10. Schwingungen

10. SchwingungenSchwingungen sind allgemein Vorgänge, die sich wiederholen. Man spricht auch oft von periodischen Vorgängen.Beispiele: Vibrationen, Pendelschwingung, ...

10. 1. Harmonische Schwingungen

Versuch:

10. Schwingungen

Begriffe:

(T) Schwingungsdauer = Periode = Zeit zwischen zwei gleichen Schwingungszuständen. (Wenn der schwingende Körper den Bahnpunkt wieder in gleicher Richtung durchläuft.) 1 Periode (T)

(y0) Amplitude = größte Auslenkung

y0

(y) Elongation = momentane Auslenkung ( diese ist von der Zeit abhängig)

y

(T)

(f) Frequenz = Anzahl der Schwingungen / Zeit

[f] = 1 Hertz 1 Hz= 1 s-1

T

1f

10. Schwingungen

10.1.1 Schwingung des Federpendels:Beispiele für harmonische Schwingungen:

Wir vergleichen die Projektion einer Kreisbewegung mit der Schwingung eines Federpendels.

Federpendel:

Fy = – k·y

- weil F, y antiparallel

Kreisbewegung u. deren Projektion

rmF 2

Fy = – mω2r·cosωt r = y0

Fy = – m ω2y0cosωt

k y

Fy = – ky0·cosωt

φ = ωt

10. Schwingungen

Sc hwingung des Federpendels

1'

2'

3'

4'

5'

6'

7'

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

1212'

11'

10'

9'

8'

m ax.

Ruhe-

m ax.

unten

oben

la ge

Pro jektion Kreisbewegung

Ausl.

Ausl.

Fy

F

rmF 2

Fy = – mω2r·cosωt

φ = ωt

10. Schwingungen

Sc hwingung des Federpendels

1'

2'

3'

4'

5'

6'

7'

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

1212'

11'

10'

9'

8'

m ax.

Ruhe-

m ax.

unten

oben

la ge

Pro jektion Kreisbewegung

Ausl.

Ausl.

vy

v

rv

vy = –ωy0·sinωt

10. Schwingungen

Elongation: y(t) = y0.cosωt

Schwingungsdauer: ω = 2π/T ; k = mω2 ; ω2 = k/m

km2T

Geschwindigkeit der Elongation: vy(t) = - y0·ω·sinωt

Beschleunigung: hat die Richtung der Kraft, ist also y entgegengesetzt.

ay(t) = - y0·ω2·cosωt

10. Schwingungen

10.1.2 Das Fadenpendel (mathemat. Pendel)

l

xgmsingmFT

Bei sehr kleiner Auslenkung ist s ≈ x.

Das heißt, die Kraft ist proportional der Auslenkung wie beim Federpendel.

l

xgmxk Das Hooksche

Gesetz ist erfüllt.

l

gmk

l

g

m

k

Aus der Formel für die Schwingungsdauer des Federpendels wird:

km.2T

gl.2T Schwingungsdauer

des Fadenpendels.

FG

FN

FT

x

l

10. Schwingungen

Schülerversuche zu Feder- und Fadenpendel

10. Schwingungen

Federpendel

• Aufbau:

10. Schwingungen

Federpendel• Aufgabe:

– Miss die Federkonstante

Δl

Miss den Abstand vom Tisch bis zum Gewichtsteller

Lege 50 g auf den Gewichtsteller und miss wieder den Abstand

Berechne die Differenz

Δl = ...... cm = ..... m

F = 0,05·9,81N

m

N............

l

Fk

10. Schwingungen

Federpendel

• Aufgabe:– Miss die

Schwingungsdauer von 10 Schwingungen

Zieh dazu die Feder um ca. 7 cm nach unten und las sie los.

Beginne bei der Zählung mit 0.

Dividiere durch 10

10. Schwingungen

Versuch 2:Wir versetzen diese Anordnung in Schwingung und messen die Zeitdauer für 10 Schwingungen: 10·T = ..... sSchwingungsdauer T = ..... s

Vergleiche dieses Ergebnis mit der Formel

km2T

10. Schwingungen

Fadenpendel

• Bestimme die Schwingungsdauer des Fadenpendels– Bei unterschiedlicher

Amplitude– Unterschiedlicher

Masse– Unterschiedlicher

Fadenlänge

Aufbau

10. Schwingungen

Schwingungsdauer beim Fadenpendel:Fertige eine Skizze an!Versuch 1:Pendellänge l = 0,6m; Auslenkung ca. 5cm; 2 Schlitzgewichte (2·50 g + 10 g)10·T = ..... s Schwingungsdauer T = ..... s

Versuch 2:wie Versuch 1 jedoch Auslenkung ca. 10cm10·T = ..... s Schwingungsdauer T = ..... s

Erkenntnis: Die Schwingungsdauer ist von der Amplitude .....

