11. BASIS, UNTERRAUM,

und

DIMENSION

1

Basen werden zu unterschiedlichen Zwecken benutzt:

• Um lineare Abbildungen in ihrer Matrixdarstellung zu verein-

fachen,

• um die Dimension von Vektorraumen und ihren Unterraumen

zu erfassen,

• um etwa Schwingungen in ihre Grund- und Obertone zu zer-

legen

• . . .

2

Beispiel.

Die lineare Abbildung L : R2 → R2 sei durch die Matrix(3 11 3

)

gegeben. Mit der Standardbasis e1, e2 gilt dann

L(e1) =

(31

)= 3e1 + e2 , L(e2) =

(13

)= e1 + 3e2

3

Setzen wir nun

b1 = e1 + e2 , b2 = e1 − e2

e1

e2 b1

b2

4

so folgen die Gleichungen

L(b1) = L(e1) + L(e2) = (3e1 + e2) + (e1 + 3e2)

L(b2) = L(e1)− L(e2) = (3e1 + e2)− (e1 + 3e2)

also

L(b1) = 4b1 , L(b2) = 2b2

In Richtung b1 und b2 ergibt dies Streckungen verschiedener

Große.

5

Man wurde also gern die Standardbasis e1, e2 durch die neue

”Basis“ b1,b2 ersetzen.

In dieser neuen Basis hat L die Matrixdarstellung(4 00 2

){b1,b2}

Man spricht von einer Diagonalmatrix, einer Matrix, deren Ein-

trage außerhalb der Diagonalen alle 0 sind; in ihr zeigt sich be-

sonders deutlich die Wirkung der linearen Abbildung L.

Dies funktioniert nicht fur jede lineare Abbildung, man denke

etwa an Drehungen um 90◦. Fur welche dann aber?

6

Basen im R2.

Im R2 kann man je zwei Vektoren

b1,b2 6= 0

die nicht Vielfaches voneinander sind, fur die also

b1 6= λb2 fur alle λ ∈ R

gilt, als Basis benutzen.

Fur alle x ∈ R2 gibt es also reelle Zahlen λ1, λ2 so dass

x = λ1b1 + λ2b2

gilt. Die Skalare λ1, λ2 sind dabei eindeutig.

7

λ1b1

λ2b2

x

b1

b2

8

Mit einem einzigen Vektor b1 kann man im R2 nicht alle Vektoren

erreichen.

Man sagt, b1 spannt nicht die gesamte Ebene auf.

Dagegen spannt eine Basis b1,b2 den gesamten R2 auf.

9

Andererseits:

Zwar kann man mit drei Vektoren b1,b2,b3, von denen keine

zwei Vielfaches voneinander sind, im R2 jeden Vektor x als Line-

arkombination darstellen,

x = λ1b1 + λ2b2 + λ3b3

aber nun sind die Skalare λ1, λ2, λ3 nicht mehr eindeutig!

Man kann z.B. x mit b1,b2 darstellen, dann ist λ3 = 0 zu wahlen.

Oder man stellt x mit b1,b3 dar, dann ist λ2 = 0,

oder . . .10

Jede Basis besteht im R2 aus zwei Vektoren b1,b2. Man kann sie

nach belieben wahlen, nur darf der eine Vektor kein Vielfaches

des anderen Vektors sein.

Wie steht es im R3?

11

Basen im R3.

Zwei Vektoren b1,b2 langen fur den Raum nicht mehr als Basis,

die Linearkombinationen

λ1b1 + λ2b2 , λ1, λ2 ∈ R

liegen namlich in einer Ebene. Man sagt, b1,b2 spannen einen

Unterraum auf.

12

13

Drei Vektoren b1,b2,b3 im R3 bilden eine Basis, sofern sie nicht

in einer Ebene liegen.

