10.11.2013Kapitel 11 Methoden des Algorithmenentwurfs Kapitel 1: Einführung Christian Scheideler SS 2009

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Methoden des Algorithmenentwurfs

Kapitel 1: Einführung

Christian Scheideler

SS 2009

Organisatorisches

Leitung: Prof. Dr. Christian Scheideler• Sprechstunde: Do, 16-17 Uhr• Email: [email protected]

Modulinformation:• Modul II.2.1 Modelle und Algorithmen (MuA)• V2+Ü1• 3 ECTS Credits

Zeit und Ort:• Mi 16-18 Uhr, F0.530

Webseite:• http://www.cs.upb.de/fachgebiete/fg-ti/lehre0/ss2009/methoden.html

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http://www.cs.upb.de/fachgebiete/fg-ti/lehre0/ss2009/methoden.html

Organisatorisches

Übungen:• Übungsleitung: NN• Mi 14-16 Uhr, F0.530, 14-tägig ab 29. April• Übungszettel:

Ausgabe: 14-tägig auf dieser Seite zum ÜbungsterminAbgabe: eine Woche danach in der VorlesungRückgabe: eine Woche danach in der Übung

Schein:Einen Schein erhält, wer die Klausur am Ende des Semesters besteht. Bei Vorrechnen einer Aufgabe verbessert sich die Note um 0,3 Punkte.

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Organisatorisches

Inhalt:

• Teil 1: Approximationsalgorithmen– 1.1 Einführung [1w]– 1.2 Approximation mit absoluter Güte [2w]– 1.3 Approximation mit relativer Güte [2w]– 1.4 Approximationsschemata [2w]– 1.5 Lineare Optimierung und

Approximationsalgorithmen [2w]

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Organisatorisches

• Teil 2: Online-Algorithmen– 2.1 Deterministische Online-Algorithmen

(Scheduling, Paging, selbstorganisierende Datenstrukturen) [3w]

– 2.2 Randomisierte Online-Algorithmen(Scheduling, Paging, selbstorganisierende Datenstrukturen, Lastbalancierung) [2-3w]

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Literatur• Approximationsalgorithmen:

– Rolf Wanka.Approximationsalgorithmen: Eine EinführungVieweg & Teubner Verlag, 2006.

– Klaus Jansen und Marian Margraf.Approximative Algorithmen und Nichtapproximierbarkeit.De Gruyter Verlag, 2008.

• Online-Algorithmen:– Susanne Albers.

Online- und Approximationsalgorithmen.Universität Freiburg, SS 2004.Verfügbar über WWW.

– Christian Scheideler.Universal Routing Strategies for Interconnection Networks.Springer Verlag, LNCS 1390, 2007.

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Kapitel 1.1: Einführung

Inhalt:• Einführung in P vs. NP• Approximationsalgorithmen• Beispiele

– Lastbalancierung– Zentrumswahl– Rucksackproblem

P vs. NP

• Algorithmus: berechnet in endlicher Zeit aus einer Eingabe eine Ausgabe.

• zentrales Problem: möglichst effizienter Algorithmus (Zeit und Speicher)

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Eingabe

Algorithmus

Ausgabe

P vs. NP

• Ein Algorithmus ist „schnell“, falls seine Laufzeit polynomiell in der Eingabegröße ist.

• Eingabegröße: Anzahl der Elemente der Eingabe (z.B. Sortierproblem, Graph) oder Anzahl Bits / Wörter, aus denen Eingabe besteht (Multiplikation großer Zahlen)

• Polynomiell: Laufzeit ist O(nk) für eine Konstante k bei Eingabegröße n.

