11. Grundlagen der Quantenmechanik Klassische Mechnik Quantenmechanik Teilchen Punkt im Phasenraum Wellenfunktion Komplexwertig (r,t) Evolutions gleichung

11. Grundlagen der Quantenmechanik

Klassische Mechnik Quantenmechanik

Teilchen Punkt im Phasenraum Wellenfunktion Komplexwertig

(r,t)

Evolutionsgleichung Hamilton Gleichungen Schrödingergleichung

Messgrössen

Funktionen von r,pOperatoren

Mögliche Messwerte: Eigenwerte

Zeitabhängige Schrödingergleichung:

Komplexwertige Wellenfunktion (x,t) Beispiel: deBroglie Ebene WelleA(x,t) = A0 cos(kx - t)

Ansatz:

Wiederholung komplexe Zahlen:

Imag

inär

teil

Realteil

x

t

Beobachtbar:VektorlängeUnsichtbar: Rotation mit t

Für zeitunabhängiges Potential

Stationäre Schrödingergleichung

Zeitabhängige Schrödingergleichung:

Komplexwertige Wellenfunktion (x,t) Beispiel: deBroglie Ebene WelleA(x,t) = A0 cos(kx - t)

Für zeitunabhängiges Potential

Ansatz:

Beispiel 1: V(x)=0 Allgemeiner Ansatz: (x)=Aeikx + B e-ikx

Mit Zeitabhängigkeit:

löst:

Darstellung einer Ebenen Welle im Ort

(x) = eikx = sin(x) + i cos(x)

Realteil

Imaginärteil-> |(x)|2 = const. = 1

Graphik aus: Bern Thaller Visual Quantum Mechanicshttp://www.kfunigraz.ac.at/imawww/vqm/index.html

Alternative Darstellung:Farbkodierung der komplexen Zahlen

|(x)|2 = const. = 1

moving-plane-wave-01_18a.mov

Aufbau eines Wellenpaketes

(x) = eikx

d.h. die Phasengeschwindigkeit ist Energieabhängig -> Dispersion

Gauss-wellenpaket-aus-ebenen-wellen-03_02b.mov

Stationäre Schrödingergleichung Stationäre Schrödingergleichung

Beispiel 2: Unendlicher Potentialkasten

V(x)=0 für 0·x¸L1 sonst

(x)=Aeikx + B e-ikx

(x·0)=(x¸L)=0

(x=0) = 0 ) A+B=0 ) (x)=A(eikx - e-ikx)=2iA sin(kx)

Randbedingung 1

(x=L) = 2iA sin(kL) = 0) kL= n (n=1,2,3 ...)

Rand-bedingung 2

Quantenzahlen n

Mögliche Energieniveaus in der Box:

Stationäre Wellenfunktionen in der Box:


Mögliche Energienivieaus in der Box:


Bemerkungen:1) Unschärfe Relation Ort/Impuls

k= n/L (n=1,2,3 ...) 2) Nullpunktsenergie3) Woher kommt die Quantisierung??4) Zeitentwicklung der Zustände?

hängt von En (n2) ab!

http://www.quantum-physics.polytechnique.fr/en/stationary.html

Aufenthaltswahrscheinlichkeit

Real Imaginärteil


Mögliche Energienivieaus in der Box:


Bemerkungen:1) Unschärfe Relation Ort/Impuls

k= n/L (n=1,2,3 ...) 2) Nullpunktsenergie3) Woher kommt die Quantisierung??4) Zeitentwicklung der Zustände?

5) Was passiert wenn manandere Energie, Wellenfunktionerzwingt?z.B. Barriere aufziehen?

Teilchen in 2 dim Potentialtopf

http://rugth30.phys.rug.nl/quantummechanics/potential.htm

(kx , ky) = (0.86 , 0.5)

(x , y) = (2 , 2)

Imagine a quantum particle initially described by a Gaussian wave packet centered at the middle of a square box, with momentum zero. WAS PASSIERT??

(II)

Bereich (II):

Stationäre Schrödingergleichung Stationäre Schrödingergleichung Stationäre Schrödingergleichung

11.4. Potentialstufe

x

E(x

)

E0

(I)

Bereich (I): V(x)=0 ) (x)=A eikx + B e-ikx

2

(x)=C eix + D e-ix

(x) soll stetig differentierbar auch bei x=0 sein (Randbedingung) )

I(x=0)=II(x=0) ) A+B=C+D (i)

) ik(A-B)=-(C-D) (ii)

reel ) C=0 weil sonst II(x!1) divergiert

(II)(I)



x

E(x

)

E0


Bereich (II):

2

(x)=C eix + D e-ix


I(x=0)=II(x=0) ) A+B=C+D (i)

) ik(A-B)=-(C-D) (ii)

Fall a) E<E0

C=0 Æ (i) Æ (ii) ) ik(A-B)=- (A+B) )

Verhältnis von Ein- und Auslaufenden Teilchen:

ik+ik-

(II)(I)



x

E(x

)

