wie Aufgabe 947

a) Eine Zahl ist dreimal so groszlig wie eine zweite Zahl Die Differenz der beiden Zahlenbetraumlgt 100b) Die Differenz zweier Zahlen ist 20 Addiert man zum Dreifachen der kleineren Zahldas Doppelte der groumlszligeren Zahl erhaumllt man 80

949 13 und 9949I2)H2K1 ⋆ Die Differenz zweier Zahlen betraumlgt 4 Verringert man die groumlszligere der beiden

Zahlen um 1 und vergroumlszligert die kleinere um 2 so wird das Produkt um 15 groumlszliger Wielauten die beiden Zahlen

950 27 und 42950I2)H2K1 ⋆ Die Summe zweier Zahlen ist 69 Vergroumlszligert man eine Zahl um 3 und verringert

die andere um 5 so wird das Produkt um 24 kleiner Berechne die beiden Zahlen

Aufgaben aus der Geometrie

951 a) a = 23 cmb = 13 cmb) a =24 cmb = 12 cm

ef

a

b

951I2)H2K1 Die laumlngere Seite eines Parallelogramms ist

a) um 10 cm laumlnger als die kuumlrzere Seiteb) doppelt so lang wie die kuumlrzere SeiteDer Umfang des Parallelogramms ist 72 cmBerechne die Seitenlaumlngen des Parallelogramms

952 I α + 54 = γ II 2α + γ = 180α = β = 42deg γ = 96degb

A c

a

C

B

952I2)H2K1 In einem gleichschenkligen Dreieck ist ein Basiswinkel (α = β

vergleiche mit der Skizze) um 54deg kleiner als der Winkel γ Ermittle dieGroumlszlige der Winkel des gleichschenkligen Dreiecks Fuumlhre auch die Probedurch

953 Basis 32 cmSchenkel 21 cm

953I2)H2K1 Die Basis eines gleichschenkligen Dreiecks ist um 11 cm laumlnger als die Schenkel-

laumlnge Der Umfang des Dreiecks ist 74 dm Wie lang sind Basis und Schenkel diesesgleichschenkligen Dreiecks

954 Basis 18 cmSchenkel 21 cm

954I2)H2K1 Der Umfang eines gleichschenkligen Dreiecks betraumlgt 60 cm Die Basis ist um

3 cm kuumlrzer als eine Schenkellaumlnge Berechne die Laumlnge der Basis und der Schenkel

955 b = 21 cml = 35 cm

955I2)H2K1 In einem Rechteck verhalten sich die Seiten wie 35 Der Umfang des Rechtecks

ist 112 cm Wie breit und wie lang ist das Rechteck

956 Erfinde eine aumlhnliche Aufgabenstellung wie die in 955Deine Nachbarindein Nachbar soll sie loumlsen

957 (1) b = 8 cml = 18 cm (2) einQuadrat mits = 12 cm

957I2)H2K1 ⋆ Die Seiten eines Rechtecks verhalten sich wie 49 Verlaumlngert man die kuumlrzere

Seite um 4 cm und verkuumlrzt die laumlngere Seite um 6 cm so bleibt der Flaumlcheninhaltunveraumlndert(1) Wie lang und wie breit ist das urspruumlngliche Rechteck(2) Wie lang sind die Seiten des veraumlnderten RechtecksWelche besondere Form liegt vor

ii

ii

ii

ii

200 10 Lineare Gleichungen und Gleichungssysteme mit zwei Variablen

958 a) y = ndashx +3

b) y = 135x + 4

5

958I2)H2K1 Wie lautet die Gleichung jener Geraden g die durch die beiden gegebenen Punkte

geht

A(ndash2|5) B(3|1)Da beide Punkte auf der Geraden g liegenerfuumlllen sie die Gleichung y = kx + dWir setzen daher die Koordinaten der Punkte fuumlr x und y ein und erhalten ein linearesGleichungssystem mit den Variablen k und dA liegt auf g rArr I 5 = ndash2k + d | sdot (ndash1)B liegt auf g rArr II 1 = 3k + d rceil+

(ndash1) sdot I ndash5 = 2k ndash d rfloorndash4 = 5kk = minus 4

5minus 4

5eingesetzt in Gleichung I ergibt

5 = ndash2 sdot 1114100minus 451114103 +d rArrd = 5 ndash

85= 17

5Die Gleichung der Geraden g die durch die beiden Punkte A und B verlaumluft lautetdaher

g y = minus 45k +

175

a) A(2|1) B(ndash1|4) b) R(ndash3|ndash7) S(2|6)

959 a) y = minus 25x + 2

b) y = minus 74x + 5

c) y = 109x + 1

9

d) y = 56x ndash 5

959 Stelle die Gleichung jener Geraden auf die durch die gegebenen beiden Punktegehta) A(ndash20|10) B(5|0) b) C(0|5) D(4|ndash2) c) E(8|9) F(ndash1|ndash1) d) G(6|0) H(0|ndash5)

105 Ausblick und Exercises1051 Ausblick

960 (1)a = 104 cmha = 78 cm (2) Eshandelt sich nichtum ein linearesGleichungssystemEinsetzungsverfah-ren undGleichsetzungsver-fahren koumlnnen zurAnwendungkommenAdditionsverfahrenund grafischesLoumlsungsverfahrennicht

960I2)H2K1 ⋆ In einemDreieck verhalten sich eine Seite und ihre Houmlhe wie 43 Der Flaumlcheninhalt

des Dreiecks betraumlgt 4056 cm2(1) Berechne die Seitenlaumlnge und die Houmlhe(2) Inwiefern unterscheidet sich das Gleichungssystem in (1) von den anderen bisjetzt behandelten Welche Loumlsungsverfahren koumlnnen zur Anwendung kommen welchenichtWie Aufgabe 960 zeigt gibt es auch andere als nur lineare Gleichungssysteme Mit demEinsetzungsverfahren kann man auch diese loumlsen Das Additionsverfahren ist dafuumlrnicht geeignetBei komplexen Sachverhalten mit hoher Anwendungsrelevanz kommt man in der Regelnicht mit einem Gleichungssystem das nur zwei Gleichungen enthaumllt aus Beispiels-weise fuumlhren Messreihen in der Chemie oder Physik haumlufig auf Gleichungssysteme dieaus mehreren Gleichungen mit mehreren Variablen bestehenDie Loumlsungsverfahren wie du sie kennengelernt hast sind auch fuumlr solche Gleichungs-systeme erweiterbar In der Praxis wird der oft hohe Rechenaufwand mit geeigneterSoftware am Computer (siehe Kap 145 S 265) bewaumlltigt

ii

ii

ii

ii

105 Ausblick und Exercises 201

1052 Exercises

vocabularysystem of linear equations lineares Gleichungssystemsolution Loumlsunggraphing zeichnensubstitution das Ersetzen Einsetzenaddition method hier Additionsverfahrento solve loumlseninfinitely-many unendlich viele

961 (ndash5|1) is asolution of thegiven equation

961I2)H3K2 Determine whether either of the points (1|ndash5) and (ndash5|1) is a solution to the given

system of equationsndash6x + y = 315x + 7y = ndash18

962I2)H3K1 Fill in

infinitely-many (2x) ndash two ndash three (2x) ndash one (2x) ndash no solution ndash none

For systems of linear equations (two variables two equations) there are threepossible types of solutions

The system may have one solution (a specific point (x|y))

no solution at all or

infinitely-many solutions

There is no such system with two or three solutions

You will always have one none

or infinitely-many solutions

963 L = (0|3)963I2)H2K2 Solve the following system by graphing

x + 4y = 12ndash10x + 5y = 15

964 L = (ndash50|100)964I2)H2K2 Solve the following system by substitution

ndash3x + y = 2507x + 10y = 650

965 L = (35|ndash8)965I2)H2K2 Solve the following system using the addition method

6x + 11y = ndash678x ndash 3y = 52

966 98 and 41966I2)H2K2 The difference of two numbers is 57 The sum of these two numbers is 139 Which

numbers are we referring to

967 (12|1) and(1|0)

967I2)H2K1 Which are correct solutions to the equation 5x + 4y = 5

times times(12|1) (2| + 12) (04|05) (1|0)

ii

ii

ii

ii

202 10 Lineare Gleichungen und Gleichungssysteme mit zwei Variablen

106 Mathe fit und kompetent ndash Kompetenzcheck

968 Richtig sindm + b = 21 undm minus 2b

2m + b = 21 m + 2b = 21 m + b = 21 timesm = 2b timesb = 2m

968I2)H3K1 In einer Klasse mit 21 Kindern gibt es doppelt so viele

Maumldchen wie BubenDie Anzahl der Maumldchen wird mit m bezeichnet die Anzahl derBubenmit b Kreuze jeneGleichung(en) an die zur beschriebenenKlasse passen

969I2)H1K1 Schreibe den Text in Form eines linearen Gleichungssystems an

a) Bei einer Flugreise wiegt Deryas Koffer um 7 kg mehr als ihr Handgepaumlck Insgesamthaben die beiden Gepaumlckstuumlcke 23 kg

I k = h + 7

II k + h = 23b) Eine Zahl ist um 7 groumlszliger als die andere Subtrahiert man vom Doppelten dergroumlszligeren Zahl die kleinere erhaumllt man 20

I x = y + 7

II 2x minus y = 20

970I2)H1K3 Erfinde einen kurzen Text der sich durch eine lineare Gleichungmit zwei Variablen

darstellen laumlsst

971 (1) (minus05|3)(2) (5|0) (3) (1| minus 7)(4) (0|4)

971I2)H2K1 Verbinde die Gleichungssysteme mit der jeweils richtigen Loumlsung

(1) 2x + y = 2 (1| minus 7)minus8x minus 2y = minus2

(2) 4x + 6y = 20 (0|4)minusx + y = minus5

(3) 2x + y = minus5 (minus05|3)minus8x minus 2y = 6

(4) x + 2y = 8 (5|0)10x minus y = minus4

972 a) (6| minus 5)b) (04|1)

972I2)H2K1 Loumlse das Gleichungssystem und fuumlhre auch die Probe durch

a) I 3x + 4y = minus2 b) I 5x minus 4y = minus2II x minus y = 11 II minus2x + 6y = 52

973 L = (ndash2|1) 973I2)H2K2 Loumlse das Gleichungssystem (1) graphisch und (2) rechnerisch

I minus3x + 2y = 8II 2x + 4y = 0

ii

ii

ii

ii

106 Mathe fit und kompetent ndash Kompetenzcheck 203

974I2)H3K2 (1) Welches Gleichungssystem ist in der Grafik dargestellt Kreuze an

I y = 34xndash4

II y = 13x + 1

I y = 43x + 4

II y = minus 13xndash1

I y = xndash4II y = 1

3x + 1

I y = 43x minus 4

II y = minus 13x + 1

times

(2) Wie lautet die Loumlsung dieses Gleichungssystems (3|0)

975 Keine LoumlsungDie beidenGleichungenstellen paralleleGeraden dar dahergibt es keinZahlenpaar dasbeide Gleichungenerfuumlllt975I2)H4

K2 Wie viele Loumlsungen hat das angeschriebene GleichungssystemVersuche zu antworten ohne ein Loumlsungsverfahren anzuwendenBegruumlnde deine Antwort

I x + y = 1II 2x + 2y = 3

976 SieheZusammenfassungder Loumlsungsfaumllleauf Seite 191

976I2)H4K3 Erklaumlre Warum hat ein lineares Gleichungssystem mit zwei Variablen entweder

genau eine keine oder unendlich viele Loumlsungen977 3 und 4Gleichungssystem

977I2)H3K1 In einem Rechteck verhalten sich die Seiten wie 4 ∶ 7 Der Umfang ist 55 cm

Zwei der folgenden Gleichungssysteme beschreiben den Sachverhalt richtig Kreuze anwelche

times timesI b ∶ l = 4 ∶ 7II 4b + 7l = 55

I 4l = 7bII b + l = 55

I b ∶ l = 4 ∶ 7II 2b + 2l = 55

I 4l = 7bII 2(b + l) = 55

978 1 kg Mehlkostet 15 euro 1 kgZucker kostet 1 euro

978I2)H2K2 Tom kauft 2 kg Mehl und 1 kg Zucker und bezahlt dafuumlr 4 Euro Anna kauft 1 kg

Mehl und 3 kg Zucker und bezahlt dafuumlr 45 Euro Wie viel kostet 1 kg Mehl Wie vielkostet 1 kg Zucker

979 (1) Esbesuchten viermalso vieleErwachsene wieKinder dieAusstellung (2)Insgesamtbesuchten 680Personen dieAusstellung (3) Eshaben um 240mehr Kinder alsErwachsene dieAusstellungbesucht

979I2)H3K1 Im Folgenden steht jeweils k fuumlr die Anzahl der Kinder und e fuumlr die Anzahl

der Erwachsenen die eine Ausstellung besucht haben Schreibe in Worten was dieGleichungen uumlber den Ausstellungsbesuch von Erwachsenen und Kindern aussagen(1) Montag e = 4k (2) Dienstag k + e = 680 (3) Mittwoch e + 240 = k

980 800 kmh70 kmn

980I2)H2K2 Ein Flugzeug erreicht mit Ruumlckenwind eine Geschwindigkeit von 870 kmh bei

(gleichstarkem) Gegenwind kommt es nur auf 720 kmh Berechne die Eigengeschwin-digkeit des Flugzeugs und die Windgeschwindigkeit

981I2)H1K3 Schreibe ein lineares Gleichungssystem an das die Loumlsung (2|5) hat

ii

ii

ii

ii

186 10 Lineare Gleichungen und Gleichungssysteme mit zwei Variablen

Grafische Interpretation der Loumlsungsmenge

Eine Gleichung der Form y = kx + dist die Funktionsgleichung der linea-ren Funktion Der Graph dieser Funkti-on ist eine Gerade (vgl Kapitel 96 aufS 171) Daher laumlsst sich die Loumlsungs-menge jeder linearenGleichungmit zweiVariablen fuumlr die Grundmenge G = ℝgrafisch als Gerade darstellenFuumlr das Beispiel 3x + 4y = 24 umge-formt y = minus 3

4x + 6 ist die Gerade in

der Zeichnung dargestellt

Lineare Gleichung mit zwei VariablenEine Gleichung mit zwei Variablen x y isin ℝ der Gestalt

ax + by = c mit a b c isin ℝ a ne 0 b ne 0

heiszligt eine lineare Gleichunga und b heiszligen die Koeffizienten von x bzw yJede lineare Gleichung kann man durch Umformen auch in der Gestalt

y = kx + d

darstellenDie Loumlsungsmenge der Gleichung besteht aus allen geordneten Zahlenpaaren(x |y) x y isin ℝ welche die Gleichung erfuumlllenGrafisch dargestellt ergeben diese Zahlenpaare eine Gerade

902 3x + 4y = 23(1|5) (5|2)

902I2)H1K1 Welche Moumlglichkeiten der Aufteilung auf Dreibettzimmer und Vierbettzimmer gibt

es fuumlr die 23 Burschen der beiden vierten Klassen Schreibe die zur Aufgabenstellungpassende Gleichung an und schreibe alle Moumlglichkeiten in Form von zur Gleichungpassenden geordneten Zahlenpaaren auf

903 DasZahlenpaar (3|5)meint x = 3 undy = 5 DasZahlenpaar (5|3)meint x = 5 undy = 3

903I2)H4K1 Erklaumlre warum die Loumlsung einer linearen Gleichung mit zwei Unbekannten als

geordnetes Zahlenpaar angegeben werden muss also die Reihenfolge wichtig ist Worinliegt der Unterschied z B zwischen (3|5) und (5|3)

904 a) x Anzahlder 2 euro-Lose yAnzahl der5 euro-Lose2x + 5y = 30b) (0|6) (5|4)(10|2) (15|0) c) Die4 Zahlenpaare ausb) als Punkte imKoordinatensystemeingezeichnet

904I2)H1K2 Bei einem Schulfest organisiert die 4A gemeinsam mit der 7A eine Tombola Es

werden Lose zu 2 euro und 5 euro angeboten Da der Erloumls der Tombola einem guten Zweckzugutekommt ist Toms und Saras Mutter bereit 30 euro in den Loskauf zu investierenWelche Moumlglichkeiten fuumlr die Zusammensetzung aus 2-euro-Losen und 5-euro-Losen hat siea) Stelle eine passende Gleichung aufb) Gib die Loumlsung in Form von Zahlenpaaren anc) Stelle die Loumlsung grafisch im Koordinatensystem darBeachte Tipp 101

ii

ii

ii

ii

101 Eine lineare Gleichung mit zwei Variablen 187

Tipp 101Achte bei der grafischen Darstellung der Loumlsungsmenge einer linearen Gleichung mitzwei Variablen darauf ob die Grundmengeℕ oder ℝ ist Fuumlr G = ℝ ist die grafischeDarstellung der Loumlsungsmenge eine Gerade waumlhrend sie fuumlr G =ℕ nur aus einzelnenPunkten besteht 905 (1)

4x + y = 841(2)(50|641)(100|441) (120|361)(3) ndash (4) Sie liegenalle auf jenerGeraden die durchdie in (3)eingezeichnetenPunkte verlaumluftNur natuumlrlicheZahlen kommenals Koordinaten derPunkte in Frage

905I2)H1K2 Bei einem Laufbewerb haben sich insgesamt

841 Laumlufer angemeldet Es gibt einen Teambewerbfuumlr Teams mit jeweils vier Laumlufern und einen Bewerbfuumlr Einzellaumlufer Wie viele Teams und wie viele Ein-zellaumlufer haben sich angemeldet(1) Stelle den Text durch eine lineare Gleichung mitzwei Variablen dar(2) Gib mindestens 3 Loumlsungen an(3) Zeichne die drei Loumlsungen aus (2) in einem geeigneten Koordinatensystem ein(4) Beschreibe in Worten wo im Koordinatensystem alle weiteren Loumlsungen liegen

906 a) (1) L =(x|y)|y = minus 4

9x + 3

xy isin ℝ (3)(0|3)(9|ndash1)(ndash9|7)b) (1) L = (x|y)|y =32x + 2 xy isin ℝ(3) (0|2)(2|5)(4|8)c) (1) L = (x|y)|y =ndash6x + 2 xy isin ℝ(3)(0|2)(ndash1|8)(1|ndash4)d) (1) L = (x|y)|y =x xy isin ℝ (3)(0|0)(1|1)(2|2)

906 (1) Gib die Loumlsungsmenge der linearen Gleichung fuumlr G = ℝ an(2) Stelle die Loumlsungsmenge grafisch dar(3) Gib mindestens 3 ganzzahlige Zahlenpaare an die Loumlsungen der Gleichung sind

a) 4x + 9y = 27 b) ndash30x + 20y = 40c) x +

16y =

13

d) ndashx +y = 0

907I2)H1K1 Stelle den Text durch eine lineare Gleichung mit zwei Variablen dar und gib min-

destens zwei Loumlsungen fuumlr G =ℕ anAuf einer Berghuumltte gibt es Zimmerlager fuumlr je 4 Personen und Matratzenlager fuumlr je10 Personen Insgesamt koumlnnen 64 Personen in dieser Huumltte uumlbernachten Wie vieleZimmerlager und wie viele Matratzenlager gibt es 4x + 10y = 64 (6|4) oder (1|6)

908a) 6x + 8y =200(25|0) (22|4) (19|8)(16|12) (13|16)(10|20) (7|24) (4|28)oder (1|32)b) 150x + 060y = 9(2|10) oder (4|5)

908I2)H1K1 Wie Aufgabe 907 fuumlr den Text

a) Ein Veranstaltungssaal ist fuumlr 200 Personen zugelassen Wie viele Tische fuumlr 6Personen und wie viele Tische fuumlr 8 Personen koumlnnen insgesamt houmlchstens aufgestelltwerdenb) Sara kauft Stifte zu je 150 euro und Hefteinbaumlnde zu je 060 euro Insgesamt bezahlt sie 9 euro

909 a) b = 2m undm = b

2b) 8

Maumldchen 16Burschen

909I2)H3K1 In eine Klasse gehen doppelt so viele Burschen wie Maumldchen

a) Welche der Gleichungen beschreibtbeschreiben den Sachverhalt richtig

times times 2b = m b = 2m m = b

2b = m ∶ 2

b) Wie viele Maumldchen bzw Burschen gehen in diese Klasse wenn sie insgesamt 24Schuumllerinnen hat

910I2)H1K1 Erfinde zu der Gleichung jeweils einen passenden Text und gib mindestens zwei

ganzzahlige Loumlsungen ana) x + y = 30 b) 2x + 3y = 11c) x = 3y d) x =

12y

ii

ii

ii

ii

188 10 Lineare Gleichungen und Gleichungssysteme mit zwei Variablen

102 Grafisches Loumlsen linearer Gleichungssysteme

Zu Beginn des letzten Abschnitts hast du uumlber die geplanteReise der 4B und der 4C erfahren Die 24Maumldchenmusstenuumlberlegen wie sie sich auf die Drei- und Vierbettzimmeraufteilen werden Endlich haben sie sich geeinigt

rdquoWie

viele Dreibettzimmer und wie viele Vierbettzimmer sollich denn nun fuumlr euch bestellenldquo fragt die Lehrerin dieden Schlussausflug leitet

rdquoDuumlrfen wir Ihnen ein Raumltsel

stellenldquo fragen die Maumldchen grinsend zuruumlckrdquoEigent-

lich wollte ich ja rasch die Organisation abschlieszligen aberwenn es ein gutes Raumltsel ist dann her damitldquo antwortet die Lehrerin

rdquoWir haben die

Zimmer so eingeteilt dass wir insgesamt 7 Zimmer brauchenldquo sagt Sara

9114 Dreibettzimmerund3 Vierbettzimmer

911 Wie viele Dreibett- und Vierbettzimmer muss die Lehrerin nun tatsaumlchlich fuumlr dieMaumldchen bestellen wenn es insgesamt 7 Zimmer sein sollen Wenn du die Ergebnisseaus Aufgabe 901 verwendest ist die Loumlsung besonders einfach

Urspruumlnglich hatten die Maumldchen drei Moumlglichkeiten die Zimmer einzuteilen Durchdie neue Information dass die Maumldchen insgesamt 7 Zimmer benoumltigen bleibt nur eineMoumlglichkeit als Loumlsung uumlberAuch diese neue Information laumlsst sich als lineare Gleichung anschreiben man erhaumllt sozwei lineare Gleichungen zu einem Sachverhalt

Urspruumlngliche InformationFuumlr 24 Maumldchen stehen Dreibett- und Vierbettzimmer zur Verfuumlgung3x + 4y = 24 (vgl mit Seite 185)Neue InformationDie Maumldchen benoumltigen insgesamt 7 Zimmerx + y = 7Insgesamt erhaumllt man ein lineares Gleichungssystem mit zwei VariablenI 3x + 4y = 24II x + y = 7

912 DasZahlenpaar mussbeide Gleichungenerfuumlllen d heingesetzt muss fuumlrbeide Gleichungeneine wahreAussage entstehen

912I2)H4K3 Uumlberlegt zu zweit Welche Bedingungen muss ein Zahlenpaar (x|y) erfuumlllen damit

es Loumlsung eines Gleichungssystems also von beiden Gleichungen eine Loumlsung ist

Lineares GleichungssystemZwei zusammengehoumlrende lineare Gleichungen mit zwei Variablen bilden einlineares Gleichungssystem

I a1x + b1y = c1II a2x + b2y = c2

Ein Zahlenpaar (x |y) ist Loumlsung des Gleichungssystems wenn es beide Gleichungenerfuumlllt

ii

ii

ii

ii

102 Grafisches Loumlsen linearer Gleichungssysteme 189

913 (minus1|2)(1|10) (05|8) (minus1|2) times(5| minus 7)

913I2)H3K1 Welches der Zahlenpaare ist Loumlsung des gegebenen Gleichungs-

systems Kreuze an4x ndash y = -63x + 2y = 1

914Indash10 sdot (ndash1) + 7 sdot3 = 31 wA undII 8 sdot (ndash1)+ 5 sdot 3= 7 w A

914I2)H2K1 Zeige durch Einsetzen in die beiden Gleichungen dass das Zahlenpaar (ndash1|3) Louml-

sung des Gleichungssystems istI ndash10x + 7y = 31II 8x + 5y = 7

915I 3 sdot 4 + 4 sdot 3 = 24wA undII 4 + 3 = 7 w A

915I2)H2K1 Weise durch Einsetzen in die beiden Gleichungen des Gleichungssystems

I 3x + 4y = 24II x + y = 7nach dass die Loumlsung die du in Aufgabe 911 gefunden hast tatsaumlchlich eine Loumlsungdes Gleichungssystems ist

Grafisches Darstellen von linearen GleichungssystemenDa sich eine lineare Gleichung als Gerade grafisch darstellen laumlsst kann man auch einlineares Gleichungssystem grafisch darstellenIm Koordinatensystem werden zwei Geraden eingezeichnetSchneiden die beiden Geraden einander dann Erfuumlllen die Koordinaten des Schnittpunk-tes S(xs |ys) beide Gleichungen Das Zahlenpaar (xs |ys) ist daher Loumlsung des Gleichungs-systems

916 (1) I k = 2d = ndash1 y = 2x ndash 1II k = ndash1 d = 5y = ndashx + 5 (2)I ndash2x + y = ndash1II x + y = 5 (3)(xs |ys) = (2|3)

916I2)H1K2 diams Welches lineare Gleichungssystem ist hier

grafisch dargestellt(1) Bestimme fuumlr beide Geraden die Steigungk und den Achsenabschnitt d und gib die zu-gehoumlrigen Gleichungen in der Form y = kx + dan(2) Gib beide Gleichungen auch in der Formax + by = c an(3) Entnimm der Zeichnung die Koordinatenxs und ys des Schnittpunktes S und uumlberpruuml-fe durch Einsetzen in beide Gleichungen ob(xs |ys) eine Loumlsung des linearen Gleichungssys-tems ist

917 (1) I y =2x + 4II y = ndash 1

2x + 3

2(2) ndash (3) S(ndash1|2)(4) I ndash2 sdot (ndash1) + 2 =4 II (ndash1) + 2 sdot 2 = 3

917 Gegeben ist das lineare GleichungssystemI ndash2x + y = 4II x + 2y = 3

(1)I2)H2K1 Forme die Gleichungen in die Form y = kx + d um

(2)I2)H1K1 Stelle die beiden Gleichungen im Koordinatensystem grafisch dar

(3)I2)H3K1 Bestimme die Koordinaten xs und ys des Schnittpunktes S der beiden Geraden

(4)I2)H2K1 Zeige dass die beiden Werte xs und ys die beiden Gleichungen aus der Angabe

erfuumlllen Setze sie dazu in die Gleichungen ein

ii

ii

ii

ii

190 10 Lineare Gleichungen und Gleichungssysteme mit zwei Variablen

Grafisches Loumlsungsverfahren fuumlr lineare GleichungssystemeI x + 2y = 6II x ndash y = 3

1 Forme die beiden Gleichungen um und stelle sie in der Form y = kx + d darI y = minus 1

2x + 3

II y = x ndash 32 Zeichne die zu den Gleichungen gehoumlren-

den Geraden im Koordinatensystem ein3 Entnimm aus der Zeichnung die Koordina-

ten xs und ys des Schnittpunktes S der bei-den Geraden Das Zahlenpaar S(xs |ys) istdie Loumlsung des GleichungssystemsSchnittpunkt S(4|1)rArr L = (4|1)

ProbeDas Zahlenpaar muss beide Gleichungen erfuumlllen Eingesetzt in die beiden Ausgangs-gleichungen liefern xs und ys fuumlr beide Gleichungen eine wahre AussageI 4 + 2 sdot 1 = 6

6 = 6 wAII 4 ndash 1 = 3

3 = 3 wA

918 a) L = (4|2)b) L = (0|4)

918I2)H2K2 Bestimme grafisch die Loumlsung des linearen Gleichungssystems

Fuumlhre auch die Probe durcha) I y = ndashx + 6

II y =14x + 1

b) I y =14x + 4

II y = ndash2x + 4

919 a) L = (1|3)b) L = (3|0)

919I2)H2K2 Loumlse das lineare Gleichungssystem grafisch und fuumlhre rechnerisch die Probe durch

a) I y = 3xII y = ndash3x + 6

b) I y =13x ndash 1

II y = minus 53x + 5

Tipp 102Computerunterstuumltztes Arbeiten hilft den Zeitaufwand des grafischen Loumlsungsver-fahrens zu reduzieren Das kostenlos erhaumlltliche Programm GeoGebra (wwwgeoge-braorg) eignet sich dafuumlr besonders (siehe S 145)

920 a) L = (ndash2|4)b) L = (0|1)c) L = (ndash3|0)d) L = (2|5)

920I2)H2K2 Ermittle die Loumlsung des linearen Gleichungssystems grafisch

Uumlberpruumlfe dein Ergebnis durch Einsetzen in die beiden Gleichungena) I minus 1

2x + 2y = 9

II 3x + 2y = 2b) I 3x + y = 1

II ndash4x + 2y = 2

c) I ndash5x + 3y = 15II x + 3y = ndash3

d) I ndash12x ndash 2y = ndash11

II x ndash y = ndash3

ii

ii

ii

ii

102 Grafisches Loumlsen linearer Gleichungssysteme 191

921 Nein einGleichungssystemkann auch garkeine Loumlsunghaben (die beidenGeraden sindparallel) oderunendlich vieleLoumlsungen (diebeidenGleichungenstellen dieselbeGerade dar)

921I2)H4K3 In den bisherigen Aufgaben hatten wir es nur mit Gleichungssystemen zu tun die

eindeutig loumlsbar waren die beiden Geraden hatten einen SchnittpunktUumlberlegt zu zweit Muss das immer so sein Kann es Gleichungssysteme geben diemehr als eine Loumlsung oder gar keine Loumlsung habenTipp Uumlberlegt welche Lagebeziehung zwei Geraden in der Ebene haben koumlnnen

922 Die beidenGeraden habendieselbe Steigungaberunterschiedlichesd sind daherparallel und habenkeinen Punktgemeinsam

922I2)H4K2 Weise mit Hilfe des grafischen Loumlsungsverfahrens nach dass folgendes Gleichungs-

system keine Loumlsung hatI ndash2x + y = ndash5II 4x ndash 2y = ndash1

923I2)H4K2 Wende das grafische Loumlsungsverfahren auf folgendes Gleichungssystem an

Welcher besondere Fall liegt vor Beschreibe in Worten Was kannst du daher uumlber dieLoumlsung des Gleichungssystems aussagenI ndash4x + 2y = ndash2II 2x ndash y = 1

923 Die beidenGleichungenstellen dieselbeGerade darUnendlich vieleZahlenpaarenaumlmlich jenePunkte die auf derGeraden liegenerfuumlllen beideGleichungen undsind daher Loumlsungdes Gleichungssys-tems

Loumlsungsfaumllle bei linearen GleichungssystemenBei linearen Gleichungssystemen mit zwei Gleichungen und zwei Variablen gibt esdrei verschiedene Loumlsungsfaumllle

1 FallDas Gleichungssystem hat genau ein Zahlenpaar(x |y) x y isin ℝ als Loumlsung L = (x |y)Grafische InterpretationDie Loumlsungen der beiden Gleichungen stellenGeraden dar die einander im Punkt (x |y) schneiden

2 FallDas Gleichungssystem hat keine Loumlsung L = Grafische InterpretationDie Loumlsungen der beiden Gleichungen stellenparallele Geraden dar und haben daher keinenPunkt gemeinsam

3 FallDas Gleichungssystem hat unendlich viele Loumlsun-genz B L = (x |y) | y = minus2x + 4 x y isin ℝGrafische InterpretationDie Loumlsungen der beiden Gleichungen stellen diesel-be Gerade dar Jeder Punkt der auf dieser Geradenliegt ist Loumlsung des Gleichungssystems

924 Nein dennzwei Geradenkoumlnnen nur genaueinen oder garkeinenSchnittpunkthaben

ii

ii

ii

ii

192 10 Lineare Gleichungen und Gleichungssysteme mit zwei Variablen

924I2)H4K3 Ist es moumlglich dass ein lineares Gleichungssystem mit zwei Variablen genau 2

Loumlsungen hat Begruumlnde deine Antwort925 Sind k und dgleich dannfallen die beidenGeradenzusammenrArrunendlich vieleLoumlsungen Sinddie Steigungengleich aber dieAchsenabschnitteunterschiedlichdann sind diebeiden GeradenparallelrArr keineLoumlsung Sind dieSteigungenunterschiedlichso schneiden dieGeraden einanderrArr genau eineLoumlsung

925I2)H4K2 Uumlberlegt zu zweit Wie kann man aus den beiden Gleichungen eines Gleichungs-

systems die in der Form y = kx + d gegeben sind direkt ablesen (das heiszligt ohne dieZeichnungen anzufertigen) welcher Loumlsungsfall vorliegt Vergleicht dazu jeweils dieSteigungen k bzw die Achsenabschnitte d der beiden Gleichungen

926 a) gleiches kunterschiedliches drArr keine Loumlsungb) unterschiedli-ches krArr eineLoumlsung c) gleichesk gleiches drArrunendlich vieleLoumlsungend) gleiches kunterschiedliches drArr keine Loumlsung

926I2)H3K2 Welcher Loumlsungsfall liegt bei den gegebenen Gleichungssystemen vor Untersuche

durch Vergleich der Steigungen k und der Achsenabschnitte d ob das Gleichungssystemgenau eine Loumlsung unendlich viele Loumlsungen oder keine Loumlsung hata) I y = ndash2x + 6

II y = ndash 2x + 1b) I y =

14x + 4

II y = ndash2x + 4

c) I 2y = 6x + 12II y = 3x + 6

d) I y =13x ndash 1

II y =13x + 5

927 a) keineLoumlsungb) unendlich vieleLoumlsungenc) L = (ndash2|0)d) keine Loumlsung

927I2)H3K2 Forme die Gleichungen jeweils auf die Gestalt y = kx + d um Vergleiche dann die

Steigungen und die Achsenabschnitte der beiden Gleichungen und bestimme welcherLoumlsungsfall vorliegt Fuumlr den Fall dass es genau eine Loumlsung gibt ermittle diese Loumlsunggraphisch

a) I 3x + 2y = 9II 3x + 2y = 1

b) I32x + 4y = ndash2

II 3x + 8y = ndash4

c) I x + 2y = ndash2II x ndash 2y = ndash2

d) I ndash12x ndash y = ndash11

II 2x ndash 4y = ndash3

928 Richtliniendazu siehe Loumlsungvon Aufgabe 925

928I2)H1K3 Schreibe ein lineares Gleichungssystem an das

(1) genau eine Loumlsung(2) keine Loumlsung(3) unendlich viele Loumlsungen hat

929 I x + y = 5II -2x + y = 2S(1|4) ist dieLoumlsung

929I2)H3K3 Sara hat ein Gleichungssystem gra-

fisch geloumlst Rechts siehst du die Zeich-nung Wie lautet die Angabe WelcheKoordinaten hat der Schnittpunkt Wel-che Bedeutung hat er fuumlr dasGleichungs-system

I x + y = 5

II -2x + y = 2

Schnittpunkt S(1|4)

Bedeutung ist die Loumlsung

ii

ii

ii

ii

103 Rechnerisches Loumlsen linearer Gleichungssysteme 193

103 Rechnerisches Loumlsen linearer Gleichungssysteme

Im letzten Abschnitt hast du viele Gleichungssysteme gra-fisch geloumlst Durch dieses Loumlsungsverfahren kann man sehrviel uumlber lineare Gleichungssysteme lernen z B warum esniemals genau 2 Loumlsungen haben kann Wie jedes grafischeVerfahren hat es aber den Nachteil dass man sehr von dereigenen Zeichengenauigkeit abhaumlngig ist Selbst wenn mansich noch so bemuumlht Loumlsungen wie (0345| 261) wird maneiner haumlndischen Zeichnung nur unter groszligem Aufwand ent-nehmen koumlnnen Aber selbst wenn die Loumlsung ganzzahligist koumlnnen Schwierigkeiten auftreten Uumlberlege am Beispieldes Zahlenpaares (1|100)Beim computerunterstuumltzten Arbeiten koumlnnen durch Verschieben des Bildschirmaus-schnittes und Zoomen diese Probleme bewaumlltigt werden aber in Sachen Genauigkeitstoumlszligt man auch da an Grenzen Ein klarer Fall also dass auch rechnerische Loumlsungs-moumlglichkeiten gefragt sind

Wir kommen ein letztes Mal auf die Abschlussreise der 4B und der 4C zuruumlck die amAnfang dieses Kapitels (siehe S 184) vorgestellt wurde Uumlber die Zimmereinteilungfuumlr die 24 Maumldchen weiszlig man dass sie insgesamt 7 Zimmer benoumltigen und dass dieseZimmer Dreibett- und Vierbettzimmer sind Daraus ergibt sich das GleichungssystemI 3x + 4y = 24II x + y = 7

Ein Zahlenpaar (x|y) das Loumlsung des Gleichungssystems ist muss beide Gleichungenerfuumlllen Das heiszligt der Zusammenhang zwischen den Variablen x und y der sich auseiner Gleichung ergibt muss auch fuumlr die andere Gleichung geltenIm Gleichungssystem oben ergibt sich aus Gleichung IIx + y = 7 bzw x = 7 ndash yDas muss auch fuumlr Gleichung I geltenDaher duumlrfen wir in Gleichung I fuumlr x den Term 7 ndash y einsetzen3 sdot (7 ndash y) + 4y = 24und erreichen damit dass wir y aus einer linearen Gleichung mit einer Variable bestim-men koumlnnen

21 ndash 3y + 4y = 24y = 3

Wegen x = 7 ndash y erhalten wir fuumlr x = 7 ndash 3 = 4und damit als Loumlsung des Gleichungssystems das Zahlenpaar (4|3)

Beide Gleichungen sind erfuumlllt wie die Probe zeigtI 3 sdot 4 + 4 sdot 3 = 12 + 12 = 24II 4 + 3 = 7

ii

ii

ii

ii

194 10 Lineare Gleichungen und Gleichungssysteme mit zwei Variablen

Die beschriebenen Uumlberlegungen begruumlnden das so genannte EinsetzungsverfahrenIm folgenden Musterbeispiel im gelben Kasten sind die einzelnen Durchfuumlhrungsschrittezusammengefasst

Einsetzungsverfahren (= Substitutionsverfahren)I 3x + 4y = 24II x + y = 71 Druumlcke in einer der beiden Gleichungen x durch y aus

(Du kannst auch umgekehrt y durch x ausdruumlcken Mach das was einfacher ist)Gleichung II x = 7 ndash y

2 Durch Einsetzen des Terms in die andere Gleichung erhaumlltst du eine Gleichungmit einer VariablenGleichung I 3 sdot (7 ndash y) + 4y = 24

3 Loumlse diese Gleichung21 ndash 3y + 4y = 24y = 3

4 Setze die Loumlsung in den Term ein und ermittle die zweite Variablex = 7 ndash 3 = 4rArr L = (4|3)

ProbeI 3 sdot 4 + 4 sdot 3 = 12 + 12 = 24II 4 + 3 = 7

Es gibt fuumlr lineare Gleichungssysteme noch weitere Loumlsungsverfahren zwei davonwerden in den folgenden beiden Musterbeispielen vorgestellt

Gleichsetzungsverfahren (= Komparationsmethode)I 3x + 4y = 24II x + y = 71 Druumlcke in beiden Gleichungen x durch y aus

(Ebenso koumlnntest du wahlweise auch y durch x ausdruumlcken)I 3x = ndash4y + 24

x = ndash 43y + 8

II x = 7 ndash y2 Durch Gleichsetzen der beiden Terme erhaumlltst du eine Gleichung mit einer Va-

riablenndash 4

3y + 8 = 7 ndash y

3 Loumlse diese Gleichungndash 1

3y = ndash1

y = 34 Setze die Loumlsung in einen der beiden Terme aus 1 ein und ermittle die zweite

Variablex = 7 ndash 3 = 4rArr L = (4|3)

Vergiss die Probe nicht

ii

ii

ii

ii

103 Rechnerisches Loumlsen linearer Gleichungssysteme 195

Additionsverfahren1 Multipliziere die Gleichungen mit geeigneten Faktoren so dass bei einer Variable

entgegengesetzt gleiche Koeffizienten entstehenI 3x + 4y = 24II x + y = 7 |sdot(ndash4)

2 Durch Addieren der beiden Gleichungen erhaumlltst du eine Gleichung mit einerVariableI 3x + 4y = 24II ndash4x ndash 4y = ndash28

ndashx = ndash43 Loumlse diese Gleichung

x = 44 Setze die Loumlsung in eine der beiden Gleichungen ein und berechne die zweite

Variable4 + y = 7y = 3rArr L = (4|3)

Vergiss die Probe nicht (siehe Seite 194)

930 a) L =(ndash1|2)b) L =(0|4)c) L =(2|5)d) L =(10|20)

930I2)H2K1 Loumlse das Gleichungssystem mit dem Einsetzungsverfahren

Fuumlhre auch die Probe durcha) I x + 2y = 3

II ndash2x + y = 4b) I ndashx + 4y = 16

II 2x + y = 4c) I x ndash y = ndash3

II ndash12x ndash 2y = ndash11

d) I 7x + y = 90II ndash12x + 5y = ndash20

931 a) L =(4|1)b) L =(4|2)c) L =(ndash23|10)d) L =(ndash35|0)

931I2)H2K1 Loumlse das Gleichungssystem mit dem Gleichsetzungsverfahren

Fuumlhre auch die Probe durcha) I x ndash y = 3

II x + 2y = 6b) I ndash

14x + y = 1

II x + y = 6c) I x + 2y = ndash3

II x ndash 3y = ndash53d) I x + 3y = ndash35

II ndash5x + 3y = 175

932a) L =(17|ndash103)b) L =(10|14)c) L =(8|0)d) L =(18|21)

932I2)H2K1 Loumlse das Gleichungssystem mit dem Additionsverfahren

Fuumlhre auch die Probe durcha) I 3x + 2y = ndash155

II 2x ndash 5y = 549b) I 7x ndash y = 56

II ndash8x + 3y = ndash38c) I 5x + 11y = 40

II 6x ndash 12y = 48d) I 10x ndash 3y = 117

II 20x + 4y = 444

933 a) L =(02|18)b) L =(16|3)c) L =(17|10)d) L =(ndash04|05)

933I2)H2K1 Loumlse das Gleichungssystem mit jenem Loumlsungsverfahren das am besten (fuumlr dich)

passt Vergiss die Probe nicht

a) I x + y = 2II x + 6y = 11

b) I 5x + 2y = 14II ndash5x ndash 3y = ndash17

c) I 6x + y = 202II 7x ndash 3y = ndash181

d) I x + 11y = 51II x ndash 10y = ndash54

ii

ii

ii

ii

196 10 Lineare Gleichungen und Gleichungssysteme mit zwei Variablen

934 (1)1 (1| minus 4)(2) (5|8)(3) (minus05| minus 3)(4) (minus25|0)

934I2)H2K1 Ordne den Gleichungssystemen die richtige Loumlsung zu

(1) 7x + y = 3 (minus05| minus 3)minusx + 5y = minus21

(2) x = yndash3 (5|8)xndash2y = minus11

(3) y = 4xndash1 (minus25|0)y = minus2xndash4

(4) minus4x + 7y = 10 (1| minus 4)2xndash3y = minus5

935 (2|5)935I2)H2

K1

Gleichungssystem Gegeben ist das folgende Gleichungssystem

I x + 2y = 12II 2x + 5y = 29

Loumlse dieses Gleichungssystem

936 c = 3 d = 4936I2)H2

K1

Zwei Gleichungen Loumlse das GleichungssystemI 3c ndash 4d = ndash 7II c = d ndash 1

937 a) L = b) L = (13|ndash55)c) L = (x|y)|y = 1

2x

ndash 74 xy isin R

d) L =

937I2)H2K2 Gib die Loumlsungsmenge des Gleichungssystems an

Achtung Nicht jedes der Gleichungssysteme ist eindeutig loumlsbar

a) I ndash3x ndash 10y = 0II 15x + 5y = 1

b) I 8x ndash 7y = 1425II ndash9x + 2y = ndash128

c) I 2x ndash 4y = 7II ndash6x + 12y = ndash21

d) I ndash06x + 12y = 08II 18x ndash 36y = ndash28

938I2)H1K3 Gib ein lineares Gleichungssystem an das

a) die Loumlsung (4|1) b) die Loumlsung (minus2|5) c) keine Loumlsung hat

939 Alle beruhendarauf dasssowohl derZusammenhangzwischen denbeiden Variablender sich ausGleichung I ergibtals auch derZusammenhangder sich ausGleichung II ergibterfuumlllt sein muss

939I2)H4K3 Erklaumlre was der Hintergrund der drei Verfahren ist

ii

ii

ii

ii

104 Textaufgaben zu linearen Gleichungssystemen 197

104 Textaufgaben zu linearen GleichungssystemenVerwende beim Loumlsen der in den folgenden Aufgaben auftretenden Gleichungssystemejenes Loumlsungsverfahren das dir am geeignetsten erscheint

940 a) x + y = 1585x + 65y = 95548 Schuumllerinnenund110 Erwachseneb) 104 Schuumllerin-nen und92 Erwachsene

940I2)H2K1 Der Eintritt zu einer Greifvogelschau kostet fuumlr Schuumllerinnen

500 euro fuumlr Erwachsene 650 euro Das Verwaltungsbuumlro der Greifvo-gelstation moumlchte wissen wie die Aufteilung der Zuschauer aufErwachsene und Schuumllerinnen war An der Kassa hat man abernur die Gesamtanzahl an verkauften Karten und die Einnahmenregistriert Berechne aus diesen Aufzeichnungen wie viele Er-wachsene bzw Schuumllerinnen die Flugshow besucht haben

a) Vormittagsvorstellung 158 Karten Einnahmen 955ndash eurob) Nachmittagsvorstellung 196 Karten Einnahmen 1118ndash euro

941 x + y = 27065x + 4y = 1485162 Karten fuumlrErwachsene und108 Schuumllerinnen-Karten

941I2)H2K1 Bei der Auffuumlhrung eines Schultheaters werden an der Abendkassa Karten zu

650 euro fuumlr Erwachsene und Karten zu 4 euro fuumlr Schuumllerinnen verkauft Insgesamt wurden270 Karten verkauft und 1485 euro eingenommen Wie viele Schuumllerinnenkarten und wieviele Karten fuumlr Erwachsene wurden verkauft

9423 Gleichungssystem

942I2)H3K1 Wie Aufgabe 941 fuumlr insgesamt 171 verkaufte Karten und 879 euro EinnahmenWelches

Gleichungssystem passt zum Text Kreuze an

times I e + s = 879II 650e + 4s = 171

I e + 4s = 171II 650e + s = 879

I e + s = 171II 650e+4s = 879

I 4s + s = 171II 650e + e = 879

943 (1) DerHinflug erfolgt mitRuumlckenwind derRuumlckflug mitGegenwind Jadenn bei allenLangstreckenfluuml-gen wirken sich dieLuftstroumlmungenauf die Flugzeit ausWien ndash New York910 h New York ndashWien 845(Abfragewwwauacom2552009) (2)Wien ndash Tokio821 kmh Tokio ndashWien 764 kmh(3) Eigengeschwin-digkeit desFlugzeuges7925 kmh Wind-geschwindigkeit285 kmh

943I2)H2K1 diams Waumlhrend des Langstreckenfluges Wien ndash To-

kio werden den Passagieren uumlber Bildschirme Rei-seinformationen geboten Zu Beginn der Reise wirddie Distanz zwischen Wien und Tokio mit 9164 kmangegeben die voraussichtliche Flugzeit mit 1110h Frau Schindler vergleicht mit ihren Fluginforma-tionen fuumlr den Ruumlckflug Dort wird die Flugzeit fuumlrTokio ndash Wien mit 1200 h angegeben obwohl sie wie-der mit demselben Flugzeugtyp fliegen wird(1) Warum unterscheiden sich die Flugzeiten zwischen Hinflug und Ruumlckflug so deut-lich Ist das auch bei anderen Langstreckenfluumlgen so Frage im Internet die Flugzeitenfuumlr den Transatlantikflug von einem europaumlischen Flughafen nach New York hin undzuruumlck ab(2) Berechne die durchschnittliche Fluggeschwindigkeit fuumlr die angegebenen FlugzeitenWien ndash Tokio bzw Tokio ndash Wien(3) Berechne die (durchschnittliche) Eigengeschwindigkeit des Flugzeuges und die(durchschnittliche) erwartete Windgeschwindigkeit die der Angabe der Flugzeit zu-grunde liegen

ii

ii

ii

ii

198 10 Lineare Gleichungen und Gleichungssysteme mit zwei Variablen

944(1) Hinflug764 kmhRuumlckflug 836 kmh(2) Eigengeschwin-digkeit desFlugzeuges800 kmh Windge-schwindigkeit36 kmh

944I2)H2K1 diams Die Flugzeit fuumlr den Flug Frankfurt ndash Chicago

wird im Internet von einer Fluglinie mit 908 h an-gegeben die Flugzeit fuumlr den Ruumlckflug mit dem-selben Flugzeugtyp mit 821 h Die Entfernungzwischen Frankfurt und Chicago betraumlgt 6978 km(1) Berechne die durchschnittlichen Fluggeschwin-digkeiten fuumlr die angegebenen Flugzeiten fuumlr Hin-und Ruumlckflug(2) Berechne die (durchschnittliche) Eigengeschwindigkeit des Flugzeuges und die(durchschnittliche) erwartete Windgeschwindigkeit die der Angabe der Flugzeit zu-grunde liegen

Kommen zwei Systeme (z B Fluumlssigkeiten) mit unterschiedlicher Temperatur zusam-men so gleichen sich ihre Temperaturen durch Waumlrmeaustausch an Waumlrme flieszligtdabei immer vom waumlrmeren zum kaumllteren System so lange bis beide Systeme diegleiche Temperatur habenMischt man einen Liter Wasser mit einer Temperatur von 10 mit einem Liter Was-ser mit einer Temperatur von 20 so entstehen 2 Liter Wasser mit der mittlerenTemperatur von 15

94566 Liter aus demWasserboiler und84 Liter aus demKaltwasserzufluss

945I2)H2K1 ⋆ In einem Niedrigenergiehaus steht ein solar-

beheizter Wasserboiler zur Verfuumlgung Nach einemsonnigen Tag wird eine Wassertemperatur von 64angezeigt Eine Badewanne soll mit 150 Litern Was-ser gefuumlllt werden die erwuumlnschte Temperatur ist37 Wie viele Liter muumlssen aus dem solarbeheiztenBoiler und wie viele Liter aus einem Kaltwasserzu-fluss (16 ) zuflieszligen Runde auf ganze Liter

946 12 Liter 946I2)H2K1 ⋆ An einem heiszligen Sommertag ist die Temperatur in einem 100-Liter-Aquarium

auf 27 angestiegen Wie viel Liter Wasser muss man entnehmen und durch 10 kaltes Wasser ersetzen damit wieder die fuumlr die Fische passende Temperatur von 25 erreicht wird(Tipp Wenn von den 100 Litern x Liter entnommen werden so ist das genau jeneWassermenge mit 10 die zur verbleibenden Wassermenge (y Liter) hinzukommt)

Zahlenraumltsel

947a) x + y = 131 undx minus v = 43b) x = y + 5 und2v + x = 83

947I2)H2K1 Uumlbersetze den Text jeweils in zwei lineare Gleichungen und loumlse das Gleichungs-

system um die beiden gesuchten Zahlen zu ermitteln Fuumlhre auch die Probe durcha) Die Summe zweier Zahlen ist 131 Ihre Differenz betraumlgt 43b) Eine Zahl ist um 5 groumlszliger als die andere Addiert man zum Doppelten der kleinerenZahl die groumlszligere Zahl erhaumllt man 83

ii

ii

ii

ii

104 Textaufgaben zu linearen Gleichungssystemen 199

948 a) 150 und 50b) 8 und 28

948I2)H2K1 Wie Aufgabe 947

a) Eine Zahl ist dreimal so groszlig wie eine zweite Zahl Die Differenz der beiden Zahlenbetraumlgt 100b) Die Differenz zweier Zahlen ist 20 Addiert man zum Dreifachen der kleineren Zahldas Doppelte der groumlszligeren Zahl erhaumllt man 80

949 13 und 9949I2)H2K1 ⋆ Die Differenz zweier Zahlen betraumlgt 4 Verringert man die groumlszligere der beiden

Zahlen um 1 und vergroumlszligert die kleinere um 2 so wird das Produkt um 15 groumlszliger Wielauten die beiden Zahlen

950 27 und 42950I2)H2K1 ⋆ Die Summe zweier Zahlen ist 69 Vergroumlszligert man eine Zahl um 3 und verringert

die andere um 5 so wird das Produkt um 24 kleiner Berechne die beiden Zahlen

Aufgaben aus der Geometrie

951 a) a = 23 cmb = 13 cmb) a =24 cmb = 12 cm

ef

a

b

951I2)H2K1 Die laumlngere Seite eines Parallelogramms ist

a) um 10 cm laumlnger als die kuumlrzere Seiteb) doppelt so lang wie die kuumlrzere SeiteDer Umfang des Parallelogramms ist 72 cmBerechne die Seitenlaumlngen des Parallelogramms

952 I α + 54 = γ II 2α + γ = 180α = β = 42deg γ = 96degb

A c

a

C

B

952I2)H2K1 In einem gleichschenkligen Dreieck ist ein Basiswinkel (α = β

vergleiche mit der Skizze) um 54deg kleiner als der Winkel γ Ermittle dieGroumlszlige der Winkel des gleichschenkligen Dreiecks Fuumlhre auch die Probedurch

953 Basis 32 cmSchenkel 21 cm

953I2)H2K1 Die Basis eines gleichschenkligen Dreiecks ist um 11 cm laumlnger als die Schenkel-

laumlnge Der Umfang des Dreiecks ist 74 dm Wie lang sind Basis und Schenkel diesesgleichschenkligen Dreiecks

954 Basis 18 cmSchenkel 21 cm

954I2)H2K1 Der Umfang eines gleichschenkligen Dreiecks betraumlgt 60 cm Die Basis ist um

3 cm kuumlrzer als eine Schenkellaumlnge Berechne die Laumlnge der Basis und der Schenkel

955 b = 21 cml = 35 cm

955I2)H2K1 In einem Rechteck verhalten sich die Seiten wie 35 Der Umfang des Rechtecks

ist 112 cm Wie breit und wie lang ist das Rechteck

956 Erfinde eine aumlhnliche Aufgabenstellung wie die in 955Deine Nachbarindein Nachbar soll sie loumlsen

957 (1) b = 8 cml = 18 cm (2) einQuadrat mits = 12 cm

957I2)H2K1 ⋆ Die Seiten eines Rechtecks verhalten sich wie 49 Verlaumlngert man die kuumlrzere

Seite um 4 cm und verkuumlrzt die laumlngere Seite um 6 cm so bleibt der Flaumlcheninhaltunveraumlndert(1) Wie lang und wie breit ist das urspruumlngliche Rechteck(2) Wie lang sind die Seiten des veraumlnderten RechtecksWelche besondere Form liegt vor

ii

ii

ii

ii

200 10 Lineare Gleichungen und Gleichungssysteme mit zwei Variablen

958 a) y = ndashx +3

b) y = 135x + 4

5

958I2)H2K1 Wie lautet die Gleichung jener Geraden g die durch die beiden gegebenen Punkte

geht

A(ndash2|5) B(3|1)Da beide Punkte auf der Geraden g liegenerfuumlllen sie die Gleichung y = kx + dWir setzen daher die Koordinaten der Punkte fuumlr x und y ein und erhalten ein linearesGleichungssystem mit den Variablen k und dA liegt auf g rArr I 5 = ndash2k + d | sdot (ndash1)B liegt auf g rArr II 1 = 3k + d rceil+

(ndash1) sdot I ndash5 = 2k ndash d rfloorndash4 = 5kk = minus 4

5minus 4

5eingesetzt in Gleichung I ergibt

5 = ndash2 sdot 1114100minus 451114103 +d rArrd = 5 ndash

85= 17

5Die Gleichung der Geraden g die durch die beiden Punkte A und B verlaumluft lautetdaher

g y = minus 45k +

175

a) A(2|1) B(ndash1|4) b) R(ndash3|ndash7) S(2|6)

959 a) y = minus 25x + 2

b) y = minus 74x + 5

c) y = 109x + 1

9

d) y = 56x ndash 5

959 Stelle die Gleichung jener Geraden auf die durch die gegebenen beiden Punktegehta) A(ndash20|10) B(5|0) b) C(0|5) D(4|ndash2) c) E(8|9) F(ndash1|ndash1) d) G(6|0) H(0|ndash5)

105 Ausblick und Exercises1051 Ausblick

960 (1)a = 104 cmha = 78 cm (2) Eshandelt sich nichtum ein linearesGleichungssystemEinsetzungsverfah-ren undGleichsetzungsver-fahren koumlnnen zurAnwendungkommenAdditionsverfahrenund grafischesLoumlsungsverfahrennicht

960I2)H2K1 ⋆ In einemDreieck verhalten sich eine Seite und ihre Houmlhe wie 43 Der Flaumlcheninhalt

des Dreiecks betraumlgt 4056 cm2(1) Berechne die Seitenlaumlnge und die Houmlhe(2) Inwiefern unterscheidet sich das Gleichungssystem in (1) von den anderen bisjetzt behandelten Welche Loumlsungsverfahren koumlnnen zur Anwendung kommen welchenichtWie Aufgabe 960 zeigt gibt es auch andere als nur lineare Gleichungssysteme Mit demEinsetzungsverfahren kann man auch diese loumlsen Das Additionsverfahren ist dafuumlrnicht geeignetBei komplexen Sachverhalten mit hoher Anwendungsrelevanz kommt man in der Regelnicht mit einem Gleichungssystem das nur zwei Gleichungen enthaumllt aus Beispiels-weise fuumlhren Messreihen in der Chemie oder Physik haumlufig auf Gleichungssysteme dieaus mehreren Gleichungen mit mehreren Variablen bestehenDie Loumlsungsverfahren wie du sie kennengelernt hast sind auch fuumlr solche Gleichungs-systeme erweiterbar In der Praxis wird der oft hohe Rechenaufwand mit geeigneterSoftware am Computer (siehe Kap 145 S 265) bewaumlltigt

ii

ii

ii

ii

105 Ausblick und Exercises 201

1052 Exercises

vocabularysystem of linear equations lineares Gleichungssystemsolution Loumlsunggraphing zeichnensubstitution das Ersetzen Einsetzenaddition method hier Additionsverfahrento solve loumlseninfinitely-many unendlich viele

961 (ndash5|1) is asolution of thegiven equation

961I2)H3K2 Determine whether either of the points (1|ndash5) and (ndash5|1) is a solution to the given

system of equationsndash6x + y = 315x + 7y = ndash18

962I2)H3K1 Fill in

infinitely-many (2x) ndash two ndash three (2x) ndash one (2x) ndash no solution ndash none

For systems of linear equations (two variables two equations) there are threepossible types of solutions

The system may have one solution (a specific point (x|y))

no solution at all or

infinitely-many solutions

There is no such system with two or three solutions

You will always have one none

or infinitely-many solutions

963 L = (0|3)963I2)H2K2 Solve the following system by graphing

x + 4y = 12ndash10x + 5y = 15

964 L = (ndash50|100)964I2)H2K2 Solve the following system by substitution

ndash3x + y = 2507x + 10y = 650

965 L = (35|ndash8)965I2)H2K2 Solve the following system using the addition method

6x + 11y = ndash678x ndash 3y = 52

966 98 and 41966I2)H2K2 The difference of two numbers is 57 The sum of these two numbers is 139 Which

numbers are we referring to

967 (12|1) and(1|0)

967I2)H2K1 Which are correct solutions to the equation 5x + 4y = 5

times times(12|1) (2| + 12) (04|05) (1|0)

ii

ii

ii

ii

202 10 Lineare Gleichungen und Gleichungssysteme mit zwei Variablen

106 Mathe fit und kompetent ndash Kompetenzcheck

968 Richtig sindm + b = 21 undm minus 2b

2m + b = 21 m + 2b = 21 m + b = 21 timesm = 2b timesb = 2m

968I2)H3K1 In einer Klasse mit 21 Kindern gibt es doppelt so viele

Maumldchen wie BubenDie Anzahl der Maumldchen wird mit m bezeichnet die Anzahl derBubenmit b Kreuze jeneGleichung(en) an die zur beschriebenenKlasse passen

969I2)H1K1 Schreibe den Text in Form eines linearen Gleichungssystems an

a) Bei einer Flugreise wiegt Deryas Koffer um 7 kg mehr als ihr Handgepaumlck Insgesamthaben die beiden Gepaumlckstuumlcke 23 kg

I k = h + 7

II k + h = 23b) Eine Zahl ist um 7 groumlszliger als die andere Subtrahiert man vom Doppelten dergroumlszligeren Zahl die kleinere erhaumllt man 20

I x = y + 7

II 2x minus y = 20

970I2)H1K3 Erfinde einen kurzen Text der sich durch eine lineare Gleichungmit zwei Variablen

darstellen laumlsst

971 (1) (minus05|3)(2) (5|0) (3) (1| minus 7)(4) (0|4)