14

Definition:

In einem Vektorraum V heißt eine Teilmenge B von Vektoren

b1,b2, . . . 6= 0 eine Basis, falls gilt:

• Jeder Vektor x ∈ V lasst sich darstellen als (endliche) Line-

arkombination

x = λ1b1 + · · ·+ λkbk

mit b1, . . . ,bk ∈ B und Skalaren λ1, . . . , λk.

• Diese Darstellung von x als Linearkombination von Basisvek-

toren ist eindeutig (bis auf Summanden, deren Skalarfaktor

gleich 0 ist).

15

Beispiele:

1. Die Standardbasis B = {e1, . . . , en} im Rn.

2. Die Polynome 1, x, x2, x3, . . . vom Grade 0,1,2,3, . . . bilden eineBasis im Raum aller reellen Polynome. Sie ist unendlich.

3. Auch im Z4 hat man die Standardbasis e1, e2, e3, e4 zur Verfugung:Jeder Vektor x ∈ Z4 gestattet die Darstellung

x = λ1e1 + · · ·+ λ4e4

nun mit λ1, . . . , λ4 = 0 oder 1. Etwa:1001

= 1 · e1 + 0 · e2 + 0 · e3 + 1 · e4

16

Eigenschaften von Basen:

1. Jeder Vektorraum V besitzt eine Basis, und zwei verschiedene

Basen besteht aus der gleichen Anzahl von Elementen. Diese

Anzahl n = dim(V) heißt die Dimension von V. Sie kann den

Wert n = 1,2,3, . . . und auch n =∞ haben.

2. Fur eine Basis b1, . . . ,bn folgt aus

0 = λ1b1 + · · ·+ λnbn

aufgrund von Eindeutigkeit

λ1 = · · · = λn = 0

Diese Eigenschaft heißt lineare Unabhangigkeit von b1, . . . ,bn.

17

Untervektorraume.

Definition: Eine Teilmenge U eines Vektorraums V mit Skalarbe-

reich K heißt Unterraum, falls die Addition und Skalarmultiplika-

tion nicht aus U hinausfuhren, falls also gilt

x,y ∈ U ⇒ x + y ∈ Ux ∈ U , λ ∈ K ⇒ λx ∈ U

U ist also selbst Vektorraum, er”

erbt“ seine Struktur von V.

Wie jeder Vektorraum hat U eine Dimension dim(U).

18

Beispiele:

1. Ein Unterraum U der Dimension 1 im R2 oder R3 ergibt eine

Gerade durch den Ursprung 0. Er wird durch einen Vektor b1

aufgespannt:

U = {λb1 | λ ∈ R}

d.h. er besteht aus allen Vielfachen von b1.

Wir schreiben

U = L(b1)

19

2. Ein Unterraum U der Dimension 2 im R3 ergibt eine Ebene

durch den Ursprung 0. Er wird durch zwei (linear unabhangige)

Vektoren b1,b2 aufgespannt:

U = {λ1b1 + λ2b2 | λ ∈ R}

er besteht also aus allen Linearkombinationen, die man aus b1,b2

bilden kann.

Wir schreiben

U = L(b1,b2)

b1,b2 bilden eine Basis von U.

20

3. Jede Menge b1, . . . ,bk von Vektoren in einem Vektorraum Vspannen einen Unterraum U auf. Er ist gegeben durch das System

aller Linearkombinationen, die man aus b1, . . . ,bk bilden kann:

U = {λ1b1 + · · ·+ λkbk | λ1, . . . , λk ∈ K}

Wir nennen den Raum die lineare Hulle (oder den Spann) von

b1, . . . ,bk und schreiben

U = L(b1, . . . ,bk)

21

L(b1, . . . ,bk) ist der kleinste Unterraum, der b1, . . . ,bk enthalt.

Falls die Vektoren b1, . . . ,bk linear unabhangig sind, bilden sie

eine Basis des Untervektorraums L(b1, . . . ,bk). Dann ist seine

Dimension k.