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P vs. NP

n 20 60 100 300 1000

5n 100 300 500 1500 5000

n log n 86 354 665 2469 9966

n2 400 3 600 10 000 90 000 1 000 000

n3 8000 216 000 1 000 000 27 000 000 1 000 000 000

2n 1 048 576 19 Stellen 31 Stellen 91 Stellen 302 Stellen

n! 19 Stellen 82 Stellen 161 Stellen 623 Stellen unvorstellbar

nn 27 Stellen 107 Stellen 201 Stellen 744 Stellen Unvorstellbar

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Laufzeitvergleiche:

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P vs. NP

P: Klasse aller Entscheidungsprobleme (Anworten sind aus {Ja, Nein}), die in polynomieller Zeit entschieden werden können.

Beispiele: Sortiertheit einer Folge, Auswer-tung eines Schaltkreises, Wortproblem für kontextfreie Sprachen, Lineare Optimierung,…

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P vs. NP

NP: Klasse aller Entscheidungsprobleme (Anworten sind aus {Ja, Nein}), für die es für Eingaben mit Antwort Ja ein Zertifikat gibt, so dass die Antwort in polynomieller Zeit (in der Eingabegröße) verifiziert werden kann.

Beispiele: Erfüllbarkeit einer Booleschen Formel, 3-Färbung von Graphen, Rucksackproblem,…

P vs. NP

1.1 Beispiele für Probleme in NP:• Clique = {(G,k) | G=(V,E) ist ein Graph, der einen

vollständigen Teilgraphen aus mindestens k Knoten besitzt}

• IS = {(G,k) | G=(V,E) ist ein Graph, in dem es eine Knotenmenge U aus k Knoten gibt, so dass keine zwei Knoten in U durch eine Kante in G verbunden sind}

• Hamilton = {G | G=(V,E) ist ein Graph, der einen Hamilton-Kreis besitzt}(Ein Hamilton-Kreis ist ein Kreis in G, in dem jeder Knoten genau einmal besucht wird.)

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P vs. NP

Offensichtlich ist P eine Teilmenge von NP.Die 1-Million-Dollar-Frage: Ist P=NP oder nicht?

• Antwort auf diese Frage scheint sehr schwer zu sein.

• Bisher nur Ergebnisse des Typs:“Das kann nicht in polynomieller Zeit gelöst werden, es sei denn, P=NP.”

• Klasse der NP-harten Probleme: sind nicht in P, es sei denn, P=NP.

P vs. NP

Zu Entscheidungsproblemen gibt es häufig entsprechende Optimierungsprobleme.

Beispiele:• Optimierungsvariante zu Clique: finde

vollständigen Teilgraphen maximaler Größe.• Optimierungsvariante zu IS: finde Knotenmenge

maximaler Größe, in der kein Knotenpaar verbunden ist.

Einsicht: Ist das Entscheidungsproblem nicht in P, dann ist auch die Optimierungsvariante nicht in polynomieller Zeit lösbar (und umgekehrt).

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P vs. NP

1.2 Definition:Ein kombinatorisches Optimierungs-problem ist charakterisiert durch vier Komponenten:– D: Menge der Eingaben– S(I) für ein ID: Menge der zur Eingabe I

zulässigen Lösungen– Die Bewertungsfunktion f:S(I) IN– ziel{min, max}

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P vs. NP

• Gesucht: eine zu ID zulässige Lösung opt S(I), so dass

f(opt) = ziel{ f() | S(I)}

• f() ist der Wert der zulässigen Lösung .

• Wir schreiben OPT(I) = f(opt).

Für viele komb. Optimierungsprobleme ist es schwer, OPT(I) exakt zu bestimmen.

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P vs. NP

1.3 Beispiel:(a) Das Traveling Salesperson Problem

(TSP) ist charakterisiert durch:– D={(Kn,c) | Kn ist der vollständige Graph auf n

Knoten, c:E IN sind die Kantengewichte}

– S((Kn,c)) = { C | C=(vi1,vi2

,...,vin,vi1

) ist ein Hamilton-Kreis}

– f(C) = c(vin, vi1

) + j=1n-1 c(vij

, vij+1)