E0


Bereich (II):

2

(x)=C eix + D e-ix


I(x=0)=II(x=0) ) A+B=C+D (i)

) ik(A-B)=-(C-D) (ii)

Fall a) E<E0

reel ) C=0 weil sonst II(x!1) divergiert

C=0 Æ (i) Æ (ii) ) ik(A-B)=- (A+B) )

Verhältnis von Ein- und Auslaufenden Teilchen:

ik+ik-

1. Potentialwall reflektiert vollständig2. Wellenfunktion dringt in den klassisch verbotenen Bereich ein

Energieerhaltung??? E t > ~

(II)(I)



x

E(x

)

E0


Bereich (II):

2

(x)=C eix + D e-ix


I(x=0)=II(x=0) ) A+B=C+D (i)

) ik(A-B)=-(C-D) (ii)

Fall b) E>E0

klassisch: Teilchen fliegt mit verminderter Geschwindigkeit weiter

(x)=C e-ik‘x + D eik‘x C=0, da keine Teilchen in (II) nach links fliegen

C=0 Æ (i) Æ (ii) ) ik(A-B)=-k‘ (A+B) )

(II)(I)



x

E(x

)

E0


Bereich (II):

2

(x)=C eix + D e-ix


I(x=0)=II(x=0) ) A+B=C+D (i)

) ik(A-B)=-(C-D) (ii)

Fall b) E>E0

(II)(I)



x

E(x

)

E0


Bereich (II):

2

(x)=C eix + D e-ix

I(x=0)=II(x=0) ) A+B=C+D (i)

) ik(A-B)=-(C-D) (ii)

Fall b) E>E0

(x)=C e-ik‘x + D eik‘x C=0, da keine Teilchen in (II) nach links fliegen

C=0 Æ (i) Æ (ii) ) ik(A-B)=-k‘ (A+B) )

1. Auch wenn E>E0 wird ein Teil der Welle reflektiert! (Je mehr, je höher E_0)2. Wellenfunktion

|A|2

|B|2

|D|2

(II)(I)



x

E(x

)

E0


Bereich (II):

2

(x)=C eix + D e-ix

|A|2

|B|2

|D|2


I(x=0)=II(x=0) ) A+B=C+D (i)

) ik(A-B)=-(C-D) (ii)

1. Auch wenn E>E0 wird ein Teil der Welle reflektiert! (Je mehr, je höher E_0)2. Wellenfunktion

gausspaket-auf-potentialstufe-mit-halber-energie07_06b.mov

Wellenpaket, Potentialstufe

E = ½ Ekin

Ort

Impuls+ auf Stufe zu- reflektiert

Klassisches Teilchen würde mit 1/2Ekin weiterlaufen!

gausspaket-potentialstufe-bergab07_06c.mov

Wellenpaket, Potentialstufe BERGAB!

Klassisches Teilchen würde beschleunigt weiterlaufen!

Potentialstufe in 2 Dimensionen

gausspaket-2dim-potentialstufe-07_08a.mov

Farbcode:Farbe: PhaseSättigung: Amplitude


11.5. Tunneleffekt

(II)(I)

x

E(x

)

E0

Idee: kann man die Welle “freisetzen”??


11.5. Tunneleffekt (I) (II) (III)

x0 a

E0

(x)=A eikx + B e-ikx

(x)=C eix + D e-ix

(x)=A‘ eikx

Randbedingungen:

I(0)=II(0) , II(a)=III(a)

Transmissionskoeffizient (E<E0)

für a >>1(dicke Barriere)

10-4

10-3

10-2

10-1

100

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3

T

ENERGY (eV)

Höhe 0.3eV, Breite 1nm

Transmission hängt ab von:1. Barrierenhöhe (Exponentiell)2. Barrierenbreite3. Masse

Makroskopisch irrelevant

Ekin<E

Fragen:1. Energieerhaltung ???2. Wie lange braucht das Teilchen?

Tunnel-welle-durch-einstellbare-potentialstufe07_09d.mov

x

(I) (II) (III)

0 a

E0

Wellenfunktion und Transmission als Funktion der Barrierenhöhe

V = 2E, d =

http://rugth30.phys.rug.nl/quantummechanics/tunnel.htm#Potential%20barrier

Überhöht

Tunneln eines Wellenpaketes

http://rugth30.phys.rug.nl/quantummechanics/images/RECTBAR1.jpg

Mittlere Energie des Wellenpaketes

Gausspaket-durch-barriere-07_11c.mov

Tunnels eines Gauss Wellenpaketes im Ortsraum

Orts und Impulsraum:

Gausspaket-Tunnel-orts-impuls07_12c.mov

Mittlere Energie nahe an Schwellenhöhe

Durch Mehrfachreflexionenwird ein Teil der Wellenfunktionfür einige Zeit unter der Barriere

gefangen

Gauss-tunnel-trapping07_12a.mov

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