Sonst gilt

dim(L(b1, . . . ,bk)) ≤ k

22

4. Der Raum aller reellen Polynome vom Grade hochstens n

bildet einen Untervektorraum aller reellen Polynome. Es handelt

sich um den Raum

L(1, x, . . . , xn)

er besitzt die Dimension n+ 1.

23

5. Der Nullraum N ⊂ Rn einer linearen Abbildung L : Rn → Rm

ist ein Untervektorraum.

Denn:

Fur x1,x2 ∈ N gilt L(x1) = L(x2) = 0 und folglich aufgrund der

Linearitat

L(λ1x1 + λ2x2) = λ1L(x1) + λ2L(x2) = 0

also gehort die Linearkombination λ1x1 + λ2x2 ebenfalls zu N .

24

6. Der Bildraum R ⊂ Rm einer linearen Abbildung L : Rn → Rmist ein Untervektorraum.

Denn:

Fur y1 = L(x1),y2 = L(x2) ∈ R gilt aufgrund der Linearitat

λ1y1 + λ2y2 = L(λ1x1 + λ2x2)

also gehort auch die Linearkombination λ1y1+λ2y2 zum Bildraum

R.

Es gilt

R = L(L(e1), . . . , L(en)

)und folglich dim(R) ≤ n

25

Die Dimensionsformel.

Fur eine lineare Abbildung

L : Rn → Rm

und seinen Nullraum N und Bildraum R gilt

dim(N ) + dim(R) = n

”Je großer der Nullraum, umso kleiner der Bildraum.“

26

Beweisskizze:

Sei k die Dimension des Nullraums und r die Dimension des

Bildraumes. Zu zeigen ist k + r = n.

Wahle eine Basis b1, . . . ,br von R.

Wahle Vektoren b′1, . . . ,b′r ∈ Rn mit b1 = L(b′1), . . . ,br = L(b′r).

Wahle eine Basis b′′1, . . . ,b′′k von N .

27

0

Rm

R

N

Rn

b1

brb′′kb′′1

b′1

b′r

28

Zeige, dass

b′1, . . . ,b′r,b′′1, . . . ,b

′′k

eine Basis des Grundraumes Rn ist, dann folgt

r + k = n

29

Ist x ∈ Rn, so ist L(x) ∈ R, es gibt also fur gewisse λ′1, . . . , λ′r

L(x) = λ′1b1 + · · ·+ λ′rbr = L(λ′1b′1 + · · ·+ λ′rb

′r)

Fur

x′ = x− (λ′1b′1 + · · ·+ λ′rb

′r)

folgt L(x′) = 0 bzw. x′ ∈ N . Daher gilt fur gewisse λ′′1, . . . , λ′′k

x′ = λ′′1b′′1 + · · ·+ λ′′kb

′′k

und folglich

x = λ′1b′1 + · · ·+ λ′rb

′r + λ′′1b

′′1 + · · ·+ λ′′kb

′′k

bzw.

Rn = L(b′1, . . . ,b′r,b′′1, . . . ,b

′′k)

30

Und die lineare Unabhangigkeit von der Basis:

Sei

λ′1b′1 + · · ·+ λ′rb

′r + λ′′1b

′′1 + · · ·+ λ′′kb

′′k = 0

Dann folgt

0 = L(λ′1b′1 + · · ·+ λ′rb

′r + λ′′1b

′′1 + · · ·+ λ′′kb

′′k) = λ′1b1 + · · ·+ λ′rbr

also λ′1 = · · · = λ′r = 0 (da b1, . . . ,br eine Basis ist). Folglich

λ′′1b′′1 + · · ·+ λ′′kb

′′k = 0

und damit λ′′1 = · · · = λ′′k = 0 (da b′′1, . . . ,b′′l eine Basis ist).

Also sind b′1, . . . ,b′r,b′′1, . . . ,b

′′k linear unabhangig. q.e.d.

31