– min

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P vs. NP

1.3 Beispiel:(b) Das Rucksackproblem ist charakterisiert

durch:– D={ (W,vol,p,B) | W={1,...,n}, vol:W IN, B IN,

p:W IN und für alle w W gilt vol(w) ≤ B}W ist das Warenangebot, vol die Zuordnung von Volumina zu den Waren, p die Zuordnung von Werten und B die Kapazität des Rucksacks

– S((W,vol,p,B)) = {A W | wA vol(w) ≤ B}– f(A) = wA pw

– max

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Übersicht

• P vs. NP• Approximationsalgorithmen• Lastbalancierung• Zentrumswahl• Rucksackproblem

Approximationsalgorithmen

Die NP-Härte eines Entscheidungsproblems legt nahe, dass die Optimierungsvariante keinen effizienten Algorithmus besitzt. Man muss sich also mit Näherungslösungen zufrieden geben.

1.4 Definition: Sei ein kombinatorisches Optimierungsproblem. Ein t(n)-Zeit-Approxi-mationsalgorithmus A berechnet zu Eingabe ID in Zeit t(|I|) eine Ausgabe I

A S(I). Wir schreiben A(I) = f(I

A).

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Approximationsalgorithmen

• Wir wollen natürlich nach t(n)-Zeit-Approxi-mationsalgorithmen suchen, für die – t(n) polynomiell in n ist und– f(I

A) möglichst nah an OPT(I) ist.

Ziele:• Bestimme untere und obere Schranken für

Approximationsgüte des Algorithmus• Bestimme untere Schranken für die erreichbare

Approximationsgüte des Problems• Bestimme Heuristiken, die in der Praxis gut

funktionieren ( Benchmarks)

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Übersicht


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Lastbalancierung

Eingabe: m identische Maschinen, n Jobs. Job i hat Laufzeit ti.

Einschränkungen:• Ein einmal ausgeführter Job muss bis zum Ende auf derselben

Maschine ausgeführt werden.• Jede Maschine kann höchstens einen Job gleichzeitig bearbeiten.

1.5 Definition: Sei J(i) die Teilmenge der Jobs, die Maschine i zugewiesen werden. Dann ist Li = jJ(i) tj die Last der Maschine i.

1.6 Definition: Der Makespan L ist die maximale Last einer Maschine, d.h. L = maxi Li

Lastbalancierung: finde Zuweisung, die Makespan minimiert

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Lastbalancierung: List Scheduling

List-Scheduling Algorithmus:• Betrachte n Jobs in einer festen Reihenfolge• Weise Job j der Maschine mit z.Zt. geringster Last zu

List-Scheduling(m, n, (t1,…,tn)):for i:=1 to m do Li := 0; J(i):=;for j:=1 to n do i:=argmink Lk // wähle Maschine mit kleinster Last J(i):=J(i) {j} // weise dieser Job i zu Li:=Li + tjreturn (J(1),…,J(m))

Laufzeit: O(n log m) mit Priority Queue

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1.7 Satz (Graham): List Scheduling ist 2-approximativ (d.h. für alle Eingaben I ist List-Scheduling(I) 2OPT(I) ).

vergleiche Güte des Algorithmus mit optimalem Makespan L*

1.8 Lemma: L* ≥ maxj tj

Beweis: Eine Maschine muss den zeitintensivsten Job bearbeiten.

1.9 Lemma: L* ≥ (1/m) j tj

Beweis:• Die Gesamtlast ist j tj

• Eine der m Maschinen muss mindestens 1/m der Gesamtlast bekommen.

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1.10 Satz: List Scheduling ist 2-approximativ.Beweis: • Betrache Maschine i mit höchster Last Li.• Sei j der letzte Job in Maschine i.• Da Job j Maschine i zugeordnet wurde, hatte i vorher die

kleinste Last. Es gilt also Li – tj ≤ Lk für alle k.

vor j

j

nach j

Li - tj Li

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Beweis (Forsetzung):

• Es gilt: Li-tj ≤ Lk für alle k{1,…,m}

• Daraus folgt: Li – tj ≤ (1/m) 1km Lk

= (1/m) 1kn tk

≤ L* (Lemma 1.9)

• Also gilt wegen Lemma 1.8: Li = (Li-tj) + tj ≤ 2L*

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Ist die Analyse scharf? Ja!