971I2)H2K1 Verbinde die Gleichungssysteme mit der jeweils richtigen Loumlsung

(1) 2x + y = 2 (1| minus 7)minus8x minus 2y = minus2

(2) 4x + 6y = 20 (0|4)minusx + y = minus5

(3) 2x + y = minus5 (minus05|3)minus8x minus 2y = 6

(4) x + 2y = 8 (5|0)10x minus y = minus4

972 a) (6| minus 5)b) (04|1)

972I2)H2K1 Loumlse das Gleichungssystem und fuumlhre auch die Probe durch

a) I 3x + 4y = minus2 b) I 5x minus 4y = minus2II x minus y = 11 II minus2x + 6y = 52

973 L = (ndash2|1) 973I2)H2K2 Loumlse das Gleichungssystem (1) graphisch und (2) rechnerisch

I minus3x + 2y = 8II 2x + 4y = 0

ii

ii

ii

ii

106 Mathe fit und kompetent ndash Kompetenzcheck 203

974I2)H3K2 (1) Welches Gleichungssystem ist in der Grafik dargestellt Kreuze an

I y = 34xndash4

II y = 13x + 1

I y = 43x + 4

II y = minus 13xndash1

I y = xndash4II y = 1

3x + 1

I y = 43x minus 4

II y = minus 13x + 1

times

(2) Wie lautet die Loumlsung dieses Gleichungssystems (3|0)

975 Keine LoumlsungDie beidenGleichungenstellen paralleleGeraden dar dahergibt es keinZahlenpaar dasbeide Gleichungenerfuumlllt975I2)H4

K2 Wie viele Loumlsungen hat das angeschriebene GleichungssystemVersuche zu antworten ohne ein Loumlsungsverfahren anzuwendenBegruumlnde deine Antwort

I x + y = 1II 2x + 2y = 3

976 SieheZusammenfassungder Loumlsungsfaumllleauf Seite 191

976I2)H4K3 Erklaumlre Warum hat ein lineares Gleichungssystem mit zwei Variablen entweder

genau eine keine oder unendlich viele Loumlsungen977 3 und 4Gleichungssystem

977I2)H3K1 In einem Rechteck verhalten sich die Seiten wie 4 ∶ 7 Der Umfang ist 55 cm

Zwei der folgenden Gleichungssysteme beschreiben den Sachverhalt richtig Kreuze anwelche

times timesI b ∶ l = 4 ∶ 7II 4b + 7l = 55

I 4l = 7bII b + l = 55

I b ∶ l = 4 ∶ 7II 2b + 2l = 55

I 4l = 7bII 2(b + l) = 55

978 1 kg Mehlkostet 15 euro 1 kgZucker kostet 1 euro

978I2)H2K2 Tom kauft 2 kg Mehl und 1 kg Zucker und bezahlt dafuumlr 4 Euro Anna kauft 1 kg

Mehl und 3 kg Zucker und bezahlt dafuumlr 45 Euro Wie viel kostet 1 kg Mehl Wie vielkostet 1 kg Zucker

979 (1) Esbesuchten viermalso vieleErwachsene wieKinder dieAusstellung (2)Insgesamtbesuchten 680Personen dieAusstellung (3) Eshaben um 240mehr Kinder alsErwachsene dieAusstellungbesucht

979I2)H3K1 Im Folgenden steht jeweils k fuumlr die Anzahl der Kinder und e fuumlr die Anzahl

der Erwachsenen die eine Ausstellung besucht haben Schreibe in Worten was dieGleichungen uumlber den Ausstellungsbesuch von Erwachsenen und Kindern aussagen(1) Montag e = 4k (2) Dienstag k + e = 680 (3) Mittwoch e + 240 = k

980 800 kmh70 kmn

980I2)H2K2 Ein Flugzeug erreicht mit Ruumlckenwind eine Geschwindigkeit von 870 kmh bei

(gleichstarkem) Gegenwind kommt es nur auf 720 kmh Berechne die Eigengeschwin-digkeit des Flugzeugs und die Windgeschwindigkeit

981I2)H1K3 Schreibe ein lineares Gleichungssystem an das die Loumlsung (2|5) hat

ii

ii

ii

ii

101 Eine lineare Gleichung mit zwei Variablen 187

Tipp 101Achte bei der grafischen Darstellung der Loumlsungsmenge einer linearen Gleichung mitzwei Variablen darauf ob die Grundmengeℕ oder ℝ ist Fuumlr G = ℝ ist die grafischeDarstellung der Loumlsungsmenge eine Gerade waumlhrend sie fuumlr G =ℕ nur aus einzelnenPunkten besteht 905 (1)

4x + y = 841(2)(50|641)(100|441) (120|361)(3) ndash (4) Sie liegenalle auf jenerGeraden die durchdie in (3)eingezeichnetenPunkte verlaumluftNur natuumlrlicheZahlen kommenals Koordinaten derPunkte in Frage

905I2)H1K2 Bei einem Laufbewerb haben sich insgesamt

841 Laumlufer angemeldet Es gibt einen Teambewerbfuumlr Teams mit jeweils vier Laumlufern und einen Bewerbfuumlr Einzellaumlufer Wie viele Teams und wie viele Ein-zellaumlufer haben sich angemeldet(1) Stelle den Text durch eine lineare Gleichung mitzwei Variablen dar(2) Gib mindestens 3 Loumlsungen an(3) Zeichne die drei Loumlsungen aus (2) in einem geeigneten Koordinatensystem ein(4) Beschreibe in Worten wo im Koordinatensystem alle weiteren Loumlsungen liegen

906 a) (1) L =(x|y)|y = minus 4

9x + 3

xy isin ℝ (3)(0|3)(9|ndash1)(ndash9|7)b) (1) L = (x|y)|y =32x + 2 xy isin ℝ(3) (0|2)(2|5)(4|8)c) (1) L = (x|y)|y =ndash6x + 2 xy isin ℝ(3)(0|2)(ndash1|8)(1|ndash4)d) (1) L = (x|y)|y =x xy isin ℝ (3)(0|0)(1|1)(2|2)

906 (1) Gib die Loumlsungsmenge der linearen Gleichung fuumlr G = ℝ an(2) Stelle die Loumlsungsmenge grafisch dar(3) Gib mindestens 3 ganzzahlige Zahlenpaare an die Loumlsungen der Gleichung sind

a) 4x + 9y = 27 b) ndash30x + 20y = 40c) x +

16y =

13

d) ndashx +y = 0

907I2)H1K1 Stelle den Text durch eine lineare Gleichung mit zwei Variablen dar und gib min-

destens zwei Loumlsungen fuumlr G =ℕ anAuf einer Berghuumltte gibt es Zimmerlager fuumlr je 4 Personen und Matratzenlager fuumlr je10 Personen Insgesamt koumlnnen 64 Personen in dieser Huumltte uumlbernachten Wie vieleZimmerlager und wie viele Matratzenlager gibt es 4x + 10y = 64 (6|4) oder (1|6)

908a) 6x + 8y =200(25|0) (22|4) (19|8)(16|12) (13|16)(10|20) (7|24) (4|28)oder (1|32)b) 150x + 060y = 9(2|10) oder (4|5)

908I2)H1K1 Wie Aufgabe 907 fuumlr den Text

a) Ein Veranstaltungssaal ist fuumlr 200 Personen zugelassen Wie viele Tische fuumlr 6Personen und wie viele Tische fuumlr 8 Personen koumlnnen insgesamt houmlchstens aufgestelltwerdenb) Sara kauft Stifte zu je 150 euro und Hefteinbaumlnde zu je 060 euro Insgesamt bezahlt sie 9 euro

909 a) b = 2m undm = b

2b) 8

Maumldchen 16Burschen

909I2)H3K1 In eine Klasse gehen doppelt so viele Burschen wie Maumldchen

a) Welche der Gleichungen beschreibtbeschreiben den Sachverhalt richtig

times times 2b = m b = 2m m = b

2b = m ∶ 2

b) Wie viele Maumldchen bzw Burschen gehen in diese Klasse wenn sie insgesamt 24Schuumllerinnen hat

910I2)H1K1 Erfinde zu der Gleichung jeweils einen passenden Text und gib mindestens zwei

ganzzahlige Loumlsungen ana) x + y = 30 b) 2x + 3y = 11c) x = 3y d) x =

12y

ii

ii

ii

ii

188 10 Lineare Gleichungen und Gleichungssysteme mit zwei Variablen

102 Grafisches Loumlsen linearer Gleichungssysteme

Zu Beginn des letzten Abschnitts hast du uumlber die geplanteReise der 4B und der 4C erfahren Die 24Maumldchenmusstenuumlberlegen wie sie sich auf die Drei- und Vierbettzimmeraufteilen werden Endlich haben sie sich geeinigt

rdquoWie

viele Dreibettzimmer und wie viele Vierbettzimmer sollich denn nun fuumlr euch bestellenldquo fragt die Lehrerin dieden Schlussausflug leitet

rdquoDuumlrfen wir Ihnen ein Raumltsel

stellenldquo fragen die Maumldchen grinsend zuruumlckrdquoEigent-

lich wollte ich ja rasch die Organisation abschlieszligen aberwenn es ein gutes Raumltsel ist dann her damitldquo antwortet die Lehrerin

rdquoWir haben die

Zimmer so eingeteilt dass wir insgesamt 7 Zimmer brauchenldquo sagt Sara

9114 Dreibettzimmerund3 Vierbettzimmer

911 Wie viele Dreibett- und Vierbettzimmer muss die Lehrerin nun tatsaumlchlich fuumlr dieMaumldchen bestellen wenn es insgesamt 7 Zimmer sein sollen Wenn du die Ergebnisseaus Aufgabe 901 verwendest ist die Loumlsung besonders einfach

Urspruumlnglich hatten die Maumldchen drei Moumlglichkeiten die Zimmer einzuteilen Durchdie neue Information dass die Maumldchen insgesamt 7 Zimmer benoumltigen bleibt nur eineMoumlglichkeit als Loumlsung uumlberAuch diese neue Information laumlsst sich als lineare Gleichung anschreiben man erhaumllt sozwei lineare Gleichungen zu einem Sachverhalt

Urspruumlngliche InformationFuumlr 24 Maumldchen stehen Dreibett- und Vierbettzimmer zur Verfuumlgung3x + 4y = 24 (vgl mit Seite 185)Neue InformationDie Maumldchen benoumltigen insgesamt 7 Zimmerx + y = 7Insgesamt erhaumllt man ein lineares Gleichungssystem mit zwei VariablenI 3x + 4y = 24II x + y = 7

912 DasZahlenpaar mussbeide Gleichungenerfuumlllen d heingesetzt muss fuumlrbeide Gleichungeneine wahreAussage entstehen

912I2)H4K3 Uumlberlegt zu zweit Welche Bedingungen muss ein Zahlenpaar (x|y) erfuumlllen damit

es Loumlsung eines Gleichungssystems also von beiden Gleichungen eine Loumlsung ist

Lineares GleichungssystemZwei zusammengehoumlrende lineare Gleichungen mit zwei Variablen bilden einlineares Gleichungssystem

I a1x + b1y = c1II a2x + b2y = c2

Ein Zahlenpaar (x |y) ist Loumlsung des Gleichungssystems wenn es beide Gleichungenerfuumlllt

ii

ii

ii

ii

102 Grafisches Loumlsen linearer Gleichungssysteme 189

913 (minus1|2)(1|10) (05|8) (minus1|2) times(5| minus 7)

913I2)H3K1 Welches der Zahlenpaare ist Loumlsung des gegebenen Gleichungs-

systems Kreuze an4x ndash y = -63x + 2y = 1

914Indash10 sdot (ndash1) + 7 sdot3 = 31 wA undII 8 sdot (ndash1)+ 5 sdot 3= 7 w A

914I2)H2K1 Zeige durch Einsetzen in die beiden Gleichungen dass das Zahlenpaar (ndash1|3) Louml-

sung des Gleichungssystems istI ndash10x + 7y = 31II 8x + 5y = 7

915I 3 sdot 4 + 4 sdot 3 = 24wA undII 4 + 3 = 7 w A

915I2)H2K1 Weise durch Einsetzen in die beiden Gleichungen des Gleichungssystems

I 3x + 4y = 24II x + y = 7nach dass die Loumlsung die du in Aufgabe 911 gefunden hast tatsaumlchlich eine Loumlsungdes Gleichungssystems ist

Grafisches Darstellen von linearen GleichungssystemenDa sich eine lineare Gleichung als Gerade grafisch darstellen laumlsst kann man auch einlineares Gleichungssystem grafisch darstellenIm Koordinatensystem werden zwei Geraden eingezeichnetSchneiden die beiden Geraden einander dann Erfuumlllen die Koordinaten des Schnittpunk-tes S(xs |ys) beide Gleichungen Das Zahlenpaar (xs |ys) ist daher Loumlsung des Gleichungs-systems

916 (1) I k = 2d = ndash1 y = 2x ndash 1II k = ndash1 d = 5y = ndashx + 5 (2)I ndash2x + y = ndash1II x + y = 5 (3)(xs |ys) = (2|3)

916I2)H1K2 diams Welches lineare Gleichungssystem ist hier

grafisch dargestellt(1) Bestimme fuumlr beide Geraden die Steigungk und den Achsenabschnitt d und gib die zu-gehoumlrigen Gleichungen in der Form y = kx + dan(2) Gib beide Gleichungen auch in der Formax + by = c an(3) Entnimm der Zeichnung die Koordinatenxs und ys des Schnittpunktes S und uumlberpruuml-fe durch Einsetzen in beide Gleichungen ob(xs |ys) eine Loumlsung des linearen Gleichungssys-tems ist

917 (1) I y =2x + 4II y = ndash 1

2x + 3

2(2) ndash (3) S(ndash1|2)(4) I ndash2 sdot (ndash1) + 2 =4 II (ndash1) + 2 sdot 2 = 3

917 Gegeben ist das lineare GleichungssystemI ndash2x + y = 4II x + 2y = 3

(1)I2)H2K1 Forme die Gleichungen in die Form y = kx + d um

(2)I2)H1K1 Stelle die beiden Gleichungen im Koordinatensystem grafisch dar

(3)I2)H3K1 Bestimme die Koordinaten xs und ys des Schnittpunktes S der beiden Geraden

(4)I2)H2K1 Zeige dass die beiden Werte xs und ys die beiden Gleichungen aus der Angabe

erfuumlllen Setze sie dazu in die Gleichungen ein

ii

ii

ii

ii

190 10 Lineare Gleichungen und Gleichungssysteme mit zwei Variablen

Grafisches Loumlsungsverfahren fuumlr lineare GleichungssystemeI x + 2y = 6II x ndash y = 3

1 Forme die beiden Gleichungen um und stelle sie in der Form y = kx + d darI y = minus 1

2x + 3

II y = x ndash 32 Zeichne die zu den Gleichungen gehoumlren-

den Geraden im Koordinatensystem ein3 Entnimm aus der Zeichnung die Koordina-

ten xs und ys des Schnittpunktes S der bei-den Geraden Das Zahlenpaar S(xs |ys) istdie Loumlsung des GleichungssystemsSchnittpunkt S(4|1)rArr L = (4|1)

ProbeDas Zahlenpaar muss beide Gleichungen erfuumlllen Eingesetzt in die beiden Ausgangs-gleichungen liefern xs und ys fuumlr beide Gleichungen eine wahre AussageI 4 + 2 sdot 1 = 6

6 = 6 wAII 4 ndash 1 = 3

3 = 3 wA

918 a) L = (4|2)b) L = (0|4)

918I2)H2K2 Bestimme grafisch die Loumlsung des linearen Gleichungssystems

Fuumlhre auch die Probe durcha) I y = ndashx + 6

II y =14x + 1

b) I y =14x + 4

II y = ndash2x + 4

919 a) L = (1|3)b) L = (3|0)

919I2)H2K2 Loumlse das lineare Gleichungssystem grafisch und fuumlhre rechnerisch die Probe durch

a) I y = 3xII y = ndash3x + 6

b) I y =13x ndash 1

II y = minus 53x + 5

Tipp 102Computerunterstuumltztes Arbeiten hilft den Zeitaufwand des grafischen Loumlsungsver-fahrens zu reduzieren Das kostenlos erhaumlltliche Programm GeoGebra (wwwgeoge-braorg) eignet sich dafuumlr besonders (siehe S 145)

920 a) L = (ndash2|4)b) L = (0|1)c) L = (ndash3|0)d) L = (2|5)

920I2)H2K2 Ermittle die Loumlsung des linearen Gleichungssystems grafisch

Uumlberpruumlfe dein Ergebnis durch Einsetzen in die beiden Gleichungena) I minus 1

2x + 2y = 9

II 3x + 2y = 2b) I 3x + y = 1

II ndash4x + 2y = 2

c) I ndash5x + 3y = 15II x + 3y = ndash3

d) I ndash12x ndash 2y = ndash11

II x ndash y = ndash3

ii

ii

ii

ii

102 Grafisches Loumlsen linearer Gleichungssysteme 191

921 Nein einGleichungssystemkann auch garkeine Loumlsunghaben (die beidenGeraden sindparallel) oderunendlich vieleLoumlsungen (diebeidenGleichungenstellen dieselbeGerade dar)

921I2)H4K3 In den bisherigen Aufgaben hatten wir es nur mit Gleichungssystemen zu tun die

eindeutig loumlsbar waren die beiden Geraden hatten einen SchnittpunktUumlberlegt zu zweit Muss das immer so sein Kann es Gleichungssysteme geben diemehr als eine Loumlsung oder gar keine Loumlsung habenTipp Uumlberlegt welche Lagebeziehung zwei Geraden in der Ebene haben koumlnnen

922 Die beidenGeraden habendieselbe Steigungaberunterschiedlichesd sind daherparallel und habenkeinen Punktgemeinsam

922I2)H4K2 Weise mit Hilfe des grafischen Loumlsungsverfahrens nach dass folgendes Gleichungs-

system keine Loumlsung hatI ndash2x + y = ndash5II 4x ndash 2y = ndash1

923I2)H4K2 Wende das grafische Loumlsungsverfahren auf folgendes Gleichungssystem an

Welcher besondere Fall liegt vor Beschreibe in Worten Was kannst du daher uumlber dieLoumlsung des Gleichungssystems aussagenI ndash4x + 2y = ndash2II 2x ndash y = 1

923 Die beidenGleichungenstellen dieselbeGerade darUnendlich vieleZahlenpaarenaumlmlich jenePunkte die auf derGeraden liegenerfuumlllen beideGleichungen undsind daher Loumlsungdes Gleichungssys-tems

Loumlsungsfaumllle bei linearen GleichungssystemenBei linearen Gleichungssystemen mit zwei Gleichungen und zwei Variablen gibt esdrei verschiedene Loumlsungsfaumllle

1 FallDas Gleichungssystem hat genau ein Zahlenpaar(x |y) x y isin ℝ als Loumlsung L = (x |y)Grafische InterpretationDie Loumlsungen der beiden Gleichungen stellenGeraden dar die einander im Punkt (x |y) schneiden

2 FallDas Gleichungssystem hat keine Loumlsung L = Grafische InterpretationDie Loumlsungen der beiden Gleichungen stellenparallele Geraden dar und haben daher keinenPunkt gemeinsam

3 FallDas Gleichungssystem hat unendlich viele Loumlsun-genz B L = (x |y) | y = minus2x + 4 x y isin ℝGrafische InterpretationDie Loumlsungen der beiden Gleichungen stellen diesel-be Gerade dar Jeder Punkt der auf dieser Geradenliegt ist Loumlsung des Gleichungssystems

924 Nein dennzwei Geradenkoumlnnen nur genaueinen oder garkeinenSchnittpunkthaben

ii

ii

ii

ii

192 10 Lineare Gleichungen und Gleichungssysteme mit zwei Variablen

924I2)H4K3 Ist es moumlglich dass ein lineares Gleichungssystem mit zwei Variablen genau 2

Loumlsungen hat Begruumlnde deine Antwort925 Sind k und dgleich dannfallen die beidenGeradenzusammenrArrunendlich vieleLoumlsungen Sinddie Steigungengleich aber dieAchsenabschnitteunterschiedlichdann sind diebeiden GeradenparallelrArr keineLoumlsung Sind dieSteigungenunterschiedlichso schneiden dieGeraden einanderrArr genau eineLoumlsung

925I2)H4K2 Uumlberlegt zu zweit Wie kann man aus den beiden Gleichungen eines Gleichungs-

systems die in der Form y = kx + d gegeben sind direkt ablesen (das heiszligt ohne dieZeichnungen anzufertigen) welcher Loumlsungsfall vorliegt Vergleicht dazu jeweils dieSteigungen k bzw die Achsenabschnitte d der beiden Gleichungen

926 a) gleiches kunterschiedliches drArr keine Loumlsungb) unterschiedli-ches krArr eineLoumlsung c) gleichesk gleiches drArrunendlich vieleLoumlsungend) gleiches kunterschiedliches drArr keine Loumlsung

926I2)H3K2 Welcher Loumlsungsfall liegt bei den gegebenen Gleichungssystemen vor Untersuche

durch Vergleich der Steigungen k und der Achsenabschnitte d ob das Gleichungssystemgenau eine Loumlsung unendlich viele Loumlsungen oder keine Loumlsung hata) I y = ndash2x + 6

II y = ndash 2x + 1b) I y =

14x + 4

II y = ndash2x + 4

c) I 2y = 6x + 12II y = 3x + 6

d) I y =13x ndash 1

II y =13x + 5

927 a) keineLoumlsungb) unendlich vieleLoumlsungenc) L = (ndash2|0)d) keine Loumlsung

927I2)H3K2 Forme die Gleichungen jeweils auf die Gestalt y = kx + d um Vergleiche dann die

Steigungen und die Achsenabschnitte der beiden Gleichungen und bestimme welcherLoumlsungsfall vorliegt Fuumlr den Fall dass es genau eine Loumlsung gibt ermittle diese Loumlsunggraphisch

a) I 3x + 2y = 9II 3x + 2y = 1

b) I32x + 4y = ndash2

II 3x + 8y = ndash4

c) I x + 2y = ndash2II x ndash 2y = ndash2

d) I ndash12x ndash y = ndash11

II 2x ndash 4y = ndash3

928 Richtliniendazu siehe Loumlsungvon Aufgabe 925

928I2)H1K3 Schreibe ein lineares Gleichungssystem an das

(1) genau eine Loumlsung(2) keine Loumlsung(3) unendlich viele Loumlsungen hat

929 I x + y = 5II -2x + y = 2S(1|4) ist dieLoumlsung

929I2)H3K3 Sara hat ein Gleichungssystem gra-

fisch geloumlst Rechts siehst du die Zeich-nung Wie lautet die Angabe WelcheKoordinaten hat der Schnittpunkt Wel-che Bedeutung hat er fuumlr dasGleichungs-system

I x + y = 5

II -2x + y = 2

Schnittpunkt S(1|4)

Bedeutung ist die Loumlsung

ii

ii

ii

ii

103 Rechnerisches Loumlsen linearer Gleichungssysteme 193

103 Rechnerisches Loumlsen linearer Gleichungssysteme

Im letzten Abschnitt hast du viele Gleichungssysteme gra-fisch geloumlst Durch dieses Loumlsungsverfahren kann man sehrviel uumlber lineare Gleichungssysteme lernen z B warum esniemals genau 2 Loumlsungen haben kann Wie jedes grafischeVerfahren hat es aber den Nachteil dass man sehr von dereigenen Zeichengenauigkeit abhaumlngig ist Selbst wenn mansich noch so bemuumlht Loumlsungen wie (0345| 261) wird maneiner haumlndischen Zeichnung nur unter groszligem Aufwand ent-nehmen koumlnnen Aber selbst wenn die Loumlsung ganzzahligist koumlnnen Schwierigkeiten auftreten Uumlberlege am Beispieldes Zahlenpaares (1|100)Beim computerunterstuumltzten Arbeiten koumlnnen durch Verschieben des Bildschirmaus-schnittes und Zoomen diese Probleme bewaumlltigt werden aber in Sachen Genauigkeitstoumlszligt man auch da an Grenzen Ein klarer Fall also dass auch rechnerische Loumlsungs-moumlglichkeiten gefragt sind

Wir kommen ein letztes Mal auf die Abschlussreise der 4B und der 4C zuruumlck die amAnfang dieses Kapitels (siehe S 184) vorgestellt wurde Uumlber die Zimmereinteilungfuumlr die 24 Maumldchen weiszlig man dass sie insgesamt 7 Zimmer benoumltigen und dass dieseZimmer Dreibett- und Vierbettzimmer sind Daraus ergibt sich das GleichungssystemI 3x + 4y = 24II x + y = 7

Ein Zahlenpaar (x|y) das Loumlsung des Gleichungssystems ist muss beide Gleichungenerfuumlllen Das heiszligt der Zusammenhang zwischen den Variablen x und y der sich auseiner Gleichung ergibt muss auch fuumlr die andere Gleichung geltenIm Gleichungssystem oben ergibt sich aus Gleichung IIx + y = 7 bzw x = 7 ndash yDas muss auch fuumlr Gleichung I geltenDaher duumlrfen wir in Gleichung I fuumlr x den Term 7 ndash y einsetzen3 sdot (7 ndash y) + 4y = 24und erreichen damit dass wir y aus einer linearen Gleichung mit einer Variable bestim-men koumlnnen

21 ndash 3y + 4y = 24y = 3

Wegen x = 7 ndash y erhalten wir fuumlr x = 7 ndash 3 = 4und damit als Loumlsung des Gleichungssystems das Zahlenpaar (4|3)

Beide Gleichungen sind erfuumlllt wie die Probe zeigtI 3 sdot 4 + 4 sdot 3 = 12 + 12 = 24II 4 + 3 = 7

ii

ii

ii

ii

194 10 Lineare Gleichungen und Gleichungssysteme mit zwei Variablen

Die beschriebenen Uumlberlegungen begruumlnden das so genannte EinsetzungsverfahrenIm folgenden Musterbeispiel im gelben Kasten sind die einzelnen Durchfuumlhrungsschrittezusammengefasst

Einsetzungsverfahren (= Substitutionsverfahren)I 3x + 4y = 24II x + y = 71 Druumlcke in einer der beiden Gleichungen x durch y aus

(Du kannst auch umgekehrt y durch x ausdruumlcken Mach das was einfacher ist)Gleichung II x = 7 ndash y

2 Durch Einsetzen des Terms in die andere Gleichung erhaumlltst du eine Gleichungmit einer VariablenGleichung I 3 sdot (7 ndash y) + 4y = 24

3 Loumlse diese Gleichung21 ndash 3y + 4y = 24y = 3

4 Setze die Loumlsung in den Term ein und ermittle die zweite Variablex = 7 ndash 3 = 4rArr L = (4|3)

ProbeI 3 sdot 4 + 4 sdot 3 = 12 + 12 = 24II 4 + 3 = 7

Es gibt fuumlr lineare Gleichungssysteme noch weitere Loumlsungsverfahren zwei davonwerden in den folgenden beiden Musterbeispielen vorgestellt

Gleichsetzungsverfahren (= Komparationsmethode)I 3x + 4y = 24II x + y = 71 Druumlcke in beiden Gleichungen x durch y aus

(Ebenso koumlnntest du wahlweise auch y durch x ausdruumlcken)I 3x = ndash4y + 24

x = ndash 43y + 8

II x = 7 ndash y2 Durch Gleichsetzen der beiden Terme erhaumlltst du eine Gleichung mit einer Va-

riablenndash 4

3y + 8 = 7 ndash y

3 Loumlse diese Gleichungndash 1

3y = ndash1

y = 34 Setze die Loumlsung in einen der beiden Terme aus 1 ein und ermittle die zweite

Variablex = 7 ndash 3 = 4rArr L = (4|3)

Vergiss die Probe nicht

ii

ii

ii

ii

103 Rechnerisches Loumlsen linearer Gleichungssysteme 195

Additionsverfahren1 Multipliziere die Gleichungen mit geeigneten Faktoren so dass bei einer Variable

entgegengesetzt gleiche Koeffizienten entstehenI 3x + 4y = 24II x + y = 7 |sdot(ndash4)

2 Durch Addieren der beiden Gleichungen erhaumlltst du eine Gleichung mit einerVariableI 3x + 4y = 24II ndash4x ndash 4y = ndash28

ndashx = ndash43 Loumlse diese Gleichung

x = 44 Setze die Loumlsung in eine der beiden Gleichungen ein und berechne die zweite

Variable4 + y = 7y = 3rArr L = (4|3)

Vergiss die Probe nicht (siehe Seite 194)

930 a) L =(ndash1|2)b) L =(0|4)c) L =(2|5)d) L =(10|20)

930I2)H2K1 Loumlse das Gleichungssystem mit dem Einsetzungsverfahren

Fuumlhre auch die Probe durcha) I x + 2y = 3

II ndash2x + y = 4b) I ndashx + 4y = 16

II 2x + y = 4c) I x ndash y = ndash3

II ndash12x ndash 2y = ndash11

d) I 7x + y = 90II ndash12x + 5y = ndash20

931 a) L =(4|1)b) L =(4|2)c) L =(ndash23|10)d) L =(ndash35|0)

931I2)H2K1 Loumlse das Gleichungssystem mit dem Gleichsetzungsverfahren

Fuumlhre auch die Probe durcha) I x ndash y = 3

II x + 2y = 6b) I ndash

14x + y = 1

II x + y = 6c) I x + 2y = ndash3

II x ndash 3y = ndash53d) I x + 3y = ndash35

II ndash5x + 3y = 175

932a) L =(17|ndash103)b) L =(10|14)c) L =(8|0)d) L =(18|21)

932I2)H2K1 Loumlse das Gleichungssystem mit dem Additionsverfahren

Fuumlhre auch die Probe durcha) I 3x + 2y = ndash155

II 2x ndash 5y = 549b) I 7x ndash y = 56

II ndash8x + 3y = ndash38c) I 5x + 11y = 40

II 6x ndash 12y = 48d) I 10x ndash 3y = 117

II 20x + 4y = 444

933 a) L =(02|18)b) L =(16|3)c) L =(17|10)d) L =(ndash04|05)

933I2)H2K1 Loumlse das Gleichungssystem mit jenem Loumlsungsverfahren das am besten (fuumlr dich)

passt Vergiss die Probe nicht

a) I x + y = 2II x + 6y = 11

b) I 5x + 2y = 14II ndash5x ndash 3y = ndash17

c) I 6x + y = 202II 7x ndash 3y = ndash181

d) I x + 11y = 51II x ndash 10y = ndash54

ii

ii

ii

ii

196 10 Lineare Gleichungen und Gleichungssysteme mit zwei Variablen

934 (1)1 (1| minus 4)(2) (5|8)(3) (minus05| minus 3)(4) (minus25|0)

934I2)H2K1 Ordne den Gleichungssystemen die richtige Loumlsung zu

(1) 7x + y = 3 (minus05| minus 3)minusx + 5y = minus21

(2) x = yndash3 (5|8)xndash2y = minus11

(3) y = 4xndash1 (minus25|0)y = minus2xndash4

(4) minus4x + 7y = 10 (1| minus 4)2xndash3y = minus5

935 (2|5)935I2)H2

K1

Gleichungssystem Gegeben ist das folgende Gleichungssystem

I x + 2y = 12II 2x + 5y = 29

Loumlse dieses Gleichungssystem

936 c = 3 d = 4936I2)H2

K1

Zwei Gleichungen Loumlse das GleichungssystemI 3c ndash 4d = ndash 7II c = d ndash 1

937 a) L = b) L = (13|ndash55)c) L = (x|y)|y = 1

2x

ndash 74 xy isin R

d) L =

937I2)H2K2 Gib die Loumlsungsmenge des Gleichungssystems an

Achtung Nicht jedes der Gleichungssysteme ist eindeutig loumlsbar

a) I ndash3x ndash 10y = 0II 15x + 5y = 1

b) I 8x ndash 7y = 1425II ndash9x + 2y = ndash128

c) I 2x ndash 4y = 7II ndash6x + 12y = ndash21

d) I ndash06x + 12y = 08II 18x ndash 36y = ndash28

938I2)H1K3 Gib ein lineares Gleichungssystem an das

a) die Loumlsung (4|1) b) die Loumlsung (minus2|5) c) keine Loumlsung hat

939 Alle beruhendarauf dasssowohl derZusammenhangzwischen denbeiden Variablender sich ausGleichung I ergibtals auch derZusammenhangder sich ausGleichung II ergibterfuumlllt sein muss

939I2)H4K3 Erklaumlre was der Hintergrund der drei Verfahren ist

ii

ii

ii

ii

104 Textaufgaben zu linearen Gleichungssystemen 197

104 Textaufgaben zu linearen GleichungssystemenVerwende beim Loumlsen der in den folgenden Aufgaben auftretenden Gleichungssystemejenes Loumlsungsverfahren das dir am geeignetsten erscheint

940 a) x + y = 1585x + 65y = 95548 Schuumllerinnenund110 Erwachseneb) 104 Schuumllerin-nen und92 Erwachsene

940I2)H2K1 Der Eintritt zu einer Greifvogelschau kostet fuumlr Schuumllerinnen

500 euro fuumlr Erwachsene 650 euro Das Verwaltungsbuumlro der Greifvo-gelstation moumlchte wissen wie die Aufteilung der Zuschauer aufErwachsene und Schuumllerinnen war An der Kassa hat man abernur die Gesamtanzahl an verkauften Karten und die Einnahmenregistriert Berechne aus diesen Aufzeichnungen wie viele Er-wachsene bzw Schuumllerinnen die Flugshow besucht haben

a) Vormittagsvorstellung 158 Karten Einnahmen 955ndash eurob) Nachmittagsvorstellung 196 Karten Einnahmen 1118ndash euro

941 x + y = 27065x + 4y = 1485162 Karten fuumlrErwachsene und108 Schuumllerinnen-Karten

941I2)H2K1 Bei der Auffuumlhrung eines Schultheaters werden an der Abendkassa Karten zu

650 euro fuumlr Erwachsene und Karten zu 4 euro fuumlr Schuumllerinnen verkauft Insgesamt wurden270 Karten verkauft und 1485 euro eingenommen Wie viele Schuumllerinnenkarten und wieviele Karten fuumlr Erwachsene wurden verkauft

9423 Gleichungssystem

942I2)H3K1 Wie Aufgabe 941 fuumlr insgesamt 171 verkaufte Karten und 879 euro EinnahmenWelches

Gleichungssystem passt zum Text Kreuze an

times I e + s = 879II 650e + 4s = 171

I e + 4s = 171II 650e + s = 879

I e + s = 171II 650e+4s = 879

I 4s + s = 171II 650e + e = 879

943 (1) DerHinflug erfolgt mitRuumlckenwind derRuumlckflug mitGegenwind Jadenn bei allenLangstreckenfluuml-gen wirken sich dieLuftstroumlmungenauf die Flugzeit ausWien ndash New York910 h New York ndashWien 845(Abfragewwwauacom2552009) (2)Wien ndash Tokio821 kmh Tokio ndashWien 764 kmh(3) Eigengeschwin-digkeit desFlugzeuges7925 kmh Wind-geschwindigkeit285 kmh

943I2)H2K1 diams Waumlhrend des Langstreckenfluges Wien ndash To-

kio werden den Passagieren uumlber Bildschirme Rei-seinformationen geboten Zu Beginn der Reise wirddie Distanz zwischen Wien und Tokio mit 9164 kmangegeben die voraussichtliche Flugzeit mit 1110h Frau Schindler vergleicht mit ihren Fluginforma-tionen fuumlr den Ruumlckflug Dort wird die Flugzeit fuumlrTokio ndash Wien mit 1200 h angegeben obwohl sie wie-der mit demselben Flugzeugtyp fliegen wird(1) Warum unterscheiden sich die Flugzeiten zwischen Hinflug und Ruumlckflug so deut-lich Ist das auch bei anderen Langstreckenfluumlgen so Frage im Internet die Flugzeitenfuumlr den Transatlantikflug von einem europaumlischen Flughafen nach New York hin undzuruumlck ab(2) Berechne die durchschnittliche Fluggeschwindigkeit fuumlr die angegebenen FlugzeitenWien ndash Tokio bzw Tokio ndash Wien(3) Berechne die (durchschnittliche) Eigengeschwindigkeit des Flugzeuges und die(durchschnittliche) erwartete Windgeschwindigkeit die der Angabe der Flugzeit zu-grunde liegen

ii

ii

ii

ii

198 10 Lineare Gleichungen und Gleichungssysteme mit zwei Variablen

944(1) Hinflug764 kmhRuumlckflug 836 kmh(2) Eigengeschwin-digkeit desFlugzeuges800 kmh Windge-schwindigkeit36 kmh

944I2)H2K1 diams Die Flugzeit fuumlr den Flug Frankfurt ndash Chicago

wird im Internet von einer Fluglinie mit 908 h an-gegeben die Flugzeit fuumlr den Ruumlckflug mit dem-selben Flugzeugtyp mit 821 h Die Entfernungzwischen Frankfurt und Chicago betraumlgt 6978 km(1) Berechne die durchschnittlichen Fluggeschwin-digkeiten fuumlr die angegebenen Flugzeiten fuumlr Hin-und Ruumlckflug(2) Berechne die (durchschnittliche) Eigengeschwindigkeit des Flugzeuges und die(durchschnittliche) erwartete Windgeschwindigkeit die der Angabe der Flugzeit zu-grunde liegen

Kommen zwei Systeme (z B Fluumlssigkeiten) mit unterschiedlicher Temperatur zusam-men so gleichen sich ihre Temperaturen durch Waumlrmeaustausch an Waumlrme flieszligtdabei immer vom waumlrmeren zum kaumllteren System so lange bis beide Systeme diegleiche Temperatur habenMischt man einen Liter Wasser mit einer Temperatur von 10 mit einem Liter Was-ser mit einer Temperatur von 20 so entstehen 2 Liter Wasser mit der mittlerenTemperatur von 15

94566 Liter aus demWasserboiler und84 Liter aus demKaltwasserzufluss

945I2)H2K1 ⋆ In einem Niedrigenergiehaus steht ein solar-

beheizter Wasserboiler zur Verfuumlgung Nach einemsonnigen Tag wird eine Wassertemperatur von 64angezeigt Eine Badewanne soll mit 150 Litern Was-ser gefuumlllt werden die erwuumlnschte Temperatur ist37 Wie viele Liter muumlssen aus dem solarbeheiztenBoiler und wie viele Liter aus einem Kaltwasserzu-fluss (16 ) zuflieszligen Runde auf ganze Liter

946 12 Liter 946I2)H2K1 ⋆ An einem heiszligen Sommertag ist die Temperatur in einem 100-Liter-Aquarium

auf 27 angestiegen Wie viel Liter Wasser muss man entnehmen und durch 10 kaltes Wasser ersetzen damit wieder die fuumlr die Fische passende Temperatur von 25 erreicht wird(Tipp Wenn von den 100 Litern x Liter entnommen werden so ist das genau jeneWassermenge mit 10 die zur verbleibenden Wassermenge (y Liter) hinzukommt)

Zahlenraumltsel

947a) x + y = 131 undx minus v = 43b) x = y + 5 und2v + x = 83

947I2)H2K1 Uumlbersetze den Text jeweils in zwei lineare Gleichungen und loumlse das Gleichungs-

system um die beiden gesuchten Zahlen zu ermitteln Fuumlhre auch die Probe durcha) Die Summe zweier Zahlen ist 131 Ihre Differenz betraumlgt 43b) Eine Zahl ist um 5 groumlszliger als die andere Addiert man zum Doppelten der kleinerenZahl die groumlszligere Zahl erhaumllt man 83

ii

ii

ii

ii

104 Textaufgaben zu linearen Gleichungssystemen 199

948 a) 150 und 50b) 8 und 28

948I2)H2K1 Wie Aufgabe 947

a) Eine Zahl ist dreimal so groszlig wie eine zweite Zahl Die Differenz der beiden Zahlenbetraumlgt 100b) Die Differenz zweier Zahlen ist 20 Addiert man zum Dreifachen der kleineren Zahldas Doppelte der groumlszligeren Zahl erhaumllt man 80

949 13 und 9949I2)H2K1 ⋆ Die Differenz zweier Zahlen betraumlgt 4 Verringert man die groumlszligere der beiden

Zahlen um 1 und vergroumlszligert die kleinere um 2 so wird das Produkt um 15 groumlszliger Wielauten die beiden Zahlen

950 27 und 42950I2)H2K1 ⋆ Die Summe zweier Zahlen ist 69 Vergroumlszligert man eine Zahl um 3 und verringert

die andere um 5 so wird das Produkt um 24 kleiner Berechne die beiden Zahlen

Aufgaben aus der Geometrie

951 a) a = 23 cmb = 13 cmb) a =24 cmb = 12 cm

ef

a

b

951I2)H2K1 Die laumlngere Seite eines Parallelogramms ist

a) um 10 cm laumlnger als die kuumlrzere Seiteb) doppelt so lang wie die kuumlrzere SeiteDer Umfang des Parallelogramms ist 72 cmBerechne die Seitenlaumlngen des Parallelogramms

952 I α + 54 = γ II 2α + γ = 180α = β = 42deg γ = 96degb

A c

a

C

B

952I2)H2K1 In einem gleichschenkligen Dreieck ist ein Basiswinkel (α = β

vergleiche mit der Skizze) um 54deg kleiner als der Winkel γ Ermittle dieGroumlszlige der Winkel des gleichschenkligen Dreiecks Fuumlhre auch die Probedurch

953 Basis 32 cmSchenkel 21 cm

953I2)H2K1 Die Basis eines gleichschenkligen Dreiecks ist um 11 cm laumlnger als die Schenkel-

laumlnge Der Umfang des Dreiecks ist 74 dm Wie lang sind Basis und Schenkel diesesgleichschenkligen Dreiecks

954 Basis 18 cmSchenkel 21 cm

954I2)H2K1 Der Umfang eines gleichschenkligen Dreiecks betraumlgt 60 cm Die Basis ist um

3 cm kuumlrzer als eine Schenkellaumlnge Berechne die Laumlnge der Basis und der Schenkel

955 b = 21 cml = 35 cm

955I2)H2K1 In einem Rechteck verhalten sich die Seiten wie 35 Der Umfang des Rechtecks

ist 112 cm Wie breit und wie lang ist das Rechteck

956 Erfinde eine aumlhnliche Aufgabenstellung wie die in 955Deine Nachbarindein Nachbar soll sie loumlsen

957 (1) b = 8 cml = 18 cm (2) einQuadrat mits = 12 cm

957I2)H2K1 ⋆ Die Seiten eines Rechtecks verhalten sich wie 49 Verlaumlngert man die kuumlrzere

Seite um 4 cm und verkuumlrzt die laumlngere Seite um 6 cm so bleibt der Flaumlcheninhaltunveraumlndert(1) Wie lang und wie breit ist das urspruumlngliche Rechteck(2) Wie lang sind die Seiten des veraumlnderten RechtecksWelche besondere Form liegt vor

ii

ii

ii

ii

200 10 Lineare Gleichungen und Gleichungssysteme mit zwei Variablen

958 a) y = ndashx +3

b) y = 135x + 4

5

958I2)H2K1 Wie lautet die Gleichung jener Geraden g die durch die beiden gegebenen Punkte

geht

A(ndash2|5) B(3|1)Da beide Punkte auf der Geraden g liegenerfuumlllen sie die Gleichung y = kx + dWir setzen daher die Koordinaten der Punkte fuumlr x und y ein und erhalten ein linearesGleichungssystem mit den Variablen k und dA liegt auf g rArr I 5 = ndash2k + d | sdot (ndash1)B liegt auf g rArr II 1 = 3k + d rceil+

(ndash1) sdot I ndash5 = 2k ndash d rfloorndash4 = 5kk = minus 4

5minus 4

5eingesetzt in Gleichung I ergibt

5 = ndash2 sdot 1114100minus 451114103 +d rArrd = 5 ndash

85= 17

5Die Gleichung der Geraden g die durch die beiden Punkte A und B verlaumluft lautetdaher

g y = minus 45k +

175

a) A(2|1) B(ndash1|4) b) R(ndash3|ndash7) S(2|6)

959 a) y = minus 25x + 2

b) y = minus 74x + 5

c) y = 109x + 1

9

d) y = 56x ndash 5

959 Stelle die Gleichung jener Geraden auf die durch die gegebenen beiden Punktegehta) A(ndash20|10) B(5|0) b) C(0|5) D(4|ndash2) c) E(8|9) F(ndash1|ndash1) d) G(6|0) H(0|ndash5)

105 Ausblick und Exercises1051 Ausblick

960 (1)a = 104 cmha = 78 cm (2) Eshandelt sich nichtum ein linearesGleichungssystemEinsetzungsverfah-ren undGleichsetzungsver-fahren koumlnnen zurAnwendungkommenAdditionsverfahrenund grafischesLoumlsungsverfahrennicht

960I2)H2K1 ⋆ In einemDreieck verhalten sich eine Seite und ihre Houmlhe wie 43 Der Flaumlcheninhalt

des Dreiecks betraumlgt 4056 cm2(1) Berechne die Seitenlaumlnge und die Houmlhe(2) Inwiefern unterscheidet sich das Gleichungssystem in (1) von den anderen bisjetzt behandelten Welche Loumlsungsverfahren koumlnnen zur Anwendung kommen welchenichtWie Aufgabe 960 zeigt gibt es auch andere als nur lineare Gleichungssysteme Mit demEinsetzungsverfahren kann man auch diese loumlsen Das Additionsverfahren ist dafuumlrnicht geeignetBei komplexen Sachverhalten mit hoher Anwendungsrelevanz kommt man in der Regelnicht mit einem Gleichungssystem das nur zwei Gleichungen enthaumllt aus Beispiels-weise fuumlhren Messreihen in der Chemie oder Physik haumlufig auf Gleichungssysteme dieaus mehreren Gleichungen mit mehreren Variablen bestehenDie Loumlsungsverfahren wie du sie kennengelernt hast sind auch fuumlr solche Gleichungs-systeme erweiterbar In der Praxis wird der oft hohe Rechenaufwand mit geeigneterSoftware am Computer (siehe Kap 145 S 265) bewaumlltigt

ii

ii

ii

ii

105 Ausblick und Exercises 201

1052 Exercises

vocabularysystem of linear equations lineares Gleichungssystemsolution Loumlsunggraphing zeichnensubstitution das Ersetzen Einsetzenaddition method hier Additionsverfahrento solve loumlseninfinitely-many unendlich viele

961 (ndash5|1) is asolution of thegiven equation

961I2)H3K2 Determine whether either of the points (1|ndash5) and (ndash5|1) is a solution to the given

system of equationsndash6x + y = 315x + 7y = ndash18

962I2)H3K1 Fill in

infinitely-many (2x) ndash two ndash three (2x) ndash one (2x) ndash no solution ndash none

For systems of linear equations (two variables two equations) there are threepossible types of solutions

The system may have one solution (a specific point (x|y))

no solution at all or

infinitely-many solutions

There is no such system with two or three solutions

You will always have one none

or infinitely-many solutions

963 L = (0|3)963I2)H2K2 Solve the following system by graphing

x + 4y = 12ndash10x + 5y = 15

964 L = (ndash50|100)964I2)H2K2 Solve the following system by substitution

ndash3x + y = 2507x + 10y = 650

965 L = (35|ndash8)965I2)H2K2 Solve the following system using the addition method

6x + 11y = ndash678x ndash 3y = 52

966 98 and 41966I2)H2K2 The difference of two numbers is 57 The sum of these two numbers is 139 Which

numbers are we referring to

967 (12|1) and(1|0)

967I2)H2K1 Which are correct solutions to the equation 5x + 4y = 5

times times(12|1) (2| + 12) (04|05) (1|0)

ii

ii

ii

ii

202 10 Lineare Gleichungen und Gleichungssysteme mit zwei Variablen

106 Mathe fit und kompetent ndash Kompetenzcheck

968 Richtig sindm + b = 21 undm minus 2b

2m + b = 21 m + 2b = 21 m + b = 21 timesm = 2b timesb = 2m

968I2)H3K1 In einer Klasse mit 21 Kindern gibt es doppelt so viele

Maumldchen wie BubenDie Anzahl der Maumldchen wird mit m bezeichnet die Anzahl derBubenmit b Kreuze jeneGleichung(en) an die zur beschriebenenKlasse passen

969I2)H1K1 Schreibe den Text in Form eines linearen Gleichungssystems an

a) Bei einer Flugreise wiegt Deryas Koffer um 7 kg mehr als ihr Handgepaumlck Insgesamthaben die beiden Gepaumlckstuumlcke 23 kg

I k = h + 7

II k + h = 23b) Eine Zahl ist um 7 groumlszliger als die andere Subtrahiert man vom Doppelten dergroumlszligeren Zahl die kleinere erhaumllt man 20

I x = y + 7

II 2x minus y = 20

970I2)H1K3 Erfinde einen kurzen Text der sich durch eine lineare Gleichungmit zwei Variablen

darstellen laumlsst

971 (1) (minus05|3)(2) (5|0) (3) (1| minus 7)(4) (0|4)

971I2)H2K1 Verbinde die Gleichungssysteme mit der jeweils richtigen Loumlsung

(1) 2x + y = 2 (1| minus 7)minus8x minus 2y = minus2

(2) 4x + 6y = 20 (0|4)minusx + y = minus5

(3) 2x + y = minus5 (minus05|3)minus8x minus 2y = 6

(4) x + 2y = 8 (5|0)10x minus y = minus4

972 a) (6| minus 5)b) (04|1)

972I2)H2K1 Loumlse das Gleichungssystem und fuumlhre auch die Probe durch

a) I 3x + 4y = minus2 b) I 5x minus 4y = minus2II x minus y = 11 II minus2x + 6y = 52

973 L = (ndash2|1) 973I2)H2K2 Loumlse das Gleichungssystem (1) graphisch und (2) rechnerisch

I minus3x + 2y = 8II 2x + 4y = 0

ii

ii

ii

ii

106 Mathe fit und kompetent ndash Kompetenzcheck 203

974I2)H3K2 (1) Welches Gleichungssystem ist in der Grafik dargestellt Kreuze an

I y = 34xndash4

II y = 13x + 1

I y = 43x + 4

II y = minus 13xndash1

I y = xndash4II y = 1

3x + 1

I y = 43x minus 4

II y = minus 13x + 1

times

(2) Wie lautet die Loumlsung dieses Gleichungssystems (3|0)

975 Keine LoumlsungDie beidenGleichungenstellen paralleleGeraden dar dahergibt es keinZahlenpaar dasbeide Gleichungenerfuumlllt975I2)H4

K2 Wie viele Loumlsungen hat das angeschriebene GleichungssystemVersuche zu antworten ohne ein Loumlsungsverfahren anzuwendenBegruumlnde deine Antwort

I x + y = 1II 2x + 2y = 3

976 SieheZusammenfassungder Loumlsungsfaumllleauf Seite 191

976I2)H4K3 Erklaumlre Warum hat ein lineares Gleichungssystem mit zwei Variablen entweder

genau eine keine oder unendlich viele Loumlsungen977 3 und 4Gleichungssystem

977I2)H3K1 In einem Rechteck verhalten sich die Seiten wie 4 ∶ 7 Der Umfang ist 55 cm

Zwei der folgenden Gleichungssysteme beschreiben den Sachverhalt richtig Kreuze anwelche

times timesI b ∶ l = 4 ∶ 7II 4b + 7l = 55

I 4l = 7bII b + l = 55

I b ∶ l = 4 ∶ 7II 2b + 2l = 55

I 4l = 7bII 2(b + l) = 55

978 1 kg Mehlkostet 15 euro 1 kgZucker kostet 1 euro

978I2)H2K2 Tom kauft 2 kg Mehl und 1 kg Zucker und bezahlt dafuumlr 4 Euro Anna kauft 1 kg

Mehl und 3 kg Zucker und bezahlt dafuumlr 45 Euro Wie viel kostet 1 kg Mehl Wie vielkostet 1 kg Zucker

979 (1) Esbesuchten viermalso vieleErwachsene wieKinder dieAusstellung (2)Insgesamtbesuchten 680Personen dieAusstellung (3) Eshaben um 240mehr Kinder alsErwachsene dieAusstellungbesucht

979I2)H3K1 Im Folgenden steht jeweils k fuumlr die Anzahl der Kinder und e fuumlr die Anzahl

der Erwachsenen die eine Ausstellung besucht haben Schreibe in Worten was dieGleichungen uumlber den Ausstellungsbesuch von Erwachsenen und Kindern aussagen(1) Montag e = 4k (2) Dienstag k + e = 680 (3) Mittwoch e + 240 = k

980 800 kmh70 kmn

980I2)H2K2 Ein Flugzeug erreicht mit Ruumlckenwind eine Geschwindigkeit von 870 kmh bei

(gleichstarkem) Gegenwind kommt es nur auf 720 kmh Berechne die Eigengeschwin-digkeit des Flugzeugs und die Windgeschwindigkeit

981I2)H1K3 Schreibe ein lineares Gleichungssystem an das die Loumlsung (2|5) hat

ii

ii

ii

ii

188 10 Lineare Gleichungen und Gleichungssysteme mit zwei Variablen

102 Grafisches Loumlsen linearer Gleichungssysteme

Zu Beginn des letzten Abschnitts hast du uumlber die geplanteReise der 4B und der 4C erfahren Die 24Maumldchenmusstenuumlberlegen wie sie sich auf die Drei- und Vierbettzimmeraufteilen werden Endlich haben sie sich geeinigt

rdquoWie

viele Dreibettzimmer und wie viele Vierbettzimmer sollich denn nun fuumlr euch bestellenldquo fragt die Lehrerin dieden Schlussausflug leitet

rdquoDuumlrfen wir Ihnen ein Raumltsel

stellenldquo fragen die Maumldchen grinsend zuruumlckrdquoEigent-

lich wollte ich ja rasch die Organisation abschlieszligen aberwenn es ein gutes Raumltsel ist dann her damitldquo antwortet die Lehrerin

rdquoWir haben die

Zimmer so eingeteilt dass wir insgesamt 7 Zimmer brauchenldquo sagt Sara

9114 Dreibettzimmerund3 Vierbettzimmer

911 Wie viele Dreibett- und Vierbettzimmer muss die Lehrerin nun tatsaumlchlich fuumlr dieMaumldchen bestellen wenn es insgesamt 7 Zimmer sein sollen Wenn du die Ergebnisseaus Aufgabe 901 verwendest ist die Loumlsung besonders einfach

Urspruumlnglich hatten die Maumldchen drei Moumlglichkeiten die Zimmer einzuteilen Durchdie neue Information dass die Maumldchen insgesamt 7 Zimmer benoumltigen bleibt nur eineMoumlglichkeit als Loumlsung uumlberAuch diese neue Information laumlsst sich als lineare Gleichung anschreiben man erhaumllt sozwei lineare Gleichungen zu einem Sachverhalt

Urspruumlngliche InformationFuumlr 24 Maumldchen stehen Dreibett- und Vierbettzimmer zur Verfuumlgung3x + 4y = 24 (vgl mit Seite 185)Neue InformationDie Maumldchen benoumltigen insgesamt 7 Zimmerx + y = 7Insgesamt erhaumllt man ein lineares Gleichungssystem mit zwei VariablenI 3x + 4y = 24II x + y = 7

912 DasZahlenpaar mussbeide Gleichungenerfuumlllen d heingesetzt muss fuumlrbeide Gleichungeneine wahreAussage entstehen

912I2)H4K3 Uumlberlegt zu zweit Welche Bedingungen muss ein Zahlenpaar (x|y) erfuumlllen damit

es Loumlsung eines Gleichungssystems also von beiden Gleichungen eine Loumlsung ist

Lineares GleichungssystemZwei zusammengehoumlrende lineare Gleichungen mit zwei Variablen bilden einlineares Gleichungssystem

I a1x + b1y = c1II a2x + b2y = c2

Ein Zahlenpaar (x |y) ist Loumlsung des Gleichungssystems wenn es beide Gleichungenerfuumlllt

ii

ii

ii

ii

102 Grafisches Loumlsen linearer Gleichungssysteme 189

913 (minus1|2)(1|10) (05|8) (minus1|2) times(5| minus 7)

913I2)H3K1 Welches der Zahlenpaare ist Loumlsung des gegebenen Gleichungs-

systems Kreuze an4x ndash y = -63x + 2y = 1

914Indash10 sdot (ndash1) + 7 sdot3 = 31 wA undII 8 sdot (ndash1)+ 5 sdot 3= 7 w A

914I2)H2K1 Zeige durch Einsetzen in die beiden Gleichungen dass das Zahlenpaar (ndash1|3) Louml-

sung des Gleichungssystems istI ndash10x + 7y = 31II 8x + 5y = 7

915I 3 sdot 4 + 4 sdot 3 = 24wA undII 4 + 3 = 7 w A

915I2)H2K1 Weise durch Einsetzen in die beiden Gleichungen des Gleichungssystems

I 3x + 4y = 24II x + y = 7nach dass die Loumlsung die du in Aufgabe 911 gefunden hast tatsaumlchlich eine Loumlsungdes Gleichungssystems ist

Grafisches Darstellen von linearen GleichungssystemenDa sich eine lineare Gleichung als Gerade grafisch darstellen laumlsst kann man auch einlineares Gleichungssystem grafisch darstellenIm Koordinatensystem werden zwei Geraden eingezeichnetSchneiden die beiden Geraden einander dann Erfuumlllen die Koordinaten des Schnittpunk-tes S(xs |ys) beide Gleichungen Das Zahlenpaar (xs |ys) ist daher Loumlsung des Gleichungs-systems

916 (1) I k = 2d = ndash1 y = 2x ndash 1II k = ndash1 d = 5y = ndashx + 5 (2)I ndash2x + y = ndash1II x + y = 5 (3)(xs |ys) = (2|3)

916I2)H1K2 diams Welches lineare Gleichungssystem ist hier

grafisch dargestellt(1) Bestimme fuumlr beide Geraden die Steigungk und den Achsenabschnitt d und gib die zu-gehoumlrigen Gleichungen in der Form y = kx + dan(2) Gib beide Gleichungen auch in der Formax + by = c an(3) Entnimm der Zeichnung die Koordinatenxs und ys des Schnittpunktes S und uumlberpruuml-fe durch Einsetzen in beide Gleichungen ob(xs |ys) eine Loumlsung des linearen Gleichungssys-tems ist

917 (1) I y =2x + 4II y = ndash 1

2x + 3

2(2) ndash (3) S(ndash1|2)(4) I ndash2 sdot (ndash1) + 2 =4 II (ndash1) + 2 sdot 2 = 3

917 Gegeben ist das lineare GleichungssystemI ndash2x + y = 4II x + 2y = 3

(1)I2)H2K1 Forme die Gleichungen in die Form y = kx + d um

(2)I2)H1K1 Stelle die beiden Gleichungen im Koordinatensystem grafisch dar

(3)I2)H3K1 Bestimme die Koordinaten xs und ys des Schnittpunktes S der beiden Geraden

(4)I2)H2K1 Zeige dass die beiden Werte xs und ys die beiden Gleichungen aus der Angabe

erfuumlllen Setze sie dazu in die Gleichungen ein

ii

ii

ii

ii

190 10 Lineare Gleichungen und Gleichungssysteme mit zwei Variablen

Grafisches Loumlsungsverfahren fuumlr lineare GleichungssystemeI x + 2y = 6II x ndash y = 3

1 Forme die beiden Gleichungen um und stelle sie in der Form y = kx + d darI y = minus 1

2x + 3

II y = x ndash 32 Zeichne die zu den Gleichungen gehoumlren-

den Geraden im Koordinatensystem ein3 Entnimm aus der Zeichnung die Koordina-

ten xs und ys des Schnittpunktes S der bei-den Geraden Das Zahlenpaar S(xs |ys) istdie Loumlsung des GleichungssystemsSchnittpunkt S(4|1)rArr L = (4|1)

ProbeDas Zahlenpaar muss beide Gleichungen erfuumlllen Eingesetzt in die beiden Ausgangs-gleichungen liefern xs und ys fuumlr beide Gleichungen eine wahre AussageI 4 + 2 sdot 1 = 6

6 = 6 wAII 4 ndash 1 = 3

3 = 3 wA

918 a) L = (4|2)b) L = (0|4)

918I2)H2K2 Bestimme grafisch die Loumlsung des linearen Gleichungssystems

Fuumlhre auch die Probe durcha) I y = ndashx + 6

II y =14x + 1

b) I y =14x + 4

II y = ndash2x + 4

919 a) L = (1|3)b) L = (3|0)

919I2)H2K2 Loumlse das lineare Gleichungssystem grafisch und fuumlhre rechnerisch die Probe durch

a) I y = 3xII y = ndash3x + 6

b) I y =13x ndash 1

II y = minus 53x + 5

Tipp 102Computerunterstuumltztes Arbeiten hilft den Zeitaufwand des grafischen Loumlsungsver-fahrens zu reduzieren Das kostenlos erhaumlltliche Programm GeoGebra (wwwgeoge-braorg) eignet sich dafuumlr besonders (siehe S 145)

920 a) L = (ndash2|4)b) L = (0|1)c) L = (ndash3|0)d) L = (2|5)

920I2)H2K2 Ermittle die Loumlsung des linearen Gleichungssystems grafisch

Uumlberpruumlfe dein Ergebnis durch Einsetzen in die beiden Gleichungena) I minus 1