Versuch 3:Pendellänge l = 0,6m ; 4 Schlitzgewichte (4·50g + 10g)(Beachte den Schwerpunkt !!)10·T = ..... s Schwingungsdauer T = ..... s

Erkenntnis: Die Schwingungsdauer ist von der Masse .....

10. Schwingungen

Versuch 4: Pendellänge l = 0,3m 10·T = ..... s T = ..... s

Versuch 5:Pendellänge l = 1,2m10·T = ..... s T = ..... s

gl.2T

Erkenntnis: Bei vierfacher Pendellänge ist die Schwingungsdauer...

Vergleiche mit der Formel:

Zusatz: Ermittle aus der Schwingungsdauer des Fadenpendels die Erdbeschleunigung!

10. Schwingungen

Harmonische Schwingungen sind Schwingungen, deren Weg-Zeit-Diagramm eine Sinus- oder Kosinusfunktion darstellen.

Bei ihnen gibt es keinen Zusammenhang zwischen Amplitude und Schwingungsdauer.

Beispiele: Federpendel, Fadenpendel, Stimmgabel, Blattfeder, ...nicht: schwingende Saite.

10. Schwingungen

10.2 Energie des harmonischen Oszillators.

)EE(ky2

1mv

2

1E potkin

22y

)ym

kv(m

2

1E 22

y

220

220 m

k)tcosy()tsiny(m

2

1E

22220 )t(cos)t(sinmy

2

1E

1

220my

2

1E Die Energie wächst mit dem Quadrat der

Amplitude und mit dem Quadrat der Frequenz.

10. Schwingungen

10.3 Überlagerung von Schwingungen

-2,50-2,00-1,50-1,00-0,500,000,501,001,502,002,50

0,00 5,00 10,00 15,00

Zeit

Au

sle

nk

un

g

10.3.1 Die Phasenkonstante

Loslassen nach Auslenkung.

2

)

2tsin(yy 0

-2,50-2,00-1,50-1,00-0,500,000,501,001,502,002,50

0,00 5,00 10,00 15,00

Zeit

Au

sle

nk

un

g

φ = 0 y = y0sin(ωt)

Anstoßen in Ruhelage:

10. Schwingungen

-2,50-2,00-1,50-1,00-0,500,000,501,001,502,002,50

0,00 5,00 10,00 15,00

Zeit

Au

sle

nk

un

g

4

)4

tsin(yy 0

Auslenken und Anstoßen:

Die Phasenkonstante gibt die anfängliche Auslenkung durch einen Winkel an.

Unterscheiden sich zwei Schwingungen in ihrer Phasenkonstante, so spricht man vom Phasenunterschied Δφ = φ1 - φ2

10. Schwingungen

10.3.2 Addition von Schwingungen

10.3.2.1 Addition kollinearer Schwingungen gleicher Frequenz

Versuch:

Zwei gleiche Stimmgabeln werden angestoßen. Mit Mikrophon und Oszillograph veranschaulichen.

Ergebnis: Manchmal wird der Ton lauter, manchmal leiser.

Mathematische Beschreibung:

1. Schwingung: y1 = y01sin(ωt)2. Schwingung: y2 = y02sin(ωt + φ) φ ... Phasenverschiebung

10. Schwingungen

Sonderfälle:

Überlagerung von Schwingungen

-5

0

5

10

15

0 5 10 15

Zeit

Elo

ng

atio

n

Schwingung1

Schwingung2

Überlagerung

a) φ = 0 Gleichphasigkeit:y = y1 + y2 = (y01 + y02).sin(ωt)

Konstruktive Interferenz

Die resultierende Schwingung besitzt die größtmögliche Amplitude

10. Schwingungen

b) φ = π y = y1 + y2 = y01·sin(t) + y02·sin(ωt+π) = y01·sin(ω t) - y02·sin(ωt) = (y01 - y02)·sin(ω t)

Überlagerung von Schwingungen

-5

0

5

10

15

0 5 10 15

Zeit

Elo

ng

atio

n

Schwingung1

Schwingung2

Überlagerung

Die resultierende Schwingung besitzt kleinstmögliche Amplitude.

bei y01 = y02 ist die resultierende Amplitude 0.

Destruktive Interferenz.

10. Schwingungen

Die Überlagerung zweier harmonischer Schwingungen gleicher Frequenz und gleicher Schwingungsrichtung ergibt stets wieder eine harmonische Schwingung, deren Amplitude von den Amplituden der Einzelschwingungen und von ihrer Phasendifferenz abhängt.

10. Schwingungen

10.3.2.2 Lissajoussche Figuren

Sie entstehen, wenn zwei aufeinander normal stehende Schwingungen mit rationalem Frequenzverhältnis überlagert werden.