Beispiel: m Maschinen, m(m-1) Jobs der Länge 1, ein Job der Länge m

m=10

Makespan = 19

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Ist die Analyse scharf? Ja!

Beispiel: m Maschinen, m(m-1) Jobs der Länge 1, ein Job der Länge m

m=10

Optimaler Makespan = 10

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Lastbalancierung: LPT Regel

Longest Processing Time (LPT): Sortiere die n Jobs in absteigender Reihenfolge und führe dann den List Scheduling Algorithmus aus.

LPT-List-Scheduling(m, n, (t1,…,tn)):sortiere Jobs, so dass t1≥t2≥…≥tn

for i:=1 to m do Li := 0; J(i):=;for j:=1 to n do i:=argmink Lk

J(i):=J(i) {j} Li:=Li + tj

return (J(1),…,J(m))

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Beobachtung: Wenn es höchstens m Jobs gibt, dann ist List Scheduling optimal.

Beweis: Weise jedem Job eigene Maschine zu.

1.11 Lemma: Falls es mehr als m Jobs gibt, dann ist L*≥2tm+1.

Beweis:• Betrachte die ersten m+1 Jobs t1,…,tm+1

• Da die ti’s absteigend sortiert sind, benötigt jeder dieser Jobs mindestens tm+1 Zeit.

• Bei m+1 Jobs muss eine Maschine mindestens zwei Jobs erhalten.

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1.12 Satz: Die LPT Regel liefert eine 3/2-Approximation.Beweis:Falls die Maschine i mit größter Last nur einen Job hat, ist LPT offensichtlich optimal. Sonst gilt für den letzten Job j auf Maschine i, dass j m+1 und damit nach Lemma 1.11:

Li = (Li – tj) + tj

L* + (1/2)L* (3/2)L*

Ist 3/2 scharf? Nein!

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1.13 Satz: (Graham): Die LPT Regel ist eine 4/3-Approximation.

Beweis: aufwändig

Satz 1.13 ist im Wesentlichen scharf.Beispiel: m Maschinen, n=2m+1 Jobs: jeweils 2

Jobs der Länge m+1,m+2,…,2m und ein Job der Länge m

Vergleich zu OPT: Übung.

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Übersicht


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Zentrumswahl-Problem

Eingabe: Menge von n Orten s1,…,sn und eine Zahl kIN.

Zentrumswahl-Problem: Wähle k Zentren C, so dass die maximale Distanz eines Ortes zum nächsten Zentrum minimal ist.

k=4

: Zentrum

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Eingabe: Menge von n Orten s1,…,sn und eine Zahl kIN.

Zentrumswahl-Problem: Wähle k Zentren C, so dass die maximale Distanz eines Ortes zum nächsten Zentrum minimal ist.

Notation:• dist(x,y) = Distanz zwischen x und y• dist(si, C) = mincC dist(si,c) = Distanz von si zum nächsten Zentrum• r(C) = maxi dist(si, C) = kleinster Überdeckungsradius

Wir nehmen an, dist ist eine Metrik, d.h.• dist(x,x) = 0 (Identität)• dist(x,y) = dist(y,x) (Symmetrie)• dist(x,y) dist(x,z) + dist(z,y) (Dreiecksungleichung)

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Beispiel: jeder Ort ist ein Punkt im 2-dimensiona-len Euklidischen Raum, dist(x,y) = Euklidische Distanz

k=4

: Zentrum

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Zentrumswahl: Greedy Algorithmus

Greedy Algorithmus: Setze das erste Zentrum an der bestmöglichen Stelle für ein einzelnes Zentrum, füge dann Zentren hinzu, um den Überdeckungsradius möglichst stark zu verkleinern.

Kann beliebig schlecht werden!!