2x + 2y = 9

II 3x + 2y = 2b) I 3x + y = 1

II ndash4x + 2y = 2

c) I ndash5x + 3y = 15II x + 3y = ndash3

d) I ndash12x ndash 2y = ndash11

II x ndash y = ndash3

ii

ii

ii

ii

102 Grafisches Loumlsen linearer Gleichungssysteme 191

921 Nein einGleichungssystemkann auch garkeine Loumlsunghaben (die beidenGeraden sindparallel) oderunendlich vieleLoumlsungen (diebeidenGleichungenstellen dieselbeGerade dar)

921I2)H4K3 In den bisherigen Aufgaben hatten wir es nur mit Gleichungssystemen zu tun die

eindeutig loumlsbar waren die beiden Geraden hatten einen SchnittpunktUumlberlegt zu zweit Muss das immer so sein Kann es Gleichungssysteme geben diemehr als eine Loumlsung oder gar keine Loumlsung habenTipp Uumlberlegt welche Lagebeziehung zwei Geraden in der Ebene haben koumlnnen

922 Die beidenGeraden habendieselbe Steigungaberunterschiedlichesd sind daherparallel und habenkeinen Punktgemeinsam

922I2)H4K2 Weise mit Hilfe des grafischen Loumlsungsverfahrens nach dass folgendes Gleichungs-

system keine Loumlsung hatI ndash2x + y = ndash5II 4x ndash 2y = ndash1

923I2)H4K2 Wende das grafische Loumlsungsverfahren auf folgendes Gleichungssystem an

Welcher besondere Fall liegt vor Beschreibe in Worten Was kannst du daher uumlber dieLoumlsung des Gleichungssystems aussagenI ndash4x + 2y = ndash2II 2x ndash y = 1

923 Die beidenGleichungenstellen dieselbeGerade darUnendlich vieleZahlenpaarenaumlmlich jenePunkte die auf derGeraden liegenerfuumlllen beideGleichungen undsind daher Loumlsungdes Gleichungssys-tems

Loumlsungsfaumllle bei linearen GleichungssystemenBei linearen Gleichungssystemen mit zwei Gleichungen und zwei Variablen gibt esdrei verschiedene Loumlsungsfaumllle

1 FallDas Gleichungssystem hat genau ein Zahlenpaar(x |y) x y isin ℝ als Loumlsung L = (x |y)Grafische InterpretationDie Loumlsungen der beiden Gleichungen stellenGeraden dar die einander im Punkt (x |y) schneiden

2 FallDas Gleichungssystem hat keine Loumlsung L = Grafische InterpretationDie Loumlsungen der beiden Gleichungen stellenparallele Geraden dar und haben daher keinenPunkt gemeinsam

3 FallDas Gleichungssystem hat unendlich viele Loumlsun-genz B L = (x |y) | y = minus2x + 4 x y isin ℝGrafische InterpretationDie Loumlsungen der beiden Gleichungen stellen diesel-be Gerade dar Jeder Punkt der auf dieser Geradenliegt ist Loumlsung des Gleichungssystems

924 Nein dennzwei Geradenkoumlnnen nur genaueinen oder garkeinenSchnittpunkthaben

ii

ii

ii

ii

192 10 Lineare Gleichungen und Gleichungssysteme mit zwei Variablen

924I2)H4K3 Ist es moumlglich dass ein lineares Gleichungssystem mit zwei Variablen genau 2

Loumlsungen hat Begruumlnde deine Antwort925 Sind k und dgleich dannfallen die beidenGeradenzusammenrArrunendlich vieleLoumlsungen Sinddie Steigungengleich aber dieAchsenabschnitteunterschiedlichdann sind diebeiden GeradenparallelrArr keineLoumlsung Sind dieSteigungenunterschiedlichso schneiden dieGeraden einanderrArr genau eineLoumlsung

925I2)H4K2 Uumlberlegt zu zweit Wie kann man aus den beiden Gleichungen eines Gleichungs-

systems die in der Form y = kx + d gegeben sind direkt ablesen (das heiszligt ohne dieZeichnungen anzufertigen) welcher Loumlsungsfall vorliegt Vergleicht dazu jeweils dieSteigungen k bzw die Achsenabschnitte d der beiden Gleichungen

926 a) gleiches kunterschiedliches drArr keine Loumlsungb) unterschiedli-ches krArr eineLoumlsung c) gleichesk gleiches drArrunendlich vieleLoumlsungend) gleiches kunterschiedliches drArr keine Loumlsung

926I2)H3K2 Welcher Loumlsungsfall liegt bei den gegebenen Gleichungssystemen vor Untersuche

durch Vergleich der Steigungen k und der Achsenabschnitte d ob das Gleichungssystemgenau eine Loumlsung unendlich viele Loumlsungen oder keine Loumlsung hata) I y = ndash2x + 6

II y = ndash 2x + 1b) I y =

14x + 4

II y = ndash2x + 4

c) I 2y = 6x + 12II y = 3x + 6

d) I y =13x ndash 1

II y =13x + 5

927 a) keineLoumlsungb) unendlich vieleLoumlsungenc) L = (ndash2|0)d) keine Loumlsung

927I2)H3K2 Forme die Gleichungen jeweils auf die Gestalt y = kx + d um Vergleiche dann die

Steigungen und die Achsenabschnitte der beiden Gleichungen und bestimme welcherLoumlsungsfall vorliegt Fuumlr den Fall dass es genau eine Loumlsung gibt ermittle diese Loumlsunggraphisch

a) I 3x + 2y = 9II 3x + 2y = 1

b) I32x + 4y = ndash2

II 3x + 8y = ndash4

c) I x + 2y = ndash2II x ndash 2y = ndash2

d) I ndash12x ndash y = ndash11

II 2x ndash 4y = ndash3

928 Richtliniendazu siehe Loumlsungvon Aufgabe 925

928I2)H1K3 Schreibe ein lineares Gleichungssystem an das

(1) genau eine Loumlsung(2) keine Loumlsung(3) unendlich viele Loumlsungen hat

929 I x + y = 5II -2x + y = 2S(1|4) ist dieLoumlsung

929I2)H3K3 Sara hat ein Gleichungssystem gra-

fisch geloumlst Rechts siehst du die Zeich-nung Wie lautet die Angabe WelcheKoordinaten hat der Schnittpunkt Wel-che Bedeutung hat er fuumlr dasGleichungs-system

I x + y = 5

II -2x + y = 2

Schnittpunkt S(1|4)

Bedeutung ist die Loumlsung

ii

ii

ii

ii

103 Rechnerisches Loumlsen linearer Gleichungssysteme 193

103 Rechnerisches Loumlsen linearer Gleichungssysteme

Im letzten Abschnitt hast du viele Gleichungssysteme gra-fisch geloumlst Durch dieses Loumlsungsverfahren kann man sehrviel uumlber lineare Gleichungssysteme lernen z B warum esniemals genau 2 Loumlsungen haben kann Wie jedes grafischeVerfahren hat es aber den Nachteil dass man sehr von dereigenen Zeichengenauigkeit abhaumlngig ist Selbst wenn mansich noch so bemuumlht Loumlsungen wie (0345| 261) wird maneiner haumlndischen Zeichnung nur unter groszligem Aufwand ent-nehmen koumlnnen Aber selbst wenn die Loumlsung ganzzahligist koumlnnen Schwierigkeiten auftreten Uumlberlege am Beispieldes Zahlenpaares (1|100)Beim computerunterstuumltzten Arbeiten koumlnnen durch Verschieben des Bildschirmaus-schnittes und Zoomen diese Probleme bewaumlltigt werden aber in Sachen Genauigkeitstoumlszligt man auch da an Grenzen Ein klarer Fall also dass auch rechnerische Loumlsungs-moumlglichkeiten gefragt sind

Wir kommen ein letztes Mal auf die Abschlussreise der 4B und der 4C zuruumlck die amAnfang dieses Kapitels (siehe S 184) vorgestellt wurde Uumlber die Zimmereinteilungfuumlr die 24 Maumldchen weiszlig man dass sie insgesamt 7 Zimmer benoumltigen und dass dieseZimmer Dreibett- und Vierbettzimmer sind Daraus ergibt sich das GleichungssystemI 3x + 4y = 24II x + y = 7

Ein Zahlenpaar (x|y) das Loumlsung des Gleichungssystems ist muss beide Gleichungenerfuumlllen Das heiszligt der Zusammenhang zwischen den Variablen x und y der sich auseiner Gleichung ergibt muss auch fuumlr die andere Gleichung geltenIm Gleichungssystem oben ergibt sich aus Gleichung IIx + y = 7 bzw x = 7 ndash yDas muss auch fuumlr Gleichung I geltenDaher duumlrfen wir in Gleichung I fuumlr x den Term 7 ndash y einsetzen3 sdot (7 ndash y) + 4y = 24und erreichen damit dass wir y aus einer linearen Gleichung mit einer Variable bestim-men koumlnnen

21 ndash 3y + 4y = 24y = 3

Wegen x = 7 ndash y erhalten wir fuumlr x = 7 ndash 3 = 4und damit als Loumlsung des Gleichungssystems das Zahlenpaar (4|3)

Beide Gleichungen sind erfuumlllt wie die Probe zeigtI 3 sdot 4 + 4 sdot 3 = 12 + 12 = 24II 4 + 3 = 7

ii

ii

ii

ii

194 10 Lineare Gleichungen und Gleichungssysteme mit zwei Variablen

Die beschriebenen Uumlberlegungen begruumlnden das so genannte EinsetzungsverfahrenIm folgenden Musterbeispiel im gelben Kasten sind die einzelnen Durchfuumlhrungsschrittezusammengefasst

Einsetzungsverfahren (= Substitutionsverfahren)I 3x + 4y = 24II x + y = 71 Druumlcke in einer der beiden Gleichungen x durch y aus

(Du kannst auch umgekehrt y durch x ausdruumlcken Mach das was einfacher ist)Gleichung II x = 7 ndash y

2 Durch Einsetzen des Terms in die andere Gleichung erhaumlltst du eine Gleichungmit einer VariablenGleichung I 3 sdot (7 ndash y) + 4y = 24

3 Loumlse diese Gleichung21 ndash 3y + 4y = 24y = 3

4 Setze die Loumlsung in den Term ein und ermittle die zweite Variablex = 7 ndash 3 = 4rArr L = (4|3)

ProbeI 3 sdot 4 + 4 sdot 3 = 12 + 12 = 24II 4 + 3 = 7

Es gibt fuumlr lineare Gleichungssysteme noch weitere Loumlsungsverfahren zwei davonwerden in den folgenden beiden Musterbeispielen vorgestellt

Gleichsetzungsverfahren (= Komparationsmethode)I 3x + 4y = 24II x + y = 71 Druumlcke in beiden Gleichungen x durch y aus

(Ebenso koumlnntest du wahlweise auch y durch x ausdruumlcken)I 3x = ndash4y + 24

x = ndash 43y + 8

II x = 7 ndash y2 Durch Gleichsetzen der beiden Terme erhaumlltst du eine Gleichung mit einer Va-

riablenndash 4

3y + 8 = 7 ndash y

3 Loumlse diese Gleichungndash 1

3y = ndash1

y = 34 Setze die Loumlsung in einen der beiden Terme aus 1 ein und ermittle die zweite

Variablex = 7 ndash 3 = 4rArr L = (4|3)

Vergiss die Probe nicht

ii

ii

ii

ii

103 Rechnerisches Loumlsen linearer Gleichungssysteme 195

Additionsverfahren1 Multipliziere die Gleichungen mit geeigneten Faktoren so dass bei einer Variable

entgegengesetzt gleiche Koeffizienten entstehenI 3x + 4y = 24II x + y = 7 |sdot(ndash4)

2 Durch Addieren der beiden Gleichungen erhaumlltst du eine Gleichung mit einerVariableI 3x + 4y = 24II ndash4x ndash 4y = ndash28

ndashx = ndash43 Loumlse diese Gleichung

x = 44 Setze die Loumlsung in eine der beiden Gleichungen ein und berechne die zweite

Variable4 + y = 7y = 3rArr L = (4|3)

Vergiss die Probe nicht (siehe Seite 194)

930 a) L =(ndash1|2)b) L =(0|4)c) L =(2|5)d) L =(10|20)

930I2)H2K1 Loumlse das Gleichungssystem mit dem Einsetzungsverfahren

Fuumlhre auch die Probe durcha) I x + 2y = 3

II ndash2x + y = 4b) I ndashx + 4y = 16

II 2x + y = 4c) I x ndash y = ndash3

II ndash12x ndash 2y = ndash11

d) I 7x + y = 90II ndash12x + 5y = ndash20

931 a) L =(4|1)b) L =(4|2)c) L =(ndash23|10)d) L =(ndash35|0)

931I2)H2K1 Loumlse das Gleichungssystem mit dem Gleichsetzungsverfahren

Fuumlhre auch die Probe durcha) I x ndash y = 3

II x + 2y = 6b) I ndash

14x + y = 1

II x + y = 6c) I x + 2y = ndash3

II x ndash 3y = ndash53d) I x + 3y = ndash35

II ndash5x + 3y = 175

932a) L =(17|ndash103)b) L =(10|14)c) L =(8|0)d) L =(18|21)

932I2)H2K1 Loumlse das Gleichungssystem mit dem Additionsverfahren

Fuumlhre auch die Probe durcha) I 3x + 2y = ndash155

II 2x ndash 5y = 549b) I 7x ndash y = 56

II ndash8x + 3y = ndash38c) I 5x + 11y = 40

II 6x ndash 12y = 48d) I 10x ndash 3y = 117

II 20x + 4y = 444

933 a) L =(02|18)b) L =(16|3)c) L =(17|10)d) L =(ndash04|05)

933I2)H2K1 Loumlse das Gleichungssystem mit jenem Loumlsungsverfahren das am besten (fuumlr dich)

passt Vergiss die Probe nicht

a) I x + y = 2II x + 6y = 11

b) I 5x + 2y = 14II ndash5x ndash 3y = ndash17

c) I 6x + y = 202II 7x ndash 3y = ndash181

d) I x + 11y = 51II x ndash 10y = ndash54

ii

ii

ii

ii

196 10 Lineare Gleichungen und Gleichungssysteme mit zwei Variablen

934 (1)1 (1| minus 4)(2) (5|8)(3) (minus05| minus 3)(4) (minus25|0)

934I2)H2K1 Ordne den Gleichungssystemen die richtige Loumlsung zu

(1) 7x + y = 3 (minus05| minus 3)minusx + 5y = minus21

(2) x = yndash3 (5|8)xndash2y = minus11

(3) y = 4xndash1 (minus25|0)y = minus2xndash4

(4) minus4x + 7y = 10 (1| minus 4)2xndash3y = minus5

935 (2|5)935I2)H2

K1

Gleichungssystem Gegeben ist das folgende Gleichungssystem

I x + 2y = 12II 2x + 5y = 29

Loumlse dieses Gleichungssystem

936 c = 3 d = 4936I2)H2

K1

Zwei Gleichungen Loumlse das GleichungssystemI 3c ndash 4d = ndash 7II c = d ndash 1

937 a) L = b) L = (13|ndash55)c) L = (x|y)|y = 1

2x

ndash 74 xy isin R

d) L =

937I2)H2K2 Gib die Loumlsungsmenge des Gleichungssystems an

Achtung Nicht jedes der Gleichungssysteme ist eindeutig loumlsbar

a) I ndash3x ndash 10y = 0II 15x + 5y = 1

b) I 8x ndash 7y = 1425II ndash9x + 2y = ndash128

c) I 2x ndash 4y = 7II ndash6x + 12y = ndash21

d) I ndash06x + 12y = 08II 18x ndash 36y = ndash28

938I2)H1K3 Gib ein lineares Gleichungssystem an das

a) die Loumlsung (4|1) b) die Loumlsung (minus2|5) c) keine Loumlsung hat

939 Alle beruhendarauf dasssowohl derZusammenhangzwischen denbeiden Variablender sich ausGleichung I ergibtals auch derZusammenhangder sich ausGleichung II ergibterfuumlllt sein muss

939I2)H4K3 Erklaumlre was der Hintergrund der drei Verfahren ist

ii

ii

ii

ii

104 Textaufgaben zu linearen Gleichungssystemen 197

104 Textaufgaben zu linearen GleichungssystemenVerwende beim Loumlsen der in den folgenden Aufgaben auftretenden Gleichungssystemejenes Loumlsungsverfahren das dir am geeignetsten erscheint

940 a) x + y = 1585x + 65y = 95548 Schuumllerinnenund110 Erwachseneb) 104 Schuumllerin-nen und92 Erwachsene

940I2)H2K1 Der Eintritt zu einer Greifvogelschau kostet fuumlr Schuumllerinnen

500 euro fuumlr Erwachsene 650 euro Das Verwaltungsbuumlro der Greifvo-gelstation moumlchte wissen wie die Aufteilung der Zuschauer aufErwachsene und Schuumllerinnen war An der Kassa hat man abernur die Gesamtanzahl an verkauften Karten und die Einnahmenregistriert Berechne aus diesen Aufzeichnungen wie viele Er-wachsene bzw Schuumllerinnen die Flugshow besucht haben

a) Vormittagsvorstellung 158 Karten Einnahmen 955ndash eurob) Nachmittagsvorstellung 196 Karten Einnahmen 1118ndash euro

941 x + y = 27065x + 4y = 1485162 Karten fuumlrErwachsene und108 Schuumllerinnen-Karten

941I2)H2K1 Bei der Auffuumlhrung eines Schultheaters werden an der Abendkassa Karten zu

650 euro fuumlr Erwachsene und Karten zu 4 euro fuumlr Schuumllerinnen verkauft Insgesamt wurden270 Karten verkauft und 1485 euro eingenommen Wie viele Schuumllerinnenkarten und wieviele Karten fuumlr Erwachsene wurden verkauft

9423 Gleichungssystem

942I2)H3K1 Wie Aufgabe 941 fuumlr insgesamt 171 verkaufte Karten und 879 euro EinnahmenWelches

Gleichungssystem passt zum Text Kreuze an

times I e + s = 879II 650e + 4s = 171

I e + 4s = 171II 650e + s = 879

I e + s = 171II 650e+4s = 879

I 4s + s = 171II 650e + e = 879

943 (1) DerHinflug erfolgt mitRuumlckenwind derRuumlckflug mitGegenwind Jadenn bei allenLangstreckenfluuml-gen wirken sich dieLuftstroumlmungenauf die Flugzeit ausWien ndash New York910 h New York ndashWien 845(Abfragewwwauacom2552009) (2)Wien ndash Tokio821 kmh Tokio ndashWien 764 kmh(3) Eigengeschwin-digkeit desFlugzeuges7925 kmh Wind-geschwindigkeit285 kmh

943I2)H2K1 diams Waumlhrend des Langstreckenfluges Wien ndash To-

kio werden den Passagieren uumlber Bildschirme Rei-seinformationen geboten Zu Beginn der Reise wirddie Distanz zwischen Wien und Tokio mit 9164 kmangegeben die voraussichtliche Flugzeit mit 1110h Frau Schindler vergleicht mit ihren Fluginforma-tionen fuumlr den Ruumlckflug Dort wird die Flugzeit fuumlrTokio ndash Wien mit 1200 h angegeben obwohl sie wie-der mit demselben Flugzeugtyp fliegen wird(1) Warum unterscheiden sich die Flugzeiten zwischen Hinflug und Ruumlckflug so deut-lich Ist das auch bei anderen Langstreckenfluumlgen so Frage im Internet die Flugzeitenfuumlr den Transatlantikflug von einem europaumlischen Flughafen nach New York hin undzuruumlck ab(2) Berechne die durchschnittliche Fluggeschwindigkeit fuumlr die angegebenen FlugzeitenWien ndash Tokio bzw Tokio ndash Wien(3) Berechne die (durchschnittliche) Eigengeschwindigkeit des Flugzeuges und die(durchschnittliche) erwartete Windgeschwindigkeit die der Angabe der Flugzeit zu-grunde liegen

ii

ii

ii

ii

198 10 Lineare Gleichungen und Gleichungssysteme mit zwei Variablen

944(1) Hinflug764 kmhRuumlckflug 836 kmh(2) Eigengeschwin-digkeit desFlugzeuges800 kmh Windge-schwindigkeit36 kmh

944I2)H2K1 diams Die Flugzeit fuumlr den Flug Frankfurt ndash Chicago

wird im Internet von einer Fluglinie mit 908 h an-gegeben die Flugzeit fuumlr den Ruumlckflug mit dem-selben Flugzeugtyp mit 821 h Die Entfernungzwischen Frankfurt und Chicago betraumlgt 6978 km(1) Berechne die durchschnittlichen Fluggeschwin-digkeiten fuumlr die angegebenen Flugzeiten fuumlr Hin-und Ruumlckflug(2) Berechne die (durchschnittliche) Eigengeschwindigkeit des Flugzeuges und die(durchschnittliche) erwartete Windgeschwindigkeit die der Angabe der Flugzeit zu-grunde liegen

Kommen zwei Systeme (z B Fluumlssigkeiten) mit unterschiedlicher Temperatur zusam-men so gleichen sich ihre Temperaturen durch Waumlrmeaustausch an Waumlrme flieszligtdabei immer vom waumlrmeren zum kaumllteren System so lange bis beide Systeme diegleiche Temperatur habenMischt man einen Liter Wasser mit einer Temperatur von 10 mit einem Liter Was-ser mit einer Temperatur von 20 so entstehen 2 Liter Wasser mit der mittlerenTemperatur von 15

94566 Liter aus demWasserboiler und84 Liter aus demKaltwasserzufluss

945I2)H2K1 ⋆ In einem Niedrigenergiehaus steht ein solar-

beheizter Wasserboiler zur Verfuumlgung Nach einemsonnigen Tag wird eine Wassertemperatur von 64angezeigt Eine Badewanne soll mit 150 Litern Was-ser gefuumlllt werden die erwuumlnschte Temperatur ist37 Wie viele Liter muumlssen aus dem solarbeheiztenBoiler und wie viele Liter aus einem Kaltwasserzu-fluss (16 ) zuflieszligen Runde auf ganze Liter

946 12 Liter 946I2)H2K1 ⋆ An einem heiszligen Sommertag ist die Temperatur in einem 100-Liter-Aquarium

auf 27 angestiegen Wie viel Liter Wasser muss man entnehmen und durch 10 kaltes Wasser ersetzen damit wieder die fuumlr die Fische passende Temperatur von 25 erreicht wird(Tipp Wenn von den 100 Litern x Liter entnommen werden so ist das genau jeneWassermenge mit 10 die zur verbleibenden Wassermenge (y Liter) hinzukommt)

Zahlenraumltsel

947a) x + y = 131 undx minus v = 43b) x = y + 5 und2v + x = 83

947I2)H2K1 Uumlbersetze den Text jeweils in zwei lineare Gleichungen und loumlse das Gleichungs-

system um die beiden gesuchten Zahlen zu ermitteln Fuumlhre auch die Probe durcha) Die Summe zweier Zahlen ist 131 Ihre Differenz betraumlgt 43b) Eine Zahl ist um 5 groumlszliger als die andere Addiert man zum Doppelten der kleinerenZahl die groumlszligere Zahl erhaumllt man 83

ii

ii

ii

ii

104 Textaufgaben zu linearen Gleichungssystemen 199

948 a) 150 und 50b) 8 und 28

948I2)H2K1 Wie Aufgabe 947

a) Eine Zahl ist dreimal so groszlig wie eine zweite Zahl Die Differenz der beiden Zahlenbetraumlgt 100b) Die Differenz zweier Zahlen ist 20 Addiert man zum Dreifachen der kleineren Zahldas Doppelte der groumlszligeren Zahl erhaumllt man 80

949 13 und 9949I2)H2K1 ⋆ Die Differenz zweier Zahlen betraumlgt 4 Verringert man die groumlszligere der beiden

Zahlen um 1 und vergroumlszligert die kleinere um 2 so wird das Produkt um 15 groumlszliger Wielauten die beiden Zahlen

950 27 und 42950I2)H2K1 ⋆ Die Summe zweier Zahlen ist 69 Vergroumlszligert man eine Zahl um 3 und verringert

die andere um 5 so wird das Produkt um 24 kleiner Berechne die beiden Zahlen

Aufgaben aus der Geometrie

951 a) a = 23 cmb = 13 cmb) a =24 cmb = 12 cm

ef

a

b

951I2)H2K1 Die laumlngere Seite eines Parallelogramms ist

a) um 10 cm laumlnger als die kuumlrzere Seiteb) doppelt so lang wie die kuumlrzere SeiteDer Umfang des Parallelogramms ist 72 cmBerechne die Seitenlaumlngen des Parallelogramms

952 I α + 54 = γ II 2α + γ = 180α = β = 42deg γ = 96degb

A c

a

C

B

952I2)H2K1 In einem gleichschenkligen Dreieck ist ein Basiswinkel (α = β

vergleiche mit der Skizze) um 54deg kleiner als der Winkel γ Ermittle dieGroumlszlige der Winkel des gleichschenkligen Dreiecks Fuumlhre auch die Probedurch

953 Basis 32 cmSchenkel 21 cm

953I2)H2K1 Die Basis eines gleichschenkligen Dreiecks ist um 11 cm laumlnger als die Schenkel-

laumlnge Der Umfang des Dreiecks ist 74 dm Wie lang sind Basis und Schenkel diesesgleichschenkligen Dreiecks

954 Basis 18 cmSchenkel 21 cm

954I2)H2K1 Der Umfang eines gleichschenkligen Dreiecks betraumlgt 60 cm Die Basis ist um

3 cm kuumlrzer als eine Schenkellaumlnge Berechne die Laumlnge der Basis und der Schenkel

955 b = 21 cml = 35 cm

955I2)H2K1 In einem Rechteck verhalten sich die Seiten wie 35 Der Umfang des Rechtecks

ist 112 cm Wie breit und wie lang ist das Rechteck

956 Erfinde eine aumlhnliche Aufgabenstellung wie die in 955Deine Nachbarindein Nachbar soll sie loumlsen

957 (1) b = 8 cml = 18 cm (2) einQuadrat mits = 12 cm

957I2)H2K1 ⋆ Die Seiten eines Rechtecks verhalten sich wie 49 Verlaumlngert man die kuumlrzere

Seite um 4 cm und verkuumlrzt die laumlngere Seite um 6 cm so bleibt der Flaumlcheninhaltunveraumlndert(1) Wie lang und wie breit ist das urspruumlngliche Rechteck(2) Wie lang sind die Seiten des veraumlnderten RechtecksWelche besondere Form liegt vor

ii

ii

ii

ii

200 10 Lineare Gleichungen und Gleichungssysteme mit zwei Variablen

958 a) y = ndashx +3

b) y = 135x + 4

5

958I2)H2K1 Wie lautet die Gleichung jener Geraden g die durch die beiden gegebenen Punkte

geht

A(ndash2|5) B(3|1)Da beide Punkte auf der Geraden g liegenerfuumlllen sie die Gleichung y = kx + dWir setzen daher die Koordinaten der Punkte fuumlr x und y ein und erhalten ein linearesGleichungssystem mit den Variablen k und dA liegt auf g rArr I 5 = ndash2k + d | sdot (ndash1)B liegt auf g rArr II 1 = 3k + d rceil+

(ndash1) sdot I ndash5 = 2k ndash d rfloorndash4 = 5kk = minus 4

5minus 4

5eingesetzt in Gleichung I ergibt

5 = ndash2 sdot 1114100minus 451114103 +d rArrd = 5 ndash

85= 17

5Die Gleichung der Geraden g die durch die beiden Punkte A und B verlaumluft lautetdaher

g y = minus 45k +

175

a) A(2|1) B(ndash1|4) b) R(ndash3|ndash7) S(2|6)

959 a) y = minus 25x + 2

b) y = minus 74x + 5

c) y = 109x + 1

9

d) y = 56x ndash 5

959 Stelle die Gleichung jener Geraden auf die durch die gegebenen beiden Punktegehta) A(ndash20|10) B(5|0) b) C(0|5) D(4|ndash2) c) E(8|9) F(ndash1|ndash1) d) G(6|0) H(0|ndash5)

105 Ausblick und Exercises1051 Ausblick

960 (1)a = 104 cmha = 78 cm (2) Eshandelt sich nichtum ein linearesGleichungssystemEinsetzungsverfah-ren undGleichsetzungsver-fahren koumlnnen zurAnwendungkommenAdditionsverfahrenund grafischesLoumlsungsverfahrennicht

960I2)H2K1 ⋆ In einemDreieck verhalten sich eine Seite und ihre Houmlhe wie 43 Der Flaumlcheninhalt

des Dreiecks betraumlgt 4056 cm2(1) Berechne die Seitenlaumlnge und die Houmlhe(2) Inwiefern unterscheidet sich das Gleichungssystem in (1) von den anderen bisjetzt behandelten Welche Loumlsungsverfahren koumlnnen zur Anwendung kommen welchenichtWie Aufgabe 960 zeigt gibt es auch andere als nur lineare Gleichungssysteme Mit demEinsetzungsverfahren kann man auch diese loumlsen Das Additionsverfahren ist dafuumlrnicht geeignetBei komplexen Sachverhalten mit hoher Anwendungsrelevanz kommt man in der Regelnicht mit einem Gleichungssystem das nur zwei Gleichungen enthaumllt aus Beispiels-weise fuumlhren Messreihen in der Chemie oder Physik haumlufig auf Gleichungssysteme dieaus mehreren Gleichungen mit mehreren Variablen bestehenDie Loumlsungsverfahren wie du sie kennengelernt hast sind auch fuumlr solche Gleichungs-systeme erweiterbar In der Praxis wird der oft hohe Rechenaufwand mit geeigneterSoftware am Computer (siehe Kap 145 S 265) bewaumlltigt

ii

ii

ii

ii

105 Ausblick und Exercises 201

1052 Exercises

vocabularysystem of linear equations lineares Gleichungssystemsolution Loumlsunggraphing zeichnensubstitution das Ersetzen Einsetzenaddition method hier Additionsverfahrento solve loumlseninfinitely-many unendlich viele

961 (ndash5|1) is asolution of thegiven equation

961I2)H3K2 Determine whether either of the points (1|ndash5) and (ndash5|1) is a solution to the given

system of equationsndash6x + y = 315x + 7y = ndash18

962I2)H3K1 Fill in

infinitely-many (2x) ndash two ndash three (2x) ndash one (2x) ndash no solution ndash none

For systems of linear equations (two variables two equations) there are threepossible types of solutions

The system may have one solution (a specific point (x|y))

no solution at all or

infinitely-many solutions

There is no such system with two or three solutions

You will always have one none

or infinitely-many solutions

963 L = (0|3)963I2)H2K2 Solve the following system by graphing

x + 4y = 12ndash10x + 5y = 15

964 L = (ndash50|100)964I2)H2K2 Solve the following system by substitution

ndash3x + y = 2507x + 10y = 650

965 L = (35|ndash8)965I2)H2K2 Solve the following system using the addition method

6x + 11y = ndash678x ndash 3y = 52

966 98 and 41966I2)H2K2 The difference of two numbers is 57 The sum of these two numbers is 139 Which

numbers are we referring to

967 (12|1) and(1|0)

967I2)H2K1 Which are correct solutions to the equation 5x + 4y = 5

times times(12|1) (2| + 12) (04|05) (1|0)

ii

ii

ii

ii

202 10 Lineare Gleichungen und Gleichungssysteme mit zwei Variablen

106 Mathe fit und kompetent ndash Kompetenzcheck

968 Richtig sindm + b = 21 undm minus 2b

2m + b = 21 m + 2b = 21 m + b = 21 timesm = 2b timesb = 2m

968I2)H3K1 In einer Klasse mit 21 Kindern gibt es doppelt so viele

Maumldchen wie BubenDie Anzahl der Maumldchen wird mit m bezeichnet die Anzahl derBubenmit b Kreuze jeneGleichung(en) an die zur beschriebenenKlasse passen

969I2)H1K1 Schreibe den Text in Form eines linearen Gleichungssystems an

a) Bei einer Flugreise wiegt Deryas Koffer um 7 kg mehr als ihr Handgepaumlck Insgesamthaben die beiden Gepaumlckstuumlcke 23 kg

I k = h + 7

II k + h = 23b) Eine Zahl ist um 7 groumlszliger als die andere Subtrahiert man vom Doppelten dergroumlszligeren Zahl die kleinere erhaumllt man 20

I x = y + 7

II 2x minus y = 20

970I2)H1K3 Erfinde einen kurzen Text der sich durch eine lineare Gleichungmit zwei Variablen

darstellen laumlsst

971 (1) (minus05|3)(2) (5|0) (3) (1| minus 7)(4) (0|4)

971I2)H2K1 Verbinde die Gleichungssysteme mit der jeweils richtigen Loumlsung

(1) 2x + y = 2 (1| minus 7)minus8x minus 2y = minus2

(2) 4x + 6y = 20 (0|4)minusx + y = minus5

(3) 2x + y = minus5 (minus05|3)minus8x minus 2y = 6

(4) x + 2y = 8 (5|0)10x minus y = minus4

972 a) (6| minus 5)b) (04|1)

972I2)H2K1 Loumlse das Gleichungssystem und fuumlhre auch die Probe durch

a) I 3x + 4y = minus2 b) I 5x minus 4y = minus2II x minus y = 11 II minus2x + 6y = 52

973 L = (ndash2|1) 973I2)H2K2 Loumlse das Gleichungssystem (1) graphisch und (2) rechnerisch

I minus3x + 2y = 8II 2x + 4y = 0

ii

ii

ii

ii

106 Mathe fit und kompetent ndash Kompetenzcheck 203

974I2)H3K2 (1) Welches Gleichungssystem ist in der Grafik dargestellt Kreuze an

I y = 34xndash4

II y = 13x + 1

I y = 43x + 4

II y = minus 13xndash1

I y = xndash4II y = 1

3x + 1

I y = 43x minus 4

II y = minus 13x + 1

times

(2) Wie lautet die Loumlsung dieses Gleichungssystems (3|0)

975 Keine LoumlsungDie beidenGleichungenstellen paralleleGeraden dar dahergibt es keinZahlenpaar dasbeide Gleichungenerfuumlllt975I2)H4

K2 Wie viele Loumlsungen hat das angeschriebene GleichungssystemVersuche zu antworten ohne ein Loumlsungsverfahren anzuwendenBegruumlnde deine Antwort

I x + y = 1II 2x + 2y = 3

976 SieheZusammenfassungder Loumlsungsfaumllleauf Seite 191

976I2)H4K3 Erklaumlre Warum hat ein lineares Gleichungssystem mit zwei Variablen entweder

genau eine keine oder unendlich viele Loumlsungen977 3 und 4Gleichungssystem

977I2)H3K1 In einem Rechteck verhalten sich die Seiten wie 4 ∶ 7 Der Umfang ist 55 cm

Zwei der folgenden Gleichungssysteme beschreiben den Sachverhalt richtig Kreuze anwelche

times timesI b ∶ l = 4 ∶ 7II 4b + 7l = 55

I 4l = 7bII b + l = 55

I b ∶ l = 4 ∶ 7II 2b + 2l = 55

I 4l = 7bII 2(b + l) = 55

978 1 kg Mehlkostet 15 euro 1 kgZucker kostet 1 euro

978I2)H2K2 Tom kauft 2 kg Mehl und 1 kg Zucker und bezahlt dafuumlr 4 Euro Anna kauft 1 kg

Mehl und 3 kg Zucker und bezahlt dafuumlr 45 Euro Wie viel kostet 1 kg Mehl Wie vielkostet 1 kg Zucker

979 (1) Esbesuchten viermalso vieleErwachsene wieKinder dieAusstellung (2)Insgesamtbesuchten 680Personen dieAusstellung (3) Eshaben um 240mehr Kinder alsErwachsene dieAusstellungbesucht

979I2)H3K1 Im Folgenden steht jeweils k fuumlr die Anzahl der Kinder und e fuumlr die Anzahl

der Erwachsenen die eine Ausstellung besucht haben Schreibe in Worten was dieGleichungen uumlber den Ausstellungsbesuch von Erwachsenen und Kindern aussagen(1) Montag e = 4k (2) Dienstag k + e = 680 (3) Mittwoch e + 240 = k

980 800 kmh70 kmn

980I2)H2K2 Ein Flugzeug erreicht mit Ruumlckenwind eine Geschwindigkeit von 870 kmh bei

(gleichstarkem) Gegenwind kommt es nur auf 720 kmh Berechne die Eigengeschwin-digkeit des Flugzeugs und die Windgeschwindigkeit

981I2)H1K3 Schreibe ein lineares Gleichungssystem an das die Loumlsung (2|5) hat

ii

ii

ii

ii

102 Grafisches Loumlsen linearer Gleichungssysteme 189

913 (minus1|2)(1|10) (05|8) (minus1|2) times(5| minus 7)

913I2)H3K1 Welches der Zahlenpaare ist Loumlsung des gegebenen Gleichungs-

systems Kreuze an4x ndash y = -63x + 2y = 1

914Indash10 sdot (ndash1) + 7 sdot3 = 31 wA undII 8 sdot (ndash1)+ 5 sdot 3= 7 w A

914I2)H2K1 Zeige durch Einsetzen in die beiden Gleichungen dass das Zahlenpaar (ndash1|3) Louml-

sung des Gleichungssystems istI ndash10x + 7y = 31II 8x + 5y = 7

915I 3 sdot 4 + 4 sdot 3 = 24wA undII 4 + 3 = 7 w A

915I2)H2K1 Weise durch Einsetzen in die beiden Gleichungen des Gleichungssystems

I 3x + 4y = 24II x + y = 7nach dass die Loumlsung die du in Aufgabe 911 gefunden hast tatsaumlchlich eine Loumlsungdes Gleichungssystems ist

Grafisches Darstellen von linearen GleichungssystemenDa sich eine lineare Gleichung als Gerade grafisch darstellen laumlsst kann man auch einlineares Gleichungssystem grafisch darstellenIm Koordinatensystem werden zwei Geraden eingezeichnetSchneiden die beiden Geraden einander dann Erfuumlllen die Koordinaten des Schnittpunk-tes S(xs |ys) beide Gleichungen Das Zahlenpaar (xs |ys) ist daher Loumlsung des Gleichungs-systems

916 (1) I k = 2d = ndash1 y = 2x ndash 1II k = ndash1 d = 5y = ndashx + 5 (2)I ndash2x + y = ndash1II x + y = 5 (3)(xs |ys) = (2|3)

916I2)H1K2 diams Welches lineare Gleichungssystem ist hier

grafisch dargestellt(1) Bestimme fuumlr beide Geraden die Steigungk und den Achsenabschnitt d und gib die zu-gehoumlrigen Gleichungen in der Form y = kx + dan(2) Gib beide Gleichungen auch in der Formax + by = c an(3) Entnimm der Zeichnung die Koordinatenxs und ys des Schnittpunktes S und uumlberpruuml-fe durch Einsetzen in beide Gleichungen ob(xs |ys) eine Loumlsung des linearen Gleichungssys-tems ist

917 (1) I y =2x + 4II y = ndash 1

2x + 3

2(2) ndash (3) S(ndash1|2)(4) I ndash2 sdot (ndash1) + 2 =4 II (ndash1) + 2 sdot 2 = 3

917 Gegeben ist das lineare GleichungssystemI ndash2x + y = 4II x + 2y = 3

(1)I2)H2K1 Forme die Gleichungen in die Form y = kx + d um

(2)I2)H1K1 Stelle die beiden Gleichungen im Koordinatensystem grafisch dar

(3)I2)H3K1 Bestimme die Koordinaten xs und ys des Schnittpunktes S der beiden Geraden

(4)I2)H2K1 Zeige dass die beiden Werte xs und ys die beiden Gleichungen aus der Angabe

erfuumlllen Setze sie dazu in die Gleichungen ein

ii

ii

ii

ii

190 10 Lineare Gleichungen und Gleichungssysteme mit zwei Variablen

Grafisches Loumlsungsverfahren fuumlr lineare GleichungssystemeI x + 2y = 6II x ndash y = 3

1 Forme die beiden Gleichungen um und stelle sie in der Form y = kx + d darI y = minus 1

2x + 3

II y = x ndash 32 Zeichne die zu den Gleichungen gehoumlren-

den Geraden im Koordinatensystem ein3 Entnimm aus der Zeichnung die Koordina-

ten xs und ys des Schnittpunktes S der bei-den Geraden Das Zahlenpaar S(xs |ys) istdie Loumlsung des GleichungssystemsSchnittpunkt S(4|1)rArr L = (4|1)

ProbeDas Zahlenpaar muss beide Gleichungen erfuumlllen Eingesetzt in die beiden Ausgangs-gleichungen liefern xs und ys fuumlr beide Gleichungen eine wahre AussageI 4 + 2 sdot 1 = 6

6 = 6 wAII 4 ndash 1 = 3

3 = 3 wA

918 a) L = (4|2)b) L = (0|4)

918I2)H2K2 Bestimme grafisch die Loumlsung des linearen Gleichungssystems

Fuumlhre auch die Probe durcha) I y = ndashx + 6

II y =14x + 1

b) I y =14x + 4

II y = ndash2x + 4

919 a) L = (1|3)b) L = (3|0)

919I2)H2K2 Loumlse das lineare Gleichungssystem grafisch und fuumlhre rechnerisch die Probe durch

a) I y = 3xII y = ndash3x + 6

b) I y =13x ndash 1

II y = minus 53x + 5

Tipp 102Computerunterstuumltztes Arbeiten hilft den Zeitaufwand des grafischen Loumlsungsver-fahrens zu reduzieren Das kostenlos erhaumlltliche Programm GeoGebra (wwwgeoge-braorg) eignet sich dafuumlr besonders (siehe S 145)

920 a) L = (ndash2|4)b) L = (0|1)c) L = (ndash3|0)d) L = (2|5)

920I2)H2K2 Ermittle die Loumlsung des linearen Gleichungssystems grafisch

Uumlberpruumlfe dein Ergebnis durch Einsetzen in die beiden Gleichungena) I minus 1

2x + 2y = 9

II 3x + 2y = 2b) I 3x + y = 1

II ndash4x + 2y = 2

c) I ndash5x + 3y = 15II x + 3y = ndash3

d) I ndash12x ndash 2y = ndash11

II x ndash y = ndash3

ii

ii

ii

ii

102 Grafisches Loumlsen linearer Gleichungssysteme 191

921 Nein einGleichungssystemkann auch garkeine Loumlsunghaben (die beidenGeraden sindparallel) oderunendlich vieleLoumlsungen (diebeidenGleichungenstellen dieselbeGerade dar)

921I2)H4K3 In den bisherigen Aufgaben hatten wir es nur mit Gleichungssystemen zu tun die

eindeutig loumlsbar waren die beiden Geraden hatten einen SchnittpunktUumlberlegt zu zweit Muss das immer so sein Kann es Gleichungssysteme geben diemehr als eine Loumlsung oder gar keine Loumlsung habenTipp Uumlberlegt welche Lagebeziehung zwei Geraden in der Ebene haben koumlnnen

922 Die beidenGeraden habendieselbe Steigungaberunterschiedlichesd sind daherparallel und habenkeinen Punktgemeinsam

922I2)H4K2 Weise mit Hilfe des grafischen Loumlsungsverfahrens nach dass folgendes Gleichungs-

system keine Loumlsung hatI ndash2x + y = ndash5II 4x ndash 2y = ndash1

923I2)H4K2 Wende das grafische Loumlsungsverfahren auf folgendes Gleichungssystem an

Welcher besondere Fall liegt vor Beschreibe in Worten Was kannst du daher uumlber dieLoumlsung des Gleichungssystems aussagenI ndash4x + 2y = ndash2II 2x ndash y = 1

923 Die beidenGleichungenstellen dieselbeGerade darUnendlich vieleZahlenpaarenaumlmlich jenePunkte die auf derGeraden liegenerfuumlllen beideGleichungen undsind daher Loumlsungdes Gleichungssys-tems

Loumlsungsfaumllle bei linearen GleichungssystemenBei linearen Gleichungssystemen mit zwei Gleichungen und zwei Variablen gibt esdrei verschiedene Loumlsungsfaumllle

1 FallDas Gleichungssystem hat genau ein Zahlenpaar(x |y) x y isin ℝ als Loumlsung L = (x |y)Grafische InterpretationDie Loumlsungen der beiden Gleichungen stellenGeraden dar die einander im Punkt (x |y) schneiden

2 FallDas Gleichungssystem hat keine Loumlsung L = Grafische InterpretationDie Loumlsungen der beiden Gleichungen stellenparallele Geraden dar und haben daher keinenPunkt gemeinsam

3 FallDas Gleichungssystem hat unendlich viele Loumlsun-genz B L = (x |y) | y = minus2x + 4 x y isin ℝGrafische InterpretationDie Loumlsungen der beiden Gleichungen stellen diesel-be Gerade dar Jeder Punkt der auf dieser Geradenliegt ist Loumlsung des Gleichungssystems

924 Nein dennzwei Geradenkoumlnnen nur genaueinen oder garkeinenSchnittpunkthaben

ii

ii

ii

ii

192 10 Lineare Gleichungen und Gleichungssysteme mit zwei Variablen

924I2)H4K3 Ist es moumlglich dass ein lineares Gleichungssystem mit zwei Variablen genau 2

Loumlsungen hat Begruumlnde deine Antwort925 Sind k und dgleich dannfallen die beidenGeradenzusammenrArrunendlich vieleLoumlsungen Sinddie Steigungengleich aber dieAchsenabschnitteunterschiedlichdann sind diebeiden GeradenparallelrArr keineLoumlsung Sind dieSteigungenunterschiedlichso schneiden dieGeraden einanderrArr genau eineLoumlsung

925I2)H4K2 Uumlberlegt zu zweit Wie kann man aus den beiden Gleichungen eines Gleichungs-

systems die in der Form y = kx + d gegeben sind direkt ablesen (das heiszligt ohne dieZeichnungen anzufertigen) welcher Loumlsungsfall vorliegt Vergleicht dazu jeweils dieSteigungen k bzw die Achsenabschnitte d der beiden Gleichungen

926 a) gleiches kunterschiedliches drArr keine Loumlsungb) unterschiedli-ches krArr eineLoumlsung c) gleichesk gleiches drArrunendlich vieleLoumlsungend) gleiches kunterschiedliches drArr keine Loumlsung

926I2)H3K2 Welcher Loumlsungsfall liegt bei den gegebenen Gleichungssystemen vor Untersuche

durch Vergleich der Steigungen k und der Achsenabschnitte d ob das Gleichungssystemgenau eine Loumlsung unendlich viele Loumlsungen oder keine Loumlsung hata) I y = ndash2x + 6

II y = ndash 2x + 1b) I y =

14x + 4

II y = ndash2x + 4

c) I 2y = 6x + 12II y = 3x + 6

d) I y =13x ndash 1

II y =13x + 5

927 a) keineLoumlsungb) unendlich vieleLoumlsungenc) L = (ndash2|0)d) keine Loumlsung

927I2)H3K2 Forme die Gleichungen jeweils auf die Gestalt y = kx + d um Vergleiche dann die

Steigungen und die Achsenabschnitte der beiden Gleichungen und bestimme welcherLoumlsungsfall vorliegt Fuumlr den Fall dass es genau eine Loumlsung gibt ermittle diese Loumlsunggraphisch

a) I 3x + 2y = 9II 3x + 2y = 1

b) I32x + 4y = ndash2

II 3x + 8y = ndash4

c) I x + 2y = ndash2II x ndash 2y = ndash2

d) I ndash12x ndash y = ndash11

II 2x ndash 4y = ndash3

928 Richtliniendazu siehe Loumlsungvon Aufgabe 925

928I2)H1K3 Schreibe ein lineares Gleichungssystem an das

(1) genau eine Loumlsung(2) keine Loumlsung(3) unendlich viele Loumlsungen hat

929 I x + y = 5II -2x + y = 2S(1|4) ist dieLoumlsung

929I2)H3K3 Sara hat ein Gleichungssystem gra-

fisch geloumlst Rechts siehst du die Zeich-nung Wie lautet die Angabe WelcheKoordinaten hat der Schnittpunkt Wel-che Bedeutung hat er fuumlr dasGleichungs-system

I x + y = 5

II -2x + y = 2

Schnittpunkt S(1|4)

Bedeutung ist die Loumlsung

ii

ii

ii

ii

103 Rechnerisches Loumlsen linearer Gleichungssysteme 193

103 Rechnerisches Loumlsen linearer Gleichungssysteme

Im letzten Abschnitt hast du viele Gleichungssysteme gra-fisch geloumlst Durch dieses Loumlsungsverfahren kann man sehrviel uumlber lineare Gleichungssysteme lernen z B warum esniemals genau 2 Loumlsungen haben kann Wie jedes grafischeVerfahren hat es aber den Nachteil dass man sehr von dereigenen Zeichengenauigkeit abhaumlngig ist Selbst wenn mansich noch so bemuumlht Loumlsungen wie (0345| 261) wird maneiner haumlndischen Zeichnung nur unter groszligem Aufwand ent-nehmen koumlnnen Aber selbst wenn die Loumlsung ganzzahligist koumlnnen Schwierigkeiten auftreten Uumlberlege am Beispieldes Zahlenpaares (1|100)Beim computerunterstuumltzten Arbeiten koumlnnen durch Verschieben des Bildschirmaus-schnittes und Zoomen diese Probleme bewaumlltigt werden aber in Sachen Genauigkeitstoumlszligt man auch da an Grenzen Ein klarer Fall also dass auch rechnerische Loumlsungs-moumlglichkeiten gefragt sind

Wir kommen ein letztes Mal auf die Abschlussreise der 4B und der 4C zuruumlck die amAnfang dieses Kapitels (siehe S 184) vorgestellt wurde Uumlber die Zimmereinteilungfuumlr die 24 Maumldchen weiszlig man dass sie insgesamt 7 Zimmer benoumltigen und dass dieseZimmer Dreibett- und Vierbettzimmer sind Daraus ergibt sich das GleichungssystemI 3x + 4y = 24II x + y = 7

Ein Zahlenpaar (x|y) das Loumlsung des Gleichungssystems ist muss beide Gleichungenerfuumlllen Das heiszligt der Zusammenhang zwischen den Variablen x und y der sich auseiner Gleichung ergibt muss auch fuumlr die andere Gleichung geltenIm Gleichungssystem oben ergibt sich aus Gleichung IIx + y = 7 bzw x = 7 ndash yDas muss auch fuumlr Gleichung I geltenDaher duumlrfen wir in Gleichung I fuumlr x den Term 7 ndash y einsetzen3 sdot (7 ndash y) + 4y = 24und erreichen damit dass wir y aus einer linearen Gleichung mit einer Variable bestim-men koumlnnen

21 ndash 3y + 4y = 24y = 3

Wegen x = 7 ndash y erhalten wir fuumlr x = 7 ndash 3 = 4und damit als Loumlsung des Gleichungssystems das Zahlenpaar (4|3)

Beide Gleichungen sind erfuumlllt wie die Probe zeigtI 3 sdot 4 + 4 sdot 3 = 12 + 12 = 24II 4 + 3 = 7

ii

ii

ii

ii

194 10 Lineare Gleichungen und Gleichungssysteme mit zwei Variablen

Die beschriebenen Uumlberlegungen begruumlnden das so genannte EinsetzungsverfahrenIm folgenden Musterbeispiel im gelben Kasten sind die einzelnen Durchfuumlhrungsschrittezusammengefasst

Einsetzungsverfahren (= Substitutionsverfahren)I 3x + 4y = 24II x + y = 71 Druumlcke in einer der beiden Gleichungen x durch y aus

(Du kannst auch umgekehrt y durch x ausdruumlcken Mach das was einfacher ist)Gleichung II x = 7 ndash y

2 Durch Einsetzen des Terms in die andere Gleichung erhaumlltst du eine Gleichungmit einer VariablenGleichung I 3 sdot (7 ndash y) + 4y = 24

3 Loumlse diese Gleichung21 ndash 3y + 4y = 24y = 3

4 Setze die Loumlsung in den Term ein und ermittle die zweite Variablex = 7 ndash 3 = 4rArr L = (4|3)

ProbeI 3 sdot 4 + 4 sdot 3 = 12 + 12 = 24II 4 + 3 = 7

Es gibt fuumlr lineare Gleichungssysteme noch weitere Loumlsungsverfahren zwei davonwerden in den folgenden beiden Musterbeispielen vorgestellt

Gleichsetzungsverfahren (= Komparationsmethode)I 3x + 4y = 24II x + y = 71 Druumlcke in beiden Gleichungen x durch y aus

(Ebenso koumlnntest du wahlweise auch y durch x ausdruumlcken)I 3x = ndash4y + 24

x = ndash 43y + 8

II x = 7 ndash y2 Durch Gleichsetzen der beiden Terme erhaumlltst du eine Gleichung mit einer Va-

riablenndash 4

3y + 8 = 7 ndash y

3 Loumlse diese Gleichungndash 1

3y = ndash1

y = 34 Setze die Loumlsung in einen der beiden Terme aus 1 ein und ermittle die zweite

Variablex = 7 ndash 3 = 4rArr L = (4|3)

Vergiss die Probe nicht

ii

ii

ii

ii

103 Rechnerisches Loumlsen linearer Gleichungssysteme 195

Additionsverfahren1 Multipliziere die Gleichungen mit geeigneten Faktoren so dass bei einer Variable

entgegengesetzt gleiche Koeffizienten entstehenI 3x + 4y = 24II x + y = 7 |sdot(ndash4)

2 Durch Addieren der beiden Gleichungen erhaumlltst du eine Gleichung mit einerVariableI 3x + 4y = 24II ndash4x ndash 4y = ndash28

ndashx = ndash43 Loumlse diese Gleichung

x = 44 Setze die Loumlsung in eine der beiden Gleichungen ein und berechne die zweite

Variable4 + y = 7y = 3rArr L = (4|3)

Vergiss die Probe nicht (siehe Seite 194)

930 a) L =(ndash1|2)b) L =(0|4)c) L =(2|5)d) L =(10|20)

930I2)H2K1 Loumlse das Gleichungssystem mit dem Einsetzungsverfahren

Fuumlhre auch die Probe durcha) I x + 2y = 3

II ndash2x + y = 4b) I ndashx + 4y = 16

II 2x + y = 4c) I x ndash y = ndash3

II ndash12x ndash 2y = ndash11

d) I 7x + y = 90II ndash12x + 5y = ndash20

931 a) L =(4|1)b) L =(4|2)c) L =(ndash23|10)d) L =(ndash35|0)

931I2)H2K1 Loumlse das Gleichungssystem mit dem Gleichsetzungsverfahren

Fuumlhre auch die Probe durcha) I x ndash y = 3

II x + 2y = 6b) I ndash

14x + y = 1

II x + y = 6c) I x + 2y = ndash3

II x ndash 3y = ndash53d) I x + 3y = ndash35

II ndash5x + 3y = 175

932a) L =(17|ndash103)b) L =(10|14)c) L =(8|0)d) L =(18|21)

932I2)H2K1 Loumlse das Gleichungssystem mit dem Additionsverfahren

Fuumlhre auch die Probe durcha) I 3x + 2y = ndash155

II 2x ndash 5y = 549b) I 7x ndash y = 56

II ndash8x + 3y = ndash38c) I 5x + 11y = 40

II 6x ndash 12y = 48d) I 10x ndash 3y = 117

II 20x + 4y = 444

933 a) L =(02|18)b) L =(16|3)c) L =(17|10)d) L =(ndash04|05)

933I2)H2K1 Loumlse das Gleichungssystem mit jenem Loumlsungsverfahren das am besten (fuumlr dich)

passt Vergiss die Probe nicht

a) I x + y = 2II x + 6y = 11

b) I 5x + 2y = 14II ndash5x ndash 3y = ndash17

c) I 6x + y = 202II 7x ndash 3y = ndash181

d) I x + 11y = 51II x ndash 10y = ndash54

ii

ii

ii

ii

196 10 Lineare Gleichungen und Gleichungssysteme mit zwei Variablen

934 (1)1 (1| minus 4)(2) (5|8)(3) (minus05| minus 3)(4) (minus25|0)

934I2)H2K1 Ordne den Gleichungssystemen die richtige Loumlsung zu

(1) 7x + y = 3 (minus05| minus 3)minusx + 5y = minus21

(2) x = yndash3 (5|8)xndash2y = minus11

(3) y = 4xndash1 (minus25|0)y = minus2xndash4

(4) minus4x + 7y = 10 (1| minus 4)2xndash3y = minus5

935 (2|5)935I2)H2

K1

Gleichungssystem Gegeben ist das folgende Gleichungssystem

I x + 2y = 12II 2x + 5y = 29

Loumlse dieses Gleichungssystem

936 c = 3 d = 4936I2)H2

K1

Zwei Gleichungen Loumlse das GleichungssystemI 3c ndash 4d = ndash 7II c = d ndash 1

937 a) L = b) L = (13|ndash55)c) L = (x|y)|y = 1

2x

ndash 74 xy isin R

d) L =

937I2)H2K2 Gib die Loumlsungsmenge des Gleichungssystems an

Achtung Nicht jedes der Gleichungssysteme ist eindeutig loumlsbar

a) I ndash3x ndash 10y = 0II 15x + 5y = 1

b) I 8x ndash 7y = 1425II ndash9x + 2y = ndash128

c) I 2x ndash 4y = 7II ndash6x + 12y = ndash21

d) I ndash06x + 12y = 08II 18x ndash 36y = ndash28

938I2)H1K3 Gib ein lineares Gleichungssystem an das

a) die Loumlsung (4|1) b) die Loumlsung (minus2|5) c) keine Loumlsung hat

939 Alle beruhendarauf dasssowohl derZusammenhangzwischen denbeiden Variablender sich ausGleichung I ergibtals auch derZusammenhangder sich ausGleichung II ergibterfuumlllt sein muss

939I2)H4K3 Erklaumlre was der Hintergrund der drei Verfahren ist

ii

ii

ii

ii

104 Textaufgaben zu linearen Gleichungssystemen 197

104 Textaufgaben zu linearen GleichungssystemenVerwende beim Loumlsen der in den folgenden Aufgaben auftretenden Gleichungssystemejenes Loumlsungsverfahren das dir am geeignetsten erscheint

940 a) x + y = 1585x + 65y = 95548 Schuumllerinnenund110 Erwachseneb) 104 Schuumllerin-nen und92 Erwachsene

940I2)H2K1 Der Eintritt zu einer Greifvogelschau kostet fuumlr Schuumllerinnen

500 euro fuumlr Erwachsene 650 euro Das Verwaltungsbuumlro der Greifvo-gelstation moumlchte wissen wie die Aufteilung der Zuschauer aufErwachsene und Schuumllerinnen war An der Kassa hat man abernur die Gesamtanzahl an verkauften Karten und die Einnahmenregistriert Berechne aus diesen Aufzeichnungen wie viele Er-wachsene bzw Schuumllerinnen die Flugshow besucht haben

a) Vormittagsvorstellung 158 Karten Einnahmen 955ndash eurob) Nachmittagsvorstellung 196 Karten Einnahmen 1118ndash euro

941 x + y = 27065x + 4y = 1485162 Karten fuumlrErwachsene und108 Schuumllerinnen-Karten

941I2)H2K1 Bei der Auffuumlhrung eines Schultheaters werden an der Abendkassa Karten zu

650 euro fuumlr Erwachsene und Karten zu 4 euro fuumlr Schuumllerinnen verkauft Insgesamt wurden270 Karten verkauft und 1485 euro eingenommen Wie viele Schuumllerinnenkarten und wieviele Karten fuumlr Erwachsene wurden verkauft

9423 Gleichungssystem

942I2)H3K1 Wie Aufgabe 941 fuumlr insgesamt 171 verkaufte Karten und 879 euro EinnahmenWelches

Gleichungssystem passt zum Text Kreuze an

times I e + s = 879II 650e + 4s = 171

I e + 4s = 171II 650e + s = 879

I e + s = 171II 650e+4s = 879

I 4s + s = 171II 650e + e = 879

943 (1) DerHinflug erfolgt mitRuumlckenwind derRuumlckflug mitGegenwind Jadenn bei allenLangstreckenfluuml-gen wirken sich dieLuftstroumlmungenauf die Flugzeit ausWien ndash New York910 h New York ndashWien 845(Abfragewwwauacom2552009) (2)Wien ndash Tokio821 kmh Tokio ndashWien 764 kmh(3) Eigengeschwin-digkeit desFlugzeuges7925 kmh Wind-geschwindigkeit285 kmh

943I2)H2K1 diams Waumlhrend des Langstreckenfluges Wien ndash To-

kio werden den Passagieren uumlber Bildschirme Rei-seinformationen geboten Zu Beginn der Reise wirddie Distanz zwischen Wien und Tokio mit 9164 kmangegeben die voraussichtliche Flugzeit mit 1110h Frau Schindler vergleicht mit ihren Fluginforma-tionen fuumlr den Ruumlckflug Dort wird die Flugzeit fuumlrTokio ndash Wien mit 1200 h angegeben obwohl sie wie-der mit demselben Flugzeugtyp fliegen wird(1) Warum unterscheiden sich die Flugzeiten zwischen Hinflug und Ruumlckflug so deut-lich Ist das auch bei anderen Langstreckenfluumlgen so Frage im Internet die Flugzeitenfuumlr den Transatlantikflug von einem europaumlischen Flughafen nach New York hin undzuruumlck ab(2) Berechne die durchschnittliche Fluggeschwindigkeit fuumlr die angegebenen FlugzeitenWien ndash Tokio bzw Tokio ndash Wien(3) Berechne die (durchschnittliche) Eigengeschwindigkeit des Flugzeuges und die(durchschnittliche) erwartete Windgeschwindigkeit die der Angabe der Flugzeit zu-grunde liegen

ii

ii

ii

ii

198 10 Lineare Gleichungen und Gleichungssysteme mit zwei Variablen

944(1) Hinflug764 kmhRuumlckflug 836 kmh(2) Eigengeschwin-digkeit desFlugzeuges800 kmh Windge-schwindigkeit36 kmh