Zwei Blattfedern, auf denen sich je ein Spiegel befindet werden normal zueinander befestigt und mit einem Laser angeleuchtet. Das reflektierte Signal wird an die Wand projiziert.

Versuch:Laserstrahl

Spiegel

Schirm

10. Schwingungen

Mathematische Beschreibung: x - Schwingung: x = x0sin(ω1t)

y - Schwingung: y = y0sin(ω2t+φ) φ ... Phasenverschiebung

Sonderfälle:

1. ω1 = ω2 = ω ; x0; y0 ; φ = 0

00 x

x

y

y x

x

yy

0

0 Gerade

2. ω1 = ω2 = ω ; x0 = y0 ; φ = π/2

x - Schwingung: x = r.sin(ωt)y - Schwingung: y = r.sin(ωt + π/2) = r.cos(ωt) → Kreis

x0 ≠ y0 → Ellipse

10. Schwingungen

3. ω1 = 2ω ω2 = ω ; x0; y0 ; φ = 0

x - Schwingung: x = x0sin(2ωt)

y - Schwingung: y = y0sin(ωt)

Betrachte auch den Fall = φ = π/2

Faustformel: Berührungspunkte vertikal : Berührungspunkte horizontal = fx : fy

10. Schwingungen

10.4 Gedämpfte Schwingung Eine harmonische Schwingung hat eine konstante Amplitude und sollte unaufhörlich sein.Reale Schwingungen verhalten sich nicht so.

Pendel wird in Schwingung versetzt.

Das Weg-Zeit Diagramm wird mit dem Computer aufgezeichnet.

Versuch:

Die Amplitude der gedämpften Schwingung nimmt mit der Zeit ab.

Die Schwingungsdauer der gedämpften Schwingung ist etwas größer als bei der ungedämpften Schwingung.

Vgl. B. 6RG S. 76

10. Schwingungen

Mathematische Beschreibung:

y = y0.e-δt·sin(ωt) δ ... Dämpfungsfaktore- δt ... Dämpfungsglied

Gedämpfte Schwingung

-10,00

-8,00

-6,00

-4,00

-2,00

0,00

2,00

4,00

6,00

8,00

10,00

0,00 2,00 4,00 6,00 8,00 10,00 12,00

Zeit [s]

Elo

ng

ati

on

[c

m]

Gedämpfte Schw.

Harmonische Schw.

Dämpfungsglied 1

Dämpfungsglied 2

10. Schwingungen

Gib im TI 83+ ein: Achtung MODE Radiant

10. Schwingungen

Um die Dämpfung zu vermeiden z. B. bei Uhren verwendet man

Rückkopplungseinrichtungen.

Sie führen die in Reibung umgewandelte Energie wieder zu, dass die Amplitude konstant bleibt.

Beispiel: Pendeluhr

10. Schwingungen

Steigrad

Anker

Gewicht

Pendel

Pendeluhr

10. Schwingungen

Dämpfung kann aber auch erwünscht sein:

Zeiger eines Analogmessgeräts,

Stoßdämpfer.

10. Schwingungen

10.5 Erzwungene Schwingung - Resonanz

Schülerversuch:Die Spule mit 800 Windungen wird an den Funktionsgenerator angeschlossen.Einstellung: Frequenzbereich 1Hz, SinusErhöhe mit dem Frequenzdrehknopf (links) die Frequenz sehr sorgfältig und beobachte was passiert. Miss die Auslenkungen der Blattfeder und trage sie in Abhängigkeit von der Frequenz auf. Beachte: Interessante Ereignisse müssen sich nicht mit "ganzzahligen" Frequenzen decken.

10. Schwingungen

Frequenz [Hz]

Auslenkung in [mm]

Trage die Werte in einem Diagramm auf.

y

0 1 2 3 5 8 10

f [Hz ]

10. Schwingungen

f0

–2

klein

Dämpfung:

mittel

groß

Resonanzkurven

10. Schwingungen

Die Amplitude der Blattfeder hängt von der Frequenz des Erregers ab.

Ist die Frequenz des Erregers gleich der Eigenfrequenz der Blattfeder spricht man von Resonanz.

Vgl. Abb. 77.3 (BW 6RG)

Die Resonanzkurve ist um so höher, je geringer die Dämpfung ist. Im schlimmsten Fall (ungedämpft) → Resonanzkatastrophe.

Lies Beispiele Buch Basiswissen 6 RG Seite 78.

Gebäudeschwingungen, Rotierende Maschinenteile, Resonanz von Tragflügeln, Resonanzkörper,Zungenfrequenzmesser

Tacoma Narrows Bridge Tacoma Narrows Bridge

10. Schwingungen

Tacoma Narrows Bridge Tacoma Narrows Bridge

7. November 19407. November 1940

Tacoma Narrows Bridge

heuteheute

10. Schwingungen

Zungenfrequenzmesser