Beispiel: k=2

erstes Zentrum

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Greedy Algorithmus: wähle wiederholt als näch-stes Zentrum den Ort si mit maximaler Distanz zu allen bisherigen Zentren

Greedy-Center-Selection(k, n, (s1,s2,…,sn)):C:=;wiederhole k-mal wähle Ort si mit maximalem dist(si,C) C:=C {si}return C

Bemerkung: erstes Zentrum ist beliebiger Ort si

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Bemerkung: Zentren in C sind mindestens r(C) entfernt voneinanderBeweis: r(C) sinkt monoton, jeweils minimale paarweise Entfernung

1.14 Satz: Sei C* die optimale Wahl der Zentren. Dann ist r(C) ≤ 2r(C*).Beweis (durch Widerspruch):• Angenommen, r(C*) < r(C)/2.• Betrachte die Kreise mit Radius r(C)/2 um jedes ci C.• Es muss genau ein cC* im Kreis von jedem ci geben (siehe

Bemerkung und Annahme); wir nennen dieses Zentrum c*i

• Betrachte einen beliebigen Ort s und sei c*i sein nächstes Zentrum in C*. Es gilt:

dist(s,C) dist(s,ci) dist(s,c*i) + dist(c*i,ci) 2r(C*)• Also ist r(C) 2r(C*), ein Widerspruch zur Annahme

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Zentrumswahl

Wir wissen: Der Greedy Algorithmus ergibt eine 2-Approximation.

Gibt es auch Polynomialzeitalgorithmen mit Approximationsgüte 3/2? Oder 4/3?

1.15 Satz: Sofern nicht P=NP ist, gibt es keinen Polynomialzeitalgorithmus mit Approximationsgüte < 2 für die Zentrums-wahl (für k>2).

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Übersicht


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Rucksack-Problem

Rucksack-Problem:• Gegeben sind n Objekte und ein Rucksack• Objekt i hat Wert pi>0 und wiegt voli>0• Der Rucksack kann max. Gesamtgewicht B tragen.Ziel: fülle Rucksack mit Objekten mit max. Gesamtwert

Beispiel: B=11

{3,4} hat Wert 40

Objekt Wert Gewicht

1 1 1

2 6 2

3 18 5

4 22 6

5 28 7

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RP: Greedy Verfahren

Greedy Strategie:

• Berechne Profitdichten d1=p1/vol1,.., dn=pn/voln• Sortiere Objekte nach Profitdichten• Angefangen von dem Objekt mit höchster

Profitdichte, füge Objekte zu Rucksack hinzu, bis kein Platz mehr da

Problem: Greedy Strategie kann weit vom Optimum entfernt liegen

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Beispiel: zwei Objekte mit p1=1 und p2=B-1 und vol1=1 und vol2=B, Rucksackkapazität ist B

Greedy-Methode: berechnet d1=1 und d2 = 1-1/B und wird nur Objekt 1 in Rucksack packen, da Objekt 2 nicht mehr passt

Optimale Lösung: packe Objekt 2 in Ruck-sack (viel besser da Wert B-1 statt 1)

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Verbesserte Greedy-Methode:

• Seien die Objekte 1 bis n absteigend nach Profitdichte sortiert

• Bestimme maximale Objektmenge {1,…,i} wie bisher mit ji volj B

• Gib entweder {1,…,i} oder {i+1} aus, je nachdem, welche Menge den maximalen Wert hat

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1.16 Satz: Die Lösung der verbesserten Greedy-Methode ist höchstens einen Faktor 2 von der optimalen Lösung entfernt.

Beweis:• Wenn beliebige Bruchteile der Objekte gewählt

werden könnten, wäre die optimale Lösung {1,…,i+1}, wobei von Objekt i+1 nur der Bruchteil genommen wird, der noch in den Rucksack passt.

• Für den optimalen Wert OPT gilt demnach:OPT ji+1 volj.

• Also ist max{ji volj, voli+1} OPT/2

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