944I2)H2K1 diams Die Flugzeit fuumlr den Flug Frankfurt ndash Chicago

wird im Internet von einer Fluglinie mit 908 h an-gegeben die Flugzeit fuumlr den Ruumlckflug mit dem-selben Flugzeugtyp mit 821 h Die Entfernungzwischen Frankfurt und Chicago betraumlgt 6978 km(1) Berechne die durchschnittlichen Fluggeschwin-digkeiten fuumlr die angegebenen Flugzeiten fuumlr Hin-und Ruumlckflug(2) Berechne die (durchschnittliche) Eigengeschwindigkeit des Flugzeuges und die(durchschnittliche) erwartete Windgeschwindigkeit die der Angabe der Flugzeit zu-grunde liegen

Kommen zwei Systeme (z B Fluumlssigkeiten) mit unterschiedlicher Temperatur zusam-men so gleichen sich ihre Temperaturen durch Waumlrmeaustausch an Waumlrme flieszligtdabei immer vom waumlrmeren zum kaumllteren System so lange bis beide Systeme diegleiche Temperatur habenMischt man einen Liter Wasser mit einer Temperatur von 10 mit einem Liter Was-ser mit einer Temperatur von 20 so entstehen 2 Liter Wasser mit der mittlerenTemperatur von 15

94566 Liter aus demWasserboiler und84 Liter aus demKaltwasserzufluss

945I2)H2K1 ⋆ In einem Niedrigenergiehaus steht ein solar-

beheizter Wasserboiler zur Verfuumlgung Nach einemsonnigen Tag wird eine Wassertemperatur von 64angezeigt Eine Badewanne soll mit 150 Litern Was-ser gefuumlllt werden die erwuumlnschte Temperatur ist37 Wie viele Liter muumlssen aus dem solarbeheiztenBoiler und wie viele Liter aus einem Kaltwasserzu-fluss (16 ) zuflieszligen Runde auf ganze Liter

946 12 Liter 946I2)H2K1 ⋆ An einem heiszligen Sommertag ist die Temperatur in einem 100-Liter-Aquarium

auf 27 angestiegen Wie viel Liter Wasser muss man entnehmen und durch 10 kaltes Wasser ersetzen damit wieder die fuumlr die Fische passende Temperatur von 25 erreicht wird(Tipp Wenn von den 100 Litern x Liter entnommen werden so ist das genau jeneWassermenge mit 10 die zur verbleibenden Wassermenge (y Liter) hinzukommt)

Zahlenraumltsel

947a) x + y = 131 undx minus v = 43b) x = y + 5 und2v + x = 83

947I2)H2K1 Uumlbersetze den Text jeweils in zwei lineare Gleichungen und loumlse das Gleichungs-

system um die beiden gesuchten Zahlen zu ermitteln Fuumlhre auch die Probe durcha) Die Summe zweier Zahlen ist 131 Ihre Differenz betraumlgt 43b) Eine Zahl ist um 5 groumlszliger als die andere Addiert man zum Doppelten der kleinerenZahl die groumlszligere Zahl erhaumllt man 83

ii

ii

ii

ii

104 Textaufgaben zu linearen Gleichungssystemen 199

948 a) 150 und 50b) 8 und 28

948I2)H2K1 Wie Aufgabe 947

a) Eine Zahl ist dreimal so groszlig wie eine zweite Zahl Die Differenz der beiden Zahlenbetraumlgt 100b) Die Differenz zweier Zahlen ist 20 Addiert man zum Dreifachen der kleineren Zahldas Doppelte der groumlszligeren Zahl erhaumllt man 80

949 13 und 9949I2)H2K1 ⋆ Die Differenz zweier Zahlen betraumlgt 4 Verringert man die groumlszligere der beiden

Zahlen um 1 und vergroumlszligert die kleinere um 2 so wird das Produkt um 15 groumlszliger Wielauten die beiden Zahlen

950 27 und 42950I2)H2K1 ⋆ Die Summe zweier Zahlen ist 69 Vergroumlszligert man eine Zahl um 3 und verringert

die andere um 5 so wird das Produkt um 24 kleiner Berechne die beiden Zahlen

Aufgaben aus der Geometrie

951 a) a = 23 cmb = 13 cmb) a =24 cmb = 12 cm

ef

a

b

951I2)H2K1 Die laumlngere Seite eines Parallelogramms ist

a) um 10 cm laumlnger als die kuumlrzere Seiteb) doppelt so lang wie die kuumlrzere SeiteDer Umfang des Parallelogramms ist 72 cmBerechne die Seitenlaumlngen des Parallelogramms

952 I α + 54 = γ II 2α + γ = 180α = β = 42deg γ = 96degb

A c

a

C

B

952I2)H2K1 In einem gleichschenkligen Dreieck ist ein Basiswinkel (α = β

vergleiche mit der Skizze) um 54deg kleiner als der Winkel γ Ermittle dieGroumlszlige der Winkel des gleichschenkligen Dreiecks Fuumlhre auch die Probedurch

953 Basis 32 cmSchenkel 21 cm

953I2)H2K1 Die Basis eines gleichschenkligen Dreiecks ist um 11 cm laumlnger als die Schenkel-

laumlnge Der Umfang des Dreiecks ist 74 dm Wie lang sind Basis und Schenkel diesesgleichschenkligen Dreiecks

954 Basis 18 cmSchenkel 21 cm

954I2)H2K1 Der Umfang eines gleichschenkligen Dreiecks betraumlgt 60 cm Die Basis ist um

3 cm kuumlrzer als eine Schenkellaumlnge Berechne die Laumlnge der Basis und der Schenkel

955 b = 21 cml = 35 cm

955I2)H2K1 In einem Rechteck verhalten sich die Seiten wie 35 Der Umfang des Rechtecks

ist 112 cm Wie breit und wie lang ist das Rechteck

956 Erfinde eine aumlhnliche Aufgabenstellung wie die in 955Deine Nachbarindein Nachbar soll sie loumlsen

957 (1) b = 8 cml = 18 cm (2) einQuadrat mits = 12 cm

957I2)H2K1 ⋆ Die Seiten eines Rechtecks verhalten sich wie 49 Verlaumlngert man die kuumlrzere

Seite um 4 cm und verkuumlrzt die laumlngere Seite um 6 cm so bleibt der Flaumlcheninhaltunveraumlndert(1) Wie lang und wie breit ist das urspruumlngliche Rechteck(2) Wie lang sind die Seiten des veraumlnderten RechtecksWelche besondere Form liegt vor

ii

ii

ii

ii

200 10 Lineare Gleichungen und Gleichungssysteme mit zwei Variablen

958 a) y = ndashx +3

b) y = 135x + 4

5

958I2)H2K1 Wie lautet die Gleichung jener Geraden g die durch die beiden gegebenen Punkte

geht

A(ndash2|5) B(3|1)Da beide Punkte auf der Geraden g liegenerfuumlllen sie die Gleichung y = kx + dWir setzen daher die Koordinaten der Punkte fuumlr x und y ein und erhalten ein linearesGleichungssystem mit den Variablen k und dA liegt auf g rArr I 5 = ndash2k + d | sdot (ndash1)B liegt auf g rArr II 1 = 3k + d rceil+

(ndash1) sdot I ndash5 = 2k ndash d rfloorndash4 = 5kk = minus 4

5minus 4

5eingesetzt in Gleichung I ergibt

5 = ndash2 sdot 1114100minus 451114103 +d rArrd = 5 ndash

85= 17

5Die Gleichung der Geraden g die durch die beiden Punkte A und B verlaumluft lautetdaher

g y = minus 45k +

175

a) A(2|1) B(ndash1|4) b) R(ndash3|ndash7) S(2|6)

959 a) y = minus 25x + 2

b) y = minus 74x + 5

c) y = 109x + 1

9

d) y = 56x ndash 5

959 Stelle die Gleichung jener Geraden auf die durch die gegebenen beiden Punktegehta) A(ndash20|10) B(5|0) b) C(0|5) D(4|ndash2) c) E(8|9) F(ndash1|ndash1) d) G(6|0) H(0|ndash5)

105 Ausblick und Exercises1051 Ausblick

960 (1)a = 104 cmha = 78 cm (2) Eshandelt sich nichtum ein linearesGleichungssystemEinsetzungsverfah-ren undGleichsetzungsver-fahren koumlnnen zurAnwendungkommenAdditionsverfahrenund grafischesLoumlsungsverfahrennicht

960I2)H2K1 ⋆ In einemDreieck verhalten sich eine Seite und ihre Houmlhe wie 43 Der Flaumlcheninhalt

des Dreiecks betraumlgt 4056 cm2(1) Berechne die Seitenlaumlnge und die Houmlhe(2) Inwiefern unterscheidet sich das Gleichungssystem in (1) von den anderen bisjetzt behandelten Welche Loumlsungsverfahren koumlnnen zur Anwendung kommen welchenichtWie Aufgabe 960 zeigt gibt es auch andere als nur lineare Gleichungssysteme Mit demEinsetzungsverfahren kann man auch diese loumlsen Das Additionsverfahren ist dafuumlrnicht geeignetBei komplexen Sachverhalten mit hoher Anwendungsrelevanz kommt man in der Regelnicht mit einem Gleichungssystem das nur zwei Gleichungen enthaumllt aus Beispiels-weise fuumlhren Messreihen in der Chemie oder Physik haumlufig auf Gleichungssysteme dieaus mehreren Gleichungen mit mehreren Variablen bestehenDie Loumlsungsverfahren wie du sie kennengelernt hast sind auch fuumlr solche Gleichungs-systeme erweiterbar In der Praxis wird der oft hohe Rechenaufwand mit geeigneterSoftware am Computer (siehe Kap 145 S 265) bewaumlltigt

ii

ii

ii

ii

105 Ausblick und Exercises 201

1052 Exercises

vocabularysystem of linear equations lineares Gleichungssystemsolution Loumlsunggraphing zeichnensubstitution das Ersetzen Einsetzenaddition method hier Additionsverfahrento solve loumlseninfinitely-many unendlich viele

961 (ndash5|1) is asolution of thegiven equation

961I2)H3K2 Determine whether either of the points (1|ndash5) and (ndash5|1) is a solution to the given

system of equationsndash6x + y = 315x + 7y = ndash18

962I2)H3K1 Fill in

infinitely-many (2x) ndash two ndash three (2x) ndash one (2x) ndash no solution ndash none

For systems of linear equations (two variables two equations) there are threepossible types of solutions

The system may have one solution (a specific point (x|y))

no solution at all or

infinitely-many solutions

There is no such system with two or three solutions

You will always have one none

or infinitely-many solutions

963 L = (0|3)963I2)H2K2 Solve the following system by graphing

x + 4y = 12ndash10x + 5y = 15

964 L = (ndash50|100)964I2)H2K2 Solve the following system by substitution

ndash3x + y = 2507x + 10y = 650

965 L = (35|ndash8)965I2)H2K2 Solve the following system using the addition method

6x + 11y = ndash678x ndash 3y = 52

966 98 and 41966I2)H2K2 The difference of two numbers is 57 The sum of these two numbers is 139 Which

numbers are we referring to

967 (12|1) and(1|0)

967I2)H2K1 Which are correct solutions to the equation 5x + 4y = 5

times times(12|1) (2| + 12) (04|05) (1|0)

ii

ii

ii

ii

202 10 Lineare Gleichungen und Gleichungssysteme mit zwei Variablen

106 Mathe fit und kompetent ndash Kompetenzcheck

968 Richtig sindm + b = 21 undm minus 2b

2m + b = 21 m + 2b = 21 m + b = 21 timesm = 2b timesb = 2m

968I2)H3K1 In einer Klasse mit 21 Kindern gibt es doppelt so viele

Maumldchen wie BubenDie Anzahl der Maumldchen wird mit m bezeichnet die Anzahl derBubenmit b Kreuze jeneGleichung(en) an die zur beschriebenenKlasse passen

969I2)H1K1 Schreibe den Text in Form eines linearen Gleichungssystems an

a) Bei einer Flugreise wiegt Deryas Koffer um 7 kg mehr als ihr Handgepaumlck Insgesamthaben die beiden Gepaumlckstuumlcke 23 kg

I k = h + 7

II k + h = 23b) Eine Zahl ist um 7 groumlszliger als die andere Subtrahiert man vom Doppelten dergroumlszligeren Zahl die kleinere erhaumllt man 20

I x = y + 7

II 2x minus y = 20

970I2)H1K3 Erfinde einen kurzen Text der sich durch eine lineare Gleichungmit zwei Variablen

darstellen laumlsst

971 (1) (minus05|3)(2) (5|0) (3) (1| minus 7)(4) (0|4)

971I2)H2K1 Verbinde die Gleichungssysteme mit der jeweils richtigen Loumlsung

(1) 2x + y = 2 (1| minus 7)minus8x minus 2y = minus2

(2) 4x + 6y = 20 (0|4)minusx + y = minus5

(3) 2x + y = minus5 (minus05|3)minus8x minus 2y = 6

(4) x + 2y = 8 (5|0)10x minus y = minus4

972 a) (6| minus 5)b) (04|1)

972I2)H2K1 Loumlse das Gleichungssystem und fuumlhre auch die Probe durch

a) I 3x + 4y = minus2 b) I 5x minus 4y = minus2II x minus y = 11 II minus2x + 6y = 52

973 L = (ndash2|1) 973I2)H2K2 Loumlse das Gleichungssystem (1) graphisch und (2) rechnerisch

I minus3x + 2y = 8II 2x + 4y = 0

ii

ii

ii

ii

106 Mathe fit und kompetent ndash Kompetenzcheck 203

974I2)H3K2 (1) Welches Gleichungssystem ist in der Grafik dargestellt Kreuze an

I y = 34xndash4

II y = 13x + 1

I y = 43x + 4

II y = minus 13xndash1

I y = xndash4II y = 1

3x + 1

I y = 43x minus 4

II y = minus 13x + 1

times

(2) Wie lautet die Loumlsung dieses Gleichungssystems (3|0)

975 Keine LoumlsungDie beidenGleichungenstellen paralleleGeraden dar dahergibt es keinZahlenpaar dasbeide Gleichungenerfuumlllt975I2)H4

K2 Wie viele Loumlsungen hat das angeschriebene GleichungssystemVersuche zu antworten ohne ein Loumlsungsverfahren anzuwendenBegruumlnde deine Antwort

I x + y = 1II 2x + 2y = 3

976 SieheZusammenfassungder Loumlsungsfaumllleauf Seite 191

976I2)H4K3 Erklaumlre Warum hat ein lineares Gleichungssystem mit zwei Variablen entweder

genau eine keine oder unendlich viele Loumlsungen977 3 und 4Gleichungssystem

977I2)H3K1 In einem Rechteck verhalten sich die Seiten wie 4 ∶ 7 Der Umfang ist 55 cm

Zwei der folgenden Gleichungssysteme beschreiben den Sachverhalt richtig Kreuze anwelche

times timesI b ∶ l = 4 ∶ 7II 4b + 7l = 55

I 4l = 7bII b + l = 55

I b ∶ l = 4 ∶ 7II 2b + 2l = 55

I 4l = 7bII 2(b + l) = 55

978 1 kg Mehlkostet 15 euro 1 kgZucker kostet 1 euro

978I2)H2K2 Tom kauft 2 kg Mehl und 1 kg Zucker und bezahlt dafuumlr 4 Euro Anna kauft 1 kg

Mehl und 3 kg Zucker und bezahlt dafuumlr 45 Euro Wie viel kostet 1 kg Mehl Wie vielkostet 1 kg Zucker

979 (1) Esbesuchten viermalso vieleErwachsene wieKinder dieAusstellung (2)Insgesamtbesuchten 680Personen dieAusstellung (3) Eshaben um 240mehr Kinder alsErwachsene dieAusstellungbesucht

979I2)H3K1 Im Folgenden steht jeweils k fuumlr die Anzahl der Kinder und e fuumlr die Anzahl

der Erwachsenen die eine Ausstellung besucht haben Schreibe in Worten was dieGleichungen uumlber den Ausstellungsbesuch von Erwachsenen und Kindern aussagen(1) Montag e = 4k (2) Dienstag k + e = 680 (3) Mittwoch e + 240 = k

980 800 kmh70 kmn

980I2)H2K2 Ein Flugzeug erreicht mit Ruumlckenwind eine Geschwindigkeit von 870 kmh bei

(gleichstarkem) Gegenwind kommt es nur auf 720 kmh Berechne die Eigengeschwin-digkeit des Flugzeugs und die Windgeschwindigkeit

981I2)H1K3 Schreibe ein lineares Gleichungssystem an das die Loumlsung (2|5) hat

ii

ii

ii

ii

190 10 Lineare Gleichungen und Gleichungssysteme mit zwei Variablen

Grafisches Loumlsungsverfahren fuumlr lineare GleichungssystemeI x + 2y = 6II x ndash y = 3

1 Forme die beiden Gleichungen um und stelle sie in der Form y = kx + d darI y = minus 1

2x + 3

II y = x ndash 32 Zeichne die zu den Gleichungen gehoumlren-

den Geraden im Koordinatensystem ein3 Entnimm aus der Zeichnung die Koordina-

ten xs und ys des Schnittpunktes S der bei-den Geraden Das Zahlenpaar S(xs |ys) istdie Loumlsung des GleichungssystemsSchnittpunkt S(4|1)rArr L = (4|1)

ProbeDas Zahlenpaar muss beide Gleichungen erfuumlllen Eingesetzt in die beiden Ausgangs-gleichungen liefern xs und ys fuumlr beide Gleichungen eine wahre AussageI 4 + 2 sdot 1 = 6

6 = 6 wAII 4 ndash 1 = 3

3 = 3 wA

918 a) L = (4|2)b) L = (0|4)

918I2)H2K2 Bestimme grafisch die Loumlsung des linearen Gleichungssystems

Fuumlhre auch die Probe durcha) I y = ndashx + 6

II y =14x + 1

b) I y =14x + 4

II y = ndash2x + 4

919 a) L = (1|3)b) L = (3|0)

919I2)H2K2 Loumlse das lineare Gleichungssystem grafisch und fuumlhre rechnerisch die Probe durch

a) I y = 3xII y = ndash3x + 6

b) I y =13x ndash 1

II y = minus 53x + 5

Tipp 102Computerunterstuumltztes Arbeiten hilft den Zeitaufwand des grafischen Loumlsungsver-fahrens zu reduzieren Das kostenlos erhaumlltliche Programm GeoGebra (wwwgeoge-braorg) eignet sich dafuumlr besonders (siehe S 145)

920 a) L = (ndash2|4)b) L = (0|1)c) L = (ndash3|0)d) L = (2|5)

920I2)H2K2 Ermittle die Loumlsung des linearen Gleichungssystems grafisch

Uumlberpruumlfe dein Ergebnis durch Einsetzen in die beiden Gleichungena) I minus 1

2x + 2y = 9

II 3x + 2y = 2b) I 3x + y = 1

II ndash4x + 2y = 2

c) I ndash5x + 3y = 15II x + 3y = ndash3

d) I ndash12x ndash 2y = ndash11

II x ndash y = ndash3

ii

ii

ii

ii

102 Grafisches Loumlsen linearer Gleichungssysteme 191

921 Nein einGleichungssystemkann auch garkeine Loumlsunghaben (die beidenGeraden sindparallel) oderunendlich vieleLoumlsungen (diebeidenGleichungenstellen dieselbeGerade dar)

921I2)H4K3 In den bisherigen Aufgaben hatten wir es nur mit Gleichungssystemen zu tun die

eindeutig loumlsbar waren die beiden Geraden hatten einen SchnittpunktUumlberlegt zu zweit Muss das immer so sein Kann es Gleichungssysteme geben diemehr als eine Loumlsung oder gar keine Loumlsung habenTipp Uumlberlegt welche Lagebeziehung zwei Geraden in der Ebene haben koumlnnen

922 Die beidenGeraden habendieselbe Steigungaberunterschiedlichesd sind daherparallel und habenkeinen Punktgemeinsam

922I2)H4K2 Weise mit Hilfe des grafischen Loumlsungsverfahrens nach dass folgendes Gleichungs-

system keine Loumlsung hatI ndash2x + y = ndash5II 4x ndash 2y = ndash1

923I2)H4K2 Wende das grafische Loumlsungsverfahren auf folgendes Gleichungssystem an

Welcher besondere Fall liegt vor Beschreibe in Worten Was kannst du daher uumlber dieLoumlsung des Gleichungssystems aussagenI ndash4x + 2y = ndash2II 2x ndash y = 1

923 Die beidenGleichungenstellen dieselbeGerade darUnendlich vieleZahlenpaarenaumlmlich jenePunkte die auf derGeraden liegenerfuumlllen beideGleichungen undsind daher Loumlsungdes Gleichungssys-tems

Loumlsungsfaumllle bei linearen GleichungssystemenBei linearen Gleichungssystemen mit zwei Gleichungen und zwei Variablen gibt esdrei verschiedene Loumlsungsfaumllle

1 FallDas Gleichungssystem hat genau ein Zahlenpaar(x |y) x y isin ℝ als Loumlsung L = (x |y)Grafische InterpretationDie Loumlsungen der beiden Gleichungen stellenGeraden dar die einander im Punkt (x |y) schneiden

2 FallDas Gleichungssystem hat keine Loumlsung L = Grafische InterpretationDie Loumlsungen der beiden Gleichungen stellenparallele Geraden dar und haben daher keinenPunkt gemeinsam

3 FallDas Gleichungssystem hat unendlich viele Loumlsun-genz B L = (x |y) | y = minus2x + 4 x y isin ℝGrafische InterpretationDie Loumlsungen der beiden Gleichungen stellen diesel-be Gerade dar Jeder Punkt der auf dieser Geradenliegt ist Loumlsung des Gleichungssystems

924 Nein dennzwei Geradenkoumlnnen nur genaueinen oder garkeinenSchnittpunkthaben

ii

ii

ii

ii

192 10 Lineare Gleichungen und Gleichungssysteme mit zwei Variablen

924I2)H4K3 Ist es moumlglich dass ein lineares Gleichungssystem mit zwei Variablen genau 2

Loumlsungen hat Begruumlnde deine Antwort925 Sind k und dgleich dannfallen die beidenGeradenzusammenrArrunendlich vieleLoumlsungen Sinddie Steigungengleich aber dieAchsenabschnitteunterschiedlichdann sind diebeiden GeradenparallelrArr keineLoumlsung Sind dieSteigungenunterschiedlichso schneiden dieGeraden einanderrArr genau eineLoumlsung

925I2)H4K2 Uumlberlegt zu zweit Wie kann man aus den beiden Gleichungen eines Gleichungs-

systems die in der Form y = kx + d gegeben sind direkt ablesen (das heiszligt ohne dieZeichnungen anzufertigen) welcher Loumlsungsfall vorliegt Vergleicht dazu jeweils dieSteigungen k bzw die Achsenabschnitte d der beiden Gleichungen

926 a) gleiches kunterschiedliches drArr keine Loumlsungb) unterschiedli-ches krArr eineLoumlsung c) gleichesk gleiches drArrunendlich vieleLoumlsungend) gleiches kunterschiedliches drArr keine Loumlsung

926I2)H3K2 Welcher Loumlsungsfall liegt bei den gegebenen Gleichungssystemen vor Untersuche

durch Vergleich der Steigungen k und der Achsenabschnitte d ob das Gleichungssystemgenau eine Loumlsung unendlich viele Loumlsungen oder keine Loumlsung hata) I y = ndash2x + 6

II y = ndash 2x + 1b) I y =

14x + 4

II y = ndash2x + 4

c) I 2y = 6x + 12II y = 3x + 6

d) I y =13x ndash 1

II y =13x + 5

927 a) keineLoumlsungb) unendlich vieleLoumlsungenc) L = (ndash2|0)d) keine Loumlsung

927I2)H3K2 Forme die Gleichungen jeweils auf die Gestalt y = kx + d um Vergleiche dann die

Steigungen und die Achsenabschnitte der beiden Gleichungen und bestimme welcherLoumlsungsfall vorliegt Fuumlr den Fall dass es genau eine Loumlsung gibt ermittle diese Loumlsunggraphisch

a) I 3x + 2y = 9II 3x + 2y = 1

b) I32x + 4y = ndash2

II 3x + 8y = ndash4

c) I x + 2y = ndash2II x ndash 2y = ndash2

d) I ndash12x ndash y = ndash11

II 2x ndash 4y = ndash3

928 Richtliniendazu siehe Loumlsungvon Aufgabe 925

928I2)H1K3 Schreibe ein lineares Gleichungssystem an das

(1) genau eine Loumlsung(2) keine Loumlsung(3) unendlich viele Loumlsungen hat

929 I x + y = 5II -2x + y = 2S(1|4) ist dieLoumlsung

929I2)H3K3 Sara hat ein Gleichungssystem gra-

fisch geloumlst Rechts siehst du die Zeich-nung Wie lautet die Angabe WelcheKoordinaten hat der Schnittpunkt Wel-che Bedeutung hat er fuumlr dasGleichungs-system

I x + y = 5

II -2x + y = 2

Schnittpunkt S(1|4)

Bedeutung ist die Loumlsung

ii

ii

ii

ii

103 Rechnerisches Loumlsen linearer Gleichungssysteme 193

103 Rechnerisches Loumlsen linearer Gleichungssysteme

Im letzten Abschnitt hast du viele Gleichungssysteme gra-fisch geloumlst Durch dieses Loumlsungsverfahren kann man sehrviel uumlber lineare Gleichungssysteme lernen z B warum esniemals genau 2 Loumlsungen haben kann Wie jedes grafischeVerfahren hat es aber den Nachteil dass man sehr von dereigenen Zeichengenauigkeit abhaumlngig ist Selbst wenn mansich noch so bemuumlht Loumlsungen wie (0345| 261) wird maneiner haumlndischen Zeichnung nur unter groszligem Aufwand ent-nehmen koumlnnen Aber selbst wenn die Loumlsung ganzzahligist koumlnnen Schwierigkeiten auftreten Uumlberlege am Beispieldes Zahlenpaares (1|100)Beim computerunterstuumltzten Arbeiten koumlnnen durch Verschieben des Bildschirmaus-schnittes und Zoomen diese Probleme bewaumlltigt werden aber in Sachen Genauigkeitstoumlszligt man auch da an Grenzen Ein klarer Fall also dass auch rechnerische Loumlsungs-moumlglichkeiten gefragt sind

Wir kommen ein letztes Mal auf die Abschlussreise der 4B und der 4C zuruumlck die amAnfang dieses Kapitels (siehe S 184) vorgestellt wurde Uumlber die Zimmereinteilungfuumlr die 24 Maumldchen weiszlig man dass sie insgesamt 7 Zimmer benoumltigen und dass dieseZimmer Dreibett- und Vierbettzimmer sind Daraus ergibt sich das GleichungssystemI 3x + 4y = 24II x + y = 7

Ein Zahlenpaar (x|y) das Loumlsung des Gleichungssystems ist muss beide Gleichungenerfuumlllen Das heiszligt der Zusammenhang zwischen den Variablen x und y der sich auseiner Gleichung ergibt muss auch fuumlr die andere Gleichung geltenIm Gleichungssystem oben ergibt sich aus Gleichung IIx + y = 7 bzw x = 7 ndash yDas muss auch fuumlr Gleichung I geltenDaher duumlrfen wir in Gleichung I fuumlr x den Term 7 ndash y einsetzen3 sdot (7 ndash y) + 4y = 24und erreichen damit dass wir y aus einer linearen Gleichung mit einer Variable bestim-men koumlnnen

21 ndash 3y + 4y = 24y = 3

Wegen x = 7 ndash y erhalten wir fuumlr x = 7 ndash 3 = 4und damit als Loumlsung des Gleichungssystems das Zahlenpaar (4|3)

Beide Gleichungen sind erfuumlllt wie die Probe zeigtI 3 sdot 4 + 4 sdot 3 = 12 + 12 = 24II 4 + 3 = 7

ii

ii

ii

ii

194 10 Lineare Gleichungen und Gleichungssysteme mit zwei Variablen

Die beschriebenen Uumlberlegungen begruumlnden das so genannte EinsetzungsverfahrenIm folgenden Musterbeispiel im gelben Kasten sind die einzelnen Durchfuumlhrungsschrittezusammengefasst

Einsetzungsverfahren (= Substitutionsverfahren)I 3x + 4y = 24II x + y = 71 Druumlcke in einer der beiden Gleichungen x durch y aus

(Du kannst auch umgekehrt y durch x ausdruumlcken Mach das was einfacher ist)Gleichung II x = 7 ndash y

2 Durch Einsetzen des Terms in die andere Gleichung erhaumlltst du eine Gleichungmit einer VariablenGleichung I 3 sdot (7 ndash y) + 4y = 24

3 Loumlse diese Gleichung21 ndash 3y + 4y = 24y = 3

4 Setze die Loumlsung in den Term ein und ermittle die zweite Variablex = 7 ndash 3 = 4rArr L = (4|3)

ProbeI 3 sdot 4 + 4 sdot 3 = 12 + 12 = 24II 4 + 3 = 7

Es gibt fuumlr lineare Gleichungssysteme noch weitere Loumlsungsverfahren zwei davonwerden in den folgenden beiden Musterbeispielen vorgestellt

Gleichsetzungsverfahren (= Komparationsmethode)I 3x + 4y = 24II x + y = 71 Druumlcke in beiden Gleichungen x durch y aus

(Ebenso koumlnntest du wahlweise auch y durch x ausdruumlcken)I 3x = ndash4y + 24

x = ndash 43y + 8

II x = 7 ndash y2 Durch Gleichsetzen der beiden Terme erhaumlltst du eine Gleichung mit einer Va-

riablenndash 4

3y + 8 = 7 ndash y

3 Loumlse diese Gleichungndash 1

3y = ndash1

y = 34 Setze die Loumlsung in einen der beiden Terme aus 1 ein und ermittle die zweite

Variablex = 7 ndash 3 = 4rArr L = (4|3)

Vergiss die Probe nicht

ii

ii

ii

ii

103 Rechnerisches Loumlsen linearer Gleichungssysteme 195

Additionsverfahren1 Multipliziere die Gleichungen mit geeigneten Faktoren so dass bei einer Variable

entgegengesetzt gleiche Koeffizienten entstehenI 3x + 4y = 24II x + y = 7 |sdot(ndash4)

2 Durch Addieren der beiden Gleichungen erhaumlltst du eine Gleichung mit einerVariableI 3x + 4y = 24II ndash4x ndash 4y = ndash28

ndashx = ndash43 Loumlse diese Gleichung

x = 44 Setze die Loumlsung in eine der beiden Gleichungen ein und berechne die zweite

Variable4 + y = 7y = 3rArr L = (4|3)

Vergiss die Probe nicht (siehe Seite 194)

930 a) L =(ndash1|2)b) L =(0|4)c) L =(2|5)d) L =(10|20)

930I2)H2K1 Loumlse das Gleichungssystem mit dem Einsetzungsverfahren

Fuumlhre auch die Probe durcha) I x + 2y = 3

II ndash2x + y = 4b) I ndashx + 4y = 16

II 2x + y = 4c) I x ndash y = ndash3

II ndash12x ndash 2y = ndash11

d) I 7x + y = 90II ndash12x + 5y = ndash20

931 a) L =(4|1)b) L =(4|2)c) L =(ndash23|10)d) L =(ndash35|0)

931I2)H2K1 Loumlse das Gleichungssystem mit dem Gleichsetzungsverfahren

Fuumlhre auch die Probe durcha) I x ndash y = 3

II x + 2y = 6b) I ndash

14x + y = 1

II x + y = 6c) I x + 2y = ndash3

II x ndash 3y = ndash53d) I x + 3y = ndash35

II ndash5x + 3y = 175

932a) L =(17|ndash103)b) L =(10|14)c) L =(8|0)d) L =(18|21)

932I2)H2K1 Loumlse das Gleichungssystem mit dem Additionsverfahren

Fuumlhre auch die Probe durcha) I 3x + 2y = ndash155

II 2x ndash 5y = 549b) I 7x ndash y = 56

II ndash8x + 3y = ndash38c) I 5x + 11y = 40

II 6x ndash 12y = 48d) I 10x ndash 3y = 117

II 20x + 4y = 444

933 a) L =(02|18)b) L =(16|3)c) L =(17|10)d) L =(ndash04|05)

933I2)H2K1 Loumlse das Gleichungssystem mit jenem Loumlsungsverfahren das am besten (fuumlr dich)

passt Vergiss die Probe nicht

a) I x + y = 2II x + 6y = 11

b) I 5x + 2y = 14II ndash5x ndash 3y = ndash17

c) I 6x + y = 202II 7x ndash 3y = ndash181

d) I x + 11y = 51II x ndash 10y = ndash54

ii

ii

ii

ii

196 10 Lineare Gleichungen und Gleichungssysteme mit zwei Variablen

934 (1)1 (1| minus 4)(2) (5|8)(3) (minus05| minus 3)(4) (minus25|0)

934I2)H2K1 Ordne den Gleichungssystemen die richtige Loumlsung zu

(1) 7x + y = 3 (minus05| minus 3)minusx + 5y = minus21

(2) x = yndash3 (5|8)xndash2y = minus11

(3) y = 4xndash1 (minus25|0)y = minus2xndash4

(4) minus4x + 7y = 10 (1| minus 4)2xndash3y = minus5

935 (2|5)935I2)H2

K1

Gleichungssystem Gegeben ist das folgende Gleichungssystem

I x + 2y = 12II 2x + 5y = 29

Loumlse dieses Gleichungssystem

936 c = 3 d = 4936I2)H2

K1

Zwei Gleichungen Loumlse das GleichungssystemI 3c ndash 4d = ndash 7II c = d ndash 1

937 a) L = b) L = (13|ndash55)c) L = (x|y)|y = 1

2x

ndash 74 xy isin R

d) L =

937I2)H2K2 Gib die Loumlsungsmenge des Gleichungssystems an

Achtung Nicht jedes der Gleichungssysteme ist eindeutig loumlsbar

a) I ndash3x ndash 10y = 0II 15x + 5y = 1

b) I 8x ndash 7y = 1425II ndash9x + 2y = ndash128

c) I 2x ndash 4y = 7II ndash6x + 12y = ndash21

d) I ndash06x + 12y = 08II 18x ndash 36y = ndash28

938I2)H1K3 Gib ein lineares Gleichungssystem an das

a) die Loumlsung (4|1) b) die Loumlsung (minus2|5) c) keine Loumlsung hat

939 Alle beruhendarauf dasssowohl derZusammenhangzwischen denbeiden Variablender sich ausGleichung I ergibtals auch derZusammenhangder sich ausGleichung II ergibterfuumlllt sein muss

939I2)H4K3 Erklaumlre was der Hintergrund der drei Verfahren ist

ii

ii

ii

ii

104 Textaufgaben zu linearen Gleichungssystemen 197

104 Textaufgaben zu linearen GleichungssystemenVerwende beim Loumlsen der in den folgenden Aufgaben auftretenden Gleichungssystemejenes Loumlsungsverfahren das dir am geeignetsten erscheint

940 a) x + y = 1585x + 65y = 95548 Schuumllerinnenund110 Erwachseneb) 104 Schuumllerin-nen und92 Erwachsene

940I2)H2K1 Der Eintritt zu einer Greifvogelschau kostet fuumlr Schuumllerinnen

500 euro fuumlr Erwachsene 650 euro Das Verwaltungsbuumlro der Greifvo-gelstation moumlchte wissen wie die Aufteilung der Zuschauer aufErwachsene und Schuumllerinnen war An der Kassa hat man abernur die Gesamtanzahl an verkauften Karten und die Einnahmenregistriert Berechne aus diesen Aufzeichnungen wie viele Er-wachsene bzw Schuumllerinnen die Flugshow besucht haben

a) Vormittagsvorstellung 158 Karten Einnahmen 955ndash eurob) Nachmittagsvorstellung 196 Karten Einnahmen 1118ndash euro

941 x + y = 27065x + 4y = 1485162 Karten fuumlrErwachsene und108 Schuumllerinnen-Karten

941I2)H2K1 Bei der Auffuumlhrung eines Schultheaters werden an der Abendkassa Karten zu

650 euro fuumlr Erwachsene und Karten zu 4 euro fuumlr Schuumllerinnen verkauft Insgesamt wurden270 Karten verkauft und 1485 euro eingenommen Wie viele Schuumllerinnenkarten und wieviele Karten fuumlr Erwachsene wurden verkauft

9423 Gleichungssystem

942I2)H3K1 Wie Aufgabe 941 fuumlr insgesamt 171 verkaufte Karten und 879 euro EinnahmenWelches

Gleichungssystem passt zum Text Kreuze an

times I e + s = 879II 650e + 4s = 171

I e + 4s = 171II 650e + s = 879

I e + s = 171II 650e+4s = 879

I 4s + s = 171II 650e + e = 879

943 (1) DerHinflug erfolgt mitRuumlckenwind derRuumlckflug mitGegenwind Jadenn bei allenLangstreckenfluuml-gen wirken sich dieLuftstroumlmungenauf die Flugzeit ausWien ndash New York910 h New York ndashWien 845(Abfragewwwauacom2552009) (2)Wien ndash Tokio821 kmh Tokio ndashWien 764 kmh(3) Eigengeschwin-digkeit desFlugzeuges7925 kmh Wind-geschwindigkeit285 kmh

943I2)H2K1 diams Waumlhrend des Langstreckenfluges Wien ndash To-

kio werden den Passagieren uumlber Bildschirme Rei-seinformationen geboten Zu Beginn der Reise wirddie Distanz zwischen Wien und Tokio mit 9164 kmangegeben die voraussichtliche Flugzeit mit 1110h Frau Schindler vergleicht mit ihren Fluginforma-tionen fuumlr den Ruumlckflug Dort wird die Flugzeit fuumlrTokio ndash Wien mit 1200 h angegeben obwohl sie wie-der mit demselben Flugzeugtyp fliegen wird(1) Warum unterscheiden sich die Flugzeiten zwischen Hinflug und Ruumlckflug so deut-lich Ist das auch bei anderen Langstreckenfluumlgen so Frage im Internet die Flugzeitenfuumlr den Transatlantikflug von einem europaumlischen Flughafen nach New York hin undzuruumlck ab(2) Berechne die durchschnittliche Fluggeschwindigkeit fuumlr die angegebenen FlugzeitenWien ndash Tokio bzw Tokio ndash Wien(3) Berechne die (durchschnittliche) Eigengeschwindigkeit des Flugzeuges und die(durchschnittliche) erwartete Windgeschwindigkeit die der Angabe der Flugzeit zu-grunde liegen

ii

ii

ii

ii

198 10 Lineare Gleichungen und Gleichungssysteme mit zwei Variablen

944(1) Hinflug764 kmhRuumlckflug 836 kmh(2) Eigengeschwin-digkeit desFlugzeuges800 kmh Windge-schwindigkeit36 kmh

944I2)H2K1 diams Die Flugzeit fuumlr den Flug Frankfurt ndash Chicago

wird im Internet von einer Fluglinie mit 908 h an-gegeben die Flugzeit fuumlr den Ruumlckflug mit dem-selben Flugzeugtyp mit 821 h Die Entfernungzwischen Frankfurt und Chicago betraumlgt 6978 km(1) Berechne die durchschnittlichen Fluggeschwin-digkeiten fuumlr die angegebenen Flugzeiten fuumlr Hin-und Ruumlckflug(2) Berechne die (durchschnittliche) Eigengeschwindigkeit des Flugzeuges und die(durchschnittliche) erwartete Windgeschwindigkeit die der Angabe der Flugzeit zu-grunde liegen

Kommen zwei Systeme (z B Fluumlssigkeiten) mit unterschiedlicher Temperatur zusam-men so gleichen sich ihre Temperaturen durch Waumlrmeaustausch an Waumlrme flieszligtdabei immer vom waumlrmeren zum kaumllteren System so lange bis beide Systeme diegleiche Temperatur habenMischt man einen Liter Wasser mit einer Temperatur von 10 mit einem Liter Was-ser mit einer Temperatur von 20 so entstehen 2 Liter Wasser mit der mittlerenTemperatur von 15

94566 Liter aus demWasserboiler und84 Liter aus demKaltwasserzufluss

945I2)H2K1 ⋆ In einem Niedrigenergiehaus steht ein solar-

beheizter Wasserboiler zur Verfuumlgung Nach einemsonnigen Tag wird eine Wassertemperatur von 64angezeigt Eine Badewanne soll mit 150 Litern Was-ser gefuumlllt werden die erwuumlnschte Temperatur ist37 Wie viele Liter muumlssen aus dem solarbeheiztenBoiler und wie viele Liter aus einem Kaltwasserzu-fluss (16 ) zuflieszligen Runde auf ganze Liter

946 12 Liter 946I2)H2K1 ⋆ An einem heiszligen Sommertag ist die Temperatur in einem 100-Liter-Aquarium

auf 27 angestiegen Wie viel Liter Wasser muss man entnehmen und durch 10 kaltes Wasser ersetzen damit wieder die fuumlr die Fische passende Temperatur von 25 erreicht wird(Tipp Wenn von den 100 Litern x Liter entnommen werden so ist das genau jeneWassermenge mit 10 die zur verbleibenden Wassermenge (y Liter) hinzukommt)

Zahlenraumltsel

947a) x + y = 131 undx minus v = 43b) x = y + 5 und2v + x = 83

947I2)H2K1 Uumlbersetze den Text jeweils in zwei lineare Gleichungen und loumlse das Gleichungs-

system um die beiden gesuchten Zahlen zu ermitteln Fuumlhre auch die Probe durcha) Die Summe zweier Zahlen ist 131 Ihre Differenz betraumlgt 43b) Eine Zahl ist um 5 groumlszliger als die andere Addiert man zum Doppelten der kleinerenZahl die groumlszligere Zahl erhaumllt man 83

ii

ii

ii

ii

104 Textaufgaben zu linearen Gleichungssystemen 199

948 a) 150 und 50b) 8 und 28

948I2)H2K1 Wie Aufgabe 947

a) Eine Zahl ist dreimal so groszlig wie eine zweite Zahl Die Differenz der beiden Zahlenbetraumlgt 100b) Die Differenz zweier Zahlen ist 20 Addiert man zum Dreifachen der kleineren Zahldas Doppelte der groumlszligeren Zahl erhaumllt man 80

949 13 und 9949I2)H2K1 ⋆ Die Differenz zweier Zahlen betraumlgt 4 Verringert man die groumlszligere der beiden

Zahlen um 1 und vergroumlszligert die kleinere um 2 so wird das Produkt um 15 groumlszliger Wielauten die beiden Zahlen

950 27 und 42950I2)H2K1 ⋆ Die Summe zweier Zahlen ist 69 Vergroumlszligert man eine Zahl um 3 und verringert

die andere um 5 so wird das Produkt um 24 kleiner Berechne die beiden Zahlen

Aufgaben aus der Geometrie

951 a) a = 23 cmb = 13 cmb) a =24 cmb = 12 cm

ef

a

b

951I2)H2K1 Die laumlngere Seite eines Parallelogramms ist

a) um 10 cm laumlnger als die kuumlrzere Seiteb) doppelt so lang wie die kuumlrzere SeiteDer Umfang des Parallelogramms ist 72 cmBerechne die Seitenlaumlngen des Parallelogramms

952 I α + 54 = γ II 2α + γ = 180α = β = 42deg γ = 96degb

A c

a

C

B

952I2)H2K1 In einem gleichschenkligen Dreieck ist ein Basiswinkel (α = β

vergleiche mit der Skizze) um 54deg kleiner als der Winkel γ Ermittle dieGroumlszlige der Winkel des gleichschenkligen Dreiecks Fuumlhre auch die Probedurch

953 Basis 32 cmSchenkel 21 cm

953I2)H2K1 Die Basis eines gleichschenkligen Dreiecks ist um 11 cm laumlnger als die Schenkel-

laumlnge Der Umfang des Dreiecks ist 74 dm Wie lang sind Basis und Schenkel diesesgleichschenkligen Dreiecks

954 Basis 18 cmSchenkel 21 cm

954I2)H2K1 Der Umfang eines gleichschenkligen Dreiecks betraumlgt 60 cm Die Basis ist um

3 cm kuumlrzer als eine Schenkellaumlnge Berechne die Laumlnge der Basis und der Schenkel

955 b = 21 cml = 35 cm

955I2)H2K1 In einem Rechteck verhalten sich die Seiten wie 35 Der Umfang des Rechtecks

ist 112 cm Wie breit und wie lang ist das Rechteck

956 Erfinde eine aumlhnliche Aufgabenstellung wie die in 955Deine Nachbarindein Nachbar soll sie loumlsen

957 (1) b = 8 cml = 18 cm (2) einQuadrat mits = 12 cm

957I2)H2K1 ⋆ Die Seiten eines Rechtecks verhalten sich wie 49 Verlaumlngert man die kuumlrzere

Seite um 4 cm und verkuumlrzt die laumlngere Seite um 6 cm so bleibt der Flaumlcheninhaltunveraumlndert(1) Wie lang und wie breit ist das urspruumlngliche Rechteck(2) Wie lang sind die Seiten des veraumlnderten RechtecksWelche besondere Form liegt vor

ii

ii

ii

ii

200 10 Lineare Gleichungen und Gleichungssysteme mit zwei Variablen

958 a) y = ndashx +3

b) y = 135x + 4

5

958I2)H2K1 Wie lautet die Gleichung jener Geraden g die durch die beiden gegebenen Punkte

geht

A(ndash2|5) B(3|1)Da beide Punkte auf der Geraden g liegenerfuumlllen sie die Gleichung y = kx + dWir setzen daher die Koordinaten der Punkte fuumlr x und y ein und erhalten ein linearesGleichungssystem mit den Variablen k und dA liegt auf g rArr I 5 = ndash2k + d | sdot (ndash1)B liegt auf g rArr II 1 = 3k + d rceil+

(ndash1) sdot I ndash5 = 2k ndash d rfloorndash4 = 5kk = minus 4

5minus 4

5eingesetzt in Gleichung I ergibt

5 = ndash2 sdot 1114100minus 451114103 +d rArrd = 5 ndash

85= 17

5Die Gleichung der Geraden g die durch die beiden Punkte A und B verlaumluft lautetdaher

g y = minus 45k +

175

a) A(2|1) B(ndash1|4) b) R(ndash3|ndash7) S(2|6)

959 a) y = minus 25x + 2

b) y = minus 74x + 5

c) y = 109x + 1

9

d) y = 56x ndash 5

959 Stelle die Gleichung jener Geraden auf die durch die gegebenen beiden Punktegehta) A(ndash20|10) B(5|0) b) C(0|5) D(4|ndash2) c) E(8|9) F(ndash1|ndash1) d) G(6|0) H(0|ndash5)

105 Ausblick und Exercises1051 Ausblick

960 (1)a = 104 cmha = 78 cm (2) Eshandelt sich nichtum ein linearesGleichungssystemEinsetzungsverfah-ren undGleichsetzungsver-fahren koumlnnen zurAnwendungkommenAdditionsverfahrenund grafischesLoumlsungsverfahrennicht

960I2)H2K1 ⋆ In einemDreieck verhalten sich eine Seite und ihre Houmlhe wie 43 Der Flaumlcheninhalt

des Dreiecks betraumlgt 4056 cm2(1) Berechne die Seitenlaumlnge und die Houmlhe(2) Inwiefern unterscheidet sich das Gleichungssystem in (1) von den anderen bisjetzt behandelten Welche Loumlsungsverfahren koumlnnen zur Anwendung kommen welchenichtWie Aufgabe 960 zeigt gibt es auch andere als nur lineare Gleichungssysteme Mit demEinsetzungsverfahren kann man auch diese loumlsen Das Additionsverfahren ist dafuumlrnicht geeignetBei komplexen Sachverhalten mit hoher Anwendungsrelevanz kommt man in der Regelnicht mit einem Gleichungssystem das nur zwei Gleichungen enthaumllt aus Beispiels-weise fuumlhren Messreihen in der Chemie oder Physik haumlufig auf Gleichungssysteme dieaus mehreren Gleichungen mit mehreren Variablen bestehenDie Loumlsungsverfahren wie du sie kennengelernt hast sind auch fuumlr solche Gleichungs-systeme erweiterbar In der Praxis wird der oft hohe Rechenaufwand mit geeigneterSoftware am Computer (siehe Kap 145 S 265) bewaumlltigt

ii

ii

ii

ii

105 Ausblick und Exercises 201

1052 Exercises

vocabularysystem of linear equations lineares Gleichungssystemsolution Loumlsunggraphing zeichnensubstitution das Ersetzen Einsetzenaddition method hier Additionsverfahrento solve loumlseninfinitely-many unendlich viele

961 (ndash5|1) is asolution of thegiven equation

961I2)H3K2 Determine whether either of the points (1|ndash5) and (ndash5|1) is a solution to the given

system of equationsndash6x + y = 315x + 7y = ndash18

962I2)H3K1 Fill in

infinitely-many (2x) ndash two ndash three (2x) ndash one (2x) ndash no solution ndash none

For systems of linear equations (two variables two equations) there are threepossible types of solutions

The system may have one solution (a specific point (x|y))

no solution at all or

infinitely-many solutions

There is no such system with two or three solutions

You will always have one none

or infinitely-many solutions

963 L = (0|3)963I2)H2K2 Solve the following system by graphing

x + 4y = 12ndash10x + 5y = 15

964 L = (ndash50|100)964I2)H2K2 Solve the following system by substitution

ndash3x + y = 2507x + 10y = 650

965 L = (35|ndash8)965I2)H2K2 Solve the following system using the addition method

6x + 11y = ndash678x ndash 3y = 52

966 98 and 41966I2)H2K2 The difference of two numbers is 57 The sum of these two numbers is 139 Which

numbers are we referring to

967 (12|1) and(1|0)

967I2)H2K1 Which are correct solutions to the equation 5x + 4y = 5

times times(12|1) (2| + 12) (04|05) (1|0)

ii

ii

ii

ii

202 10 Lineare Gleichungen und Gleichungssysteme mit zwei Variablen

106 Mathe fit und kompetent ndash Kompetenzcheck

968 Richtig sindm + b = 21 undm minus 2b

2m + b = 21 m + 2b = 21 m + b = 21 timesm = 2b timesb = 2m

968I2)H3K1 In einer Klasse mit 21 Kindern gibt es doppelt so viele

Maumldchen wie BubenDie Anzahl der Maumldchen wird mit m bezeichnet die Anzahl derBubenmit b Kreuze jeneGleichung(en) an die zur beschriebenenKlasse passen

969I2)H1K1 Schreibe den Text in Form eines linearen Gleichungssystems an

a) Bei einer Flugreise wiegt Deryas Koffer um 7 kg mehr als ihr Handgepaumlck Insgesamthaben die beiden Gepaumlckstuumlcke 23 kg

I k = h + 7

II k + h = 23b) Eine Zahl ist um 7 groumlszliger als die andere Subtrahiert man vom Doppelten dergroumlszligeren Zahl die kleinere erhaumllt man 20

I x = y + 7

II 2x minus y = 20

970I2)H1K3 Erfinde einen kurzen Text der sich durch eine lineare Gleichungmit zwei Variablen

darstellen laumlsst

971 (1) (minus05|3)(2) (5|0) (3) (1| minus 7)(4) (0|4)

971I2)H2K1 Verbinde die Gleichungssysteme mit der jeweils richtigen Loumlsung

(1) 2x + y = 2 (1| minus 7)minus8x minus 2y = minus2

(2) 4x + 6y = 20 (0|4)minusx + y = minus5

(3) 2x + y = minus5 (minus05|3)minus8x minus 2y = 6

(4) x + 2y = 8 (5|0)10x minus y = minus4

972 a) (6| minus 5)b) (04|1)

972I2)H2K1 Loumlse das Gleichungssystem und fuumlhre auch die Probe durch

a) I 3x + 4y = minus2 b) I 5x minus 4y = minus2II x minus y = 11 II minus2x + 6y = 52

973 L = (ndash2|1) 973I2)H2K2 Loumlse das Gleichungssystem (1) graphisch und (2) rechnerisch

I minus3x + 2y = 8II 2x + 4y = 0

ii

ii

ii

ii

106 Mathe fit und kompetent ndash Kompetenzcheck 203

974I2)H3K2 (1) Welches Gleichungssystem ist in der Grafik dargestellt Kreuze an

I y = 34xndash4

II y = 13x + 1

I y = 43x + 4

II y = minus 13xndash1

I y = xndash4II y = 1

3x + 1

I y = 43x minus 4

II y = minus 13x + 1

times

(2) Wie lautet die Loumlsung dieses Gleichungssystems (3|0)

975 Keine LoumlsungDie beidenGleichungenstellen paralleleGeraden dar dahergibt es keinZahlenpaar dasbeide Gleichungenerfuumlllt975I2)H4

K2 Wie viele Loumlsungen hat das angeschriebene GleichungssystemVersuche zu antworten ohne ein Loumlsungsverfahren anzuwendenBegruumlnde deine Antwort

I x + y = 1II 2x + 2y = 3

976 SieheZusammenfassungder Loumlsungsfaumllleauf Seite 191

976I2)H4K3 Erklaumlre Warum hat ein lineares Gleichungssystem mit zwei Variablen entweder

genau eine keine oder unendlich viele Loumlsungen977 3 und 4Gleichungssystem

977I2)H3K1 In einem Rechteck verhalten sich die Seiten wie 4 ∶ 7 Der Umfang ist 55 cm

Zwei der folgenden Gleichungssysteme beschreiben den Sachverhalt richtig Kreuze anwelche

times timesI b ∶ l = 4 ∶ 7II 4b + 7l = 55

I 4l = 7bII b + l = 55

I b ∶ l = 4 ∶ 7II 2b + 2l = 55

I 4l = 7bII 2(b + l) = 55

978 1 kg Mehlkostet 15 euro 1 kgZucker kostet 1 euro

978I2)H2K2 Tom kauft 2 kg Mehl und 1 kg Zucker und bezahlt dafuumlr 4 Euro Anna kauft 1 kg

Mehl und 3 kg Zucker und bezahlt dafuumlr 45 Euro Wie viel kostet 1 kg Mehl Wie vielkostet 1 kg Zucker

979 (1) Esbesuchten viermalso vieleErwachsene wieKinder dieAusstellung (2)Insgesamtbesuchten 680Personen dieAusstellung (3) Eshaben um 240mehr Kinder alsErwachsene dieAusstellungbesucht

979I2)H3K1 Im Folgenden steht jeweils k fuumlr die Anzahl der Kinder und e fuumlr die Anzahl

der Erwachsenen die eine Ausstellung besucht haben Schreibe in Worten was dieGleichungen uumlber den Ausstellungsbesuch von Erwachsenen und Kindern aussagen(1) Montag e = 4k (2) Dienstag k + e = 680 (3) Mittwoch e + 240 = k

980 800 kmh70 kmn

980I2)H2K2 Ein Flugzeug erreicht mit Ruumlckenwind eine Geschwindigkeit von 870 kmh bei

(gleichstarkem) Gegenwind kommt es nur auf 720 kmh Berechne die Eigengeschwin-digkeit des Flugzeugs und die Windgeschwindigkeit

981I2)H1K3 Schreibe ein lineares Gleichungssystem an das die Loumlsung (2|5) hat

ii

ii

ii

ii

102 Grafisches Loumlsen linearer Gleichungssysteme 191

921 Nein einGleichungssystemkann auch garkeine Loumlsunghaben (die beidenGeraden sindparallel) oderunendlich vieleLoumlsungen (diebeidenGleichungenstellen dieselbeGerade dar)

921I2)H4K3 In den bisherigen Aufgaben hatten wir es nur mit Gleichungssystemen zu tun die

eindeutig loumlsbar waren die beiden Geraden hatten einen SchnittpunktUumlberlegt zu zweit Muss das immer so sein Kann es Gleichungssysteme geben diemehr als eine Loumlsung oder gar keine Loumlsung habenTipp Uumlberlegt welche Lagebeziehung zwei Geraden in der Ebene haben koumlnnen

922 Die beidenGeraden habendieselbe Steigungaberunterschiedlichesd sind daherparallel und habenkeinen Punktgemeinsam

922I2)H4K2 Weise mit Hilfe des grafischen Loumlsungsverfahrens nach dass folgendes Gleichungs-

system keine Loumlsung hatI ndash2x + y = ndash5II 4x ndash 2y = ndash1

923I2)H4K2 Wende das grafische Loumlsungsverfahren auf folgendes Gleichungssystem an

Welcher besondere Fall liegt vor Beschreibe in Worten Was kannst du daher uumlber dieLoumlsung des Gleichungssystems aussagenI ndash4x + 2y = ndash2II 2x ndash y = 1

923 Die beidenGleichungenstellen dieselbeGerade darUnendlich vieleZahlenpaarenaumlmlich jenePunkte die auf derGeraden liegenerfuumlllen beideGleichungen undsind daher Loumlsungdes Gleichungssys-tems

Loumlsungsfaumllle bei linearen GleichungssystemenBei linearen Gleichungssystemen mit zwei Gleichungen und zwei Variablen gibt esdrei verschiedene Loumlsungsfaumllle

1 FallDas Gleichungssystem hat genau ein Zahlenpaar(x |y) x y isin ℝ als Loumlsung L = (x |y)Grafische InterpretationDie Loumlsungen der beiden Gleichungen stellenGeraden dar die einander im Punkt (x |y) schneiden

2 FallDas Gleichungssystem hat keine Loumlsung L = Grafische InterpretationDie Loumlsungen der beiden Gleichungen stellenparallele Geraden dar und haben daher keinenPunkt gemeinsam

3 FallDas Gleichungssystem hat unendlich viele Loumlsun-genz B L = (x |y) | y = minus2x + 4 x y isin ℝGrafische InterpretationDie Loumlsungen der beiden Gleichungen stellen diesel-be Gerade dar Jeder Punkt der auf dieser Geradenliegt ist Loumlsung des Gleichungssystems

924 Nein dennzwei Geradenkoumlnnen nur genaueinen oder garkeinenSchnittpunkthaben

ii

ii

ii

ii

192 10 Lineare Gleichungen und Gleichungssysteme mit zwei Variablen

924I2)H4K3 Ist es moumlglich dass ein lineares Gleichungssystem mit zwei Variablen genau 2

Loumlsungen hat Begruumlnde deine Antwort925 Sind k und dgleich dannfallen die beidenGeradenzusammenrArrunendlich vieleLoumlsungen Sinddie Steigungengleich aber dieAchsenabschnitteunterschiedlichdann sind diebeiden GeradenparallelrArr keineLoumlsung Sind dieSteigungenunterschiedlichso schneiden dieGeraden einanderrArr genau eineLoumlsung

925I2)H4K2 Uumlberlegt zu zweit Wie kann man aus den beiden Gleichungen eines Gleichungs-

systems die in der Form y = kx + d gegeben sind direkt ablesen (das heiszligt ohne dieZeichnungen anzufertigen) welcher Loumlsungsfall vorliegt Vergleicht dazu jeweils dieSteigungen k bzw die Achsenabschnitte d der beiden Gleichungen

926 a) gleiches kunterschiedliches drArr keine Loumlsungb) unterschiedli-ches krArr eineLoumlsung c) gleichesk gleiches drArrunendlich vieleLoumlsungend) gleiches kunterschiedliches drArr keine Loumlsung

926I2)H3K2 Welcher Loumlsungsfall liegt bei den gegebenen Gleichungssystemen vor Untersuche

durch Vergleich der Steigungen k und der Achsenabschnitte d ob das Gleichungssystemgenau eine Loumlsung unendlich viele Loumlsungen oder keine Loumlsung hata) I y = ndash2x + 6

II y = ndash 2x + 1b) I y =

14x + 4

II y = ndash2x + 4

c) I 2y = 6x + 12II y = 3x + 6

d) I y =13x ndash 1

II y =13x + 5

927 a) keineLoumlsungb) unendlich vieleLoumlsungenc) L = (ndash2|0)d) keine Loumlsung

927I2)H3K2 Forme die Gleichungen jeweils auf die Gestalt y = kx + d um Vergleiche dann die

Steigungen und die Achsenabschnitte der beiden Gleichungen und bestimme welcherLoumlsungsfall vorliegt Fuumlr den Fall dass es genau eine Loumlsung gibt ermittle diese Loumlsunggraphisch

a) I 3x + 2y = 9II 3x + 2y = 1

b) I32x + 4y = ndash2

II 3x + 8y = ndash4

c) I x + 2y = ndash2II x ndash 2y = ndash2

d) I ndash12x ndash y = ndash11

II 2x ndash 4y = ndash3

928 Richtliniendazu siehe Loumlsungvon Aufgabe 925

928I2)H1K3 Schreibe ein lineares Gleichungssystem an das

(1) genau eine Loumlsung(2) keine Loumlsung(3) unendlich viele Loumlsungen hat

929 I x + y = 5II -2x + y = 2S(1|4) ist dieLoumlsung

929I2)H3K3 Sara hat ein Gleichungssystem gra-

fisch geloumlst Rechts siehst du die Zeich-nung Wie lautet die Angabe WelcheKoordinaten hat der Schnittpunkt Wel-che Bedeutung hat er fuumlr dasGleichungs-system

I x + y = 5

II -2x + y = 2

Schnittpunkt S(1|4)

Bedeutung ist die Loumlsung

ii

ii

ii

ii

103 Rechnerisches Loumlsen linearer Gleichungssysteme 193

103 Rechnerisches Loumlsen linearer Gleichungssysteme

Im letzten Abschnitt hast du viele Gleichungssysteme gra-fisch geloumlst Durch dieses Loumlsungsverfahren kann man sehrviel uumlber lineare Gleichungssysteme lernen z B warum esniemals genau 2 Loumlsungen haben kann Wie jedes grafischeVerfahren hat es aber den Nachteil dass man sehr von dereigenen Zeichengenauigkeit abhaumlngig ist Selbst wenn mansich noch so bemuumlht Loumlsungen wie (0345| 261) wird maneiner haumlndischen Zeichnung nur unter groszligem Aufwand ent-nehmen koumlnnen Aber selbst wenn die Loumlsung ganzzahligist koumlnnen Schwierigkeiten auftreten Uumlberlege am Beispieldes Zahlenpaares (1|100)Beim computerunterstuumltzten Arbeiten koumlnnen durch Verschieben des Bildschirmaus-schnittes und Zoomen diese Probleme bewaumlltigt werden aber in Sachen Genauigkeitstoumlszligt man auch da an Grenzen Ein klarer Fall also dass auch rechnerische Loumlsungs-moumlglichkeiten gefragt sind

Wir kommen ein letztes Mal auf die Abschlussreise der 4B und der 4C zuruumlck die amAnfang dieses Kapitels (siehe S 184) vorgestellt wurde Uumlber die Zimmereinteilungfuumlr die 24 Maumldchen weiszlig man dass sie insgesamt 7 Zimmer benoumltigen und dass dieseZimmer Dreibett- und Vierbettzimmer sind Daraus ergibt sich das GleichungssystemI 3x + 4y = 24II x + y = 7

Ein Zahlenpaar (x|y) das Loumlsung des Gleichungssystems ist muss beide Gleichungenerfuumlllen Das heiszligt der Zusammenhang zwischen den Variablen x und y der sich auseiner Gleichung ergibt muss auch fuumlr die andere Gleichung geltenIm Gleichungssystem oben ergibt sich aus Gleichung IIx + y = 7 bzw x = 7 ndash yDas muss auch fuumlr Gleichung I geltenDaher duumlrfen wir in Gleichung I fuumlr x den Term 7 ndash y einsetzen3 sdot (7 ndash y) + 4y = 24und erreichen damit dass wir y aus einer linearen Gleichung mit einer Variable bestim-men koumlnnen

21 ndash 3y + 4y = 24y = 3

Wegen x = 7 ndash y erhalten wir fuumlr x = 7 ndash 3 = 4und damit als Loumlsung des Gleichungssystems das Zahlenpaar (4|3)

Beide Gleichungen sind erfuumlllt wie die Probe zeigtI 3 sdot 4 + 4 sdot 3 = 12 + 12 = 24II 4 + 3 = 7

ii

ii

ii

ii

194 10 Lineare Gleichungen und Gleichungssysteme mit zwei Variablen

Die beschriebenen Uumlberlegungen begruumlnden das so genannte EinsetzungsverfahrenIm folgenden Musterbeispiel im gelben Kasten sind die einzelnen Durchfuumlhrungsschrittezusammengefasst

Einsetzungsverfahren (= Substitutionsverfahren)I 3x + 4y = 24II x + y = 71 Druumlcke in einer der beiden Gleichungen x durch y aus

(Du kannst auch umgekehrt y durch x ausdruumlcken Mach das was einfacher ist)Gleichung II x = 7 ndash y

2 Durch Einsetzen des Terms in die andere Gleichung erhaumlltst du eine Gleichungmit einer VariablenGleichung I 3 sdot (7 ndash y) + 4y = 24

3 Loumlse diese Gleichung21 ndash 3y + 4y = 24y = 3

4 Setze die Loumlsung in den Term ein und ermittle die zweite Variablex = 7 ndash 3 = 4rArr L = (4|3)

ProbeI 3 sdot 4 + 4 sdot 3 = 12 + 12 = 24II 4 + 3 = 7

Es gibt fuumlr lineare Gleichungssysteme noch weitere Loumlsungsverfahren zwei davonwerden in den folgenden beiden Musterbeispielen vorgestellt

Gleichsetzungsverfahren (= Komparationsmethode)I 3x + 4y = 24II x + y = 71 Druumlcke in beiden Gleichungen x durch y aus

(Ebenso koumlnntest du wahlweise auch y durch x ausdruumlcken)I 3x = ndash4y + 24

x = ndash 43y + 8

II x = 7 ndash y2 Durch Gleichsetzen der beiden Terme erhaumlltst du eine Gleichung mit einer Va-

riablenndash 4

3y + 8 = 7 ndash y

3 Loumlse diese Gleichungndash 1

3y = ndash1

y = 34 Setze die Loumlsung in einen der beiden Terme aus 1 ein und ermittle die zweite

Variablex = 7 ndash 3 = 4rArr L = (4|3)

Vergiss die Probe nicht

ii

ii

ii

ii

103 Rechnerisches Loumlsen linearer Gleichungssysteme 195

Additionsverfahren1 Multipliziere die Gleichungen mit geeigneten Faktoren so dass bei einer Variable

entgegengesetzt gleiche Koeffizienten entstehenI 3x + 4y = 24II x + y = 7 |sdot(ndash4)

2 Durch Addieren der beiden Gleichungen erhaumlltst du eine Gleichung mit einerVariableI 3x + 4y = 24II ndash4x ndash 4y = ndash28

ndashx = ndash43 Loumlse diese Gleichung

x = 44 Setze die Loumlsung in eine der beiden Gleichungen ein und berechne die zweite

Variable4 + y = 7y = 3rArr L = (4|3)

Vergiss die Probe nicht (siehe Seite 194)

930 a) L =(ndash1|2)b) L =(0|4)c) L =(2|5)d) L =(10|20)

930I2)H2K1 Loumlse das Gleichungssystem mit dem Einsetzungsverfahren

Fuumlhre auch die Probe durcha) I x + 2y = 3

II ndash2x + y = 4b) I ndashx + 4y = 16

II 2x + y = 4c) I x ndash y = ndash3

II ndash12x ndash 2y = ndash11

d) I 7x + y = 90II ndash12x + 5y = ndash20

931 a) L =(4|1)b) L =(4|2)c) L =(ndash23|10)d) L =(ndash35|0)

931I2)H2K1 Loumlse das Gleichungssystem mit dem Gleichsetzungsverfahren

Fuumlhre auch die Probe durcha) I x ndash y = 3

II x + 2y = 6b) I ndash

14x + y = 1

II x + y = 6c) I x + 2y = ndash3

II x ndash 3y = ndash53d) I x + 3y = ndash35

II ndash5x + 3y = 175

932a) L =(17|ndash103)b) L =(10|14)c) L =(8|0)d) L =(18|21)

932I2)H2K1 Loumlse das Gleichungssystem mit dem Additionsverfahren

Fuumlhre auch die Probe durcha) I 3x + 2y = ndash155

II 2x ndash 5y = 549b) I 7x ndash y = 56

II ndash8x + 3y = ndash38c) I 5x + 11y = 40

II 6x ndash 12y = 48d) I 10x ndash 3y = 117

II 20x + 4y = 444

933 a) L =(02|18)b) L =(16|3)c) L =(17|10)d) L =(ndash04|05)

933I2)H2K1 Loumlse das Gleichungssystem mit jenem Loumlsungsverfahren das am besten (fuumlr dich)

passt Vergiss die Probe nicht

a) I x + y = 2II x + 6y = 11

b) I 5x + 2y = 14II ndash5x ndash 3y = ndash17

c) I 6x + y = 202II 7x ndash 3y = ndash181

d) I x + 11y = 51II x ndash 10y = ndash54

ii

ii

ii

ii

196 10 Lineare Gleichungen und Gleichungssysteme mit zwei Variablen

934 (1)1 (1| minus 4)(2) (5|8)(3) (minus05| minus 3)(4) (minus25|0)

934I2)H2K1 Ordne den Gleichungssystemen die richtige Loumlsung zu

(1) 7x + y = 3 (minus05| minus 3)minusx + 5y = minus21

(2) x = yndash3 (5|8)xndash2y = minus11

(3) y = 4xndash1 (minus25|0)y = minus2xndash4

(4) minus4x + 7y = 10 (1| minus 4)2xndash3y = minus5

935 (2|5)935I2)H2

K1

Gleichungssystem Gegeben ist das folgende Gleichungssystem

I x + 2y = 12II 2x + 5y = 29

Loumlse dieses Gleichungssystem

936 c = 3 d = 4936I2)H2

K1

Zwei Gleichungen Loumlse das GleichungssystemI 3c ndash 4d = ndash 7II c = d ndash 1

937 a) L = b) L = (13|ndash55)c) L = (x|y)|y = 1

2x

ndash 74 xy isin R

d) L =

937I2)H2K2 Gib die Loumlsungsmenge des Gleichungssystems an

Achtung Nicht jedes der Gleichungssysteme ist eindeutig loumlsbar

a) I ndash3x ndash 10y = 0II 15x + 5y = 1

b) I 8x ndash 7y = 1425II ndash9x + 2y = ndash128

c) I 2x ndash 4y = 7II ndash6x + 12y = ndash21

d) I ndash06x + 12y = 08II 18x ndash 36y = ndash28

938I2)H1K3 Gib ein lineares Gleichungssystem an das

a) die Loumlsung (4|1) b) die Loumlsung (minus2|5) c) keine Loumlsung hat

939 Alle beruhendarauf dasssowohl derZusammenhangzwischen denbeiden Variablender sich ausGleichung I ergibtals auch derZusammenhangder sich ausGleichung II ergibterfuumlllt sein muss

939I2)H4K3 Erklaumlre was der Hintergrund der drei Verfahren ist

ii

ii

ii

ii

104 Textaufgaben zu linearen Gleichungssystemen 197

104 Textaufgaben zu linearen GleichungssystemenVerwende beim Loumlsen der in den folgenden Aufgaben auftretenden Gleichungssystemejenes Loumlsungsverfahren das dir am geeignetsten erscheint

940 a) x + y = 1585x + 65y = 95548 Schuumllerinnenund110 Erwachseneb) 104 Schuumllerin-nen und92 Erwachsene

940I2)H2K1 Der Eintritt zu einer Greifvogelschau kostet fuumlr Schuumllerinnen

500 euro fuumlr Erwachsene 650 euro Das Verwaltungsbuumlro der Greifvo-gelstation moumlchte wissen wie die Aufteilung der Zuschauer aufErwachsene und Schuumllerinnen war An der Kassa hat man abernur die Gesamtanzahl an verkauften Karten und die Einnahmenregistriert Berechne aus diesen Aufzeichnungen wie viele Er-wachsene bzw Schuumllerinnen die Flugshow besucht haben

a) Vormittagsvorstellung 158 Karten Einnahmen 955ndash eurob) Nachmittagsvorstellung 196 Karten Einnahmen 1118ndash euro

941 x + y = 27065x + 4y = 1485162 Karten fuumlrErwachsene und108 Schuumllerinnen-Karten

941I2)H2K1 Bei der Auffuumlhrung eines Schultheaters werden an der Abendkassa Karten zu

650 euro fuumlr Erwachsene und Karten zu 4 euro fuumlr Schuumllerinnen verkauft Insgesamt wurden270 Karten verkauft und 1485 euro eingenommen Wie viele Schuumllerinnenkarten und wieviele Karten fuumlr Erwachsene wurden verkauft

9423 Gleichungssystem

942I2)H3K1 Wie Aufgabe 941 fuumlr insgesamt 171 verkaufte Karten und 879 euro EinnahmenWelches

Gleichungssystem passt zum Text Kreuze an

times I e + s = 879II 650e + 4s = 171

I e + 4s = 171II 650e + s = 879

I e + s = 171II 650e+4s = 879

I 4s + s = 171II 650e + e = 879

943 (1) DerHinflug erfolgt mitRuumlckenwind derRuumlckflug mitGegenwind Jadenn bei allenLangstreckenfluuml-gen wirken sich dieLuftstroumlmungenauf die Flugzeit ausWien ndash New York910 h New York ndashWien 845(Abfragewwwauacom2552009) (2)Wien ndash Tokio821 kmh Tokio ndashWien 764 kmh(3) Eigengeschwin-digkeit desFlugzeuges7925 kmh Wind-geschwindigkeit285 kmh

943I2)H2K1 diams Waumlhrend des Langstreckenfluges Wien ndash To-

kio werden den Passagieren uumlber Bildschirme Rei-seinformationen geboten Zu Beginn der Reise wirddie Distanz zwischen Wien und Tokio mit 9164 kmangegeben die voraussichtliche Flugzeit mit 1110h Frau Schindler vergleicht mit ihren Fluginforma-tionen fuumlr den Ruumlckflug Dort wird die Flugzeit fuumlrTokio ndash Wien mit 1200 h angegeben obwohl sie wie-der mit demselben Flugzeugtyp fliegen wird(1) Warum unterscheiden sich die Flugzeiten zwischen Hinflug und Ruumlckflug so deut-lich Ist das auch bei anderen Langstreckenfluumlgen so Frage im Internet die Flugzeitenfuumlr den Transatlantikflug von einem europaumlischen Flughafen nach New York hin undzuruumlck ab(2) Berechne die durchschnittliche Fluggeschwindigkeit fuumlr die angegebenen FlugzeitenWien ndash Tokio bzw Tokio ndash Wien(3) Berechne die (durchschnittliche) Eigengeschwindigkeit des Flugzeuges und die(durchschnittliche) erwartete Windgeschwindigkeit die der Angabe der Flugzeit zu-grunde liegen

ii

ii

ii

ii

198 10 Lineare Gleichungen und Gleichungssysteme mit zwei Variablen

944(1) Hinflug764 kmhRuumlckflug 836 kmh(2) Eigengeschwin-digkeit desFlugzeuges800 kmh Windge-schwindigkeit36 kmh

944I2)H2K1 diams Die Flugzeit fuumlr den Flug Frankfurt ndash Chicago

wird im Internet von einer Fluglinie mit 908 h an-gegeben die Flugzeit fuumlr den Ruumlckflug mit dem-selben Flugzeugtyp mit 821 h Die Entfernungzwischen Frankfurt und Chicago betraumlgt 6978 km(1) Berechne die durchschnittlichen Fluggeschwin-digkeiten fuumlr die angegebenen Flugzeiten fuumlr Hin-und Ruumlckflug(2) Berechne die (durchschnittliche) Eigengeschwindigkeit des Flugzeuges und die(durchschnittliche) erwartete Windgeschwindigkeit die der Angabe der Flugzeit zu-grunde liegen

Kommen zwei Systeme (z B Fluumlssigkeiten) mit unterschiedlicher Temperatur zusam-men so gleichen sich ihre Temperaturen durch Waumlrmeaustausch an Waumlrme flieszligtdabei immer vom waumlrmeren zum kaumllteren System so lange bis beide Systeme diegleiche Temperatur habenMischt man einen Liter Wasser mit einer Temperatur von 10 mit einem Liter Was-ser mit einer Temperatur von 20 so entstehen 2 Liter Wasser mit der mittlerenTemperatur von 15

94566 Liter aus demWasserboiler und84 Liter aus demKaltwasserzufluss

945I2)H2K1 ⋆ In einem Niedrigenergiehaus steht ein solar-

beheizter Wasserboiler zur Verfuumlgung Nach einemsonnigen Tag wird eine Wassertemperatur von 64angezeigt Eine Badewanne soll mit 150 Litern Was-ser gefuumlllt werden die erwuumlnschte Temperatur ist37 Wie viele Liter muumlssen aus dem solarbeheiztenBoiler und wie viele Liter aus einem Kaltwasserzu-fluss (16 ) zuflieszligen Runde auf ganze Liter

946 12 Liter 946I2)H2K1 ⋆ An einem heiszligen Sommertag ist die Temperatur in einem 100-Liter-Aquarium

auf 27 angestiegen Wie viel Liter Wasser muss man entnehmen und durch 10 kaltes Wasser ersetzen damit wieder die fuumlr die Fische passende Temperatur von 25 erreicht wird(Tipp Wenn von den 100 Litern x Liter entnommen werden so ist das genau jeneWassermenge mit 10 die zur verbleibenden Wassermenge (y Liter) hinzukommt)

Zahlenraumltsel

947a) x + y = 131 undx minus v = 43b) x = y + 5 und2v + x = 83

947I2)H2K1 Uumlbersetze den Text jeweils in zwei lineare Gleichungen und loumlse das Gleichungs-

system um die beiden gesuchten Zahlen zu ermitteln Fuumlhre auch die Probe durcha) Die Summe zweier Zahlen ist 131 Ihre Differenz betraumlgt 43b) Eine Zahl ist um 5 groumlszliger als die andere Addiert man zum Doppelten der kleinerenZahl die groumlszligere Zahl erhaumllt man 83

ii

ii

ii

ii

104 Textaufgaben zu linearen Gleichungssystemen 199

948 a) 150 und 50b) 8 und 28

948I2)H2K1 Wie Aufgabe 947

a) Eine Zahl ist dreimal so groszlig wie eine zweite Zahl Die Differenz der beiden Zahlenbetraumlgt 100b) Die Differenz zweier Zahlen ist 20 Addiert man zum Dreifachen der kleineren Zahldas Doppelte der groumlszligeren Zahl erhaumllt man 80

949 13 und 9949I2)H2K1 ⋆ Die Differenz zweier Zahlen betraumlgt 4 Verringert man die groumlszligere der beiden

Zahlen um 1 und vergroumlszligert die kleinere um 2 so wird das Produkt um 15 groumlszliger Wielauten die beiden Zahlen

950 27 und 42950I2)H2K1 ⋆ Die Summe zweier Zahlen ist 69 Vergroumlszligert man eine Zahl um 3 und verringert

die andere um 5 so wird das Produkt um 24 kleiner Berechne die beiden Zahlen

Aufgaben aus der Geometrie

951 a) a = 23 cmb = 13 cmb) a =24 cmb = 12 cm

ef

a

b

951I2)H2K1 Die laumlngere Seite eines Parallelogramms ist

a) um 10 cm laumlnger als die kuumlrzere Seiteb) doppelt so lang wie die kuumlrzere SeiteDer Umfang des Parallelogramms ist 72 cmBerechne die Seitenlaumlngen des Parallelogramms

952 I α + 54 = γ II 2α + γ = 180α = β = 42deg γ = 96degb

A c

a

C

B

952I2)H2K1 In einem gleichschenkligen Dreieck ist ein Basiswinkel (α = β

vergleiche mit der Skizze) um 54deg kleiner als der Winkel γ Ermittle dieGroumlszlige der Winkel des gleichschenkligen Dreiecks Fuumlhre auch die Probedurch

953 Basis 32 cmSchenkel 21 cm

953I2)H2K1 Die Basis eines gleichschenkligen Dreiecks ist um 11 cm laumlnger als die Schenkel-

laumlnge Der Umfang des Dreiecks ist 74 dm Wie lang sind Basis und Schenkel diesesgleichschenkligen Dreiecks

954 Basis 18 cmSchenkel 21 cm

954I2)H2K1 Der Umfang eines gleichschenkligen Dreiecks betraumlgt 60 cm Die Basis ist um

3 cm kuumlrzer als eine Schenkellaumlnge Berechne die Laumlnge der Basis und der Schenkel

955 b = 21 cml = 35 cm

955I2)H2K1 In einem Rechteck verhalten sich die Seiten wie 35 Der Umfang des Rechtecks

ist 112 cm Wie breit und wie lang ist das Rechteck

956 Erfinde eine aumlhnliche Aufgabenstellung wie die in 955Deine Nachbarindein Nachbar soll sie loumlsen

957 (1) b = 8 cml = 18 cm (2) einQuadrat mits = 12 cm

957I2)H2K1 ⋆ Die Seiten eines Rechtecks verhalten sich wie 49 Verlaumlngert man die kuumlrzere

Seite um 4 cm und verkuumlrzt die laumlngere Seite um 6 cm so bleibt der Flaumlcheninhaltunveraumlndert(1) Wie lang und wie breit ist das urspruumlngliche Rechteck(2) Wie lang sind die Seiten des veraumlnderten RechtecksWelche besondere Form liegt vor

ii

ii

ii

ii

200 10 Lineare Gleichungen und Gleichungssysteme mit zwei Variablen

958 a) y = ndashx +3

b) y = 135x + 4

5

958I2)H2K1 Wie lautet die Gleichung jener Geraden g die durch die beiden gegebenen Punkte

geht

A(ndash2|5) B(3|1)Da beide Punkte auf der Geraden g liegenerfuumlllen sie die Gleichung y = kx + dWir setzen daher die Koordinaten der Punkte fuumlr x und y ein und erhalten ein linearesGleichungssystem mit den Variablen k und dA liegt auf g rArr I 5 = ndash2k + d | sdot (ndash1)B liegt auf g rArr II 1 = 3k + d rceil+

(ndash1) sdot I ndash5 = 2k ndash d rfloorndash4 = 5kk = minus 4

5minus 4

5eingesetzt in Gleichung I ergibt

5 = ndash2 sdot 1114100minus 451114103 +d rArrd = 5 ndash

85= 17

5Die Gleichung der Geraden g die durch die beiden Punkte A und B verlaumluft lautetdaher

g y = minus 45k +

175

a) A(2|1) B(ndash1|4) b) R(ndash3|ndash7) S(2|6)

959 a) y = minus 25x + 2

b) y = minus 74x + 5

c) y = 109x + 1

9

d) y = 56x ndash 5

959 Stelle die Gleichung jener Geraden auf die durch die gegebenen beiden Punktegehta) A(ndash20|10) B(5|0) b) C(0|5) D(4|ndash2) c) E(8|9) F(ndash1|ndash1) d) G(6|0) H(0|ndash5)

105 Ausblick und Exercises1051 Ausblick

960 (1)a = 104 cmha = 78 cm (2) Eshandelt sich nichtum ein linearesGleichungssystemEinsetzungsverfah-ren undGleichsetzungsver-fahren koumlnnen zurAnwendungkommenAdditionsverfahrenund grafischesLoumlsungsverfahrennicht

960I2)H2K1 ⋆ In einemDreieck verhalten sich eine Seite und ihre Houmlhe wie 43 Der Flaumlcheninhalt

des Dreiecks betraumlgt 4056 cm2(1) Berechne die Seitenlaumlnge und die Houmlhe(2) Inwiefern unterscheidet sich das Gleichungssystem in (1) von den anderen bisjetzt behandelten Welche Loumlsungsverfahren koumlnnen zur Anwendung kommen welchenichtWie Aufgabe 960 zeigt gibt es auch andere als nur lineare Gleichungssysteme Mit demEinsetzungsverfahren kann man auch diese loumlsen Das Additionsverfahren ist dafuumlrnicht geeignetBei komplexen Sachverhalten mit hoher Anwendungsrelevanz kommt man in der Regelnicht mit einem Gleichungssystem das nur zwei Gleichungen enthaumllt aus Beispiels-weise fuumlhren Messreihen in der Chemie oder Physik haumlufig auf Gleichungssysteme dieaus mehreren Gleichungen mit mehreren Variablen bestehenDie Loumlsungsverfahren wie du sie kennengelernt hast sind auch fuumlr solche Gleichungs-systeme erweiterbar In der Praxis wird der oft hohe Rechenaufwand mit geeigneterSoftware am Computer (siehe Kap 145 S 265) bewaumlltigt

ii

ii

ii

ii

105 Ausblick und Exercises 201

1052 Exercises

vocabularysystem of linear equations lineares Gleichungssystemsolution Loumlsunggraphing zeichnensubstitution das Ersetzen Einsetzenaddition method hier Additionsverfahrento solve loumlseninfinitely-many unendlich viele

961 (ndash5|1) is asolution of thegiven equation

961I2)H3K2 Determine whether either of the points (1|ndash5) and (ndash5|1) is a solution to the given

system of equationsndash6x + y = 315x + 7y = ndash18

962I2)H3K1 Fill in

infinitely-many (2x) ndash two ndash three (2x) ndash one (2x) ndash no solution ndash none

For systems of linear equations (two variables two equations) there are threepossible types of solutions

The system may have one solution (a specific point (x|y))

no solution at all or

infinitely-many solutions

There is no such system with two or three solutions

You will always have one none

or infinitely-many solutions

963 L = (0|3)963I2)H2K2 Solve the following system by graphing

x + 4y = 12ndash10x + 5y = 15

964 L = (ndash50|100)964I2)H2K2 Solve the following system by substitution

ndash3x + y = 2507x + 10y = 650

965 L = (35|ndash8)965I2)H2K2 Solve the following system using the addition method

6x + 11y = ndash678x ndash 3y = 52

966 98 and 41966I2)H2K2 The difference of two numbers is 57 The sum of these two numbers is 139 Which

numbers are we referring to

967 (12|1) and(1|0)

967I2)H2K1 Which are correct solutions to the equation 5x + 4y = 5

times times(12|1) (2| + 12) (04|05) (1|0)

ii

ii

ii

ii

202 10 Lineare Gleichungen und Gleichungssysteme mit zwei Variablen

106 Mathe fit und kompetent ndash Kompetenzcheck

968 Richtig sindm + b = 21 undm minus 2b

2m + b = 21 m + 2b = 21 m + b = 21 timesm = 2b timesb = 2m

968I2)H3K1 In einer Klasse mit 21 Kindern gibt es doppelt so viele

Maumldchen wie BubenDie Anzahl der Maumldchen wird mit m bezeichnet die Anzahl derBubenmit b Kreuze jeneGleichung(en) an die zur beschriebenenKlasse passen

969I2)H1K1 Schreibe den Text in Form eines linearen Gleichungssystems an

a) Bei einer Flugreise wiegt Deryas Koffer um 7 kg mehr als ihr Handgepaumlck Insgesamthaben die beiden Gepaumlckstuumlcke 23 kg

I k = h + 7

II k + h = 23b) Eine Zahl ist um 7 groumlszliger als die andere Subtrahiert man vom Doppelten dergroumlszligeren Zahl die kleinere erhaumllt man 20

I x = y + 7

II 2x minus y = 20

970I2)H1K3 Erfinde einen kurzen Text der sich durch eine lineare Gleichungmit zwei Variablen

darstellen laumlsst

971 (1) (minus05|3)(2) (5|0) (3) (1| minus 7)(4) (0|4)

971I2)H2K1 Verbinde die Gleichungssysteme mit der jeweils richtigen Loumlsung

(1) 2x + y = 2 (1| minus 7)minus8x minus 2y = minus2

(2) 4x + 6y = 20 (0|4)minusx + y = minus5

(3) 2x + y = minus5 (minus05|3)minus8x minus 2y = 6

(4) x + 2y = 8 (5|0)10x minus y = minus4

972 a) (6| minus 5)b) (04|1)

972I2)H2K1 Loumlse das Gleichungssystem und fuumlhre auch die Probe durch

a) I 3x + 4y = minus2 b) I 5x minus 4y = minus2II x minus y = 11 II minus2x + 6y = 52

973 L = (ndash2|1) 973I2)H2K2 Loumlse das Gleichungssystem (1) graphisch und (2) rechnerisch

I minus3x + 2y = 8II 2x + 4y = 0

ii

ii

ii

ii

106 Mathe fit und kompetent ndash Kompetenzcheck 203

974I2)H3K2 (1) Welches Gleichungssystem ist in der Grafik dargestellt Kreuze an

I y = 34xndash4

II y = 13x + 1

I y = 43x + 4

II y = minus 13xndash1

I y = xndash4II y = 1

3x + 1

I y = 43x minus 4

II y = minus 13x + 1

times

(2) Wie lautet die Loumlsung dieses Gleichungssystems (3|0)

975 Keine LoumlsungDie beidenGleichungenstellen paralleleGeraden dar dahergibt es keinZahlenpaar dasbeide Gleichungenerfuumlllt975I2)H4

K2 Wie viele Loumlsungen hat das angeschriebene GleichungssystemVersuche zu antworten ohne ein Loumlsungsverfahren anzuwendenBegruumlnde deine Antwort

I x + y = 1II 2x + 2y = 3

976 SieheZusammenfassungder Loumlsungsfaumllleauf Seite 191

976I2)H4K3 Erklaumlre Warum hat ein lineares Gleichungssystem mit zwei Variablen entweder

genau eine keine oder unendlich viele Loumlsungen977 3 und 4Gleichungssystem

977I2)H3K1 In einem Rechteck verhalten sich die Seiten wie 4 ∶ 7 Der Umfang ist 55 cm

Zwei der folgenden Gleichungssysteme beschreiben den Sachverhalt richtig Kreuze anwelche

times timesI b ∶ l = 4 ∶ 7II 4b + 7l = 55

I 4l = 7bII b + l = 55

I b ∶ l = 4 ∶ 7II 2b + 2l = 55

I 4l = 7bII 2(b + l) = 55

978 1 kg Mehlkostet 15 euro 1 kgZucker kostet 1 euro

978I2)H2K2 Tom kauft 2 kg Mehl und 1 kg Zucker und bezahlt dafuumlr 4 Euro Anna kauft 1 kg

Mehl und 3 kg Zucker und bezahlt dafuumlr 45 Euro Wie viel kostet 1 kg Mehl Wie vielkostet 1 kg Zucker

979 (1) Esbesuchten viermalso vieleErwachsene wieKinder dieAusstellung (2)Insgesamtbesuchten 680Personen dieAusstellung (3) Eshaben um 240mehr Kinder alsErwachsene dieAusstellungbesucht

979I2)H3K1 Im Folgenden steht jeweils k fuumlr die Anzahl der Kinder und e fuumlr die Anzahl

der Erwachsenen die eine Ausstellung besucht haben Schreibe in Worten was dieGleichungen uumlber den Ausstellungsbesuch von Erwachsenen und Kindern aussagen(1) Montag e = 4k (2) Dienstag k + e = 680 (3) Mittwoch e + 240 = k

980 800 kmh70 kmn

980I2)H2K2 Ein Flugzeug erreicht mit Ruumlckenwind eine Geschwindigkeit von 870 kmh bei

(gleichstarkem) Gegenwind kommt es nur auf 720 kmh Berechne die Eigengeschwin-digkeit des Flugzeugs und die Windgeschwindigkeit

981I2)H1K3 Schreibe ein lineares Gleichungssystem an das die Loumlsung (2|5) hat

ii

ii

ii

ii

192 10 Lineare Gleichungen und Gleichungssysteme mit zwei Variablen

924I2)H4K3 Ist es moumlglich dass ein lineares Gleichungssystem mit zwei Variablen genau 2

Loumlsungen hat Begruumlnde deine Antwort925 Sind k und dgleich dannfallen die beidenGeradenzusammenrArrunendlich vieleLoumlsungen Sinddie Steigungengleich aber dieAchsenabschnitteunterschiedlichdann sind diebeiden GeradenparallelrArr keineLoumlsung Sind dieSteigungenunterschiedlichso schneiden dieGeraden einanderrArr genau eineLoumlsung

925I2)H4K2 Uumlberlegt zu zweit Wie kann man aus den beiden Gleichungen eines Gleichungs-

systems die in der Form y = kx + d gegeben sind direkt ablesen (das heiszligt ohne dieZeichnungen anzufertigen) welcher Loumlsungsfall vorliegt Vergleicht dazu jeweils dieSteigungen k bzw die Achsenabschnitte d der beiden Gleichungen

926 a) gleiches kunterschiedliches drArr keine Loumlsungb) unterschiedli-ches krArr eineLoumlsung c) gleichesk gleiches drArrunendlich vieleLoumlsungend) gleiches kunterschiedliches drArr keine Loumlsung

926I2)H3K2 Welcher Loumlsungsfall liegt bei den gegebenen Gleichungssystemen vor Untersuche

durch Vergleich der Steigungen k und der Achsenabschnitte d ob das Gleichungssystemgenau eine Loumlsung unendlich viele Loumlsungen oder keine Loumlsung hata) I y = ndash2x + 6

II y = ndash 2x + 1b) I y =

14x + 4

II y = ndash2x + 4

c) I 2y = 6x + 12II y = 3x + 6

d) I y =13x ndash 1

II y =13x + 5

927 a) keineLoumlsungb) unendlich vieleLoumlsungenc) L = (ndash2|0)d) keine Loumlsung

927I2)H3K2 Forme die Gleichungen jeweils auf die Gestalt y = kx + d um Vergleiche dann die

Steigungen und die Achsenabschnitte der beiden Gleichungen und bestimme welcherLoumlsungsfall vorliegt Fuumlr den Fall dass es genau eine Loumlsung gibt ermittle diese Loumlsunggraphisch

a) I 3x + 2y = 9II 3x + 2y = 1

b) I32x + 4y = ndash2

II 3x + 8y = ndash4

c) I x + 2y = ndash2II x ndash 2y = ndash2

d) I ndash12x ndash y = ndash11

II 2x ndash 4y = ndash3

928 Richtliniendazu siehe Loumlsungvon Aufgabe 925

928I2)H1K3 Schreibe ein lineares Gleichungssystem an das

(1) genau eine Loumlsung(2) keine Loumlsung(3) unendlich viele Loumlsungen hat

929 I x + y = 5II -2x + y = 2S(1|4) ist dieLoumlsung

929I2)H3K3 Sara hat ein Gleichungssystem gra-

fisch geloumlst Rechts siehst du die Zeich-nung Wie lautet die Angabe WelcheKoordinaten hat der Schnittpunkt Wel-che Bedeutung hat er fuumlr dasGleichungs-system

I x + y = 5

II -2x + y = 2

Schnittpunkt S(1|4)

Bedeutung ist die Loumlsung

ii

ii

ii

ii

103 Rechnerisches Loumlsen linearer Gleichungssysteme 193

103 Rechnerisches Loumlsen linearer Gleichungssysteme

Im letzten Abschnitt hast du viele Gleichungssysteme gra-fisch geloumlst Durch dieses Loumlsungsverfahren kann man sehrviel uumlber lineare Gleichungssysteme lernen z B warum esniemals genau 2 Loumlsungen haben kann Wie jedes grafischeVerfahren hat es aber den Nachteil dass man sehr von dereigenen Zeichengenauigkeit abhaumlngig ist Selbst wenn mansich noch so bemuumlht Loumlsungen wie (0345| 261) wird maneiner haumlndischen Zeichnung nur unter groszligem Aufwand ent-nehmen koumlnnen Aber selbst wenn die Loumlsung ganzzahligist koumlnnen Schwierigkeiten auftreten Uumlberlege am Beispieldes Zahlenpaares (1|100)Beim computerunterstuumltzten Arbeiten koumlnnen durch Verschieben des Bildschirmaus-schnittes und Zoomen diese Probleme bewaumlltigt werden aber in Sachen Genauigkeitstoumlszligt man auch da an Grenzen Ein klarer Fall also dass auch rechnerische Loumlsungs-moumlglichkeiten gefragt sind

Wir kommen ein letztes Mal auf die Abschlussreise der 4B und der 4C zuruumlck die amAnfang dieses Kapitels (siehe S 184) vorgestellt wurde Uumlber die Zimmereinteilungfuumlr die 24 Maumldchen weiszlig man dass sie insgesamt 7 Zimmer benoumltigen und dass dieseZimmer Dreibett- und Vierbettzimmer sind Daraus ergibt sich das GleichungssystemI 3x + 4y = 24II x + y = 7

Ein Zahlenpaar (x|y) das Loumlsung des Gleichungssystems ist muss beide Gleichungenerfuumlllen Das heiszligt der Zusammenhang zwischen den Variablen x und y der sich auseiner Gleichung ergibt muss auch fuumlr die andere Gleichung geltenIm Gleichungssystem oben ergibt sich aus Gleichung IIx + y = 7 bzw x = 7 ndash yDas muss auch fuumlr Gleichung I geltenDaher duumlrfen wir in Gleichung I fuumlr x den Term 7 ndash y einsetzen3 sdot (7 ndash y) + 4y = 24und erreichen damit dass wir y aus einer linearen Gleichung mit einer Variable bestim-men koumlnnen

21 ndash 3y + 4y = 24y = 3

Wegen x = 7 ndash y erhalten wir fuumlr x = 7 ndash 3 = 4und damit als Loumlsung des Gleichungssystems das Zahlenpaar (4|3)

Beide Gleichungen sind erfuumlllt wie die Probe zeigtI 3 sdot 4 + 4 sdot 3 = 12 + 12 = 24II 4 + 3 = 7

ii

ii

ii

ii

194 10 Lineare Gleichungen und Gleichungssysteme mit zwei Variablen

Die beschriebenen Uumlberlegungen begruumlnden das so genannte EinsetzungsverfahrenIm folgenden Musterbeispiel im gelben Kasten sind die einzelnen Durchfuumlhrungsschrittezusammengefasst

Einsetzungsverfahren (= Substitutionsverfahren)I 3x + 4y = 24II x + y = 71 Druumlcke in einer der beiden Gleichungen x durch y aus

(Du kannst auch umgekehrt y durch x ausdruumlcken Mach das was einfacher ist)Gleichung II x = 7 ndash y

2 Durch Einsetzen des Terms in die andere Gleichung erhaumlltst du eine Gleichungmit einer VariablenGleichung I 3 sdot (7 ndash y) + 4y = 24

3 Loumlse diese Gleichung21 ndash 3y + 4y = 24y = 3

4 Setze die Loumlsung in den Term ein und ermittle die zweite Variablex = 7 ndash 3 = 4rArr L = (4|3)

ProbeI 3 sdot 4 + 4 sdot 3 = 12 + 12 = 24II 4 + 3 = 7

Es gibt fuumlr lineare Gleichungssysteme noch weitere Loumlsungsverfahren zwei davonwerden in den folgenden beiden Musterbeispielen vorgestellt

Gleichsetzungsverfahren (= Komparationsmethode)I 3x + 4y = 24II x + y = 71 Druumlcke in beiden Gleichungen x durch y aus

(Ebenso koumlnntest du wahlweise auch y durch x ausdruumlcken)I 3x = ndash4y + 24

x = ndash 43y + 8

II x = 7 ndash y2 Durch Gleichsetzen der beiden Terme erhaumlltst du eine Gleichung mit einer Va-

riablenndash 4

3y + 8 = 7 ndash y

3 Loumlse diese Gleichungndash 1

3y = ndash1

y = 34 Setze die Loumlsung in einen der beiden Terme aus 1 ein und ermittle die zweite

Variablex = 7 ndash 3 = 4rArr L = (4|3)

Vergiss die Probe nicht

ii

ii

ii

ii

103 Rechnerisches Loumlsen linearer Gleichungssysteme 195

Additionsverfahren1 Multipliziere die Gleichungen mit geeigneten Faktoren so dass bei einer Variable

entgegengesetzt gleiche Koeffizienten entstehenI 3x + 4y = 24II x + y = 7 |sdot(ndash4)

2 Durch Addieren der beiden Gleichungen erhaumlltst du eine Gleichung mit einerVariableI 3x + 4y = 24II ndash4x ndash 4y = ndash28

ndashx = ndash43 Loumlse diese Gleichung

x = 44 Setze die Loumlsung in eine der beiden Gleichungen ein und berechne die zweite

Variable4 + y = 7y = 3rArr L = (4|3)

Vergiss die Probe nicht (siehe Seite 194)

930 a) L =(ndash1|2)b) L =(0|4)c) L =(2|5)d) L =(10|20)

930I2)H2K1 Loumlse das Gleichungssystem mit dem Einsetzungsverfahren

Fuumlhre auch die Probe durcha) I x + 2y = 3

II ndash2x + y = 4b) I ndashx + 4y = 16

II 2x + y = 4c) I x ndash y = ndash3

II ndash12x ndash 2y = ndash11

d) I 7x + y = 90II ndash12x + 5y = ndash20

931 a) L =(4|1)b) L =(4|2)c) L =(ndash23|10)d) L =(ndash35|0)

931I2)H2K1 Loumlse das Gleichungssystem mit dem Gleichsetzungsverfahren

Fuumlhre auch die Probe durcha) I x ndash y = 3

II x + 2y = 6b) I ndash

14x + y = 1

II x + y = 6c) I x + 2y = ndash3

II x ndash 3y = ndash53d) I x + 3y = ndash35

II ndash5x + 3y = 175

932a) L =(17|ndash103)b) L =(10|14)c) L =(8|0)d) L =(18|21)

932I2)H2K1 Loumlse das Gleichungssystem mit dem Additionsverfahren

Fuumlhre auch die Probe durcha) I 3x + 2y = ndash155

II 2x ndash 5y = 549b) I 7x ndash y = 56

II ndash8x + 3y = ndash38c) I 5x + 11y = 40

II 6x ndash 12y = 48d) I 10x ndash 3y = 117

II 20x + 4y = 444

933 a) L =(02|18)b) L =(16|3)c) L =(17|10)d) L =(ndash04|05)

933I2)H2K1 Loumlse das Gleichungssystem mit jenem Loumlsungsverfahren das am besten (fuumlr dich)

passt Vergiss die Probe nicht

a) I x + y = 2II x + 6y = 11

b) I 5x + 2y = 14II ndash5x ndash 3y = ndash17

c) I 6x + y = 202II 7x ndash 3y = ndash181

d) I x + 11y = 51II x ndash 10y = ndash54

ii

ii

ii

ii

196 10 Lineare Gleichungen und Gleichungssysteme mit zwei Variablen

934 (1)1 (1| minus 4)(2) (5|8)(3) (minus05| minus 3)(4) (minus25|0)

934I2)H2K1 Ordne den Gleichungssystemen die richtige Loumlsung zu

(1) 7x + y = 3 (minus05| minus 3)minusx + 5y = minus21

(2) x = yndash3 (5|8)xndash2y = minus11

(3) y = 4xndash1 (minus25|0)y = minus2xndash4

(4) minus4x + 7y = 10 (1| minus 4)2xndash3y = minus5

935 (2|5)935I2)H2

K1

Gleichungssystem Gegeben ist das folgende Gleichungssystem

I x + 2y = 12II 2x + 5y = 29

Loumlse dieses Gleichungssystem

936 c = 3 d = 4936I2)H2

K1

Zwei Gleichungen Loumlse das GleichungssystemI 3c ndash 4d = ndash 7II c = d ndash 1

937 a) L = b) L = (13|ndash55)c) L = (x|y)|y = 1

2x

ndash 74 xy isin R

d) L =

937I2)H2K2 Gib die Loumlsungsmenge des Gleichungssystems an

Achtung Nicht jedes der Gleichungssysteme ist eindeutig loumlsbar

a) I ndash3x ndash 10y = 0II 15x + 5y = 1

b) I 8x ndash 7y = 1425II ndash9x + 2y = ndash128

c) I 2x ndash 4y = 7II ndash6x + 12y = ndash21

d) I ndash06x + 12y = 08II 18x ndash 36y = ndash28

938I2)H1K3 Gib ein lineares Gleichungssystem an das

a) die Loumlsung (4|1) b) die Loumlsung (minus2|5) c) keine Loumlsung hat

939 Alle beruhendarauf dasssowohl derZusammenhangzwischen denbeiden Variablender sich ausGleichung I ergibtals auch derZusammenhangder sich ausGleichung II ergibterfuumlllt sein muss

939I2)H4K3 Erklaumlre was der Hintergrund der drei Verfahren ist

ii

ii

ii

ii

104 Textaufgaben zu linearen Gleichungssystemen 197

104 Textaufgaben zu linearen GleichungssystemenVerwende beim Loumlsen der in den folgenden Aufgaben auftretenden Gleichungssystemejenes Loumlsungsverfahren das dir am geeignetsten erscheint

940 a) x + y = 1585x + 65y = 95548 Schuumllerinnenund110 Erwachseneb) 104 Schuumllerin-nen und92 Erwachsene

940I2)H2K1 Der Eintritt zu einer Greifvogelschau kostet fuumlr Schuumllerinnen

500 euro fuumlr Erwachsene 650 euro Das Verwaltungsbuumlro der Greifvo-gelstation moumlchte wissen wie die Aufteilung der Zuschauer aufErwachsene und Schuumllerinnen war An der Kassa hat man abernur die Gesamtanzahl an verkauften Karten und die Einnahmenregistriert Berechne aus diesen Aufzeichnungen wie viele Er-wachsene bzw Schuumllerinnen die Flugshow besucht haben

a) Vormittagsvorstellung 158 Karten Einnahmen 955ndash eurob) Nachmittagsvorstellung 196 Karten Einnahmen 1118ndash euro

941 x + y = 27065x + 4y = 1485162 Karten fuumlrErwachsene und108 Schuumllerinnen-Karten

941I2)H2K1 Bei der Auffuumlhrung eines Schultheaters werden an der Abendkassa Karten zu

650 euro fuumlr Erwachsene und Karten zu 4 euro fuumlr Schuumllerinnen verkauft Insgesamt wurden270 Karten verkauft und 1485 euro eingenommen Wie viele Schuumllerinnenkarten und wieviele Karten fuumlr Erwachsene wurden verkauft

9423 Gleichungssystem

942I2)H3K1 Wie Aufgabe 941 fuumlr insgesamt 171 verkaufte Karten und 879 euro EinnahmenWelches

Gleichungssystem passt zum Text Kreuze an

times I e + s = 879II 650e + 4s = 171

I e + 4s = 171II 650e + s = 879

I e + s = 171II 650e+4s = 879

I 4s + s = 171II 650e + e = 879

943 (1) DerHinflug erfolgt mitRuumlckenwind derRuumlckflug mitGegenwind Jadenn bei allenLangstreckenfluuml-gen wirken sich dieLuftstroumlmungenauf die Flugzeit ausWien ndash New York910 h New York ndashWien 845(Abfragewwwauacom2552009) (2)Wien ndash Tokio821 kmh Tokio ndashWien 764 kmh(3) Eigengeschwin-digkeit desFlugzeuges7925 kmh Wind-geschwindigkeit285 kmh

943I2)H2K1 diams Waumlhrend des Langstreckenfluges Wien ndash To-

kio werden den Passagieren uumlber Bildschirme Rei-seinformationen geboten Zu Beginn der Reise wirddie Distanz zwischen Wien und Tokio mit 9164 kmangegeben die voraussichtliche Flugzeit mit 1110h Frau Schindler vergleicht mit ihren Fluginforma-tionen fuumlr den Ruumlckflug Dort wird die Flugzeit fuumlrTokio ndash Wien mit 1200 h angegeben obwohl sie wie-der mit demselben Flugzeugtyp fliegen wird(1) Warum unterscheiden sich die Flugzeiten zwischen Hinflug und Ruumlckflug so deut-lich Ist das auch bei anderen Langstreckenfluumlgen so Frage im Internet die Flugzeitenfuumlr den Transatlantikflug von einem europaumlischen Flughafen nach New York hin undzuruumlck ab(2) Berechne die durchschnittliche Fluggeschwindigkeit fuumlr die angegebenen FlugzeitenWien ndash Tokio bzw Tokio ndash Wien(3) Berechne die (durchschnittliche) Eigengeschwindigkeit des Flugzeuges und die(durchschnittliche) erwartete Windgeschwindigkeit die der Angabe der Flugzeit zu-grunde liegen

ii

ii

ii

ii

198 10 Lineare Gleichungen und Gleichungssysteme mit zwei Variablen

944(1) Hinflug764 kmhRuumlckflug 836 kmh(2) Eigengeschwin-digkeit desFlugzeuges800 kmh Windge-schwindigkeit36 kmh

944I2)H2K1 diams Die Flugzeit fuumlr den Flug Frankfurt ndash Chicago

wird im Internet von einer Fluglinie mit 908 h an-gegeben die Flugzeit fuumlr den Ruumlckflug mit dem-selben Flugzeugtyp mit 821 h Die Entfernungzwischen Frankfurt und Chicago betraumlgt 6978 km(1) Berechne die durchschnittlichen Fluggeschwin-digkeiten fuumlr die angegebenen Flugzeiten fuumlr Hin-und Ruumlckflug(2) Berechne die (durchschnittliche) Eigengeschwindigkeit des Flugzeuges und die(durchschnittliche) erwartete Windgeschwindigkeit die der Angabe der Flugzeit zu-grunde liegen

Kommen zwei Systeme (z B Fluumlssigkeiten) mit unterschiedlicher Temperatur zusam-men so gleichen sich ihre Temperaturen durch Waumlrmeaustausch an Waumlrme flieszligtdabei immer vom waumlrmeren zum kaumllteren System so lange bis beide Systeme diegleiche Temperatur habenMischt man einen Liter Wasser mit einer Temperatur von 10 mit einem Liter Was-ser mit einer Temperatur von 20 so entstehen 2 Liter Wasser mit der mittlerenTemperatur von 15

94566 Liter aus demWasserboiler und84 Liter aus demKaltwasserzufluss

945I2)H2K1 ⋆ In einem Niedrigenergiehaus steht ein solar-

beheizter Wasserboiler zur Verfuumlgung Nach einemsonnigen Tag wird eine Wassertemperatur von 64angezeigt Eine Badewanne soll mit 150 Litern Was-ser gefuumlllt werden die erwuumlnschte Temperatur ist37 Wie viele Liter muumlssen aus dem solarbeheiztenBoiler und wie viele Liter aus einem Kaltwasserzu-fluss (16 ) zuflieszligen Runde auf ganze Liter

946 12 Liter 946I2)H2K1 ⋆ An einem heiszligen Sommertag ist die Temperatur in einem 100-Liter-Aquarium

auf 27 angestiegen Wie viel Liter Wasser muss man entnehmen und durch 10 kaltes Wasser ersetzen damit wieder die fuumlr die Fische passende Temperatur von 25 erreicht wird(Tipp Wenn von den 100 Litern x Liter entnommen werden so ist das genau jeneWassermenge mit 10 die zur verbleibenden Wassermenge (y Liter) hinzukommt)

Zahlenraumltsel

947a) x + y = 131 undx minus v = 43b) x = y + 5 und2v + x = 83

947I2)H2K1 Uumlbersetze den Text jeweils in zwei lineare Gleichungen und loumlse das Gleichungs-

system um die beiden gesuchten Zahlen zu ermitteln Fuumlhre auch die Probe durcha) Die Summe zweier Zahlen ist 131 Ihre Differenz betraumlgt 43b) Eine Zahl ist um 5 groumlszliger als die andere Addiert man zum Doppelten der kleinerenZahl die groumlszligere Zahl erhaumllt man 83

ii

ii

ii

ii

104 Textaufgaben zu linearen Gleichungssystemen 199

948 a) 150 und 50b) 8 und 28

948I2)H2K1 Wie Aufgabe 947

a) Eine Zahl ist dreimal so groszlig wie eine zweite Zahl Die Differenz der beiden Zahlenbetraumlgt 100b) Die Differenz zweier Zahlen ist 20 Addiert man zum Dreifachen der kleineren Zahldas Doppelte der groumlszligeren Zahl erhaumllt man 80

949 13 und 9949I2)H2K1 ⋆ Die Differenz zweier Zahlen betraumlgt 4 Verringert man die groumlszligere der beiden

Zahlen um 1 und vergroumlszligert die kleinere um 2 so wird das Produkt um 15 groumlszliger Wielauten die beiden Zahlen

950 27 und 42950I2)H2K1 ⋆ Die Summe zweier Zahlen ist 69 Vergroumlszligert man eine Zahl um 3 und verringert

die andere um 5 so wird das Produkt um 24 kleiner Berechne die beiden Zahlen

Aufgaben aus der Geometrie

951 a) a = 23 cmb = 13 cmb) a =24 cmb = 12 cm

ef

a

b

951I2)H2K1 Die laumlngere Seite eines Parallelogramms ist

a) um 10 cm laumlnger als die kuumlrzere Seiteb) doppelt so lang wie die kuumlrzere SeiteDer Umfang des Parallelogramms ist 72 cmBerechne die Seitenlaumlngen des Parallelogramms

952 I α + 54 = γ II 2α + γ = 180α = β = 42deg γ = 96degb

A c

a

C

B

952I2)H2K1 In einem gleichschenkligen Dreieck ist ein Basiswinkel (α = β

vergleiche mit der Skizze) um 54deg kleiner als der Winkel γ Ermittle dieGroumlszlige der Winkel des gleichschenkligen Dreiecks Fuumlhre auch die Probedurch

953 Basis 32 cmSchenkel 21 cm

953I2)H2K1 Die Basis eines gleichschenkligen Dreiecks ist um 11 cm laumlnger als die Schenkel-

laumlnge Der Umfang des Dreiecks ist 74 dm Wie lang sind Basis und Schenkel diesesgleichschenkligen Dreiecks

954 Basis 18 cmSchenkel 21 cm

954I2)H2K1 Der Umfang eines gleichschenkligen Dreiecks betraumlgt 60 cm Die Basis ist um

3 cm kuumlrzer als eine Schenkellaumlnge Berechne die Laumlnge der Basis und der Schenkel

955 b = 21 cml = 35 cm

955I2)H2K1 In einem Rechteck verhalten sich die Seiten wie 35 Der Umfang des Rechtecks

ist 112 cm Wie breit und wie lang ist das Rechteck

956 Erfinde eine aumlhnliche Aufgabenstellung wie die in 955Deine Nachbarindein Nachbar soll sie loumlsen

957 (1) b = 8 cml = 18 cm (2) einQuadrat mits = 12 cm

957I2)H2K1 ⋆ Die Seiten eines Rechtecks verhalten sich wie 49 Verlaumlngert man die kuumlrzere

Seite um 4 cm und verkuumlrzt die laumlngere Seite um 6 cm so bleibt der Flaumlcheninhaltunveraumlndert(1) Wie lang und wie breit ist das urspruumlngliche Rechteck(2) Wie lang sind die Seiten des veraumlnderten RechtecksWelche besondere Form liegt vor

ii

ii

ii

ii

200 10 Lineare Gleichungen und Gleichungssysteme mit zwei Variablen

958 a) y = ndashx +3

b) y = 135x + 4

5

958I2)H2K1 Wie lautet die Gleichung jener Geraden g die durch die beiden gegebenen Punkte

geht

A(ndash2|5) B(3|1)Da beide Punkte auf der Geraden g liegenerfuumlllen sie die Gleichung y = kx + dWir setzen daher die Koordinaten der Punkte fuumlr x und y ein und erhalten ein linearesGleichungssystem mit den Variablen k und dA liegt auf g rArr I 5 = ndash2k + d | sdot (ndash1)B liegt auf g rArr II 1 = 3k + d rceil+

(ndash1) sdot I ndash5 = 2k ndash d rfloorndash4 = 5kk = minus 4

5minus 4

5eingesetzt in Gleichung I ergibt

5 = ndash2 sdot 1114100minus 451114103 +d rArrd = 5 ndash

85= 17

5Die Gleichung der Geraden g die durch die beiden Punkte A und B verlaumluft lautetdaher

g y = minus 45k +

175

a) A(2|1) B(ndash1|4) b) R(ndash3|ndash7) S(2|6)

959 a) y = minus 25x + 2

b) y = minus 74x + 5

c) y = 109x + 1

9

d) y = 56x ndash 5

959 Stelle die Gleichung jener Geraden auf die durch die gegebenen beiden Punktegehta) A(ndash20|10) B(5|0) b) C(0|5) D(4|ndash2) c) E(8|9) F(ndash1|ndash1) d) G(6|0) H(0|ndash5)

105 Ausblick und Exercises1051 Ausblick

960 (1)a = 104 cmha = 78 cm (2) Eshandelt sich nichtum ein linearesGleichungssystemEinsetzungsverfah-ren undGleichsetzungsver-fahren koumlnnen zurAnwendungkommenAdditionsverfahrenund grafischesLoumlsungsverfahrennicht

960I2)H2K1 ⋆ In einemDreieck verhalten sich eine Seite und ihre Houmlhe wie 43 Der Flaumlcheninhalt

des Dreiecks betraumlgt 4056 cm2(1) Berechne die Seitenlaumlnge und die Houmlhe(2) Inwiefern unterscheidet sich das Gleichungssystem in (1) von den anderen bisjetzt behandelten Welche Loumlsungsverfahren koumlnnen zur Anwendung kommen welchenichtWie Aufgabe 960 zeigt gibt es auch andere als nur lineare Gleichungssysteme Mit demEinsetzungsverfahren kann man auch diese loumlsen Das Additionsverfahren ist dafuumlrnicht geeignetBei komplexen Sachverhalten mit hoher Anwendungsrelevanz kommt man in der Regelnicht mit einem Gleichungssystem das nur zwei Gleichungen enthaumllt aus Beispiels-weise fuumlhren Messreihen in der Chemie oder Physik haumlufig auf Gleichungssysteme dieaus mehreren Gleichungen mit mehreren Variablen bestehenDie Loumlsungsverfahren wie du sie kennengelernt hast sind auch fuumlr solche Gleichungs-systeme erweiterbar In der Praxis wird der oft hohe Rechenaufwand mit geeigneterSoftware am Computer (siehe Kap 145 S 265) bewaumlltigt

ii

ii

ii

ii

105 Ausblick und Exercises 201

1052 Exercises

vocabularysystem of linear equations lineares Gleichungssystemsolution Loumlsunggraphing zeichnensubstitution das Ersetzen Einsetzenaddition method hier Additionsverfahrento solve loumlseninfinitely-many unendlich viele

961 (ndash5|1) is asolution of thegiven equation

961I2)H3K2 Determine whether either of the points (1|ndash5) and (ndash5|1) is a solution to the given

system of equationsndash6x + y = 315x + 7y = ndash18

962I2)H3K1 Fill in

infinitely-many (2x) ndash two ndash three (2x) ndash one (2x) ndash no solution ndash none

For systems of linear equations (two variables two equations) there are threepossible types of solutions

The system may have one solution (a specific point (x|y))

no solution at all or

infinitely-many solutions

There is no such system with two or three solutions

You will always have one none

or infinitely-many solutions

963 L = (0|3)963I2)H2K2 Solve the following system by graphing

x + 4y = 12ndash10x + 5y = 15

964 L = (ndash50|100)964I2)H2K2 Solve the following system by substitution

ndash3x + y = 2507x + 10y = 650

965 L = (35|ndash8)965I2)H2K2 Solve the following system using the addition method

6x + 11y = ndash678x ndash 3y = 52

966 98 and 41966I2)H2K2 The difference of two numbers is 57 The sum of these two numbers is 139 Which

numbers are we referring to

967 (12|1) and(1|0)

967I2)H2K1 Which are correct solutions to the equation 5x + 4y = 5

times times(12|1) (2| + 12) (04|05) (1|0)

ii

ii

ii

ii

202 10 Lineare Gleichungen und Gleichungssysteme mit zwei Variablen

106 Mathe fit und kompetent ndash Kompetenzcheck

968 Richtig sindm + b = 21 undm minus 2b

2m + b = 21 m + 2b = 21 m + b = 21 timesm = 2b timesb = 2m

968I2)H3K1 In einer Klasse mit 21 Kindern gibt es doppelt so viele

Maumldchen wie BubenDie Anzahl der Maumldchen wird mit m bezeichnet die Anzahl derBubenmit b Kreuze jeneGleichung(en) an die zur beschriebenenKlasse passen

969I2)H1K1 Schreibe den Text in Form eines linearen Gleichungssystems an

a) Bei einer Flugreise wiegt Deryas Koffer um 7 kg mehr als ihr Handgepaumlck Insgesamthaben die beiden Gepaumlckstuumlcke 23 kg

I k = h + 7

II k + h = 23b) Eine Zahl ist um 7 groumlszliger als die andere Subtrahiert man vom Doppelten dergroumlszligeren Zahl die kleinere erhaumllt man 20

I x = y + 7

II 2x minus y = 20

970I2)H1K3 Erfinde einen kurzen Text der sich durch eine lineare Gleichungmit zwei Variablen

darstellen laumlsst

971 (1) (minus05|3)(2) (5|0) (3) (1| minus 7)(4) (0|4)

971I2)H2K1 Verbinde die Gleichungssysteme mit der jeweils richtigen Loumlsung

(1) 2x + y = 2 (1| minus 7)minus8x minus 2y = minus2

(2) 4x + 6y = 20 (0|4)minusx + y = minus5

(3) 2x + y = minus5 (minus05|3)minus8x minus 2y = 6

(4) x + 2y = 8 (5|0)10x minus y = minus4

972 a) (6| minus 5)b) (04|1)

972I2)H2K1 Loumlse das Gleichungssystem und fuumlhre auch die Probe durch

a) I 3x + 4y = minus2 b) I 5x minus 4y = minus2II x minus y = 11 II minus2x + 6y = 52

973 L = (ndash2|1) 973I2)H2K2 Loumlse das Gleichungssystem (1) graphisch und (2) rechnerisch

I minus3x + 2y = 8II 2x + 4y = 0

ii

ii

ii

ii

106 Mathe fit und kompetent ndash Kompetenzcheck 203

974I2)H3K2 (1) Welches Gleichungssystem ist in der Grafik dargestellt Kreuze an

I y = 34xndash4

II y = 13x + 1

I y = 43x + 4

II y = minus 13xndash1

I y = xndash4II y = 1

3x + 1

I y = 43x minus 4

II y = minus 13x + 1

times

(2) Wie lautet die Loumlsung dieses Gleichungssystems (3|0)

975 Keine LoumlsungDie beidenGleichungenstellen paralleleGeraden dar dahergibt es keinZahlenpaar dasbeide Gleichungenerfuumlllt975I2)H4

K2 Wie viele Loumlsungen hat das angeschriebene GleichungssystemVersuche zu antworten ohne ein Loumlsungsverfahren anzuwendenBegruumlnde deine Antwort

I x + y = 1II 2x + 2y = 3

976 SieheZusammenfassungder Loumlsungsfaumllleauf Seite 191

976I2)H4K3 Erklaumlre Warum hat ein lineares Gleichungssystem mit zwei Variablen entweder

genau eine keine oder unendlich viele Loumlsungen977 3 und 4Gleichungssystem

977I2)H3K1 In einem Rechteck verhalten sich die Seiten wie 4 ∶ 7 Der Umfang ist 55 cm

Zwei der folgenden Gleichungssysteme beschreiben den Sachverhalt richtig Kreuze anwelche

times timesI b ∶ l = 4 ∶ 7II 4b + 7l = 55

I 4l = 7bII b + l = 55

I b ∶ l = 4 ∶ 7II 2b + 2l = 55

I 4l = 7bII 2(b + l) = 55

978 1 kg Mehlkostet 15 euro 1 kgZucker kostet 1 euro

978I2)H2K2 Tom kauft 2 kg Mehl und 1 kg Zucker und bezahlt dafuumlr 4 Euro Anna kauft 1 kg

Mehl und 3 kg Zucker und bezahlt dafuumlr 45 Euro Wie viel kostet 1 kg Mehl Wie vielkostet 1 kg Zucker

979 (1) Esbesuchten viermalso vieleErwachsene wieKinder dieAusstellung (2)Insgesamtbesuchten 680Personen dieAusstellung (3) Eshaben um 240mehr Kinder alsErwachsene dieAusstellungbesucht

979I2)H3K1 Im Folgenden steht jeweils k fuumlr die Anzahl der Kinder und e fuumlr die Anzahl

der Erwachsenen die eine Ausstellung besucht haben Schreibe in Worten was dieGleichungen uumlber den Ausstellungsbesuch von Erwachsenen und Kindern aussagen(1) Montag e = 4k (2) Dienstag k + e = 680 (3) Mittwoch e + 240 = k

980 800 kmh70 kmn

980I2)H2K2 Ein Flugzeug erreicht mit Ruumlckenwind eine Geschwindigkeit von 870 kmh bei

(gleichstarkem) Gegenwind kommt es nur auf 720 kmh Berechne die Eigengeschwin-digkeit des Flugzeugs und die Windgeschwindigkeit

981I2)H1K3 Schreibe ein lineares Gleichungssystem an das die Loumlsung (2|5) hat

ii

ii

ii

ii

103 Rechnerisches Loumlsen linearer Gleichungssysteme 193

103 Rechnerisches Loumlsen linearer Gleichungssysteme

Im letzten Abschnitt hast du viele Gleichungssysteme gra-fisch geloumlst Durch dieses Loumlsungsverfahren kann man sehrviel uumlber lineare Gleichungssysteme lernen z B warum esniemals genau 2 Loumlsungen haben kann Wie jedes grafischeVerfahren hat es aber den Nachteil dass man sehr von dereigenen Zeichengenauigkeit abhaumlngig ist Selbst wenn mansich noch so bemuumlht Loumlsungen wie (0345| 261) wird maneiner haumlndischen Zeichnung nur unter groszligem Aufwand ent-nehmen koumlnnen Aber selbst wenn die Loumlsung ganzzahligist koumlnnen Schwierigkeiten auftreten Uumlberlege am Beispieldes Zahlenpaares (1|100)Beim computerunterstuumltzten Arbeiten koumlnnen durch Verschieben des Bildschirmaus-schnittes und Zoomen diese Probleme bewaumlltigt werden aber in Sachen Genauigkeitstoumlszligt man auch da an Grenzen Ein klarer Fall also dass auch rechnerische Loumlsungs-moumlglichkeiten gefragt sind

Wir kommen ein letztes Mal auf die Abschlussreise der 4B und der 4C zuruumlck die amAnfang dieses Kapitels (siehe S 184) vorgestellt wurde Uumlber die Zimmereinteilungfuumlr die 24 Maumldchen weiszlig man dass sie insgesamt 7 Zimmer benoumltigen und dass dieseZimmer Dreibett- und Vierbettzimmer sind Daraus ergibt sich das GleichungssystemI 3x + 4y = 24II x + y = 7

Ein Zahlenpaar (x|y) das Loumlsung des Gleichungssystems ist muss beide Gleichungenerfuumlllen Das heiszligt der Zusammenhang zwischen den Variablen x und y der sich auseiner Gleichung ergibt muss auch fuumlr die andere Gleichung geltenIm Gleichungssystem oben ergibt sich aus Gleichung IIx + y = 7 bzw x = 7 ndash yDas muss auch fuumlr Gleichung I geltenDaher duumlrfen wir in Gleichung I fuumlr x den Term 7 ndash y einsetzen3 sdot (7 ndash y) + 4y = 24und erreichen damit dass wir y aus einer linearen Gleichung mit einer Variable bestim-men koumlnnen

21 ndash 3y + 4y = 24y = 3

Wegen x = 7 ndash y erhalten wir fuumlr x = 7 ndash 3 = 4und damit als Loumlsung des Gleichungssystems das Zahlenpaar (4|3)

Beide Gleichungen sind erfuumlllt wie die Probe zeigtI 3 sdot 4 + 4 sdot 3 = 12 + 12 = 24II 4 + 3 = 7

ii

ii

ii

ii

194 10 Lineare Gleichungen und Gleichungssysteme mit zwei Variablen

Die beschriebenen Uumlberlegungen begruumlnden das so genannte EinsetzungsverfahrenIm folgenden Musterbeispiel im gelben Kasten sind die einzelnen Durchfuumlhrungsschrittezusammengefasst

Einsetzungsverfahren (= Substitutionsverfahren)I 3x + 4y = 24II x + y = 71 Druumlcke in einer der beiden Gleichungen x durch y aus

(Du kannst auch umgekehrt y durch x ausdruumlcken Mach das was einfacher ist)Gleichung II x = 7 ndash y

2 Durch Einsetzen des Terms in die andere Gleichung erhaumlltst du eine Gleichungmit einer VariablenGleichung I 3 sdot (7 ndash y) + 4y = 24

3 Loumlse diese Gleichung21 ndash 3y + 4y = 24y = 3

4 Setze die Loumlsung in den Term ein und ermittle die zweite Variablex = 7 ndash 3 = 4rArr L = (4|3)

ProbeI 3 sdot 4 + 4 sdot 3 = 12 + 12 = 24II 4 + 3 = 7

Es gibt fuumlr lineare Gleichungssysteme noch weitere Loumlsungsverfahren zwei davonwerden in den folgenden beiden Musterbeispielen vorgestellt

Gleichsetzungsverfahren (= Komparationsmethode)I 3x + 4y = 24II x + y = 71 Druumlcke in beiden Gleichungen x durch y aus

(Ebenso koumlnntest du wahlweise auch y durch x ausdruumlcken)I 3x = ndash4y + 24

x = ndash 43y + 8

II x = 7 ndash y2 Durch Gleichsetzen der beiden Terme erhaumlltst du eine Gleichung mit einer Va-

riablenndash 4

3y + 8 = 7 ndash y

3 Loumlse diese Gleichungndash 1

3y = ndash1

y = 34 Setze die Loumlsung in einen der beiden Terme aus 1 ein und ermittle die zweite

Variablex = 7 ndash 3 = 4rArr L = (4|3)

Vergiss die Probe nicht

ii

ii

ii

ii

103 Rechnerisches Loumlsen linearer Gleichungssysteme 195

Additionsverfahren1 Multipliziere die Gleichungen mit geeigneten Faktoren so dass bei einer Variable

entgegengesetzt gleiche Koeffizienten entstehenI 3x + 4y = 24II x + y = 7 |sdot(ndash4)

2 Durch Addieren der beiden Gleichungen erhaumlltst du eine Gleichung mit einerVariableI 3x + 4y = 24II ndash4x ndash 4y = ndash28

ndashx = ndash43 Loumlse diese Gleichung

x = 44 Setze die Loumlsung in eine der beiden Gleichungen ein und berechne die zweite

Variable4 + y = 7y = 3rArr L = (4|3)

Vergiss die Probe nicht (siehe Seite 194)

930 a) L =(ndash1|2)b) L =(0|4)c) L =(2|5)d) L =(10|20)

930I2)H2K1 Loumlse das Gleichungssystem mit dem Einsetzungsverfahren

Fuumlhre auch die Probe durcha) I x + 2y = 3

II ndash2x + y = 4b) I ndashx + 4y = 16

II 2x + y = 4c) I x ndash y = ndash3

II ndash12x ndash 2y = ndash11

d) I 7x + y = 90II ndash12x + 5y = ndash20

931 a) L =(4|1)b) L =(4|2)c) L =(ndash23|10)d) L =(ndash35|0)

931I2)H2K1 Loumlse das Gleichungssystem mit dem Gleichsetzungsverfahren

Fuumlhre auch die Probe durcha) I x ndash y = 3

II x + 2y = 6b) I ndash

14x + y = 1

II x + y = 6c) I x + 2y = ndash3

II x ndash 3y = ndash53d) I x + 3y = ndash35

II ndash5x + 3y = 175

932a) L =(17|ndash103)b) L =(10|14)c) L =(8|0)d) L =(18|21)

932I2)H2K1 Loumlse das Gleichungssystem mit dem Additionsverfahren

Fuumlhre auch die Probe durcha) I 3x + 2y = ndash155

II 2x ndash 5y = 549b) I 7x ndash y = 56

II ndash8x + 3y = ndash38c) I 5x + 11y = 40

II 6x ndash 12y = 48d) I 10x ndash 3y = 117

II 20x + 4y = 444

933 a) L =(02|18)b) L =(16|3)c) L =(17|10)d) L =(ndash04|05)

933I2)H2K1 Loumlse das Gleichungssystem mit jenem Loumlsungsverfahren das am besten (fuumlr dich)

passt Vergiss die Probe nicht

a) I x + y = 2II x + 6y = 11

b) I 5x + 2y = 14II ndash5x ndash 3y = ndash17

c) I 6x + y = 202II 7x ndash 3y = ndash181

d) I x + 11y = 51II x ndash 10y = ndash54

ii

ii

ii

ii

196 10 Lineare Gleichungen und Gleichungssysteme mit zwei Variablen

934 (1)1 (1| minus 4)(2) (5|8)(3) (minus05| minus 3)(4) (minus25|0)

934I2)H2K1 Ordne den Gleichungssystemen die richtige Loumlsung zu

(1) 7x + y = 3 (minus05| minus 3)minusx + 5y = minus21

(2) x = yndash3 (5|8)xndash2y = minus11

(3) y = 4xndash1 (minus25|0)y = minus2xndash4

(4) minus4x + 7y = 10 (1| minus 4)2xndash3y = minus5

935 (2|5)935I2)H2

K1

Gleichungssystem Gegeben ist das folgende Gleichungssystem

I x + 2y = 12II 2x + 5y = 29

Loumlse dieses Gleichungssystem

936 c = 3 d = 4936I2)H2

K1

Zwei Gleichungen Loumlse das GleichungssystemI 3c ndash 4d = ndash 7II c = d ndash 1

937 a) L = b) L = (13|ndash55)c) L = (x|y)|y = 1

2x

ndash 74 xy isin R

d) L =

937I2)H2K2 Gib die Loumlsungsmenge des Gleichungssystems an

Achtung Nicht jedes der Gleichungssysteme ist eindeutig loumlsbar

a) I ndash3x ndash 10y = 0II 15x + 5y = 1

b) I 8x ndash 7y = 1425II ndash9x + 2y = ndash128

c) I 2x ndash 4y = 7II ndash6x + 12y = ndash21

d) I ndash06x + 12y = 08II 18x ndash 36y = ndash28

938I2)H1K3 Gib ein lineares Gleichungssystem an das

a) die Loumlsung (4|1) b) die Loumlsung (minus2|5) c) keine Loumlsung hat

939 Alle beruhendarauf dasssowohl derZusammenhangzwischen denbeiden Variablender sich ausGleichung I ergibtals auch derZusammenhangder sich ausGleichung II ergibterfuumlllt sein muss

939I2)H4K3 Erklaumlre was der Hintergrund der drei Verfahren ist

ii

ii

ii

ii

104 Textaufgaben zu linearen Gleichungssystemen 197

104 Textaufgaben zu linearen GleichungssystemenVerwende beim Loumlsen der in den folgenden Aufgaben auftretenden Gleichungssystemejenes Loumlsungsverfahren das dir am geeignetsten erscheint

940 a) x + y = 1585x + 65y = 95548 Schuumllerinnenund110 Erwachseneb) 104 Schuumllerin-nen und92 Erwachsene

940I2)H2K1 Der Eintritt zu einer Greifvogelschau kostet fuumlr Schuumllerinnen

500 euro fuumlr Erwachsene 650 euro Das Verwaltungsbuumlro der Greifvo-gelstation moumlchte wissen wie die Aufteilung der Zuschauer aufErwachsene und Schuumllerinnen war An der Kassa hat man abernur die Gesamtanzahl an verkauften Karten und die Einnahmenregistriert Berechne aus diesen Aufzeichnungen wie viele Er-wachsene bzw Schuumllerinnen die Flugshow besucht haben

a) Vormittagsvorstellung 158 Karten Einnahmen 955ndash eurob) Nachmittagsvorstellung 196 Karten Einnahmen 1118ndash euro

941 x + y = 27065x + 4y = 1485162 Karten fuumlrErwachsene und108 Schuumllerinnen-Karten

941I2)H2K1 Bei der Auffuumlhrung eines Schultheaters werden an der Abendkassa Karten zu

650 euro fuumlr Erwachsene und Karten zu 4 euro fuumlr Schuumllerinnen verkauft Insgesamt wurden270 Karten verkauft und 1485 euro eingenommen Wie viele Schuumllerinnenkarten und wieviele Karten fuumlr Erwachsene wurden verkauft

9423 Gleichungssystem

942I2)H3K1 Wie Aufgabe 941 fuumlr insgesamt 171 verkaufte Karten und 879 euro EinnahmenWelches

Gleichungssystem passt zum Text Kreuze an

times I e + s = 879II 650e + 4s = 171

I e + 4s = 171II 650e + s = 879

I e + s = 171II 650e+4s = 879

I 4s + s = 171II 650e + e = 879

943 (1) DerHinflug erfolgt mitRuumlckenwind derRuumlckflug mitGegenwind Jadenn bei allenLangstreckenfluuml-gen wirken sich dieLuftstroumlmungenauf die Flugzeit ausWien ndash New York910 h New York ndashWien 845(Abfragewwwauacom2552009) (2)Wien ndash Tokio821 kmh Tokio ndashWien 764 kmh(3) Eigengeschwin-digkeit desFlugzeuges7925 kmh Wind-geschwindigkeit285 kmh

943I2)H2K1 diams Waumlhrend des Langstreckenfluges Wien ndash To-

kio werden den Passagieren uumlber Bildschirme Rei-seinformationen geboten Zu Beginn der Reise wirddie Distanz zwischen Wien und Tokio mit 9164 kmangegeben die voraussichtliche Flugzeit mit 1110h Frau Schindler vergleicht mit ihren Fluginforma-tionen fuumlr den Ruumlckflug Dort wird die Flugzeit fuumlrTokio ndash Wien mit 1200 h angegeben obwohl sie wie-der mit demselben Flugzeugtyp fliegen wird(1) Warum unterscheiden sich die Flugzeiten zwischen Hinflug und Ruumlckflug so deut-lich Ist das auch bei anderen Langstreckenfluumlgen so Frage im Internet die Flugzeitenfuumlr den Transatlantikflug von einem europaumlischen Flughafen nach New York hin undzuruumlck ab(2) Berechne die durchschnittliche Fluggeschwindigkeit fuumlr die angegebenen FlugzeitenWien ndash Tokio bzw Tokio ndash Wien(3) Berechne die (durchschnittliche) Eigengeschwindigkeit des Flugzeuges und die(durchschnittliche) erwartete Windgeschwindigkeit die der Angabe der Flugzeit zu-grunde liegen

ii

ii

ii

ii

198 10 Lineare Gleichungen und Gleichungssysteme mit zwei Variablen

944(1) Hinflug764 kmhRuumlckflug 836 kmh(2) Eigengeschwin-digkeit desFlugzeuges800 kmh Windge-schwindigkeit36 kmh

944I2)H2K1 diams Die Flugzeit fuumlr den Flug Frankfurt ndash Chicago

wird im Internet von einer Fluglinie mit 908 h an-gegeben die Flugzeit fuumlr den Ruumlckflug mit dem-selben Flugzeugtyp mit 821 h Die Entfernungzwischen Frankfurt und Chicago betraumlgt 6978 km(1) Berechne die durchschnittlichen Fluggeschwin-digkeiten fuumlr die angegebenen Flugzeiten fuumlr Hin-und Ruumlckflug(2) Berechne die (durchschnittliche) Eigengeschwindigkeit des Flugzeuges und die(durchschnittliche) erwartete Windgeschwindigkeit die der Angabe der Flugzeit zu-grunde liegen

Kommen zwei Systeme (z B Fluumlssigkeiten) mit unterschiedlicher Temperatur zusam-men so gleichen sich ihre Temperaturen durch Waumlrmeaustausch an Waumlrme flieszligtdabei immer vom waumlrmeren zum kaumllteren System so lange bis beide Systeme diegleiche Temperatur habenMischt man einen Liter Wasser mit einer Temperatur von 10 mit einem Liter Was-ser mit einer Temperatur von 20 so entstehen 2 Liter Wasser mit der mittlerenTemperatur von 15

94566 Liter aus demWasserboiler und84 Liter aus demKaltwasserzufluss

945I2)H2K1 ⋆ In einem Niedrigenergiehaus steht ein solar-

beheizter Wasserboiler zur Verfuumlgung Nach einemsonnigen Tag wird eine Wassertemperatur von 64angezeigt Eine Badewanne soll mit 150 Litern Was-ser gefuumlllt werden die erwuumlnschte Temperatur ist37 Wie viele Liter muumlssen aus dem solarbeheiztenBoiler und wie viele Liter aus einem Kaltwasserzu-fluss (16 ) zuflieszligen Runde auf ganze Liter

946 12 Liter 946I2)H2K1 ⋆ An einem heiszligen Sommertag ist die Temperatur in einem 100-Liter-Aquarium

auf 27 angestiegen Wie viel Liter Wasser muss man entnehmen und durch 10 kaltes Wasser ersetzen damit wieder die fuumlr die Fische passende Temperatur von 25 erreicht wird(Tipp Wenn von den 100 Litern x Liter entnommen werden so ist das genau jeneWassermenge mit 10 die zur verbleibenden Wassermenge (y Liter) hinzukommt)

Zahlenraumltsel

947a) x + y = 131 undx minus v = 43b) x = y + 5 und2v + x = 83

947I2)H2K1 Uumlbersetze den Text jeweils in zwei lineare Gleichungen und loumlse das Gleichungs-

system um die beiden gesuchten Zahlen zu ermitteln Fuumlhre auch die Probe durcha) Die Summe zweier Zahlen ist 131 Ihre Differenz betraumlgt 43b) Eine Zahl ist um 5 groumlszliger als die andere Addiert man zum Doppelten der kleinerenZahl die groumlszligere Zahl erhaumllt man 83

ii

ii

ii

ii

104 Textaufgaben zu linearen Gleichungssystemen 199

948 a) 150 und 50b) 8 und 28

948I2)H2K1 Wie Aufgabe 947

a) Eine Zahl ist dreimal so groszlig wie eine zweite Zahl Die Differenz der beiden Zahlenbetraumlgt 100b) Die Differenz zweier Zahlen ist 20 Addiert man zum Dreifachen der kleineren Zahldas Doppelte der groumlszligeren Zahl erhaumllt man 80

949 13 und 9949I2)H2K1 ⋆ Die Differenz zweier Zahlen betraumlgt 4 Verringert man die groumlszligere der beiden

Zahlen um 1 und vergroumlszligert die kleinere um 2 so wird das Produkt um 15 groumlszliger Wielauten die beiden Zahlen

950 27 und 42950I2)H2K1 ⋆ Die Summe zweier Zahlen ist 69 Vergroumlszligert man eine Zahl um 3 und verringert

die andere um 5 so wird das Produkt um 24 kleiner Berechne die beiden Zahlen

Aufgaben aus der Geometrie

951 a) a = 23 cmb = 13 cmb) a =24 cmb = 12 cm

ef

a

b

951I2)H2K1 Die laumlngere Seite eines Parallelogramms ist

a) um 10 cm laumlnger als die kuumlrzere Seiteb) doppelt so lang wie die kuumlrzere SeiteDer Umfang des Parallelogramms ist 72 cmBerechne die Seitenlaumlngen des Parallelogramms

952 I α + 54 = γ II 2α + γ = 180α = β = 42deg γ = 96degb

A c

a

C

B

952I2)H2K1 In einem gleichschenkligen Dreieck ist ein Basiswinkel (α = β

vergleiche mit der Skizze) um 54deg kleiner als der Winkel γ Ermittle dieGroumlszlige der Winkel des gleichschenkligen Dreiecks Fuumlhre auch die Probedurch

953 Basis 32 cmSchenkel 21 cm

953I2)H2K1 Die Basis eines gleichschenkligen Dreiecks ist um 11 cm laumlnger als die Schenkel-

laumlnge Der Umfang des Dreiecks ist 74 dm Wie lang sind Basis und Schenkel diesesgleichschenkligen Dreiecks

954 Basis 18 cmSchenkel 21 cm

954I2)H2K1 Der Umfang eines gleichschenkligen Dreiecks betraumlgt 60 cm Die Basis ist um

3 cm kuumlrzer als eine Schenkellaumlnge Berechne die Laumlnge der Basis und der Schenkel

955 b = 21 cml = 35 cm

955I2)H2K1 In einem Rechteck verhalten sich die Seiten wie 35 Der Umfang des Rechtecks

ist 112 cm Wie breit und wie lang ist das Rechteck

956 Erfinde eine aumlhnliche Aufgabenstellung wie die in 955Deine Nachbarindein Nachbar soll sie loumlsen

957 (1) b = 8 cml = 18 cm (2) einQuadrat mits = 12 cm

957I2)H2K1 ⋆ Die Seiten eines Rechtecks verhalten sich wie 49 Verlaumlngert man die kuumlrzere

Seite um 4 cm und verkuumlrzt die laumlngere Seite um 6 cm so bleibt der Flaumlcheninhaltunveraumlndert(1) Wie lang und wie breit ist das urspruumlngliche Rechteck(2) Wie lang sind die Seiten des veraumlnderten RechtecksWelche besondere Form liegt vor

ii

ii

ii

ii

200 10 Lineare Gleichungen und Gleichungssysteme mit zwei Variablen

958 a) y = ndashx +3

b) y = 135x + 4

5

958I2)H2K1 Wie lautet die Gleichung jener Geraden g die durch die beiden gegebenen Punkte

geht

A(ndash2|5) B(3|1)Da beide Punkte auf der Geraden g liegenerfuumlllen sie die Gleichung y = kx + dWir setzen daher die Koordinaten der Punkte fuumlr x und y ein und erhalten ein linearesGleichungssystem mit den Variablen k und dA liegt auf g rArr I 5 = ndash2k + d | sdot (ndash1)B liegt auf g rArr II 1 = 3k + d rceil+

(ndash1) sdot I ndash5 = 2k ndash d rfloorndash4 = 5kk = minus 4

5minus 4

5eingesetzt in Gleichung I ergibt

5 = ndash2 sdot 1114100minus 451114103 +d rArrd = 5 ndash

85= 17

5Die Gleichung der Geraden g die durch die beiden Punkte A und B verlaumluft lautetdaher

g y = minus 45k +

175

a) A(2|1) B(ndash1|4) b) R(ndash3|ndash7) S(2|6)

959 a) y = minus 25x + 2

b) y = minus 74x + 5

c) y = 109x + 1

9

d) y = 56x ndash 5

959 Stelle die Gleichung jener Geraden auf die durch die gegebenen beiden Punktegehta) A(ndash20|10) B(5|0) b) C(0|5) D(4|ndash2) c) E(8|9) F(ndash1|ndash1) d) G(6|0) H(0|ndash5)

105 Ausblick und Exercises1051 Ausblick

960 (1)a = 104 cmha = 78 cm (2) Eshandelt sich nichtum ein linearesGleichungssystemEinsetzungsverfah-ren undGleichsetzungsver-fahren koumlnnen zurAnwendungkommenAdditionsverfahrenund grafischesLoumlsungsverfahrennicht

960I2)H2K1 ⋆ In einemDreieck verhalten sich eine Seite und ihre Houmlhe wie 43 Der Flaumlcheninhalt

des Dreiecks betraumlgt 4056 cm2(1) Berechne die Seitenlaumlnge und die Houmlhe(2) Inwiefern unterscheidet sich das Gleichungssystem in (1) von den anderen bisjetzt behandelten Welche Loumlsungsverfahren koumlnnen zur Anwendung kommen welchenichtWie Aufgabe 960 zeigt gibt es auch andere als nur lineare Gleichungssysteme Mit demEinsetzungsverfahren kann man auch diese loumlsen Das Additionsverfahren ist dafuumlrnicht geeignetBei komplexen Sachverhalten mit hoher Anwendungsrelevanz kommt man in der Regelnicht mit einem Gleichungssystem das nur zwei Gleichungen enthaumllt aus Beispiels-weise fuumlhren Messreihen in der Chemie oder Physik haumlufig auf Gleichungssysteme dieaus mehreren Gleichungen mit mehreren Variablen bestehenDie Loumlsungsverfahren wie du sie kennengelernt hast sind auch fuumlr solche Gleichungs-systeme erweiterbar In der Praxis wird der oft hohe Rechenaufwand mit geeigneterSoftware am Computer (siehe Kap 145 S 265) bewaumlltigt

ii

ii

ii

ii

105 Ausblick und Exercises 201

1052 Exercises

vocabularysystem of linear equations lineares Gleichungssystemsolution Loumlsunggraphing zeichnensubstitution das Ersetzen Einsetzenaddition method hier Additionsverfahrento solve loumlseninfinitely-many unendlich viele

961 (ndash5|1) is asolution of thegiven equation

961I2)H3K2 Determine whether either of the points (1|ndash5) and (ndash5|1) is a solution to the given

system of equationsndash6x + y = 315x + 7y = ndash18

962I2)H3K1 Fill in

infinitely-many (2x) ndash two ndash three (2x) ndash one (2x) ndash no solution ndash none

For systems of linear equations (two variables two equations) there are threepossible types of solutions

The system may have one solution (a specific point (x|y))

no solution at all or

infinitely-many solutions

There is no such system with two or three solutions

You will always have one none

or infinitely-many solutions

963 L = (0|3)963I2)H2K2 Solve the following system by graphing

x + 4y = 12ndash10x + 5y = 15

964 L = (ndash50|100)964I2)H2K2 Solve the following system by substitution

ndash3x + y = 2507x + 10y = 650

965 L = (35|ndash8)965I2)H2K2 Solve the following system using the addition method

6x + 11y = ndash678x ndash 3y = 52

966 98 and 41966I2)H2K2 The difference of two numbers is 57 The sum of these two numbers is 139 Which

numbers are we referring to

967 (12|1) and(1|0)

967I2)H2K1 Which are correct solutions to the equation 5x + 4y = 5

times times(12|1) (2| + 12) (04|05) (1|0)

ii

ii

ii

ii

202 10 Lineare Gleichungen und Gleichungssysteme mit zwei Variablen

106 Mathe fit und kompetent ndash Kompetenzcheck

968 Richtig sindm + b = 21 undm minus 2b

2m + b = 21 m + 2b = 21 m + b = 21 timesm = 2b timesb = 2m

968I2)H3K1 In einer Klasse mit 21 Kindern gibt es doppelt so viele

Maumldchen wie BubenDie Anzahl der Maumldchen wird mit m bezeichnet die Anzahl derBubenmit b Kreuze jeneGleichung(en) an die zur beschriebenenKlasse passen

969I2)H1K1 Schreibe den Text in Form eines linearen Gleichungssystems an

a) Bei einer Flugreise wiegt Deryas Koffer um 7 kg mehr als ihr Handgepaumlck Insgesamthaben die beiden Gepaumlckstuumlcke 23 kg

I k = h + 7

II k + h = 23b) Eine Zahl ist um 7 groumlszliger als die andere Subtrahiert man vom Doppelten dergroumlszligeren Zahl die kleinere erhaumllt man 20

I x = y + 7

II 2x minus y = 20

970I2)H1K3 Erfinde einen kurzen Text der sich durch eine lineare Gleichungmit zwei Variablen

darstellen laumlsst

971 (1) (minus05|3)(2) (5|0) (3) (1| minus 7)(4) (0|4)

971I2)H2K1 Verbinde die Gleichungssysteme mit der jeweils richtigen Loumlsung

(1) 2x + y = 2 (1| minus 7)minus8x minus 2y = minus2

(2) 4x + 6y = 20 (0|4)minusx + y = minus5

(3) 2x + y = minus5 (minus05|3)minus8x minus 2y = 6

(4) x + 2y = 8 (5|0)10x minus y = minus4

972 a) (6| minus 5)b) (04|1)

972I2)H2K1 Loumlse das Gleichungssystem und fuumlhre auch die Probe durch

a) I 3x + 4y = minus2 b) I 5x minus 4y = minus2II x minus y = 11 II minus2x + 6y = 52

973 L = (ndash2|1) 973I2)H2K2 Loumlse das Gleichungssystem (1) graphisch und (2) rechnerisch

I minus3x + 2y = 8II 2x + 4y = 0

ii

ii

ii

ii

106 Mathe fit und kompetent ndash Kompetenzcheck 203

974I2)H3K2 (1) Welches Gleichungssystem ist in der Grafik dargestellt Kreuze an

I y = 34xndash4

II y = 13x + 1

I y = 43x + 4

II y = minus 13xndash1

I y = xndash4II y = 1

3x + 1

I y = 43x minus 4

II y = minus 13x + 1

times

(2) Wie lautet die Loumlsung dieses Gleichungssystems (3|0)

975 Keine LoumlsungDie beidenGleichungenstellen paralleleGeraden dar dahergibt es keinZahlenpaar dasbeide Gleichungenerfuumlllt975I2)H4

K2 Wie viele Loumlsungen hat das angeschriebene GleichungssystemVersuche zu antworten ohne ein Loumlsungsverfahren anzuwendenBegruumlnde deine Antwort

I x + y = 1II 2x + 2y = 3

976 SieheZusammenfassungder Loumlsungsfaumllleauf Seite 191

976I2)H4K3 Erklaumlre Warum hat ein lineares Gleichungssystem mit zwei Variablen entweder

genau eine keine oder unendlich viele Loumlsungen977 3 und 4Gleichungssystem

977I2)H3K1 In einem Rechteck verhalten sich die Seiten wie 4 ∶ 7 Der Umfang ist 55 cm

Zwei der folgenden Gleichungssysteme beschreiben den Sachverhalt richtig Kreuze anwelche

times timesI b ∶ l = 4 ∶ 7II 4b + 7l = 55

I 4l = 7bII b + l = 55

I b ∶ l = 4 ∶ 7II 2b + 2l = 55

I 4l = 7bII 2(b + l) = 55

978 1 kg Mehlkostet 15 euro 1 kgZucker kostet 1 euro

978I2)H2K2 Tom kauft 2 kg Mehl und 1 kg Zucker und bezahlt dafuumlr 4 Euro Anna kauft 1 kg

Mehl und 3 kg Zucker und bezahlt dafuumlr 45 Euro Wie viel kostet 1 kg Mehl Wie vielkostet 1 kg Zucker

979 (1) Esbesuchten viermalso vieleErwachsene wieKinder dieAusstellung (2)Insgesamtbesuchten 680Personen dieAusstellung (3) Eshaben um 240mehr Kinder alsErwachsene dieAusstellungbesucht

979I2)H3K1 Im Folgenden steht jeweils k fuumlr die Anzahl der Kinder und e fuumlr die Anzahl

der Erwachsenen die eine Ausstellung besucht haben Schreibe in Worten was dieGleichungen uumlber den Ausstellungsbesuch von Erwachsenen und Kindern aussagen(1) Montag e = 4k (2) Dienstag k + e = 680 (3) Mittwoch e + 240 = k

980 800 kmh70 kmn

980I2)H2K2 Ein Flugzeug erreicht mit Ruumlckenwind eine Geschwindigkeit von 870 kmh bei

(gleichstarkem) Gegenwind kommt es nur auf 720 kmh Berechne die Eigengeschwin-digkeit des Flugzeugs und die Windgeschwindigkeit

981I2)H1K3 Schreibe ein lineares Gleichungssystem an das die Loumlsung (2|5) hat

ii

ii

ii

ii

194 10 Lineare Gleichungen und Gleichungssysteme mit zwei Variablen

Die beschriebenen Uumlberlegungen begruumlnden das so genannte EinsetzungsverfahrenIm folgenden Musterbeispiel im gelben Kasten sind die einzelnen Durchfuumlhrungsschrittezusammengefasst

Einsetzungsverfahren (= Substitutionsverfahren)I 3x + 4y = 24II x + y = 71 Druumlcke in einer der beiden Gleichungen x durch y aus

(Du kannst auch umgekehrt y durch x ausdruumlcken Mach das was einfacher ist)Gleichung II x = 7 ndash y

2 Durch Einsetzen des Terms in die andere Gleichung erhaumlltst du eine Gleichungmit einer VariablenGleichung I 3 sdot (7 ndash y) + 4y = 24

3 Loumlse diese Gleichung21 ndash 3y + 4y = 24y = 3

4 Setze die Loumlsung in den Term ein und ermittle die zweite Variablex = 7 ndash 3 = 4rArr L = (4|3)

ProbeI 3 sdot 4 + 4 sdot 3 = 12 + 12 = 24II 4 + 3 = 7

Es gibt fuumlr lineare Gleichungssysteme noch weitere Loumlsungsverfahren zwei davonwerden in den folgenden beiden Musterbeispielen vorgestellt

Gleichsetzungsverfahren (= Komparationsmethode)I 3x + 4y = 24II x + y = 71 Druumlcke in beiden Gleichungen x durch y aus

(Ebenso koumlnntest du wahlweise auch y durch x ausdruumlcken)I 3x = ndash4y + 24

x = ndash 43y + 8

II x = 7 ndash y2 Durch Gleichsetzen der beiden Terme erhaumlltst du eine Gleichung mit einer Va-

riablenndash 4

3y + 8 = 7 ndash y

3 Loumlse diese Gleichungndash 1

3y = ndash1

y = 34 Setze die Loumlsung in einen der beiden Terme aus 1 ein und ermittle die zweite

Variablex = 7 ndash 3 = 4rArr L = (4|3)

Vergiss die Probe nicht

ii

ii

ii

ii

103 Rechnerisches Loumlsen linearer Gleichungssysteme 195

Additionsverfahren1 Multipliziere die Gleichungen mit geeigneten Faktoren so dass bei einer Variable

entgegengesetzt gleiche Koeffizienten entstehenI 3x + 4y = 24II x + y = 7 |sdot(ndash4)

2 Durch Addieren der beiden Gleichungen erhaumlltst du eine Gleichung mit einerVariableI 3x + 4y = 24II ndash4x ndash 4y = ndash28

ndashx = ndash43 Loumlse diese Gleichung

x = 44 Setze die Loumlsung in eine der beiden Gleichungen ein und berechne die zweite

Variable4 + y = 7y = 3rArr L = (4|3)

Vergiss die Probe nicht (siehe Seite 194)

930 a) L =(ndash1|2)b) L =(0|4)c) L =(2|5)d) L =(10|20)

930I2)H2K1 Loumlse das Gleichungssystem mit dem Einsetzungsverfahren

Fuumlhre auch die Probe durcha) I x + 2y = 3

II ndash2x + y = 4b) I ndashx + 4y = 16

II 2x + y = 4c) I x ndash y = ndash3

II ndash12x ndash 2y = ndash11

d) I 7x + y = 90II ndash12x + 5y = ndash20

931 a) L =(4|1)b) L =(4|2)c) L =(ndash23|10)d) L =(ndash35|0)

931I2)H2K1 Loumlse das Gleichungssystem mit dem Gleichsetzungsverfahren

Fuumlhre auch die Probe durcha) I x ndash y = 3

II x + 2y = 6b) I ndash

14x + y = 1

II x + y = 6c) I x + 2y = ndash3

II x ndash 3y = ndash53d) I x + 3y = ndash35

II ndash5x + 3y = 175

932a) L =(17|ndash103)b) L =(10|14)c) L =(8|0)d) L =(18|21)

932I2)H2K1 Loumlse das Gleichungssystem mit dem Additionsverfahren

Fuumlhre auch die Probe durcha) I 3x + 2y = ndash155

II 2x ndash 5y = 549b) I 7x ndash y = 56

II ndash8x + 3y = ndash38c) I 5x + 11y = 40

II 6x ndash 12y = 48d) I 10x ndash 3y = 117

II 20x + 4y = 444

933 a) L =(02|18)b) L =(16|3)c) L =(17|10)d) L =(ndash04|05)

933I2)H2K1 Loumlse das Gleichungssystem mit jenem Loumlsungsverfahren das am besten (fuumlr dich)

passt Vergiss die Probe nicht

a) I x + y = 2II x + 6y = 11

b) I 5x + 2y = 14II ndash5x ndash 3y = ndash17

c) I 6x + y = 202II 7x ndash 3y = ndash181

d) I x + 11y = 51II x ndash 10y = ndash54

ii

ii

ii

ii

196 10 Lineare Gleichungen und Gleichungssysteme mit zwei Variablen

934 (1)1 (1| minus 4)(2) (5|8)(3) (minus05| minus 3)(4) (minus25|0)

934I2)H2K1 Ordne den Gleichungssystemen die richtige Loumlsung zu

(1) 7x + y = 3 (minus05| minus 3)minusx + 5y = minus21

(2) x = yndash3 (5|8)xndash2y = minus11

(3) y = 4xndash1 (minus25|0)y = minus2xndash4

(4) minus4x + 7y = 10 (1| minus 4)2xndash3y = minus5

935 (2|5)935I2)H2

K1

Gleichungssystem Gegeben ist das folgende Gleichungssystem

I x + 2y = 12II 2x + 5y = 29

Loumlse dieses Gleichungssystem

936 c = 3 d = 4936I2)H2

K1

Zwei Gleichungen Loumlse das GleichungssystemI 3c ndash 4d = ndash 7II c = d ndash 1

937 a) L = b) L = (13|ndash55)c) L = (x|y)|y = 1

2x

ndash 74 xy isin R

d) L =

937I2)H2K2 Gib die Loumlsungsmenge des Gleichungssystems an

Achtung Nicht jedes der Gleichungssysteme ist eindeutig loumlsbar

a) I ndash3x ndash 10y = 0II 15x + 5y = 1

b) I 8x ndash 7y = 1425II ndash9x + 2y = ndash128

c) I 2x ndash 4y = 7II ndash6x + 12y = ndash21

d) I ndash06x + 12y = 08II 18x ndash 36y = ndash28

938I2)H1K3 Gib ein lineares Gleichungssystem an das

a) die Loumlsung (4|1) b) die Loumlsung (minus2|5) c) keine Loumlsung hat

939 Alle beruhendarauf dasssowohl derZusammenhangzwischen denbeiden Variablender sich ausGleichung I ergibtals auch derZusammenhangder sich ausGleichung II ergibterfuumlllt sein muss

939I2)H4K3 Erklaumlre was der Hintergrund der drei Verfahren ist

ii

ii

ii

ii

104 Textaufgaben zu linearen Gleichungssystemen 197

104 Textaufgaben zu linearen GleichungssystemenVerwende beim Loumlsen der in den folgenden Aufgaben auftretenden Gleichungssystemejenes Loumlsungsverfahren das dir am geeignetsten erscheint

940 a) x + y = 1585x + 65y = 95548 Schuumllerinnenund110 Erwachseneb) 104 Schuumllerin-nen und92 Erwachsene

940I2)H2K1 Der Eintritt zu einer Greifvogelschau kostet fuumlr Schuumllerinnen

500 euro fuumlr Erwachsene 650 euro Das Verwaltungsbuumlro der Greifvo-gelstation moumlchte wissen wie die Aufteilung der Zuschauer aufErwachsene und Schuumllerinnen war An der Kassa hat man abernur die Gesamtanzahl an verkauften Karten und die Einnahmenregistriert Berechne aus diesen Aufzeichnungen wie viele Er-wachsene bzw Schuumllerinnen die Flugshow besucht haben

a) Vormittagsvorstellung 158 Karten Einnahmen 955ndash eurob) Nachmittagsvorstellung 196 Karten Einnahmen 1118ndash euro

941 x + y = 27065x + 4y = 1485162 Karten fuumlrErwachsene und108 Schuumllerinnen-Karten

941I2)H2K1 Bei der Auffuumlhrung eines Schultheaters werden an der Abendkassa Karten zu

650 euro fuumlr Erwachsene und Karten zu 4 euro fuumlr Schuumllerinnen verkauft Insgesamt wurden270 Karten verkauft und 1485 euro eingenommen Wie viele Schuumllerinnenkarten und wieviele Karten fuumlr Erwachsene wurden verkauft

9423 Gleichungssystem

942I2)H3K1 Wie Aufgabe 941 fuumlr insgesamt 171 verkaufte Karten und 879 euro EinnahmenWelches

Gleichungssystem passt zum Text Kreuze an

times I e + s = 879II 650e + 4s = 171

I e + 4s = 171II 650e + s = 879

I e + s = 171II 650e+4s = 879

I 4s + s = 171II 650e + e = 879

943 (1) DerHinflug erfolgt mitRuumlckenwind derRuumlckflug mitGegenwind Jadenn bei allenLangstreckenfluuml-gen wirken sich dieLuftstroumlmungenauf die Flugzeit ausWien ndash New York910 h New York ndashWien 845(Abfragewwwauacom2552009) (2)Wien ndash Tokio821 kmh Tokio ndashWien 764 kmh(3) Eigengeschwin-digkeit desFlugzeuges7925 kmh Wind-geschwindigkeit285 kmh

943I2)H2K1 diams Waumlhrend des Langstreckenfluges Wien ndash To-

kio werden den Passagieren uumlber Bildschirme Rei-seinformationen geboten Zu Beginn der Reise wirddie Distanz zwischen Wien und Tokio mit 9164 kmangegeben die voraussichtliche Flugzeit mit 1110h Frau Schindler vergleicht mit ihren Fluginforma-tionen fuumlr den Ruumlckflug Dort wird die Flugzeit fuumlrTokio ndash Wien mit 1200 h angegeben obwohl sie wie-der mit demselben Flugzeugtyp fliegen wird(1) Warum unterscheiden sich die Flugzeiten zwischen Hinflug und Ruumlckflug so deut-lich Ist das auch bei anderen Langstreckenfluumlgen so Frage im Internet die Flugzeitenfuumlr den Transatlantikflug von einem europaumlischen Flughafen nach New York hin undzuruumlck ab(2) Berechne die durchschnittliche Fluggeschwindigkeit fuumlr die angegebenen FlugzeitenWien ndash Tokio bzw Tokio ndash Wien(3) Berechne die (durchschnittliche) Eigengeschwindigkeit des Flugzeuges und die(durchschnittliche) erwartete Windgeschwindigkeit die der Angabe der Flugzeit zu-grunde liegen

ii

ii

ii

ii

198 10 Lineare Gleichungen und Gleichungssysteme mit zwei Variablen

944(1) Hinflug764 kmhRuumlckflug 836 kmh(2) Eigengeschwin-digkeit desFlugzeuges800 kmh Windge-schwindigkeit36 kmh

944I2)H2K1 diams Die Flugzeit fuumlr den Flug Frankfurt ndash Chicago

wird im Internet von einer Fluglinie mit 908 h an-gegeben die Flugzeit fuumlr den Ruumlckflug mit dem-selben Flugzeugtyp mit 821 h Die Entfernungzwischen Frankfurt und Chicago betraumlgt 6978 km(1) Berechne die durchschnittlichen Fluggeschwin-digkeiten fuumlr die angegebenen Flugzeiten fuumlr Hin-und Ruumlckflug(2) Berechne die (durchschnittliche) Eigengeschwindigkeit des Flugzeuges und die(durchschnittliche) erwartete Windgeschwindigkeit die der Angabe der Flugzeit zu-grunde liegen

Kommen zwei Systeme (z B Fluumlssigkeiten) mit unterschiedlicher Temperatur zusam-men so gleichen sich ihre Temperaturen durch Waumlrmeaustausch an Waumlrme flieszligtdabei immer vom waumlrmeren zum kaumllteren System so lange bis beide Systeme diegleiche Temperatur habenMischt man einen Liter Wasser mit einer Temperatur von 10 mit einem Liter Was-ser mit einer Temperatur von 20 so entstehen 2 Liter Wasser mit der mittlerenTemperatur von 15

94566 Liter aus demWasserboiler und84 Liter aus demKaltwasserzufluss

945I2)H2K1 ⋆ In einem Niedrigenergiehaus steht ein solar-

beheizter Wasserboiler zur Verfuumlgung Nach einemsonnigen Tag wird eine Wassertemperatur von 64angezeigt Eine Badewanne soll mit 150 Litern Was-ser gefuumlllt werden die erwuumlnschte Temperatur ist37 Wie viele Liter muumlssen aus dem solarbeheiztenBoiler und wie viele Liter aus einem Kaltwasserzu-fluss (16 ) zuflieszligen Runde auf ganze Liter

946 12 Liter 946I2)H2K1 ⋆ An einem heiszligen Sommertag ist die Temperatur in einem 100-Liter-Aquarium

auf 27 angestiegen Wie viel Liter Wasser muss man entnehmen und durch 10 kaltes Wasser ersetzen damit wieder die fuumlr die Fische passende Temperatur von 25 erreicht wird(Tipp Wenn von den 100 Litern x Liter entnommen werden so ist das genau jeneWassermenge mit 10 die zur verbleibenden Wassermenge (y Liter) hinzukommt)

Zahlenraumltsel

947a) x + y = 131 undx minus v = 43b) x = y + 5 und2v + x = 83

947I2)H2K1 Uumlbersetze den Text jeweils in zwei lineare Gleichungen und loumlse das Gleichungs-

system um die beiden gesuchten Zahlen zu ermitteln Fuumlhre auch die Probe durcha) Die Summe zweier Zahlen ist 131 Ihre Differenz betraumlgt 43b) Eine Zahl ist um 5 groumlszliger als die andere Addiert man zum Doppelten der kleinerenZahl die groumlszligere Zahl erhaumllt man 83

ii

ii

ii

ii

104 Textaufgaben zu linearen Gleichungssystemen 199

948 a) 150 und 50b) 8 und 28

948I2)H2K1 Wie Aufgabe 947

a) Eine Zahl ist dreimal so groszlig wie eine zweite Zahl Die Differenz der beiden Zahlenbetraumlgt 100b) Die Differenz zweier Zahlen ist 20 Addiert man zum Dreifachen der kleineren Zahldas Doppelte der groumlszligeren Zahl erhaumllt man 80

949 13 und 9949I2)H2K1 ⋆ Die Differenz zweier Zahlen betraumlgt 4 Verringert man die groumlszligere der beiden

Zahlen um 1 und vergroumlszligert die kleinere um 2 so wird das Produkt um 15 groumlszliger Wielauten die beiden Zahlen

950 27 und 42950I2)H2K1 ⋆ Die Summe zweier Zahlen ist 69 Vergroumlszligert man eine Zahl um 3 und verringert

die andere um 5 so wird das Produkt um 24 kleiner Berechne die beiden Zahlen

Aufgaben aus der Geometrie

951 a) a = 23 cmb = 13 cmb) a =24 cmb = 12 cm

ef

a

b

951I2)H2K1 Die laumlngere Seite eines Parallelogramms ist

a) um 10 cm laumlnger als die kuumlrzere Seiteb) doppelt so lang wie die kuumlrzere SeiteDer Umfang des Parallelogramms ist 72 cmBerechne die Seitenlaumlngen des Parallelogramms

952 I α + 54 = γ II 2α + γ = 180α = β = 42deg γ = 96degb

A c

a

C

B

952I2)H2K1 In einem gleichschenkligen Dreieck ist ein Basiswinkel (α = β

vergleiche mit der Skizze) um 54deg kleiner als der Winkel γ Ermittle dieGroumlszlige der Winkel des gleichschenkligen Dreiecks Fuumlhre auch die Probedurch

953 Basis 32 cmSchenkel 21 cm

953I2)H2K1 Die Basis eines gleichschenkligen Dreiecks ist um 11 cm laumlnger als die Schenkel-

laumlnge Der Umfang des Dreiecks ist 74 dm Wie lang sind Basis und Schenkel diesesgleichschenkligen Dreiecks

954 Basis 18 cmSchenkel 21 cm

954I2)H2K1 Der Umfang eines gleichschenkligen Dreiecks betraumlgt 60 cm Die Basis ist um

3 cm kuumlrzer als eine Schenkellaumlnge Berechne die Laumlnge der Basis und der Schenkel

955 b = 21 cml = 35 cm

955I2)H2K1 In einem Rechteck verhalten sich die Seiten wie 35 Der Umfang des Rechtecks

ist 112 cm Wie breit und wie lang ist das Rechteck

956 Erfinde eine aumlhnliche Aufgabenstellung wie die in 955Deine Nachbarindein Nachbar soll sie loumlsen

957 (1) b = 8 cml = 18 cm (2) einQuadrat mits = 12 cm

957I2)H2K1 ⋆ Die Seiten eines Rechtecks verhalten sich wie 49 Verlaumlngert man die kuumlrzere

Seite um 4 cm und verkuumlrzt die laumlngere Seite um 6 cm so bleibt der Flaumlcheninhaltunveraumlndert(1) Wie lang und wie breit ist das urspruumlngliche Rechteck(2) Wie lang sind die Seiten des veraumlnderten RechtecksWelche besondere Form liegt vor

ii

ii

ii

ii

200 10 Lineare Gleichungen und Gleichungssysteme mit zwei Variablen

958 a) y = ndashx +3

b) y = 135x + 4

5

958I2)H2K1 Wie lautet die Gleichung jener Geraden g die durch die beiden gegebenen Punkte

geht

A(ndash2|5) B(3|1)Da beide Punkte auf der Geraden g liegenerfuumlllen sie die Gleichung y = kx + dWir setzen daher die Koordinaten der Punkte fuumlr x und y ein und erhalten ein linearesGleichungssystem mit den Variablen k und dA liegt auf g rArr I 5 = ndash2k + d | sdot (ndash1)B liegt auf g rArr II 1 = 3k + d rceil+

(ndash1) sdot I ndash5 = 2k ndash d rfloorndash4 = 5kk = minus 4

5minus 4

5eingesetzt in Gleichung I ergibt

5 = ndash2 sdot 1114100minus 451114103 +d rArrd = 5 ndash

85= 17

5Die Gleichung der Geraden g die durch die beiden Punkte A und B verlaumluft lautetdaher

g y = minus 45k +

175

a) A(2|1) B(ndash1|4) b) R(ndash3|ndash7) S(2|6)

959 a) y = minus 25x + 2

b) y = minus 74x + 5

c) y = 109x + 1

9

d) y = 56x ndash 5

959 Stelle die Gleichung jener Geraden auf die durch die gegebenen beiden Punktegehta) A(ndash20|10) B(5|0) b) C(0|5) D(4|ndash2) c) E(8|9) F(ndash1|ndash1) d) G(6|0) H(0|ndash5)

105 Ausblick und Exercises1051 Ausblick

960 (1)a = 104 cmha = 78 cm (2) Eshandelt sich nichtum ein linearesGleichungssystemEinsetzungsverfah-ren undGleichsetzungsver-fahren koumlnnen zurAnwendungkommenAdditionsverfahrenund grafischesLoumlsungsverfahrennicht

960I2)H2K1 ⋆ In einemDreieck verhalten sich eine Seite und ihre Houmlhe wie 43 Der Flaumlcheninhalt

des Dreiecks betraumlgt 4056 cm2(1) Berechne die Seitenlaumlnge und die Houmlhe(2) Inwiefern unterscheidet sich das Gleichungssystem in (1) von den anderen bisjetzt behandelten Welche Loumlsungsverfahren koumlnnen zur Anwendung kommen welchenichtWie Aufgabe 960 zeigt gibt es auch andere als nur lineare Gleichungssysteme Mit demEinsetzungsverfahren kann man auch diese loumlsen Das Additionsverfahren ist dafuumlrnicht geeignetBei komplexen Sachverhalten mit hoher Anwendungsrelevanz kommt man in der Regelnicht mit einem Gleichungssystem das nur zwei Gleichungen enthaumllt aus Beispiels-weise fuumlhren Messreihen in der Chemie oder Physik haumlufig auf Gleichungssysteme dieaus mehreren Gleichungen mit mehreren Variablen bestehenDie Loumlsungsverfahren wie du sie kennengelernt hast sind auch fuumlr solche Gleichungs-systeme erweiterbar In der Praxis wird der oft hohe Rechenaufwand mit geeigneterSoftware am Computer (siehe Kap 145 S 265) bewaumlltigt

ii

ii

ii

ii

105 Ausblick und Exercises 201

1052 Exercises

vocabularysystem of linear equations lineares Gleichungssystemsolution Loumlsunggraphing zeichnensubstitution das Ersetzen Einsetzenaddition method hier Additionsverfahrento solve loumlseninfinitely-many unendlich viele

961 (ndash5|1) is asolution of thegiven equation

961I2)H3K2 Determine whether either of the points (1|ndash5) and (ndash5|1) is a solution to the given

system of equationsndash6x + y = 315x + 7y = ndash18

962I2)H3K1 Fill in

infinitely-many (2x) ndash two ndash three (2x) ndash one (2x) ndash no solution ndash none

For systems of linear equations (two variables two equations) there are threepossible types of solutions

The system may have one solution (a specific point (x|y))

no solution at all or

infinitely-many solutions

There is no such system with two or three solutions

You will always have one none

or infinitely-many solutions

963 L = (0|3)963I2)H2K2 Solve the following system by graphing

x + 4y = 12ndash10x + 5y = 15

964 L = (ndash50|100)964I2)H2K2 Solve the following system by substitution

ndash3x + y = 2507x + 10y = 650

965 L = (35|ndash8)965I2)H2K2 Solve the following system using the addition method

6x + 11y = ndash678x ndash 3y = 52

966 98 and 41966I2)H2K2 The difference of two numbers is 57 The sum of these two numbers is 139 Which

numbers are we referring to

967 (12|1) and(1|0)

967I2)H2K1 Which are correct solutions to the equation 5x + 4y = 5

times times(12|1) (2| + 12) (04|05) (1|0)

ii

ii

ii

ii

202 10 Lineare Gleichungen und Gleichungssysteme mit zwei Variablen

106 Mathe fit und kompetent ndash Kompetenzcheck

968 Richtig sindm + b = 21 undm minus 2b

2m + b = 21 m + 2b = 21 m + b = 21 timesm = 2b timesb = 2m

968I2)H3K1 In einer Klasse mit 21 Kindern gibt es doppelt so viele

Maumldchen wie BubenDie Anzahl der Maumldchen wird mit m bezeichnet die Anzahl derBubenmit b Kreuze jeneGleichung(en) an die zur beschriebenenKlasse passen

969I2)H1K1 Schreibe den Text in Form eines linearen Gleichungssystems an

a) Bei einer Flugreise wiegt Deryas Koffer um 7 kg mehr als ihr Handgepaumlck Insgesamthaben die beiden Gepaumlckstuumlcke 23 kg

I k = h + 7

II k + h = 23b) Eine Zahl ist um 7 groumlszliger als die andere Subtrahiert man vom Doppelten dergroumlszligeren Zahl die kleinere erhaumllt man 20

I x = y + 7

II 2x minus y = 20

970I2)H1K3 Erfinde einen kurzen Text der sich durch eine lineare Gleichungmit zwei Variablen

darstellen laumlsst

971 (1) (minus05|3)(2) (5|0) (3) (1| minus 7)(4) (0|4)

971I2)H2K1 Verbinde die Gleichungssysteme mit der jeweils richtigen Loumlsung

(1) 2x + y = 2 (1| minus 7)minus8x minus 2y = minus2

(2) 4x + 6y = 20 (0|4)minusx + y = minus5

(3) 2x + y = minus5 (minus05|3)minus8x minus 2y = 6

(4) x + 2y = 8 (5|0)10x minus y = minus4

972 a) (6| minus 5)b) (04|1)

972I2)H2K1 Loumlse das Gleichungssystem und fuumlhre auch die Probe durch

a) I 3x + 4y = minus2 b) I 5x minus 4y = minus2II x minus y = 11 II minus2x + 6y = 52

973 L = (ndash2|1) 973I2)H2K2 Loumlse das Gleichungssystem (1) graphisch und (2) rechnerisch

I minus3x + 2y = 8II 2x + 4y = 0

ii

ii

ii

ii

106 Mathe fit und kompetent ndash Kompetenzcheck 203

974I2)H3K2 (1) Welches Gleichungssystem ist in der Grafik dargestellt Kreuze an

I y = 34xndash4

II y = 13x + 1

I y = 43x + 4

II y = minus 13xndash1

I y = xndash4II y = 1

3x + 1

I y = 43x minus 4

II y = minus 13x + 1

times

(2) Wie lautet die Loumlsung dieses Gleichungssystems (3|0)

975 Keine LoumlsungDie beidenGleichungenstellen paralleleGeraden dar dahergibt es keinZahlenpaar dasbeide Gleichungenerfuumlllt975I2)H4

K2 Wie viele Loumlsungen hat das angeschriebene GleichungssystemVersuche zu antworten ohne ein Loumlsungsverfahren anzuwendenBegruumlnde deine Antwort

I x + y = 1II 2x + 2y = 3

976 SieheZusammenfassungder Loumlsungsfaumllleauf Seite 191

976I2)H4K3 Erklaumlre Warum hat ein lineares Gleichungssystem mit zwei Variablen entweder

genau eine keine oder unendlich viele Loumlsungen977 3 und 4Gleichungssystem

977I2)H3K1 In einem Rechteck verhalten sich die Seiten wie 4 ∶ 7 Der Umfang ist 55 cm

Zwei der folgenden Gleichungssysteme beschreiben den Sachverhalt richtig Kreuze anwelche

times timesI b ∶ l = 4 ∶ 7II 4b + 7l = 55

I 4l = 7bII b + l = 55

I b ∶ l = 4 ∶ 7II 2b + 2l = 55

I 4l = 7bII 2(b + l) = 55

978 1 kg Mehlkostet 15 euro 1 kgZucker kostet 1 euro

978I2)H2K2 Tom kauft 2 kg Mehl und 1 kg Zucker und bezahlt dafuumlr 4 Euro Anna kauft 1 kg

Mehl und 3 kg Zucker und bezahlt dafuumlr 45 Euro Wie viel kostet 1 kg Mehl Wie vielkostet 1 kg Zucker

979 (1) Esbesuchten viermalso vieleErwachsene wieKinder dieAusstellung (2)Insgesamtbesuchten 680Personen dieAusstellung (3) Eshaben um 240mehr Kinder alsErwachsene dieAusstellungbesucht

979I2)H3K1 Im Folgenden steht jeweils k fuumlr die Anzahl der Kinder und e fuumlr die Anzahl

der Erwachsenen die eine Ausstellung besucht haben Schreibe in Worten was dieGleichungen uumlber den Ausstellungsbesuch von Erwachsenen und Kindern aussagen(1) Montag e = 4k (2) Dienstag k + e = 680 (3) Mittwoch e + 240 = k

980 800 kmh70 kmn

980I2)H2K2 Ein Flugzeug erreicht mit Ruumlckenwind eine Geschwindigkeit von 870 kmh bei

(gleichstarkem) Gegenwind kommt es nur auf 720 kmh Berechne die Eigengeschwin-digkeit des Flugzeugs und die Windgeschwindigkeit

981I2)H1K3 Schreibe ein lineares Gleichungssystem an das die Loumlsung (2|5) hat

ii

ii

ii

ii

103 Rechnerisches Loumlsen linearer Gleichungssysteme 195

Additionsverfahren1 Multipliziere die Gleichungen mit geeigneten Faktoren so dass bei einer Variable

entgegengesetzt gleiche Koeffizienten entstehenI 3x + 4y = 24II x + y = 7 |sdot(ndash4)

2 Durch Addieren der beiden Gleichungen erhaumlltst du eine Gleichung mit einerVariableI 3x + 4y = 24II ndash4x ndash 4y = ndash28

ndashx = ndash43 Loumlse diese Gleichung

x = 44 Setze die Loumlsung in eine der beiden Gleichungen ein und berechne die zweite

Variable4 + y = 7y = 3rArr L = (4|3)

Vergiss die Probe nicht (siehe Seite 194)

930 a) L =(ndash1|2)b) L =(0|4)c) L =(2|5)d) L =(10|20)

930I2)H2K1 Loumlse das Gleichungssystem mit dem Einsetzungsverfahren

Fuumlhre auch die Probe durcha) I x + 2y = 3

II ndash2x + y = 4b) I ndashx + 4y = 16

II 2x + y = 4c) I x ndash y = ndash3

II ndash12x ndash 2y = ndash11

d) I 7x + y = 90II ndash12x + 5y = ndash20

931 a) L =(4|1)b) L =(4|2)c) L =(ndash23|10)d) L =(ndash35|0)

931I2)H2K1 Loumlse das Gleichungssystem mit dem Gleichsetzungsverfahren

Fuumlhre auch die Probe durcha) I x ndash y = 3

II x + 2y = 6b) I ndash

14x + y = 1

II x + y = 6c) I x + 2y = ndash3

II x ndash 3y = ndash53d) I x + 3y = ndash35

II ndash5x + 3y = 175

932a) L =(17|ndash103)b) L =(10|14)c) L =(8|0)d) L =(18|21)

932I2)H2K1 Loumlse das Gleichungssystem mit dem Additionsverfahren

Fuumlhre auch die Probe durcha) I 3x + 2y = ndash155

II 2x ndash 5y = 549b) I 7x ndash y = 56

II ndash8x + 3y = ndash38c) I 5x + 11y = 40

II 6x ndash 12y = 48d) I 10x ndash 3y = 117

II 20x + 4y = 444

933 a) L =(02|18)b) L =(16|3)c) L =(17|10)d) L =(ndash04|05)

933I2)H2K1 Loumlse das Gleichungssystem mit jenem Loumlsungsverfahren das am besten (fuumlr dich)

passt Vergiss die Probe nicht

a) I x + y = 2II x + 6y = 11

b) I 5x + 2y = 14II ndash5x ndash 3y = ndash17

c) I 6x + y = 202II 7x ndash 3y = ndash181

d) I x + 11y = 51II x ndash 10y = ndash54

ii

ii

ii

ii

196 10 Lineare Gleichungen und Gleichungssysteme mit zwei Variablen

934 (1)1 (1| minus 4)(2) (5|8)(3) (minus05| minus 3)(4) (minus25|0)

934I2)H2K1 Ordne den Gleichungssystemen die richtige Loumlsung zu

(1) 7x + y = 3 (minus05| minus 3)minusx + 5y = minus21

(2) x = yndash3 (5|8)xndash2y = minus11

(3) y = 4xndash1 (minus25|0)y = minus2xndash4

(4) minus4x + 7y = 10 (1| minus 4)2xndash3y = minus5

935 (2|5)935I2)H2

K1

Gleichungssystem Gegeben ist das folgende Gleichungssystem

I x + 2y = 12II 2x + 5y = 29

Loumlse dieses Gleichungssystem

936 c = 3 d = 4936I2)H2

K1

Zwei Gleichungen Loumlse das GleichungssystemI 3c ndash 4d = ndash 7II c = d ndash 1

937 a) L = b) L = (13|ndash55)c) L = (x|y)|y = 1

2x

ndash 74 xy isin R

d) L =

937I2)H2K2 Gib die Loumlsungsmenge des Gleichungssystems an

Achtung Nicht jedes der Gleichungssysteme ist eindeutig loumlsbar

a) I ndash3x ndash 10y = 0II 15x + 5y = 1

b) I 8x ndash 7y = 1425II ndash9x + 2y = ndash128

c) I 2x ndash 4y = 7II ndash6x + 12y = ndash21

d) I ndash06x + 12y = 08II 18x ndash 36y = ndash28

938I2)H1K3 Gib ein lineares Gleichungssystem an das

a) die Loumlsung (4|1) b) die Loumlsung (minus2|5) c) keine Loumlsung hat

939 Alle beruhendarauf dasssowohl derZusammenhangzwischen denbeiden Variablender sich ausGleichung I ergibtals auch derZusammenhangder sich ausGleichung II ergibterfuumlllt sein muss

939I2)H4K3 Erklaumlre was der Hintergrund der drei Verfahren ist

ii

ii

ii

ii

104 Textaufgaben zu linearen Gleichungssystemen 197

104 Textaufgaben zu linearen GleichungssystemenVerwende beim Loumlsen der in den folgenden Aufgaben auftretenden Gleichungssystemejenes Loumlsungsverfahren das dir am geeignetsten erscheint

940 a) x + y = 1585x + 65y = 95548 Schuumllerinnenund110 Erwachseneb) 104 Schuumllerin-nen und92 Erwachsene

940I2)H2K1 Der Eintritt zu einer Greifvogelschau kostet fuumlr Schuumllerinnen

500 euro fuumlr Erwachsene 650 euro Das Verwaltungsbuumlro der Greifvo-gelstation moumlchte wissen wie die Aufteilung der Zuschauer aufErwachsene und Schuumllerinnen war An der Kassa hat man abernur die Gesamtanzahl an verkauften Karten und die Einnahmenregistriert Berechne aus diesen Aufzeichnungen wie viele Er-wachsene bzw Schuumllerinnen die Flugshow besucht haben

a) Vormittagsvorstellung 158 Karten Einnahmen 955ndash eurob) Nachmittagsvorstellung 196 Karten Einnahmen 1118ndash euro

941 x + y = 27065x + 4y = 1485162 Karten fuumlrErwachsene und108 Schuumllerinnen-Karten

941I2)H2K1 Bei der Auffuumlhrung eines Schultheaters werden an der Abendkassa Karten zu

650 euro fuumlr Erwachsene und Karten zu 4 euro fuumlr Schuumllerinnen verkauft Insgesamt wurden270 Karten verkauft und 1485 euro eingenommen Wie viele Schuumllerinnenkarten und wieviele Karten fuumlr Erwachsene wurden verkauft

9423 Gleichungssystem

942I2)H3K1 Wie Aufgabe 941 fuumlr insgesamt 171 verkaufte Karten und 879 euro EinnahmenWelches

Gleichungssystem passt zum Text Kreuze an

times I e + s = 879II 650e + 4s = 171

I e + 4s = 171II 650e + s = 879

I e + s = 171II 650e+4s = 879

I 4s + s = 171II 650e + e = 879

943 (1) DerHinflug erfolgt mitRuumlckenwind derRuumlckflug mitGegenwind Jadenn bei allenLangstreckenfluuml-gen wirken sich dieLuftstroumlmungenauf die Flugzeit ausWien ndash New York910 h New York ndashWien 845(Abfragewwwauacom2552009) (2)Wien ndash Tokio821 kmh Tokio ndashWien 764 kmh(3) Eigengeschwin-digkeit desFlugzeuges7925 kmh Wind-geschwindigkeit285 kmh

943I2)H2K1 diams Waumlhrend des Langstreckenfluges Wien ndash To-

kio werden den Passagieren uumlber Bildschirme Rei-seinformationen geboten Zu Beginn der Reise wirddie Distanz zwischen Wien und Tokio mit 9164 kmangegeben die voraussichtliche Flugzeit mit 1110h Frau Schindler vergleicht mit ihren Fluginforma-tionen fuumlr den Ruumlckflug Dort wird die Flugzeit fuumlrTokio ndash Wien mit 1200 h angegeben obwohl sie wie-der mit demselben Flugzeugtyp fliegen wird(1) Warum unterscheiden sich die Flugzeiten zwischen Hinflug und Ruumlckflug so deut-lich Ist das auch bei anderen Langstreckenfluumlgen so Frage im Internet die Flugzeitenfuumlr den Transatlantikflug von einem europaumlischen Flughafen nach New York hin undzuruumlck ab(2) Berechne die durchschnittliche Fluggeschwindigkeit fuumlr die angegebenen FlugzeitenWien ndash Tokio bzw Tokio ndash Wien(3) Berechne die (durchschnittliche) Eigengeschwindigkeit des Flugzeuges und die(durchschnittliche) erwartete Windgeschwindigkeit die der Angabe der Flugzeit zu-grunde liegen

ii

ii

ii

ii

198 10 Lineare Gleichungen und Gleichungssysteme mit zwei Variablen

944(1) Hinflug764 kmhRuumlckflug 836 kmh(2) Eigengeschwin-digkeit desFlugzeuges800 kmh Windge-schwindigkeit36 kmh

944I2)H2K1 diams Die Flugzeit fuumlr den Flug Frankfurt ndash Chicago

wird im Internet von einer Fluglinie mit 908 h an-gegeben die Flugzeit fuumlr den Ruumlckflug mit dem-selben Flugzeugtyp mit 821 h Die Entfernungzwischen Frankfurt und Chicago betraumlgt 6978 km(1) Berechne die durchschnittlichen Fluggeschwin-digkeiten fuumlr die angegebenen Flugzeiten fuumlr Hin-und Ruumlckflug(2) Berechne die (durchschnittliche) Eigengeschwindigkeit des Flugzeuges und die(durchschnittliche) erwartete Windgeschwindigkeit die der Angabe der Flugzeit zu-grunde liegen

Kommen zwei Systeme (z B Fluumlssigkeiten) mit unterschiedlicher Temperatur zusam-men so gleichen sich ihre Temperaturen durch Waumlrmeaustausch an Waumlrme flieszligtdabei immer vom waumlrmeren zum kaumllteren System so lange bis beide Systeme diegleiche Temperatur habenMischt man einen Liter Wasser mit einer Temperatur von 10 mit einem Liter Was-ser mit einer Temperatur von 20 so entstehen 2 Liter Wasser mit der mittlerenTemperatur von 15

94566 Liter aus demWasserboiler und84 Liter aus demKaltwasserzufluss

945I2)H2K1 ⋆ In einem Niedrigenergiehaus steht ein solar-

beheizter Wasserboiler zur Verfuumlgung Nach einemsonnigen Tag wird eine Wassertemperatur von 64angezeigt Eine Badewanne soll mit 150 Litern Was-ser gefuumlllt werden die erwuumlnschte Temperatur ist37 Wie viele Liter muumlssen aus dem solarbeheiztenBoiler und wie viele Liter aus einem Kaltwasserzu-fluss (16 ) zuflieszligen Runde auf ganze Liter

946 12 Liter 946I2)H2K1 ⋆ An einem heiszligen Sommertag ist die Temperatur in einem 100-Liter-Aquarium

auf 27 angestiegen Wie viel Liter Wasser muss man entnehmen und durch 10 kaltes Wasser ersetzen damit wieder die fuumlr die Fische passende Temperatur von 25 erreicht wird(Tipp Wenn von den 100 Litern x Liter entnommen werden so ist das genau jeneWassermenge mit 10 die zur verbleibenden Wassermenge (y Liter) hinzukommt)

Zahlenraumltsel

947a) x + y = 131 undx minus v = 43b) x = y + 5 und2v + x = 83

947I2)H2K1 Uumlbersetze den Text jeweils in zwei lineare Gleichungen und loumlse das Gleichungs-

system um die beiden gesuchten Zahlen zu ermitteln Fuumlhre auch die Probe durcha) Die Summe zweier Zahlen ist 131 Ihre Differenz betraumlgt 43b) Eine Zahl ist um 5 groumlszliger als die andere Addiert man zum Doppelten der kleinerenZahl die groumlszligere Zahl erhaumllt man 83

ii

ii

ii

ii

104 Textaufgaben zu linearen Gleichungssystemen 199

948 a) 150 und 50b) 8 und 28

948I2)H2K1 Wie Aufgabe 947

a) Eine Zahl ist dreimal so groszlig wie eine zweite Zahl Die Differenz der beiden Zahlenbetraumlgt 100b) Die Differenz zweier Zahlen ist 20 Addiert man zum Dreifachen der kleineren Zahldas Doppelte der groumlszligeren Zahl erhaumllt man 80

949 13 und 9949I2)H2K1 ⋆ Die Differenz zweier Zahlen betraumlgt 4 Verringert man die groumlszligere der beiden

Zahlen um 1 und vergroumlszligert die kleinere um 2 so wird das Produkt um 15 groumlszliger Wielauten die beiden Zahlen

950 27 und 42950I2)H2K1 ⋆ Die Summe zweier Zahlen ist 69 Vergroumlszligert man eine Zahl um 3 und verringert

die andere um 5 so wird das Produkt um 24 kleiner Berechne die beiden Zahlen

Aufgaben aus der Geometrie

951 a) a = 23 cmb = 13 cmb) a =24 cmb = 12 cm

ef

a

b

951I2)H2K1 Die laumlngere Seite eines Parallelogramms ist

a) um 10 cm laumlnger als die kuumlrzere Seiteb) doppelt so lang wie die kuumlrzere SeiteDer Umfang des Parallelogramms ist 72 cmBerechne die Seitenlaumlngen des Parallelogramms

952 I α + 54 = γ II 2α + γ = 180α = β = 42deg γ = 96degb

A c

a

C

B

952I2)H2K1 In einem gleichschenkligen Dreieck ist ein Basiswinkel (α = β

vergleiche mit der Skizze) um 54deg kleiner als der Winkel γ Ermittle dieGroumlszlige der Winkel des gleichschenkligen Dreiecks Fuumlhre auch die Probedurch

953 Basis 32 cmSchenkel 21 cm

953I2)H2K1 Die Basis eines gleichschenkligen Dreiecks ist um 11 cm laumlnger als die Schenkel-

laumlnge Der Umfang des Dreiecks ist 74 dm Wie lang sind Basis und Schenkel diesesgleichschenkligen Dreiecks

954 Basis 18 cmSchenkel 21 cm

954I2)H2K1 Der Umfang eines gleichschenkligen Dreiecks betraumlgt 60 cm Die Basis ist um

3 cm kuumlrzer als eine Schenkellaumlnge Berechne die Laumlnge der Basis und der Schenkel

955 b = 21 cml = 35 cm

955I2)H2K1 In einem Rechteck verhalten sich die Seiten wie 35 Der Umfang des Rechtecks

ist 112 cm Wie breit und wie lang ist das Rechteck

956 Erfinde eine aumlhnliche Aufgabenstellung wie die in 955Deine Nachbarindein Nachbar soll sie loumlsen

957 (1) b = 8 cml = 18 cm (2) einQuadrat mits = 12 cm

957I2)H2K1 ⋆ Die Seiten eines Rechtecks verhalten sich wie 49 Verlaumlngert man die kuumlrzere

Seite um 4 cm und verkuumlrzt die laumlngere Seite um 6 cm so bleibt der Flaumlcheninhaltunveraumlndert(1) Wie lang und wie breit ist das urspruumlngliche Rechteck(2) Wie lang sind die Seiten des veraumlnderten RechtecksWelche besondere Form liegt vor

ii

ii

ii

ii

200 10 Lineare Gleichungen und Gleichungssysteme mit zwei Variablen

958 a) y = ndashx +3

b) y = 135x + 4

5

958I2)H2K1 Wie lautet die Gleichung jener Geraden g die durch die beiden gegebenen Punkte

geht

A(ndash2|5) B(3|1)Da beide Punkte auf der Geraden g liegenerfuumlllen sie die Gleichung y = kx + dWir setzen daher die Koordinaten der Punkte fuumlr x und y ein und erhalten ein linearesGleichungssystem mit den Variablen k und dA liegt auf g rArr I 5 = ndash2k + d | sdot (ndash1)B liegt auf g rArr II 1 = 3k + d rceil+

(ndash1) sdot I ndash5 = 2k ndash d rfloorndash4 = 5kk = minus 4

5minus 4

5eingesetzt in Gleichung I ergibt

5 = ndash2 sdot 1114100minus 451114103 +d rArrd = 5 ndash

85= 17

5Die Gleichung der Geraden g die durch die beiden Punkte A und B verlaumluft lautetdaher

g y = minus 45k +

175

a) A(2|1) B(ndash1|4) b) R(ndash3|ndash7) S(2|6)

959 a) y = minus 25x + 2

b) y = minus 74x + 5

c) y = 109x + 1

9

d) y = 56x ndash 5

959 Stelle die Gleichung jener Geraden auf die durch die gegebenen beiden Punktegehta) A(ndash20|10) B(5|0) b) C(0|5) D(4|ndash2) c) E(8|9) F(ndash1|ndash1) d) G(6|0) H(0|ndash5)

105 Ausblick und Exercises1051 Ausblick

960 (1)a = 104 cmha = 78 cm (2) Eshandelt sich nichtum ein linearesGleichungssystemEinsetzungsverfah-ren undGleichsetzungsver-fahren koumlnnen zurAnwendungkommenAdditionsverfahrenund grafischesLoumlsungsverfahrennicht

960I2)H2K1 ⋆ In einemDreieck verhalten sich eine Seite und ihre Houmlhe wie 43 Der Flaumlcheninhalt

des Dreiecks betraumlgt 4056 cm2(1) Berechne die Seitenlaumlnge und die Houmlhe(2) Inwiefern unterscheidet sich das Gleichungssystem in (1) von den anderen bisjetzt behandelten Welche Loumlsungsverfahren koumlnnen zur Anwendung kommen welchenichtWie Aufgabe 960 zeigt gibt es auch andere als nur lineare Gleichungssysteme Mit demEinsetzungsverfahren kann man auch diese loumlsen Das Additionsverfahren ist dafuumlrnicht geeignetBei komplexen Sachverhalten mit hoher Anwendungsrelevanz kommt man in der Regelnicht mit einem Gleichungssystem das nur zwei Gleichungen enthaumllt aus Beispiels-weise fuumlhren Messreihen in der Chemie oder Physik haumlufig auf Gleichungssysteme dieaus mehreren Gleichungen mit mehreren Variablen bestehenDie Loumlsungsverfahren wie du sie kennengelernt hast sind auch fuumlr solche Gleichungs-systeme erweiterbar In der Praxis wird der oft hohe Rechenaufwand mit geeigneterSoftware am Computer (siehe Kap 145 S 265) bewaumlltigt

ii

ii

ii

ii

105 Ausblick und Exercises 201

1052 Exercises

vocabularysystem of linear equations lineares Gleichungssystemsolution Loumlsunggraphing zeichnensubstitution das Ersetzen Einsetzenaddition method hier Additionsverfahrento solve loumlseninfinitely-many unendlich viele

961 (ndash5|1) is asolution of thegiven equation

961I2)H3K2 Determine whether either of the points (1|ndash5) and (ndash5|1) is a solution to the given

system of equationsndash6x + y = 315x + 7y = ndash18

962I2)H3K1 Fill in

infinitely-many (2x) ndash two ndash three (2x) ndash one (2x) ndash no solution ndash none

For systems of linear equations (two variables two equations) there are threepossible types of solutions

The system may have one solution (a specific point (x|y))

no solution at all or

infinitely-many solutions

There is no such system with two or three solutions

You will always have one none

or infinitely-many solutions

963 L = (0|3)963I2)H2K2 Solve the following system by graphing

x + 4y = 12ndash10x + 5y = 15

964 L = (ndash50|100)964I2)H2K2 Solve the following system by substitution

ndash3x + y = 2507x + 10y = 650

965 L = (35|ndash8)965I2)H2K2 Solve the following system using the addition method

6x + 11y = ndash678x ndash 3y = 52

966 98 and 41966I2)H2K2 The difference of two numbers is 57 The sum of these two numbers is 139 Which

numbers are we referring to

967 (12|1) and(1|0)

967I2)H2K1 Which are correct solutions to the equation 5x + 4y = 5

times times(12|1) (2| + 12) (04|05) (1|0)

ii

ii

ii

ii

202 10 Lineare Gleichungen und Gleichungssysteme mit zwei Variablen

106 Mathe fit und kompetent ndash Kompetenzcheck

968 Richtig sindm + b = 21 undm minus 2b

2m + b = 21 m + 2b = 21 m + b = 21 timesm = 2b timesb = 2m

968I2)H3K1 In einer Klasse mit 21 Kindern gibt es doppelt so viele

Maumldchen wie BubenDie Anzahl der Maumldchen wird mit m bezeichnet die Anzahl derBubenmit b Kreuze jeneGleichung(en) an die zur beschriebenenKlasse passen

969I2)H1K1 Schreibe den Text in Form eines linearen Gleichungssystems an

a) Bei einer Flugreise wiegt Deryas Koffer um 7 kg mehr als ihr Handgepaumlck Insgesamthaben die beiden Gepaumlckstuumlcke 23 kg

I k = h + 7

II k + h = 23b) Eine Zahl ist um 7 groumlszliger als die andere Subtrahiert man vom Doppelten dergroumlszligeren Zahl die kleinere erhaumllt man 20

I x = y + 7

II 2x minus y = 20

970I2)H1K3 Erfinde einen kurzen Text der sich durch eine lineare Gleichungmit zwei Variablen

darstellen laumlsst

971 (1) (minus05|3)(2) (5|0) (3) (1| minus 7)(4) (0|4)

971I2)H2K1 Verbinde die Gleichungssysteme mit der jeweils richtigen Loumlsung

(1) 2x + y = 2 (1| minus 7)minus8x minus 2y = minus2

(2) 4x + 6y = 20 (0|4)minusx + y = minus5

(3) 2x + y = minus5 (minus05|3)minus8x minus 2y = 6

(4) x + 2y = 8 (5|0)10x minus y = minus4

972 a) (6| minus 5)b) (04|1)

972I2)H2K1 Loumlse das Gleichungssystem und fuumlhre auch die Probe durch

a) I 3x + 4y = minus2 b) I 5x minus 4y = minus2II x minus y = 11 II minus2x + 6y = 52

973 L = (ndash2|1) 973I2)H2K2 Loumlse das Gleichungssystem (1) graphisch und (2) rechnerisch

I minus3x + 2y = 8II 2x + 4y = 0

ii

ii

ii

ii

106 Mathe fit und kompetent ndash Kompetenzcheck 203

974I2)H3K2 (1) Welches Gleichungssystem ist in der Grafik dargestellt Kreuze an

I y = 34xndash4

II y = 13x + 1

I y = 43x + 4

II y = minus 13xndash1

I y = xndash4II y = 1

3x + 1

I y = 43x minus 4

II y = minus 13x + 1

times

(2) Wie lautet die Loumlsung dieses Gleichungssystems (3|0)

975 Keine LoumlsungDie beidenGleichungenstellen paralleleGeraden dar dahergibt es keinZahlenpaar dasbeide Gleichungenerfuumlllt975I2)H4

K2 Wie viele Loumlsungen hat das angeschriebene GleichungssystemVersuche zu antworten ohne ein Loumlsungsverfahren anzuwendenBegruumlnde deine Antwort

I x + y = 1II 2x + 2y = 3

976 SieheZusammenfassungder Loumlsungsfaumllleauf Seite 191

976I2)H4K3 Erklaumlre Warum hat ein lineares Gleichungssystem mit zwei Variablen entweder

genau eine keine oder unendlich viele Loumlsungen977 3 und 4Gleichungssystem

977I2)H3K1 In einem Rechteck verhalten sich die Seiten wie 4 ∶ 7 Der Umfang ist 55 cm

Zwei der folgenden Gleichungssysteme beschreiben den Sachverhalt richtig Kreuze anwelche

times timesI b ∶ l = 4 ∶ 7II 4b + 7l = 55

I 4l = 7bII b + l = 55

I b ∶ l = 4 ∶ 7II 2b + 2l = 55

I 4l = 7bII 2(b + l) = 55

978 1 kg Mehlkostet 15 euro 1 kgZucker kostet 1 euro

978I2)H2K2 Tom kauft 2 kg Mehl und 1 kg Zucker und bezahlt dafuumlr 4 Euro Anna kauft 1 kg

Mehl und 3 kg Zucker und bezahlt dafuumlr 45 Euro Wie viel kostet 1 kg Mehl Wie vielkostet 1 kg Zucker

979 (1) Esbesuchten viermalso vieleErwachsene wieKinder dieAusstellung (2)Insgesamtbesuchten 680Personen dieAusstellung (3) Eshaben um 240mehr Kinder alsErwachsene dieAusstellungbesucht

979I2)H3K1 Im Folgenden steht jeweils k fuumlr die Anzahl der Kinder und e fuumlr die Anzahl

der Erwachsenen die eine Ausstellung besucht haben Schreibe in Worten was dieGleichungen uumlber den Ausstellungsbesuch von Erwachsenen und Kindern aussagen(1) Montag e = 4k (2) Dienstag k + e = 680 (3) Mittwoch e + 240 = k

980 800 kmh70 kmn

980I2)H2K2 Ein Flugzeug erreicht mit Ruumlckenwind eine Geschwindigkeit von 870 kmh bei

(gleichstarkem) Gegenwind kommt es nur auf 720 kmh Berechne die Eigengeschwin-digkeit des Flugzeugs und die Windgeschwindigkeit

981I2)H1K3 Schreibe ein lineares Gleichungssystem an das die Loumlsung (2|5) hat

ii

ii

ii

ii

196 10 Lineare Gleichungen und Gleichungssysteme mit zwei Variablen

934 (1)1 (1| minus 4)(2) (5|8)(3) (minus05| minus 3)(4) (minus25|0)

934I2)H2K1 Ordne den Gleichungssystemen die richtige Loumlsung zu

(1) 7x + y = 3 (minus05| minus 3)minusx + 5y = minus21

(2) x = yndash3 (5|8)xndash2y = minus11

(3) y = 4xndash1 (minus25|0)y = minus2xndash4

(4) minus4x + 7y = 10 (1| minus 4)2xndash3y = minus5

935 (2|5)935I2)H2

K1

Gleichungssystem Gegeben ist das folgende Gleichungssystem

I x + 2y = 12II 2x + 5y = 29

Loumlse dieses Gleichungssystem

936 c = 3 d = 4936I2)H2

K1

Zwei Gleichungen Loumlse das GleichungssystemI 3c ndash 4d = ndash 7II c = d ndash 1

937 a) L = b) L = (13|ndash55)c) L = (x|y)|y = 1

2x

ndash 74 xy isin R

d) L =

937I2)H2K2 Gib die Loumlsungsmenge des Gleichungssystems an

Achtung Nicht jedes der Gleichungssysteme ist eindeutig loumlsbar

a) I ndash3x ndash 10y = 0II 15x + 5y = 1

b) I 8x ndash 7y = 1425II ndash9x + 2y = ndash128

c) I 2x ndash 4y = 7II ndash6x + 12y = ndash21

d) I ndash06x + 12y = 08II 18x ndash 36y = ndash28

938I2)H1K3 Gib ein lineares Gleichungssystem an das

a) die Loumlsung (4|1) b) die Loumlsung (minus2|5) c) keine Loumlsung hat

939 Alle beruhendarauf dasssowohl derZusammenhangzwischen denbeiden Variablender sich ausGleichung I ergibtals auch derZusammenhangder sich ausGleichung II ergibterfuumlllt sein muss

939I2)H4K3 Erklaumlre was der Hintergrund der drei Verfahren ist

ii

ii

ii

ii

104 Textaufgaben zu linearen Gleichungssystemen 197

104 Textaufgaben zu linearen GleichungssystemenVerwende beim Loumlsen der in den folgenden Aufgaben auftretenden Gleichungssystemejenes Loumlsungsverfahren das dir am geeignetsten erscheint

940 a) x + y = 1585x + 65y = 95548 Schuumllerinnenund110 Erwachseneb) 104 Schuumllerin-nen und92 Erwachsene

940I2)H2K1 Der Eintritt zu einer Greifvogelschau kostet fuumlr Schuumllerinnen

500 euro fuumlr Erwachsene 650 euro Das Verwaltungsbuumlro der Greifvo-gelstation moumlchte wissen wie die Aufteilung der Zuschauer aufErwachsene und Schuumllerinnen war An der Kassa hat man abernur die Gesamtanzahl an verkauften Karten und die Einnahmenregistriert Berechne aus diesen Aufzeichnungen wie viele Er-wachsene bzw Schuumllerinnen die Flugshow besucht haben

a) Vormittagsvorstellung 158 Karten Einnahmen 955ndash eurob) Nachmittagsvorstellung 196 Karten Einnahmen 1118ndash euro

941 x + y = 27065x + 4y = 1485162 Karten fuumlrErwachsene und108 Schuumllerinnen-Karten

941I2)H2K1 Bei der Auffuumlhrung eines Schultheaters werden an der Abendkassa Karten zu

650 euro fuumlr Erwachsene und Karten zu 4 euro fuumlr Schuumllerinnen verkauft Insgesamt wurden270 Karten verkauft und 1485 euro eingenommen Wie viele Schuumllerinnenkarten und wieviele Karten fuumlr Erwachsene wurden verkauft

9423 Gleichungssystem

942I2)H3K1 Wie Aufgabe 941 fuumlr insgesamt 171 verkaufte Karten und 879 euro EinnahmenWelches

Gleichungssystem passt zum Text Kreuze an

times I e + s = 879II 650e + 4s = 171

I e + 4s = 171II 650e + s = 879

I e + s = 171II 650e+4s = 879

I 4s + s = 171II 650e + e = 879

943 (1) DerHinflug erfolgt mitRuumlckenwind derRuumlckflug mitGegenwind Jadenn bei allenLangstreckenfluuml-gen wirken sich dieLuftstroumlmungenauf die Flugzeit ausWien ndash New York910 h New York ndashWien 845(Abfragewwwauacom2552009) (2)Wien ndash Tokio821 kmh Tokio ndashWien 764 kmh(3) Eigengeschwin-digkeit desFlugzeuges7925 kmh Wind-geschwindigkeit285 kmh

943I2)H2K1 diams Waumlhrend des Langstreckenfluges Wien ndash To-

kio werden den Passagieren uumlber Bildschirme Rei-seinformationen geboten Zu Beginn der Reise wirddie Distanz zwischen Wien und Tokio mit 9164 kmangegeben die voraussichtliche Flugzeit mit 1110h Frau Schindler vergleicht mit ihren Fluginforma-tionen fuumlr den Ruumlckflug Dort wird die Flugzeit fuumlrTokio ndash Wien mit 1200 h angegeben obwohl sie wie-der mit demselben Flugzeugtyp fliegen wird(1) Warum unterscheiden sich die Flugzeiten zwischen Hinflug und Ruumlckflug so deut-lich Ist das auch bei anderen Langstreckenfluumlgen so Frage im Internet die Flugzeitenfuumlr den Transatlantikflug von einem europaumlischen Flughafen nach New York hin undzuruumlck ab(2) Berechne die durchschnittliche Fluggeschwindigkeit fuumlr die angegebenen FlugzeitenWien ndash Tokio bzw Tokio ndash Wien(3) Berechne die (durchschnittliche) Eigengeschwindigkeit des Flugzeuges und die(durchschnittliche) erwartete Windgeschwindigkeit die der Angabe der Flugzeit zu-grunde liegen

ii

ii

ii

ii

198 10 Lineare Gleichungen und Gleichungssysteme mit zwei Variablen

944(1) Hinflug764 kmhRuumlckflug 836 kmh(2) Eigengeschwin-digkeit desFlugzeuges800 kmh Windge-schwindigkeit36 kmh

944I2)H2K1 diams Die Flugzeit fuumlr den Flug Frankfurt ndash Chicago

wird im Internet von einer Fluglinie mit 908 h an-gegeben die Flugzeit fuumlr den Ruumlckflug mit dem-selben Flugzeugtyp mit 821 h Die Entfernungzwischen Frankfurt und Chicago betraumlgt 6978 km(1) Berechne die durchschnittlichen Fluggeschwin-digkeiten fuumlr die angegebenen Flugzeiten fuumlr Hin-und Ruumlckflug(2) Berechne die (durchschnittliche) Eigengeschwindigkeit des Flugzeuges und die(durchschnittliche) erwartete Windgeschwindigkeit die der Angabe der Flugzeit zu-grunde liegen

Kommen zwei Systeme (z B Fluumlssigkeiten) mit unterschiedlicher Temperatur zusam-men so gleichen sich ihre Temperaturen durch Waumlrmeaustausch an Waumlrme flieszligtdabei immer vom waumlrmeren zum kaumllteren System so lange bis beide Systeme diegleiche Temperatur habenMischt man einen Liter Wasser mit einer Temperatur von 10 mit einem Liter Was-ser mit einer Temperatur von 20 so entstehen 2 Liter Wasser mit der mittlerenTemperatur von 15

94566 Liter aus demWasserboiler und84 Liter aus demKaltwasserzufluss

945I2)H2K1 ⋆ In einem Niedrigenergiehaus steht ein solar-

beheizter Wasserboiler zur Verfuumlgung Nach einemsonnigen Tag wird eine Wassertemperatur von 64angezeigt Eine Badewanne soll mit 150 Litern Was-ser gefuumlllt werden die erwuumlnschte Temperatur ist37 Wie viele Liter muumlssen aus dem solarbeheiztenBoiler und wie viele Liter aus einem Kaltwasserzu-fluss (16 ) zuflieszligen Runde auf ganze Liter

946 12 Liter 946I2)H2K1 ⋆ An einem heiszligen Sommertag ist die Temperatur in einem 100-Liter-Aquarium

auf 27 angestiegen Wie viel Liter Wasser muss man entnehmen und durch 10 kaltes Wasser ersetzen damit wieder die fuumlr die Fische passende Temperatur von 25 erreicht wird(Tipp Wenn von den 100 Litern x Liter entnommen werden so ist das genau jeneWassermenge mit 10 die zur verbleibenden Wassermenge (y Liter) hinzukommt)

Zahlenraumltsel

947a) x + y = 131 undx minus v = 43b) x = y + 5 und2v + x = 83

947I2)H2K1 Uumlbersetze den Text jeweils in zwei lineare Gleichungen und loumlse das Gleichungs-

system um die beiden gesuchten Zahlen zu ermitteln Fuumlhre auch die Probe durcha) Die Summe zweier Zahlen ist 131 Ihre Differenz betraumlgt 43b) Eine Zahl ist um 5 groumlszliger als die andere Addiert man zum Doppelten der kleinerenZahl die groumlszligere Zahl erhaumllt man 83

ii

ii

ii

ii

104 Textaufgaben zu linearen Gleichungssystemen 199

948 a) 150 und 50b) 8 und 28

948I2)H2K1 Wie Aufgabe 947

a) Eine Zahl ist dreimal so groszlig wie eine zweite Zahl Die Differenz der beiden Zahlenbetraumlgt 100b) Die Differenz zweier Zahlen ist 20 Addiert man zum Dreifachen der kleineren Zahldas Doppelte der groumlszligeren Zahl erhaumllt man 80

949 13 und 9949I2)H2K1 ⋆ Die Differenz zweier Zahlen betraumlgt 4 Verringert man die groumlszligere der beiden

Zahlen um 1 und vergroumlszligert die kleinere um 2 so wird das Produkt um 15 groumlszliger Wielauten die beiden Zahlen

950 27 und 42950I2)H2K1 ⋆ Die Summe zweier Zahlen ist 69 Vergroumlszligert man eine Zahl um 3 und verringert

die andere um 5 so wird das Produkt um 24 kleiner Berechne die beiden Zahlen

Aufgaben aus der Geometrie

951 a) a = 23 cmb = 13 cmb) a =24 cmb = 12 cm

ef

a

b

951I2)H2K1 Die laumlngere Seite eines Parallelogramms ist

a) um 10 cm laumlnger als die kuumlrzere Seiteb) doppelt so lang wie die kuumlrzere SeiteDer Umfang des Parallelogramms ist 72 cmBerechne die Seitenlaumlngen des Parallelogramms

952 I α + 54 = γ II 2α + γ = 180α = β = 42deg γ = 96degb

A c

a

C

B

952I2)H2K1 In einem gleichschenkligen Dreieck ist ein Basiswinkel (α = β

vergleiche mit der Skizze) um 54deg kleiner als der Winkel γ Ermittle dieGroumlszlige der Winkel des gleichschenkligen Dreiecks Fuumlhre auch die Probedurch

953 Basis 32 cmSchenkel 21 cm

953I2)H2K1 Die Basis eines gleichschenkligen Dreiecks ist um 11 cm laumlnger als die Schenkel-

laumlnge Der Umfang des Dreiecks ist 74 dm Wie lang sind Basis und Schenkel diesesgleichschenkligen Dreiecks

954 Basis 18 cmSchenkel 21 cm

954I2)H2K1 Der Umfang eines gleichschenkligen Dreiecks betraumlgt 60 cm Die Basis ist um

3 cm kuumlrzer als eine Schenkellaumlnge Berechne die Laumlnge der Basis und der Schenkel

955 b = 21 cml = 35 cm

955I2)H2K1 In einem Rechteck verhalten sich die Seiten wie 35 Der Umfang des Rechtecks

ist 112 cm Wie breit und wie lang ist das Rechteck

956 Erfinde eine aumlhnliche Aufgabenstellung wie die in 955Deine Nachbarindein Nachbar soll sie loumlsen

957 (1) b = 8 cml = 18 cm (2) einQuadrat mits = 12 cm

957I2)H2K1 ⋆ Die Seiten eines Rechtecks verhalten sich wie 49 Verlaumlngert man die kuumlrzere

Seite um 4 cm und verkuumlrzt die laumlngere Seite um 6 cm so bleibt der Flaumlcheninhaltunveraumlndert(1) Wie lang und wie breit ist das urspruumlngliche Rechteck(2) Wie lang sind die Seiten des veraumlnderten RechtecksWelche besondere Form liegt vor

ii

ii

ii

ii

200 10 Lineare Gleichungen und Gleichungssysteme mit zwei Variablen

958 a) y = ndashx +3

b) y = 135x + 4

5

958I2)H2K1 Wie lautet die Gleichung jener Geraden g die durch die beiden gegebenen Punkte

geht

A(ndash2|5) B(3|1)Da beide Punkte auf der Geraden g liegenerfuumlllen sie die Gleichung y = kx + dWir setzen daher die Koordinaten der Punkte fuumlr x und y ein und erhalten ein linearesGleichungssystem mit den Variablen k und dA liegt auf g rArr I 5 = ndash2k + d | sdot (ndash1)B liegt auf g rArr II 1 = 3k + d rceil+

(ndash1) sdot I ndash5 = 2k ndash d rfloorndash4 = 5kk = minus 4

5minus 4

5eingesetzt in Gleichung I ergibt

5 = ndash2 sdot 1114100minus 451114103 +d rArrd = 5 ndash

85= 17

5Die Gleichung der Geraden g die durch die beiden Punkte A und B verlaumluft lautetdaher

g y = minus 45k +

175

a) A(2|1) B(ndash1|4) b) R(ndash3|ndash7) S(2|6)

959 a) y = minus 25x + 2

b) y = minus 74x + 5

c) y = 109x + 1

9

d) y = 56x ndash 5

959 Stelle die Gleichung jener Geraden auf die durch die gegebenen beiden Punktegehta) A(ndash20|10) B(5|0) b) C(0|5) D(4|ndash2) c) E(8|9) F(ndash1|ndash1) d) G(6|0) H(0|ndash5)

105 Ausblick und Exercises1051 Ausblick

960 (1)a = 104 cmha = 78 cm (2) Eshandelt sich nichtum ein linearesGleichungssystemEinsetzungsverfah-ren undGleichsetzungsver-fahren koumlnnen zurAnwendungkommenAdditionsverfahrenund grafischesLoumlsungsverfahrennicht

960I2)H2K1 ⋆ In einemDreieck verhalten sich eine Seite und ihre Houmlhe wie 43 Der Flaumlcheninhalt

des Dreiecks betraumlgt 4056 cm2(1) Berechne die Seitenlaumlnge und die Houmlhe(2) Inwiefern unterscheidet sich das Gleichungssystem in (1) von den anderen bisjetzt behandelten Welche Loumlsungsverfahren koumlnnen zur Anwendung kommen welchenichtWie Aufgabe 960 zeigt gibt es auch andere als nur lineare Gleichungssysteme Mit demEinsetzungsverfahren kann man auch diese loumlsen Das Additionsverfahren ist dafuumlrnicht geeignetBei komplexen Sachverhalten mit hoher Anwendungsrelevanz kommt man in der Regelnicht mit einem Gleichungssystem das nur zwei Gleichungen enthaumllt aus Beispiels-weise fuumlhren Messreihen in der Chemie oder Physik haumlufig auf Gleichungssysteme dieaus mehreren Gleichungen mit mehreren Variablen bestehenDie Loumlsungsverfahren wie du sie kennengelernt hast sind auch fuumlr solche Gleichungs-systeme erweiterbar In der Praxis wird der oft hohe Rechenaufwand mit geeigneterSoftware am Computer (siehe Kap 145 S 265) bewaumlltigt

ii

ii

ii

ii

105 Ausblick und Exercises 201

1052 Exercises

vocabularysystem of linear equations lineares Gleichungssystemsolution Loumlsunggraphing zeichnensubstitution das Ersetzen Einsetzenaddition method hier Additionsverfahrento solve loumlseninfinitely-many unendlich viele

961 (ndash5|1) is asolution of thegiven equation

961I2)H3K2 Determine whether either of the points (1|ndash5) and (ndash5|1) is a solution to the given

system of equationsndash6x + y = 315x + 7y = ndash18

962I2)H3K1 Fill in

infinitely-many (2x) ndash two ndash three (2x) ndash one (2x) ndash no solution ndash none

For systems of linear equations (two variables two equations) there are threepossible types of solutions

The system may have one solution (a specific point (x|y))

no solution at all or

infinitely-many solutions

There is no such system with two or three solutions

You will always have one none

or infinitely-many solutions

963 L = (0|3)963I2)H2K2 Solve the following system by graphing

x + 4y = 12ndash10x + 5y = 15

964 L = (ndash50|100)964I2)H2K2 Solve the following system by substitution

ndash3x + y = 2507x + 10y = 650

965 L = (35|ndash8)965I2)H2K2 Solve the following system using the addition method

6x + 11y = ndash678x ndash 3y = 52

966 98 and 41966I2)H2K2 The difference of two numbers is 57 The sum of these two numbers is 139 Which

numbers are we referring to

967 (12|1) and(1|0)

967I2)H2K1 Which are correct solutions to the equation 5x + 4y = 5

times times(12|1) (2| + 12) (04|05) (1|0)

ii

ii

ii

ii

202 10 Lineare Gleichungen und Gleichungssysteme mit zwei Variablen

106 Mathe fit und kompetent ndash Kompetenzcheck

968 Richtig sindm + b = 21 undm minus 2b

2m + b = 21 m + 2b = 21 m + b = 21 timesm = 2b timesb = 2m

968I2)H3K1 In einer Klasse mit 21 Kindern gibt es doppelt so viele

Maumldchen wie BubenDie Anzahl der Maumldchen wird mit m bezeichnet die Anzahl derBubenmit b Kreuze jeneGleichung(en) an die zur beschriebenenKlasse passen

969I2)H1K1 Schreibe den Text in Form eines linearen Gleichungssystems an

a) Bei einer Flugreise wiegt Deryas Koffer um 7 kg mehr als ihr Handgepaumlck Insgesamthaben die beiden Gepaumlckstuumlcke 23 kg

I k = h + 7

II k + h = 23b) Eine Zahl ist um 7 groumlszliger als die andere Subtrahiert man vom Doppelten dergroumlszligeren Zahl die kleinere erhaumllt man 20

I x = y + 7

II 2x minus y = 20

970I2)H1K3 Erfinde einen kurzen Text der sich durch eine lineare Gleichungmit zwei Variablen

darstellen laumlsst

971 (1) (minus05|3)(2) (5|0) (3) (1| minus 7)(4) (0|4)

971I2)H2K1 Verbinde die Gleichungssysteme mit der jeweils richtigen Loumlsung

(1) 2x + y = 2 (1| minus 7)minus8x minus 2y = minus2

(2) 4x + 6y = 20 (0|4)minusx + y = minus5

(3) 2x + y = minus5 (minus05|3)minus8x minus 2y = 6

(4) x + 2y = 8 (5|0)10x minus y = minus4

972 a) (6| minus 5)b) (04|1)

972I2)H2K1 Loumlse das Gleichungssystem und fuumlhre auch die Probe durch

a) I 3x + 4y = minus2 b) I 5x minus 4y = minus2II x minus y = 11 II minus2x + 6y = 52

973 L = (ndash2|1) 973I2)H2K2 Loumlse das Gleichungssystem (1) graphisch und (2) rechnerisch

I minus3x + 2y = 8II 2x + 4y = 0

ii

ii

ii

ii

106 Mathe fit und kompetent ndash Kompetenzcheck 203

974I2)H3K2 (1) Welches Gleichungssystem ist in der Grafik dargestellt Kreuze an

I y = 34xndash4

II y = 13x + 1

I y = 43x + 4

II y = minus 13xndash1

I y = xndash4II y = 1

3x + 1

I y = 43x minus 4

II y = minus 13x + 1

times

(2) Wie lautet die Loumlsung dieses Gleichungssystems (3|0)

975 Keine LoumlsungDie beidenGleichungenstellen paralleleGeraden dar dahergibt es keinZahlenpaar dasbeide Gleichungenerfuumlllt975I2)H4

K2 Wie viele Loumlsungen hat das angeschriebene GleichungssystemVersuche zu antworten ohne ein Loumlsungsverfahren anzuwendenBegruumlnde deine Antwort

I x + y = 1II 2x + 2y = 3

976 SieheZusammenfassungder Loumlsungsfaumllleauf Seite 191

976I2)H4K3 Erklaumlre Warum hat ein lineares Gleichungssystem mit zwei Variablen entweder

genau eine keine oder unendlich viele Loumlsungen977 3 und 4Gleichungssystem

977I2)H3K1 In einem Rechteck verhalten sich die Seiten wie 4 ∶ 7 Der Umfang ist 55 cm

Zwei der folgenden Gleichungssysteme beschreiben den Sachverhalt richtig Kreuze anwelche

times timesI b ∶ l = 4 ∶ 7II 4b + 7l = 55

I 4l = 7bII b + l = 55

I b ∶ l = 4 ∶ 7II 2b + 2l = 55

I 4l = 7bII 2(b + l) = 55

978 1 kg Mehlkostet 15 euro 1 kgZucker kostet 1 euro

978I2)H2K2 Tom kauft 2 kg Mehl und 1 kg Zucker und bezahlt dafuumlr 4 Euro Anna kauft 1 kg

Mehl und 3 kg Zucker und bezahlt dafuumlr 45 Euro Wie viel kostet 1 kg Mehl Wie vielkostet 1 kg Zucker

979 (1) Esbesuchten viermalso vieleErwachsene wieKinder dieAusstellung (2)Insgesamtbesuchten 680Personen dieAusstellung (3) Eshaben um 240mehr Kinder alsErwachsene dieAusstellungbesucht

979I2)H3K1 Im Folgenden steht jeweils k fuumlr die Anzahl der Kinder und e fuumlr die Anzahl

der Erwachsenen die eine Ausstellung besucht haben Schreibe in Worten was dieGleichungen uumlber den Ausstellungsbesuch von Erwachsenen und Kindern aussagen(1) Montag e = 4k (2) Dienstag k + e = 680 (3) Mittwoch e + 240 = k

980 800 kmh70 kmn

980I2)H2K2 Ein Flugzeug erreicht mit Ruumlckenwind eine Geschwindigkeit von 870 kmh bei

(gleichstarkem) Gegenwind kommt es nur auf 720 kmh Berechne die Eigengeschwin-digkeit des Flugzeugs und die Windgeschwindigkeit

981I2)H1K3 Schreibe ein lineares Gleichungssystem an das die Loumlsung (2|5) hat

ii

ii

ii

ii

104 Textaufgaben zu linearen Gleichungssystemen 197

104 Textaufgaben zu linearen GleichungssystemenVerwende beim Loumlsen der in den folgenden Aufgaben auftretenden Gleichungssystemejenes Loumlsungsverfahren das dir am geeignetsten erscheint

940 a) x + y = 1585x + 65y = 95548 Schuumllerinnenund110 Erwachseneb) 104 Schuumllerin-nen und92 Erwachsene

940I2)H2K1 Der Eintritt zu einer Greifvogelschau kostet fuumlr Schuumllerinnen

500 euro fuumlr Erwachsene 650 euro Das Verwaltungsbuumlro der Greifvo-gelstation moumlchte wissen wie die Aufteilung der Zuschauer aufErwachsene und Schuumllerinnen war An der Kassa hat man abernur die Gesamtanzahl an verkauften Karten und die Einnahmenregistriert Berechne aus diesen Aufzeichnungen wie viele Er-wachsene bzw Schuumllerinnen die Flugshow besucht haben

a) Vormittagsvorstellung 158 Karten Einnahmen 955ndash eurob) Nachmittagsvorstellung 196 Karten Einnahmen 1118ndash euro

941 x + y = 27065x + 4y = 1485162 Karten fuumlrErwachsene und108 Schuumllerinnen-Karten

941I2)H2K1 Bei der Auffuumlhrung eines Schultheaters werden an der Abendkassa Karten zu

650 euro fuumlr Erwachsene und Karten zu 4 euro fuumlr Schuumllerinnen verkauft Insgesamt wurden270 Karten verkauft und 1485 euro eingenommen Wie viele Schuumllerinnenkarten und wieviele Karten fuumlr Erwachsene wurden verkauft

9423 Gleichungssystem

942I2)H3K1 Wie Aufgabe 941 fuumlr insgesamt 171 verkaufte Karten und 879 euro EinnahmenWelches

Gleichungssystem passt zum Text Kreuze an

times I e + s = 879II 650e + 4s = 171

I e + 4s = 171II 650e + s = 879

I e + s = 171II 650e+4s = 879

I 4s + s = 171II 650e + e = 879

943 (1) DerHinflug erfolgt mitRuumlckenwind derRuumlckflug mitGegenwind Jadenn bei allenLangstreckenfluuml-gen wirken sich dieLuftstroumlmungenauf die Flugzeit ausWien ndash New York910 h New York ndashWien 845(Abfragewwwauacom2552009) (2)Wien ndash Tokio821 kmh Tokio ndashWien 764 kmh(3) Eigengeschwin-digkeit desFlugzeuges7925 kmh Wind-geschwindigkeit285 kmh

943I2)H2K1 diams Waumlhrend des Langstreckenfluges Wien ndash To-

kio werden den Passagieren uumlber Bildschirme Rei-seinformationen geboten Zu Beginn der Reise wirddie Distanz zwischen Wien und Tokio mit 9164 kmangegeben die voraussichtliche Flugzeit mit 1110h Frau Schindler vergleicht mit ihren Fluginforma-tionen fuumlr den Ruumlckflug Dort wird die Flugzeit fuumlrTokio ndash Wien mit 1200 h angegeben obwohl sie wie-der mit demselben Flugzeugtyp fliegen wird(1) Warum unterscheiden sich die Flugzeiten zwischen Hinflug und Ruumlckflug so deut-lich Ist das auch bei anderen Langstreckenfluumlgen so Frage im Internet die Flugzeitenfuumlr den Transatlantikflug von einem europaumlischen Flughafen nach New York hin undzuruumlck ab(2) Berechne die durchschnittliche Fluggeschwindigkeit fuumlr die angegebenen FlugzeitenWien ndash Tokio bzw Tokio ndash Wien(3) Berechne die (durchschnittliche) Eigengeschwindigkeit des Flugzeuges und die(durchschnittliche) erwartete Windgeschwindigkeit die der Angabe der Flugzeit zu-grunde liegen

ii

ii

ii

ii

198 10 Lineare Gleichungen und Gleichungssysteme mit zwei Variablen

944(1) Hinflug764 kmhRuumlckflug 836 kmh(2) Eigengeschwin-digkeit desFlugzeuges800 kmh Windge-schwindigkeit36 kmh

944I2)H2K1 diams Die Flugzeit fuumlr den Flug Frankfurt ndash Chicago

wird im Internet von einer Fluglinie mit 908 h an-gegeben die Flugzeit fuumlr den Ruumlckflug mit dem-selben Flugzeugtyp mit 821 h Die Entfernungzwischen Frankfurt und Chicago betraumlgt 6978 km(1) Berechne die durchschnittlichen Fluggeschwin-digkeiten fuumlr die angegebenen Flugzeiten fuumlr Hin-und Ruumlckflug(2) Berechne die (durchschnittliche) Eigengeschwindigkeit des Flugzeuges und die(durchschnittliche) erwartete Windgeschwindigkeit die der Angabe der Flugzeit zu-grunde liegen

Kommen zwei Systeme (z B Fluumlssigkeiten) mit unterschiedlicher Temperatur zusam-men so gleichen sich ihre Temperaturen durch Waumlrmeaustausch an Waumlrme flieszligtdabei immer vom waumlrmeren zum kaumllteren System so lange bis beide Systeme diegleiche Temperatur habenMischt man einen Liter Wasser mit einer Temperatur von 10 mit einem Liter Was-ser mit einer Temperatur von 20 so entstehen 2 Liter Wasser mit der mittlerenTemperatur von 15

94566 Liter aus demWasserboiler und84 Liter aus demKaltwasserzufluss

945I2)H2K1 ⋆ In einem Niedrigenergiehaus steht ein solar-

beheizter Wasserboiler zur Verfuumlgung Nach einemsonnigen Tag wird eine Wassertemperatur von 64angezeigt Eine Badewanne soll mit 150 Litern Was-ser gefuumlllt werden die erwuumlnschte Temperatur ist37 Wie viele Liter muumlssen aus dem solarbeheiztenBoiler und wie viele Liter aus einem Kaltwasserzu-fluss (16 ) zuflieszligen Runde auf ganze Liter

946 12 Liter 946I2)H2K1 ⋆ An einem heiszligen Sommertag ist die Temperatur in einem 100-Liter-Aquarium

auf 27 angestiegen Wie viel Liter Wasser muss man entnehmen und durch 10 kaltes Wasser ersetzen damit wieder die fuumlr die Fische passende Temperatur von 25 erreicht wird(Tipp Wenn von den 100 Litern x Liter entnommen werden so ist das genau jeneWassermenge mit 10 die zur verbleibenden Wassermenge (y Liter) hinzukommt)

Zahlenraumltsel

947a) x + y = 131 undx minus v = 43b) x = y + 5 und2v + x = 83

947I2)H2K1 Uumlbersetze den Text jeweils in zwei lineare Gleichungen und loumlse das Gleichungs-

system um die beiden gesuchten Zahlen zu ermitteln Fuumlhre auch die Probe durcha) Die Summe zweier Zahlen ist 131 Ihre Differenz betraumlgt 43b) Eine Zahl ist um 5 groumlszliger als die andere Addiert man zum Doppelten der kleinerenZahl die groumlszligere Zahl erhaumllt man 83

ii

ii

ii

ii

104 Textaufgaben zu linearen Gleichungssystemen 199

948 a) 150 und 50b) 8 und 28

948I2)H2K1 Wie Aufgabe 947

a) Eine Zahl ist dreimal so groszlig wie eine zweite Zahl Die Differenz der beiden Zahlenbetraumlgt 100b) Die Differenz zweier Zahlen ist 20 Addiert man zum Dreifachen der kleineren Zahldas Doppelte der groumlszligeren Zahl erhaumllt man 80

949 13 und 9949I2)H2K1 ⋆ Die Differenz zweier Zahlen betraumlgt 4 Verringert man die groumlszligere der beiden

Zahlen um 1 und vergroumlszligert die kleinere um 2 so wird das Produkt um 15 groumlszliger Wielauten die beiden Zahlen

950 27 und 42950I2)H2K1 ⋆ Die Summe zweier Zahlen ist 69 Vergroumlszligert man eine Zahl um 3 und verringert

die andere um 5 so wird das Produkt um 24 kleiner Berechne die beiden Zahlen

Aufgaben aus der Geometrie

951 a) a = 23 cmb = 13 cmb) a =24 cmb = 12 cm

ef

a

b

951I2)H2K1 Die laumlngere Seite eines Parallelogramms ist

a) um 10 cm laumlnger als die kuumlrzere Seiteb) doppelt so lang wie die kuumlrzere SeiteDer Umfang des Parallelogramms ist 72 cmBerechne die Seitenlaumlngen des Parallelogramms

952 I α + 54 = γ II 2α + γ = 180α = β = 42deg γ = 96degb

A c

a

C

B

952I2)H2K1 In einem gleichschenkligen Dreieck ist ein Basiswinkel (α = β

vergleiche mit der Skizze) um 54deg kleiner als der Winkel γ Ermittle dieGroumlszlige der Winkel des gleichschenkligen Dreiecks Fuumlhre auch die Probedurch

953 Basis 32 cmSchenkel 21 cm

953I2)H2K1 Die Basis eines gleichschenkligen Dreiecks ist um 11 cm laumlnger als die Schenkel-

laumlnge Der Umfang des Dreiecks ist 74 dm Wie lang sind Basis und Schenkel diesesgleichschenkligen Dreiecks

954 Basis 18 cmSchenkel 21 cm

954I2)H2K1 Der Umfang eines gleichschenkligen Dreiecks betraumlgt 60 cm Die Basis ist um

3 cm kuumlrzer als eine Schenkellaumlnge Berechne die Laumlnge der Basis und der Schenkel

955 b = 21 cml = 35 cm

955I2)H2K1 In einem Rechteck verhalten sich die Seiten wie 35 Der Umfang des Rechtecks

ist 112 cm Wie breit und wie lang ist das Rechteck

956 Erfinde eine aumlhnliche Aufgabenstellung wie die in 955Deine Nachbarindein Nachbar soll sie loumlsen

957 (1) b = 8 cml = 18 cm (2) einQuadrat mits = 12 cm

957I2)H2K1 ⋆ Die Seiten eines Rechtecks verhalten sich wie 49 Verlaumlngert man die kuumlrzere

Seite um 4 cm und verkuumlrzt die laumlngere Seite um 6 cm so bleibt der Flaumlcheninhaltunveraumlndert(1) Wie lang und wie breit ist das urspruumlngliche Rechteck(2) Wie lang sind die Seiten des veraumlnderten RechtecksWelche besondere Form liegt vor

ii

ii

ii

ii

200 10 Lineare Gleichungen und Gleichungssysteme mit zwei Variablen

958 a) y = ndashx +3

b) y = 135x + 4

5

958I2)H2K1 Wie lautet die Gleichung jener Geraden g die durch die beiden gegebenen Punkte

geht

A(ndash2|5) B(3|1)Da beide Punkte auf der Geraden g liegenerfuumlllen sie die Gleichung y = kx + dWir setzen daher die Koordinaten der Punkte fuumlr x und y ein und erhalten ein linearesGleichungssystem mit den Variablen k und dA liegt auf g rArr I 5 = ndash2k + d | sdot (ndash1)B liegt auf g rArr II 1 = 3k + d rceil+

(ndash1) sdot I ndash5 = 2k ndash d rfloorndash4 = 5kk = minus 4

5minus 4

5eingesetzt in Gleichung I ergibt

5 = ndash2 sdot 1114100minus 451114103 +d rArrd = 5 ndash

85= 17

5Die Gleichung der Geraden g die durch die beiden Punkte A und B verlaumluft lautetdaher

g y = minus 45k +

175

a) A(2|1) B(ndash1|4) b) R(ndash3|ndash7) S(2|6)

959 a) y = minus 25x + 2

b) y = minus 74x + 5

c) y = 109x + 1

9

d) y = 56x ndash 5

959 Stelle die Gleichung jener Geraden auf die durch die gegebenen beiden Punktegehta) A(ndash20|10) B(5|0) b) C(0|5) D(4|ndash2) c) E(8|9) F(ndash1|ndash1) d) G(6|0) H(0|ndash5)

105 Ausblick und Exercises1051 Ausblick

960 (1)a = 104 cmha = 78 cm (2) Eshandelt sich nichtum ein linearesGleichungssystemEinsetzungsverfah-ren undGleichsetzungsver-fahren koumlnnen zurAnwendungkommenAdditionsverfahrenund grafischesLoumlsungsverfahrennicht

960I2)H2K1 ⋆ In einemDreieck verhalten sich eine Seite und ihre Houmlhe wie 43 Der Flaumlcheninhalt

des Dreiecks betraumlgt 4056 cm2(1) Berechne die Seitenlaumlnge und die Houmlhe(2) Inwiefern unterscheidet sich das Gleichungssystem in (1) von den anderen bisjetzt behandelten Welche Loumlsungsverfahren koumlnnen zur Anwendung kommen welchenichtWie Aufgabe 960 zeigt gibt es auch andere als nur lineare Gleichungssysteme Mit demEinsetzungsverfahren kann man auch diese loumlsen Das Additionsverfahren ist dafuumlrnicht geeignetBei komplexen Sachverhalten mit hoher Anwendungsrelevanz kommt man in der Regelnicht mit einem Gleichungssystem das nur zwei Gleichungen enthaumllt aus Beispiels-weise fuumlhren Messreihen in der Chemie oder Physik haumlufig auf Gleichungssysteme dieaus mehreren Gleichungen mit mehreren Variablen bestehenDie Loumlsungsverfahren wie du sie kennengelernt hast sind auch fuumlr solche Gleichungs-systeme erweiterbar In der Praxis wird der oft hohe Rechenaufwand mit geeigneterSoftware am Computer (siehe Kap 145 S 265) bewaumlltigt

ii

ii

ii

ii

105 Ausblick und Exercises 201

1052 Exercises

vocabularysystem of linear equations lineares Gleichungssystemsolution Loumlsunggraphing zeichnensubstitution das Ersetzen Einsetzenaddition method hier Additionsverfahrento solve loumlseninfinitely-many unendlich viele

961 (ndash5|1) is asolution of thegiven equation

961I2)H3K2 Determine whether either of the points (1|ndash5) and (ndash5|1) is a solution to the given

system of equationsndash6x + y = 315x + 7y = ndash18

962I2)H3K1 Fill in

infinitely-many (2x) ndash two ndash three (2x) ndash one (2x) ndash no solution ndash none

For systems of linear equations (two variables two equations) there are threepossible types of solutions

The system may have one solution (a specific point (x|y))

no solution at all or

infinitely-many solutions

There is no such system with two or three solutions

You will always have one none

or infinitely-many solutions

963 L = (0|3)963I2)H2K2 Solve the following system by graphing

x + 4y = 12ndash10x + 5y = 15

964 L = (ndash50|100)964I2)H2K2 Solve the following system by substitution

ndash3x + y = 2507x + 10y = 650

965 L = (35|ndash8)965I2)H2K2 Solve the following system using the addition method

6x + 11y = ndash678x ndash 3y = 52

966 98 and 41966I2)H2K2 The difference of two numbers is 57 The sum of these two numbers is 139 Which

numbers are we referring to

967 (12|1) and(1|0)

967I2)H2K1 Which are correct solutions to the equation 5x + 4y = 5

times times(12|1) (2| + 12) (04|05) (1|0)

ii

ii

ii

ii

202 10 Lineare Gleichungen und Gleichungssysteme mit zwei Variablen

106 Mathe fit und kompetent ndash Kompetenzcheck

968 Richtig sindm + b = 21 undm minus 2b

2m + b = 21 m + 2b = 21 m + b = 21 timesm = 2b timesb = 2m

968I2)H3K1 In einer Klasse mit 21 Kindern gibt es doppelt so viele

Maumldchen wie BubenDie Anzahl der Maumldchen wird mit m bezeichnet die Anzahl derBubenmit b Kreuze jeneGleichung(en) an die zur beschriebenenKlasse passen

969I2)H1K1 Schreibe den Text in Form eines linearen Gleichungssystems an

a) Bei einer Flugreise wiegt Deryas Koffer um 7 kg mehr als ihr Handgepaumlck Insgesamthaben die beiden Gepaumlckstuumlcke 23 kg

I k = h + 7

II k + h = 23b) Eine Zahl ist um 7 groumlszliger als die andere Subtrahiert man vom Doppelten dergroumlszligeren Zahl die kleinere erhaumllt man 20

I x = y + 7

II 2x minus y = 20

970I2)H1K3 Erfinde einen kurzen Text der sich durch eine lineare Gleichungmit zwei Variablen

darstellen laumlsst

971 (1) (minus05|3)(2) (5|0) (3) (1| minus 7)(4) (0|4)

971I2)H2K1 Verbinde die Gleichungssysteme mit der jeweils richtigen Loumlsung

(1) 2x + y = 2 (1| minus 7)minus8x minus 2y = minus2

(2) 4x + 6y = 20 (0|4)minusx + y = minus5

(3) 2x + y = minus5 (minus05|3)minus8x minus 2y = 6

(4) x + 2y = 8 (5|0)10x minus y = minus4

972 a) (6| minus 5)b) (04|1)

972I2)H2K1 Loumlse das Gleichungssystem und fuumlhre auch die Probe durch

a) I 3x + 4y = minus2 b) I 5x minus 4y = minus2II x minus y = 11 II minus2x + 6y = 52

973 L = (ndash2|1) 973I2)H2K2 Loumlse das Gleichungssystem (1) graphisch und (2) rechnerisch

I minus3x + 2y = 8II 2x + 4y = 0

ii

ii

ii

ii

106 Mathe fit und kompetent ndash Kompetenzcheck 203

974I2)H3K2 (1) Welches Gleichungssystem ist in der Grafik dargestellt Kreuze an

I y = 34xndash4

II y = 13x + 1

I y = 43x + 4

II y = minus 13xndash1

I y = xndash4II y = 1

3x + 1

I y = 43x minus 4

II y = minus 13x + 1

times

(2) Wie lautet die Loumlsung dieses Gleichungssystems (3|0)

975 Keine LoumlsungDie beidenGleichungenstellen paralleleGeraden dar dahergibt es keinZahlenpaar dasbeide Gleichungenerfuumlllt975I2)H4

K2 Wie viele Loumlsungen hat das angeschriebene GleichungssystemVersuche zu antworten ohne ein Loumlsungsverfahren anzuwendenBegruumlnde deine Antwort

I x + y = 1II 2x + 2y = 3

976 SieheZusammenfassungder Loumlsungsfaumllleauf Seite 191

976I2)H4K3 Erklaumlre Warum hat ein lineares Gleichungssystem mit zwei Variablen entweder

genau eine keine oder unendlich viele Loumlsungen977 3 und 4Gleichungssystem

977I2)H3K1 In einem Rechteck verhalten sich die Seiten wie 4 ∶ 7 Der Umfang ist 55 cm

Zwei der folgenden Gleichungssysteme beschreiben den Sachverhalt richtig Kreuze anwelche

times timesI b ∶ l = 4 ∶ 7II 4b + 7l = 55

I 4l = 7bII b + l = 55

I b ∶ l = 4 ∶ 7II 2b + 2l = 55

I 4l = 7bII 2(b + l) = 55

978 1 kg Mehlkostet 15 euro 1 kgZucker kostet 1 euro

978I2)H2K2 Tom kauft 2 kg Mehl und 1 kg Zucker und bezahlt dafuumlr 4 Euro Anna kauft 1 kg

Mehl und 3 kg Zucker und bezahlt dafuumlr 45 Euro Wie viel kostet 1 kg Mehl Wie vielkostet 1 kg Zucker

979 (1) Esbesuchten viermalso vieleErwachsene wieKinder dieAusstellung (2)Insgesamtbesuchten 680Personen dieAusstellung (3) Eshaben um 240mehr Kinder alsErwachsene dieAusstellungbesucht

979I2)H3K1 Im Folgenden steht jeweils k fuumlr die Anzahl der Kinder und e fuumlr die Anzahl

der Erwachsenen die eine Ausstellung besucht haben Schreibe in Worten was dieGleichungen uumlber den Ausstellungsbesuch von Erwachsenen und Kindern aussagen(1) Montag e = 4k (2) Dienstag k + e = 680 (3) Mittwoch e + 240 = k

980 800 kmh70 kmn

980I2)H2K2 Ein Flugzeug erreicht mit Ruumlckenwind eine Geschwindigkeit von 870 kmh bei

(gleichstarkem) Gegenwind kommt es nur auf 720 kmh Berechne die Eigengeschwin-digkeit des Flugzeugs und die Windgeschwindigkeit

981I2)H1K3 Schreibe ein lineares Gleichungssystem an das die Loumlsung (2|5) hat

ii

ii

ii

ii

198 10 Lineare Gleichungen und Gleichungssysteme mit zwei Variablen

944(1) Hinflug764 kmhRuumlckflug 836 kmh(2) Eigengeschwin-digkeit desFlugzeuges800 kmh Windge-schwindigkeit36 kmh

944I2)H2K1 diams Die Flugzeit fuumlr den Flug Frankfurt ndash Chicago

wird im Internet von einer Fluglinie mit 908 h an-gegeben die Flugzeit fuumlr den Ruumlckflug mit dem-selben Flugzeugtyp mit 821 h Die Entfernungzwischen Frankfurt und Chicago betraumlgt 6978 km(1) Berechne die durchschnittlichen Fluggeschwin-digkeiten fuumlr die angegebenen Flugzeiten fuumlr Hin-und Ruumlckflug(2) Berechne die (durchschnittliche) Eigengeschwindigkeit des Flugzeuges und die(durchschnittliche) erwartete Windgeschwindigkeit die der Angabe der Flugzeit zu-grunde liegen

Kommen zwei Systeme (z B Fluumlssigkeiten) mit unterschiedlicher Temperatur zusam-men so gleichen sich ihre Temperaturen durch Waumlrmeaustausch an Waumlrme flieszligtdabei immer vom waumlrmeren zum kaumllteren System so lange bis beide Systeme diegleiche Temperatur habenMischt man einen Liter Wasser mit einer Temperatur von 10 mit einem Liter Was-ser mit einer Temperatur von 20 so entstehen 2 Liter Wasser mit der mittlerenTemperatur von 15

94566 Liter aus demWasserboiler und84 Liter aus demKaltwasserzufluss

945I2)H2K1 ⋆ In einem Niedrigenergiehaus steht ein solar-

beheizter Wasserboiler zur Verfuumlgung Nach einemsonnigen Tag wird eine Wassertemperatur von 64angezeigt Eine Badewanne soll mit 150 Litern Was-ser gefuumlllt werden die erwuumlnschte Temperatur ist37 Wie viele Liter muumlssen aus dem solarbeheiztenBoiler und wie viele Liter aus einem Kaltwasserzu-fluss (16 ) zuflieszligen Runde auf ganze Liter

946 12 Liter 946I2)H2K1 ⋆ An einem heiszligen Sommertag ist die Temperatur in einem 100-Liter-Aquarium

auf 27 angestiegen Wie viel Liter Wasser muss man entnehmen und durch 10 kaltes Wasser ersetzen damit wieder die fuumlr die Fische passende Temperatur von 25 erreicht wird(Tipp Wenn von den 100 Litern x Liter entnommen werden so ist das genau jeneWassermenge mit 10 die zur verbleibenden Wassermenge (y Liter) hinzukommt)

Zahlenraumltsel

947a) x + y = 131 undx minus v = 43b) x = y + 5 und2v + x = 83

947I2)H2K1 Uumlbersetze den Text jeweils in zwei lineare Gleichungen und loumlse das Gleichungs-

system um die beiden gesuchten Zahlen zu ermitteln Fuumlhre auch die Probe durcha) Die Summe zweier Zahlen ist 131 Ihre Differenz betraumlgt 43b) Eine Zahl ist um 5 groumlszliger als die andere Addiert man zum Doppelten der kleinerenZahl die groumlszligere Zahl erhaumllt man 83

ii

ii

ii

ii

104 Textaufgaben zu linearen Gleichungssystemen 199

948 a) 150 und 50b) 8 und 28

948I2)H2K1 Wie Aufgabe 947

a) Eine Zahl ist dreimal so groszlig wie eine zweite Zahl Die Differenz der beiden Zahlenbetraumlgt 100b) Die Differenz zweier Zahlen ist 20 Addiert man zum Dreifachen der kleineren Zahldas Doppelte der groumlszligeren Zahl erhaumllt man 80

949 13 und 9949I2)H2K1 ⋆ Die Differenz zweier Zahlen betraumlgt 4 Verringert man die groumlszligere der beiden

Zahlen um 1 und vergroumlszligert die kleinere um 2 so wird das Produkt um 15 groumlszliger Wielauten die beiden Zahlen

950 27 und 42950I2)H2K1 ⋆ Die Summe zweier Zahlen ist 69 Vergroumlszligert man eine Zahl um 3 und verringert

die andere um 5 so wird das Produkt um 24 kleiner Berechne die beiden Zahlen

Aufgaben aus der Geometrie

951 a) a = 23 cmb = 13 cmb) a =24 cmb = 12 cm

ef

a

b

951I2)H2K1 Die laumlngere Seite eines Parallelogramms ist

a) um 10 cm laumlnger als die kuumlrzere Seiteb) doppelt so lang wie die kuumlrzere SeiteDer Umfang des Parallelogramms ist 72 cmBerechne die Seitenlaumlngen des Parallelogramms

952 I α + 54 = γ II 2α + γ = 180α = β = 42deg γ = 96degb

A c

a

C

B

952I2)H2K1 In einem gleichschenkligen Dreieck ist ein Basiswinkel (α = β

vergleiche mit der Skizze) um 54deg kleiner als der Winkel γ Ermittle dieGroumlszlige der Winkel des gleichschenkligen Dreiecks Fuumlhre auch die Probedurch

953 Basis 32 cmSchenkel 21 cm

953I2)H2K1 Die Basis eines gleichschenkligen Dreiecks ist um 11 cm laumlnger als die Schenkel-

laumlnge Der Umfang des Dreiecks ist 74 dm Wie lang sind Basis und Schenkel diesesgleichschenkligen Dreiecks

954 Basis 18 cmSchenkel 21 cm

954I2)H2K1 Der Umfang eines gleichschenkligen Dreiecks betraumlgt 60 cm Die Basis ist um

3 cm kuumlrzer als eine Schenkellaumlnge Berechne die Laumlnge der Basis und der Schenkel

955 b = 21 cml = 35 cm

955I2)H2K1 In einem Rechteck verhalten sich die Seiten wie 35 Der Umfang des Rechtecks

ist 112 cm Wie breit und wie lang ist das Rechteck

956 Erfinde eine aumlhnliche Aufgabenstellung wie die in 955Deine Nachbarindein Nachbar soll sie loumlsen

957 (1) b = 8 cml = 18 cm (2) einQuadrat mits = 12 cm

957I2)H2K1 ⋆ Die Seiten eines Rechtecks verhalten sich wie 49 Verlaumlngert man die kuumlrzere

Seite um 4 cm und verkuumlrzt die laumlngere Seite um 6 cm so bleibt der Flaumlcheninhaltunveraumlndert(1) Wie lang und wie breit ist das urspruumlngliche Rechteck(2) Wie lang sind die Seiten des veraumlnderten RechtecksWelche besondere Form liegt vor

ii

ii

ii

ii

200 10 Lineare Gleichungen und Gleichungssysteme mit zwei Variablen

958 a) y = ndashx +3

b) y = 135x + 4

5

958I2)H2K1 Wie lautet die Gleichung jener Geraden g die durch die beiden gegebenen Punkte

geht

A(ndash2|5) B(3|1)Da beide Punkte auf der Geraden g liegenerfuumlllen sie die Gleichung y = kx + dWir setzen daher die Koordinaten der Punkte fuumlr x und y ein und erhalten ein linearesGleichungssystem mit den Variablen k und dA liegt auf g rArr I 5 = ndash2k + d | sdot (ndash1)B liegt auf g rArr II 1 = 3k + d rceil+

(ndash1) sdot I ndash5 = 2k ndash d rfloorndash4 = 5kk = minus 4

5minus 4

5eingesetzt in Gleichung I ergibt

5 = ndash2 sdot 1114100minus 451114103 +d rArrd = 5 ndash

85= 17

5Die Gleichung der Geraden g die durch die beiden Punkte A und B verlaumluft lautetdaher

g y = minus 45k +

175

a) A(2|1) B(ndash1|4) b) R(ndash3|ndash7) S(2|6)

959 a) y = minus 25x + 2

b) y = minus 74x + 5

c) y = 109x + 1

9

d) y = 56x ndash 5

959 Stelle die Gleichung jener Geraden auf die durch die gegebenen beiden Punktegehta) A(ndash20|10) B(5|0) b) C(0|5) D(4|ndash2) c) E(8|9) F(ndash1|ndash1) d) G(6|0) H(0|ndash5)

105 Ausblick und Exercises1051 Ausblick

960 (1)a = 104 cmha = 78 cm (2) Eshandelt sich nichtum ein linearesGleichungssystemEinsetzungsverfah-ren undGleichsetzungsver-fahren koumlnnen zurAnwendungkommenAdditionsverfahrenund grafischesLoumlsungsverfahrennicht

960I2)H2K1 ⋆ In einemDreieck verhalten sich eine Seite und ihre Houmlhe wie 43 Der Flaumlcheninhalt

des Dreiecks betraumlgt 4056 cm2(1) Berechne die Seitenlaumlnge und die Houmlhe(2) Inwiefern unterscheidet sich das Gleichungssystem in (1) von den anderen bisjetzt behandelten Welche Loumlsungsverfahren koumlnnen zur Anwendung kommen welchenichtWie Aufgabe 960 zeigt gibt es auch andere als nur lineare Gleichungssysteme Mit demEinsetzungsverfahren kann man auch diese loumlsen Das Additionsverfahren ist dafuumlrnicht geeignetBei komplexen Sachverhalten mit hoher Anwendungsrelevanz kommt man in der Regelnicht mit einem Gleichungssystem das nur zwei Gleichungen enthaumllt aus Beispiels-weise fuumlhren Messreihen in der Chemie oder Physik haumlufig auf Gleichungssysteme dieaus mehreren Gleichungen mit mehreren Variablen bestehenDie Loumlsungsverfahren wie du sie kennengelernt hast sind auch fuumlr solche Gleichungs-systeme erweiterbar In der Praxis wird der oft hohe Rechenaufwand mit geeigneterSoftware am Computer (siehe Kap 145 S 265) bewaumlltigt

ii

ii

ii

ii

105 Ausblick und Exercises 201

1052 Exercises

vocabularysystem of linear equations lineares Gleichungssystemsolution Loumlsunggraphing zeichnensubstitution das Ersetzen Einsetzenaddition method hier Additionsverfahrento solve loumlseninfinitely-many unendlich viele

961 (ndash5|1) is asolution of thegiven equation

961I2)H3K2 Determine whether either of the points (1|ndash5) and (ndash5|1) is a solution to the given

system of equationsndash6x + y = 315x + 7y = ndash18

962I2)H3K1 Fill in

infinitely-many (2x) ndash two ndash three (2x) ndash one (2x) ndash no solution ndash none

For systems of linear equations (two variables two equations) there are threepossible types of solutions

The system may have one solution (a specific point (x|y))

no solution at all or

infinitely-many solutions

There is no such system with two or three solutions

You will always have one none

or infinitely-many solutions

963 L = (0|3)963I2)H2K2 Solve the following system by graphing

x + 4y = 12ndash10x + 5y = 15

964 L = (ndash50|100)964I2)H2K2 Solve the following system by substitution

ndash3x + y = 2507x + 10y = 650

965 L = (35|ndash8)965I2)H2K2 Solve the following system using the addition method

6x + 11y = ndash678x ndash 3y = 52

966 98 and 41966I2)H2K2 The difference of two numbers is 57 The sum of these two numbers is 139 Which

numbers are we referring to

967 (12|1) and(1|0)

967I2)H2K1 Which are correct solutions to the equation 5x + 4y = 5

times times(12|1) (2| + 12) (04|05) (1|0)

ii

ii

ii

ii

202 10 Lineare Gleichungen und Gleichungssysteme mit zwei Variablen

106 Mathe fit und kompetent ndash Kompetenzcheck

968 Richtig sindm + b = 21 undm minus 2b

2m + b = 21 m + 2b = 21 m + b = 21 timesm = 2b timesb = 2m

968I2)H3K1 In einer Klasse mit 21 Kindern gibt es doppelt so viele

Maumldchen wie BubenDie Anzahl der Maumldchen wird mit m bezeichnet die Anzahl derBubenmit b Kreuze jeneGleichung(en) an die zur beschriebenenKlasse passen

969I2)H1K1 Schreibe den Text in Form eines linearen Gleichungssystems an

a) Bei einer Flugreise wiegt Deryas Koffer um 7 kg mehr als ihr Handgepaumlck Insgesamthaben die beiden Gepaumlckstuumlcke 23 kg

I k = h + 7

II k + h = 23b) Eine Zahl ist um 7 groumlszliger als die andere Subtrahiert man vom Doppelten dergroumlszligeren Zahl die kleinere erhaumllt man 20

I x = y + 7

II 2x minus y = 20

970I2)H1K3 Erfinde einen kurzen Text der sich durch eine lineare Gleichungmit zwei Variablen

darstellen laumlsst

971 (1) (minus05|3)(2) (5|0) (3) (1| minus 7)(4) (0|4)

971I2)H2K1 Verbinde die Gleichungssysteme mit der jeweils richtigen Loumlsung

(1) 2x + y = 2 (1| minus 7)minus8x minus 2y = minus2

(2) 4x + 6y = 20 (0|4)minusx + y = minus5

(3) 2x + y = minus5 (minus05|3)minus8x minus 2y = 6

(4) x + 2y = 8 (5|0)10x minus y = minus4

972 a) (6| minus 5)b) (04|1)

972I2)H2K1 Loumlse das Gleichungssystem und fuumlhre auch die Probe durch

a) I 3x + 4y = minus2 b) I 5x minus 4y = minus2II x minus y = 11 II minus2x + 6y = 52

973 L = (ndash2|1) 973I2)H2K2 Loumlse das Gleichungssystem (1) graphisch und (2) rechnerisch

I minus3x + 2y = 8II 2x + 4y = 0

ii

ii

ii

ii

106 Mathe fit und kompetent ndash Kompetenzcheck 203

974I2)H3K2 (1) Welches Gleichungssystem ist in der Grafik dargestellt Kreuze an

I y = 34xndash4

II y = 13x + 1

I y = 43x + 4

II y = minus 13xndash1

I y = xndash4II y = 1

3x + 1

I y = 43x minus 4

II y = minus 13x + 1

times

(2) Wie lautet die Loumlsung dieses Gleichungssystems (3|0)

975 Keine LoumlsungDie beidenGleichungenstellen paralleleGeraden dar dahergibt es keinZahlenpaar dasbeide Gleichungenerfuumlllt975I2)H4

K2 Wie viele Loumlsungen hat das angeschriebene GleichungssystemVersuche zu antworten ohne ein Loumlsungsverfahren anzuwendenBegruumlnde deine Antwort

I x + y = 1II 2x + 2y = 3

976 SieheZusammenfassungder Loumlsungsfaumllleauf Seite 191

976I2)H4K3 Erklaumlre Warum hat ein lineares Gleichungssystem mit zwei Variablen entweder

genau eine keine oder unendlich viele Loumlsungen977 3 und 4Gleichungssystem

977I2)H3K1 In einem Rechteck verhalten sich die Seiten wie 4 ∶ 7 Der Umfang ist 55 cm

Zwei der folgenden Gleichungssysteme beschreiben den Sachverhalt richtig Kreuze anwelche

times timesI b ∶ l = 4 ∶ 7II 4b + 7l = 55

I 4l = 7bII b + l = 55

I b ∶ l = 4 ∶ 7II 2b + 2l = 55

I 4l = 7bII 2(b + l) = 55

978 1 kg Mehlkostet 15 euro 1 kgZucker kostet 1 euro

978I2)H2K2 Tom kauft 2 kg Mehl und 1 kg Zucker und bezahlt dafuumlr 4 Euro Anna kauft 1 kg

Mehl und 3 kg Zucker und bezahlt dafuumlr 45 Euro Wie viel kostet 1 kg Mehl Wie vielkostet 1 kg Zucker

979 (1) Esbesuchten viermalso vieleErwachsene wieKinder dieAusstellung (2)Insgesamtbesuchten 680Personen dieAusstellung (3) Eshaben um 240mehr Kinder alsErwachsene dieAusstellungbesucht

979I2)H3K1 Im Folgenden steht jeweils k fuumlr die Anzahl der Kinder und e fuumlr die Anzahl

der Erwachsenen die eine Ausstellung besucht haben Schreibe in Worten was dieGleichungen uumlber den Ausstellungsbesuch von Erwachsenen und Kindern aussagen(1) Montag e = 4k (2) Dienstag k + e = 680 (3) Mittwoch e + 240 = k

980 800 kmh70 kmn

980I2)H2K2 Ein Flugzeug erreicht mit Ruumlckenwind eine Geschwindigkeit von 870 kmh bei

(gleichstarkem) Gegenwind kommt es nur auf 720 kmh Berechne die Eigengeschwin-digkeit des Flugzeugs und die Windgeschwindigkeit

981I2)H1K3 Schreibe ein lineares Gleichungssystem an das die Loumlsung (2|5) hat

ii

ii

ii

ii

104 Textaufgaben zu linearen Gleichungssystemen 199

948 a) 150 und 50b) 8 und 28

948I2)H2K1 Wie Aufgabe 947

a) Eine Zahl ist dreimal so groszlig wie eine zweite Zahl Die Differenz der beiden Zahlenbetraumlgt 100b) Die Differenz zweier Zahlen ist 20 Addiert man zum Dreifachen der kleineren Zahldas Doppelte der groumlszligeren Zahl erhaumllt man 80

949 13 und 9949I2)H2K1 ⋆ Die Differenz zweier Zahlen betraumlgt 4 Verringert man die groumlszligere der beiden

Zahlen um 1 und vergroumlszligert die kleinere um 2 so wird das Produkt um 15 groumlszliger Wielauten die beiden Zahlen

950 27 und 42950I2)H2K1 ⋆ Die Summe zweier Zahlen ist 69 Vergroumlszligert man eine Zahl um 3 und verringert

die andere um 5 so wird das Produkt um 24 kleiner Berechne die beiden Zahlen

Aufgaben aus der Geometrie

951 a) a = 23 cmb = 13 cmb) a =24 cmb = 12 cm

ef

a

b

951I2)H2K1 Die laumlngere Seite eines Parallelogramms ist

a) um 10 cm laumlnger als die kuumlrzere Seiteb) doppelt so lang wie die kuumlrzere SeiteDer Umfang des Parallelogramms ist 72 cmBerechne die Seitenlaumlngen des Parallelogramms

952 I α + 54 = γ II 2α + γ = 180α = β = 42deg γ = 96degb

A c

a

C

B

952I2)H2K1 In einem gleichschenkligen Dreieck ist ein Basiswinkel (α = β

vergleiche mit der Skizze) um 54deg kleiner als der Winkel γ Ermittle dieGroumlszlige der Winkel des gleichschenkligen Dreiecks Fuumlhre auch die Probedurch

953 Basis 32 cmSchenkel 21 cm

953I2)H2K1 Die Basis eines gleichschenkligen Dreiecks ist um 11 cm laumlnger als die Schenkel-

laumlnge Der Umfang des Dreiecks ist 74 dm Wie lang sind Basis und Schenkel diesesgleichschenkligen Dreiecks

954 Basis 18 cmSchenkel 21 cm

954I2)H2K1 Der Umfang eines gleichschenkligen Dreiecks betraumlgt 60 cm Die Basis ist um

3 cm kuumlrzer als eine Schenkellaumlnge Berechne die Laumlnge der Basis und der Schenkel

955 b = 21 cml = 35 cm

955I2)H2K1 In einem Rechteck verhalten sich die Seiten wie 35 Der Umfang des Rechtecks

ist 112 cm Wie breit und wie lang ist das Rechteck

956 Erfinde eine aumlhnliche Aufgabenstellung wie die in 955Deine Nachbarindein Nachbar soll sie loumlsen

957 (1) b = 8 cml = 18 cm (2) einQuadrat mits = 12 cm

957I2)H2K1 ⋆ Die Seiten eines Rechtecks verhalten sich wie 49 Verlaumlngert man die kuumlrzere

Seite um 4 cm und verkuumlrzt die laumlngere Seite um 6 cm so bleibt der Flaumlcheninhaltunveraumlndert(1) Wie lang und wie breit ist das urspruumlngliche Rechteck(2) Wie lang sind die Seiten des veraumlnderten RechtecksWelche besondere Form liegt vor

ii

ii

ii

ii

200 10 Lineare Gleichungen und Gleichungssysteme mit zwei Variablen

958 a) y = ndashx +3

b) y = 135x + 4

5

958I2)H2K1 Wie lautet die Gleichung jener Geraden g die durch die beiden gegebenen Punkte

geht

A(ndash2|5) B(3|1)Da beide Punkte auf der Geraden g liegenerfuumlllen sie die Gleichung y = kx + dWir setzen daher die Koordinaten der Punkte fuumlr x und y ein und erhalten ein linearesGleichungssystem mit den Variablen k und dA liegt auf g rArr I 5 = ndash2k + d | sdot (ndash1)B liegt auf g rArr II 1 = 3k + d rceil+

(ndash1) sdot I ndash5 = 2k ndash d rfloorndash4 = 5kk = minus 4

5minus 4

5eingesetzt in Gleichung I ergibt

5 = ndash2 sdot 1114100minus 451114103 +d rArrd = 5 ndash

85= 17

5Die Gleichung der Geraden g die durch die beiden Punkte A und B verlaumluft lautetdaher

g y = minus 45k +

175

a) A(2|1) B(ndash1|4) b) R(ndash3|ndash7) S(2|6)

959 a) y = minus 25x + 2

b) y = minus 74x + 5

c) y = 109x + 1

9

d) y = 56x ndash 5

959 Stelle die Gleichung jener Geraden auf die durch die gegebenen beiden Punktegehta) A(ndash20|10) B(5|0) b) C(0|5) D(4|ndash2) c) E(8|9) F(ndash1|ndash1) d) G(6|0) H(0|ndash5)

105 Ausblick und Exercises1051 Ausblick

960 (1)a = 104 cmha = 78 cm (2) Eshandelt sich nichtum ein linearesGleichungssystemEinsetzungsverfah-ren undGleichsetzungsver-fahren koumlnnen zurAnwendungkommenAdditionsverfahrenund grafischesLoumlsungsverfahrennicht

960I2)H2K1 ⋆ In einemDreieck verhalten sich eine Seite und ihre Houmlhe wie 43 Der Flaumlcheninhalt

des Dreiecks betraumlgt 4056 cm2(1) Berechne die Seitenlaumlnge und die Houmlhe(2) Inwiefern unterscheidet sich das Gleichungssystem in (1) von den anderen bisjetzt behandelten Welche Loumlsungsverfahren koumlnnen zur Anwendung kommen welchenichtWie Aufgabe 960 zeigt gibt es auch andere als nur lineare Gleichungssysteme Mit demEinsetzungsverfahren kann man auch diese loumlsen Das Additionsverfahren ist dafuumlrnicht geeignetBei komplexen Sachverhalten mit hoher Anwendungsrelevanz kommt man in der Regelnicht mit einem Gleichungssystem das nur zwei Gleichungen enthaumllt aus Beispiels-weise fuumlhren Messreihen in der Chemie oder Physik haumlufig auf Gleichungssysteme dieaus mehreren Gleichungen mit mehreren Variablen bestehenDie Loumlsungsverfahren wie du sie kennengelernt hast sind auch fuumlr solche Gleichungs-systeme erweiterbar In der Praxis wird der oft hohe Rechenaufwand mit geeigneterSoftware am Computer (siehe Kap 145 S 265) bewaumlltigt

ii

ii

ii

ii

105 Ausblick und Exercises 201

1052 Exercises

vocabularysystem of linear equations lineares Gleichungssystemsolution Loumlsunggraphing zeichnensubstitution das Ersetzen Einsetzenaddition method hier Additionsverfahrento solve loumlseninfinitely-many unendlich viele

961 (ndash5|1) is asolution of thegiven equation

961I2)H3K2 Determine whether either of the points (1|ndash5) and (ndash5|1) is a solution to the given

system of equationsndash6x + y = 315x + 7y = ndash18

962I2)H3K1 Fill in

infinitely-many (2x) ndash two ndash three (2x) ndash one (2x) ndash no solution ndash none

For systems of linear equations (two variables two equations) there are threepossible types of solutions

The system may have one solution (a specific point (x|y))

no solution at all or

infinitely-many solutions

There is no such system with two or three solutions

You will always have one none

or infinitely-many solutions

963 L = (0|3)963I2)H2K2 Solve the following system by graphing

x + 4y = 12ndash10x + 5y = 15

964 L = (ndash50|100)964I2)H2K2 Solve the following system by substitution

ndash3x + y = 2507x + 10y = 650

965 L = (35|ndash8)965I2)H2K2 Solve the following system using the addition method

6x + 11y = ndash678x ndash 3y = 52

966 98 and 41966I2)H2K2 The difference of two numbers is 57 The sum of these two numbers is 139 Which

numbers are we referring to

967 (12|1) and(1|0)

967I2)H2K1 Which are correct solutions to the equation 5x + 4y = 5

times times(12|1) (2| + 12) (04|05) (1|0)

ii

ii

ii

ii

202 10 Lineare Gleichungen und Gleichungssysteme mit zwei Variablen

106 Mathe fit und kompetent ndash Kompetenzcheck

968 Richtig sindm + b = 21 undm minus 2b

2m + b = 21 m + 2b = 21 m + b = 21 timesm = 2b timesb = 2m

968I2)H3K1 In einer Klasse mit 21 Kindern gibt es doppelt so viele

Maumldchen wie BubenDie Anzahl der Maumldchen wird mit m bezeichnet die Anzahl derBubenmit b Kreuze jeneGleichung(en) an die zur beschriebenenKlasse passen

969I2)H1K1 Schreibe den Text in Form eines linearen Gleichungssystems an

a) Bei einer Flugreise wiegt Deryas Koffer um 7 kg mehr als ihr Handgepaumlck Insgesamthaben die beiden Gepaumlckstuumlcke 23 kg

I k = h + 7

II k + h = 23b) Eine Zahl ist um 7 groumlszliger als die andere Subtrahiert man vom Doppelten dergroumlszligeren Zahl die kleinere erhaumllt man 20

I x = y + 7

II 2x minus y = 20

970I2)H1K3 Erfinde einen kurzen Text der sich durch eine lineare Gleichungmit zwei Variablen

darstellen laumlsst

971 (1) (minus05|3)(2) (5|0) (3) (1| minus 7)(4) (0|4)

971I2)H2K1 Verbinde die Gleichungssysteme mit der jeweils richtigen Loumlsung

(1) 2x + y = 2 (1| minus 7)minus8x minus 2y = minus2

(2) 4x + 6y = 20 (0|4)minusx + y = minus5

(3) 2x + y = minus5 (minus05|3)minus8x minus 2y = 6

(4) x + 2y = 8 (5|0)10x minus y = minus4

972 a) (6| minus 5)b) (04|1)

972I2)H2K1 Loumlse das Gleichungssystem und fuumlhre auch die Probe durch

a) I 3x + 4y = minus2 b) I 5x minus 4y = minus2II x minus y = 11 II minus2x + 6y = 52

973 L = (ndash2|1) 973I2)H2K2 Loumlse das Gleichungssystem (1) graphisch und (2) rechnerisch

I minus3x + 2y = 8II 2x + 4y = 0

ii

ii

ii

ii

106 Mathe fit und kompetent ndash Kompetenzcheck 203

974I2)H3K2 (1) Welches Gleichungssystem ist in der Grafik dargestellt Kreuze an

I y = 34xndash4

II y = 13x + 1

I y = 43x + 4

II y = minus 13xndash1

I y = xndash4II y = 1

3x + 1

I y = 43x minus 4

II y = minus 13x + 1

times

(2) Wie lautet die Loumlsung dieses Gleichungssystems (3|0)

975 Keine LoumlsungDie beidenGleichungenstellen paralleleGeraden dar dahergibt es keinZahlenpaar dasbeide Gleichungenerfuumlllt975I2)H4

K2 Wie viele Loumlsungen hat das angeschriebene GleichungssystemVersuche zu antworten ohne ein Loumlsungsverfahren anzuwendenBegruumlnde deine Antwort

I x + y = 1II 2x + 2y = 3

976 SieheZusammenfassungder Loumlsungsfaumllleauf Seite 191

976I2)H4K3 Erklaumlre Warum hat ein lineares Gleichungssystem mit zwei Variablen entweder

genau eine keine oder unendlich viele Loumlsungen977 3 und 4Gleichungssystem

977I2)H3K1 In einem Rechteck verhalten sich die Seiten wie 4 ∶ 7 Der Umfang ist 55 cm

Zwei der folgenden Gleichungssysteme beschreiben den Sachverhalt richtig Kreuze anwelche

times timesI b ∶ l = 4 ∶ 7II 4b + 7l = 55

I 4l = 7bII b + l = 55

I b ∶ l = 4 ∶ 7II 2b + 2l = 55

I 4l = 7bII 2(b + l) = 55

978 1 kg Mehlkostet 15 euro 1 kgZucker kostet 1 euro

978I2)H2K2 Tom kauft 2 kg Mehl und 1 kg Zucker und bezahlt dafuumlr 4 Euro Anna kauft 1 kg

Mehl und 3 kg Zucker und bezahlt dafuumlr 45 Euro Wie viel kostet 1 kg Mehl Wie vielkostet 1 kg Zucker

979 (1) Esbesuchten viermalso vieleErwachsene wieKinder dieAusstellung (2)Insgesamtbesuchten 680Personen dieAusstellung (3) Eshaben um 240mehr Kinder alsErwachsene dieAusstellungbesucht

979I2)H3K1 Im Folgenden steht jeweils k fuumlr die Anzahl der Kinder und e fuumlr die Anzahl

der Erwachsenen die eine Ausstellung besucht haben Schreibe in Worten was dieGleichungen uumlber den Ausstellungsbesuch von Erwachsenen und Kindern aussagen(1) Montag e = 4k (2) Dienstag k + e = 680 (3) Mittwoch e + 240 = k

980 800 kmh70 kmn

980I2)H2K2 Ein Flugzeug erreicht mit Ruumlckenwind eine Geschwindigkeit von 870 kmh bei

(gleichstarkem) Gegenwind kommt es nur auf 720 kmh Berechne die Eigengeschwin-digkeit des Flugzeugs und die Windgeschwindigkeit

981I2)H1K3 Schreibe ein lineares Gleichungssystem an das die Loumlsung (2|5) hat

ii

ii

ii

ii

200 10 Lineare Gleichungen und Gleichungssysteme mit zwei Variablen

958 a) y = ndashx +3

b) y = 135x + 4

5

958I2)H2K1 Wie lautet die Gleichung jener Geraden g die durch die beiden gegebenen Punkte

geht

A(ndash2|5) B(3|1)Da beide Punkte auf der Geraden g liegenerfuumlllen sie die Gleichung y = kx + dWir setzen daher die Koordinaten der Punkte fuumlr x und y ein und erhalten ein linearesGleichungssystem mit den Variablen k und dA liegt auf g rArr I 5 = ndash2k + d | sdot (ndash1)B liegt auf g rArr II 1 = 3k + d rceil+

(ndash1) sdot I ndash5 = 2k ndash d rfloorndash4 = 5kk = minus 4

5minus 4

5eingesetzt in Gleichung I ergibt

5 = ndash2 sdot 1114100minus 451114103 +d rArrd = 5 ndash

85= 17

5Die Gleichung der Geraden g die durch die beiden Punkte A und B verlaumluft lautetdaher

g y = minus 45k +

175

a) A(2|1) B(ndash1|4) b) R(ndash3|ndash7) S(2|6)

959 a) y = minus 25x + 2

b) y = minus 74x + 5

c) y = 109x + 1

9

d) y = 56x ndash 5

959 Stelle die Gleichung jener Geraden auf die durch die gegebenen beiden Punktegehta) A(ndash20|10) B(5|0) b) C(0|5) D(4|ndash2) c) E(8|9) F(ndash1|ndash1) d) G(6|0) H(0|ndash5)

105 Ausblick und Exercises1051 Ausblick

960 (1)a = 104 cmha = 78 cm (2) Eshandelt sich nichtum ein linearesGleichungssystemEinsetzungsverfah-ren undGleichsetzungsver-fahren koumlnnen zurAnwendungkommenAdditionsverfahrenund grafischesLoumlsungsverfahrennicht

960I2)H2K1 ⋆ In einemDreieck verhalten sich eine Seite und ihre Houmlhe wie 43 Der Flaumlcheninhalt

des Dreiecks betraumlgt 4056 cm2(1) Berechne die Seitenlaumlnge und die Houmlhe(2) Inwiefern unterscheidet sich das Gleichungssystem in (1) von den anderen bisjetzt behandelten Welche Loumlsungsverfahren koumlnnen zur Anwendung kommen welchenichtWie Aufgabe 960 zeigt gibt es auch andere als nur lineare Gleichungssysteme Mit demEinsetzungsverfahren kann man auch diese loumlsen Das Additionsverfahren ist dafuumlrnicht geeignetBei komplexen Sachverhalten mit hoher Anwendungsrelevanz kommt man in der Regelnicht mit einem Gleichungssystem das nur zwei Gleichungen enthaumllt aus Beispiels-weise fuumlhren Messreihen in der Chemie oder Physik haumlufig auf Gleichungssysteme dieaus mehreren Gleichungen mit mehreren Variablen bestehenDie Loumlsungsverfahren wie du sie kennengelernt hast sind auch fuumlr solche Gleichungs-systeme erweiterbar In der Praxis wird der oft hohe Rechenaufwand mit geeigneterSoftware am Computer (siehe Kap 145 S 265) bewaumlltigt

ii

ii

ii

ii

105 Ausblick und Exercises 201

1052 Exercises

vocabularysystem of linear equations lineares Gleichungssystemsolution Loumlsunggraphing zeichnensubstitution das Ersetzen Einsetzenaddition method hier Additionsverfahrento solve loumlseninfinitely-many unendlich viele

961 (ndash5|1) is asolution of thegiven equation

961I2)H3K2 Determine whether either of the points (1|ndash5) and (ndash5|1) is a solution to the given

system of equationsndash6x + y = 315x + 7y = ndash18

962I2)H3K1 Fill in

infinitely-many (2x) ndash two ndash three (2x) ndash one (2x) ndash no solution ndash none

For systems of linear equations (two variables two equations) there are threepossible types of solutions

The system may have one solution (a specific point (x|y))

no solution at all or

infinitely-many solutions

There is no such system with two or three solutions

You will always have one none

or infinitely-many solutions

963 L = (0|3)963I2)H2K2 Solve the following system by graphing

x + 4y = 12ndash10x + 5y = 15

964 L = (ndash50|100)964I2)H2K2 Solve the following system by substitution

ndash3x + y = 2507x + 10y = 650

965 L = (35|ndash8)965I2)H2K2 Solve the following system using the addition method

6x + 11y = ndash678x ndash 3y = 52

966 98 and 41966I2)H2K2 The difference of two numbers is 57 The sum of these two numbers is 139 Which

numbers are we referring to

967 (12|1) and(1|0)

967I2)H2K1 Which are correct solutions to the equation 5x + 4y = 5

times times(12|1) (2| + 12) (04|05) (1|0)

ii

ii

ii

ii

202 10 Lineare Gleichungen und Gleichungssysteme mit zwei Variablen

106 Mathe fit und kompetent ndash Kompetenzcheck

968 Richtig sindm + b = 21 undm minus 2b

2m + b = 21 m + 2b = 21 m + b = 21 timesm = 2b timesb = 2m

968I2)H3K1 In einer Klasse mit 21 Kindern gibt es doppelt so viele

Maumldchen wie BubenDie Anzahl der Maumldchen wird mit m bezeichnet die Anzahl derBubenmit b Kreuze jeneGleichung(en) an die zur beschriebenenKlasse passen

969I2)H1K1 Schreibe den Text in Form eines linearen Gleichungssystems an

a) Bei einer Flugreise wiegt Deryas Koffer um 7 kg mehr als ihr Handgepaumlck Insgesamthaben die beiden Gepaumlckstuumlcke 23 kg

I k = h + 7

II k + h = 23b) Eine Zahl ist um 7 groumlszliger als die andere Subtrahiert man vom Doppelten dergroumlszligeren Zahl die kleinere erhaumllt man 20

I x = y + 7

II 2x minus y = 20

970I2)H1K3 Erfinde einen kurzen Text der sich durch eine lineare Gleichungmit zwei Variablen

darstellen laumlsst

971 (1) (minus05|3)(2) (5|0) (3) (1| minus 7)(4) (0|4)

971I2)H2K1 Verbinde die Gleichungssysteme mit der jeweils richtigen Loumlsung

(1) 2x + y = 2 (1| minus 7)minus8x minus 2y = minus2

(2) 4x + 6y = 20 (0|4)minusx + y = minus5

(3) 2x + y = minus5 (minus05|3)minus8x minus 2y = 6

(4) x + 2y = 8 (5|0)10x minus y = minus4

972 a) (6| minus 5)b) (04|1)

972I2)H2K1 Loumlse das Gleichungssystem und fuumlhre auch die Probe durch

a) I 3x + 4y = minus2 b) I 5x minus 4y = minus2II x minus y = 11 II minus2x + 6y = 52

973 L = (ndash2|1) 973I2)H2K2 Loumlse das Gleichungssystem (1) graphisch und (2) rechnerisch

I minus3x + 2y = 8II 2x + 4y = 0

ii

ii

ii

ii

106 Mathe fit und kompetent ndash Kompetenzcheck 203

974I2)H3K2 (1) Welches Gleichungssystem ist in der Grafik dargestellt Kreuze an

I y = 34xndash4

II y = 13x + 1

I y = 43x + 4

II y = minus 13xndash1

I y = xndash4II y = 1

3x + 1

I y = 43x minus 4

II y = minus 13x + 1

times

(2) Wie lautet die Loumlsung dieses Gleichungssystems (3|0)

975 Keine LoumlsungDie beidenGleichungenstellen paralleleGeraden dar dahergibt es keinZahlenpaar dasbeide Gleichungenerfuumlllt975I2)H4

K2 Wie viele Loumlsungen hat das angeschriebene GleichungssystemVersuche zu antworten ohne ein Loumlsungsverfahren anzuwendenBegruumlnde deine Antwort

I x + y = 1II 2x + 2y = 3

976 SieheZusammenfassungder Loumlsungsfaumllleauf Seite 191

976I2)H4K3 Erklaumlre Warum hat ein lineares Gleichungssystem mit zwei Variablen entweder

genau eine keine oder unendlich viele Loumlsungen977 3 und 4Gleichungssystem

977I2)H3K1 In einem Rechteck verhalten sich die Seiten wie 4 ∶ 7 Der Umfang ist 55 cm

Zwei der folgenden Gleichungssysteme beschreiben den Sachverhalt richtig Kreuze anwelche

times timesI b ∶ l = 4 ∶ 7II 4b + 7l = 55

I 4l = 7bII b + l = 55

I b ∶ l = 4 ∶ 7II 2b + 2l = 55

I 4l = 7bII 2(b + l) = 55

978 1 kg Mehlkostet 15 euro 1 kgZucker kostet 1 euro

978I2)H2K2 Tom kauft 2 kg Mehl und 1 kg Zucker und bezahlt dafuumlr 4 Euro Anna kauft 1 kg

Mehl und 3 kg Zucker und bezahlt dafuumlr 45 Euro Wie viel kostet 1 kg Mehl Wie vielkostet 1 kg Zucker

979 (1) Esbesuchten viermalso vieleErwachsene wieKinder dieAusstellung (2)Insgesamtbesuchten 680Personen dieAusstellung (3) Eshaben um 240mehr Kinder alsErwachsene dieAusstellungbesucht

979I2)H3K1 Im Folgenden steht jeweils k fuumlr die Anzahl der Kinder und e fuumlr die Anzahl

der Erwachsenen die eine Ausstellung besucht haben Schreibe in Worten was dieGleichungen uumlber den Ausstellungsbesuch von Erwachsenen und Kindern aussagen(1) Montag e = 4k (2) Dienstag k + e = 680 (3) Mittwoch e + 240 = k

980 800 kmh70 kmn

980I2)H2K2 Ein Flugzeug erreicht mit Ruumlckenwind eine Geschwindigkeit von 870 kmh bei

(gleichstarkem) Gegenwind kommt es nur auf 720 kmh Berechne die Eigengeschwin-digkeit des Flugzeugs und die Windgeschwindigkeit

981I2)H1K3 Schreibe ein lineares Gleichungssystem an das die Loumlsung (2|5) hat

ii

ii

ii

ii

105 Ausblick und Exercises 201

1052 Exercises

vocabularysystem of linear equations lineares Gleichungssystemsolution Loumlsunggraphing zeichnensubstitution das Ersetzen Einsetzenaddition method hier Additionsverfahrento solve loumlseninfinitely-many unendlich viele

961 (ndash5|1) is asolution of thegiven equation

961I2)H3K2 Determine whether either of the points (1|ndash5) and (ndash5|1) is a solution to the given

system of equationsndash6x + y = 315x + 7y = ndash18

962I2)H3K1 Fill in

infinitely-many (2x) ndash two ndash three (2x) ndash one (2x) ndash no solution ndash none

For systems of linear equations (two variables two equations) there are threepossible types of solutions

The system may have one solution (a specific point (x|y))

no solution at all or

infinitely-many solutions

There is no such system with two or three solutions

You will always have one none

or infinitely-many solutions

963 L = (0|3)963I2)H2K2 Solve the following system by graphing

x + 4y = 12ndash10x + 5y = 15

964 L = (ndash50|100)964I2)H2K2 Solve the following system by substitution

ndash3x + y = 2507x + 10y = 650

965 L = (35|ndash8)965I2)H2K2 Solve the following system using the addition method

6x + 11y = ndash678x ndash 3y = 52

966 98 and 41966I2)H2K2 The difference of two numbers is 57 The sum of these two numbers is 139 Which

numbers are we referring to

967 (12|1) and(1|0)

967I2)H2K1 Which are correct solutions to the equation 5x + 4y = 5

times times(12|1) (2| + 12) (04|05) (1|0)

ii

ii

ii

ii

202 10 Lineare Gleichungen und Gleichungssysteme mit zwei Variablen

106 Mathe fit und kompetent ndash Kompetenzcheck

968 Richtig sindm + b = 21 undm minus 2b

2m + b = 21 m + 2b = 21 m + b = 21 timesm = 2b timesb = 2m

968I2)H3K1 In einer Klasse mit 21 Kindern gibt es doppelt so viele

Maumldchen wie BubenDie Anzahl der Maumldchen wird mit m bezeichnet die Anzahl derBubenmit b Kreuze jeneGleichung(en) an die zur beschriebenenKlasse passen

969I2)H1K1 Schreibe den Text in Form eines linearen Gleichungssystems an

a) Bei einer Flugreise wiegt Deryas Koffer um 7 kg mehr als ihr Handgepaumlck Insgesamthaben die beiden Gepaumlckstuumlcke 23 kg

I k = h + 7

II k + h = 23b) Eine Zahl ist um 7 groumlszliger als die andere Subtrahiert man vom Doppelten dergroumlszligeren Zahl die kleinere erhaumllt man 20

I x = y + 7

II 2x minus y = 20

970I2)H1K3 Erfinde einen kurzen Text der sich durch eine lineare Gleichungmit zwei Variablen

darstellen laumlsst

971 (1) (minus05|3)(2) (5|0) (3) (1| minus 7)(4) (0|4)

971I2)H2K1 Verbinde die Gleichungssysteme mit der jeweils richtigen Loumlsung

(1) 2x + y = 2 (1| minus 7)minus8x minus 2y = minus2

(2) 4x + 6y = 20 (0|4)minusx + y = minus5

(3) 2x + y = minus5 (minus05|3)minus8x minus 2y = 6

(4) x + 2y = 8 (5|0)10x minus y = minus4

972 a) (6| minus 5)b) (04|1)

972I2)H2K1 Loumlse das Gleichungssystem und fuumlhre auch die Probe durch

a) I 3x + 4y = minus2 b) I 5x minus 4y = minus2II x minus y = 11 II minus2x + 6y = 52

973 L = (ndash2|1) 973I2)H2K2 Loumlse das Gleichungssystem (1) graphisch und (2) rechnerisch

I minus3x + 2y = 8II 2x + 4y = 0

ii

ii

ii

ii

106 Mathe fit und kompetent ndash Kompetenzcheck 203

974I2)H3K2 (1) Welches Gleichungssystem ist in der Grafik dargestellt Kreuze an

I y = 34xndash4

II y = 13x + 1

I y = 43x + 4

II y = minus 13xndash1

I y = xndash4II y = 1

3x + 1

I y = 43x minus 4

II y = minus 13x + 1

times

(2) Wie lautet die Loumlsung dieses Gleichungssystems (3|0)

975 Keine LoumlsungDie beidenGleichungenstellen paralleleGeraden dar dahergibt es keinZahlenpaar dasbeide Gleichungenerfuumlllt975I2)H4

K2 Wie viele Loumlsungen hat das angeschriebene GleichungssystemVersuche zu antworten ohne ein Loumlsungsverfahren anzuwendenBegruumlnde deine Antwort

I x + y = 1II 2x + 2y = 3

976 SieheZusammenfassungder Loumlsungsfaumllleauf Seite 191

976I2)H4K3 Erklaumlre Warum hat ein lineares Gleichungssystem mit zwei Variablen entweder

genau eine keine oder unendlich viele Loumlsungen977 3 und 4Gleichungssystem

977I2)H3K1 In einem Rechteck verhalten sich die Seiten wie 4 ∶ 7 Der Umfang ist 55 cm

Zwei der folgenden Gleichungssysteme beschreiben den Sachverhalt richtig Kreuze anwelche

times timesI b ∶ l = 4 ∶ 7II 4b + 7l = 55

I 4l = 7bII b + l = 55

I b ∶ l = 4 ∶ 7II 2b + 2l = 55

I 4l = 7bII 2(b + l) = 55

978 1 kg Mehlkostet 15 euro 1 kgZucker kostet 1 euro

978I2)H2K2 Tom kauft 2 kg Mehl und 1 kg Zucker und bezahlt dafuumlr 4 Euro Anna kauft 1 kg

Mehl und 3 kg Zucker und bezahlt dafuumlr 45 Euro Wie viel kostet 1 kg Mehl Wie vielkostet 1 kg Zucker

979 (1) Esbesuchten viermalso vieleErwachsene wieKinder dieAusstellung (2)Insgesamtbesuchten 680Personen dieAusstellung (3) Eshaben um 240mehr Kinder alsErwachsene dieAusstellungbesucht

979I2)H3K1 Im Folgenden steht jeweils k fuumlr die Anzahl der Kinder und e fuumlr die Anzahl

der Erwachsenen die eine Ausstellung besucht haben Schreibe in Worten was dieGleichungen uumlber den Ausstellungsbesuch von Erwachsenen und Kindern aussagen(1) Montag e = 4k (2) Dienstag k + e = 680 (3) Mittwoch e + 240 = k

980 800 kmh70 kmn

980I2)H2K2 Ein Flugzeug erreicht mit Ruumlckenwind eine Geschwindigkeit von 870 kmh bei

(gleichstarkem) Gegenwind kommt es nur auf 720 kmh Berechne die Eigengeschwin-digkeit des Flugzeugs und die Windgeschwindigkeit

981I2)H1K3 Schreibe ein lineares Gleichungssystem an das die Loumlsung (2|5) hat

ii

ii

ii

ii

202 10 Lineare Gleichungen und Gleichungssysteme mit zwei Variablen

106 Mathe fit und kompetent ndash Kompetenzcheck

968 Richtig sindm + b = 21 undm minus 2b

2m + b = 21 m + 2b = 21 m + b = 21 timesm = 2b timesb = 2m

968I2)H3K1 In einer Klasse mit 21 Kindern gibt es doppelt so viele

Maumldchen wie BubenDie Anzahl der Maumldchen wird mit m bezeichnet die Anzahl derBubenmit b Kreuze jeneGleichung(en) an die zur beschriebenenKlasse passen

969I2)H1K1 Schreibe den Text in Form eines linearen Gleichungssystems an

a) Bei einer Flugreise wiegt Deryas Koffer um 7 kg mehr als ihr Handgepaumlck Insgesamthaben die beiden Gepaumlckstuumlcke 23 kg

I k = h + 7

II k + h = 23b) Eine Zahl ist um 7 groumlszliger als die andere Subtrahiert man vom Doppelten dergroumlszligeren Zahl die kleinere erhaumllt man 20

I x = y + 7

II 2x minus y = 20

970I2)H1K3 Erfinde einen kurzen Text der sich durch eine lineare Gleichungmit zwei Variablen

darstellen laumlsst

971 (1) (minus05|3)(2) (5|0) (3) (1| minus 7)(4) (0|4)

971I2)H2K1 Verbinde die Gleichungssysteme mit der jeweils richtigen Loumlsung

(1) 2x + y = 2 (1| minus 7)minus8x minus 2y = minus2

(2) 4x + 6y = 20 (0|4)minusx + y = minus5

(3) 2x + y = minus5 (minus05|3)minus8x minus 2y = 6

(4) x + 2y = 8 (5|0)10x minus y = minus4

972 a) (6| minus 5)b) (04|1)

972I2)H2K1 Loumlse das Gleichungssystem und fuumlhre auch die Probe durch

a) I 3x + 4y = minus2 b) I 5x minus 4y = minus2II x minus y = 11 II minus2x + 6y = 52

973 L = (ndash2|1) 973I2)H2K2 Loumlse das Gleichungssystem (1) graphisch und (2) rechnerisch

I minus3x + 2y = 8II 2x + 4y = 0

ii

ii

ii

ii

106 Mathe fit und kompetent ndash Kompetenzcheck 203

974I2)H3K2 (1) Welches Gleichungssystem ist in der Grafik dargestellt Kreuze an

I y = 34xndash4

II y = 13x + 1

I y = 43x + 4

II y = minus 13xndash1

I y = xndash4II y = 1

3x + 1

I y = 43x minus 4

II y = minus 13x + 1

times

(2) Wie lautet die Loumlsung dieses Gleichungssystems (3|0)

975 Keine LoumlsungDie beidenGleichungenstellen paralleleGeraden dar dahergibt es keinZahlenpaar dasbeide Gleichungenerfuumlllt975I2)H4

K2 Wie viele Loumlsungen hat das angeschriebene GleichungssystemVersuche zu antworten ohne ein Loumlsungsverfahren anzuwendenBegruumlnde deine Antwort

I x + y = 1II 2x + 2y = 3

976 SieheZusammenfassungder Loumlsungsfaumllleauf Seite 191

976I2)H4K3 Erklaumlre Warum hat ein lineares Gleichungssystem mit zwei Variablen entweder

genau eine keine oder unendlich viele Loumlsungen977 3 und 4Gleichungssystem

977I2)H3K1 In einem Rechteck verhalten sich die Seiten wie 4 ∶ 7 Der Umfang ist 55 cm

Zwei der folgenden Gleichungssysteme beschreiben den Sachverhalt richtig Kreuze anwelche

times timesI b ∶ l = 4 ∶ 7II 4b + 7l = 55

I 4l = 7bII b + l = 55

I b ∶ l = 4 ∶ 7II 2b + 2l = 55

I 4l = 7bII 2(b + l) = 55

978 1 kg Mehlkostet 15 euro 1 kgZucker kostet 1 euro

978I2)H2K2 Tom kauft 2 kg Mehl und 1 kg Zucker und bezahlt dafuumlr 4 Euro Anna kauft 1 kg

Mehl und 3 kg Zucker und bezahlt dafuumlr 45 Euro Wie viel kostet 1 kg Mehl Wie vielkostet 1 kg Zucker

979 (1) Esbesuchten viermalso vieleErwachsene wieKinder dieAusstellung (2)Insgesamtbesuchten 680Personen dieAusstellung (3) Eshaben um 240mehr Kinder alsErwachsene dieAusstellungbesucht

979I2)H3K1 Im Folgenden steht jeweils k fuumlr die Anzahl der Kinder und e fuumlr die Anzahl

der Erwachsenen die eine Ausstellung besucht haben Schreibe in Worten was dieGleichungen uumlber den Ausstellungsbesuch von Erwachsenen und Kindern aussagen(1) Montag e = 4k (2) Dienstag k + e = 680 (3) Mittwoch e + 240 = k

980 800 kmh70 kmn

980I2)H2K2 Ein Flugzeug erreicht mit Ruumlckenwind eine Geschwindigkeit von 870 kmh bei

(gleichstarkem) Gegenwind kommt es nur auf 720 kmh Berechne die Eigengeschwin-digkeit des Flugzeugs und die Windgeschwindigkeit

981I2)H1K3 Schreibe ein lineares Gleichungssystem an das die Loumlsung (2|5) hat

ii

ii

ii

ii

106 Mathe fit und kompetent ndash Kompetenzcheck 203

974I2)H3K2 (1) Welches Gleichungssystem ist in der Grafik dargestellt Kreuze an

I y = 34xndash4

II y = 13x + 1

I y = 43x + 4

II y = minus 13xndash1

I y = xndash4II y = 1

3x + 1

I y = 43x minus 4

II y = minus 13x + 1

times

(2) Wie lautet die Loumlsung dieses Gleichungssystems (3|0)

975 Keine LoumlsungDie beidenGleichungenstellen paralleleGeraden dar dahergibt es keinZahlenpaar dasbeide Gleichungenerfuumlllt975I2)H4

K2 Wie viele Loumlsungen hat das angeschriebene GleichungssystemVersuche zu antworten ohne ein Loumlsungsverfahren anzuwendenBegruumlnde deine Antwort

I x + y = 1II 2x + 2y = 3

976 SieheZusammenfassungder Loumlsungsfaumllleauf Seite 191

976I2)H4K3 Erklaumlre Warum hat ein lineares Gleichungssystem mit zwei Variablen entweder

genau eine keine oder unendlich viele Loumlsungen977 3 und 4Gleichungssystem

977I2)H3K1 In einem Rechteck verhalten sich die Seiten wie 4 ∶ 7 Der Umfang ist 55 cm

Zwei der folgenden Gleichungssysteme beschreiben den Sachverhalt richtig Kreuze anwelche

times timesI b ∶ l = 4 ∶ 7II 4b + 7l = 55

I 4l = 7bII b + l = 55

I b ∶ l = 4 ∶ 7II 2b + 2l = 55

I 4l = 7bII 2(b + l) = 55

978 1 kg Mehlkostet 15 euro 1 kgZucker kostet 1 euro

978I2)H2K2 Tom kauft 2 kg Mehl und 1 kg Zucker und bezahlt dafuumlr 4 Euro Anna kauft 1 kg

Mehl und 3 kg Zucker und bezahlt dafuumlr 45 Euro Wie viel kostet 1 kg Mehl Wie vielkostet 1 kg Zucker

979 (1) Esbesuchten viermalso vieleErwachsene wieKinder dieAusstellung (2)Insgesamtbesuchten 680Personen dieAusstellung (3) Eshaben um 240mehr Kinder alsErwachsene dieAusstellungbesucht

979I2)H3K1 Im Folgenden steht jeweils k fuumlr die Anzahl der Kinder und e fuumlr die Anzahl

der Erwachsenen die eine Ausstellung besucht haben Schreibe in Worten was dieGleichungen uumlber den Ausstellungsbesuch von Erwachsenen und Kindern aussagen(1) Montag e = 4k (2) Dienstag k + e = 680 (3) Mittwoch e + 240 = k

980 800 kmh70 kmn

980I2)H2K2 Ein Flugzeug erreicht mit Ruumlckenwind eine Geschwindigkeit von 870 kmh bei

(gleichstarkem) Gegenwind kommt es nur auf 720 kmh Berechne die Eigengeschwin-digkeit des Flugzeugs und die Windgeschwindigkeit

981I2)H1K3 Schreibe ein lineares Gleichungssystem an das die Loumlsung (2|5) hat